keym88.files.wordpress.com€¦ · บทที่ 1. ลําดับ และ...

1

ลำดบและอนกรม

www.tutoronline.co.th

⌫

⌫

⌦⌫⌫

⌫

⌫

⌫⌫ ⌦ ⌫

ตวเตอร ออนไลน ชมชนคนรกเรยน

2

⌫


สารบญ

ลำดบและอนกรม• ลำดบ 2• ลำดบเลขคณต 8• ลำดบเรขาคณต 17• ลำดบฮารโมนก 22• อนกรม 36• อนกรมแยกเศษสวนยอย 38• อนกรมเลขคณต 41• อนกรมเรขาคณต 47• แบบฝกหด 53

ชมชนคนรกเรยน


1

วชา ระดบชน ภาคการศกษา สาระการเรยนร

คณตศาสตร ม.5 เทอม.1 พนฐาน

• เนอหาสาระการเรยนรตามหลกสตรขนพนฐาน พทธศกราช 2544 1. ลาดบ

• ความหมายของลาดบ

• การหาพจนทวไปของลาดบ

• ลาดบเลขคณต

• ลาดบเรขาคณต

2. อนกรม

3. อนกรมเลขคณต

4. อนกรมเรขาคณต

บทท 1. ลาดบ และ อนกรม

เอกสารฉบบนจดทาขนเพอใหผเรยนสามารถเรยนร และ พฒนาตนเอง นาความรทางคณตศาสตรไปพฒนา

ชวต และ เปนเครองมอในการเรยนรคณตศาสตรตลอดจนศาสตรอนๆ ในระดบทสงขนไป ในการจดการเรยนการสอนผสอนสามารถปรบลดหรอเพมเนอหาสาระ ตลอดจนความลกซงไดตามความเหมาะสมของผเรยนแตละกลม เพอสนองตอความตองการของผเรยนทมความสามารถทางคณตศาสตรทแตกตางกน

ลาดบและอนกรม


2

Ex1. จงพจารณาวามลาดบทเกดจากฟงกชน f ในแตละขอตอไปนหรอไม ถามจงหาลาดบดงกลาว

(1) f = { (1,5) , (2,6) , (3,7) , (4,8) }

(2) f = { (0,1) , (1,3) , (2,5) , (3,7) , (4,9) }

(3) f = { (–1,3) , (0,5) , (1,7) , (2,9) , (0,10) }

(4) f = { (1,–1) , ( 2,–2 ) , (3,–3) , (4,–4) , (5,–5) }

(5) f = { (x,y) | y = 3x และ x ≥ 1 }

(6) f = { (x,y) | y = 2x2 –1 และ x ≥ 3 }

(7) f = { (x,y) | y = x + 5 และ x < 6 }

(8) f = { (x,y) | y = x2 + x , x ∈ I และ x < 4 }

1. ลาดบ ( Sequences ) คอ ( เรนจของ ) ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวกทเรยงจากนอยไปมาก โดยเรมตงแต 1

แบงเปน 2 ชนด คอ (1) ลาดบจากด คอ ลาดบทมโดเมนเปนเซตจากด

(2) ลาดบอนนต คอ ลาดบทมโดเมนเปนเซตอนนต



3

(9) f = { (x,y) | y = 2

1x+, x ∈ I + และ x ≥ 1 }

(10) f = { (x,y) | y = x+1 , x ∈ I และ 0 < x ≤ 5 }

พจนทวไปของลาดบ คอ .............................................................................................................

ตวอยางเชน (1) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , …. อาจเขยนแทนดวย an = n

(2) 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , …. อาจเขยนแทนดวย an = n+1

(3) 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , …. อาจเขยนแทนดวย an = n2

Ex1. จงหาลาดบจากพจนทวไปทกาหนดให

(1) an = n + 3 …………………………………………………………………………………….

(2) an = 3

1n2 − …………………………………………………………………………………….

(3) an = 1+n

n ……………………………………………………………………………………..

(4) an = ⎪⎩

⎪⎨⎧

บวกเปนจานวนคnn


;1

;

………………………………………………………………..

(5) an = 3( an – 1–1 ) เมอ n ≥ 2 โดยท a1 = 2 ………………………………………………………..

การหาพจนทวไปของลาดบ

(1) แบบท 1. แบบเพมลด – คงท

(2) แบบท 2. แบบใชการใหเหตผลแบบอปนย

(3) แบบท 3. แบบใชสตรพจนทวไปฟงกชนพหนาม



4

Ex1. จงหาพจนทวไปของลาดบตอไปน

(1) 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , ….. (2) –16 , –12 , – 8 , – 4 , …..

(3) 4 , 9 , 14 , 19 , 24 , …… (4) 17 , 19 , 21 , 23 , 25 , 27 , …..

(5) 16 , 13 , 10 , 7 , 4 , 1 , ….. (6) 7 , 2 , –3 , –8 , –13

(7) 1, ,...16

1,

9

1,

4

1 (8) 3 , 12 , 27 , 48 ,..…

(9) 1⋅2 , 2⋅3 , 3⋅4 , 4⋅5 , …. (10) 1 , 3 , 7 , 15 , ……



5

(11) 3

1− ,

6

1,

3

1,12

5,15

7,… (12) ,...

97

x,

75

x,

53

x,

31

x 753

⋅⋅⋅⋅

(13) ,...62,32,6,3 −−

(14) 9 , 99 , 999 , 9999 , ...

(15) 6 , 14 , 28 , 48 , 74 , 106

(16) 1 , 9 , 29 , 67 , 129 . 221



6

Π การบานชดท 1.

1. จงหาพจนทวไปของลาดบจากดทกาหนดใหในแตละขอ

(1) 1 , 2 , 3 , 4 , .... ( ตอบ an = n )

(2) 2 , 4 , 6 , 8 , ... ( ตอบ an = 2n )

(3) 3 , 5 , 7 , 9 , ... ( ตอบ an = 2n+1 )

(4) 5 , 7, 9 , 11 ,... ( ตอบ an = 2n+3 )

(5) 2

1,

3

1,

4

1,

5

1, ... ( ตอบ an =

1

1

+n)

(6) 2

1,

3

2,

4

3,

5

4, ... ( ตอบ an =

1n

n

+ )

(7) 12

1, 2

3

2, 3

4

3, 4

5

4, ... ( ตอบ an = n+

1n

n

+)

(8) –1 , 2 , –3 , 4 , ... ( ตอบ an = (– 1)n⋅n )

(9) 2 , 6 , 23 , 63 , ... ( ตอบ an = 3(2 )n–1 )

(10) 2 , 6 , 12 , 20 , ... ( ตอบ an = n(n+1) )



7

(11) 0 , 6

2,

12

6,

20

12, ... ( ตอบ an = nn

nnnn

nn+−

=+−

2

2

)1(

)1()

(12) 1 , –8 , 27 , –64 , ... ( ตอบ an = (–1)n+1⋅n3 )

2. จงเขยน 5 พจนแรกของลาดบทกาหนด f หรอ an ในแตละขอตอไปน

(1) f = { (x,y) | y = 2x , x ∈ I+ } ………………………………………………………………

(2) f = { (x,y) | y = 4x+ 1 , x ∈ I + } ………………………………………………………………

(3) f = { (x,y) | y = 2x2 , x ∈ I + } ………………………………………………………………

(4) f = { (x,y) | y = x2 –1 , x ∈ I + } ………………………………………………………………

(5) f = { (x,y) | y = 2x , x ∈ I + } ………………………………………………………………

(6) an = n1

………………………………………………………………

(7) an = n + (–1)n ………………………………………………………………

(8) an = ( –1)n+1 ………………………………………………………………

(9) an = ( –1)n cos nx ………………………………………………………………

(10) an = ⎪⎩

⎪⎨⎧

บวกเปนจานวนคn

บวกเปนจานวนคn

;0

;1 ………………………………………………………………

(11) an = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+ บวกเปนจานวนคn

nnn


;)1(

;2

………………………………………………………

(12) a1 = 1 และ an = 2an–1 เมอ n ≥ 2 ………………………………………………………………

(13) a1 = a2 = 1 ; an = an–1+ an–2 ; n ≥ 3 ………………………………………………………………



8

8ค

Ex1. จงเขยน 5 พจนแรกของลาดบเลขคณตทกาหนดคาตาง ๆ ใหในแตละขอตอไปน

(1) a1 = 3 , d = 5 ……………………………………………………………………………

(2) a1 = –2 , d = 3 ……………………………………………………………………………

(3) a1 = 8 , a2 = 10 ……………………………………………………………………………

(4) a1 = 12 , a2 = 4 ……………………………………………………………………………

(5) a1 = 3 , a8–a7 = 5 ……………………………………………………………………………

(6) a1 = 8 , a10–a11 = 2 ……………………………………………………………………………

ลาดบเลขคณต ( Arithmetic Sequence )

คอ ลาดบทมผลตางระหวางพจนท n+1 กบพจนท n เปนคาคงท เรยกคาคงทดงกลาวนนวา

“ ผลตางรวม ( Common Difference , d ) ”

พสจน พจนทวไปลาดบเลขคณต



9

(7) a5 = 12 , d = –2 ……………………………………………………………………………

(8) a10 = 6 , d = 3 ……………………………………………………………………………

(9) a1 = 14 , a8 = 7 ……………………………………………………………………………

(10) a1 = 8 , a9 = –24 ……………………………………………………………………………

(11) a2 = –7 , a8 = 17 ……………………………………………………………………………

(12) a5 = 15 , a13 = –17 ……………………………………………………………………………

(13) an = 3+an–1 , a1 = 7 ……………………………………………………………………………

(14) an+1–an = 2 , a1 = 5 ……………………………………………………………………………

Ex2. จงหาพจนท 7 ของลาดบเลขคณต 4 , 9 , 14 , ... ( ตอบ 34 )



10

Ex3. จงหาพจนท 21 ของลาดบเลขคณต 2

5, 2,

2

3, … ( ตอบ a21 =

2

15− )

Ex4. จงหาพจนท 101 ของลาดบเลขคณต x , –2x , –5x , ..… ( ตอบ a101 = – 299x )

Ex5. จงหาพจนท 93 ของลาดบเลขคณต 5x–y , 3x–2y , x–3y ( ตอบ a93 = –179x – 93y )

Ex6. จงพจารณาวาลาดบเลขคณตทกาหนดใหมทงหมดกพจน

(6.1) 4 , 11, 18 , 25 , ... , 613 ( ตอบ n = 88 )



11

(6.2) 3b + 2c , 5b + c , 7b , … , 17b – 5c ( ตอบ n = 8 )

(6.3) x – y , – 2x+2y , – 5x+5y , … , – 89x + 89y ( ตอบ n = 31 )

Ex7. ถา p , 5p , 6p + 9 , … เปนลาดบเลขคณต จงหาคาของ p ( ตอบ 3 )

Ex8. ลาดบเลขคณตหนงมพจนท 6 เปน 25 และพจนท 20 เปน 81 จงหาพจนทวไปของลาดบน

Ex9. ไมกองหนงวางซอนกนในแนวระดบเปนชนๆ แตละชนมจานวนไมมากกวาชนถดขนไปอย 5 ทอน ถาจานวนไมชน

บนสดม 57 ทอน และ ชนตดพนดนม 182 ทอน จงหาวาไมกองนมกชน ( ตอบ n = 26 )



12

Ex10. ชายผหนงจายเงนคางวดซอรถยนตเปนเวลา 5 ป โดยแตละเดอนจะตองจาย 1 งวด ถางวดแรกจาย 12,000 บาท

และ เดอนถดไปเงนคางวดจะลดลงจากงวดทแลว 100 บาท จงหาวางวดสดทายทเขาตองจายเงนกบาท

( ตอบ 6,100 บาท )

Ex11. ถา a1 , a2 , a3 , ..… เปนลาดบเลขคณต ซง a30 – a10 = 30 แลวผลตางรวมของลาดบเลขคณตน มคา

เทากบขอใดตอไปน ( O – NET ’50 2 คะแนน ) ( ตอบ 2 )

1. 1.25 2. 1.5 3. 1.75 4. 2.0

Ex12. ปาจเรมขายขนมครก วนท 3 มกราคม ในวนแรกขายไดกาไร 100 บาท และในวนตอๆไปจะขายไดกาไรเพมขนจากวน

กอนหนาวนละ 10 บาททกวน ขอใดตอไปนเปนวนทของเดอนมกราคมทปาจขายไดกาไรเฉพาะในวนนน 340 บาท

( O – NET ’49 2 คะแนน ) ( ตอบ 4 )

1. วนท 24 2. วนท 25 3. วนท 26 4. วนท 27

Ex1. ถาผลรวมกาลงสอง 3 พจนแรกของลาดบเลขคณต เทากบ 62 และ 2 เทาของพจนทมากทสด มคาเปน 7 เทา

ของพจนกลาง จงหาคาสมบรณผลรวมของทง 3 พจนน

โจทยทตองใชหลกการสมมตพจนลาดบเลขคณต

(1) คพจน …………………………………………………………………………………. (2) คพจน .................................................................................................................



13

Ex2. ถาผลรวม 4 พจนแรกของลาดบเลขคณต เทากบ 58 และ พจนทมคามากทสด เทากบ 22 จงหาอก 3 พจนทเหลอ

( ตอบ 7 , 12 , 17 ) Ex1. ถา s = { 200, 201, … , 400 } แลว จะมจานวนในเซต s ท

(1) หารดวย 8 ลงตว (2) หารดวย 12 ลงตว

(3) หารดวย 8 ลงตวแตหารดวย 12 ไมลงตว (4) หารดวย 12 ลงตวแตหารดวย 8 ไมลงตว

ลองของ ! Ex1. มกจานวนทมคาตงแต 100 – 1000 ทหารดวย 3 ลงตว Ex2. มกจานวนทมคาตงแต 100 – 1000 ทหารดวย 4 ลงตว Ex3. มกจานวนทมคาตงแต 100 – 1000 ทหารดวย 12 ลงตว Ex4. มกจานวนทมคาตงแต 1 – 1000 ทหารดวย 5 ลงตว

Ex5. มกจานวนทมคาตงแต 0 – 1000 ทหารดวย 5 ลงตว



Ex8. จานวนเตมบวกระหวาง 200 กบ 600 ท 7 หารไมลงตว มจานวนเทาไร Ex9. จานวนเตมตงแต 1 ถง 100 ซงหารดวย 2 , 5 และ 9 ไมลงตว มทงหมดเทากบเทาใด

โจทยหาจานวนทหารลงตว



14

Ex10. จานวนจรงทเปนพจนทเหมอนกนของลาดบเลขคณต 2 ลาดบ ตอไปน

3 , 7 , 11 , … , 407

2 , 9 , 16 , … , 709

มทงหมดกจานวน

1. จงหาคา n ในแตละขอ เมอกาหนดลาดบเลขคณตในแตละขอ

(1.1) 2 , 5 , 8 , ... และ an = 131 ( ตอบ n = 44 )

(1.2) 19 , 14 , 9 , … และ an = – 251 ( ตอบ n = 55 )

(1.3) –21 , –10 , 1, … และ an = 2,179 ( ตอบ n = 201 )

2. กาหนดใหลาดบในแตละขอเปนลาดบเลขคณต จงหาคาตวแปรในแตละขอ

(2.1) 3 , x , 13 ( ตอบ x = 8 )

(2.2) –2 , 4 , x , y ( ตอบ x = 16 )

(2.3) 12 , x , 6 – x ( ตอบ x = 6 )

(2.4) m , 5m , 6m + 9 ( ตอบ m = 3 )

(2.5) 5 , x , y , 14 ( ตอบ x = 8 )

(2.6) 2a – 1, a2+2 , –a+5 ( ตอบ a = 0 , 2

1)

3. จานวนเตมตงแต 16 ถง 775 ทหารดวย 3 ลงตว มกจานวน ( ตอบ n = 253 )




15

4. จานวนเตมทอยระหวาง 13 กบ 221 ทหารดวย 2 และ 3 ลงตว มกจานวน ( ตอบ n = 34 )

5. จานวนเตมทระหวาง 20 กบ 153 ท 3 หารไมลงตว มกจานวน ( ตอบ n = 90 )

6. จานวนเตมทอยระหวาง 72 กบ 300 ท 3 และ 7 หารไมลงตว มกจานวน ( ตอบ n = 218 )

7. จานวนเตมทอยระหวาง 32 กบ 400 ทหารดวย 9 แลวเหลอเศษ 4 มกจานวน ( ตอบ n = 44 )

8. จานวนเตมทอยระหวาง 12 กบ 520 ทหารดวย 6 ลงตว แตหารดวย 5 ไมลงตว มกจานวน ( ตอบ 67 )

9. ลาดบเลขชดหนง กาหนดให an+5 – an – 2 = 8 เสมอ เมอ n ≥ 3 จงหาคาของ a17 – a3 ( ตอบ 16 )



16

10. ให an เปนพจนท n ของลาดบเลขคณต ซง a2 – a6 + a4 = 8 และ a8 – a7 = 2a4 จงหา a5 + a10

( ตอบ 7

128− )

11. ลาดบเลขคณตชดหนง ถาพจนท x มคาเทากบ y และพจนท y มคาเทากบ x จงหา ax+y ( ตอบ 0 )

12. วงกลม 2 วง วงแรกมพนท A1 และ วงทสองมพนท A1 + A2 ถารศมวงกลมวงใหญมขนาด 3 หนวย และ

A1 , A2 , A1+A2 เปนลาดบเลขคณต แลว รศมของวงกลมวงเลกยาวกหนวย ( ตอบ 3 )

13. กาหนดให an และ bn เปนพจน n ของลาดบเลขคณต 2 ชด ทมพจนแรกเทากน และ a3 = – b3

ถา a8 + b6 = 2a2 และ b8 = 15 จงหา a12 – b7 + a1b5 ( ตอบ –87 )

14. ถาผลบวก 3 พจนทเรยงกนเปนลาดบเลขคณตเปน 27 และ ผลบวกของกาลงสองของแตละพจนเปน 293 จงหาลาดบเลข

คณตชดน ( ตอบ 4 , 9 , 14 หรอ 14 , 9 , 4 )

15. ผลบวก 4 พจนแรกทเรยงตดกนในลาดบเลขคณตชดหนงเปน 20 และ ผลบวกกาลงสองของ 4 พจนแรกทเรยงตดกนเปน

180 จงหาลาดบเลขคณตชดน ( ตอบ –1 , 3 , 7 , 11 , … หรอ 11 , 7 , 3 , –1 , …. )



17

Ex1. จงเขยน 5 พจนแรก ของลาดบเรขาคณตทกาหนดคาตาง ๆ ใหในแตละขอ

(1) a1 = 3 , r = 2 ( ตอบ 3 , 6 ,12 , 24 , 48 )

(2) a1 = – 2 , r = – 1 ( ตอบ – 2 , 2 , – 2 , 2 , – 2 )

(3) a1 = –2

1, r = 3 ( ตอบ

2

1− ,

2

3− ,

2

9− ,

2

27− ,

2

81− )

ลาดบเรขาคณต ( Geometic Sequence )

คอ ลาดบทมอตราสวนระหวางพจนท n+1 กบพจนท n เปนคาคงท เรยกคาคงทดงกลาวนนวา

“ อตราสวนรวม ( Common Ratio , r ) ”

พสจน พจนทวไปลาดบเรขาคณต



18

(4) a1 = 2 , r = 3

1− ( ตอบ 2,

3

2− ,

9

2,

27

2− ,

81

2)

(5) a1 = 3 2 , r = 3 ( ตอบ 3 2 , 3 6 , 9 2 , 9 6 , 27 2 )

(6) a1 = 5 , a2 = 10 ( ตอบ 5 , 10 , 20 , 40 , 80 )

(7) a2 = 8

3− , a3 =

4

1 ( ตอบ

16

9,

8

3− ,

4

1,

6

1− ,

9

1)

(8) a2 = 5

2 , a5 =

5

4 ( ตอบ

5

1,

5

2,

5

2,

5

22,

5

4)



19

Ex2. จงหาคา n เมอกาหนดลาดบเรขาคณตในแตละขอ

(1) 4

1,

8

1,

16

1, ... และ an = 4,096 ( ตอบ n = 17 )

(2) 3 , 2 , 3

2, ... และ an =

243

8 ( ตอบ n = 7 )

(3) a , ar , ar2, … และ an = ark+3 ( ตอบ k+4 )

Ex3. จงหาพจนท 7 ของลาดบเรขาคณต 6 , 9 , 2

27, …

Ex4. จงหาพจนท 15 ของลาดบเรขาคณต 3 , 3 2 , 6 3 , …



20

Ex5. จงหาพจนท 8 ของลาดบ ,...4

3,

2

1,

3

1−−

Ex6. จงหาพจนท 10 ของลาดบเรขาคณต sinθ , tanθ , tanθ ⋅secθ

Ex7. จงหาผลบวกสามพจนแรก ของลาดบเรขาคณตทมพจนท 7 เปน 128 และ อตราสวนรวม = 2

Ex8. ถาพจนแรกของลาดบเรขาคณตลาดบหนงเปน 8 มอตราสวนรวมเปน 2

3 แลว

8

729 เปนพจนทเทาไรของลาดบน

Ex9. ในป คศ. 1999 พหนง , พโดม และ พเคน มอาย 20 , 30 , 42 ปตามลาดบ อกกป อายของ คนทง 3 จะมลกษณะเปน

ลาดบเรขาคณต



21

Ex10. เดอนมกราคม ป พ.ศ. 2549 นองแกวไดคาขนมเดอนละ 4,000 บาท โดยคณแมบอกวาจะขนคาขนมใหปละ 5%

ของคาขนมปทผานมาเสมอ ถามวาเดอนมกราคม ป พ.ศ.2560 นองแกวจะไดคาขนมประมาณเทาไร

( กาหนด 1.0511 = 1.7103 )

Ex1. ให a1 , a2 , a3 เปนลาดบเรขาคณต ถา a1 + a2 + a3 = 13/3 และ a1⋅a2⋅a3 = 1 จงหาลาดบเรขาคณตดงกลาว

Ex2. ถาผลคณของ 4 พจนแรกของลาดบเรขาคณตชดหนงมคาเทากบ 1 และ พจนท 4 มคาเปน 64 เทาของพจนแรก

จงหาลาดบดงกลาว

Ex3. พจนท 16 ของลาดบเรขาคณต 625

1 ,

5125

1,

125

1 , ….. เทากบขอใดตอไปน ( O–NET ’50 3 คะแนน ) ( ตอบ 3 )

1. 25 5 2. 125 3. 125 5 4. 625

Ex4. ลาดบในขอใดตอไปน เปนลาดบเรขาคณต ( O–NET ’50 2 คะแนน ) ( ตอบ 1 )

1. an = 2n⋅32n 2. an = 2n+4n 3. an = 2n3 4. an = (2n) n

โจทยทตองใชหลกการสมมตพจนลาดบเรขาคณต

(1) คพจน …………………………………………………………………………………. (2) คพจน .................................................................................................................



22

Ex1. จงหาพจนท 13 ของลาดบฮารโมนก 1 , 4

3 ,

5

3 , …..

Ex2. จงหาลาดบฮารโมนกทมพจนทสาม คอ 12

1 และพจนทเจดคอ

32

1

1. จงเขยน 5 พจนแรก ของลาดบเรขาคณตทกาหนดคาตาง ๆ ใหในแตละขอ

(1) a1 = 10 , a2 = – 5 ( ตอบ 10 , – 5 , 2

5,

4

5− ,

8

5)

(2) a1 = 4

1− , a6 = – 3a7 ( ตอบ

4

1− ,

12

1,

36

1− ,

108

1− ,

324

1−

(3) a5 = 8 , a3 = 2a2 ( ตอบ 2

1, 1, 2, 4, 8 )

(4) a5 = 162 , r = 3 ( ตอบ 2 , 6 , 18, 54 , 162 )


ลาดบฮารโมนก ( Harmonic Sequence ) ( ตามหลกสตรกระทรวงไมมนะ แตบาง รร. อาจสอน )

คอ ลาดบทมสวนกลบเปนลาดบเลขคณต กลาวคอ

ถา a1 , a2 , a3 , a4 , …..an เปนลาดบฮารโมนกแลว 1a

1,

2a

1,

3a

1,

4a

1 , …..

na

1 เปนลาดบเลขคณต



23

(5) a3 = 2 3 , r = 2 ( ตอบ 3 , 6 , 2 3 , 2 6 , 4 3 )

(6) a1 = 6 , a4 = 750 ( ตอบ 6 , 30 , 150 , 750 , 3750 )

(7) a1 = 5 , a10 = – 5 ( ตอบ 5 , 5− , 5 , 5 )

3. ถา (a+2) , (a+10) , (a+34) เปนพจนเรยงกนของลาดบเรขาคณต แลวจงหาพจนท n ของลาดบเรขาคณตน

( ตอบ n)3(3

4 )

4. คน 3 คน อาย 10 , 18 และ 30 ป จงหาวาอกกปอายทงสามคนจงจะเรยงเปนลาดบเรขาคณต ( ตอบ 6 ป )

5. พจนท 2 ของลาดบเรขาคณตเทากบ 3 พจนท 5 เทากบ 8

81 จงหาพจนท 10 ( ตอบ a10 = 2

9

2

3⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ )

6. ถา a1 , a2 , a3 , …. , an เปนลาดบเรขาคณต โดยทผลบวกของสามพจนสดทายมคาเปน 10 เทาของผลบวกของ 3 พจน

แรก และ พจนทสามเทากบ 100 จงหาพจนสดทาย ( ตอบ 1,000 )

7. ในการเพาะเชอแบคทเรยครงหนงพบวาทก ๆ 1 นาท เชอแบคทเรยจะเพมขน 25% ของจานวนทมอยในขณะนน ถาเรม

เพาะเชอแบคทเรย 2×103 ลานตว จงหาจานวนแบคทเรยเมอเวลาผานไป 5 นาท ( ตอบ 6.10 × 103 ลานตว )



24

8. จงหาจานวน 3 จานวนทเรยงกนเปนลาดบเรขาคณต โดยมผลบวกและผลคณของทง 3 จานวนเทากบ 26 และ

216 ตามลาดบ ( ตอบ 2 , 6, 18 และ 18 , 6 , 2 )

9. จงหาเลข 3 จานวนในลาดบเรขาคณต ทมผลบวกเปน 38 และ ผลคณของ 3 จานวนเปน 1,728

( ตอบ 8 , 12 , 18 และ 18 ,12 , 8 )

1. กาหนด an+3 +an = 10n คาของ a13 – a1 เทากบคาในขอใด ( ตอบ 1 )

1. 60 2. 50 3. 40 4. 80

2. กาหนด an = sin ( 2n – 1 )2

π เมอเขยนแบบแจกแจงพจนแลวจะมผลบวกของ 4 พจนแรกเปนคาเทาไร ( ตอบ 2 )

1. – 4 2. 0 3. 2 4. 4

3. กาหนด an = an–1 + pn–1 และ a1 = 5 เมอเขยนแบบแจกแจงพจนแลวผลบวกของ 5 พจนแรกจะมคาเทาไร ( ตอบ 4 )

1. 25+p 2. 25 + p +p2 +p3 + p4

3. 25+ p3 4. 25 + 4p +3p2 +2p3 + p4

4. กาหนด an = antilog n ลาดบนในรปแจงพจนตรงกบขอใด ( ตอบ 2 )

1. 1 , 2 , 3 , … , n 2. 10,100,1000,….,10n

3. – 1,– 2,–3 , … , – n 4. log1 , log2 , log3 , … , logn

5. จงหาพจนท 24 จากลาดบทกาหนด – 1 , 4

1,

7

3 ,

2

1 , ….. โดยม a30 =

88

57 ( ตอบ 1 )

1. 14

9 2.

49

24 3.

95

48 4.

113

72

Π การบานชดท 3. ( อยางยาก )



25

6. ถา log 2 , log ( 2x – 1 ) , log( 2x + 3 ) เปนลาดบเลขคณตแลว คาของ x คอขอใด

1. –2 2. 1 3. log25 4. log52

7. ถา log4 , log( 3x–1 ) , log( 3x+7 ) เรยงเปนลาดบเลขคณตแลว x มคาเทาใด ( ตอบ 2 )

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

8. ในการฝากเงนออมของนกเรยนกลมหนงพบวาจานวนเงนฝากของนกเรยนแตละคนเรยงเปนลาดบเลขคณต

ถาคนท 6 ฝากเงนเปนสามเทาของคนท 15 อยากทราบวาคนท 9 จะฝากเงนเปนสามเทาของคนทเทาใด ( ตอบ 2 )

1. คนท 14 2. คนท 16. 3. คนท 18 4. คนท 21

9. กาหนด an และ bn เปนลาดบเลขคณต 2 ชด ทมพจนแรกเทากน แตมคาผลตางรวมแตกตางกน ถาพบวา a5 = b3

จงหาอตราสวนของ a11 : b6 จะเปนเทาใด ( ตอบ 3 )

1. 1 : 2 2. 4 : 1 3. 1 : 1 4. ขอกาหนดไมพอหาคาตอบ

10. ลาดบเลขคณตชดหนง ม n พจน และ พจนสดทายมคาเทากบ θ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ θ+π

cos3

sin2 ถาพจนแรก และ ผลตางรวม

มคาเปน tanθ และ 5

3 ตามลาดบ แลว ลาดบเลขคณตชดนมกพจน ( ตอบ 4 )

1. 10 2. 8 3. 7 4. 6

11. เสากองหนงวางเรยนซอนกนเปนชนๆ พบวาเสาในแตละชนทอยตดกน ชนลางจะมเสามากกวาชนบน 3 ตนเสมอ ถาชนบน

มเสา 61 ตน และชนลางมเสา 379 ตน เสากองนวงเรยงกนทงหมดกชน ( ตอบ 3 )

1. 105 2. 106 3. 107 4. 108

12. ถา a1 , a2 , ... , an เปนพจนในลาดบเลขคณต จงหาคา n1n433221 aa

1....

aa

1

aa

1

aa

1

−++++ เทากบขอใด ( ตอบ 4 )

1. na

n 2.

n1aa

n 3.

na

1n− 4.

n1aa

1n−

2.

13. ถา k , 3k , 6k+2 เรยงกนในลาดบเลขคณต มพจนแรกเปน –7k จงหาวาพจนท 50 มคาเปนเทาใด ( ตอบ 3 )

1. – 148 2. –168 3. –182 4. –198



26

14. ให θ ∈ [ 0,2π ] ถา sinθ , sin2θ , sin3θ เรยงกนเปนลาดบเลขคณตแลว ขอใดคอผลรวมของคา θ ทงหมด ( ตอบ 2 )

1. 3π 2. 5π 3. 6π 4. 7π

15. ในจานวน 121 พจนแรกของลาดบเลขคณต 2 , 7 , 12 , … และ 2 , 5 , 8 , …. จะมพจนทซากนทงหมดกพจน ( ตอบ 1 )

1. 25 2. 26 3. 27 4. 28

16. จงพจารณาขอความตอไปน ก. loga , logax , logax2 , logax3 , … เปนลาดบเลขคณต

ข. ถา a2n–1 = 4n +6 เปนลาดบเลขคณต จะมพจนท n หรอ an = 2n + 6 ขอสรปใดถกตอง ( ตอบ 1. )

1. ขอ ก . ถก ขอ ข. ผด 2. ขอ ก. ผด ขอ ข. ถก 3. ถกทงสองขอ 4. ผดทงสองขอ

17. พจนทเทาไรของลาดบ 8 , 3

22 ,

3

20 , …. จะเรมมคาเปนลบ ( ตอบ 2.)

1. พจนท 13 2. พจนท 14 3. พจนท 15 4. พจนท 16

18. กาหนดลาดบเรขาคณต 147 , –21 , 3 , …. ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 3 )

1. a4 = –7

1 2. a5 =

49

1 3. a6 = –

343

3 4. a7 = –

881

3

19. ถา x–1 , x+1 , 2x+5 เปนสามพจนเรยงกนในลาดบเรขาคณต แลว ผลบวกคาของ x สองคาเทากบจานวนใด ( ตอบ 2 )

1. – 2 2. – 1 3. 1 4. 2

20. นกฟตบอลอาชพคนหนงไดรบเงนเดอนๆละ 160,000 บาท และไดรบการขนเงนเดอนทกๆปๆละ 25% ของเงนเดอน อยาก

ทราบวาเมอเรมปท 5 นกฟตบอลคนนจะไดเงนเดอนๆละเทาไร ( ตอบ 3 )

1. 306,925 บาท 2. 309,625 บาท 3. 390,625 บาท 4. 396,625 บาท

21. นกเศรษศาสตรคนหนง ไดรบคาจางใหบรหารหนวยงานหนงในอตราคาจางเดอนละ 100,000 บาท พรอมขอตกลงทจะมการ

ขนเงนเดอนใหทกป ปละ 10% ของเงนเดอน อยากทราบวาตนปท 6 เขาจะไดรบเงนเดอนประมาณเดอนละเทาไร ( ตอบ3 )

1. ไมเกน 150,000 บาท 2. ไมเกน 160,000 บาท

3. ไมเกน170,000 บาท 4. ไมเกน 170,000 บาท

22. ให a , b , c เปนลาดบเรขาคณตทมผลคณเทากบ 216 และ a+2 , b+8 , c+6 เปนลาดบเลขคณต a+b+c คอขอใด

1. 26 2. 28 3. 30 4. 32



27

23. ถาลาดบ 2 , a , b , c , 162 เปนลาดบเรขาคณต แลวคาของ loga2 + logba + logcb + logab + logbc + logc162

เทากบขอใด

1. 2 2. 4 3. 6 4. 8

24. ให x , y , z เปนลาดบเลขคณต ซงผลบวกทงสามพจนมคาเทากบ 12 ถานา 1 , 4 , 11 ไปบวกกบแตละพจนตามลาดบ และ

ปรากฏผลวา เปนลาดบเรขาคณต คาของ xyz คอขอใด

1. 60 , –60 2. 6 , –16 3. 60 , –420 4. 420 , –60

25. ถาพจนแรกและอตราสวนรวมของลาดบเรขาคณตชดหนงเปน i และ )1i(,i

11 −=+ ตามลาดบ

แลว พจนท 7 ของลาดบน มคาตรงกบขอใด

1. –8 2. 8 3. –8i 4. 8i

26. พจารณาขอความตอไปน ก. ถา log a1 , log a2 , … , log an , … เปนลาดบเลขคณต แลว a1 ,a2 ,…,an ,… เปนลาดบเรขาคณต

ข. ถา a , b , c เปนทงลาดบเลขคณตและลาดบเรขาคณต โดยท a , b , c ตางไมเทากบศนย แลว 3cb3

c2ba3=

−−+

ขอใดตอไปนถกตอง ( สมาคม ฯ 38 )

1. ก. เทานน 2. ก. และ ข. ถกตอง 3. ข. เทานน 4. ผดทง 2 ขอ

27. ถา a , b ,c เปนคาตวกลางเลขคณต ตวกลางเรขาคณต และตวกลางฮารโมนกตามลาดบ ทอยระหวางจานวนจรงบวก 2

จานวนทไมเทากบแลว a , b, c จะมความสมพนธดงขอใด ( ตอบ 4 )

1. a < b < c 2. a < c < b 3. b < a < c 4. c < b < a

28. เลขสองจานวนมคามากกวากนอย 12 ตวกลางเลขคณตพจนเดยวระหวางเลขสองจานวนนมคามากกวาตวกลางเรขาคณต

พจนเดยวระหวางเลขสองจานวนนเชนกนอย 2 จงหาวาเลขสองจานวนนรวมกนแลวมคาเทาไร ( ตอบ 2 )

1. 18 2. 20 3. 22 4. 24

29. ลาดบเรขาคณตชดหนงมผลบวกของ 3 พจนแรกเทากบ 57 และ ผลคณของ 3 พจนแรกนนเทากบ 343

จงหาพจนท 5 ของลาดบชดน ( ตอบ 4 )

1. 49

1 2. 49 ,

49

1 3. 49 ,

2401

1 4. 2401 ,

49

1



28

30. ผลบวก 25 พจนแรกของลาดบเลขคณตเปน 500 ถาพจนท 25 มคาเทากบ 32 จะไดผลบวก 5 พจนแรกมคาเทาไร ( ตอบ 1 )

1. 50 2. 75 3. 100 4. 120

31. ถา x , y , z เปนจานวน 3 จานวนทเรยงกนเปนลาดบเรขาคณต และ x , 2y , 3z เปนพจน 3 พจนทเรยงกนเปนลาดบเลข

คณต ดงนนอตราสวนรวมของลาดบเรขาคณตชดนนเทาทเปนไปไดจะมคาอยในชวงขอใด ( ตอบ 4 )

1. ( –0.5,0.5 ) 2. ( 0,1 ) 3. ( 0.3,1 ) 4. ( 0.2,1.5 )

32. กาหนด 2 , a , b , 9 ( เมอ a , b เปนจานวนเตม ) โดยท 3 พจนแรกจะเปนลาดบเลขคณต และ ใน 3 พจนหลงเปน

ลาดบเรขาคณต จงหาคา a + b ( ตอบ 3 )

1. 6 2. 8 3. 10 4. 12

Ex1. จงเขยนแทนสญลกษณตอไปนใหอยในรปการบวก

(1) ∑=

6

1

4i

= …………………………………………………………………………………………………..

(2) ∑=

5

0ii = …………………………………………………………………………………………………..

(3) ∑=

4

1

4i

i = …………………………………………………………………………………………………..

(4) ∑=

5

1

2

ii = …………………………………………………………………………………………………..

สญลกษณแทนการบวก ,∑ ( Sigma , Summation )



29

(5) ∑=

+5

1

)23(i

i = …………………………………………………………………………………………………..

(6) ∑=

−3

1

)12(i

ii = …………………………………………………………………………………………………..

(7) ∑=

+−3

1

)1)(12(i

ii = …………………………………………………………………………………………………..

(8) ∑=

−4

1 5

2

i

i = …………………………………………………………………………………………………..

(9) ∑=

2

0

3i

i = …………………………………………………………………………………………………..

(10) ii

i ⋅−∑=

+5

2

1)1( = ………………………………………………………………………………………

Ex2. จงเขยนผลบวกของจานวนในแตละขอโดยใชเครองหมาย ∑

(1) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 (2) 2x1 + 2x2 + 2x3+…..+2x10

(3) (x12– y1 )+( x2

2– y2)+ (x32– y3)+ … +( x8

2– y8 ) (4) 2x + 4x2 + 6x3 + 8x4 + 10x5

สมบตของ ∑ ( กาหนดให C เปนคาคงตว )

(1) NccN

1i=∑

=

………………………………………………………………………………

ตวอยางเชน

(2) ∑∑==

=N

1ii

N

1ii xkkx ……………………………………………………………………………….




30

(3) ∑∑∑===

±=±N

1ii

N

1ii

N

1iii yxyx )( ………………………………………………………………………………

ตวอยางเชน Ex1. จงทาใหเปนรปอยางงาย

(1) ∑=

+6

1ii )5x2( (2) ∑

=−

4

1i

2i )1x3(

(3) ∑=

−5

1ii )x43( (4) ∑

=−+

3

1iii )x54)(1x2(

Ex2. กาหนด x1 = 2 , x2 = –1 , x3 = 3 , x4 = 4

y1 = – 3 , y2 = 0 , y3 = 1 , y4 = –2

จงหาคาของ

(1) ∑=

4

1iix (2) ∑

=

4

1iiy

(3) ∑=

4

1iiiyx (4) ∑

=−

4

1iii )2y(x

(5) )1y()1x2( i

4

1ii −+∑

=



31

Ex3. กาหนด 40x8

1ii =∑

= และ 240x

8

1i

2i =∑

= จงหาคาของ

(1) ∑=

−8

1ii )2x3(

(2) ∑=

+8

1ii )1x(

(3) ∑=

+−8

1iii )3x)(1x2(

Ex4. กาหนด 20)yx2( i

6

1ii =−∑

= และ 360)y3x( i

6

1ii =+∑

= จงหาคาของ )y3x2( i

6

1ii +∑

=



32

สตร Σ ทตองจา

สญลกษณ ความหมาย รปยอ สตร

∑=

n

ii

1

1 + 2 + 3 + … + n ∑n 2

)1( +nn



∑=

n

ii

1

2 12+ 22+32+…+n2 2∑n 6

)12)(1( ++ nnn



∑=

n

ii

1

3 13+ 23+33+…+n3 ∑ 3n 22 ]

2

)1([][

+=∑ nnn




33

Ex1. จงหาคาของ∑=

−20

1i)4i3(

Ex2. จงหาคาของ ∑=

−+5

1i

2 )1ii(

Ex3. จงหาคาของ∑=

+6

1i

2)2i(

Ex4. จงพสจนวา ∑=

−n

ii

1

2)12( = 3

)14( 2 −nn



34

Ex5. ถา ∑=

+7

1i)2Ai( = 7A แลว A มคาเทากบขอใด


−−10

5

2 )12(i

ii

Ex7. จงหาคาของ ∑−=

+15

2

2)2(k

k

Ex8. ถา ∑=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

14

0n 2

na = 30 แลว a มคาเทาใด



35


−−5

1ii)i32)(1i(

Ex10. ∑=

−+50

1k

k ])1(1[ k มคาเทากบขอใดตอไปน (O – NET ’49 2 คะแนน ) ( ตอบ 1 )

1. 1300 2. 1350 3. 1400 4. 1450

Ex11. ถา ∑=

−=10

1ii 8x , ∑

==

10

1ii 4y และ ∑

==+−

10

1iii 76)2y)(x5( แลว ∑

=

10

1iiiyx มคาเทากบขอใดตอไปน

( Ent’43 ต.ค 3 คะแนน ) ตอบ 4

1. –60 2. –30 3. 30 4. 60



36

(1) อนกรมทเกดจากการ Take ∑ Ex1. จงหาผลบวก n พจน ของอนกรม 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ….. Ex2. จงหาผลบวก n พจน ของอนกรม 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + …..

Ex3. จงหาผลบวก n พจน ของอนกรม 1⋅3 + 2⋅5 + 3⋅7 + 4⋅9 + …..

Ex4. จงหาผลบวก 10 พจน ของอนกรม 3⋅1 + 5⋅4 + 7⋅9 + 9⋅16 + ……

อนกรม ( Series ) คอ ผลบวกสมาชกทกตวในลาดบ กลาวคอ

ถา a1 , a2 , a3 , a4 , …..an เปนลาดบจากด แลว a1 + a2 + a3 + a4 + ….+an เปนอนกรมจากด

ถา a1 , a2 , a3 , a4 , ….. เปนลาดบอนนตร แลว a1 + a2 + a3 + a4 + …. เปนอนกรมอนนต

( หมายเหต ตามหลกสตรกระทรวงฯ ลาดบอนนต และ อนกรมอนนต จะเรยนตอนม.6 เทอม 2. ( เพมเตม )



37

Ex5. จงหาผลบวก 8 พจน ของอนกรม 12 + 32 + 52 + …

Ex6. จงหาผลบวก 6 พจน ของอนกรม 12 + ( 12 + 22 ) + ( 12 +22 +32 ) + …

Ex7. จงหา an เมอกาหนดอนกรม ม Sn = 2n2 + 3n

Ex8. อนกรมชดหนงม Sn = 4n3 + 5n2 จงหาผลบวกของอนกรมนตงแตพจนท 6 ถงพจนท 10

Ex9. ถาผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมหนง คอ Sn = 3n2 + 2 แลว พจนท 10 ของอนกรมนมคาเทากบขอใดตอไปน

( O–NET ’49 2 คะแนน ) ( ตอบ 1 )

1. 57 2. 82 3. 117 4. 302



38

(2) อนกรมแยกเศษสวนยอย ( Partial Fraction )

Ex1. จงหาผลบวก n พจน ของอนกรม 53

1

⋅+

75

1

⋅+

97

1

⋅+ …..


1

⋅+

32

1

⋅+

43

1

⋅+ …..


1

⋅⋅+

432

1

⋅⋅+…..


1

⋅⋅+

543

1

⋅⋅+…..

Ex5. จงหา Sn , S20 ของอนกรม ∑= ++

n

k kk1 1

1



39

1. จงหาผลบวกในแตละขอตอไปน

(1) ∑=−

n

ii

1

)( = …………………………………………………………………….. ( ตอบ )1(2

+− nn )

(2) ∑=

8

1

5i

i = …………………………………………………………………….. ( ตอบ 180 )

(3) ∑=

+n

ii

1

)2( = …………………………………………………………………….. ( ตอบ 2

52 nn + )

(4) ∑=

−20

1

)12(i

i = ………………………………………………………………………. ( ตอบ 400 )

(5) ∑=

n

ii

1

22 = ………………………………………………………………… ( ตอบ 3

)12)(1( ++ nnn )




40

(6) ∑=

+−10

1

)1)(1(i

ii = …………………………………………………………………….. ( ตอบ 375 )

(7) ∑=

+5

3

2 )2(i

ii = ……………………………………………………………………. ( ตอบ 74 )

(8) ∑=

−19

5

2 )32(i

i = ……………………………………………………………………… ( ตอบ 4,835 )

(9) ∑=

+−20

12

2 )1)(1(i

ii = ……………………………………………………………………… ( ตอบ 37,515 )

2. จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมทกาหนด an ดงขอตอไปน

(1) an = 2n2 + 3n ( ตอบ 6

)114)(1( ++ nnn )

(2) an = (n – 1)2 ( ตอบ 6

n(2n2 – 3n +1 ) )

3. จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรม

(1) 12 + 32 + 52 + 72 + ... ( ตอบ 14(3

2 −nn) )

(2) 1 + (1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+... ( ตอบ 6

)2)(1( ++ nnn )



41

(3) 1⋅2⋅4 + 2⋅3⋅5 + ⋅3⋅4⋅6 +… ( ตอบ12

n(n+1)(n+2)(3n+13) )

(4) 1(32–22) + 2(42–32) + 3(52–42) + ... ( ตอบ 6

n(n+1)(4n+11) )

4. จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรม

(1) 95

1

⋅+

139

1

⋅+

1713

1

⋅ ( ตอบ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+−

54

1

5

1

4

1

n )

(2) 975

1

⋅⋅+

1197

1

⋅⋅+

13119

1

⋅⋅+ ... ( ตอบ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

++−

⋅ )72)(52(

1

75

1

4

1

nn )

(3) 5432

1

⋅⋅⋅+

6543

1

⋅⋅⋅+

7654

1

⋅⋅⋅+ ... ( ตอบ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+++−

⋅⋅ )4)(3)(2(

1

432

1

3

1

nnn )

(4) 1074

3

⋅⋅+

13107

3

⋅⋅+

161310

3

⋅⋅+ ... ( ตอบ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

++−

⋅⋅

)73)(43(

1

74

1

6

13

nn )

(5) 15

1

++

59

1

++

913

1

++...+

3414

1

−++ nn ( ตอบ [ ]114

4

1−+n )

(6) 1+21

1

++

321

1

+++

4321

1

++++ ... +

n++++ ...321

1 ( ตอบ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+−

1

112

n )

5. อนกรมหนงมพจนท n เปน An+B2n ( A , B ∈ I+ ) ถาพจนท 1 เปน 5 พจนท 2 เปน 18 จงหาผลบวก 5 พจนแรก

ของอนกรมชดน ( ตอบ 1,379 )

(3) อนกรมเลขคณต ( จากด ) Ex1. จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต ทกาหนดคาตาง ๆ ใหดงน

(1) a1 = 40 , d = –3 , n = 30 (2) a1 = 5 , d = 0.1 , n = 40



42

(3) a1 = – 9 , a10 = 15 , n = 10 (4) a1 = 3

7, d = –

3

2, n = 10

Ex2. จงหาคาสองคาทขาดไปจากคาหาคา คอ an , a1 , n , d และ Sn ในแตละขอตอไปน

(1) a1 = – 6 , d = 3 , n = 7

(2) a1 = 18 , n = 6 , an = – 2

(3) d = –3 , an = – 7 , Sn = 3

(4) an = –30 , d = – 4 , Sn = 0



43

Ex3. จงหาผลบวก 15 พจนแรกของอนกรมเลขคณต 10 + 7 + 4 + …

Ex4. ใหลาดบเลขคณตลาดบหนง มผลตางรวมเทากบ 4 และพจนท 13 คอ 31 จงหาผลบวก 13 พจนแรก

Ex5. ถาผลบวก 40 พจนแรก และ 60 พจนแรกของอนกรมเลขคณตชดหนง มคาเทากบ 430 และ 945 ตามลาดบ

จงหาผลบวก 80 พจนแรกของอนกรม ( ตอบ 1,660 )

Ex6. เดกชายคนหนงขจกรยานลงมาจากยอดเขา เขาขไดระยะทาง 4 ฟตในวนาทแรก และทก ๆ วนาทถดไป เขาจะขได

ระยะทางมากขนอกวนาทละ 5 ฟต จากระยะทางทขไดในวนาทกอนหนานนเสมอถาเดกชายคนนใชเวลา 11 วนาท

จงขจกรยานถงตนเขา จงหาระยะทางทเขาขจกรยานทงหมด ( ตอบ 319 ฟต )

Ex7. นองแพรนงเรยงลกหนเปนแถวๆ เพอประกอบรปสามเหลยม โดยจดลกหนในแถวบนใหนอยกวา ลกหนในแถวลางทอย

ตดกน 1 ลกเสมอ ถาแถวบนสดมลกหน 1 ลก ถานองแพรมลกหน 190 ลก ถามวา ลกหนใน แถวลางสดของ

รปสามเหลยมมกลก



44

Ex8. P’1 และ แฟนสาว บานอยหางกน 255 ก.ม. ทงสองตงใจจะเดนทางมาพบกน โดยตงตนเดนทางพรอมๆเมอวนท

1 กมภาพนธ P’1 เดนทางวนแรก 1 กม. วนทสอง 3 กม. วนทสาม 5 กม. เชนนเรอยๆไป สวน แฟนสาว

เดนทางวนแรก 20 กม. วนทสอง 19 กม. วนทสาม 18 กม. เชนนเรอยๆ ถามวาทงสองคนจะไดพบกนกอน

วนวาเลนไทนหรอไม

Ex9. ผลบวกของจานวนทหารดวย 9 ไมลงตวตงแต 100 ถง 500 มคาเทาใด

Ex10. ถา S = { 200 , 201 , 202 , … , 400 } แลว ผลบวกทงหมดของจานวนในเซต S ทหารดวย 8 ลงตว

แตหารดวย 12 ไมลงตวเทากบเทาไร

Ex11. กาหนดให S = { 101, 102, 103, …, 999 }

ถา a เทากบ ผลบวกจานวนคทงหมดใน S

และ b เทากบ ผลบวกของจานวนคทงหมดใน S

แลว b – a มคาเทากบขอใดตอไปน ( O–NET ’50 3 คะแนน ) ( ตอบ 1 )

1. – 550 2. – 500 3. – 450 4. 450



45

Ex12. นายแดงนาเงนไปฝากธนาคารออมสนโดยฝากเดอนแรก 100 บาท เดอนตอไปฝากเพมขนเดอนละ 5 บาท

ทกเดอน เมอครบ 2 ป นายแดงนาเงนไปฝากทงหมดเทาใด ( Ent’48 ม.ค. ตอบ 3780 )

1. จงหาผลบวกของจานวนเตมคบวก 100 จานวนแรก ( ตอบ 10,100 )

2. จงหาผลบวกของจานวนเตมทอยระหวาง 32 และ 395 เมอจานวนเตมแตละจานวนดงกลาว

(1) หารดวย 6 ลงตว ( ตอบ 12,780 )

(2) หารดวย 6 ไมลงตว ( ตอบ 64,507 )

3. อนกรมเลขคณตอนกรมหนงมพจนทสบเปน 20 และพจนทหาเปน 10

จงหาผลบวกตงแตพจนท 8 ถง 15 ของอนกรมน ( ตอบ 184 )




46

4. จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรม x+1

1,

x−1

1,

x−1

1, ..... ( ตอบ [ ]xn

xn

)3(2)1(2

−+−

)

5. จงหาผลบวก 20 พจนแรกของอนกรมเลขคณตทม 3 พจนแรกเปน sinθ , 2cosθ และ 2sinθ ( ตอบ 92 )

6. ตอนทนงในสนามกฬาแหงหนงมแถวทนงทงหมด 20 แถว ใน 10 แถวแรกไดจดทนงโดยใหม 30 ทนงในแถวแรก 32 ทนงใน

แถวทสอง 34 ทนงในแถวทสาม เปนดงนเรอย ๆ ไปจนถงแถวท 10 สวนอกแถวทเหลอจดใหมทนงแถวละ 50 ทนง

จงหาจานวนทนงทงหมดในตอนทนงของสนามกฬา ( ตอบ 910 นง )

7. กองไมซงกองหนงมซง 24 ทอนในชนแรก 23 ทอนในชนทสอง 22 ทอนในชนทสามเปนดงนเรอย ๆ ไป ถาชนสดทายมซง 10

ทอน จงหาวากองไมนมซงทงหมดกทอน ( ตอบ 255 ทอน )

8. จงเขยนลาดบเลขคณตทมผลบวก 10 พจนแรกเปน 465 และ 9 เทาของผลบวก 3 พจนแรกเปน 4 เทาของผลบวก 6

พจนแรก ( ตอบ 33 , 36 , 39 , … )



47

9. จงหาจานวนพจนของอนกรม 1+5+9+13+... โดยเมอผลบวกเรยงกนตงแตพจนแรกไปแลวมคาเทากบ 190

( ตอบ 10 พจน )

(4) อนกรมเรขาคณต ( จากด ) Ex1. จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ทกาหนดคาตาง ๆ ใหดงน

(1) a1 = 2 , r = 3

1 , an =

243

2

(2) a1 = 3 , r = 2

1 , an =

1024

3

(3) a1 = – 6 , r = 2

3− , an =

8

243−

Ex2. จงหาคาทขาดไปจากคาหาคา คอ Sn , n , a1 , r และ an ในแตละขอตอไปน

(1) n = 4 , r = 3 , an = 3



48

(2) Sn = 242 , a1 = 2 , r = 3

(3) Sn = 781 , n = 5 , r = 5

1

(4) an = 12 , Sn = 9 , n = 3

Ex3. จงหาคาของ

(1) ∑=

10

1

3k

k

(2) ∑=

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

9

0

1

2

1

k

k



49

Ex4. จงหาผลบวก 10 พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ...33331 ++++

Ex5. จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรม 9 + 99 + 999 + 9999 + …

Ex6. จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรม 0.9 + 0.99 + 0.999 + 0.9999 + …

Ex7. ศรธนนชยทาความดความชอบ ทานเจาเมองจงบอกวา “ เจาอยากไดรางวลอะไร ลองบอกขามาส ” ศรธนนชยจงบอกวา

”ขาเปนคนมกนอยขอแค ขาวสาร 1 เมด กพอ” ทานเจาเมองหวเราะกอนพดวา “ ขาเปนถงเขาเมองทาไมเจาจงขอรางวล

ขาเพยงเทานละ” ศรธนนชยจงพดตอวา “ ขามไดขาวสารเพยง 1 เมดเทานน แตทกวนขาจะขอขาวสารเพมขนเทาตว เปน

เวลา 1 เดอน ทานเจาเมองจะวาอยางไรบาง“ “ เอาสเรองแคนขาใหเจาไดอยแลว” เจาเมองพดปดทาย ถามวาพอครบ

เดอน ศรธนนชย จะไดขาวสารทงสนเทาไร ( กาหนด 210 = 1,024 )

Ex8. ถา a เปนจานวนจรงลบ และ a20+2a – 3 = 0 แลว 1 +a +a 2 + …. + a19 มคาเทากบขอใดตอไปน

( O – NET ’49 3 คะแนน ) ( ตอบ 1 )

1. – 2 2. – 3 3. – 4 4. – 5



50

Ex9. กาหนดให n เปนจานวนเตมบวกททาใหผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต 7+15+23+….. มคาเทากบ 217

8

n21nn

2

2....22 +++ + มคาเทากบขอใดตอไปน ( Ent’44 ม.ค. 3 คะแนน ) ตอบ 3

1. 123.5 2. 125.5 3. 127.5 4. 129.5

Ex10. กาหนดให ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

−

−

2n

2nn

a2

2a

1

a

8,6,4n;

7,5,3n;

2,1n;

===

∑=

101

1iia มคาเทากบขอใดตอไปน ( Ent’39 2 คะแนน ) ตอบ 2

1. 12)51)(50( 50 −+ 2. 12)51( 502 −+ 3. 12)51)(50( 49 −+ 4. 12)51( 492 −+

1. ขอใดตอไปนไมถกตอง ( ตอบ 4 )

1. ผลบวก 17 พจนแรกของอนกรม 3+8+13+ … เทากบ 731

2. ผลบวก 25 พจนแรกของอนกรม 12+9+6+ … เทากบ –600

3. ผลบวก 8 พจนแรกของอนกรม 39+33+27+ … เทากบ 144

4. ผลบวก 17 พจนแรกของอนกรม 2 – 4 + 8 –16 + …. เทากบ – 682

2. จานวนเตมบวกทอยระหวาง 100 และ 500 ท 9 หารลงตว และม 6 เปนตวประกอบ มผลบวกเปนเทาไร ( ตอบ 2 )

1. 5,346 2. 6,534 3. 10,692 4. 13,068

3. อนกรมเลขคณตอนกรมหนงมพจนท n เปน 2n – 5 ผลบวก 15 พจนแรกของอนกรมนเปนเทาไร ( ตอบ 1 )

1. 165 2. 170 3. 175 4. 185

4. ผลบวก 8 พจนแรกของอนกรม 120 + 60 +30 + … เทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 4 )

1. 256

255 2.

16

255 3.

256

3825 4.

16

3825




51

5. ถา ak = 61k

2

1 −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ เปนพจนท k ของลาดบเรขาคณต แลว ผลบวก 100 พจนแรกของอนกรมนเปนเทาไร ( ตอบ 1 )

1. 12 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − 1002

11 2. 12 ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

200

11 3. 6 ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ − 1002

11 4. 6 ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

200

11

6. ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณตซงมพจนทสามเปน –24 และพจนทหกเทากบ 3 เทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 3 )

1. –16 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−

n

2

11 2. –32 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−

n

2

11 3. –64 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−

n

2

11 4. –128 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−

n

2

11

7. ผลบวก n พจนแรกของอนกรม x1

1

x1

1

x1

1

−+

−+

++…. เทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 1 )

1. )x1(2

]x)3n(2[n

−−+

2. )x1(2

)x2(n2−

+ 3.

x1

xn

−−

4. x1

n

−

8. ผลบวก n ของอนกรม 1⋅1 + 2⋅3 +3⋅9 +4⋅27 + …. เทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 4 )

1. 2

1(2n – 1)⋅3n+1 2.

4

1(2n – 1)⋅3n+1 3.

2

13)1n2( n +⋅− 4.

4

13)1n2( n +⋅−

9. ถาผลบวกของอนกรมเลขคณตตงแตพจนท 1. ถงพจนท 11. มคาเทากบ 77 และผลบวกของกาลงสองของพจนท 4 , 5 , 6 , 7

และ 8 มคาเทากบ 285 แลวขอใดตอไปนไมมสวนถกตองเลย ( ตอบ 4 )

1. ผลบวกของ 3 พจนแรก คอ –3 2. มพจนท 10 คอ – 1

3. ผลตางรวมคอ – 2 หรอ 2 4. พจนแรกของอนกรมคอ 3

10. ผลบวก 20 พจนแรกของอนกรมตอไปนคอขอใด 1+(1+2

1)+(1+

2

1+

4

1)+(1+

2

1+

4

1+

8

1)+…

1. 38 + 192

1 2. 40+ 192

1 3. 38+ 202

1 4. 20+ 202

1

11. จงหาผลบวกของจานวนคหรอจานวนทหารดวย 5 ลงตว ซงอยระหวาง 900 และ 1,000 ( ตอบ 3 )

1. 18,350 2. 46,550 3. 56,050 4. 64,900

12. จากลาดบ – 20 , –19 , –18 , –17 , ……. ถาตองการผลบวกของ 40 พจนทตอเนองกนใหไดเทากบ 580 ควรเรมตนการ

บวกจากพจนทมคาเทาไร ( ตอบ 1 )

1. – 5 2. – 16 3. – 9 4. 4



52

13. จงหาผลบวกของอนกรม 12 + 32 +52 +72 + … + ( 2n – 1 )2 + … ตงแตพจนแรกถงพจนท 50 ( ตอบ 2 )

1. 165,600 2. 166,650 3. 499,800 4. 499,950

14. ถาผลบวก n พจนแรกของอนกรมชดหนง คอ 3n2+2n – 1 จงหาพจนท 30 ของอนกรมชดน ( ตอบ 2 )

1. 180 2. 179 3. 170 4. 169

15. จงหาผลบวก 1615

1....

43

1

32

1

21

1

+++

++

++

+ ( ตอบ 1. )

1. 3 2. – 3 3. 5 4. 15 – 1

16. ผลบวก 10 พจนแรกของอนกรม 3 + 12 + 27 + 48 + …. คอขอใด ( ตอบ 1 )

1. 1,155 2. 1,089 3. 1,506 4. 2,001

17. นายธนานาเงนไปฝากธนาคารเปนเงน 1,000,000 บาท และไดรบดอกเบยรอยละ 8 ตอป อยากทรายวาถาครบกาหนด 5 ป

นายธนาไปถอนเงนคนทงหมดจะไดเงนทงสนเทาไร ( ตอบ 3 )

1. 1,000,000× ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

5

7 2. 1,000,000× ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ×

100

85 3. 1,000,000×

5

100

108⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ 4. ไมมขอใดถกตอง

18. นายประสงคซอโทรทศนสจากบรษทแหงหนง โดยตกลงกนในราคา 18,000 บาท และตองมเงนดาวน 30% ของราคาทตกลงกน

ทเหลอผอนชาระทกสนเดอน โดยเดอนแรกจาย 100 บาท สวนเดอนตอๆไปจะตองเพมขนทกเดอนๆละ 50 บาท อยากทราบวา

นายประสงคจะตองใชเวลาผอนสงอยกเดอนจงจะหมดหน ( แบบกนเองไมคดดอกเบย ) ( ตอบ 21 เดอน )

19. อนกรมเรขาคณตชดหนงมพจนแรกเทากบ 160 อตราสวนรวม 2

3 อนกรมนมกพจน จงจะทาให Sn = 2,110 ( ตอบ 5 พจน )



53

1. ลาดบชดหนงม an = 1+ nn

2

)1(− ขอใดกลาวเกยวกบลาดบนไมถกตอง ( ตอบ 4 )

1. a2 = 4

5 2. a3 =

8

7 3. a4 =

16

17 4. a5 =

32

33

2. ลาดบใดเปนลาดบเลขคณต ( ตอบ 3 )

1. 1 , 3 , 4 , 7 , 11 2. 4 , 8 , 16 , 32 , 64

3. 3b+2 , 4b+5 , 5b+8 4. 12 , 8 , 5 , 3 , 0

3. ลาดบเลขคณตในขอใดมผลตางรวมตางจากขออน ( ตอบ 3 )

1. 4 , 8 , 12 , 16 , 20 2. 5 , 9 , 13 , 17 , 21

3. 21 , 17 , 13 , 9 , 5 4. 10 , 14 , 18 , 22 , 26

4. คา x ททาใหลาดบ x , 5x , 6x+9 เปนสามพจนเรยงกนในลาดบเลขคณตเทากบเทาใด ( ตอบ 2 )

1. 4 2. 3 3. 2 4. 1

5. ลาดบเลขคณตทมพจนท 4 เปน 28 พจนท 8 เปน 48 ดงนน พจนท 20 เปนเทาใด ( ตอบ 2 )

1. 113 2. 108 3. 95 4. 82

6. ถา 20 , 17 , 14 , ... , –151 เปนลาดบเลขคณต แลวลาดบชดนมกพจน ( ตอบ 1 )

1. 58 2. 56 3. 53 4. 51

7. 54 , –18 , 6 เปนสามพจนของลาดบเรขาคณตทอยระหวางจานวนสองจานวนในขอใด ( ตอบ 1 )

1. –162 และ –2 2. 162 และ 2 3. –162 และ 2 4. 162 และ –2

8. มจานวนเตมทอยระหวาง 9 กบ 100 ทหารดวย 3 ลงตวกจานวน ( ตอบ 4 )

1. 36 2. 34 3. 32 4. 30

9. อตราสวนรวมของลาดบเรขาคณตในขอใดเปนจานวนเตมบวก ( ตอบ 3 )

1. 2 , –4 , 8 , –16 , 32 2. 200 , 100 , 50 , 25

3. 1.3 , 3.9 , 11.7, 35.1 4. มขอถกมากกวา 1 ขอ

Π แบบฝกหดทายบท ( ชดท 1. )



54

10. ถา x–1 , x+1 , 2x+5 เรยงกนเปนลาดบเรขาคณต แลว x มคาเทากบเทาใด ( ตอบ 2 )

1. –3 , –2 2. –3 , 2 3. 3 , 2 4. –2 , 3

11. พจนท 23 ของลาดบ 5 , 15 , 45 , ... เปนเทาไร ( ตอบ 4 )

1. 5×320 2. 5×323 3. 5×611 4. 5×911

12. ถาพจนแรกของลาดบเรขาคณตเปน 3 และ พจนท 7 เปน 192 แลว พจนท 11 ของลาดบชดนเทากบเทาใด ( ตอบ 3 )

1. 5,120 2. 4,096 3. 3,072 4. 2,048

13. 10 + 11 + 12 + … + 60 มคาตรงกบขอใด ( ตอบ 1 )

1. 1,785 2. 1,587 3. 1,578 4. 1, 495

14. อนกรม 12 + 9 + 6 + ... กพจนจงจะทาใหผลบวกของอนกรมนเทากบ –945 ( ตอบ 3 )

1. 20 2. 25 3. 30 4. 35

15. ∑=

10

3

3

kk เทากบเทาใด ( ตอบ 1 )

1. 3,016 2. 3,025 3. 3,084 4. 3,096

16. ถาพจนแรก และ พจนท 3 ของอนกรมเลขคณตเทากบ 2 และ 38 ตามลาดบ แลวผลบวก 15 พจนแรกของอนกรมน

เปนเทาใด ( ตอบ 2 )

1. 335 2. 345 3. 355 4. 365

17. อนกรมชดหนง Sn = n2 + 1 แลว พจนท 7 ของอนกรมนตรงกบขอใด ( ตอบ 3 )

1. 5 2. 8 3. 13 4. 17

18. ผลบวก 8 พจนแรกของอนกรมเรขาคณต 120 + 60 + 30 + ... เทากบเทาใด ( ตอบ 4 )

1. 256

255 2.

16

255 3.

256

3825 4.

16

3825

19. ถาพจนท n ของอนกรมเปน 2n แลว ผลบวก 10 พจนแรกของอนกรมน เทากบเทาใด ( ตอบ 3 )

1. 1,022 2. 1,023 3. 2,046 4. 3,069



55

20. ถาพจนท n ของอนกรมขดหนง คอ 2n – 5 แลว ผลบวก 15 พจนแรกของอนกรมนเทากบเทาใด ( ตอบ 1 )

1. 165 2. 175 3. 185 4. 195

1. กาหนด an = (1 –n)n+1 ขอใดกลาวถกตอง ( ตอบ 2 )

1. a2 > 0 2. a3 เปนจานวนค 3. a6 > a7 4. มขอถกมากกวา 1 ขอ

2. พจนท 3 และ พจนท 4 ของลาดบเรขาคณต คอ 9 และ 27 ตามลาดบ ถา 30<an<100 แลว n มคาเทาไร ( ตอบ 1 )

1. 4 2. 5 3. 6 4. 7

3. ∑=

−20

1

)1(n

nn มคาเทาใด ( ตอบ 3 )

1. 2,400 2. 2,540 3. 2,660 4. 2,780

4. พจนท 100 ของอนกรม 1+(1+2)+(1+2+3)+ ... ตรงกบขอใด ( ตอบ 4 )

1. 2,015 2. 3,506 3. 4,506 4. 5,050

5. ผลบวก 8 พจนแรก ของอนกรมเลขคณตหนงเทากบ 124 ถาพจน 5 ของอนกรมน คอ 17 พจนท 1 ของอนกรมนตรง

กบขอใด ( ตอบ 2 )

1. 3 2. 5 3. 7 4. 9

6. ผลบวกสามพจนแรกของอนกรมเรขาคณตอนกรมหนง เทากบ 14 ถาพจนแรกของอนกรมน คอ 8 ผลบวก 9 พจนแรกของ

อนกรมนเปนเทาใด ( ตอบ 2)

1. 32

510 2.

32

511 3.

64

511 4.

64

513

7. จงหาพจนทวไปของลาดบ 6

1,

15

1,

28

1,

45

1, ... ( ตอบ

)12)(1(

1

++ nn )

8. จงหาจานวนตวกลางเลขคณตระหวาง –4 กบ 98 ททาใหลาดบนมผลตางรวมเปน 2 ( ตอบ 50 พจน )

Π แบบฝกหดทายบท ( ชดท 2. )



56

9. จงหาพจนท 70 ของลาดบเรขาคณต x+2 , 2x – 5 , 2x – 2 , … ( ตอบ 499 )

10. จงหาจานวนเตมทอยระหวาง – 201 กบ 93 ทหารดวย 5 ลงตวมกจานวน ( ตอบ 59 )

11. กาหนด an = 2n – 3 จงหาคา x ททาให a1+x , a2+x , a3+x เปนลาดบเรขาคณต ( ตอบ 3 )

12. กาหนดใหพจนทวไปของลาดบเรขาคณต คอ an = rn+1 ถา r ∈ I+ และ 1<a1<7 จงหา a20 ( ตอบ 221 )

13. จงหาคาของ 1 + 8 + 27 + ... + 12,167 ( ตอบ 76,176 )

14. จงหาคาของ 1 + (1 + 2)+(1 + 2 + 3) + ... +(1+2+3+...+ 100) ( ตอบ 171,700 )

15. พจนทวไปของอนกรมหนงเปน 5n –1 จงหาผลบวก 20 พจนแรกของอนกรมน ( ตอบ 1,030 )

16. เรอเพชรพญาธรออกจากทาเรอเมองซวเถา โดยวนแรกแลนได 80 กโลมตร วนทสองแลนได 85 กโลเมตร และจะเพม

ระยะทางในวนรงขน 5 กโลเมตร เสมอ ถาเรอเพชรพญาธรใชเวลาแลนจากทาเรอเมองซวเถามาถงทาเรอตลองเตยใชเวลา

30 วนพอด จงหาระยะทางทาเรอคลองเตยกบทาเรอเมองซวเถา ( ตอบ 4,575 )

17. จงหาจานวนพจนของอนกรมททาให 4 + 8 + 16 + 32 + ... = 1,020 ( ตอบ 8 )

18. กาหนด an = n + n2

1 จงหา S15 ( ตอบ 121 – 152

1 )



57

แนะนะพ Tutor

1. ในหลกสตรจะไมมลาดบฮารโมนกนะ แตบางโรงเรยนอาจสอน แตถาเปนขอสอบ admission จะอยในสวนของ

O – NET จะไมมลาดบฮารโมนกชวร

2. จะไมมเนอหาเกยวกบลมตทเกยวกบลาดบอนนต และ อนกรมอนนต ( ไดเวอรเจนต และ คอนเวอรเจนต ) เพราะเนอหาในสวน

นนจะอย ม.6 เทอม 2. เนอหาเพมเตม ( ออก A – NET ) แตบางโรงเรยนจะสอนตอเนองกน ( ซงกนาจะดกวา ) เชน เตรยม

อดม พญาไท , กรงเทพครสเตยน ดงนนเวลาสอนใหตรวจสอบหลกสตรของนกเรยนใหดๆ จะไดไมสอนเกนหลกสตร เพราะจะ

เสยเวลา และเนอหาคอนขางยากกวากนเยอะ อาจทาใหนกเรยนกาลงใจตกได

3. ตามหลกสตร ป 2544 ถาสอนนอง ม.5 เรองนจะถกเรยงมากอนเรอง ฟงกชนเอกโพเนนเชยล และ ลอกการธม ดงนนตองด

โจทยใหด เพราะมโจทยจานวนมากทเกยวของกน

4. แตถาสอนนอง ม.6 ทเตรยมตว O – NET จะผสมกบฟงกชนเอกโพเนนเชยล แตไมมลอกการธม

keym88.files.wordpress.com€¦ · บทที่ 1. ลําดับ และ...

Documents