LA AXIOMATICA Y LAS APLICACIONES DE LA

MATEMATICA

por

EMILIO BOREL (*l

E s, si no me eq uivoco, el i lustre fi losofo ingl es Bertrand

Russel el que dio de 10 MatemOtica 10 definicion algo humoristica si-

guiente : "es Ia uni co ciencia en que nunca se sabe de 10 que se ha-

bla, y en que siempre se ignora si 10 que se dice es cierto". Esto quie-

re decir que se parte de axiomas y de definiciones arbitrarias y que 10verdad de las conclusiones depende de las convenciones aceptadas

respecto a esos axiomas y a esas definiciones. Las definiciones geo-

metri co s pueden ser las de 10 geometria Euclideana, 0 de 10 geometria

de Lobatchevsky; se do cs i distinto sentido a las palabras: recta, pl o-

no, c irculo , etc., y se lIega a verdades diferentes.

EI afori smo de Ru ssel puede, como sucede, a menudo in verti r-

se; pues es igualmente l ici to decir que" 10 Mcternctico e s 10 unica

ciencia en que siempre se sabe muy exactamente de que sehabla, pues-

to que se parte de definiciones precisas, y en que se esto siempre se-

guro de 10 verdad de las conclusiones", pues se subentiende que esta

verdad simplemente verifica el acuerdo logico con los axiomas y las

definiciones que constituyen el punta de partida de 10 Ciencia Matema-

tica 0 de una de sus ramas: 10 oritmetico, el cndl i si s, 10 geometria, 10mec oni co racional, el col culo de probabilidades, 10 tecr io de los vee-

tores, etc. - Es posible, en efecto, desarrollar coda una de estas teo-

r ics por el meto do oxiomcti co , es decir, diciendo, por ejemplo, si se

trata de 10 geometria plana: "Definiremos ciertas cosas que Ilamare-

mos puntos y rectos; impondremos a estas cosas ciertas propiedades,

como 10 siguiente: dos punto s distintos determinan una recta ••• etc.

De este con junto coherente y no contradictorio de axiomas y definicio-

nes, deduciremos, progresivamente, las definiciones y las propiedades

(*1Fradu c ct on de L. Thorin c., Ingeniero Civil, Fucultad de Matema-ticas y Estadrstica, Universidad Nacional de Colombia.

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de todos los entes geometricos" •

No puede negarse que esta concepcion oxiometi co de 10 Cien-

cia Mot erncticc ha permitido aclarar muchas dificultades filos6ficas y

ha sido igualmente factor de importantes progresos de 10 misma Cien-

cia Matematica. Es, sin embargo, aproximadamente cierto afirmar que

si las mctemcti cos 051 concebidas no tuvieren ninguna relaciOn con 10realidad concreto y estuvieran completamente desprovistas de utilidad

prccti cc, el interes que les han prestado los sabios hubiese sido mucho

menor, Es rcrnbi en cierto que si 10 Geometrla no se hubiera estudiado

y perfeccionado dur cntevsi ql o s, sin 10 intervenci on del metodo cxiomo-

tico, [cm os se Ie hubiera ocurrido a algun sabio pensar en "cosas"

que habrla Ilamado con nombres arbitrarios y que habrla dotado a priori

con propiedades esenciales que los geometras han reconocido luego

perten ecen a los punto 5 y a Ia 5 rectos ..

Para exponer una ciencia bajo forma oxiomct ic c, como en las

buenos novel as po li c icco s, se comienza por el fin, es decir, se sien-

tan como definiciones propiedades esenciales que 10 experiencia ha

lIevado a atribuir, por ejemplo, en 10 geometrla, a los entes : punto,

recta, plano.

Independientemente de 10 verdad abstracto que resultc del he-

cho de que todos los teoremas se deducen logicamente de los axiomas

y de las definiciones, observemos que las Matematicas tienen tornbi en

una realidad concreto. Cuando se quiere expresar que una cfirmo c ion

es indiscutible se dice a menudo que es tan cierta como que "dos y

dos son cuatro", es decir, que tiene el mismo grado de certeza que las

verdades de 10 cri tmeti cc, Inversamente, cuando un autor dr cmcti co co-

mo Cocteou, en "Los Caballeros de 10 Mesa Redondo" quiere indicar

que nos transporta 01 mundo de 10 fantasia y de 10 irrealidad, basta que

haga decir a uno de sus personajes estas fatldicas palabras :'" Dos y

do s yo no son cuatro", para que los espectadores admitan que todas

las operaciones de 10 magia se vuelven posibles.

Si 10 exactitud rigurosa, no solo de los cdl culo s or itm eti co s,

sino de los compl ic cd isirno s resultados de I a teo r io de los n umero s,

del algebra y del cdl culo infinitesimal, no puede ponerse en duda ni

pueda negarse, 10 cue st ion se plantea en otra forma cuando se trata de

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las ramas de 10 Matematica que, como 10 Geometria y 10 Mecanica,es-

tan mas pr oximo s a 10 concreto. Los objetos concretos a los cuales po-

demos aplicar los resultados obtenidos en estas ciencias no pueden

ser rigurosamente asimilados a los entes abstractos sobre los cuales

raciocina el mctemoti co, La concordancia casi perfecta de los cnl culo s

de 10 Matematica Celeste con las observaciones c stron omi co s no es

por ello sino mds notable; no hay necesidad de otro ejemplo para que

pueda afirmarse ~e 10 Geometria y 10 Mecanica Racional tienen indu-

dablemente valor prccti co, en el sentido de que permiten prever con

preci si On y certeza ciertos Ienomeno s concretos, como las fases de un

eclipse de sol en los diversos puntos de 10 superficie terrestre.

La totalidad de los hombres no se interesa por las teorias del

Algebra y del Ccl culo Infinitesimal, ni oun por los ecl ipses del Sol y

de 10 Luna, pero hasta los mos ignorantes saben que los ccl culo s de

un buen contabi I i sta no pueden ponerse en duda, ni los de un agrimen-

sor fijando 10 superficie de un terreno.

Todos nos hemos acostumbrado a someternos, en una multitud

de circustancias, a los resultados de un cdl culo exacto 0 de una medi-

do bi en hecha. Tal es Ia rnz on por Ia cual el autor de un tratado de

Arit meti co, de Algebra, de Cdl culo, de Geometria y oun de Meccnica,

no ha considerado conio necesario probar a sus lectores que I a cienci a

expuesta ti ene verdaderamente valor prdcf co: serio forzar una puerto

obi erta. Si muchos mcterncti cos y fi l esofo s han di scuti do y profun di zo-

do los principios y fundamentos de 10 Matemctica, ha sido por su pro-

pia scti sfocci on personal y no para conte star objeciones del" lector

medio". Este no tiene 10 menor duda sobre 10 posibilidad de opl i cor a

ci ertos seres concretos los raciocinios abstractos del rnoterndt ico , Tie-

ne, en la verdad prdcti cc de las mctemriti ccs , una fe absoluta, por otra

parte perfectamente j u sti fi coda. E sta fe no puede ser 01c~n zada n i a-

tenuada por los nuevos descubrimientos que permiten perfeccionar cie r-

tas teoria s y, por con si gui ente, emprender nuevos cal cui 0 s recti fi can-

do los antiguos. Cuando los fisicos, de spue s de Einstein, sustituyeron

10 Ley de Newton por 10 teoria general de 10 Relatividad, el valor de 10Ciencio Matematica no pudo ponerse en tela de juicio.

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