a small compendium on vector and tensor algebra and calculus

8/13/2019 A Small Compendium on Vector and Tensor Algebra and Calculus

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v

e L L θ

v cos θ

v L

vL = v cos θ

θ v L

v (L ) = vL

T (L ) = T L

T L

T L

A v

v v

v



v w

u = v + w w v

v w

v − w

v + ( − w )

v

w

v w

u = v + w

v

w

u = v + w

α

v αv |α |

v v α > 0 v α < 0 α = 0 αv = 0

V

v + 0 = 0 + v = v

v + ( − v ) = ( − v ) + v = 0

v + w = w + v

u + ( v + w ) = ( u + v ) + w

α (v + w ) = αv + αw

(α + β ) v = αv + β v

α (β v ) = ( αβ ) v

1 v = v

(V, + , R ,∗)

V +



R

∗

v e v v v = v / v

v = vv

v

v = v1 e 1 + v2 e 2 + v3 e 3 ,

e 1 , e 2 , e 3 v1 , v2 , v3

v v1 e 1 , v2 e 2 , v3 e 3 v

X 1X 2

X 3

v

v1 e 1

v2 e 2

v3 e 3

v ≡v1

v2

v3

= ( v1 v2 v3 )T .

v

v = v21 + v2

2 + v23 .

v w

v · w = v w cosθ ,

θ v w



v · w = w · v

u · (αv + β w ) = αu · v + β u · w

v · v ≥ 0 v · v = 0 ⇔ v = 0

v · w = ( vv ) · (ww ) = v (v · w ) = w (v · w ) = vwcos θ ,

v w w v

v

vw

v · w = cos θ ,

v

v1 = v · e 1 , v2 = v · e 2 , v3 = v · e 3 .

e 1 · e 1 = 1 , e 1 · e 2 = 0 , e 1 · e 3 = 0e 2 · e 1 = 0 , e 2 · e 2 = 1 , e 2 · e 3 = 0

e 3 · e 1 = 0 , e 3 · e 2 = 0 , e 3 · e 3 = 1 ,

∗

v · w = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 .

a b a · b = 0 a b

v

v = ( v · v )1/ 2 .

∗ v · w = ( v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 ) · (w 1 e 1 + w 2 e 2 + w 3 e 3 ) = v 1 w 1 e 1 · e 1 + v 1 w 2 e 1 · e 2 + · · ·



v · w = ( v1 e 1 + v2 e 2 + v3 e 3 ) · (w1 e 1 + w2 e 2 + w3 e 3 )= v1 w1 e 1 · e 1 + v1 w2 e 1 · e 2 + v1 w3 e 1 · e 3

+ v2 w1 e 2 · e 1 + v2 w2 e 2 · e 2 + v2 w3 e 2 · e 3

+ v3 w1 e 3 · e 1 + v3 w2 e 3 · e 2 + v3 w3 e 3 · e 3 ,

i vi i = 1 , 2, 3

v vi

vi v1 , v2 , v3

3 × 3 tr( A ) =

3

i=1 Aii = A 11 +

A22 + A33

tr( A ) = A ii

i i = 1 , 2, 3

Aii = A11 + A22 + A33 v v = vie i

i vi e i = v1 e 1 + v2 e 2 + v3 e 3

vi wiAmn vkwkAmn viwi Amn = Bmn

i 1, 2, 3

i m n

n

E n



30

v

X i vi = v · e i v 31

A

A A i = A · e i

3 × 3 = 3 2

A

A = A 1 A 2 A 3

A i

A i =A1 iA2 iA3 i

A

A =A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

A i

v = vi e i

A = A ij e ie j A = Aij e i ⊗ e j

⊗



v w A

Aij = vi w j .

v ⊗w = w ⊗ vu ⊗ (αv + β w ) = αu ⊗ v + β u ⊗w(αu + β v ) ⊗w = αu ⊗w + β v ⊗w(u ⊗ v ) · w = ( v · w ) uu · (v ⊗w ) = ( u · v ) w

Aij = e i · A · e j ,

e i e j

e 1 e 1 =1 0 00 0 00 0 0

e 1 e 2 =0 1 00 0 00 0 0

e 1 e 3 =0 0 10 0 00 0 0

e 2 e 1 =0 0 01 0 0

0 0 0

e 2 e 2 =0 0 00 1 0

0 0 0

e 2 e 3 =0 0 00 0 1

0 0 0

e 3 e 1 =0 0 00 0 01 0 0

e 3 e 2 =0 0 00 0 00 1 0

e 3 e 3 =0 0 00 0 00 0 1

A = Aij e i e j

n v 1 , . . . , v n

T = v 1 v 2 · · · v n

n th

w

T · w = ( v 1 v 2 · · · v n ) · w = ( v n · w ) (v 1 v 2 · · · v n − 1 )



(v n · w ) v 1 · · · v n − 1 (n − 1) th

T

(n − 1)th

n th T

T = T i1 i2 ··· in e i1 e i2 · · · e in .

i1 · · · in ∈ 1, 2, 3 e i1 e i2 · · · e in nth

n 3n

m th A n th

B (m + n) th

C

C = A ⊗B = ( Ai1 ··· im e i1 · · · e im ) ⊗ (B j 1 ··· jn e j 1 · · · e jn )= Ai1 ··· im B j 1 ··· jn e i1 · · · e im e j 1 · · · e jn

= C k1 ··· km + n e k1 · · · e km + n .

n th

A + B = ( Ai1 ··· in + B i1 ··· in ) e i1 · · · e in ,

αA = ( αA i1 ··· in ) e i1 · · · e in ,

n

3n

n th

3n 3n

A = Ai1 ··· im e i1 · · · e im B = B j 1 ··· jn e j 1 · · · e jn

A · B = Ai1 ··· im e i1 · · · e im · B j 1 ··· jn e j 1 · · · e jn

= Ai1 ··· im − 1 kBkj 2 ··· jn e i1 e i2 · · · e im − 1 e j 2 e j 3 · · · e jn

(m + n − 2) th k



A mth B

n th r r ≤ m, n C = Ar

B (m + n − 2r )

C = Ai1 ··· im − r k1 ··· kr Bk1 ··· kr j r +1 ··· jn e i1 · · · e im − r e j r · · · e jn .

r

A : B ≡ A2

B

σ = C : ε C

σ ε σ12 σ11

Ar

B =B r A r = 1 A B A B

I

v

I · v = v · I = v .

δ ij = 1 , i = j0 , i = j .

i, j ∈ 1, 2, 3

(δ ij ) =1 0 00 1 00 0 1

.

e i

e i · e j = δ ij .

u iδ ij = u j Aij ··· m ··· zδ mn = Aij ··· n ··· z .

δ ii = 3 .



ijk =+1 , (i , j ,k ) (1, 2, 3)− 1 , (i , j ,k ) (1, 2, 3)0 , i = j j = k k = i

ijk = − jik = − ikj = − kji = kij = jki .

3 × 3 A

det( A ) = ijk A1 iA2 j A3 j .

ijk lmn = detδ il δ im δ inδ jl δ jm δ jnδ kl δ km δ kn

jkl jmn = δ

kmδ

ln− δ

knδ

lm,

ijk ijm = 2δ km .

v1 = ( v1 e 1 + v2 e 2 + v3 e 3 ) · e 1 = e 1 · e 1 v1 + e 1 · e 2 v2 + e 1 · e 3 v3

v2 = ( v1 e 1 + v2 e 2 + v3 e 3 ) · e 2 = e 2 · e 1 v1 + e 2 · e 2 v2 + e 2 · e 3 v3

v3 = ( v1 e 1 + v2 e 2 + v3 e 3 ) · e 3 = e 3 · e 1 v1 + e 3 · e 2 v2 + e 3 · e 3 v3 .



v

X 1

X 2

X 3

e1

, e2

, e3

v = v1 e 1 + v2 e 2 + v3 e 3 .

v X 1 X 2 X 3

e 1 , e 2 , e 3 v1 , v2 , v3

v1 = v · e 1 , v2 = v · e 2 , v3 = v · e 3 .

X 1X 2

X 3

v

X 1

X 2

X 3

v1

v2

v3

=e 1 · e 1 e 1 · e 2 e 1 · e 3

e 2 · e 1 e 2 · e 2 e 2 · e 3

e 3 · e 1 e 3 · e 2 e 3 · e 3

v1

v2

v3

,

v j = e j · e i vi .

Q = e j · e i

v = Qv .

Q

Q T Q = I Q − 1 = Q T

n th A X 1 X 2 X 3

A = A i1 ··· in e i1 · · · e in ,

X 1 X 2 X 3

A j1 ··· jn = An

e j 1 · · · e jn

= Ai1 ··· in e i1 · · · e in

ne j 1 · · · e jn

= e i1 · e j 1 · · · e in · e jn Ai1 ··· in ,

A

A = QAQ T , Q = e j · e i .



θ X 1

X 1 X 2 X 3

A

(Qij ) =cosϕ sinϕ 0

− sin ϕ cosϕ 00 0 1

.

v

v = v1 v2 v3T

v1 , v2 , v3 ∈ R

X 1 v

v = v1 0 0 T

A ψ

A λ

A · ψ = λψ

λ

ψ

ψ

λ

X 1 ψ

A · e 1 = A11 e 1 + A21 e 2 + A31 e 3

A · e 1 = λe 1



A11 = λ , A21 = 0 , A31 = 0 .

R 3

σ

σ =σ11 0 00 σ22 00 0 σ33

,

n

A n

ψ 1 , · · · , ψ n n

λ 1 , · · · , λn A

A = ΨΛΨ − 1

Ψ

n × n ψ Ψ = ( ψ 1 , · · · , ψ n )

Λ

n × n ith λ i

A = ΨΛ ΨT

Ψ

Λ

A

Λ =n

i=1

λ i n in i .

(A − λ I ) ψ = 0 .

det( A − λ I ) = 0



A

A11 − λ A12 A13

A21 A22 − λ A23

A31 A32 A33 − λ= 0 ,

λ 3 − (A11 + A22 + A33 ) λ 2 + A22 A23

A32 A33+ A11 A13

A31 A33+ A11 A12

A21 A22λ −

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

= 0

v

v = ( vi vi)1/ 2

f (v1 , v2 , v3 )

A

λ, λ 2 λ 3

A

IA = A11 + A22 + A33

IIA = A22 A23

A32 A33+ A11 A13

A31 A33+ A11 A12

A21 A22

IIIA =A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

I, II III A

IA = tr( A ) = λ 1 + λ 2 + λ 3

IIA = 12

(tr( A )) 2 − tr A 2 = λ 1 λ 2 + λ 2 λ 3 + λ 3 λ 1

IIIA = det( A ) = λ 1 λ 2 λ 3 .



φ(A )

φ

A

φ = φ(IA , IIA , IIIA ) .

A A T A A T A

λ 2i A T A λi > 0 A

A A

v w

u = v × w

θ

v w u = v × w u v w

(v , w , u )

u

u = vwsin θ 0 ≤ θ ≤ π .

v × w = − w × v

u × (αv + β w ) = αu × v + β u × w

e 1 × e 1 = 0 , e 1 × e 2 = e 3 , e 1 × e 3 = − e 2

e 2 × e 1 = − e 3 , e 2 × e 2 = 0 , e 2 × e 3 = e 1

e 3 × e 1 = e 2 , e 3 × e 2 = − e 1 , e 3 × e 3 = 0 ,



v × w = e 1 e2 e 3v1 v2 v3

w1 w2 w3

,

v × w = ijk v j wke i [v × w ]i = ijk v j wk .

v

w

w s

i n θ

θ

v × w

v w

A v w

A = 12

v × w .

A v

A × v = jmn Aim vn e ie j v × A = imn vm Anj e i e j .

u v w

u · (v × w ) ,

u

v

w

u · (v × w ) =u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

,

u · (v × w ) = ijk u i v j wk .

u v w



u × (v × w ) = ( u · w ) v − (u · v ) w

(u × v ) × w = ( u · w ) v − (v · w ) u

(u × v ) · (w × x ) = ( u · w ) (v · x ) − (u · x ) (v · w )

(u × v ) × (w × x ) = ( u · (v × x )) w − (u · (v × w )) x

= ( u · (w × x )) v − (v · (w × x )) u

T = I + vw v wv · w = 0 T 2 , T 3 , · · · , T n eT eT =

∞n =0

1

n ! T n



A (u) A u

A : R −→ T

u −→ A (u)

T T =R 3 × 3

T = R 3 T = R 3 × 3 × 3 × 3

O X 1

X 2

x ( t )

x (t) t

x

A (x ) A x

A : R 3 −→ T

x −→ A (x ) .

R 3

T (x )

x

ε (x )

ε x



A (u)

dAdu

= lim∆ u→ 0

A (u + ∆ u) − A (u)∆ u

.

A (u) = Ai (u) e i

dAdu

= dAi

du e i =

dA1

du e 1 +

dA2

du e 2 +

dA3

du e 3 .

ei

A (u) = Aij (u) e ie j

A (u) , B (u) , C (u) a (u)

1. d

du (A · B ) = A ·

dBdu

+ dAdu

· B

2. d

du (A × B ) = A ×

dBdu

+ dAdu

× B

3. d

du [A · (B × C )] =

dA

du · (B × C ) + A ·

dB

du × C + A · B ×

dC

du

4. a · dadu

= adadu

5. a · dadu

= 0 a = const

4th 5th

A (x ) dA

dx dx = dx i e i dx

A (x ) = A (x1 , x 2 , x 3 )

∂ A∂x 1

= lim∆ x1 → 0

A (x1 + ∆ x1 , x 2 , x 3 ) − A (x1 , x 2 , x 3 )∆ x1

∂ A∂x 2

= lim∆ x2 → 0

A (x1 , x 2 + ∆ x2 , x 3 ) − A (x1 , x 2 , x 3 )∆ x2

∂ A∂x 3

= lim∆ x3 → 0

A (x1 , x 2 , x 3 + ∆ x3 ) − A (x1 , x 2 , x 3 )∆ x3



∂ A∂x i= lim

∆ x i → 0A (x + ∆ x i e i) − A (x )∆ x i

.

dx

dA (x1 , x 2 , x 3 ) = ∂ A∂x i

dx i = ∂ A∂x 1

dx 1 + ∂ A∂x 2

dx 3 + ∂ A∂x 3

dx 3 ,

dA = grad( A ) · dx grad( A ) = ∂ A∂x i

e i .

grad( A )

A

grad( A ) = ∂ A∂x i

⊗ e i .

∇ ≡ e i∂

∂x i= e 1

∂ ∂x 1

+ e 2∂

∂x 2+ e 3

∂ ∂x 3

.

∗

grad( A ) = A ∇ = A ⊗∇ .

A (u) B (u) A (u) = d/du B (u)

A

A (u) du = B (u) + C

C = const A [a, b]

b

aA (u) du = B (b) − B (a) .

Aij (u) du = B ij (u) + C ij ,

Aij

∗ ⊗



X 1X 2

X 3

C

P 1

P 2

x n

C P 1 (a1 , a 2 , a 3 ) P 2 (b1 , b2 , b3 )

N x 1 , . . . , x N − 1

A (x ) C

C A · dx =

P 2

P 1A · dx = lim

N →∞

N

i=1

A (x i ) · ∆ x i

∆ x i = x i − x i− 1 N → ∞

maxi

∆ x i → 0 .

C A · dx = C

(A1 dx 1 + A2 dx 2 + A3 dx 3 ) .

1. P 2

P 1A · dx = −

P 1

P 2A · dx

2. P 2

P 1A · dx =

P 3

P 1A · dx +

P 2

P 3A · dx P 3 P 1 P 2

x (s)

x1 = x1 (s) , x2 = x2 (s) , x3 = x3 (s) .

s

x 2

x 1

A · dx = s2

s1

A · dxds

ds .



P 1 P 2

C A (x )

C A (x )

P 1 P 2

P 2 x

φ (x ) = x

P 1A · dx .

φ (x )

dφ = A · dx ,

A = grad( φ ) = φ∇ .

C A · dx

φ (x ) A = φ∇

φ (x ) A = φ∇

C

C A · dx = 0 ,

C C

X 2

X 3

X 1

n i∆ S

i

S

S

N ∆ S i i = 1 , . . . , N x i n i

A (x ) Ω ⊇ S

A S

S A · n dS = lim

N →∞

N

i=1

A (x i) · n i ∆ S i

N → ∞ : maxi

∆ S i → 0 .



A S

S A × n dS = lim

N →∞

N

i=1

A (x i) × n i ∆ S i

A

A · n A A × n

S

S X 1 X 2 S

S A · n dS =

S

A · n dx1 dx 2

n · e 3.

dS dx1 dx 2

dx 1 dx 2 = ( n dS ) · e 3 = ( n · e 3 ) dS ,

n dS e 3 dx1 dx 2

v =1/r 2 e r

X 2

X 3

X 1

ndS

S

S

†

S

n Ω V

A (x ) S

Ω

D = 1V S

A · n dS C = 1V S

A × n dS ,

†



V Ω V → 0

A

div( A ) = limV → 0

1V S

A · n dS

curl( A ) = limV → 0

1V S

A × n dS .

div( A ) = A · ∇

curl( A ) = A × ∇

u (x )

div( u ) = u · ∇ = u i∂ i curl(u ) = u × ∇ = kij u i ∂ j .

grad( A ) = A ∇ , div(A ) = A · ∇ , curl(A ) = A × ∇

φ = dx · ∇ φ limV → 0

1V S

n · A dS = ∇ · A limV → 0

1V S

n × A dS = ∇ × A

∇ × (∇ × v ) v

A

A = φ∇

A

div( A ) = div(grad( φ )) = φ∇ · ∇

∆ ≡ ∇ · ∇ = ∂ k∂ k .



∆ A ∇2 A

∇4 A = ∆∆ A = ∆ (∆ A )

∆∆ φ = ∂ 4 φ∂x 4

1+

∂ 4 φ∂x 4

2+

∂ 4 φ∂x 4

3+ 2

∂ 4 φ∂x 2

1 ∂x 22

+ 2 ∂ 4 φ∂x 2

2 ∂x 23

+ 2 ∂ 4 φ∂x 2

3 ∂x 21

.

S Ω

V n A (x )

V

A · ∇ dV = S

A · n dS .

S

C

C A · dx = S

(A × ∇ ) · n dS

n

X 2

X 3

X 1

C

ndS

S



v w A B α β

∇ (A + B ) = ∇A + ∇B

∇ · (A + B ) = ∇ · A + ∇ · B

∇ × (A + B ) = ∇ × A + ∇ × B

∇ · (αA ) = ( ∇α ) · A + α(∇ · A )

∇ × (αA ) = ( ∇α) × A + α(∇ × A )

∇ × (∇ × A ) = ∇ (∇ · A ) − ∇ 2 A

∇ · (v × w ) = ( ∇ × v ) · w + v · (∇ × w )

∇ × (v × w ) = ( w · ∇ )v − (∇ · v )w − (v · ∇ )w + ( ∇ · w )v

∇ (v · w ) = ( w · ∇ )v + ( v · ∇ )w + w × (∇ × v ) + v × (∇ × w )

A

∇ × (∇A ) = 0 (A∇ ) × ∇ = 0

∇ · (∇ × A ) = 0 (A × ∇ ) · ∇ = 0

A

S (A × ∇ ) · n dS = V

(A × ∇ ) · ∇ dV = 0

C (A∇ ) · dx = S

(A∇ ) × ∇ · n dS = 0 .

∇ · A × ∇ = 0 ∇ × A · ∇ = 0

φ ψ

V [φ (ψ∆) + ( φ∇ ) · (ψ∇ )] dV = S

φ (ψ∇ ) · n dS

V [φ (ψ∆) − (φ∆) ψ] dV = S

[φ (ψ∇ ) − (φ∇ ) ψ] · n dS .



A φ

V A × ∇ dV = S

A × n dS C φ dx = S

(φ∇ ) × n dS .

V ∇ × A dV = S

n × A dS C φ dx = S

n × (∇φ) dS .

e 2

e 3

e 1

u2

u3

u1 u3 = c3

u 1 = c 1

u 2 =

c 2

P

(x1 , x 2 , x 3 ) (u1 , u 2 , u 3 )

x = x (u ) u = u (x )

det∂ (u1 , u 2 , u 3 )∂ (x1 , x 2 , x 3 )

=

∂u 1∂x 1

∂u 1∂x 2

∂u 1∂x 3

∂u 2∂x 1

∂u 2∂x 2

∂u 2∂x 3

∂u 3∂x 1 ∂u 3∂x 2 ∂u 3∂x 3

= 0

f (x ) f : R m → R n

m × n J = ∂f i∂x j

i = 1 , . . . , m j = 1 , . . . , n

P

u1 = const , u2 = const , u3 = const

P



u i

r

∂ r /∂u i

ui

e 1 = ∂ r /∂u 1

∂ r /∂u 1, e 2 =

∂ r /∂u 2

∂ r /∂u 2, e 3 =

∂ r /∂u 3

∂ r /∂u 3

h i = ∂ r /∂u i

∂ r /∂u 1 = h1 e 1 , ∂ r /∂u 2 = h2 e 2 , ∂ r /∂u 3 = h3 e 3

e 1 , e 2 e 3 (u1 , u 2 , u 3 )

h i

e i

r

r (u1 , u 2 , u 3 )

dr = ∂ r∂u 1

du 1 + ∂ r∂u 2

du 2 + ∂ r∂u 3

du 3 = h1 du 1 e 1 + h2 du 2 e 2 + h3 du 3 e 3 .

dr 1 = h1 du 1 , dr 2 = h2 du 2 , dr 3 = h3 du 3



ds

(ds)2 = dr · dr = h21 (du 1 )2 + h2

2 (du 2 )2 + h23 (du 3 )2 .

h i = 1

dr = dx1 e 1 + dx 2 e 2 + dx 3 e 3 (ds)2 = ( dx 1 )2 + ( dx 2 )2 + ( dx 3 )2 .

dS = dS n ,

dS = ( dS · e 1 ) e 1 + ( dS · e 2 ) e 2 + ( dS · e 3 ) e 3

dS · e i dS e i

dS 1 e 1 = dr 2 e 2 × dr 3 e 3 = h2 h3 du 2 du 3 e 1



dS = ( h2 h3 du 2 du 3 ) e 1 + ( h3 h1 du 3 du 1 ) e 2 + ( h1 h2 du 1 du 2 ) e 3

dS = dx2 dx 3 e 1 + dx 3 dx 1 e 2 + dx 1 dx 2 e 3 .

dV dr 1 e 1

dr 2 e 2 dr 3 e 3

dV = ( dr 1 e 1 ) · (dr 2 e 2 ) × (dr 3 e 3 ) = h1 h2 h3 du 1 du 2 du 3 .



(u1 , u 2 , u 3 ) (q 1 , q 2 , q 3 )

du i ∂ r /∂u i hi

u (q )

du i = ∂u i

∂q jdq j

∂ r∂u i

= ∂ r∂q j

∂q j∂u i

∂ r∂u i

= j

∂ r∂q j

∂q j∂u i

21 / 2

.

dA q =∂ (q 1 , q 2 , q 3 )∂ (u1 , u 2 , u 3 )

∂ (q 1 , q 2 , q 3 )∂ (u1 , u 2 , u 3 )

− T · dA u

dV q =∂ (q 1 , q 2 , q 3 )∂ (u1 , u 2 , u 3 ) dV u

φ a = a1 e 1 + a 2 e 2 + a3 e 3

∇φ = 1h1

∂φ∂u 1

+ 1h2

∂φ∂u 2

+ 1h3

∂φ∂u 3

∇ · a = 1h1 h2 h3

∂ ∂u 1

(h2 h3 a1 ) + ∂ ∂u 2

(h3 h1 a 2 ) + ∂ ∂u 3

(h1 h2 a 3 )

∇ × a = 1

h1 h2 h3

h1 e 1 h2 e 2 h3 e 3

∂/∂u 1 ∂/∂u 2 ∂/∂u 3

h1 a1 h2 a 2 h3 a 3

∆ φ = 1

h1 h2 h3

∂ ∂u 1

h2 h3

h1

∂φ∂u 1

+ ∂ ∂u 2

h3 h1

h2

∂φ∂u 2

+ ∂ ∂u 3

h1 h2

h3

∂φ∂u 3

.



X 2

X 3

X 1

x

rϕ

z = x3

x1

x2

(r,ϕ ,z )

x1 = r cosϕ , x2 = r sin ϕ , x3 = z

r = x21 + x2

2 , ϕ = arctan( x2 /x 1 ) , z = x3

hr = 1 hϕ = r h z = 1 ,

dr = dr e r + r dϕ eϕ + dz e z

dS = r dϕdz e r + drdz eϕ + rdrdϕ e z

dV = r dr dϕdz .

∇ ≡ e r∂ ∂r

+ eϕ1r

∂ ∂ϕ

+ e z∂

∂z

∇ · a = 1r

∂ ∂r

(ra r ) + 1r

∂a ϕ∂ϕ

+ ∂az

∂z

∆ φ = 1r

∂ ∂r

r∂φ∂r

+ 1r 2

∂ 2 φ∂ϕ 2 +

∂ 2 φ∂z 2 =

∂ 2 φ∂r 2 +

1r

∂φ∂r

+ 1r 2

∂ 2 φ∂ϕ 2 +

∂ 2 φ∂z 2

∇ × a =1r

∂a z

∂ϕ −

∂aϕ∂z

e r +∂a r

∂z −

∂az

∂reϕ +

1r

∂ ∂r

(ra ϕ) − ∂a r

∂ϕe z



X 2

X 3

X 1

r

ϕ

θ

x3

x1

x2

(r,θ,φ )

x1 = r sin θ cos φ , x2 = r sin θ sin φ , x3 = r cos θ

r = x21 + x2

2 + x23 , θ = arccos( x3 /r ) , φ = arctan( x2 /x 1 ) .

h r = 1 hθ = r hφ = r sin θ ,

dr = dr e r + r dθ e θ + r sin θ dφ e φ

dS = r 2 sin θdθdφ e r + r sin θdrdφ e θ + rdrdθ e φ

dV = r 2 sin θdrdθdφ.

∇ ≡ e r∂ ∂r

+ e θ1r

∂ ∂θ

+ e φ1

r sin θ∂

∂φ

∇ · a = 1r 2

∂ ∂r

r 2 a r + 1r sin θ

∂ ∂θ

(sin θaθ) + 1r sin θ

∂a φ

∂φ

∆ ξ = ∂ 2 ξ ∂r 2 +

2r

∂ξ ∂r

+ cosθr 2 sin θ

∂ξ ∂θ

+ 1r 2

∂ 2 ξ ∂θ 2 +

1r 2 sin2 θ

∂ 2 ξ ∂φ 2

∇ × a = 1r sin θ

∂ ∂θ

(sin θaφ) − ∂aθ

∂φe r +

1r

1sin θ

∂a r

∂φ −

∂ ∂r

(ra φ) e θ

+1r

∂ ∂r

(ra θ) − ∂a r

∂θe φ

a small compendium on vector and tensor algebra and calculus

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