a rbitraje optimalidad y equilibrio - miguelmmiras.webs.uvigo.es/webpersonal/docuspdf/laguna.pdf ·...

ARBITRAJE, OPTIMALIDADY EQUILIBRIO

Miguel Angel Miras Calvo

Universidad de Vigo

Abril, 2003

Indice General

Introducci on 5

1 Arbitraje 111.1 Mercados de perıodounico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Arbitraje . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.2 El teorema fundamental de la valoracion de activos . . .. . . . . 161.1.3 Valoracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.4 Mercados completos e incompletos. . . . . . . . . . . . . . . . 191.1.5 Valoracion en mercados incompletos . . . . . . . . . . . . . . . . 201.1.6 Riesgo y rentabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.1.7 Integracion de mercados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.1.8 Medidas de arbitraje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2 Modelos de mercados multiperıodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.2.1 Arbitraje . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.2.2 Martingalas y valoracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.2.3 El teorema fundamental de la valoracion de activos . . .. . . . . 391.2.4 El modelo binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.3 Tiempo continuo . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.3.1 Factores de descuento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.3.2 Densidad de precios de estado . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 491.3.3 El proceso de precios del activo con riesgo. . . . . . . . . . . . 501.3.4 Determinacion de una probabilidad neutral al riesgo . .. . . . . 511.3.5 La formula de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.3.6 El teorema fundamental de la valoracion de activos . . .. . . . . 53

2 Optimalidad 552.1 Modelos de perıodounico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.1.1 Carterasoptimas y viabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.1.2 Carterasoptimas y probabilidades neutrales al riesgo . .. . . . . 592.1.3 Problemas de consumo e inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.1.4 Analisis media-varianza de carteras. . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.2 Modelos multiperıodo. Carterasoptimas y programacion dinamica . . . . 68

4 Indice

3 Equilibrio 713.1 Equilibrio en un modelo de un perıodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Bibliograf ıa 73

Introducci on

MERCADOS FINANCIEROS

Un mercado financiero es un lugar donde:

• recaudar fondos

• invertir capital

Los inversores mas habituales son:

• Companıas

• Estados

• Bancos

• “Pequenos inversores”

Los mercados pueden dividirse en:

• Mercados de divisas

• Mercados de valores

• Mercados de bonos

Diferencias entre bonos y acciones:

• Los precios de las acciones dependen de la compra-venta. Como poseedor de unaaccion eres propietario de una parte de una companıa.

• Los bonos son productos de renta fija. Garantizan al vencimiento una rentabilidadconocida. El emisor de un bono da a su comprador un credito.

Algunos productos se denominan:

• Derivados pues sus precios dependen (se derivan) de los precios de otros productosllamados subyacentes.

6 Introduccion

¿QUE ES LA INGENIERIA FINANCIERA ?Desarrollo de tecnicas, instrumentos y productos para controlar el riesgo financiero y

prevenir la morosidad.

TIPOS DE RIESGOS FINANCIEROS

Riesgos en las operaciones. Riesgos en los precios de mercado. Riesgos en los tiposde cambio. Riesgos en los tipos de interes. Riesgos de credito.

Riesgo

Contingencia o proximidad de un cambio.

EJEMPLO:Riesgo en el precio de un activo financiero. Denotaremos porP t el precio de un

activo en el instantet. Normalmente estos precios cambian de un modo aleatorio (cafe,oro, acciones, bonos, ...)

EXCEPCION:Una cuenta bancaria. Si el capital inicial ent = 0 esB0 entonces

Bt = B0(1 + r)t interes compuesto

Bt = B0ert interes continuo

donder es el tipo de interes. En el instantet, el pagoBt esta asegurado (no hay riesgo).La rentabilidad

R =Bt −B0

B0=Bt

B0− 1 = r, el tipo de interes

se fija de antemano.Podemos decir que todos los instrumentos financieros sirven, en mayor o menor me-

dida, para controlar el riesgo.

Introduccion 7

Arbitraje

Operacion de cambio de valores mercantiles, en la que se busca la ganancia sin riesgoaprovechando o bien que los precios son incorrectos o bien la diferencia de precios entreunas plazas y otras.

EJEMPLO:Imaginemos un contrato (forward) en el que dos partes acuerdan que una compre a

la otra un determinado activo en un instante futuroT por un precioK estipulado en elmomento de firmar el contrato (t = 0).

Posicion larga en el contrato: la parte que acepta comprar el activo al precio deejercicioK en el instanteT .

Posicion corta en el contrato: la parte que acepta vender el activo al precioK en lafecha de vencimientoT .

PRIMER RAZONAMIENTO POR ARBITRAJE:¿Cual deberıa ser el valorK estipulado?SeaP 0 el precio del activo ent = 0.

• Si K > P 0(1 + r)T , pedimos un prestamo en el banco deP 0 a tipo de interesr,compramos el activo y tomamos una posicion corta en el contrato. Al vencimiento,necesitamosP 0(1 + r)T para devolver el prestamo, pero recibimosK por la ventadel activo.

Ganancia:K − P 0(1 + r)T

• SiK < P 0(1 + r)T , nos endeudamos en el activo, depositamos el dinero recibidoP 0 en el banco a un tipo de interesr y tomamos una posicion larga en el contrato.Al vencimiento, tenemosP 0(1 + r)T en el banco, lo que nos permite comprar elactivo porK y devolverlo.

Ganancia: P 0(1 + r)T −K

El valor K estipulado debe ser:

K = P 0(1 + r)T

8 Introduccion

Opciones

Basicamente, una opcion es un contrato que da a su poseedor el derecho (que no laobligacion) de comprar o vender “algo” (llamado el subyacente) en un instante futuro (lafecha de ejercicio) a un precio estipulado (el precio de ejercicio). Nos centraremos en lasopciones sobre acciones, que pueden ser de varios tipos:

1. Call: derecho de compra.

2. Put: derecho de venta.

3. Europeas: solo pueden ejercerse en la fecha de expiracion.

4. Americanas: pueden ejercerse en cualquier instante durante la vida de la opcion.

Estos son los terminos que deben especificarse en el contrato de una opcion, tanto Callcomo Put, y que son relevantes para los modelos teoricos de valoracion:

1. El subyacente:el tipo de activo que puede ser comprado o vendido. Su precio demercado en un instantet se denotara porP t. Puede ser una accion, un bono, un tipode cambio, un tipo de interes, unındice, una mercancıa,...

2. El volumen del contrato: el numero de acciones del subyacente reflejadas en elcontrato.

3. El precio de ejercicioK: el precio al que el subyacente debe ser comprado si laopcion se ejerce.

4. La fecha del contrato: la fecha en la que se firma y paga el contrato (t = 0).

5. La fecha de expiracion T : la fecha de vencimiento de la opcion.

6. El tipo: europea o americana.

7. La prima: el precio pagado por el contrato.

Trabajaremos con los tipos de opciones mas sencillas, esto es, las de tipo europeosobre acciones que no paguen dividendos. El valor de una opcion de compra europea(Call) al vencimiento viene dado por:

CAT = maxP T −K, 0.

El valor de una opcion de venta europea (Put) al vencimiento es:

PUT = maxK − P T , 0.

¿Cuanto deberıa pagar,CA0, el comprador de una Call por el “derecho” que le garan-tiza la opcion?

CA0 ≥ 0

Introduccion 9

SEGUNDO RAZONAMIENTO POR ARBITRAJE:El principio economico de la ausencia de arbitraje nos permite derivar las siguientes

relaciones:

• CA0 ≤ P 0

Consideremos las carteras:

Cartera 1: (CRT1) Una opcion Call.

Cartera 2: (CRT2) Una accion del subyacente.

Valor de las carteras al vencimiento:

CRT1T = maxP T −K, 0CRT2T = P T

CRT1T ≤ CRT2T

• CA0 ≥ maxP 0 −K(1 + r)−T , 0Consideremos las carteras:

Cartera 1: (CRT1) Una opcion Call yK(1 + r)−T en dinero.

Cartera 2: (CRT2) Una accion del subyacente.


CRT1T = K + maxP T −K, 0 = maxP T , KCRT2T = P T

CRT1T ≥ CRT2T

• CA0 − PU0 = P 0 −K(1 + r)−t Paridad Put-Call

Consideremos las carteras:

Cartera 1: (CRT1) Una opcion Call yK(1 + r)−T en dinero.

Cartera 2: (CRT2) Una accion del subyacente y una opcion Put.


CRT1T = maxP T −K, 0 = maxP T , KCRT2T = P T + maxK − P T , K = maxP T , KCRT1T = CRT2T

Capıtulo 1

Arbitraje

Nuestro proposito en este capıtulo es presentar de modo sencillo e intuitivo la teorıadel arbitraje y sus aplicaciones a los problemas de valoracion de activos financieros.

1.1 Mercados de perıodo unico

Fijemos un conjunto de tiemposT = 0, 1. Supondremos que la fuente de incerti-dumbre en el mercado viene dada por un espacio de probabilidad(Ω,F , µ).

Definicion 1.1.1 Diremos que el modelo del mercado es finito siΩ = ω1, . . . , ωn yµk = µ(ωk) > 0 para todok = 1, . . . , n.

Supongamos que en el mercado se negociand+ 1 activos,d ∈ N. El vector

P 0 = (P 00 , P

01 , . . . , P

0d ) ∈ R

d+1+

representa el vector de precios de los activos ent = 0.La variable aleatoria

P 1 : Ω −→ Rd+1, P 1(ω) = (P 1

0 (ω), P 11 (ω), . . . , P 1

d (ω)) ∈ Rd+1

nos da los pagos de los activos ent = 1, de modo que para cadaω ∈ Ω, P tj (ω) es el preciodel activoj en el instante de tiempot si el estado de la naturaleza que se revela esω.

El activo deındice0 es el numerario, es decir, un activo sin riesgo (un bono o undeposito bancario). Sin perdida de generalidad podemos tomarP 0

0 = 1, P 10 (ω) > 0 para

todoω ∈ Ω. En particular, siP 10 (ω) ≥ 1 entonces la variabler = P 1

0 − 1 se denomina eltipo de interes. Sir es determinista (deposito bancario) entoncesP 1

0 (ω) = 1 + r.

12 Capıtulo 1. Arbitraje

Una cartera de activos es un vectorx = (x0, x1, . . . , xd) ∈ Rd+1 dondexj es la

cantidad negociada del activoj-esimo en el instantet = 0.

CRITERIO DE SIGNOS:Posicion larga si xj > 0, es decir, compra dexj unidades del activoj.Posicion corta si xj ≤ 0, es decir, venta de−xj unidades del activoj.

Dada una carterax = (x0, x1, . . . , xd) ∈ Rd+1, su precio ent = 0 viene dado por

P 0 · x =d∑k=0

P 0kxk ∈ R;

los pagos ent = 1 vienen determinados por la variable aleatoria

P 1 · x =d∑k=0

P 1kxk : Ω −→ R;

y las ganancias asociadas vienen determinados por la variable aleatoria

(P 1 − P 0) · x = P 1 · x− P 0 · x : Ω −→ R.

Denominaremos precios normalizados a la variable

P 1 = (1, P 11 , . . . , P

1d ) : Ω −→ R

d+1, P 1k =

P 1k

P 10

, k = 1, . . . , d.

Es facil comprobar que dada cualquier carterax = (x0, x1, . . . , xd) ∈ Rd+1,

P 1 · x =P 1 · xP 1

0

.

1.1 Mercados de perıodounico 13

1.1.1 Arbitraje

CARTERAS DOMINANTES

Definicion 1.1.2 Una carterax ∈ Rd+1 es dominante si existex ∈ R

d+1 tal que

P 0 · x = P 0 · x y (P 1 · x)(ω) < (P 1 · x)(ω)

para todoω ∈ Ω.

Proposicion 1.1.3 Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. En el mercado existe una cartera dominante

2. Existex ∈ Rd+1 tal queP 0 · x = 0 y (P 1 · x)(ω) > 0 para todoω ∈ Ω.

3. Existex ∈ Rd+1 tal queP 0 · x < 0 y (P 1 · x)(ω) ≥ 0 para todoω ∈ Ω.

Definicion 1.1.4 Diremos que un vectorq = (q1, . . . , qn) ∈ Rn+ define una regla lineal

de valoracion si:

P 0 · x =n∑k=1

qk(P1 · x)(ωk), para todox ∈ R

d+1. (1.1)

Es facil comprobar que siq = (q1, . . . , qn) ∈ Rn+ define una regla lineal de valoracion

entoncesn∑k=1

qk = 1. Ası pues, el vectorq puede interpretarse como una distribucion de

probabilidad sobre los estados de la naturaleza de modo queqk serıa la probabilidad deωk. Consecuentemente, la expresion (1.1) equivale a:

P 0j = Eq

[P 1j

P 10

]= Eq[P

1j ], para todoj = 0, . . . , d. (1.2)

En definitiva,q ∈ Rn+ define una regla lineal de valoracion si, y solo si,q es una distribu-

cion de probabilidad sobreΩ tal que se cumple (1.2).


Analizando el programa lineal

Min P 0 · xsujeto a:

P 1 · x ≥ 0x = (x0, . . . , xd) ∈ R

d+1

(P )

y su correspondiente dual

Max 0 · q

sujeto a:

P 0

j = Eq

[P 1j

P 10

], j = 0, . . . , d

q = (q1, . . . , qn) ∈ Rn+

(D)

se obtiene la siguiente caracterizacion de la ausencia de carteras dominantes.

Proposicion 1.1.5 No hay carteras dominantes en el mercado si y solo si existe una reglalineal de valoracion.

LEY DEL PRECIOUNICO

Definicion 1.1.6 Se dice que el mercado verifica la ley del preciounico (abreviadamente,LOP) si no puede haber dos carterasx, y ∈ R

d+1 tales que

P 0 · x = P 0 · y pero P 1 · x = P 1 · y.

Definicion 1.1.7 Un vectorq ∈ Rn se denomina un factor de descuento estocastico ad-

misible si

P 0 · x =n∑k=1

qk(P1 · x)(ωk),

para todox ∈ Rd+1 .

Proposicion 1.1.8 Se verifica la LOP si y solo si existe un factor de descuento estocasticoadmisible.

Proposicion 1.1.9 Si no hay carteras dominantes en el mercado entonces se verifica laLOP.


AUSENCIA DE ARBITRAJE

Definicion 1.1.10 Una oportunidad de arbitraje es una carterax ∈ Rd+1 tal que

P 0 · x = 0 y P 1 · x > 0.

Proposicion 1.1.11 Una carterax ∈ Rd+1 es una oportunidad de arbitraje si y solo si

(P 1 − P 0) · x > 0.

Proposicion 1.1.12 Si hay carteras dominantes en el mercado entonces hay oportunida-des de arbitraje.

Las relaciones entre estos conceptos se resumen en el diagrama de la figura 1.1.

Ausencia dearbitraje

No carteras dominantes

L.O.P.

Figura 1.1: Relaciones entre los distintos conceptos de arbitraje


1.1.2 El teorema fundamental de la valoracion de activos

Definicion 1.1.13 Una medida de probabilidadQ enΩ es una medida neutral al riesgo,tambien llamada medida de martingala equivalente (abreviadamente, m.m.e.) aµ, si:

1. Q(ωk) > 0 para todok = 1, . . . , n.

2. P 0j = EQ[P 1

j ] para todoj = 0, . . . , d.

SiQ es una m.m.e. aµ entonces dadax ∈ Rd+1 se tiene que

EQ[(P 1 − P 0) · x] = EQ[(P 1 − P 0)] · x = 0 · x = 0.

De esta propiedad se deduce el siguiente resultado:

Proposicion 1.1.14 Si existe una m.m.e. aµ entonces no hay oportunidades de arbitrajeen el mercado.

Consideremos el subespacio vectorial

L = (P 1 − P 0) · x : x ∈ Rd+1 ⊂ R

n

y el conoC = (y1, . . . , yn) ∈ R

n+ : alguna componenteyj > 0.

De forma inmediata de la proposicion 1.1.11 se deduce la siguiente formulacion geome-trica de la ausencia de oportunidades de arbitraje.

Proposicion 1.1.15 Existe una oportunidad de arbitraje en el mercado si y solo si

L ∩ C = ∅.

El recıproco de la proposicion 1.1.14 anterior se denomina el teorema fundamental dela valoracion de activos y su demostracion en este caso sencillo se basa en la version delteorema de separacion que enunciamos.

Teorema 1.1.16 (Teorema de separacion) SeanL un subespacio vectorial deRn yS unsubconjunto compacto y convexo deR

n tales queL ∩ S = ∅. EntoncesL y S se puedenseparar estrictamente por un hiperplano que contiene aL, esto es, existeF : R

n −→ R

lineal tal queF (x) = 0 para todox ∈ L y F (x) > 0 para todox ∈ S.

El conjunto

S = y ∈ C : Eµ[y] = 1 = (y1, . . . , yn) ∈ C : µ1y1 + · · · + µnyn = 1

es convexo y compacto.

Teorema 1.1.17 (Teorema fundamental de la valoracion de activos) No hay oportuni-dades de arbitraje en el mercado si y solo si existe una m.m.e. aµ.


Con el fin de ilustrar la geometrıa de este resultado, consideraremos los conjuntos

L⊥ = y ∈ Rn : y · = 0, para todo ∈ L

P+ = y ∈ R

n : y1 + · · · + yn = 1, y1 > 0, . . . , yn > 0M = Q : Qm.m.e. aµ

Resulta sencillo comprobar queM = L⊥ ∩ P

+

queL⊥ es un subespacio lineal y queP+ se corresponde con el conjunto de medidas de

probabilidad enΩ equivalentes aµ. El teorema fundamental afirma, pues, que

L ∩ C = ∅ si y solo siL⊥ ∩ P+ = ∅.

Vease la figura 1.1.2.

-1 0 1 2 3-1

0

1

2

3

L

L⊥

C

P+

M

Figura 1.2: Interpretacion geometrica del teorema fundamental


1.1.3 Valoracion

Definicion 1.1.18 Un pagoH es cualquier variable aleatoriaH : Ω −→ R. Un pagoH es alcanzable si existex ∈ R

d+1 tal queP 1 · x = H. La carterax se denomina unareplica deH.

Naturalmente, siQ ∈ M y x ∈ Rd+1 entonces

P 0 · x = EQ

[P 1 · xP 1

0

].

Proposicion 1.1.19 Si se cumple la LOP yH es un pago alcanzable entonces el valor

π(H) = EQ

[HP 1

0

]

conx una replica deH esta bien definido.

Corolario 1.1.20 Si no hay oportunidades de arbitraje yH es un pago alcanzable enton-ces

π(H) = EQ

[HP 1

0

]cualquiera que seaQ ∈ M.

En particular, fijadok = 1, . . . , n, el precio del pagoHk = (0, . . . , 1, . . . , 0),

dk = π(Hk) =Q(ωk)

P 10 (ωk)

se denomina el precio de estado deωk y el vectord = (d1, . . . , dk) ∈ Rn el vector de

precios de estado.Ası, para todo pago alcanzableH,

π(H) = d ·H


1.1.4 Mercados completos e incompletos

Supongamos queM = ∅.

Definicion 1.1.21 Diremos que el mercado es completo si todo pago es alcanzable.

Proposicion 1.1.22 Supongamos que no hay oportunidades de arbitraje en el mercado.Entonces son equivalentes:

1. El mercado es completo.

2. n = rango(P 1j (ωk)

)k=1,...,nj=0,...,d

∈ Mn×(d+1).

El resultado clave de esta seccion se basa en una version del lema de Farkas, unavariante de los teoremas de separacion.

Lema 1.1.23 (de Farkas)SeanA ∈ Mm×n y b ∈ Mm×1. Entonces se cumple una, ysolo una, de las siguientes propiedades:

i) El sistemaAx = b tiene una solucionx ≥ 0.

ii) Existey ∈ Rm tal queyA ≤ 0 eyb > 0.

Teorema 1.1.24Un pagoH ∈ Rn es alcanzable si y solo siEQ[ H

P 10] toma el mismo valor

cualquiera que seaQ ∈ M.

Corolario 1.1.25 El mercado es completo si y solo siM es unitario.


1.1.5 Valoracion en mercados incompletos

A lo largo de esta seccion supondremos queH no es un pago alcanzable.

Definicion 1.1.26 SiH no es replicable definimos

V+(H) = infEQ

[KP 1

0

]: K ≥ H,K alcanzable

.

El valorV+(H) esta bien definido, es finito y

V+(H) ≥ supEQ

[HP 1

0

]: Q ∈ M

.

Definicion 1.1.27 SiH no es replicable definimos

V−(H) = supEQ

[KP 1

0

]: K ≤ H,K alcanzable

.

Analogamente,V−(H) es un valor bien definido, finito y

V−(H) ≤ infEQ

[HP 1

0

]: Q ∈ M

.

El precio (o precios) justos por arbitraje deH deben pertenecer al intervalo

[V−(H), V+(H)]

Recordemos queM = L⊥ ∩ P+. Supongamos quedim(L⊥) = J (luego,dim(L) =

n− J) y elijamos una baseQ1, . . . , QJ deL⊥ formada por elementos deM. En conse-cuencia,

L = y ∈ Rn : y ·Qj = 0, para todoj = 1, · · · , J.

Observemos queK es un pago alcanzable de precioλ ent = 0 si y solo si existex ∈ Rd+1

tal queλ = P 0 · x = EQj[P

1·xP 1

0] para todoj = 1, . . . , J , esto es,EQj

[P1·xP 1

0− P 0 · x] = 0

para todoj = 1, . . . , J . Luego,K es un pago alcanzable de precioλ ent = 0 si y solo siY − λ(1, . . . , 1) ∈ L, siendoY = K

P 10. Pero,Qj · (1, . . . , 1) = 1 para todoj = 1, . . . , J ,

ası queK es un pago alcanzable de precioλ en t = 0 si y solo si Y · Qj − λ = 0para todoj = 1, . . . , J , siendoY = K

P 10. Por consiguiente el problema de encontrar el

pago alcanzableK conK ≥ H de precio menor ent = 0 puede expresarse mediante elprograma lineal:

Min λ

sujeto a:

K ≥ HY − K

P 10

= 0

λ− Y ·Q1 = 0...

......

λ− Y ·QJ = 0λ ∈ R, K ∈ R

n, Y ∈ Rn

(P+)


Este programa es resoluble porque el conjunto de soluciones factibles no es vacıo y lafuncion objetivo esta acotada inferiormente. Si(λ∗, K∗, Y ∗) es una solucion optima de(P+) entoncesV+(H) = λ∗ yK∗ es un pago alcanzable cuyo precio ent = 0 esV+(H).

Analicemos ahora el dual del programa(P+) que puede expresarse como

Maxn∑k=1

(H(ωk)

P 10 (ωk)

)ψk

sujeto a:

θ1 + · · · + θJ = 1ψ1 − (Q1(ω1)θ1 + · · · +QJ(ω1)θJ = 0...

......

ψn − (Q1(ωn)θ1 + · · · +QJ(ωn)θJ = 0ψ ∈ R

n, ψ ≥ 0, θ ∈ RJ

(D+)

Fijemonos en que si(ψ, θ) es una solucion factible entoncesψ = θ1Q1 + · · ·+θJQJ ≥ 0.Ademas,(1, . . . , 1) ·ψ = θ1 + · · ·+ θJ = 1, pues cadaQj es una medida de probabilidad,por lo queψ es tambien una medida de probabilidad. Finalmente,

Eψ[P 1 − P 0] = θ1EQ1 [P1 − P 0] + · · · + θJEQJ

[P 1 − P 0] = 0.

Ası pues,ψ es una regla lineal de valoracion (que no es necesariamente una m.m.e. aµ).Luego, la region factible del problema(D+) es la clausura deM. Naturalmente, el valoroptimo de la funcion objetivo es igual asupEQ[ H

P 10] : Q ∈ M.

Por supuesto, los argumentos anteriores pueden repetirse para el caso deV−(H). Envirtud de la teorıa de dualidad de la programacion lineal se obtiene el siguiente resultadode vital importancia.

Teorema 1.1.28SiM = ∅ entonces dado cualquier pagoH se tiene que:

1. V+(H) = supEQ

[HP 1

0

]: Q ∈ M

2. V−(H) = infEQ

[HP 1

0

]: Q ∈ M


RESUMEN

• T = 0, 1

• (Ω,Σ, µ) incertidumbre

• d+ 1 activos de preciosP 0, P 1. Uno de los activos es un deposito bancario.

• x = (x0, x1, . . . , xd) carteras de activos.

• H = (H1, . . . , Hn) pago ent = 1.

Ausencia de arbitraje⇔ existencia de una m.m.e. aµ

Valoracion:

π(H) = EQ

[HP 1

0

]


1.1.6 Riesgo y rentabilidad

Supongamos queP 0j > 0 para todoj = 0, . . . , d.

Definicion 1.1.29 La rentabilidad delj-esimo activo,j = 0, . . . , d, viene dada por la

variable aleatoriaRj =P 1j − P 0

j

P 0j

.

Ası pues,P 1j = (1+Rj)P

0j para todoj = 0, . . . , d; en particular, la rentabilidad del bono

se conoce como el tipo de interes y se denota porr = R0 = P 10 − 1.

Es facil comprobar que

(P 1 − P 0) · x =d∑j=0

xj(P0j Rj)

parax ∈ Rd+1.

Proposicion 1.1.30 SiQ es una medida de probabilidad enΩ equivalente aµ, entoncesson equivalentes:

1. Q ∈ M

2. EQ[Rj −R0

1 +R0

]= 0 para todoj = 0, . . . , d.

En lo sucesivo supondremos que el tipo de interesr ∈ R. Ası, siQ es una medida deprobabilidad equivalente aµ entonces

EQ

[Rj − r1 + r

]=

1

1 + r(EQ[Rj] − r), para todoj = 0, . . . , d.

Corolario 1.1.31 SiQ es una medida de probabilidad enΩ equivalente aµ y el tipo deinteresr es determinista entonces son equivalentes:

1. Q ∈ M

2. r = EQ[Rj] = 0 para todoj = 0, . . . , d.

Supongamos queM = ∅ y seaQ ∈ M.

Definicion 1.1.32 Llamaremos densidad de precios de estado asociada aQ a la variablealeatoriaL dada por

L(ωk) =Q(ωk)

µ(ωk), k = 1, . . . , n.


Es facil comprobar queE[L] = 1 y queE[y] = EQ[ yL] paray ∈ R

n. En particular,E[RjL] = EQ[Rj] = r. Si para cadaj = 0, . . . , d denotamos porRj = E[Rj] entonces

cov(Rj, L) = r − Rj (1.3)

Definicion 1.1.33 Llamaremos prima de riesgo del activoj = 1, . . . , d al valor Rj − r.

Dada una carterax ∈ Rd+1 de precioP 0 · x > 0 en t = 0, definimos su rentabilidad

como la variable aleatoria

Rx =P 1 · x− P 0 · x

P 0 · x .

Es facil comprobar que, de nuevo,

− cov(Rx, L) = Rx − r (1.4)

ya queP 1 · x− P 0 · x = (P 0 · x)Rx y

Rx =d∑j=0

P 0j xj

P 0 · xRj.

En particular,EQ[Rx] = r.

Teorema 1.1.34Supongamos que el tipo de interes es deterministar ∈ R. Si a + bL,con a, b ∈ R, es un pago alcanzable y la carterax∗ ∈ R

d+1 es una replica deL conrentabilidadRL = Rx∗, entonces

Rx − r = β(RL − r)

dondex ∈ Rd+1, P 0 · x > 0 y

β =cov(Rx, RL)

var(RL)


METODOS DE VALORACION

Dado un pago alcanzableH ent = 1, ¿Como calculamos su precio ent = 0?

• Replica: Si P 1 · x = H

π(H) = P 0 · x

• m.m.e. aµ: SiQ es una m.m.e. aµ

π(H) =1

1 + rEQ[H]

• Precios de estado:SiQ es una m.m.e. aµ y d = Q1+r

π(H) = d ·H

• Densidad de precios de estado:SiQ es una m.m.e. aµ y f = Qµ

π(H) =1

1 + rEµ[fH]


Reflexionemos acerca de las hipotesis economicas que subyacen en estos modeloteoricos:

• La hipotesis de no-arbitraje.

• Tipos de interes.

• Ventas al descubierto y uso total de los beneficios.

• Negociacion discreta.

• Liquidez.

• Costes de transaccion.

• Horquilla de precios.

• Dividendos.


1.1.7 Integracion de mercados

Dedicaremos esta seccion a estudiar distintas formas de medir el grado de integra-cion de dos mercados financieros. Pretendemos evaluar hasta que punto dos mercadosfinancieros distintos valoran consistentemente los activos que les son comunes.

En el artıculo Chen and Knez (1995), estos autores desarrollan una teorıa para medir laintegracion de mercados financieros basada en dos nociones de eficiencia. Primero, dosmercados no pueden estar perfectamente integrados si es posible negociar dos carterasde activos, una en cada mercado, que proporcionen identicos pagos y tengan distintosprecios. En tal caso, la LOP no se cumplirıa a lo largo de ambos mercados. Segundo, dosmercados no pueden estar integrados en un sentido mas fuerte si existen oportunidades dearbitraje entre ellos.

Imaginemonos pues dos mercados finitos de un perıodoMA y MB que verifican porseparado la LOP. En virtud de la caracterizacion dada en la proposicion 1.1.8 los siguien-tes conjuntos no son vacıos y, ademas, son cerrados y convexos:

DA = qA ∈ Rn : qA factor de descuento estocastico admisible para el mercadoA

DB = qB ∈ Rn : qB factor de descuento estocastico admisible para el mercadoB

Definicion 1.1.35 Diremos que los mercadosA yB estan perfectamente integrados en elsentido debil siDA ∩DB = ∅. La medida de integracion debil entre los mercadosA yBviene dada por:

g(A,B) = min‖qA − qB‖2 : qA ∈ DA, qB ∈ DB (1.5)

Naturalmente,A y B estan perfectamente integrados en el sentido debil si y solo sig(A,B) = 0.

Supongamos ahora que en los mercadosMA yMB por separado no hay oportunidadesde arbitraje. Por el teorema fundamental sabemos que los siguientes conjuntos no sonvacıos y, ademas, son convexos:

D++A = dA ∈ R

n : dA precio de estado para el mercadoAD++B = dB ∈ R

n : dB precio de estado para el mercadoB

Denotemos porD+A y D+

B las clausuras deD++A y D++

B respectivamente.

Definicion 1.1.36 Diremos que los mercadosA yB estan perfectamente integrados en elsentido fuerte siD+

A ∩D+B = ∅. La medida de integracion fuerte entre los mercadosA y

B viene dada por:

a(A,B) = min‖qA − qB‖2 : qA ∈ D+A , qB ∈ D+

B (1.6)

Naturalmente,A y B estan perfectamente integrados en el sentido fuerte si y solo sia(A,B) = 0.


Estas medidas de integracion pueden aplicarse en, al menos, dosareas. La primeratiene que ver con la comprobacion empırica de la eficiencia entre mercados. La segundaesta relacionada con la verificacion de los modelos de valoracion. Estas medidas pro-porcionan una herramienta para comprobar la consistencia interna de los precios de unconjunto de datos antes de que les apliquemos un modelo de valoracion.

Como ejemplo, Chen and Knez (1995) analizan el grado de integracion del NYSE yel NASDAQ en el perıodo comprendido entre los anos 1973 y 1991. Estos dos mercadosestan abiertos durante las mismas horas cada dıa y si apostasemos por un par de mercadosque debieran estar perfectamente integrados, estos dos estarıan sin duda en casi todas lasquinielas. Los resultados obtenidos sugieren que estos dos mercados estan proximos a laintegracion debil pero no estan fuertemente integrados.

1.1.8 Medidas de arbitraje

Siguiendo la lınea iniciada por Balbas and Munoz-Bouzo (1998) y Balbas et al. (1998),desarrollaremos una teorıa de la medida del arbitraje en mercados financieros basada enla idea central de medir el maximo beneficio relativo que un inversor podrıa alcanzar enun mercado en el que haya oportunidades de arbitraje. El hecho de medir en terminosmonetarios relativos nos permitira estudiar en el proximo epıgrafe, como alternativa altrabajo de Prisman (1986), si el arbitraje sigue siendo posible despues de descontar loscostes de transaccion: impuestos, tasas, pagos a intermediarios...

REQUISITOS IMPRESCINDIBLES EN CUALQUIER MEDIDA:

1. Debe caracterizar la ausencia de arbitraje

2. Debe tener en cuenta todas las posibles estrategias de arbitraje

OTRAS PROPIEDADES“ADICIONALES”:

1. Que mida el arbitraje en terminos monetarios relativos

2. Que sea facil de calcular en la practica

3. Que pueda aplicarse en condiciones muy generales

4. Que sea continua con respecto a los precios de los activos


1a¯alternativa: Beneficio por unidad de activos vendidos

El maximo beneficio alcanzable por arbitraje, con relacion al precio de los activosvendidos, vendrıa dado por el valor del siguiente programa:

Max f(x)

sujeto a: P 1 · x ≥ 0(IV )

donde, para cada carterax ∈ Rd+1,

f(x) =

− P 0 · x

P 0 · x− si P 0 · x− = 0

0 si P 0 · x− = 0

.

2a¯alternativa: Beneficio por unidad de activos intercambiados

Claramente,P 0 · |x| representa la cantidad total de dinero intercambiado al negociarla carterax ∈ R

d+1. Definimos la funciong : Rd+1 −→ R mediante:

g(x) =

− P 0 · x

P 0 · |x| si x = 0

0 si x = 0

.

Para estudiar el mayor beneficio, con respecto al valor de todos los activos intercam-biados, que un inversor podrıa llegar a alcanzar negociando con carteras de pago positivo,nos planteamos el siguiente programa:

Max g(x)

sujeto a: P 1 · x ≥ 0(V )

3a¯alternativa: Beneficio por unidad en la dotacion inicial de los activos

Supongamos que cada inversor posee una carterah = (h0, h1, . . . , hd) ∈ Rd+1+ de

precio de venta unitario,P 0 · h = 1, y que el mercado no le permite vender cantidades decada activo superiores a las que tienen inicialmente.

En este caso, la estrategia que generarıa mas beneficios por arbitraje serıa aquella quefuese solucion del siguiente programa convexo:

Max −P 0 · x

sujeto a:

P 1 · x ≥ 0

xj ≥ −hj, j = 0, . . . , d

P 0 · h = 1

hj ≥ 0, j = 0, . . . , d

(III)


Proposicion 1.1.37 El problema(III) es resoluble. Ademas, si (x∗, h∗) es cualquiersolucion optima de(III) entoncesx∗ es una solucion optima de los problemas(IV ) y(V ). Ademas,

f(x∗) = −P (x∗)

y

g(x∗) =f(x∗)

2 − f(x∗) .

Definicion 1.1.38 Definimos dos medidas del nivel de oportunidades de arbitraje en elmercado mediante:

m = −P 0 · x∗ = f(x∗)

y

l = g(x∗) =m

2 −m.

Se verifican las siguientes propiedades:

1. 0 ≤ l ≤ m ≤ 1.

2. No hay carteras dominantes en el mercado si y solo si l = m = 0.

3. Las medidasm y l son continuas con respecto a los precios de los activos.


El problema dual de(III) es equivalente al programa(DL) dado por:

Min β

sujeto a:

P 0j = λj +

n∑k=1

P 1j (ωk)dkµk j = 0, . . . , d

P 0j β − λj ≥ 0

β ≥ 0, d ≥ 0, λ ≥ 0

Dada(d, β) ∈ Rn×R una solucion factible de(DL), podemos interpretard como un

“factor de descuento aproximado”, de tal manera que:

•n∑k=1

P 1j (ωk)dkµk, serıa el “precio aproximado” para elj-esimo activo.

• λj = P 0j −

n∑k=1

P 1j (ωk)dkµk, nos darıa el error cometido al valorar el activoj-esimo

medianted.

• λjP 0j

, corresponderıa al error cometido por unidad monetaria.

• β, es una cota superior del maximo error cometido al valorar losd+ 1 activos.

Ası pues, el problema(DL) trata de buscar los “factores de descuento aproximados”d ∈ R

n+ que minimicen el maximo error por unidad monetaria cometido al valorar los

activos con esos factores. Debido a que no hay hueco de dualidad, ese error viene dado porla medidam y volvemos a obtener la caracterizacion de la ausencia de carteras dominantesdada por la proposicion 1.1.5.

Retomamos el problema de la integracion de mercados que abordamos en la seccionanterior. Supongamos que los primerosq < d activos se negocian en un mercadoMA

y los restantesd − q en un mercadoMB. Por supuesto, el bono esta disponible en am-bos mercados. Si no hay carteras dominantes en ninguno de los dos sub-mercados porseparado, los conjuntosDA y DB de las reglas lineales de valoracion paraMA y MB,respectivamente, no son vacıos. Denotemos porM = M1 +M2 el mercado conjunto.Las medidasm y l que acabamos de definir pueden utilizarse para medir el nivel de inte-gracion de los mercadosMA yMB sin mas que calcular su valor en el mercado conjuntoM . La relacion con la medida de integracion fuerte que hemos definido viene dada por elsiguiente resultado.

Teorema 1.1.39Se verifica que:

0 ≤ l ≤ m ≤ 1

2

d∑j=0

||P 1j ||P 0j

√a(MA,MB).


1.2 Modelos de mercados multiperıodo

los modelos multiperıodo de mercados financieros son mucho mas realistas que losde perıodounico que acabamos de estudiar. De hecho, se emplean habitualmente por losprofesionales de la industria financiera.

1.2.1 Arbitraje

1. Fechas de negociacion: T = 0, . . . , T

0 1 ... T − 1 T

2. Incertidumbre: Un espacio de probabilidad(Ω,F , µ).

3. Estructura de la informaci on: Una filtracionFtt∈T.

∅,Ω = F0 ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ FT = F

4. Activos: Un numero finito de activosd + 1, d ∈ N. El activo deındice0 es elnumerario.

5. Precios de los activos:Un proceso estocasticoP = P tt∈T con valores enRd+1

adaptado a la filtracionFtt∈T.

P t : Ω −→ Rd+1

ω P t(ω) = (P t0(ω), . . . , P td(ω))

P tj (ω) ≡ precio delj-esimo activo ent si el estado de la naturaleza esω.

Para cadat ∈ T, P t esFt-medible.

Para el activo numerario:P t0 = 1, t ∈ T.

Diremos que el mercado(T, (Ω,F , µ), Ftt∈T, d ∈ N, P = P tt∈T

)es FINITO si

Ω = ω1, . . . , ωnconµk = µ(ωk) > 0 para todok = 1, . . . , n.

1.2 Modelos de mercados multiperıodo 33

Estrategias de inversion o carteras de activosUna cartera de activos o una estrategia de un inversor es un proceso estocastico

θ = θtTt=1

con valores enRd+1 predecible. Esto es, para cadat ∈ 1, . . . , T,

θt : Ω −→ Rd+1

ω θt(ω) = (θt0(ω), . . . , θtd(ω))

θtj(ω) ≡ la cantidad del activoj que el inversor negocia en el instante de tiempot− 1, y

que mantiene sin cambio en[t− 1, t), si el estado de la naturaleza que se revela esω.Para cadat ∈ 1, . . . , T, θt esFt−1-medible.

P r−1

θr

P r

θr+1

r − 1 r

Dado un proceso estocasticoX = X tt∈T denotaremos por

∆X t = X t −X t−1, t ∈ 1, . . . , T.

Dada una estrategiaθ = θtTt=1 definimos elproceso de valorV t(θ)Tt=0 mediante:

V t(θ) =

θ1P 0 si t = 0

θtP t si t ∈ 1, . . . , T.


t = 0 t = 1 t = 2

80

40

M

B

30

60

90

M

B

M

B

50

Ω = BB,BM,MB,MM

F0 = ∅,ΩF1 = σ(B,M)

con

B =BB,BMM =MB,MM

y

F2 = P(Ω)


Una estrategia autofinanciada es aquella que precisa solo de una inversion inicial yque, en los demas instantes de tiempo, financia la cartera en el tiempot con los pagosrecibidos por la cartera del instantet− 1.

Definicion 1.2.1 Una estrategiaθ = θtTt=1 es autofinanciada si∆θtP t−1 = 0 paratodot = 2, . . . , T .

Denotaremos porΘ la clase de todas las estrategias autofinanciadas.

Definicion 1.2.2 Una estrategiaθ = θtTt=1 ∈ Θ es admisible siV t(θ) ≥ 0 para todot = 0, . . . , T . Denotaremos porΘa la clase de todas las estrategias autofinanciadasadmisibles.

El concepto de arbitraje es la nocion clave.

Definicion 1.2.3 Una oportunidad de arbitraje es una estrategia admisible

θ = θtTt=1 ∈ Θa

tal queV 0(θ) = 0 yE[V T (θ) > 0] > 0.

Definicion 1.2.4 El modelo del mercado es viable si no contiene oportunidades de arbi-traje.

Definicion 1.2.5 Un contrato (“contingent claim”) es una funcionH : Ω −→ R tal queH esF-medible yH ≥ 0. Un contrato es alcanzable si existeθ ∈ Θa que replica aH, esdecir,V T (θ) = H.

En un mercado viable los pagos alcanzables admiten un “precio justo” ent = 0.

π(H) = V 0(θ),

siendoθ ∈ Θa cualquier replica deH.


t = 0 t = 1 t = 2

M

B

30 0

60 20

90 50

P 21 H

M

B

M

B

50

Una opcion CALL europea sobre el activo de riesgo es un contrato que da derecho alposeedor a comprar una unidad de dicho activo en el instantet = 2 al precio de ejercicioK = 40.H = maxP 2

1 − 40, 0 = (50, 20, 20, 0) es un pago alcanzable. La estrategia que loreplica es:

θ0 = (−80

3,25

3)

θ1(B) = (−40, 10)

θ1(M) = (−20,20

3)

El valor por arbitraje del contratoH serıa:

π(H) = V 0(θ) = −80

3+ 50

25

3= 15


1.2.2 Martingalas y valoracion

Recordaremos el concepto de martingala, un modelo estadıstico que representa unjuego “justo”.

Definicion 1.2.6 Un proceso estocasticoM = MtTt=0 con valores enR adaptado a lafiltracionFtTt=0 es una martingala si:

1. E[|Mt|] < +∞ para todot ∈ T.

2. E[Mt+1|Ft] =Mt para todot ∈ 0, . . . , T − 1.

Definicion 1.2.7 Una medida de probabilidadQ sobreF es una m.m.e. aµ si:

1. Q es equivalente aµ.

2. El proceso de preciosS = P tTt=0 es una martingala con respecto aQ.

El siguiente resultado es valido incluso si el mercado no es finito.

Proposicion 1.2.8 Si existe una medida de martingalaQ equivalente aµ entonces elmercado es viable.

Naturalmente, siQ es una m.m.e. aµ y H es un pago alcanzable entonces

π(H) = EQ[H].


t = 0 t = 1 t = 2

80

40

M

B

30

60

90

M

B

M

B

50

Una medida de martingalaQ = (q1, q2, q3, q4) en nuestro mercado sera cualquiersolucion estrictamente positiva del sistema:

50= 80(q1 + q2) + 40(q3 + q4)50= 90q1 + 60q2 + 60q3 + 30q480= 90 q1

q1+q2+ 60 q2

q1+q2

40= 60 q3q3+q4

+ 30 q4q3+q4

1= q1 + q2 + q3 + q4

El mercado es viable pues este sistema tiene unaunica solucion Q = (16, 1

12, 1

4, 1

2). El

precio de la opcionH = (50, 20, 20, 0) viene dado por:

π(H) = 501

6+ 20

1

12+ 20

1

4+ 0

1

2= 15.



El teorema fundamental de la valoracion de activos simplemente establece que la exis-tencia de una medida de martingala equivalente a la probabilidad base no solo es unacondicion necesaria sino tambien suficiente para que un mercado, no necesariamente fini-to, sea viable. El primer resultado parcial se debe a Taqqu and Willinger (1987) quienesprobaron el teorema fundamental cuando el conjunto de estados de la naturalezaΩ esfinito. Mas tarde, Back and Pliska (1988) demostraron el teorema para un espacio de es-tados arbitrario pero considerando solo dos activos: el numerario y un activo con riesgo.Desafortunadamente, la tecnica no puede extenderse a mas activos. Finalmente, Dalanget al. (1990) obtuvieron una demostracion completa del teorema fundamental. Desde en-tonces, muchos autores han aportado demostraciones mas simples o utilizando distintasherramientas matematicas del teorema fundamental, por ejemplo, Schachermayer (1992);Rogers (1994); Kabanov and Kramkov (1994); Jacod and Shiryaev (1998). Cuando seconsideran o bien un numero infinito de activos, Schachermayer (1992), o de fechas,Back and Pliska (1991), el teorema en su formulacion clasica no es valido. No obstan-te, debilitando la condicion de no arbitraje o imponiendo ciertas restricciones adicionaleses posible demostrar versiones del teorema fundamental en tiempo continuo. Citemos,como muestra, Schachermayer (1994); Delbaen and Schachermayer (1998); Pham andTouzi (1999).

La demostracion que haremos se basa en una construccion de la medida de martingalapaso a paso apoyandonos en la idea de que el arbitraje “global” es equivalente al arbitraje“local”.

Definicion 1.2.9 Dadot ∈ 1, . . . , T, diremos que una funcionFt−1-medibleψ : Ω −→Rd+1 es una oportunidad de arbitraje entret− 1 y t si ψP t−1 > 0.

Teorema 1.2.10 (El teorema fundamental de la valoracion de activos)En un mercado finito las siguientes condiciones son equivalentes.

1. El modelo es viable.

2. Para todot ∈ 1, . . . , T No hay oportunidades de arbitraje entret− 1 y t.

3. ExisteQ una medida de martingala equivalente aP .


t = 0 t = 1 t = 2

80

40

34

14

30 112

60

14

12

90 16

23

13

13

23

50

Las martingalas “locales” se obtienen de las ecuaciones:

50 = 80x+ 40(1 − x)80 = 90y + 60(1 − y)40 = 60z + 30(1 − z)

Por lo tanto

q1 =1

4· 2

3=

1

6

q2 =1

4· 1

3=

1

12

q3 =3

4· 1

3=

1

4

q4 =3

4· 2

3=

1

2


RESUMEN(T, (Ω,F , µ), Ftt∈T, d ∈ N, P = P tt∈T

)Estrategias:θ = θtTt=1

Son equivalentes:

• Ausencia de arbitraje

• Existencia de una m.m.e. aµ

• Ausencia de arbitraje en cada perıodo

METODOS DE VALORACION

Dado un pago alcanzableH enT , ¿Como calculamos su precio ent = 0?

• Replica: Si V T (θ) = H

π(H) = V 0(θ)

• m.m.e. aµ: SiQ es una m.m.e. aµ

π(H) =1

(1 + r)TEQ[H]

• medidas de martingala “locales”:Valoramos en cada perıodo[t, t+ 1] utilizandolas martingalas “locales”.


1.2.4 El modelo binomial

El modelo mas versatil y difundido de las fluctuaciones de los precios de una acciony de la valoracion de opciones es el modelo binomial. Los propios autores John Cox,Stephen Ross y Mark Rubinstein, vease Cox et al. (1979), no podıan siquiera sospechar lapopularidad que alcanzarıa. Ello es debido a que el modelo es simple y facil de entender,sin recurrir a tecnicas matematicas de alto nivel como el calculo estocastico, siendo ala vez una herramienta poderosa para la valoracion de una amplia variedad de opciones.El modelo binomial es un modelo en tiempo discreto finito mientras que el modelo delmovimiento browniano geometrico es un modelo en tiempo continuo.

Comenzaremos estudiando el caso mas sencillo, el modelo binomial en ununicoperıodo.

t = 0 t = 1

SM

SB

1 − p

p

S0

Figura 1.3: El modelo binomial de ununico perıodo.

Supondremos entonces que solo hay dos fechas de negociacion T = 0, 1 y quetenemos dos activos: un bono y una accion. El precio del bonoA0 y de la accionS0 en elinstante inicial son conocidos. El bono crece de forma determinista a un tipo de interesr.La incertidumbre en el precio de la accion en el instantet = 1 se modela suponiendo que obien asciende aSB si ha ocurrido un dıa “Bueno” o bien se deprecia aSM (SM < SB) si eldıa ha sido “Malo”. Esto es, consideramos el espacio de probabilidad finitoΩ = B,Mcon probabilidadesP (B) = p y P (M) = 1 − p. Una cartera de activos es, simplemente,un vector(x, y) ∈ R

2 dondex representa el numero de unidades del bono compradas six > 0 o vendidas six ≤ 0 e y indica el numero de unidades de la accion compradassi y > 0 o vendidas siy ≤ 0. Ası, el precio de la cartera(x, y) en el instante inicialt = 0 esA0x + S0y y su valor ent = 1 es la variable aleatoria dada por el vector(A0(1 + r)x+SBy, A0(1 + r)x+SMy), donde la primera componente es el precio en undıa bueno y la segunda el precio en un dıa malo.


Diremos que no hay oportunidades de arbitraje en el modelo si no es posible encontraruna cartera(x, y) que produzca beneficios en el instante inicial y no de perdidas en elinstante final cualquiera que sea el estado de la naturaleza que se revele. Es decir, laausencia de arbitraje equivale a que el sistema de inecuaciones

A0x+ S0y≤ 0A0(1 + r)x+ SBy≥ 0A0(1 + r)x+ SMy≥ 0

no tenga solucion distinta de la trivial.Un contrato que vence ent = 1 es una variable aleatoriaH = (HB, HM). Una cartera

(x, y) replica el contratoH si

A0(1 + r)x+ SBy= HB

A0(1 + r)x+ SMy= HM

Demostraremos que la ausencia de arbitraje en el mercado equivale a queSM <S0(1 + r) < SB. En este caso, todo contrato puede ser replicado; se dice que el mer-cado es completo. Ademas, un contrato y cualquiera de sus replicas deben tener el mismoprecio ent = 0 que se denomina el precio de arbitraje. En resumen, en ausencia dearbitraje, podremos valorar cualquier contrato.


Es facil calcular la cartera que replica un contratoH = (HB, HM):

(xA,∆) =

(HBSM −HMSB

A0(1 + r)(SM − SB),HB −HM

SB − SM

).

El valor por arbitraje deH es

π(H) = ∆ S0 +HBSM −HMSBSM − SB

1

1 + r

Los precios de los contratosH1 = (1, 0) y H2 = (0, 1) se denominan factores dedescuento estocasticos. Ası, dB = π(H1) es el valor actual del derecho a tener unaunidad monetaria ent = 1 si el dıa es bueno. Analogamente,dM = π(H2) es el preciode la posibilidad de tener una unidad monetaria en el instante final si el estado de lanaturaleza que se revela esM . A partir de estos valores, se obtiene que el precio decualquier contratoH se puede expresar como

π(H) = HBdB +HMdM .

El contratoA = (1, 1) es equivalente a un bono con principal igual a una unidadmonetaria. Por lo tanto,1

1+r= π(A) = dB + dM . El vectorq = (qB, qM), dado por

qB = dB(1 + r) y qM = dM(1 + r), es una distribucion de probabilidad enΩ que sedenomina probabilidad neutral al riesgo o medida martingala equivalente. El valor de uncontratoH puede expresarse de la forma

π(H) =1

1 + rEq[H],

dondeEq es la esperanza con respecto aq.El precio de una opcion Call europea con precio de ejercicioK puede calcularse en

este modelo valorando el contratoC = (CB, CM) =(maxSB − K, 0,maxSM −

K, 0). Se obtiene que,

π(C) = ∆ S0 +N1

1 + r

donde

N =CBSM − CMSBSM − SB

< 0

∆ =CB − CMSB − SM

> 0

Luego, la replica de la opcion Call consiste en comprar∆ unidades del subyacente yendeudarse en un bono con principalN .


Naturalmente, el modelo binomial de ununico perıodo es muy facil de extender aun modelo multiperıodo. Se consideran dos activos (el bono y la accion) que se puedenintercambiar en los instantes0, 1, . . . , T . El tipo de interes esr y se supone que existendos valoresb,m ∈ R, conm < r < b para evitar el arbitraje, de tal forma que el precio dela accion toma unos valoresS0, S1, . . . , ST tales queSt = (1 + b)St−1 con probabilidadpy St = (1 +m)St−1 con probabilidad1 − p.

t = 0 t = 1 t = 2

(1 + b)S0

(1 +m)S0

1 − p

p

(1 +m)2S0

(1 + b)(1 +m)S0

(1 + b)2S0

1 − p

p

1 − p

p

S0

Figura 1.4: El modelo binomial multiperıodo

Ahora es posible valorar un contrato aplicando la tecnica de un perıodo en cada trozodel arbol para obtener, hacia atras, las probabilidades neutrales al riesgo. De este forma,es facil deducir la formula binomial de Cox-Ross-Rubinstein del valor de una opcion Calleuropea con precio de ejercicioK y vencimientoT :

CAT = G(E;T, q′)S0 −1

(1 + r)TKG(E;T, q) (1.7)

siendoq = r−mb−m , q′ = q 1+b

1+r, E es el primer naturale tal que

S0(1 + b)e(1 +m)T−e > K

y G la funcion de distribucion complementaria de una distribucion binomial

G(E;n, p) =n∑

j=E

n!

j!(n− j)!pj(1 − p)n−j.


1.3 Tiempo continuo

Intentaremos resaltar las similitudes entre un modelo de un mercado financiero rea-lista, con un espacio de estadosΩ = [0,+∞) infinito, y los modelos mas simples queacabamos de estudiar.

NUESTRO MODELO EN TIEMPO CONTINUO

• Fechas de negociacion: T = [0, T ]

0 T

• Incertidumbre: Ω = [0,+∞)

• Estructura de la informaci on: Una filtracionFtt∈T.

• Activos:

– Un deposito bancario a interes continuo:Bt = B0ert

– Un activo con riesgo:P t denotara su precio en el instantet ∈ [0, T ].

HIPOTESIS FUNDAMENTAL: No hay arbitraje en el mercado (lo que, bajo

ciertas condiciones tecnicas, implica la existencia de precios de estado).

1.3 Tiempo continuo 47

1.3.1 Factores de descuento

En un modelo finito de ununico perıodo,Ω estaba formado por un numero finito deestados y tenıamos un numero finito de activos cuyos precios eran conocidos. Luego,eramos capaces de calcular los precios de estado sin mas que resolver un sistema linealde ecuaciones. Estos precios de estado estaban pues implıcitos en los precios de mercadode los activos.

Las piezas basicas del modelo finito de un perıodo eran los pagos de 1 euro si sedaba un particular estado de la naturaleza. De modo analogo, los pagos de una opciondependen del valor del activo subyacente. Ası pues, tomaremos como conjunto de losposibles estados de la naturaleza el de los valores que pueda alcanzar el precio del activosubyacente,Ω = [0,+∞).

Dado que tenemos un numero infinito de estados, tendremos un numero infinito deprecios de estado, uno por cadaω ∈ [0,+∞); esto es, una variable aleatoria

ψt : Ω −→ R.

ψt(ω) representa el precio de estado para el sucesoω ent unidades de tiempo.

OBSERVACIONES:

• Los precios de estado son positivos.

• Los precios de estado dependen de la longitud del intervalo de tiempo.

• El precio de estado paraω depende de las condiciones actuales solo a traves delprecio actual del activo, esto es,ψt(ω) = ψt,P t(ω).


En nuestro modelo, para calcular el precio actual de 1 euro seguro en el instantet,tendrıamos: ∫ +∞

0

1 · ψt(ω)dω. (1.8)

Naturalmente, el precio de este activo sin riesgo debe coincidir con el valor presentede 1 euro. Por lo tanto, sir es el tipo de interes continuo obtenemos que∫ +∞

0

ψt(ω)dω = e−rt. (1.9)

Como quiera que el activo pagaω euros en cada estado, su precio en el instantet0 = 0serıa

P 0 =

∫ +∞

0

ωψt(ω)dω. (1.10)

Empleando la misma logica, el precio de un valor que pagueh(ω) unidades en cadaestadoω serıa ∫ +∞

0

h(ω)ψt(ω)dω. (1.11)

En particular, el precio de una opcion Call europea sobre el activo subyacente con preciode ejercicioK y que expire en el instantet vendrıa dado por

CA0t,K =

∫ +∞

0

maxω −K, 0ψt(ω)dω =

∫ ∞

K

(ω −K)ψt(ω)dω. (1.12)

OBSERVACION:En tanto en cuanto los factores de descuentoψt(·) dependen del activo subyacente,

solo podemos emplearlos para valorar pagos que dependan del precio de este activo.


1.3.2 Densidad de precios de estado

Dado que los precios de estado son positivos, podemos definir la variable aleatoria

ft : Ω −→ R, ft(ω) =ψt(ω)∫ +∞

0

ψt(ω)dω

Comoft ≥ 0 y∫ +∞

0

ft(ω) = 1, ft puede interpretarse como una funcion de densidad

enΩ. Ahora bien, de la ecuacion (1.9) tenemos que

ft(ω) =ψt(ω)

e−rt

La ecuacion (1.10) puede escribirse ahora de la forma

ertP 0 =

∫ +∞

0

ωft(ω)dω

o, equivalentemente,

P 0 = e−rtEft [Pt] (1.13)


1.3.3 El proceso de precios del activo con riesgo

Hasta el momento, hemos investigado las condiciones que debe satisfacerψt comofactor de descuento estocastico. La existencia de estos factores es una consecuencia de lahipotesis de la ausencia de “free lunch”. Estas condiciones, sin embargo, no determinanψt. Hemos de imponer algunas hipotesis acerca del comportamiento de los precios delactivo.

Despejando en la ecuacion (1.13) llegamos a

ert = Eft

[P tP 0

]. (1.14)

SubstituyendoP t = P 0 + (P t − P 0) tenemos

ert = 1 + Eft

[P t − P 0

P 0

](1.15)

La variableRt =P t − P 0

P 0es la rentabilidad del activo en el perıodo[0, t]. Si omitimos la

esperanza en la ecuacion (1.14) podemos suponer que el terminoert quede reemplazadopor una variable aleatoria: el tipo de interes continuo del activo en el perıodo [0, t]. Sidenotamos esta variable porY t, tenemos pues

eYt

= 1 +Rt =P t

P 0⇐⇒ P t = P 0eY

t

. (1.16)

La variableY t puede expresarse de la formaY t = µY t + σY tZt, siendoZt una variablecon la misma distribucion queY t pero con media cero y varianza uno. En consecuencia,

eµY t+σY tZt

= 1 +Rt. (1.17)

HIPOTESIS SOBREY t

• Y t esta normalmente distribuida para todot.

• Existenµ, σ ∈ R tales queµY t = µt y varY t = σ2t.

• Y t depende det solo en la longitud del intervalo[0, t].

El procesoY t ası determinado se denomina un movimiento browniano.En resumen,

P t = P 0eµt+σ√tZ = P 0eµteσ

√tZ (1.18)

dondeZ ∼ N(0, 1).


1.3.4 Determinacion de una probabilidad neutral al riesgo

Si Y t ∼ N(µt, σ√t), la esperanza de la variable aleatoriaeY

tviene dada por

E[eYt

] = eµ+ 12σ2t.

Ahora bien, por las ecuaciones (1.16) y (1.14), deducimos que, con respecto a la densidadneutral al riesgoft,

ert = Eft [eY t

].

Pero, siFt y FY t denotan respectivamente las funciones de distribucion deP t e Y t, en-tonces

Ft(ω) = FY t

(ln

( ωP 0

)).

Luego, la relacion entre las densidades neutrales al riesgoft y fY t deP t eY t es

ft(ω) =1

ωfY t

(ln

( ωP 0

)).

En definitiva,ft verifica la ecuacion (1.13) si y solo si con respecto a la probabilidadneutral al riesgofY t deY t se tiene que

ert =

∫ +∞

−∞eY

t

fY tdY t. (1.19)

Si suponemos quefY t sigue una distribucion normal a imagen y semejanza de la densidadrespecto a la probabilidad “real” entonces

(µfY t +1

2σ2fY t

)t = rt.

Si, ademas, suponemos que el valorσ2fY t

coincide con el valor “real”σ2 entonces

µfY t = µ− σ2

2.

Teorema 1.3.1Supongamos que respecto a la probabilidad originalY t ∼ N(µt, σ√t).

Reemplazandoµ por r − 12σ2 y manteniendoσ obtenemos una probabilidad neutral al

riesgo. Respecto a esta probabilidadY t ∼ N((r − 12σ2)t, σ

√t).

Teorema 1.3.2Si la distribucion neutral al riesgo deY t esY t ∼ N((r − 12σ2)t, σ

√t)

entonces la distribucion deP t es log-normal; esto es,

ft(ω) =1

ω√

2πσ2te

−

(ln(ω) − ln(P 0) − (r − 1

2σ2)t

)2

2σ2t

(1.20)


1.3.5 La formula de Black-Scholes

Ya podemos calcular el valor de una opcion Call europea sobre el activo subyacente apartir de las ecuaciones (1.12) y (1.20),

CA0t,K = e−rt

∫ ∞

K

(ω −K)ft(ω)dω

=

∫ +∞

K

1

2

(ω −K)e−rt√

2e

(−1

2

(ln(ω) − ln(P 0) − (r − 12σ2)t)2

σ2t

)ωσ

√pit

dω (1.21)

LA FORMULA DE BLACK -SCHOLES

CA0t,K = N(d1)P

0 −Ke−rtN(d2) (1.22)

donde

d1 =ln(P

0

K) + t(r + σ2

2)

σ√t

d2 =ln(P

0

K) + t(r − σ2

2)

σ√t

y N es la funcion de distribucion de una variableN(0, 1).



Comenzaremos dando una idea de las dificultades tecnicas que se presentan a la ho-ra de extender el teorema fundamental de la valoracion de activos a tiempo continuo.Recordemos el ejemplo de Back and Pliska (1991).

Imaginemos el fenomeno aleatorio consistente en lanzar repetidamente un dado hastaque salga el primer numero distinto de6. Podemos modelar este experimento medianteun espacio de probabilidad(Ω,Σ, µ); tomandoΩ = N, Σ = P(Ω) la σ-algebra de partesdeΩ y µ(ω) = 5

6(1

6)ω−1, ω ∈ Ω. Naturalmente, cadaω ∈ Ω representa el suceso: “El

primer numero distinto de6 salio en la tiradaω”.

t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1

2

3

4

∞

1

1c

2

2c

3

3c

4

4c

Figura 1.5: El ejemplo de Back y Pliska

Consideremos un mercado financiero en el que se negocian dos activosA1 y A2, enuna cantidad infinita numerable de instantesT = N

∗. Supongamos que, en cada instantet ∈ T , se lanza un dado y que los inversores conocen si ha salido un numero distinto de6 en esa tirada o en alguna previa. Ası, la informacion disponible en cada instante vienedada por la familia filtrante deσ-algebras:

Σo = ∅,ΩΣt = σ(1, . . . , t), t ∈ N,

siendoσ(1, . . . , t) la σ-algebra generada por los sucesos1, . . . , t.


El activoA1 es el “numerario”, o sea,P1(t, ω) = 1 para todot ∈ T y todoω ∈ Ω.Los precios del activoA2 estan dados por el siguiente proceso:

P t2(ω) =

1 si t = 0(1

2

)t

si 0 < t < ω

(ω2 + 2ω + 2)

(1

2

)ω

si t ≥ ω

Ası pues, el precio deA2 se devalua a la mitad en cada tirada mientras salga el numero6de forma consecutiva; incrementa su valor a(ω2 +2ω+2)(1

2)ω si sale un numero distinto

de6 por primera vez en el instanteω; y, a partir de este momento, su precio es constante.Back y Pliska demuestran que este mercado no admite arbitraje y que no es posible

encontrar una medida martingala equivalente. Para ello, construyen un “free lunch” (unasucesion de estrategias que aproxima una de arbitraje), mediante lo que denominan estra-tegias de doblamiento. Se trata de comprar el activoA2 en el instante inicial con el dineroobtenido por la venta al descubierto del “numerario”. Si el salto de precios tiene lugar enel instantet1 entonces habremos ganado dinero. En caso contrario, “doblamos la apuesta”comprando mas cantidad deA2 mediante la venta de la cantidad correspondiente deA1.Procediendo indefinidamente de esta manera, obtendrıamos una estrategia que nos pro-porcionarıa pago positivo en cualquier estado de la naturaleza sin que hayamos invertidoningun dinero en el proceso. La existencia de este “free lunch” descarta la existencia deuna medida martingala equivalente.

Capıtulo 2

Optimalidad

Este capıtulo esta dedicado al problema de elegir la mejor estrategia de negociacioncon el fin de transformar la riqueza entre instantes de tiempo.

2.1 Modelos de perıodo unico

2.1.1 Carterasoptimas y viabilidad

Sea

U : Rn × R

n −→ R

(c, ω) U(c, ω)

una funcion de utilidad ent = 1. Ası pues,c representa la riqueza final,ω el estado de lanaturaleza yU(c, ω) la utilidad que le reporta al consumidor la cantidadc en t = 1 si sedaω.

Supondremos queU(·, ω) es diferenciable, concava y estrictamente convexa para todoω ∈ Ω.

Si un consumidor posee una dotacion inicial h0 > 0, consideremos el siguiente pro-blema:

Max E[U(P 1 · x)]

sujeto a:

P 0 · x = h0

x ∈ Rd+1

(CO)

56 Capıtulo 2. Optimalidad

Observemos que:

E[U(P 1 · x)] =n∑k=1

µkU((P 1 · x)(ωk))

=n∑k=1

µkU((P 10 (∆P 1 · x)(ωk) + P 0 · x))

= E[U(P 10 (∆P 1 · x+ P 0 · x))]

Luego, six = (x0, x1, . . . , xd) ∈ Rd+1 es una cartera de precioh0, denotando porx =

(x1, . . . , xd) ∈ Rd se tiene que

P 1 · x = P 10 (P 1 · x− P 0 · x+ P 0 · x) = P 1

0 (∆P 1 · x+ h0)

Recıprocamente, dadox = (x1, ·, xd) ∈ Rd, existe unaunica carterax = (x0, x1, . . . , xd) ∈

Rd+1 de precioh0 verificando la relacion anterior. En consecuencia, el problema(CO) es

equivalente a

Max E[U(P 1 · x)]

sujeto a:

P 0 · x = h0

x ∈ Rd+1

⇔ Maxx∈Rd

E[U(P 10 (h0 + ∆P 1 · x))] (2.1)

Proposicion 2.1.1 Si(CO) es resoluble entonces en el mercado no hay oportunidades dearbitraje.

2.1 Modelos de perıodounico 57

Resulta ciertamente sorprendente que exista una relacion explıcita entre cualquier so-lucion optima del problema(CO) y las m.m.e aµ. Denotemos por

F (x) = E[U(P 10 (h0 + ∆P 1 · x))]

la funcion objetivo en(2.1) y seax∗ ∈ Rd cualquier solucion optima. Por la condicion

necesaria de primer orden, para todoj = 1, . . . , d,

∂F

∂xj(x∗) =

n∑k=1

µkU′((P 1 · x∗)(ωk)

)P 1

0 (ωk)(P 1j (ωk) − P 0

j

)

=n∑k=1

µkU′((P 1 · x∗)(ωk)

)P 1

0 (ωk)(P 1

j (ωk)

P 10 (ωk)

− P 0j

)= 0. (2.2)

Consideremos el vectorQ = (q1, . . . , qn) dado por:

qk =µkU

′((P 1 · x∗)(ωk))P 1

0 (ωk)

E[P 10U

′(P 1 · x∗)] .

Claramente,qk > 0 para todok = 1, . . . , n y∑n

k=1 qk = 1, con lo queQ es una medidade probabilidad enΩ equivalente aµ. Pero ademas, la relacion (2.2) es equivalente a

EQ

[P 1j

P 10

− P 0j

]= 0 para todoj = 1, . . . , d. Esto es,Q ∈ M.

Proposicion 2.1.2 Si x∗ ∈ Rd es solucion del problema(CO) entonces

Q(ωk) =µkU

′((P 1 · x∗)(ωk))P 1

0 (ωk)

E[P 10U

′(P 1 · x∗)] , k = 1, . . . , n

es una m.m.e. aµ.


La funcion de densidad de precios de estadoL puede expresarse del siguiente modo:

Lk =Qkµk

=P 1

0 (ωk)

E[P 10U

′(P 1 · x∗)]U′((P 1 · x∗)(ωk)

), k = 1, . . . , n (2.3)

Corolario 2.1.3 Si el tipo de interesr es determinista entonces

Lk =Qkµk

=1

E[U ′(P 1 · x∗)]U′((P 1 · x∗)(ωk)

), k = 1, . . . , n,

es decir, la densidad de precios de estado es proporcional a la utilidad marginal de lariqueza finaloptima.

Definicion 2.1.4 El modelo del mercado se dice viable si existen una funcion de utilidadU y una dotacion inicial h0 tales que el correspondiente problema(CO) es resoluble.

Teorema 2.1.5El mercado es viable si y solo si no hay oportunidades de arbitraje.

De hecho, siQ ∈ M, entonces dadoh0 arbitrario, una eleccion adecuada deU serıa

U(c, ω) = cQ(ω)

µkP 10 (ω)

.


2.1.2 Carterasoptimas y probabilidades neutrales al riesgo

La funcion objetivoF del problema(2.1) puede verse como una composicion:

Rd −→ v. a.−→R

x P 1 · x E[U(P 1 · x)]

Resolveremos el problema(2.1) en dos etapas:1a

¯Etapa: Identificaremos la variable aleatoriaoptimaV ∗ paraE[U(V )] en el conjuntode variables aleatorias factibles.2a

¯Etapa: Calcularemos una carterax∗ que repliqueV ∗.

ETAPA 1: (MERCADOS COMPLETOS)Dadoho sea

Wh0 = K ∈ Rn : EQ

[KP 1

0

]= h0

el subespacio afın de las riquezas alcanzables ent = 1.Intentaremos resolver el problema

Max E[U(K)]

sujeto a: K ∈ Wh0

⇔Max E[U(K)]

sujeto a: EQ[ KP 1

0] = h0

que, si escribimosy = (y1, . . . , yn) = (K(ω1), . . . , K(ωn)), es a su vez equivalente a

Maxn∑k=1

µkU(yk)

sujeto a:

n∑k=1

µkLkyk

P 10 (ωk)

= h0

y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn


La funcion lagrangiana asociada a este problema es

L(y) =n∑k=1

µkU(yk) − λ( n∑k=1

µkLkyk

P 10 (ωk)

− h0

)

Por el teorema de los multiplicadores de Lagrange tenemos que siy∗ ∈ Rn es una solucion

optima del problema entonces

∂L∂yj

(y∗) = U ′(y∗j ) − λLj

P 10 (ωj)

= 0, j = 1, . . . , n (2.4)

Fijemonos en que esta ecuacion coincide con (2.3) paraλ = 1E[P 1

0U′(y)] . Resolviendo (2.4)

tenemos que

y∗j = I(λLj

P 10 (ωj)

)siendoI la inversa deU ′ y λ tal que

EQ

[I(λ LP 1

0

)P 1

0

]= h0.


ETAPA 1: (MERCADOS INCOMPLETOS)Recordemos queM = L⊥ ∩ P

+. Supongamos quedim(L⊥) = J (luego,dim(L) =n− J) y elijamos una baseQ1, . . . , QJ deL⊥ formada por elementos deM.

Dadoho sea

Wh0 = K ∈ Rn : EQj

[KP 1

0

, j = 1, . . . , J]

= h0

el subespacio afın de las riquezas alcanzables ent = 1.Intentaremos resolver el problema

Max E[U(K)]

sujeto a: K ∈ Wh0

⇔Max E[U(K)]

sujeto a: EQj[ KP 1

0] = h0, j = 1, . . . , n


2.1.3 Problemas de consumo e inversion

Definicion 2.1.6 Un proceso de consumo es un parC = (C0, C1) ∈ R × Rn tal que

C0 ≥ 0 yC1 ≥ 0.Un plan de consumo e inversion es un par(C, x) donde:

1. C es un proceso de consumo.

2. x ∈ Rd+1 es una cartera de activos.

Un plan(C, x) es admisible parah0 si:

1. C0 + P 0 · x = h0

2. P 1 · x = C1

Si (C, x) es un plan admisible entoncesC1 es un pago alcanzable y, por lo tanto,

P 0 · x = EQ

[C1

P 10

], para todoQ ∈ M

Proposicion 2.1.7 Dadosh0 ≥ 0 yC = (C0, C1) ∈ R×Rn, existe una carterax ∈ R

d+1

tal que el plan(C, x) es admisible si y solo si

C0 + EQ

[C1

P 10

]= h0, para todoQ ∈ M


Nos planteamos el problema

Max U(C0) + E[U(C1)]

sujeto a:

C0 + P 0 · x = h0

C1 − P 1 · x = 0

C0 ≥ 0, C1 ≥ 0, x ∈ Rd+1

(C − I)

DespejandoC0 y C1 en las restricciones y substituyendo en el objetivo llegamos alproblema equivalente:

Maxx∈Rd+1

U(h0 − P 0 · x) +n∑k=1

µkU((P 1 · x)(ωk)).

La condicion necesaria de primer orden serıa:

−U ′(C0)P0j + E[U ′(C1)P

1j ] = 0, j = 0, . . . , d (2.5)

En particular:

U ′(C0) = E[U ′(C1)P10 ].

Bajo condiciones adecuadas que garanticen queC0 ≥ 0 y C1 ≥ 0, una solucion de(2.5) es solucion del problema(C − I).

Proposicion 2.1.8 Si (C∗, x∗) es una solucion del problema(C − I) con C∗0 > 0 y

C∗1(ω) > 0 para todoω ∈ Ω entonces

Q(ω) = µ(ω)P 10 (ω)

U ′(C1(ω))

U ′(C0), ω ∈ Ω

es una m.m.e. aµ.


La aproximacion neutral al riesgo para resolver(C − I) consiste en proceder en dosetapas:

1a¯Etapa: Resolvemos,


sujeto a:

C0 + EQ[C1

P 10] = h0

C0 ≥ 0, C1 ≥ 0

2a¯ Etapa: Encontramos una carterax ∈ R

d+1 que replique la solucion de la etapaanterior.

EXTENSIONES:

Max U(C0) + βE[U(C1)]

sujeto a:

C0 + P 0 · x = h0

C1 − P 1 · x = 0

C0 ≥ 0, C1 ≥ 0, x ∈ Rd+1

0 < β ≤ 1


sujeto a:

C0 + P 0 · x = h0

C1 − P 1 · x = E1

C0 ≥ 0, C1 ≥ 0, x ∈ Rd+1

(h0, E1) ∈ R+ × Rn+


2.1.4 Analisis media-varianza de carteras

En esta seccion supondremos que el tipo de interes r es determinista, que no hayoportunidades de arbitraje en el mercado y que existe una carterax ∈ R

d+1 tal que

Rx = E[Rx] = r

Un problema clasico en este contexto es

Min var(R)

sujeto a:

E[R] = ρ

ρ ∈ R

(MV P )

Si ρ = r entonces la carterax∗ = (1, 0, . . . , 0) (el deposito bancario) esoptima, pues

Rx∗ = (r, . . . , r), E[Rx∗ ] = r y var(Rx∗) = 0.

Recıprocamente, six∗ es tal quevar(Rx∗) = 0 entoncesRx∗ = (ρ, . . . , ρ) y ρ = E[Rx∗ ].Dado que no hay arbitraje,ρ = r.

Proposicion 2.1.9 El valor optimo del problema(MV P ) es cero si y solo siρ = r.

Si ρ ≥ r, el conjunto de soluciones factibles de(MV P ) no es vacıo y, por ello, esteproblema tiene solucion.

Si denotamos por

Fj =P 0j xj

P 0 · x, j = 1, . . . , d

la rentabilidad de cualquier carterax ∈ Rd+1 puede escribirse mediante:

Rx = (1 − F1 − · · · − Fd)r +d∑j=1

FjRj.

Ası, el problema(MV P ) admite la formulacion equivalente:

Min F C F t

sujeto a:

(1 − F1 − · · · − Fd)r +d∑j=1

FjRj = ρ

F ∈ Rd

siendoC = (cov(Ri, Rj)) ∈ Mn×n.


Resolveremos el problema clasico que hemos expuesto utilizando la teorıa que veni-mos desarrollando. Consideremos el problema,

Min var(P 1 · x)

sujeto a:

E[P 1 · x] = h0(1 + ρ)

P 0 · x = h0

(MV − A)

Proposicion 2.1.10 La relacion P 1 · x = h0(1 + Rx) establece una correspondenciabiunıvoca entre los conjuntos de soluciones factibles de los problemas(MV P ) y (MV −A).

Consideremos el problema

Max E[−12(P 1 · x)2 + βP 1 · x]

sujeto a:

P 0 · x = h0

x ∈ Rd+1, h0 ≥ 0

(OC − A)

donde

β =h0

((1 + ρ)Eq[L] − (1 + r)

)EQ[L] − 1

.

Este problema es del tipo estudiado en las secciones precedentes, de modo que es facilestablecer el siguiente resultado:

Teorema 2.1.11Los problemas(MV − A) y (OC − A) son equivalentes.

En otros terminos, este resultado implica que hay una correspondencia biunıvoca entrelas soluciones del problema media-varianza de carteras y las soluciones de los problemasde un consumidor con utilidad cuadratica.


CONSECUENCIAS:

Teorema 2.1.12La solucion optimaR∗ del problema(MV P ) es una funcion afın de ladensidad de precios de estadoL.

Teorema 2.1.13 (C.A.P.M.)SiR∗ es la solucion optima del problema(MV P ) paraρ ≥r yR es la rentabilidad de cualquier cartera entonces

E[R] − r =cov(R,R∗)

var(R∗)(E[R∗] − r).

Teorema 2.1.14 (Mutual fund principle) Fijemos una carterax∗ cuya rentabilidad essolucion del problema(MV P ) para ρ ≥ r. Entonces la solucion del problema(MV P )para cualquier otroρ ≥ r se puede alcanzar mediante una cartera consistente en invertiren el activo sin riesgo y en la cartera fijadax∗.


2.2 Modelos multiperıodo. Carteras optimas y progra-macion dinamica

Dada una estrategiaθ = θtTt=1 definimos elproceso de gananciasGt(θ)Tt=0 me-diante:

Gt(θ) =

0 si t = 0t∑

r=1

θr∆Pt si t ∈ 1, . . . , T .

Sabemos queθ ∈ Θ es autofinanciada si y solo siGt(θ) = V t(θ) − V 0(θ) para todot = 1, . . . , T .

Dado un proceso predecible con valores enRd, θ = θtTt=1 con θt = (θt1, . . . , θ

td),

existe ununico proceso predecible con valores enR, θt0Tt=1, de tal forma que el procesoaumentadoθ = (θt0, θt)Tt=1 es una estrategia autofinanciada con valor inicialV 0(θ) = 0.

El problema de la carteraoptima en un modelo multiperıodo admite la formulacion:

Max E[U(V T (θ))]

sujeto a:

V 0(θ) = h0

θ ∈ Θ

(CO)

que es equivalente a:

Maxθ∈Θ

E[h0 + U(V T (θ))]

Proposicion 2.2.1 Si θ∗ es solucion del problema(CO) entonces:

Q(ω) =µk

E[U ′(V T (θ))

]U ′(V T (θ)(ω)), ω ∈ Ω

es una m.m.e. aµ.

2.2 Modelos multiperıodo. Carterasoptimas y programacion dinamica 69

METODOS DE RESOLUCION

• Metodos clasicos de optimizacion.

• Programacion dinamica.

• Metodos de martingala.

Programacion dinamicaDefinimos el proceso de valoroptimo

Ut(w) = Maxθ∗∈Θ∗

E[w + U(V T (θt))], t = 0, . . . , T

Claramente,UT (w) = u(w, ω). Parat < T el valorUt(w) verifica laecuacion funcional de la programacion dinamica:

Ut(w) = Maxθt+1∈Ft

E[Ut+1(w + θt+1∆Pt+1)|Ft].

Metodo de la martingalaEn una primera etapa resolvemos el problema,

Max E[U(K)]

sujeto a: K ∈ Wh0

⇔Max E[U(K)]

sujeto a: EQ[ KP 1

0] = h0

eligiendo adecuadamente el conjuntoWh0 .En una segunda etapa, calculamos una replica de la solucion obtenida en el paso an-

terior.

Capıtulo 3

Equilibrio

Hasta este momento el proceso de precios de los activos era parte de los datos de nues-tro modelo. No obstante, es importante entender los precios de modo que los economistashan desarrollado y estudiado modelos en los que el proceso de precios es endogeno.

3.1 Equilibrio en un modelo de un perıodo

Los datos de nuestro modelo son ahora:

• T = 0, 1

• (Ω,Σ, µ) incertidumbre

• d + 1 activos de precios ent = 1 dados porP 1. Uno de los activos es un depositobancario.

• I inversores.

• Para cadai = 1, . . . , I, tenemos una funcion de utilidad diferenciable, concava yestrictamente creciente, y unas dotaciones(Ui, hi, Ei).

Variables de nuestro modelo:

• Los precios de los activos con riesgo ent = 0, P 01 , . . . , P

0d .

• Un proceso de consumoCi = (Ci0, Ci1) para cada inversori = 1, . . . , I.

• Una estrategiaxi = (xi0, . . . , xid) ∈ R

d+1 para cada inversori = 1, . . . , I.

72 Capıtulo 3. Equilibrio

Definicion 3.1.1 La terna (P 0j dj=1, CiIi=1, xiIi=1) es un equilibrio si para cada

inversori = 1, . . . , n el plan de consumo inversion (Ci, xi) esoptimo, o sea,(Ci, xi) essolucion del problema

Max Ui(Ci0) + E[Ui(C

i1)]

sujeto a:

Ci0 + P 0 · xi = hi

Ci1 − P 1 · xi = Ei

xi ∈ Rd+1

y, ademas, el mercado se cierra, esto es,

I∑i=1

xij = 0, para todoj = 0, 1, . . . , d.

Naturalmente, si existe un equilibrio entonces en el mercado no hay oportunidades dearbitraje. Ademas, si somos capaces de encontrar el proceso de consumo del equilibriotodas las demas variables serıan faciles de deducir.

Desafortunadamente, los equilibrios no tienen porque existir.

Proposicion 3.1.2 Si el proceso de consumoCi = (Ci0, Ci1), i = 1, . . . , I, forma parte de

un equilibrio entonces

I∑i=1

Ci0 =I∑i=1

hi yI∑i=1

Ci1 =I∑i=1

Ei (3.1)

Una coleccion de procesos de consumo verificando las relaciones (3.1) se denominafactible.

Definicion 3.1.3 Una coleccion CiIi=1 de procesos de consumo se denomina Paretoeficiente si es factible y no existe ninguna otra coleccionCiIi=1 de procesos de consumofactibles tales que

Ui(Ci0) + E[Ui(C

i1)] ≥ Ui(Ci0) + E[Ui(C

i1)], i = 1, . . . , I

siendo alguna de las desigualdades estricta.

Mediante un razonamiento basado en la ausencia de arbitraje se puede demostrar elsiguiente resultado.

Proposicion 3.1.4 Si el mercado es completo yCiIi=1 es parte de un equilibrio entoncesCiIi=1 es Pareto eficiente.

Bibliograf ıa

Back, K., Pliska, S. R., 1988. Valuation af contingent claims on a general state space.Working Paper 6, Office for the study of futures and options. University of Illinois atChicago.

Back, K., Pliska, S. R., 1991. On the fundamental theorem of asset pricing with an infinitestate space. Journal of Mathematical Economics 20, 1–18.

Balbas, A., Longareda, I. R., Lucia, J. J., 1999. How does financial theory apply tocatastrophe-linked derivatives? an empirical test of several pricing models. The Journalof Risk and Insurance 66 (4), 551–582.

Balbas, A., Longareda, I. R., Pardo,A., 2000. Integration and arbitrage in the spanishfinancial markets: An empirical approach. The Journal of Futures Markets 20, 100–200.

Balbas, A., Miras, M., Munoz-Bouzo, M. J., 1998. On the measurement of financial mar-ket integration. Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Fısicas y Naturales92 (4), 337–348.

Balbas, A., Miras, M., Munoz-Bouzo, M. J., 2002. Projective system approach to themartingale characterization of the absence of arbitrage. Journal of Mathematical Eco-nomics 37 (4), 311–323.

Balbas, A., Munoz-Bouzo, M. J., 1998. Measuring the degree of fulfillment of the lawof one price. applications to financial markets integration. Investigaciones Economicas22 (22), 153–177.

Baxter, M., Rennie, A., 1996. Financial calculus: An introduction to derivative pricing.Cambridge University Press, Cambridge.

Bjork, T., 1998. Arbitrage theory in continuous time. Oxford University Press, Oxford,New York.

Black, F., Scholes, M., 1973. The pricing of options and corporate liabilities. Journal ofPolitical Economy 81, 637–659.

74 BIBLIOGRAFIA

Chamberlain, G., Rothschild, M., 1983. Arbitrage, factor structure and mean varianceanalysis in large assets. Econometrica 51, 1281–1304.

Chateauneuf, A., Kast, R., Lapied, A., 1996. Choquet pricing for financial markets withfrictions. Mathematical Finance 6 (3), 323–330.

Chen, Z., Knez, P. J., 1995. Measurement of market integration and arbitrage. The Reviewof Financial Studies 88, 563–579.

Chriss, N. A., 1997. Black-Scholes and beyond. Option pricing models. McGraw-Hill,New York.

Copeland, T. E., Weston, J. F., 1988. Financial theory and corporate policy. Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading, Massachusets.

Cox, J., Ross, S., 1976. The valuation of options for alternative stochastic processes.Journal of Financial Economics 3, 145–166.

Cox, J., Ross, S., Rubinstein, M., 1979. Option pricing: A simplified approach. Journalof Financial Economics 7, 229–263.

Cvitanic, J., Schachermayer, W., Wang, H., 1991. Martingale and duality methods forutility maximization in an incomplete market. Finance and Stochastics 29 (3), 702–730.

Dalang, R. C., Morton, A., Willinger, W., 1990. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market models. Stochastics and Stochastic Reports 29,185–201.

Davis, M., 2001. Mathematics of financial markets. In: Engquist, B., Schmid, W. (Eds.),Mathematics Unlimited-2001 and beyond. Springer-Verlag, Berlin, pp. 361–380.

Delbaen, F., Schachermayer, W., 1998. The fundamental theorem of asset pricing forunbounded stochastic processes. Mathematische Annalen 312 (2), 215–250.

Duffie, D., 1988. Security markets. Stochastic models. Academic Press, Inc., San Diego.

Duffie, D., 1996. Dynamic asset pricing theory. Princeton University Press, Princeton,New Jersey.

Duffie, D., Huang, C., 1986. Multiperiod security markets with differential information.Journal of Mathematical Economics 15, 283–303.

Dybvig, P. H., Ross, S. A., 1987. Arbitrage. In: Milgate, E., , Newman (Eds.), The newPalgrave: A dictionary of Economics. Vol. 11. Macmillan, London, pp. 100–106.

Elliott, R. J., Kopp, P. E., 1999. Mathematics of financial markets. Springer-Verlag, NewYork.

BIBLIOGRAFIA 75

Hansen, L., Richard, S., 1987. The role of conditioning information in deducing testablerestrictions implied by dynamic asset pricing models. Econometrica 55, 587–613.

Harris, F. H., McInish, T. H., Shoesmith, G. L., Wood, R. A., 1995. Cointegration, errorcorrection, and price discovery on informationally linked security markets. Journal ofFinancial and Quantitative Analysis 30 (4), 563–579.

Harrison, M., Kreps, D. M., 1979. Martingale and arbitrage in multiperiod security mar-kets. Journal of Economic Theory 20, 381–408.

Harrison, M., Pliska, S. R., 1981. Martingales and stochastic integrals in the theory ofcontinuous trading. Stochastic Processes and Applications 11, 215–260.

Ingersoll, J. E. J., 1987. Theory of financial decision making. Rowman & Littlefield Pu-blishers Inc., Maryland.

Jacod, J., Shiryaev, A.N., 1998. Local martingales and the fundamental asset pricing theo-rems in the discrete-time case. Finance and Stochastics 22 (3), 259–273.

Jaschke, S. R., 1998. Arbitrage bounds for the term structure of interest rates. Finance andStochastics 22 (1), 29–40.

Jouini, E., Kallal, H., 1995. Martingales and arbitrage in securities markets with transac-tion costs. Journal of Economic Theory 66, 178–197.

Jouini, E., Kallal, H., 1999. Viability and equilibrium in securities markets with frictions.Mathematical Finance 9 (3), 275–292.

Kabanov, Y. M., Kramkov, D. O., 1994. No-arbitrage and equivalent martingale measu-res: an elementary proof of the harrison-pliska theorem. Theory of Probability and itsApplications 39, 523–526.

Kamara, A., Miller, T. W., 1995. Daily and intradaily tests of european put-call parity.Journal of Financial and Quantitative Analysis 30 (4), 519–541.

Karatzas, I., Lehoczky, J. P., Shreve, S. E., Xu, G.-L., 2001. Utility maximization in in-complete markets with random endowment. SIAM Journal of control and optimization5, 259–272.

Karatzas, I., Shreve, S. E., 1991. Brownian motion and stochastic calculus. Springer-Verlag, New York.

Karatzas, I., Shreve, S. E., 1998. Methods of mathematical finance. Springer-Verlag, NewYork.

Kempf, A., Korn, O., 1998. Trading systems and market integration. Journal of FinancialIntermediation 7, 220–239.

76 BIBLIOGRAFIA

Kleidon, A., Whaley, R., 1992. One market? stocks, furures and options during october1987. The Journal of Finance 83 (8), 851–877.

Kopp, P. E., 1984. Martingales and stochastic integrals. Cambridge University Press,Cambridge.

Kramkov, D. O., Schachermayer, W., 1997. The asymptotic elasticity of utility functionsand optimal investment in incomplete markets, University of Wien (preprint).

Lee, J., Nayar, N., 1993. A transactions data analysis of arbitrage between index optionsand index futures. The Journal of Futures Markets 13 (8), 889–902.

Mas-Colell, A., 1975. Existence of equilibria in economies with infinitely many commo-dities. Journal of Economic Theory 4, 514–540.

Meneu, V., Balbas, A., Pardo,A., 1999. On the effectiveness of several market integrationmeasures. An empirical analysis. Working Paper 99-35 (8), Universidad Carlos III deMadrid.

Merton, R. C., 1973. An intertemporal capital asset pricing model. Econometrica 41,867–888.

Merton, R. C., 1990. Continuous-time finance. Blackwell Publishers, Inc., Cambridge,Massachusets.

Mir as, M., 2000. Medicion de los niveles de eficiencia en los mercados de capitales.Aplicaciones a los mercados imperfectos y a la integracion de mercados. Ph.D. thesis,Departamento de Matematicas, Universidad de Vigo.

Musiela, M., Rutkowski, M., 1997. Martingale methods in financial modelling. Springer,Berlin.

Neftci, S.N., 1996. Introduction to the mathematics of financial derivatives. AcademicPress, San Diego.

Oksendal, B., 1998. Stochactic differential equations. An introduction with applications.Springer-Verlag, Berlin.

Osborne, M., 1964. Brownian motion in the stock market. Operations Research 7, 145–173.

Pham, H., Touzi, N., 1999. The fundamental theorem of asset pricing with cone cons-traints. Journal of Mathematical Economics 31, 265–279.

Pliska, S. R., 1997. Introduction to mathematical finance: Discrete time models. Black-well, Malden, Massachusetts.

BIBLIOGRAFIA 77

Prisman, E. Z., 1986. Valuation of risky assets in arbitrage free economies with frictions.The Journal of Finance 41, 545–556.

Prisman, E. Z., 2000. Pricing derivative securities. An interactive dynamic environmentwith Maple V and Matlab. Academic Press, Inc., San Diego.

Protopapadakis, A., Stoll, H., 1983. Spot and future prices and the law of one price. TheJournal of Finance 55, 1431–1455.

Rogers, L. C. G., 1994. Equivalent martingale measures and no-arbitrage. Stochastics andStochastic Reports 51, 41–49.

Schachermayer, W., 1992. A hilbert space proof of the fundamental theorem of assetpricing in finite discrete time. Insurance: Mathematics and Economics 11 (4), 249–257.

Schachermayer, W., 1994. Martingale measures for discrete-time processes with infinitehorizon. Mathematical Finance 44 (1), 25–55.

Taqqu, M. S., Willinger, W., 1987. The analysis of finite security markets using martin-gales. Advances in Applied Probability 19, 1–25.

Watsham, T. J., Parramore, K., 1997. Quantitative methods in finance. Springer-Verlag,London.

Wilhelm, J. E. M., 1985. Arbitrage theory. Introductory lectures on arbitrage-based finan-cial asset pricing. Springer-Verlag, Berlin.

Wilmott, P., 1998. Derivatives. The theory and practice of financial engineering. JohnWiley and Sons, Inc., New York.

a rbitraje optimalidad y equilibrio - miguelmmiras.webs.uvigo.es/webpersonal/docuspdf/laguna.pdf ·...

Documents