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TE053-Ondas Eletromagnéticas

A RADIAÇÃO DO DIPOLO ELÉTRICO

PROF. CÉSAR AUGUSTO DARTORA - UFPR

E-MAIL: [email protected]

CURITIBA-PR

Prof. Dr. C.A. Dartora

Roteiro da Aula:

• A antena dipolo elétrico e a aproximação do dipolo curto

• Cálculo dos potenciais e dos campos

• Campo Próximo e Campo de Radiação

• Potência e Densidade de Potência Eletromagnética Radiada

• Teoria Básica da Radiação Eletromagnética

A Radiação do Dipolo Elétrico 2/24


O Dipolo Elétrico

; Antenas são elementos capazes de radiar energia na forma eletromagnéticade forma eficiente.

; A antena mais simples é o chamado dipolo elétrico, ilustrado na figuraabaixo (à direita imagem de um dipolo real):



; quando d d/2 (1)

; Aproximação do Dipolo Curto (a que usaremos aqui): Como os ex-tremos são abertos, a corrente elétrica neles deve ser nula de tal modo quea distribuição de corrente no dipolo curto é aproximada por:

I(z) ={ I0 (1−2z/d) para z > 0

I0 (1+2z/d) para z > 0(2)

sendo o vetor densidade de corrente da forma:

J(r) = I(z)δ(x)δ(y)âz (3)

onde δ(.) são as funções delta de Dirac.



Note que a ”área” correspondente à integral∫ d/2−d/2 I(z

′)dz′ será I0d para aaproximação Dipolo Ideal e no nosso caso, para o Dipolo Curto:

∫ d/2−d/2

I(z′)dz′ =I0d2



Determinação do Potencial A

Na aproximação em que r′


; Assumindo que d


Fazendo a aproximação mencionada anteriormente tem-se:

A =µ0ei(ωt−kr)

4πr

∫ d/2−d/2

I(z′)dz′âz (7)

Resolvendo a integral, basta lembrar que tem-se a ”área” da figura dedistribuição de corrente, conforme comentado anteriormente, ou seja

∫ d/2−d/2

I(z′)dz′ =I0d2,

ficamos com:

A =µ0I0d8πr

ei(ωt−kr)âz (8)



É convencional trabalhar o potencial vetor e os campos em coordenadasesféricas. Lembre que:

A =µ0I0d8πr

ei(ωt−kr)[(âz · âr)âr+(âz · âθ)âθ+(âz · âϕ)âϕ

](9)

Do cálculo vetorial:

âz · âr = cosθ

âz · âθ =−sinθ

âz · âϕ = 0(Coordenadas esféricas são mais convenientes para tratar a radiação de umaantena).

A =µ0I0d8πr

ei(ωt−kr) [cosθâr− sinθâθ] (10)



Cálculo dos campos E e B

Lembremos que:B = ∇×A (11)

E =−∇φ− iωA = c2

iω∇×B (12)

Para não ser necessário o cálculo de φ devemos determinar primeiramenteo campo B e depois E. Calculando o campo magnético:

B = ∇×A = 1r sinθ

(∂

∂θ(Aϕ sinθ)−

∂Aθ∂ϕ

)âr+

+1r

(1

sinθ∂Ar∂ϕ− ∂

∂r(rAϕ)

)âθ+

1r

(∂∂r(rAθ)−

∂Ar∂θ

)âϕ

sendo as componentes de A em coordenadas esféricas:

Ar =µ0I0d8πr

ei(ωt−kr) cosθ , Aθ =−µ0I0d8πr

ei(ωt−kr) sinθ , Aϕ = 0 .



Uma vez que Aϕ = 0 e todas as derivadas em relação a ϕ também sãonulas (observe que nesse caso A não varia com ϕ):

B =1r

(∂∂r(rAθ)−

∂Ar∂θ

)âϕ (13)

Agora calculando as derivadas:

∂∂r(rAθ) =

ikµ0I0d8π

ei(ωt−kr)sinθ

∂Ar∂θ

=−µ0I0d8πr

ei(ωt−kr) sinθ

e substituindo em (13) nos dá:

B =µ0I0d

8π

(ikr+

1r2

)ei(ωt−kr) sinθâϕ (14)



Calculando o campo elétrico, também devemos avaliar um rotacional, demodo que

E =−i∇×Bωµ0ε

=c2

iω∇×B

∇×B = 1r sinθ

(∂

∂θ(Bϕ sinθ)−

∂Bθ∂ϕ

)âr+

+1r

(1

sinθ∂Br∂ϕ− ∂

∂r(rBϕ)

)âθ+

1r

(∂∂r(rBθ)−

∂Br∂θ

)âϕ

Nesse caso só temos componente do campo B na direção ϕ simplificandoo rotacional para:

∇×B = 1r sinθ

∂∂θ

(Bϕ sinθ)âr−−1r

∂∂r(rBϕ)âθ

Temos então:

E =1

iωµ0ε

(1

r sinθ∂

∂θ(Bϕ sinθ)âr−−

1r

∂∂r(rBϕ)âθ

)



Exerćıcio: Demonstre, calculando as derivadas e utilizando as relações:

ω = ck

Z0 =√

µ0ε0

= cµ0

que o campo elétrico resultante será dado por

E =Z0I0d

8πei(ωt−kr)

[2cosθ

(1r2+

1ikr3

)âr+ (15)

+sinθ(

ikr+

1r2+

1ikr3

)âθ]



; Vemos que o campo elétrico possui componentes Er e Eθ. Somente Eθpossui dependência do tipo 1/r, e que irá contribuir para o campo distante,conforme veremos adiante.

; É posśıvel perceber também que os campos possuem termos variandocom 1/r, 1/r2 e 1/r3. Em cada região do espaço algum desses termos épredominante, permitindo definir regiões de campo.

; Tomemos como referência a componente do campo elétrico Eθ, quepossui as três dependências:

Eθ(1/r) =Z0I0d

8πei(ωt−kr)

ikr

sinθ

Eθ(1/r2) =Z0I0d

8πei(ωt−kr)

1r2

sinθ

Eθ(1/r3) =Z0I0d

8πei(ωt−kr)

1ikr3

sinθ

Em módulo temos as seguintes relações entre as componentes:

∣∣∣∣Eθ(1/r2)Eθ(1/r)∣∣∣∣= 1kr ,

∣∣∣∣Eθ(1/r3)Eθ(1/r)∣∣∣∣= 1(kr)2 ,

∣∣∣∣Eθ(1/r2)Eθ(1/r3)∣∣∣∣= 1kr (16)



Regiões do Campo⇒ De acordo com a distância r em relação à fonte a dominância de

algumas componentes dos campos sobre as outras varia.

⇒ Por esta razão é conveniente classificar as regiões de campo e estudarsuas caracteŕısticas particulare. Temos essencialmente três regiões distintas:

Região do Campo Próximo:É a região mais próxima da fonte e os termos dominantes são aqueles na

forma 1/rn com o maior n encontrado nas soluções.

→ Para o dipolo elétrico o termo 1/r3 é dominante no campo elétrico,enquanto o termo 1/r2 domina para o campo magnético.

→ Para que isso aconteça devemos ter 1/(kr) >> 1 de tal forma quea condição obtida, fazendo uso de k = 2π/λ, onde λ é o comprimento deonda, é:

r


⇒ O cálculo dos campos na região r


Consideremos o Vetor de Poynting para os Campos Próximos, calculado apartir da expressão:

Srms =12

Re{E×H∗}

Substituindo (17) e (18) vemos que não há parte real.

⇒ Significa que o campo próximo tem contribuição apenas reativa (energiaarmazenada) e dá contribuição nula para a radiação eletromagnética.

⇒ Além disso o vetor de Poynting tem dependência em r na forma 1/rne n > 2.

No caso dos campos próximos sem levar em conta termos de 1/r2 nocampo elétrico a dependência em r é 1/r5 e levando o termo 1/r2 em contaresulta numa dependência 1/r4.

A potência radiada total obtida para o campo próximo:

P = limr→∞

∮aSrms ·da ∝ lim

r→∞

1r3→ 0



Zona Intermediária⇒ Vale a relação 1/(kr) ≈ 1, ou seja as distâncias são da ordem do

comprimento de onda λ.

r ∼ λNessa região todas as componentes tem uma contribuição importante para

o campo total e há grande interferência entre as componentes de campo.

Região do Campo Distante ou Campo de RadiaçãoCorrespondeo à região:

r >> λ

As componentes de campo predominantes na região distante são as quecontribuem para radiação eletromagnética. Nessa região predominam ostermos com dependência 1/r:

E =I0d8π

(iωµ0

r

)ei(ωt−kr) sinθâθ (19)

B =µ0I0d

8π

(ikr

)ei(ωt−kr) sinθâϕ (20)



⇒ Os campos (19) e (20) ortogonais entre si e apresentam uma relaçãode proporção constante, sendo o campo elétrico na direção θ e o campomagnético na direção ϕ:

EθBϕ

==I0d8π

(iωµ0r

)sinθ

µ0I0d8π

(ikr

)sinθ

=ωk=

1√

µ0ε= c (21)

onde c é a velocidade da luz no meio com permissividade ε. (Estamosconsiderando meios não magnéticos, por isso µ = µ0).

A relação entre Eθ e Hϕ é a impedância do meio, e podemos concluir dapropria relação (21):

EθHϕ

= µ0EθBϕ

=µ0√µ0ε

= µ0c =√

µ0ε= Z , (22)



⇒ Agora que vimos que Eθ e Bϕ mantém uma relação constante na regiãode campo distante, vamos determinar o vetor de Poynting:

Srms =12

Re{E×H∗}= 12µ0

Re{E×B∗}

Srms =1

2µ0Re{

I0d8π

(iωµ0

r

)ei(ωt−kr) sinθâθ×

(µ0I0d

8π

(−ik

r

)e−i(ωt−kr) sinθâϕ

)}

Srms =12

I20d2

(8π)2

(kωµ0

r2

)sin2 θâr

Agora fazemos uso de k = 2π/λ e ω = ck = 2πc/λ então temos kωµ0 =(2π)2cµ0/λ2, e ainda µ0c = Z0, desse modo

kωµ0 =(2π)2

λ2Z0

e o resultado final para o Vetor de Poynting, que representa a densidadede potência que atravessa uma superf́ıcie:

Srms =Z0I2032

(dλ

)2 1r2

sin2 θâr (23)



⇒ Queremos saber agora qual a potência radiada, para isso temos queintegrar o vetor de Poynting:

P = limr→∞

∮SSrms ·da =

∫ πθ=0

∫ 2πϕ=0

Z0I2032

(dλ

)2 1r2

sin2 θâr · ârr2 sinθdθdϕ

Integrando a variável ϕ:

P =2πZ0I20

32

(dλ

)2∫ π0

1r2

sin2 θr2 sinθdθ =2πZ0I20

32

(dλ

)2∫ π0

dθsin3 θ

Agora temos, de uma tabela de integrais:∫ π0

sin3 θdθ =43

e obtemos o resultado final:

P =πZ0I20

12

(dλ

)2(24)



⇒ Observe que mesmo fazendo r→∞, a potência não é anulada, ou seja,esta potência deixou a fonte emissora, foi radiada.

⇒ Tendo sido radiada essa energia é perdida pela fonte e convertida emondas eletromagnéticas que se propagam ao infinito, a menos que seja ab-sorvida por outras cargas, meios materiais, etc.

⇒ Uma vez radiada tem independência da fonte e seus efeitos não cessammesmo que cessada a fonte. Continuam viajando para longe da fonte epodem sofrer reflexão, refração, interferência, etc.

⇒ Os campos radiados influenciam a grandes distâncias. São estes osdesejados em sistemas de comunicações.



⇒ Do ponto de vista de circuitos elétricos, podemos definir ainda umaresistência de radiação, já que a fonte perde energia na forma de ondas quese desprendem da fonte, e vão ao infinito na forma:

P =12

RI20 ⇒ R =2PI20

e daqui tiramos, no caso do dipolo curto:

R =πZ06

(dλ

)2(25)

Se usarmos Z0 = 120π Ω temos:

R = 20π2(

dλ

)2Ω (26)

onde d é o tamanho total do dipolo.



Para um dipolo com d = λ/10 obtemos:

R =π2

5Ω

o que significa dizer que a resistência de perdas por radiação é de aproxi-madamente 2Ω.

⇒ Em geral perdas por radiação podem ser desprezadas em circuitoselétricos se o tamanho do circuito é muito pequeno comparado ao com-primento de onda do sinal eletromagnético que percorre o circuito.

⇒ Todavia é desejável que antenas tenham grande resistência de radiação.O dipolo de meia onda tem resistência de radiação de 73Ω aproximadamente.


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