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A-Level Pure Math Note Part B ( Calculus with Analytical Geometry) Version 2.0 Produced by © 香港學生母語學習網 http://mothert.hk.st May 12, 2002 1

A-Level Pure Math Note Part B ( Calculus with Analytical Geometry) B1 序列 ,級數及其極限課程綱要 (經簡化及重點處理 ) 1.1 序列及級數

1.2 序列及級數的極限

(或對所有正整數 n, an ≤ bn ≤ cn ,且如果 aca nnnn

==∞→∞→

limlim ,則 abnn=

∞→lim )


1.3 序列及級數的收歛性收歛序列的特性 : Å收歛序列是有界的 Ç單調而有界的序例為收歛 .

應討論一些典型的收歛和發散序列 ,並以下的實例說明計算序列極限的方法 .

此方法應包括迫近定理的典型應用例題 ,但無須對收歛性的測試再作探究 .

Part 2 : 綱要以外提提你 …

a)一些重要的序列極限 : Å 01lim =∞→ nn

; Ç 0,1lim1

>=∞→

aa nn

其中 ;

É 1||,0lim <=∞→

qq n

n其中 ,當 ∞=>

∞→

n

nqq lim,1||

注意 ! 但反向則不可以,limlim ∞=⇒+∞=∞→∞→

n

n

n

nqq

Ñ 0lim =∞→ nn a

nα

*α為常數 ,a>1,同類的另一例子 : 0!

lim =∞→ n

a n

n

b)要注意的基本事項 :

Å只有 {xn},{yn}及 {xn+yn}均收歛 , )(lim nnnyx +

∞→= )(lim)(lim nnnn

yx∞→∞→

+ ;

同樣 ,對於無窮項極限運算 )1...2

11

1(limnnnnn +

+++

++∞→

如 ,

極限運算法則並不成立 .

Ç另一方面 , )(lim nnnyx +

∞→存在極限 ,並不等於 nnnn

yx∞→∞→

limlim 及存在極限 .

e.g. xn=(-1)n , yn=(-1)n+1

É即使 ||lim nna

∞→存在 ,亦不等於 {an}必是收歛的 .

如序列 xn=(-1)n, 1||lim =∞→ nn

x , 但序列 {xn}本身沒有極限 .

c)運算上的技巧 Å 0lim0||lim0lim 2 =⇔=⇔=

∞→∞→∞→ nnnnnnaaa

0||lim0)(limlim =−⇔=−⇔=∴∞→∞→∞→

AaAaAa nnnnnn想去証

只要利用三文治 (迫近 )定理 ,証到 0||lim,0....||0 →−→≤−≤∞→

AaAa nnn 則

Ç要計算極限的值 ,首先要證明極限存在 ,例如 {an}是單調遞增 ,並有上界的 .

再假設 lann=

∞→lim ____...

11limlim. 1 =⇒⇒

+=⇒

+=⇒

∞→+∞→l

l

ll

n

n

nnn aa

age

É計算序列時 ,宜先計 an>0,∀n(確保它是一正數 ,能方便不等式運算 )


B2 極限 ,連續性及可微性課程綱要 (經簡化處理 )

2.1 函數的極限

2.2 函數的連續性


2.3 函數的可微性

Part 4 綱要外尚需㊟意事㊠

B3 微分法課程綱要 (經簡化處理 )

3.1 微分法的基本法則

w

3.2 ㆔ 角函數的積分法

3.3 複合函數及逆函數的微分法

代 x=xo+h


3.4 隱函數的微分法

3.5 參數方程的微分法

3.6 對數函數及指數函數的微分法

3.7 高階導數和萊布尼茲定理

3.8 洛爾定理和 ㆗ 值定理


B4 微分法的應用課程綱要 (經簡化處理 )

4.1 洛必達法則

4.2 變率 (略 … 此節不在考試範圍內 )

4.3 單調函數

4.4 極大和極小


最後 ,對於當函數的定義域擴大或縮小時與其絕對值的關係 ,教師可加以簡單解釋 .

4.5 曲線描繪

補充資料 -漸近線 :(不包括在課程綱要 )

定義 :當曲線上的點沿曲線趨於無窮時 ,此點與一直線 (漸近線 )的距離將趨於零 P.S : 曲線可穿過自身的漸近線

運算 : 1)水平漸近線及斜漸近線 : 設 mx+c 為曲線 y=f(x)的漸近線 ,

當且僅當 0)]()([lim =+−∞→

cmxxfx

,此時 m=xxf

x

)(lim∞→

,c= ])([lim mxxfx

−=∞→

2)對於鉛垂漸近線 ,f(a)不存在 (如代 a 入 f(x)時分母為零 )

P.S: 考慮)()()(

xgxRcmxxF ++= , 0

)()(lim)]()([lim ==+−

∞→∞→ xgxRcmxxF

xx

注意 !若 f(a)不存在 ,即使 f’’(a)=0 該點也不是拐點 .


B5 積分法課程綱要 (經簡化處理 )

5.1 黎曼積分定義


5.2 定積分的基本性質

5.3 積分的 ㆗ 值定理

5.4 積分基本定理與其於計算積分的應用


5.5 不定積分法

學生應能夠運用下列公式求不定積分，事實上，教師可鼓勵學生導出部份或全部分式。

5.6 求積分的方法

(A)㈹換法


(B)分部積分法

(C) 歸約公式

(D) 利用部分分式計算積分

5.7 廣義積分


B6 積分法的應用 --- 6.1 平面面積

補充資料 : 參數方面表示的面積公式 :

∫∫ ==2

1

)('|)(|||t

t

b

adttxtydxyA

其中 x=x(t) , y=y(t) , 而 a=x(t1) , b=x(t2) 另外 ,兩個極方程間的面積

= θβ

αdrr )(

21 2

22

1∫ −

6.2 弧長


有關第一類及第二類橢圓積分 ,由於屬考試範圍以外 ,此處從略 (書 p.439-440) 如果曲線並不光滑 ,我們將需要分段計算弧長 .

6.3 旋轉體的體積

注意 ! 如果旋轉軸不是坐標軸 ,則 dxhyV

b

a∫ −= 2)(π ,其中 ,h 為旋轉軸 .

6.4 旋轉體的表面面積

6.5 和的極限

務求使學生獲得更深入的了解及增進他們的運算技巧。下列是一個值得與學生討論的例子：

(註：教師教授此部份時，可令學生參考單元

B5，使他們能與黎曼和作為和的極限聯繫起

來。 )

教師必須提醒學生並不是所有和的極限都可

此法解答，調和級數，是其中一個例子。


B7 : 解析幾何

7.1 基本解析幾何知識

7.2 於極坐標系的曲線描繪

7.3 於直角坐標系的圓錐曲線

7.4 圓錐曲線的切線及法線


7.5 於直角坐標系的軌跡問題

7.6 平面曲線的切線及法線

A-Level Pure Math Note Part B <The End > Since 2001/10/2 First Version 2001/11/14 Revision for p.7-p.8 2001/12/12 PDF edition 2002/5/12 香港學生母語學習網 http://mothert.hk.st 原刊 p.1 補充資料 : 常見的序列 ,級數以 a 為首項 , d 為公差 , l為尾項 A.P.(算術 /等差級數 ) Tn=a+(n-1)d

Sn= )(2

})1(2{2

l+=−+ andnan

如果 A.P. = 1,2,3,4,… ,n

則 H.P.(調和級數 )=n1,...,

41,

31,

21,

11

G.P.(幾何 /等比級數 ) Tn=arn-1

Sn= 1)1(

1)1(

−−

=−−

rra

rra nn

S∞=r

arran

n

n −=

−−

∞→ 11)1(lim

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