ฟ ชังก นเชอนและการสิงซ...
TRANSCRIPT
38 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
บทท 2
ฟงกชนเชงซอนและการสง
ในบทนเราจะศกษาฟงกชนจากเซตของจานวนเชงซอนไปยงเซตของจานวนเชงซอน
ซงจะไมเหมอนกบฟงกชนทเคยศกษามาในแคลคลสเบองตนโดยเฉพาะการเขยนกราฟของฟงกชน
ดงนนในบทนเราจะแนะนาเพอใหเกดความเขาใจของการสง โดยการใชกราฟเพอเปนตวแทนของ
ฟงกชนเชงซอน จากนนกจะศกษาลมตและความตอเนองของฟงกชนเชงซอน
2.1 ฟงกชนเชงซอน
จากความรของฟงกชนตวแปรจรง เรานยามฟงกชน f ของตวแปรจรง x ท )(xfy =
นนคอ x เปนตวแปรอสระ และ y เปนคาของฟงกชนทขนกบคา x หรอ y เปนตวแปรตาม
สาหรบนยามของฟงกชนของตวแปรเชงซอนกเชนเดยวกน เพยงแตแทนตวแปรอสระเปน
z ซงจะไดตวแปรตาม w โดยทสามารถเขยนไดเปน
)(zfw =
สญลกษณ z ใชแทนตวแปรเชงซอนใดๆโดยทเปนสมาชกในเซตของจานวนเชงซอน
บทนยาม 2.1 ฟงกชนเชงซอน
ให C เปนเซตของจานวนเชงซอน ฟงกชน f บนเซต C คอกฎเกณฑ ซงสาหรบแตละ z
ใน C ททาใหไดจานวนเชงซอน w โดยท )(zfw = และเรยก C วาเปนโดเมนของฟงกชน f
ตวอยาง 1 ฟงกชนเชงซอน
1. กาหนดให zizzf )2()( 2 +−=
เมอ iz = และ iz += 1 จะได
iiiiif 2))(2()( 2 −=+−=
และ iiiiif −−=++−+=+ 1)2)(2()1()1( 2
2. กาหนดให )Re(2)( zzzf +=
เมอ iz = และ iz 32 −= จะได
iiiif =+= )Re(2)(
และ iiiif 36)32Re(232)32( −=−+−=−
2.1 ฟงกชนเชงซอน 39
สวนจรงและสวนจนตภาพของฟงกชนเชงซอน
สาหรบ )(zfw = ทเปนฟงกชนเชงซอน ถา iyxz += เปนตวแปรเชงซอนขนอยกบตว
แปรจรง x และ y แลว w หรอ คาของฟงกชนยอมขนอยกบตวแปรจรง x และ y ดวย
ดงนน เราสามารถเขยน )(zfw = ใหอยในรป ivuw += ได นนกคอ
),(),()()( yxivyxuiyxfzfw +=+==
โดยท ),( yxu และ ),( yxv เปนคาทขนกบตวแปรจรง x และ y
ตวอยาง 2 จงเขยน )(zf ทกาหนดใหอยในรป ),(),( yxivyxu + เมอ
1. zizzf )2()( 2 +−=
วธทา zizzf )2()( 2 +−=
ให iyxz +=
))(2()()( 2 iyxiiyxzf ++−+=
iyxxyyxyx )22(222 −−++−−=
yxyxyxu +−−=∴ 2),( 22
yxxyyxv 22),( −−=
2. )Re(2)( zzzf +=
วธทา )Re(2)( zzzf +=
ให iyxz +=
)Re(2)()( iyxiyxzf +++=
iyx += 3
xyxu 3),( =∴
yyxv =),(
ฟงกชนเลขชกาลงของตวแปรเชงซอน
บทนยาม 2.2 ฟงกชนเลขชกาลงของตวแปรเชงซอน สามารถเขยนโดยสมการ ze ซงกาหนดโดย
yieyee xxz sincos += เมอ z เปนจานวนเชงซอนใดๆ
จากบทนยาม2.2 เราไดวาสวนจรงและสวนจนตภาพของฟงกชนเลขชกาลงของตวแปรเชงซอนคอ
yeyxu x cos),( = และ yeyxv x sin),( =
40 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
ตวอยาง 3 จงหาคาของฟงกชนเลขชกาลงในตวแปรเชงซอนในรป ze เมอกาหนด
1. 0=z 2. iz = 3. iz π+= 2
วธทา เนองจาก yieyee xxz sincos +=
ดงนน 1. 10sin0cos 000 =+= ieee
1sin1cos1sin1cos 00 iieeei +=+=
2222 sincos eieee i −=+=+ πππ
สมบตฟงกชนเลขชกาลง
สาหรบจานวนเชงซอน 1z และ 2z ใดๆ สมบตตอไปนเปนจรง
1. 10 =e
2. 2121 . zzzz eee +=
3. 21
2
1zz
z
z
eee −=
4. ( ) 11 nznz ee = เมอ ,...2,1,0 ±±=n
พกดเชงขว
สาหรบฟงกชนเชงซอน )(zf เราเขยนในรป ),(),()( yxivyxuzf += ได เพราะวา
iyxz += ดงนนถา z เขยนในรปเชงขวคอ θθ sincos irrz += แลวเราสามารถเขยน )(zf
ในรปทสวนจรงและสวนจนตภาพของ )(zf เปนฟงกชนคาจรงของตวแปร r และ θ ได นนคอ
),(),()( θθ rivruzf +=
เมอ ),( θru และ ),( θrv เปนฟงกชนคาจรงของตวแปรจรง r และ θ
ตวอยาง 4 จงเขยน )(zf ในรป ),(),( θθ rivru +
1. 13)( 23 ++= zzzf
วธทา ให θθ sincos irrz +=
1)sincos()sincos(3)( 23 ++++= θθθθ irrirrzf
)2sin3sin3()12cos3cos3( 2323 θθθθ rrirr ++++=
ดงนน =),( θru 12cos3cos3 23 ++ θθ rr
θθθ 2sin3sin3),( 23 rrrv +=
2.1 ฟงกชนเชงซอน 41
แบบฝกหด 2.1
1. จงหาคาของฟงกชน )(zf ทจด z ตอไปน
1.1 izzzf 2)( 2 −= (a) iz 2= (b) iz +=1 (c) iz 23−=
1.2 )(log)( ziArgzzf e += (a) iz = (b) iz −= 2 (c) iz 21+=
1.3 zizzzf +−= )Re(2)( 2 (a) 1=z (b) iz 4= (c) iz += 1
1.4 )3()()( 2 yxixxyzf ++−= (a) iz 43+= (b) iz −=1 (c) iz 23−=
1.5 zezf =)( (a) iz π−= 2 (b) iz4π
= (c) iz6
3 π+=
1.6 θ2cos)( irzf += (a) iz 2= (b) iz +=1 (c) iz −= 2
1.7 θθ 2cos2
sin)( irzf += (a) 2−=z (b) iz +=1 (c) iz 2−=
2. จงหาสวนจรงและสวนจนตภาพ ),( yxu และ ),( yxv ของฟงกชนเชงซอน f เมอ iyxz +=
2.1 ( ) izzf 956 +−= 2.2 ( ) izzzf −+−= 23
2.3 ( ) 623 +−= zzzf 2.4 22)( zzzf +=
2.5 izezf += 2)( 2.6 2
)( zezf =
3. จงหาสวนจรงและสวนจนตภาพ ),( θru และ ),( θrv ของฟงกชนเชงซอน f
เมอ )sin(cos θθ irz +=
3.1 zzf =)( 3.2 zzf =)(
3.3 4)( zzf = 3.4 yiyxzf −+= 22)(
2.2 การสงเชงซอน
ฟงกชนเชงซอนสามารถบอกไดวาเปนการสมนยระหวางจดสองจด บนระนาบเชงซอน
โดยจด z ในระนาบเชงซอน z จะสมนยกบจด )(zfw = เพยงจดเดยวในระนาบเชงซอน w เรา
อาจจะใช การสงเชงซอน แทน ฟงกชนเชงซอน กได
ความหมายเชงเรขาคณตของการสงเชงซอน )(zfw = ประกอบดวย รป สองรป
รปแรก คอ เซตของจดในเซต S ซงเปนเซตยอยในระนาบ z
รปทสอง คอ เซตของจดในเซต 'S ซงเปนภาพของจดใน S ภายใตการสง )(zfw = ซงเปนเซต
ยอยในระนาบ w
42 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
ถา จด 0z ในระนาบ z สมนยกบจด 0w ในระนาบ w นนคอ )( 00 zfw = แลวจะกลาว
วา f สง 0z ไปบน 0w หรอ 0z สงไปบน 0w โดย f
ตวอยาง 5 จงหาภาพ ของครงระนาบ 2)Re( ≥z ภายใตการสงเชงซอน izw =
วธทา ให S เปนเซตของจด z บนครงระนาบ 2)Re( ≥z ดงรป 2.1(a) พจารณาเสนขอบของ S
ซงมสมการ 2=x ดงนน ทกจดบนเสนขอบสามารถเขยนไดเปน iyz += 2 เมอ ∞<<∞− y
จงไดวาคา izzf =)( ทแตละจดขอบคอ )2()2( iyiiyfw +=+= = iy 2+− ซงเปน
จดทอยบนเสนตรง 2=v ในระนาบ w
นนคอสามารถสรปไดวา เสนตรง 2=x ในระนาบ z ภายใตการสง izw =
ถกสงไปเปนเสนตรง 2=v ในระนาบ w
ตอไปพจารณาจดอน ๆ ใน S
โดย สาหรบ Siyxz ∈+= จะไดวา 2≥x และ ∞<<∞− y
ภายใตการสง )( iyxiizw +== = ixy +−
ซงจะไดสวนจรง ),( yxu ในระนาบ w คอ y− ซง ∞<<∞− y
สวนจนตภาพ ),( yxv ในระนาบ w คอ x ซง 2≥x
สามารถสรปไดวา สาหรบ Siyxz ∈+= ท 2>x ภายใตการสง izw =
ถกสงไปยง ivuw += โดยท 2>v
ถา 'S เปนภาพของ S ภายใตการสง izw = แลว ทกจด 'Sw∈ จะสอดคลอง 2)Im( ≥w
แสดง ดงรป 2.1(b)
รป 2.1(a) รป 2.1(b)
รป 2.1 การสง izw =
2.2 การสงเชงซอน 43
ตวอยาง 6 จงหาภาพของเสนตรง 1=x ภายใตการสง 2zw =
วธทา ให S คอเซตของจดทอยบนเสนตรง 1=x ดงรป 2.2(a)
ดงนน ถา Siyxz ∈+= แลว 1=x , ∞<<∞− y
ภายใตการสง 2zw = จะได 2)1( iyw += = yiy 21 2 +−
นนคอสาหรบ ivuw +=
จะได 21),( yyxu −= และ yyxv 2),( =
ทาใหไดความสมพนธระหวาง u และ v
คอ 2
21
−=
vu = 4
12v
− หรอ )1)(1(42 −−= uv
ซงเปนความสมพนธทมกราฟเปนรป พาราโบลา จดยอดท )0,1( ตดแกน v ท )2,0( ±
ดงรป 2.2(b)
นนคอ เสนตรง 1=x ในระนาบ z ภายใตการสง 2zw =
ถกสงไปยง พาราโบลา )1)(1(42 −−= uv ในระนาบ w
0.5 1 1.5 2x
-4
-2
2
4y
-3 -2 -1 1u
-4
-2
2
4v
รป 2.2 (a) เสนตรง 1=x รป 2.2 (b) ภาพของเสนตรง 1=x
รป 2.2 ภาพของเสนตรง 1=x ภายใตการสง 2zw =
บทนยาม 2.3 ถา )(tx และ )(ty เปนฟงกชนคาจรงบนตวแปรจรง t แลว
เซต }),()()({ btatiytxtzC ≤≤+== จะเรยกวา เสนโคงองตวแปรเสรม และ
ฟงกชนเชงซอน )()()( tiytxtz += ของตวแปรจรง t จะเรยกวาสมการองตวแปรเสรม ของ C
เสนโคงองตวแปรเสรมในระนาบเชงซอน ทเปน
เสนตรง ผานจด 0z และ 1z จะมสมการองตวแปรเสรมเปน
tztztz 10 )1()( +−= , ∞<<∞− t
สวนของเสนตรงจาก 0z ถง 1z จะมสมการองตวแปรเสรมเปน
tztztz 10 )1()( +−= , 10 ≤≤ t
รงส จาก 0z และผานจด 1z จะมสมการองตวแปรเสรมเปน
tztztz 10 )1()( +−= , ∞<≤ t0
วงกลมทมจดศนยกลางท 0z รศม r จะมสมการองตวแปรเสรมเปน
)sin(cos)( 0 titrztz ++= , π20 ≤≤ t
หรอ itreztz += 0)( , π20 ≤≤ t
44 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
ภาพของเสนโคงองตวแปรเสรมภายใตการสงเชงซอน
ถา )(zfw = เปนการสงเชงซอน และ C เปนเสนโคงทมสมการองตวแปรเสรม )(tz ,
bta ≤≤ แลว ))(()( tzftw = , bta ≤≤ คอ สมการองตวแปรเสรมของภาพ C คอ 'C ภายใต
การสง )(zfw =
ตวอยาง 7 จงหาภาพของสวนของเสนตรงจาก1 ถง i ภายใตการสงเชงซอน izw =
วธทา ให C เปนสวนของเสนตรงจาก1 ถง i
และ 'C เปนภาพของ C ภายใตการสงเชงซอน izw =
ดงนน C มสมการองตวแปรเสรมเปน itttz +−= 1)( , 10 ≤≤ t
และ 'C มสมการองตวแปรเสรมเปน
))(()( tzftw = = )1( itti +− = tti −−− )1( , 10 ≤≤ t
ซงเปนสวนของเสนตรงจาก i− ถง 1−
รป 2.3 ภาพของสวนของเสนตรงจาก1 ถง i ภายใตการสงเชงซอน izw =
ตวอยาง 8 จงหาภาพของสวนของครงวงกลมบนทมจดศนยกลางทจดกาเนดรศม 2 หนวย
ภายใตการสงเชงซอน 2zw =
วธทา ให C เปนสวนของครงวงกลมบนทมจดศนยกลางทจดกาเนดรศม 2 หนวย
และ 'C เปนภาพของ C ภายใตการสงเชงซอน 2zw =
ดงนน C มสมการองตวแปรเสรมเปน itetz 2)( = , π≤≤ t0
และ 'C มสมการองตวแปรเสรมเปน
))(()( tzftw = = ( )22 ite = tie 24 , π≤≤ t0
ถาให ts 2= แลว 'C สามารถเขยนเปนสมการองตวแปรเสรมใหมเปน
isesw 4)( = π20 ≤≤ s
ซงเปนสมการองตวแปรเสรมของวงกลมจดศนยกลางทจดกาเนด รศม 4 หนวย
รป 2.4 การสง 2zw =
2.2 การสงเชงซอน 45
แบบฝกหด 2.2
ในขอ 1- 8 จงหาภาพของ S ภายใตการสงเชงซอน )(zfw = ทกาหนดให
1. zzf =)( , S เปนเสนตรง 3=y
2. zzf =)( , S เปนเสนตรง xy =
3. zzf 3)( = , S เปนครงระนาบ 2)Im( >z
4. zzf 3)( = , S เปนแผนเลกยาวอนนต 3)Re(2 <≤ z
5. zizf )1()( += , S เปนเสนตรง 2=x
6. zizf )1()( += , S เปนเสนตรง 12 += xy
7. 4)( += izzf , S เปนครงระนาบ 1)Im( ≤z
8. 4)( += izzf , S เปนแผนเลกยาวอนนต 2)Im(1 <<− z
ขอ 9.- 14 จงหาภาพของเสนตรงทกาหนดให ภายใตการสงเชงซอน 2zw =
9. 1=y 10. 3−=x
11. 0=x 12. 0=y
13. xy = 14. xy −=
ขอ 15.-20.
(a) จงวาดกราฟของเสนโคง C ทกาหนดในรปสมการองตวแปรเสรม )(tz
(b) จงหาสมมการองตวแปรเสรมของภาพ C คอ 'C ภายใตการสงเชงซอน )(zfw =
(c) จงวาดกราฟของเสนโคง 'C
15. itttz +−= )1(2)( , 10 ≤≤ t , zzf 3)( =
16. tititz )1()1()( ++−= , ∞<≤ t0 , zzf −=)(
17. itetz 21)( += , π20 ≤≤ t , izzf −+= 1)(
18. iteitz +=)( , π≤≤ t0 , 3)()( izzf −=
19. ttz =)( , 20 ≤≤ t , ziezf π=)(
20. itetz 4)( = , π≤≤ t0 , )Re()( zzf =
46 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
2.3 การสงเชงเสน
จากฟงกชนบนจานวนจรงในรปแบบ baxxf +=)( ท a และ b เปนคาคงตว เรยกวา
ฟงกชนเชงเสน ในการรกษาความคลายกนระหวางการ วเคราะหจานวนเชงซอนและจานวนจรงนน
เราจะนยามฟงกชนเชงเสนบนจานวนเชงซอนใหเปนฟงกชนในรปแบบ bazzf +=)(
ในหวขอน เราจะแสดงวาทกๆ การสงเชงเสนของจานวนเชงซอนทไมใชคาคงตว สามารถ
เขยนเปนฟงกชนประกอบของการสงพนฐานสามแบบคอ การเลอนขนาน การหมน และการขยาย
การเลอนขนาน
ฟงกชนเชงเสนของตวแปรเชงซอน bzzT +=)( , 0≠b (1)
เรยกวา การเลอนขนาน
ถาเราให iyxz += และ 00 iyxb += ใน (1)
เราจะได )(zT = )()( 00 iyxiyx +++ = )()( 00 yyixx +++
ดงนน ภาพของจด ),( yx ภายใต T คอจด ),( 00 yyxx ++ ซงจะเหนวาถาเราลงจด
),( yx และ ),( 00 yyxx ++ ในระนาบเดยวกนของระนาบจานวนเชงซอน ดงรป 2.5 ดงนน
เวกเตอรทมจดกาเนดท ),( yx และสนสดท ),( 00 yyxx ++ คอเวกเตอร ),( 00 yx เชนเดยวกน
ถาเราลงจด z และ )(zT ในระนาบเดยวกนของระนาบจานวนเชงซอน แลว เวคเตอรทมจดกาเนด
ท z และสนสดท )(zT คอเวกเตอร ),( 00 yx ดงนน การสงเชงเสน bzzT +=)( สามารถถก
จนตนาการใหเหนไดในระนาบเดยวกนของระนาบจานวนเชงซอนวาเปนกระบวนการของการ
แทนทจด z ดวยการสงขนานไปตามเวคเตอร ),( 00 yx ไปยงจด )(zT เนองจาก ),( 00 yx เปน
เวคเตอรของจานวนเชงซอน b ดงนน bzzT +=)( จะถกเรยกวา การเลอนขนานโดย b
รป 2.5 bzzT +=)(
2.3 การสงเชงเสน 47
ตวอยาง 9 จงหาภาพของสเหลยม S ทมจดยอดท i+1 , i+2 , i22 + และ i21+
ภายใตการสงเชงเสน izzT −+= 2)(
วธทา ให 'S เปนภาพของ S ภายใตการสง T เราจะเขยนกราฟ S และ 'S ในระนาบจานวนเชงซอน
เดยวกน
การสงT เปนการเลอนขนาน ดงนน 'S สามารถเขยนกราฟไดดงน
พจารณาคา b = )1(2 −+ i
เขยนเวกเตอร )1,2( − ทมจดเรมตนทแตละจดใน S ดรป 2.6
จะไดเซตของจดปลายของเวคเตอรเหลานซงกคอ 'S (ภาพของ S ภายใตการสง T )
สามารถตรวจสอบ 'S วาเปนสเหลยมทมจดยอดท
)1( iT + = )2()1( ii −++ = 3 , )2( iT + = )2()2( ii −++ = 4
)22( iT + = )2()22( ii −++ = i+4 )21( iT + = )2()21( ii −++ = i+3
รป 2.6 ภาพของสเหลยมภายใตการเลอนขนาน
จากรป 2.6 แสดงกราฟ S และ 'S ในระนาบจานวนเชงซอนเดยวกนโดยสเหลยม 'S คอจด
ปลายทเกดจากการเขยนเวกเตอร )1,2( − โดยมจดเรมตนทจดบนสเหลยม S
ในเชงเรขาคณตจะเหนไดวาการเลอนขนาน ไมไดทาใหลกษณะรปทรงและขนาดของภาพเดม
เปลยนไป
การหมน (Rotations)
ฟงกชนเชงเสนของตวแปรเชงซอน zazR )( = , 1|| =a (2)
จะเรยกวา การหมน
ขอกาหนด 1|| =a เปนขอกาหนดทสาคญมากใน (2) แตอยางไรกตาม
ถา α เปนจานวนเชงซอนใดๆทไมใชศนยแลว ||α
α=a เปนจานวนเชงซอนทซง 1|| =a
ดงนน สาหรบจานวนเชงซอนα ใดๆทไมใชศนย เราไดวา zzR||
)(αα
= คอการหมน
พจารณาการหมน R ใน (2) โดยสมมต 0)( >aArg
48 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
เนองจาก 1|| =a และ 0)( >aArg เราสามารถเขยน a ไดเปน θiea = เมอ πθ <<0 .
ดงนนสาหรบ φirez =
จะไดวา φθ ii reezR =)( = )( φθ +ire (3)
จาก (3) เราจะเหนวา มอดลสของ )(zR คอ r ซงเหมอนกบ มอดลส ของ z ดงนน ถา z
และ )(zR ลงจดในระนาบเดยวกนของระนาบจานวนเชงซอน จะไดวาทงสองจดจะอยบนวงกลม
เดยวกนทมจดศนยกลาง 0 และรศม r ดรป 2.7 สงเกตจาก (3) ดวยวา ))(arg( zR คอ φθ +
และ φ=)arg(z ดงนนการสงเชงเสน azzR =)( สามารถมองในระนาบเดยวกนของระนาบ
จานวนเชงซอนไดเปนกระบวนการของการหมนจด z ทวนเขมนาฬกาดวยมม θ เรเดยน โดยม
จดกาเนดเปนจดศนยกลางจะไดจด )(zR ดรป 2.7
ในทางคลายๆกน ถา 0)( <aArg แลว การสงเชงเสน azzR =)( สามารถมองในระนาบ
เดยวกนของระนาบจานวนเชงซอนไดเปนกระบวนการของการหมนจด z ตามเขมนาฬกาดวยมม
θ เรเดยน โดยมจดกาเนดเปนจดศนยกลางจะไดจด )(zR
สาหรบ มม )(aArg=θ ถกเรยกวามมของการหมนของ R
รป 2.7 การหมน
ตวอยาง 10 หาภาพของแกนจรง 0=y ภายใตการสงเชงเสน zizR
+=
22
22)(
วธทา ให C คอกราฟของแกนจรง 0=y และให 'C คอกราฟของภาพ C ภายใตการสง R .
เนองจาก 122
22
=+ i
ดงนนการสงของจานวนเชงซอน )(zR เปนการหมน
และจาก 42
222 π
=
+ iArg
ถาจด z และจด )(zR ลงจดในระนาบเดยวกนของระนาบจานวนเชงซอนแลวจด z จะถก
หมนทวนเขมนาฬกาดวยมม 4π
เรเดยน โดยมจดกาเนดเปนจดศนยกลางไปยงจด )(zR
2.3 การสงเชงเสน 49
ดงนน กราฟ 'C จะเปนเสนตรง uv = ซงผานจดกาเนด และทามม 4π
เรเดยน กบแกนจรง
ดงรป 2.8
รป 2.8 ภาพของเสนตรงภายใตการหมน
การเลอนขนานและการหมนนนไมทาใหขนาดและรปรางของภาพในรปแบบเชงซอน
เปลยนไป ดงนน ภาพของ เสนตรง วงกลม หรอ สามเหลยมทผานการเลอนขนาน หรอ การหมน
กจะเปน เสนตรง วงกลม หรอ สามเหลยม ดวยตามลาดบ
การเปลยนขนาด
รปแบบสดทายของฟงชนเชงเสนแบบพเศษทจะพจารณาคอ การเปลยนขนาด
ฟงชนเชงเสนของจานวนเชงซอน รปแบบ
zazM )( = , 0>a (4)
จะเรยกวา การเปลยนขนาด
จาก 0>a แสดงวา a คอจานวนจรง
ดงนนถา iyxz += , จะไดวา )(zM = az = iayax + และภาพของจด ),( yx คอจด ),( ayax
และโดยการใชรปแบบชกาลงของ θirez = สมการ (4) คอ θθ ii earreazM )()()( == . (5)
รป 2.9 การเปลยนขนาด
ผลคณ ar ใน (5) คอจานวนจรง (จาก a และ r เปนจานวนจรง )
มอดลส ของ )(zM คอ ar
สมมตวา 1>a จะไดวาจดของจานวนเชงซอน z และ )(zM มอารกวเมนตเดยวกนคอ θ
แต มอดลส ตางกนคอ arr ≠
50 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
ถาลงจดทง z และ )(zM ในระนาบเดยวกนของระนาบจานวนเชงซอน แลว )(zM เปน
จดทอยบนรงสทออกมาจาก 0 และ z ซงระยะหางจาก 0 ถง )(zM คอ ar
เนองจาก 1>a , )(zM อยหางจากจดกาเนดมากกวา z , a เทา
ดงนนการสงเชงเสน azzM =)( สามารถลงจดในระนาบเดยวกนของระนาบจานวน
เชงซอนจะไดวาจด )(zM จะเปนจดทไดจากการขยายคาสมบรณของจด z ไปเปน a เทา
จานวนจรง a ถกเรยกวาตวประกอบการเปลยนขนาดของ M
ถา 10 << a แลวจด )(zM อยใกลจดกาเนดมากกวาจด z กรณของการเปลยนขนาดน
เรยกวา การหด
ตวอยาง 11 หาภาพของวงกลม C : 2|| =z ภายใตการสงเชงเสน zzM 3)( =
วธทา ให 'C คอภาพของ C ภายใตการสง M
เนองจาก M เปนการเปลยนขนาดโดย ตวประกอบการเปลยนขนาดคอ 3
ดงนนแตละจดบนวงกลม 2|| =z จะถกสงไปบนจดทถกเปลยนขนาด 3 เทา ในทศทางท
พงออกจาก 0 และ z จงทาใหแตละจดในภาพจะม มอดลส 623 =⋅ นนคอ กราฟ 'C เปน
วงกลม 6|| =w ซงมจดศนยกลางทจดกาเนดและมรศม 6
รป 2.10 ภาพของวงกลมการสงเชงเสน zzM 3)( =
การสงเชงเสน
ตอนนจะแสดงวาการสงเชงเสน bazzf +=)( เปนสวนประกอบของการเลอนขนาน
การหมน และการเปลยนขนาด จากททราบมาแลววา ถา f และ g เปนฟงกชนสองฟงกชน แลว
ฟงกชนประกอบของ f และ g คอฟงชน fog นยามโดย ))(( zfog = ))(( zgf โดยคา
ของ ))(( zfogw = กาหนดโดย เรมแรก หาฟงกชน g ท z จากนนหาคาฟงกชน f ท )(zg
ในทานองเดยวกน ภาพ ''S ของเซต S ภายใตฟงกชนประกอบ ))(( zfogw =
กาหนดโดย เรมแรก หาภาพ 'S ของ S ภายใต g และจากนนหาภาพ ''S ของ 'S ภายใต f
กาหนดให bazzf +=)( เปนฟงชนเชงเสนของจานวนเชงซอน
เราสมมตวา 0≠a เพราะถา 0=a จะไดวา bzf =)( จะเปนฟงกชนคงตว
ดงนนสามารถเขยนฟงกชน f อยในรปแบบ
2.3 การสงเชงเสน 51
bazzf +=)( = bzaaa +
||
|| (6)
ตอไปจะพจารณาหาภาพของจด 0z ภายใตการสง bazzf +=)(
ขนตอนแรก 0z ถกคณดวยจานวนเชงซอน || a
a เนองจาก 1
||||
||==
aa
aa
การสงเชงซอน zaaw
||= เปนการหมนซงการหมนจด 0z ดวยมม )
||(
aaArg=θ เรเดยน รอบ
จดกาเนด มมของการหมนสามารถเขยนเปน )(aArg=θ เนองจาก||
1a
เปนจานวนจรง
ให 1z เปนภาพของ 0z ภายใตการหมนโดย )(aArg
ขนตอนสอง คอการคณ 1z ดวย || a เพราะวา 0|| >a เปนจานวนจรง
การสงเชงซอน zaw ||= เปนการเปลยนขนาดดวยตวประกอบการเปลยนขนาด || a
ให 2z เปนภาพของ 1z ภายใตการเปลยนขนาดโดย || a
ขนตอนสดทาย คอการบวก b เขากบ 2z
การสงเชงซอน bzw += เปนการเลอนขนาน 2z ดวย b ไปเปนจด )( 00 zfw =
สรปภาพของจดภายใตการสงเชงเสน
ให bazzf +=)( เปนการสงเชงเสน เมอ 0≠a และให 0z เปนจดในระนาบจานวน
เชงซอน
ถาจด )( 00 zfw = ลงจดในระนาบเชงซอนเดยวกนกบจด 0z แลวจด 0w หาไดโดย
(i) การหมน 0z ดวยมม )(aArg รอบจดกาเนด
(ii) การเปลยนขนาดผลลพธ (i)โดย || a และ
(iii) การเลอนขนานผลลพธ (ii) โดย b
จากการบรรยายภาพของจด 0z ภายใตการสงเชงเสนกเปนการบรรยายภาพของ เซตใด ๆ
ของจด S โดยเฉพาะอยางยงกราฟ 'S ซงคอภาพของเซต S ภายใตการสง bazzf +=)(
ซงเปนเซตของจดทไดจากการหมน S เปนมม )(aArg เรเดยน รอบจดกาเนด จากนนเปลยน
ขนาดโดย || a และจากนนเลอนขนานโดย b
ตวอยาง 12 หาภาพของสเหลยมผนผาทมจดยอด i+−1 , i+1 , i21+ และ i21+−
ภายใตการสงเชงเสน iizzf 324)( ++=
วธทา ให S เปนสเหลยมผนผาทมจดยอดตามทใหมา และให 'S เปนภาพของ S ภายใต f
เราจะลงจด S และ 'S ในระนาบเดยวกนของระนาบจานวนเชงซอน จาก f เปนการสง
เชงเสน, จะไดวา 'S มรปรางเหมอนกนกบ S นนกคอ 'S เปนสเหลยมผนผาเชนกน ซงจดยอด
ของ 'S คอ
52 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
iiiiif −−=+++−=+− 232)1(4)1(
iiiiif 7232)1(4)1( +−=+++=+ iiiiif 7632)21(4)21( +−=+++=+
iiiiif −−=+++−=+− 632)21(4)21(
ดงนน 'S เปนสเหลยมผนผาทมจดยอด i−− 2 , i72 +− , i76 +− และ i−− 6
รป 2.11 การสงเชงเสนของสเหลยม
การสงเชงเสน iizzf 324)( ++= ในตวอยางสามารถอธบายในเชงเรขาคณตไดดงน
1. เรมจากการเขยนกราฟ S
2. หมนกราฟ S เปนมมขนาด 2
)( π=iArg เรเดยน รอบจดกาเนด ได 1S
3. ขยายขนาด 1S เปนขนาด 4 เทา ได 2S
4. เลอนขนาน 2S โดย i32 + (เลอนไปทางขวา 2 หนวย แลว เลอนขนขางบน 3 หนวย ) กจะได
'S ซงเปนภาพของ S
ตวอยาง 13 หาฟงกชนเชงเสนของจานวนเชงซอนซงสงสามเหลยมดานเทาทมจดยอด
i+1 , i+2 และ i)231(
23
++ ไปยงสามเหลยมดานเทาทมจดยอด i , i23 + และ i3
วธทา ให 1S คอสามเหลยมทมจดยอด i+1 , i+2 และ i)231(
23
++ ทแสดงในรป 2.12(a),
และให 'S แสดงถงสามเหลยมทมจดยอด i , i23 + และ i3 ทแสดงในรป 2.12(d).
มหลายวธทจะหาการสงเชงเสนจาก 1S ไปบน S
หนงในนนไดแก
1. เลอนขนาน 1S โดยใหมหนงในจดยอดนนเลอนมาอยทจดกาเนดในทนเลอกจดยอด i+1 สงไป
ท จดกาเนด โดยการเลอนขนาน )1()(1 izzT +−= ไดภาพ 1S ภายใต 1T สมมตคอ 2S
2.3 การสงเชงเสน 53
2. ให 2S เปนภาพของ 1S ภายใต 1T ดงนน 2S เปนสามเหลยมทมจดยอด 0 , 1 และ
i23
21+ ดงในรป 2.12(a).
3. จากรปภาพ 2.12(a) เราจะเหนวามมระหวางแกนจนตภาพและดานของ 2S มจดยอดท 0
และ i23
21+ คอ
6π
ดงนน การหมนดวยมม 6π
เรเดยน ทวนเขมนาฬการอบจดกาเนด จะ
เปนการสง 2S ไปยงสามเหลยมทมจดยอดสองจดบนแกนจนตภาพ การหมนนคอ
zezRi
6)(π
= = zi
+
223
และภาพของ 2S ภายใตการสง R เปนสามเหลยม 3S ทมจด
ยอดท 0 , i21
23+ และ i แสดงในรปภาพ 2.12(b) ซงสามารถตรวจสอบวา แตละดานของ
สามเหลยม 3S มความยาว 1
4. เพราะวาแตละดานของสามเหลยมทตองการ 'S มความยาว 2 ตอไปเราเปลยนขนาด 3S โดย
ตวประกอบเปลยนขนด 2 ซงการเปลยนขนาดนคอ zzM 2)( = จงไดวา 3S ถกสงโดย M
ไปยง 4S ทแสดงในรป 2.12(c) มจดยอด 0 , i+3 และ i2
5. สดทาย เราเลอนขนาน 4S โดย i จากการสง izzT +=)(2 การเลอนขนานนสง
สามเหลยม 4S ไปยง 'S ตามตองการ ดงในรป 2.12(d).
รป 2.12 (a) รป 2.12 (b)
รป 2.12 (c) รป 2.12 (d)
รป 2.12 การสงเชงเสนของสามเหลยม
ดงนน การสงเชงเสนทตองการคอ
))(()( 12 zTRMTzf = = izi 331)3( +−++
จะสง สามเหลยม 1S ไปสามเหลยม 'S
54 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
แบบฝกหด 2.3
ขอ 1-6 จงหาภาพของแผนวงกลมปด 1|| ≤z ภายใตการสง )(zfw = พรอมอธบายในเชง
เรขาคณตทละขนตอนดวย
1. izzf 3)( += 2. izzf −+= 2)(
3. izzf 3)( = 4. zizf )1()( +=
5. izzf −= 2)( 6. izizf 31)56()( −+−=
ขอ 7-12 จงหาภาพของสามเหลยมซงมจดยอดทจด 0 , 1 และ i ภายใตการสง )(zfw = พรอม
อธบายในเชงเรขาคณตทละขนตอนดวย
7. izzf 2)( += 8. zzf 3)( =
9. zezfi4)(π
= 10. izzf21)( =
11. izzf +−= 3)( 12. 2)1()( −−= zizf
ขอ 13-16 จงเขยนการสงเชงเสน )(zfw = ในรปการสงประกอบของ การเลอนขนาน การหมน
การขยาย
13. 43)( += izzf 14. )5
sin5
(cos5)( ππ izf +=
15. izzf 3121)( −+−= 16. 12)23()( +−= zizf
ขอ 17-20 จงหาการสงเชงเสน ทสง เซต S ไปยง 'S
17. S เปนสามเหลยมทมจดยอดทจด 0 , 1 และ i+1
'S เปนสามเหลยมทมจดยอดทจด i2 , i3 และ i31+−
18. S เปนวงกลม 3|1| =−z 'S เปนวงกลม 5|| =+ iz
19. S คอแกนจนตภาพ 'S คอเสนตรงทผานจด i และ i21+
20. S เปนสเหลยมทมจดยอดท i+1 , 11+− , i−−1 และ i−1
'S เปนสเหลยมทมจดยอดท 1− , 0 , i และ i+−1
2.4 ฟงกชนกาลงพเศษ 55
2.4 ฟงกชนกาลงพเศษ
ฟงกชนพหนามเชงซอน คอ ฟงกชนในรปแบบ 011
1 ...)( azazazazP nn
nn ++++= −
−
ทซง n เปนจานวนเตมบวก และ 011 ,,...,, aaaa nn − เปนคาคงตว ทเปนจานวนเชงซอน
จากหวขอ 2.3 ไดศกษาพหนามเชงซอน ทม 1=n
ในหวขอนเราจะศกษาฟงกชนพหนามเชงซอน ในรป nzzf =)( , 2≥n
พจารณาการสง nzw = , 2≥n ซงมรากเชงซอนท n มขสาคญ เปน nz1
โดยทฟงกชน nz1
เปนฟงกชนผกผนของฟงกชน nz เมอนยามโดเมน บางสวนอยางเพยงพอ และ
ฟงกชน มขอบเขต ดงนน การสง ของฟงกชนเชงซอน nz และ nz1
มความสมพนธกนมาก
ฟงกชนกาลง
ฟงกชนกาลง เปนฟงกชนทอยในรปแบบ αzzf =)( ทซง α เปนจานวนเชงซอนคงท
ถา α เปนจานวนเตม แลว ฟงกชนกาลง αzzf =)( สามารถหาคาโดยขนตอนทางพชคณต
บนจานวนเชงซอน เชน zzz ⋅=2 และ zzz
z⋅⋅
=− 13
เมอ n1
=α เราสามารถใชวธเดยวกนกบการหาคารากท n นยามฟงกชนกาลง αz
เชน เรานยาม 41
z เปนฟงกชนรากท 4 มขสาคญ ของ z
ในทนเราจะศกษาฟงกชนกาลงในรป nz และ nz1
ท ,2≥n และ n เปนจานวนเตม
2.4.1 ฟงกชนกาลง nz ,2≥n
กรณ 2=n
การหาคาฟงกชนกาลง 2)( zzf = สามารถหาไดงายโดยใชการคณในจานวนเชงซอน
เชน ท iz −= 2 จะได )2( if − = 2)2( i− = i43−
ภายใตการสง 2zw = เราอาจจะพจารณาไดอกรปแบบหนง คอเมอ z อยในรปแบบเลขช
กาลง θirez =
จะไดสมการ 2zw = = 2)( θire = θ22 ier (1)
จาก (1) เราจะเหนวา มอดลสของ w คอ 2r ซงเปนกาลงสองของมอดลสของ z และ
มม w คอ θ2 ซงเปนสองเทาของ z ถาลงจด z และ w ในระนาบเชงซอนเดยวกน แลวขนาด
w จะเปน r เทา ของขนาด z และหมนไปไดอก θ ดงรป 2.13
56 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
รป 2.13 การสง 2zw =
ความสมพนธระหวาง z และ 2zw = เมอ 1>r และ 0>θ (รปจะขยาย)
เมอ 10 << r ; (รปจะยอ)
ถา 0<θ แลว w จะเปนการหมนตามเขมนาฬกา
ขอสงเกต จด 2)( zzfw == จะมมอดลสยอหรอขยาย และจะตองหมนไปอกθ หรอไมนนขนอย
กบวา จด z อยทใดและมมอดลสนอย หรอมากกวา 1
เชน 1) ถา 2=z แลว 42)2( 2 === fw จะไดวาจด w จะมมอดลส ขยายเปน 2 เทา
แต θ เทาเดม
2) ถา 2iz = แลว
2
2
=
iw = 41−
จะไดวาจด w จะมมอดลสลดลง เปน 41
และจะตองหมนทวนเขมไปอก 2π
เรเดยน
โดยทวไป ฟงกชนกาลงสอง 2zw = มอดลสจะเทาเดม เมอ z อยบนวงกลม 1 หนวย
และ θ จะเทาเดม เมอ z เปนจานวนจรงบวก
จากการพรรณนา การสง 2zw = ในลกษณะการเปลยนขนาด และการหมน
สามารถใชในการมองภาพของเซตบางเซตได เชน รงส ( ray) ทมจดเรมตนทจดกาเนดและจดทก
จดจด ทามม φ กบแกนจรงบวกจะไดวาจดเหลานภายใตการสง 2zw = จะไดวาจด w เปนรงสท
มจดเรมตนทจดกาเนด และจดทกจดใน w จะทามม φ2 กบแกนจรงบวก
ขอสงเกต เนองจากคามอดลส P ของจดในรงสอยในชวง ),0[ ∞
ดงนน คามอดลส 2P ของจดในภาพของรงส จะอยในชวง ),0[ ∞ เหมอนกน
2.4 ฟงกชนกาลงพเศษ 57
ตวอยาง 14 จงหาภาพของสวนโคงวงกลมซง 2
)arg(0 ,2 || π≤≤= zz ภายใตการสง 2zw =
วธทา ให C เปนสวนโคงวงกลมท 2
)arg(0 ,2 || π≤≤= zz
และให 'C แทนภาพของ C ภายใตการสง 2zw = เนองจากแตละจดใน C มมอดลส 2 ,
ดงนนภายใตการสง 2zw = จะไดวาแตละจดใน 'C มมอดลส 422 = นนคอทกจดใน 'C จะอยบนวงกลม 4 หนวย คอจดศนยกลางท )0,0( รศม 4
แตเนองจากอารกวเมนต z ใน C อยในชวง ]2
,0[ π
ดงนน อารกวเมนต w ใน 'C มคาอยในชวง ],0[]2
2,02[ ππ=⋅⋅
นนคอ 'C = })arg(0 ,4 || :{ π≤≤=∈ wwCw
ซงมกราฟเปนครงวงกลมดงรป 2.14
z -Plan w -Plan
รป 2.14 การสง 2zw =
ในการหาภาพใน ตวอยาง 14 เราอาจหาไดอกวธโดยการใชสมการองตวแปรเสรม
จากสวนโคง C สามารถเขยนในรปสมการองตวแปรเสรมได
itetz 2)( = , 2
0 π≤≤ t
ดงนน ภาพ 'C หาไดโดย
tietzftw 24))(()( == , 2
0 π≤≤ t
โดยการเปลยนตวแปรใหมโดยให ts 2=
จะได isesw 4)( = , π≤≤ s0
ซงเปนสมการองตวแปรเสรม ของ π≤≤= )arg(0 ,4 || ww
ในทานองเดวกน การสงฟงกชนกาลงสองจะสงครงวงกลม
rz = || , 2
)arg(2
ππ≤≤− z ไปบนวงกลมบน 2 || rw =
58 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
ตวอยาง 15 จงหาภาพของเสนตรงแนวยน kx = ภายใตการสง 2zw =
วธทา ในตวอยางนเราจะใช สวนจรงและสวนจนตภาพของ 2zw =
โดยให ivuw += จะไดวา 22),( yxyxu −=
และ xyyxv 2),( = (1)
เนองจาก เสนตรงแนวยน kx = ประกอบดวยจด iykz += , ∞<<∞− y
ดงนน ภาพของเสนตรงทงหมดประกอบดวยจด ivuw +=
โดยท 22 yku −=
และ kyv 2= , ∞<<∞− y (2)
โดยการพจารณาคา k เปน 2 กรณคอ
กรณ 0≠k
โดยการมองความสมพนธของตวแปร y จะไดวา
2
22
4kvku −= , ∞<<∞− v (3)
หรอ 222 )(4 kukv −−= = 22 ))((4 kuk −−
ซงจะมกราฟเปนรปพาราโบลาทม จดยอดท )0,( 2k จดตดแกน v ท )20( 2k±
ขอสงเกต สมการ (3) จะยงคงเดมถา k ถก แทนทโดย k−
ดงนนเสนตรง kx = และ kx −= จะถกสงไปบนพาราโบลา 2
22
4kvku −= ภายใตการสง
2zw =
รป 2.15 (a) เสนแนวยนในระนาบ z รป 2.15 (b) ภาพของเสนใน (a)
รป 2.15 การสง 2zw =
จาก (a) 3=x , 3−=x ถกสงไปยงพาราโบลาจดยอด )0,9( ใน )(b
2±=x ถกสงไปยงพาราโบลาจดยอด )0,4(
1±=x ถกสงไปยงพาราโบลาจดยอด )0,1(
กรณ k = 0
จากสมการ (2) จะได 2yu −= , 0=v ; ∞<<∞− y ซงคอแกนจรงทางดานลบ
2.4 ฟงกชนกาลงพเศษ 59
โดยวธคลายกบในตวอยางท 15 สามารถแสดงไดวาเสนตรงในแนวนอน
ky = , 0≠k
จะถกสงไปบนพาราโบลา
22
2
4k
kvu −= หรอ ))((4 222 kukv += )4(
ซงเปนพาราโบลาทมจดยอด )0,( 2k− จดตดแกน v คอ )20( k±
โดย 2zw = สมการใน (4) คงเดม ถาแทนท k โดย k−
ดงนนคของเสนแนวนอน ky = และ ky −= , 0≠k จะถกสงไปบนพาราโบลา
))((4 222 kukv += ภายใตการสง 2zw =
กรณ 0=k นนคอ 0=y จะได 2xu = และ 0=v ∞<<∞− x ซงคอแกนจรงดานบวก
รป 2.16 (a) เสนแนวนอนในระนาบ z รป 2.16 (b)ภาพของเสนใน (a)
รป 2.16 การสง 2zw =
จาก (a) 3±=y ถกสงไปยงพาราโบลาจดยอด (-9,0)
2±=y ถกสงไปยง พาราโบลาจดยอด (-4,0)
1±=y ถกสงไปยงพาราโบลาจดยอด (-1,0)
ตวอยาง 16 จงหาภาพของสามเหลยมทมจดยอดทจด 0 , i+1 , i−1 ภายใตการสง 2zw =
วธทา ให S แทนรปสามเหลยมทมจดยอดทจด 0 , i+1 , i−1
ให 'S แทนภาพของสามเหลยมใน 2zw =
ดานของ S ทเชอมจด 0 และ i+1 อยในรงสทมจดเรมตน 0 และทามม 4π
กบแกน x ดานบวก
ดงนน ภาพของดานน จงเปนสวนของเสนตรงททามม 24
2 ππ=⋅ กบแกน u ดานบวก และม
ขนาดเปน ( ) 222= และจาก 002 = , ii 2)1( 2 =+
จงไดวา ภาพของสวนเสนตรงนคอ สวนของเสนตรงทจดเรมตน 0 จดปลาย i2 ซงอยบนแกน v
60 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
ในทานองเดยวกน ภาพของสวนเสนตรง S ทเชอมจด 0 และ i−1 คอ สวนของเสนตรงท
จดเรมตน 0 จดปลาย i2− ซงอยบนแกน v
สาหรบภาพของสวนเสนตรง S ทเชอมจด i−1 และ i+1 คอสวนหนงของพราราโบลา
ทสอดคลองสมการ 4
12vu −= , 22 ≤≤− v
รป 2.17 (a) สามเหลยมในระนาบ z รป 2.17 (b) ภาพของสามเหลยม ใน (a)
รป 2.17 การสง 2zw =
ฟงกชน nzw = , 2>n วเคราะหในทานองเดยวกนกบ 2zw = โดย
ให θirez = จะไดวา nzw = = θinner
ดงนน ถาลงจด z และ w ในระนาบเชงซอนเดยวกน แลว มอดลสของ w คอ nr ซง
• จะมากกวามอดลสของ z เมอ 1>r
• จะนอยกวามอดลสของ z เมอ 1<r
• จะเทากบมอดลสของ z เมอ 1=r
และ อารกวเมนต ของ w คอ θn
เราสามารถแสดงไดวาภายใตการสง nzw = จะสงรงสทจดเรมตนทจดกาเนด และทามม θ กบ
แกนจรงบวก ไปเปนรงสทจดเรมตนทจดกาเนด และทามม θn กบแกนจรงบวก
จากรป 2.18 แสดงการสง 3zw = ซงสงรงส ทางซาย รป 2.18 (a) ไปเปนรงส รป 2.18(b)
รป 2.18 (a) รงสในระนาบ z รป 2.18 (b) ภาพของรงสใน (a)
รป 2.18 การสง 3zw =
2.4 ฟงกชนกาลงพเศษ 61
ตวอยาง 17 จงหาภาพของ เสยวของจานซงกาหนดโดย 2|| ≤z , 2
)arg(0 π≤≤ z
ภายใตการสง 3zw =
วธทา ให S คอ เสยวของจานซงกาหนดโดย 2|| ≤z , 2
)arg(0 π≤≤ z แสดงดงรป 2.19(a)
'S คอ ภาพ ของ S ภายใตการสง 3zw =
เนองจากมอดลสของจดใน S มคาระหวาง 0 ถง 2 ดงนน มอดลสของจดใน 'S มคา
ระหวาง 0 ถง 823 = และ อารกวเมนต ของจดใน S มคาระหวาง 0 ถง2π
ดงนน อารกวเมนต ของจดใน 'S มคาระหวาง 0 ถง2
32
3 ππ=⋅ นนคอ
}2
3)arg(0 ,8||0:{' π≤≤≤≤= wwwS แสดงดงรป 2.19(b)
รป 2.19 (a) รป 2.19 (b)
รป 2.19 การสง 3zw =
ฟงกชน nz /1 เมอ n เปนจานวนนบท 2≥n
เรมจาก 2=n
จาก ททราบมากอนนวา รากท n ของจานวนเชงซอน )sin(cos θθ irz += = θire คอ
))2sin()2(cos(n
kin
krn πθπθ ++
+= nkin er /)2( πθ + เมอ 1 ..., ,2 ,1 ,0 −= nk
ในกรณ 2=n จะไดวา รากท 2 คอ
))22sin()
22(cos( πθπθ kikr +
++
= 2/)2( πθ kier + เมอ 1 ,0=k
ถา )(zArg=θ และ 0=k แลว จะนยามเปน รากท 2 มขสาคญ
บทนยาม 2.4 ฟงกชน 2/1z โดยท 2/)(2/1 || ziArgezz = จะเรยกวา ฟงกชนรากท 2 มขสาคญ
62 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
ตวอยาง 18 จงหาคาฟงกชนรากทสองมขสาคญ 2/1z ทจดตอไปน
(a) 4=z (b) iz 2−= (c) iz +−= 1
วธทา (a) จาก 4=z จะไดวา 4|| =z และ 0)( =zArg
ดงนน 2/14 = 2/04 ie = 2
(b) จาก iz 2−= จะไดวา 2|| =z และ 2
)( π−=zArg
ดงนน 2/1)2( i− = 2/)2/(2 π−ie = )2
12
1(2 i− = i−1
(c) จาก iz +−= 1 จะไดวา 2|| =z และ 4
3)( π=zArg
ดงนน 2/1)1( i+− = 2/)4/3(2 πie
= ))8
3sin()8
3(cos(24 ππ i+ ≈ i09868.145509.0 +
บทนยาม 2.5 สาหรบ 2≥n ฟงกชน nz /1
กาหนดโดย nziArgnn ezz /)(/1 ||= จะเรยกวา ฟงกชนรากท n มขสาคญ
ตวอยาง 19
(a) จงหารากท 3 มขสาคญ 3/1z เมอ iz =
(b) จงหารากท 5 มขสาคญ 5/1z เมอ iz 31−=
วธทา (a) จาก iz = จะไดวา 1|| =z และ 2
)( π=zArg
ดงนน 3/1z = 3/)2/(3 1 πie = )6/(πie = i21
23+
(b) จาก iz 31−= จะไดวา 2|| =z และ 3
)( π−=zArg
ดงนน 5/1z = 5/)3/(5 2 π−ie = )15/(5 2 π−ie ≈ i2388.01236.1 −
แบบฝกหด 2.4
ในขอ 1-14 จงหาภาพของเซตทกาหนดให ภายใตการสง 2zw =
1. รงส 3
)arg( π=z 2. รงส
43)arg( π
−=z
3. เสนตรง 3=x 4. เสนตรง 5−=y
5. เสนตรง 41
−=y 6. เสนตรง 23
=x
7. แกนจนตภาพทางดานบวก 8. เสนตรง xy =
2.4 ฟงกชนกาลงพเศษ 63
9. ครงวงกลม 21 || =z , π≤≤ )arg(0 z
10. สวนของวงกลม 34|| =z ,
6)arg(
2π
≤≤π
− z
11. สามเหลยมทมจดยอดทจด 1,0 และ i+1
12. สามเหลยมทมจดยอดทจด 0 , i21+ และ i21+−
13. สเหลยมทมจดยอดทจด 0 , 1, i+1 และ i
14. สเหลยมทมจดยอดทจด 0 , 1, i+1 และ i+−1
15. จงหาภาพของรงส 3
)arg( π=z ภายใตการสง izzf −+= 12)( 2
16. จงหาภาพของเสนตรง 2=x ภายใตการสง 3)( 2 −= izzf
17. จงหาภาพของเสนตรง 3−=y ภายใตการสง izzf +−= 2)(
18. จงหาภาพของรงส 6
)arg( π=z ภายใตการสง
(a) 3)( zzf = (b) 4)( zzf = (c) 5)( zzf =
19. จงหาภาพของจตภาคท หนง ภายใตการสง
(a) 2)( zzf = (b) 3)( zzf = (c) 4)( zzf =
ขอ 20.- 25. จงหาคาฟงกชน รากท n มขสาคญ เอกาหนดคา z
20. 2/1z เมอ iz −= 21. 2/1z เมอ iz += 2
22. 3/1z เมอ 1−=z 23. 3/1z เมอ iz 33+−=
24. 4/1z เมอ iz 31+−= 25. 4/1z เมอ iz 434 +−=
2.5 ฟงกชนสวนกลบ
ฟงกชน z
zf 1)( = ซงโดเมนเปนเซตของจานวนเชงซอนทไมใช 0 เราเรยกวา
ฟงกชนสวนกลบ เราจะศกษาฟงกชนz
w 1= โดยการพจารณาในรปของเลขชกาลง
ให 0≠z ถา θirez =
แลว θθ
ii e
rrezw −===
111 (1)
จาก (1) มอดลสของ w คอสวนกลบของมอดลสของ z และ อารกวเมนต ของ w คอ ลบ
ของ อารกวเมนต ของ z
64 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
ดงนน การสงสวนกลบของจดในระนาน z โดย พกดเชงขว ),( θr จะสงไปยงจดในระนาบ w
เปน ),1( θ−r
รป 2.20 การสงสวนกลบ
ในรป 2.20 แสดงความสมพนธ ระหวาง z กบ z
w 1= ในระนาบเชงซอนเดยวกน
ซงจะเหนไดวาz
w 1= เปนการสงประกอบของอนเวอรสในวงกลมกบการสะทอนของแกนจรง
ตอไปเราจะทาการ นยาม และ วเคราะห สวนอนๆของการสงเหลาน
การผกผนในวงกลมหนงหนวย
ฟงกชน θier
zg 1)( = (2)
ซงโดเมนเปนเซตของจานวนเชงซอนทไมใช 0 เราเรยกวา การผกผนในวงกลมหนงหนวย
เราจะพจารณาการสงนโดยแยกพจารณาภาพของจดทอยบนวงกลม 1 หนวย จดทอยในวงกลม 1
หนวย และ จดทอยนอกวงกลม 1 หนวย
กรณ จดทอยบนวงกลม 1 หนวย
ดงนน θiez ⋅=1 จาก (2) จะได
zezg i == θ
11)(
นนคอแตละจดบนวงกลม 1 หนวย จะถกสงไปตวมนเองโดยฟงกชน )(zg
กรณ จดทอยในวงกลม 1 หนวย ทไมเปน 0
ดงนน θirez = , 1<r จาก (2) จะได
11|)(| >=r
zg
นนคอแตละจดในวงกลม 1 หนวยทไมเปน 0 จะถกสงไปนอกวงกลม 1 หนวย โดยฟงกชน )(zg
2.5 ฟงกชนสวนกลบ 65
กรณ จดทอยนอกวงกลม 1 หนวย
ดงนน θirez = , 1>r จาก (2) จะได
11|1||)(| <==r
er
zg iθ
นนคอแตละจดนอกวงกลม 1 หนวย จะถกสงไปในวงกลม 1 หนวยโดยฟงกชน )(zg
รป 2.21 การผกผนในวงกลมหนงหนวย
ดงนนการสงของ r
ewiθ
=
จะสงวงกลม 1|| =z ไปยงวงกลม 1|| =w
สงบรเวณภายในวงกลม 1|| =z ไปยงบรเวณภายนอกวงกลม 1|| =w
และ สงบรเวณภายนอกวงกลม 1|| =z ไปยงบรเวณภายในวงกลม 1|| =w
สดทายเราจะพจารณา การผกผนของวงกลมโดยสงเกตจาก (2) อารกวเมนต ของ
z และ )(zg เหมอนกน ดงนน ถา 01 ≠z เปนจดทมมอดลส r ในระนาบ z แลว )( 1zg
เปนจดทมลกษณะเฉพาะในระนาบ w คอทมอดลส r1
และอยบนรงสทออกมาจากจดกาเนดเปน
มมของ )arg( 1z ในระนาบ w ทางบวก โดย มอดลสของ z และ )(zg เปนสวนกลบกน
กลาวอกนยหนงไดวา
ถา จด z อยไกลจากจด 0 ในระนาบ z แลว ภาพของฟงกชน )(zg จะอยใกลจด 0 ใน
ระนาบ w และ ในทางกลบกน
ถา จด z อยใกลจด 0 แลว ภาพของฟงกชน )(zg จะไกลจากจด 0 ในระนาบ w
66 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
สงยคจานวนเชงซอน
การสงแบบท 2 เปนการสงทสะทอน บนแกนจรง ภายใตการสงนภาพขอจด ),( yx คอ
),( yx − ซงสามารถอธบายไดโดยฟงกชน zzc =)( ซงฟงกชนนเรยกวา ฟงกชนสงยคเชงซอน
รป 2.22 สงยคของจานวนเชงซอน
ในรป 2.22 แสดงใหเหนถงความสมพนธ ระหวาง z และภาพของ )(zc ในระนาบ
เชงซอนเดยวกน ถาแทนท z ดวย θire แลว θθ ii errezc ==)(
เพราะวา r เปนจานวนจรง จะไดวา rr = และ θθ ii ee −=
ดงนน ฟงกชนสงยคเชงซอน จะเขยนไดเปน θirezzc −==)(
การสงสวนกลบ
ฟงกชน z
zf 1)( = สามารถเขยนเปนฟงกชนประกอบของการผกผนวงกลมและ
สงยคเชงซอนได โดยใชรปแบบของเลขชกาลง θirezc −=)( และ r
ezgiθ
=)( จะไดวา
))(( zgc = θθ
ii
err
eczgc −==1)())((
โดยการเปรยบเทยบนกบ (1) เราจะเหนไดวา z
zfzgc 1)())(( == ซงเราสามารถบอกไดวา
การสงนคอ เรมแรกสงโดยอนเวอรสในวงกลม แลวกสงโดยสะทอนบนแกนจรง
ดงนนถาให 0z เปน จดในระนาบเชงซอนทไมใช 0 และ จด 0
001)(z
zfw == เปนจดใน
ระนาบเชงซอนเดยวกนกบจด 0z แลวจด 0w เปนจดทแสดงโดย
1.) หาการผกผนของ 0z ในวงกลม
2.) หาภาพสะทอนบนแกนจรง
2.5 ฟงกชนสวนกลบ 67
ตวอยาง 20 จงหาภาพของครงวงกลม 2|| =z , π≤≤ )arg(0 z ภายใตการสงของฟงกชน
สวนกลบ z
w 1=
วธทา ให C แทนครงวงกลม และให 'C แทนภาพของครงวงกลมภายใต z
w 1=
ในการหา 'C ขนแรกเราหาการผกผนของครงวงกลม C แลว กหาภาพสะทอนบนแกนจรง
ภายใตการผกผนในวงกลม ซงมมอดลส 2 เปลยนเปน มอดลส 21
และการหาภาพผกผนใน
วงกลมไมทาใหมมเปลยนแปลง ดงนนภาพของ C ภายใตการผกผนในวงกลมเปนครงวงกลม
21|| =w และ π≤≤ )arg(0 w ภาพสะทอนบนแกนจรงคาของ อารกวเมนต ของจดเปนลบ แต
ไมทาใหใหคามอดลสเปลยนแปลง เนองจากเหตนเองภาพสะทอนบนแกนจรงในครงวงกลมจะได
21|| =w และ 0)arg( ≤≤− wπ
รป 2.23 การสงสวนกลบ
จากรป 2.23 ครงวงกลม C เปนครงวงกลมบนถกสงไปยงครงวงกลม 'C เปนครงวงกลมลาง
ภายใตการสง z
w 1=
การใชเหตผลทานองเดยวกบ ตวอยาง 20 เราสามารถแสดงไดวาการสงสวนกลบ
บนวงกลม kz =|| เมอ 0≠k ถกสงไปยงบนวงกลม k
w 1|| =
ตวอยางตอไป จะเปนการสงสวนกลบ จากเสนตรงไปยงวงกลม
ตวอยาง 21 จงหา ภาพของเสนตรง 1=x ภายใตการสงของฟงกชนสวนกลบz
w 1=
วธทา เสนตรง 1=x ประกอบดวยเซตของจด iyz +=1 และ ∞<<∞− y และจาก z
w 1=
จะได iy
yyiy
w 22 111
11
+−
+=
+=
ตามทภาพของของเสนตรง 1=x ภายใต z
w 1= ประกอบดวยจดทงหมดทสอดคลองกบ
ivu + จะได
22 1,
11
yyv
yu
+−
=+
= และ ∞<<∞− y (3)
68 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
เราสามารถระบภาพนกบสมการในพกดฉาก โดยกาจดตวแปร y โดยสงเกตจาก (3)
ดงนน yuv −=
สมการแรกของ (3) แสดงใหเหนวา 0≠u
ดงนนเขยนใหมไดเปน uvy −=
จากนนนา uvy −= แทนลงใน สมการแรกของ (3) จะไดสมการกาลงสองคอ
022 =+− vuu
จดตวแปร u ใหอยในรปกาลงสองสมบรณ จะได
41)
21( 22 =+− vu และ 0≠u (4)
ในสมการท (4) เปนสมการของวงกลมจดศนยกลางท )0,21( และรศมคอ
21
อยางไรกตามเพราะวา 0≠u เพราะฉะนนจะไมมจด )0,0(
ใชตวแปรเชงซอน ivuw += เราสามารถระบภาพนโดย
21|
21| =−w และ 0≠w
รป 2.24 การสงสวนกลบ
จากรป 2.24 เสนตรง 1=x สงไปยงวงกลม 21|
21| =−w , 0≠w ภายใตการสง
zw 1=
จากตวอยาง 21 เหนไดวาไมมจดบนเสนตรง 1=x ทถกสงไปทจด 0 เพอใหไดวงกลม
สมบรณจากภาพของเสนตรง ตองพจารณาการสงฟงกชนสวนกลบบนระบบจานวนเชงซอนขยาย
ระบบจานวนเชงซอนขยาย ประกอบดวยทกจดในระนาบเชงซอนซงรวมจด ∞ ดวย
คณสมบตทสาคญของระนาบเชงซอนขยาย คอ จด ∞ ในระนาบเชงซอนขยาย จะมมอดลสทใหญ
ทสดในระนาบเชงซอน
เราใชการเทากนนทขยายฟงกชนสวนกลบ ท โดเมน และ เรนจ อยในระนาบเชงซอน
ขยาย จาก (1) เรากาหนดใหฟงกชนสวนกลบ สาหรบทกๆจดท 0≠z หรอ ∞ ในระนาบ
เชงซอน เราจะขยายฟงกชนนโดยระบภาพของ 0 และ ∞
โดยวธธรรมดาทกาหนดภาพของจดเหลานทพจารณาจดทใกลเคยง เราสงเกตวา
ถา θirez = เปนจดทใกล 0 แลว r เปนจานวนจรงบวกเลกๆ
2.5 ฟงกชนสวนกลบ 69
ดงนน θierz
w −==11
เปนจดทมมอดลส r1
ซงเปนคาทมาก
นนคอในระนาบเชงซอนขยาย ถา z เปนจดทใกล 0 แลว z
w 1= เปนจดทเขาใกล ∞
ดงนนมเหตผลทจะกาหนดฟงกชน สวนกลบ z
zf 1)( = บนระนาบเชงซอน
โดยกาหนด ∞=)0(f
ในทานองเดยวกน จะไดวา ถา z เปนจดทเขาใกล ∞ ในระนาบเชงซอนขยายแลว
)(zf จะมคาเขาใกล 0 ในระนาบเชงซอนขยาย ดวยเหตนมนเปนเหตผลเหมอนกนทจะกาหนด
ฟงกชนสวนกลบ บนระนาบเชงซอนขยาย โดยกาหนด 0)( =∞f
บทนยาม 2.6 ฟงกชนสวนกลบบนระนาบเชงซอนขยาย
ฟงกชนสวนกลบบนระนาบเชงซอนขยายเปนฟงกชนทกาหนดโดย
∞==∞
∞∉
=zz
zz
zf,0
0,
}, 0{,1
)(
ตวอยาง 22 จงหาภาพของเสนตรง 1=x ภายใตฟงกชนสวนกลบz
w 1= บนระนาบเชงซอนขยาย
วธทา เราเรมโดยเขยนเสนตรง 1=x ซงเปนเซตในระนาบเชงซอนทไมมขอบเขต
ดงนนจะกาหนดจด ∞ เปนจดบนเสนตรงในระนาบเชงซอนขยาย ในตวอยาง 21 เราหาภาพของ
จดท ∞≠z บนเสนตรง 1=x เปนวงกลม 21|
21| =−w ทไมรวมจด 0=w ดวยเหตนเรา
ตองการหาเพยงแคภาพของจด ∞ ทกาหนดภายใตฟงกชนสวนกลบบนระนาบเชงซอนขยาย จาก
บทนยาม 2.6 เราม 0)( =∞f และดงนน 0=w เปนภาพทจด ∞ นคอการเตมเขาไป
ในวงกลม 21|
21| =−w ดงนน เสนตรง 1=x สงไปยงวงกลมทสมบรณ
21|
21| =−w
โดยการสงฟงกชนสวนกลบบนระนาบเชงซอนขยาย เชนนการสงสามารถแทนโดยรป 2.24 กบ
ท 0=w โดยการเตมใหเตม
เพราะวาจด ∞ อยบนเสนตรงทกๆเสนในระนาบเชงซอนขยาย เรามภาพของเสนตรง
บางเสน kx = และ 0≠k จะได |21||
21|
kkw =− เปนวงกลมทสมบรณภายใตฟงกชนสวน
กลบบนระนาบเชงซอนขยาย
ในทานองเดยวกนเราสามารถแสดงไดวาเสนในแนวนอนสงไปทวงกลมโดย z
w 1=
70 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
การสงสวนกลบบนระนาบเชงซอนขยายจะสง
1) เสนแนวยน kx = ท 0≠k ไปยงวงกลม |21||
21|
kkw =− (5)
2) เสนแนวนอน ky = ท 0≠k ไปยงวงกลม |21||
21|
ki
kw =+ (6)
รป 2.25 (a) รป 2.25 (b)
รป 2.25 แสดงถงภาพ ของเสนตรงในแนวนอนกบแนวยน ภายใตการสงสวนกลบ
ในรป 2.25 เสนตรง kx = ท 0≠k แสดงในรป 2.25(a) เปนการสงโดย
zw 1=
ไปยงจดศนยกลางวงกลมบนแกนจรงทแสดงในรป 2.25(b) ภาพของเสนตรง kx = ท 0≠k
บรรจจด )0,1(k
ดวยเหตน เราจะเหนเสนตรง 2=x แสดงในรป 2.25(a) สงไปบน
วงกลม41
41=−w ซงมจดศนยกลาง )
41,0( รศม
41
และวงกลมผานจดศนยกลางบนแกนจรง
ผานจด )0,21( แสดงในรป 2.25(b)
ทานองเดยวกน เสนในแนวนอน 2=y แสดงในรป 2.25(a) สงโดย z
w 1= ไปบน
วงกลม 41
41
41
==+ iw ซงมจดศนยกลางท )41,0( − รศม
41
และวงกลมนมจดศนยกลาง
บนแกนจนตภาพผานจด )21,0( − แสดงในรป 2.25(b)
ตวอยาง 23 จงหา ภาพของแนวนอนแผนยาวครงชวงอนนต
กาหนดโดย 21 ≤≤ y และ 0≥x ภายใต z
w 1=
วธทา กาหนดให S แทน แผนยาวครงชวงอนนต กาหนดโดย 21 ≤≤ y และ 0≥x
ขอบเขตของ S ประกอบดวยสวนของเสนตรง 0=x และ 21 ≤≤ y
กบเสนตรง 1=y และ 2=y ท ∞<≤ x0
2.5 ฟงกชนสวนกลบ 71
จากสวนของเสนตรง 0=x และ 21 ≤≤ y สามารถมองเปนเซตของ 2||1 ≤≤ z
ท 2
)arg( π=z
ดงนน เมอ z
w 1= จะได 1||
21
≤≤ w และ )arg()1arg()arg( zz
w −==
ดงนน 2
)arg( π−=w
จงไดภาพของสวนของเสนตรง 0=x และ 21 ≤≤ y เปนสวนของเสนตรงบนแกน
v จาก i21
− ถง i−
เราพจารณาแนวนอนของเสนตรง 1=y และ ∞<≤ x0
จาก(6) โดยท 1=k จะไดภาพของเสนตรงนเปนสวนโคงในวงกลม 21|
21| =+ iw
เพราะวามมของจดบนเสนตรงทสนใจคอ 2
)arg(0 π≤< z
ดงนนมมของภาพทสนใจคอ 0)arg(2
<≤− wπ
และจด ∞ อยบนเสนตรง 1=y ท ∞<≤ x0
จงไดภาพนเปนสวนโคงของวงกลม 21|
21| =+ iw ท 0)arg(
2<≤− wπ
ในทานองเดยวกน เราหาภาพของแนวนอนบนเสนตรง 2=y และ ∞<≤ x0
เปนสวนโคงของวงกลม 41|
41| =+ iw ท 0)arg(
2<≤− wπ
เราสรปโดยสงเกตจาก (6) ทกๆเสนตรง ky = และ 21 ≤≤ k ระหวางเสนตรงทม
ขอบเขต 1=y และ 2=y ใน S สงไปยงระหวางสวนโคงของวงกลม
k
ik
w21|
21| =+ ท 0)arg(
2<≤− wπ
และ สวนโคงของวงกลม k
ik
w21|
21| =+ ท 0)arg(
2<≤− wπ
ดงรป 2.26
รป 2.26 (a) แนวนอนแผนยาวครงชวงอนนต รป 2.26 (b) ภาพของ (a)
รป 2.26 การสงสวนกลบ
ดงนน S แสดงในรป 2.26 (a) ถกสงไปบนเซต 'S แสดงในรป 2.26 (b) ภายใตการสง z
w 1=
zw /1=
72 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
ขอสงเกต
ฟงกชนสวนกลบ z
zf 1)( = เปนฟงกชน 1-1 ดงนน ฟงกชนผกผน 1−f เปนฟงกชน
และจาก z
w 1= จะไดวา
wz 1= = )(wf
ดงนน z
zf 1)(1 =−
จากตวอยางเราเหนไดวาภาพของเสนตรง 1=x ภายใตการสงของฟงกชนสวนกลบเปน
วงกลม |21||
21| =−w
ดงนนเมอ )(1)(1 zfz
zf ==− จะไดวาภาพของวงกลม 21|
21| =−z ภายใตการสงของ
ฟงกชนสวนกลบ คอ เสนตรง 1=u
ในทานองเดยวกนเราจะเหนวาวงกลม |21||
21|
kkw =− และ |
21||
21|
ki
kw =+ เปน
การสงไปยงเสนตรง kx = และ ky = ตามลาดบ
แบบฝกหด 2.5
จงหาภาพในขอ 1-14 ภายใตการสง ฟงกชนสวนกลบ z
w 1= บนระนาบเชงซอนขยาย
1. วงกลม 5|| =z
2. ครงวงกลม 21|| =z ท
23)arg(
2ππ
≤≤ z
3. ครงวงกลม 3|| =z ท 4
3)arg(4
ππ≤≤− z
4. หนงสวนสของวงกลม 41|| =z ท ππ
≤≤ )arg(2
z
5. วงแหวน 2||31
≤≤ z
6. บรเวณ 41 ≤≤ z ท 3
2)arg(0 πz≤
7. รงม 4
)arg( π=z ทมจดเรมตนทจดกาเนด
8. สวนของเสนตรงจาก 1− ถง 1 บนแกนจรงยกเวนท 0=z
9. เสนตรง 4=y 10. เสนตรง 61
=x
11. วงกลม 1=+ iz 12. วงกลม 31
31
=+ iz
13. วงกลม 22 =−z 14. วงกลม 41
41=+z
2.5 ฟงกชนสวนกลบ 73
ขอ 15-18 จงหาภาพของ S ทกาหนดให ภายใตการสง z
w 1= บนระนาบเชงซอนขยาย
15. 16.
17. 18.
19. จงพจารณาฟงกชน 12)( +=zizh บนระนาบเชงซอนขยาย
(a) ใชขอเทจจรงท h เปนฟงกชนประกอบของฟงกชนสวนกลบz
zf 1)( = และ
ฟงกชนเชงเสน 12)( += izzg นนคอ ))(()( zfgzh =
จงบรรยายในเชงเรขาคณตของการสง )(zhw =
(b) หาภาพของเสนตรง 4=x ภายใตการสง )(zhw =
(c) หาภาพของวงกลม 22 =+z ภายใตการสง )(zhw =
20. จงพจารณาฟงกชน 12
1)(−
=iz
zh บนระนาบเชงซอนขยาย
(a) ใชขอเทจจรงท h เปนฟงกชนประกอบของฟงกชนเชงเสน 12)( −= izzg และ
ฟงกชน สวนกลบz
zf 1)( = นนคอ ))(()( zgfzh =
จงบรรยายในเชงเรขาคณตของการสง )(zhw =
(b) หาภาพของเสนตรง 1=y ภายใตการสง )(zhw =
(c) หาภาพของวงกลม 21
=+ iz ภายใตการสง )(zhw =
74 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
21. พจารณาฟงกชน 21)(z
zh = บนระนาบเชงซอนขยาย
(a) เขยน h ใหเปนฟงกชนประกอบของ ฟงกชนกาลงสอง และ ฟงกชนสวนกลบ
(b) หาภาพของวงกลม 21
21
=+ iz ภายใตการสง )(zhw =
(c) หาภาพของวงกลม 11 =−z ภายใตการสง )(zhw =
22. พจารณาฟงกชน iz
izh ++= 13)( 2 บนระนาบเชงซอนขยาย
(a) เขยน h ใหเปนฟงกชนประกอบของ ฟงกชนกาลงสอง และ ฟงกชนสวนกลบ
(b) หาภาพของวงกลม 21
21
=+ iz ภายใตการสง )(zhw =
(c) หาภาพของวงกลม 11 =−z ภายใตการสง )(zhw =
2.6 ลมต และความตอเนอง
ลมตในจานวนเชงซอนกมแนวคดคลายกบ ลมตของฟงกชนจานวนจรงซงเปนการศกษา
ความสมพนธระหวางตวแปรตน z กบตวแปรตาม )(zfw = โดยจะศกษาวา ขณะท z เขาใกล
จานวนเชงซอน 0z แลว ฟงกชน )(zfw = จะเปนอยางไร ในกรณ ท )(zfw = มคาเขาใกล
จานวนเชงซอน L จะเขยนโดยสญลกษณ เปน Lzfzz
=→
)(lim0
ซงสามารถนยามดงตอไปน
บทนยาม 2.7 ให )(zfw = เปนฟงกชนเชงซอนทนยามในบางยานใกลเคยงจด 0z (ทจด 0z อาจ
นยามหรอไมนยามกได) และ L เปนจานวนเชงซอนจะกลาววาลมตของ f มคา L เมอ z เขาใกล
0z เขยนโดยสญลกษณ เปน Lzfzz
=→
)(lim0
กตอเมอ สาหรบทก 0>ε จะม 0>δ ททาให
ε<− Lzf )( เมอ δ<−< 00 zz
รป 2.27 (a)ยานใกลเคยง δ ทจด 0z รป 2.27 (b)ยานใกลเคยง ε ทจด L
รป 2.27 ความหมายเชงเรขาคณตของลมต
จากบทนยาม 2.7 จะเหนไดวาการท )(lim0
zfzz→
จะหาคาไดและมคา L แสดงวา ไมวา z
จะเขาใกล 0z ในทศทางใดกตาม )(zf ตองมคาเขาใกล L ดงนน ถาเราสามารถแสดงไดวา z เขา
ใกล 0z ในสองทศทางทตางกนแลวไดคา )(lim0
zfzz→
ตางกน จะทาใหสรปไดวา )(lim0
zfzz→
หาคา
ไมได หรอ กลาวอกนยหนงวา )(zf ไมมลมตท 0z
2.6 ลมตและความตอเนอง 75
ตวอยาง 24 จงแสดงวา zz
z 0lim→
หาคาไมได
วธทา จะพจารณา z เขาใกล 0 ในสองทศทาง
ทศทางแรก z เขาใกล 0 ตามแนวแกนจรง
ดงนน ixz 0+= และเมอ z เขาใกล 0 แสดงวา x เขาใกล 0
นนคอ zz
z 0lim→
= ixix
x 00lim
0 −+
→ = 1lim
0→x = 1
ทศทางทสอง z เขาใกล 0 ตามแนวแกนจนตภาพ
ดงนน iyz += 0 และเมอ z เขาใกล 0 แสดงวา y เขาใกล 0
นนคอ zz
z 0lim→
= iyiy
y −+
→ 00lim
0 = )1(lim
0−
→y = 1−
จากการท z เขาใกล 0 ในสองทศทางทตางกนแลวไดคาzz
z 0lim→
ทตางกน
สรปไดวาzz
z 0lim→
หาคาไมได
ตวอยาง 25 จงพสจน iziiz
31)2(lim1
+=++→
วธทา จากบทนยาม 2.7 iziiz
31)2(lim1
+=++→
กตอเมอ สาหรบทก 0>ε จะม 0>δ ททาให
ทก z ท δ<+−< )1(0 iz แลว ε<+−+ )31()2( izi
ให 0>ε เลอก 5εδ = จะไดวา ถา δ<+−< )1(0 iz แลว
)31()2( izi +−+ = iizi
++
−+2
312
= |)1(|5 iz +−
< δ5
= 5
5 ε
= ε
จากฟงกชน ( )yxuu ,= ทเปนฟงกชนคาจรงของตวแปรจานวนจรง 2 คา คอ x และ y
ไดวา u มลมต 0u ขณะท ( )yx, เขาใกล ( )00 , yx เขยนโดยสญลกษณ
( ) 0),(),(,lim
00
uyxuyxyx
=→
กตอเมอ ทกคาของ 0>ε ใด ๆ สามารถหา 0>δ ททาให
ε<− 0),( uyxu เมอ δ<−+−< 20
20 )()(0 yyxx
สามารถนามาประยกตในการหาลมตของฟงกชนเชงซอนโดยไดทฤษฎบทดงน
76 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
ทฤษฎบท 2.1 กาหนดให ),(),()( yxivyxuzf += , 000 iyxz += และ 00 ivuL +=
จะไดวา Lzfzz
=→
)(lim0
กตอเมอ ( ) 0),(),(,lim
00
uyxuyxyx
=→
และ ( ) 0),(),(,lim
00
vyxvyxyx
=→
พสจน สมมต Lzfzz
=→
)(lim0
จะไดวา สาหรบทกคา 0>ε จะม 0>δ ทาให
ε<− Lzf )( เมอ δ<−< 00 zz
จะแสดงวา ( ) 0),(),(,lim
00
uyxuyxyx
=→
และ ( ) 0),(),(,lim
00
vyxvyxyx
=→
ให 0>ε จาก Lzfzz
=→
)(lim0
ดงนน ม 0>δ ทาให ε<− Lzf )( เมอ δ<−< 00 zz
สาหรบ ทก ),( yx ท δ<−+−< 20
20 )()(0 yyxx กจะสอดคลองกบ
ทก iyxz += ท δ<−< 00 zz ทาใหได ε<− Lzf )(
เนองจาก ( ) ( ) ( )( )00 ,, vyxviuyxuLzf −+−=−
ทาใหได Lzfuyxu −≤− )(),( 0 และ Lzfvyxv −≤− )(),( 0
นนคอ ( ) ε<− 0, uyxu และ ε<− 0),( vyxv
สรปไดวา ( ) 0),(),(,lim
00
uyxuyxyx
=→
และ ( ) 0),(),(,lim
00
vyxvyxyx
=→
ในทางกลบกน สมมต ( ) 0),(),(,lim
00
uyxuyxyx
=→
และ ( ) 0),(),(,lim
00
vyxvyxyx
=→
ให 0>ε ดงนนจะม 01 >δ และ 02 >δ ททาใหไดวา
2),( 0
ε<− uyxu เมอ 1
20
20 )()(0 δ<−+−< yyxx
และ 2
),( 0ε
<− vyxv เมอ 22
02
0 )()(0 δ<−+−< yyxx
เลอก δ ทมคานอยทสดระหวางคาของ 1δ และ 2δ
ดงนนสาหรบ z ท δ<−< 00 zz ทาให
12
02
0 )()(0 δ<−+−< yyxx และ 22
02
0 )()(0 δ<−+−< yyxx
สงผลให 2
),( 0ε
<− uyxu และ 2
),( 0ε
<− vyxv
จากอสมการสามเหลยมได
00 ),(),()( vyxvuyxuLxf −+−≤− < εεε=+
22
จงสรปวา ε<− Lzf )( เมอ δ<−< 00 zz
นนคอ Lzfzz
=→
)(lim0
2.6 ลมตและความตอเนอง 77
ตวอยาง 2.26 จงแสดงวา ( ) 112lim 2
1−=+−
+→zz
iz
วธทา กาหนดให 12)( 2 +−= zzzf และ iyxz += จะไดวา
)22(1212)( 222 yxyixyxzzzf −++−−=+−=
นนคอ 12),( 22 +−−== xyxyxuu และ yxyyxvv 22),( −==
หาลมต สาหรบ u และ v ไดวา
( ) 11211,lim)1,1(),(
−=+−−=→
yxuyx
และ
( ) 022,lim)1,1(),(
=−=→
yxvyx
ดงนน สามารถสรปไดวา 1)(lim1
−=+→
zfiz
โดยทวไปแลว ลมตของฟงกชนจานวนเชงซอนจะเหมอนกบฟงกชนจานวนจรง โดย
ผลรวม ผลตาง ผลคณและผลหารของฟงกชนทมลมตจากดมลมตทเกยวของกบผลรวม ผลตาง
ผลคณและผลหารนน เราจะแสดงใหเหนในสวนของทฤษฎบท
ทฤษฎบท 2.2 สมมตให Lzfzz
=→
)(lim0
และ Mzgzz
=→
)(lim0
จะไดวา
(i) [ ] MLzgzfzz
±=±→
)()(lim0
(ii) LMzgzfzz
=→
)()(lim0
(iii) ML
zgzf
zz=
→ )()(lim
0
, เมอ 0≠M
การพสจน ให Lzfzz
=→
)(lim0
และ Mzgzz
=→
)(lim0
(i) จะแสดงวา [ ] MLzgzfzz
+=+→
)()(lim0
ให 0>ε ดงนนจะม 01 >δ และ 02 >δ ททาใหไดวา
2)( ε
<− Lzf เมอ 100 δ<−< zz
และ 2
)( ε<− Mzg เมอ 200 δ<−< zz
เลอก δ ทมคานอยทสดระหวางคาของ 1δ และ 2δ
ดงนนสาหรบ z ท δ<−< 00 zz ทาให
100 δ<−< zz และ 200 δ<−< zz
สงผลให 2
)( ε<− Lzf และ
2)( ε
<− Mzg
78 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
จากอสมการสามเหลยมได
M)z(gL)z(f)ML())z(g)z(f( −+−≤+−+ < εεε=+
22
จงสรปวา ε<+−+ )ML())z(g)z(f( เมอ δ<−< 00 zz
นนคอ [ ] MLzgzfzz
+=+→
)()(lim0
สาหรบการพสจน [ ] MLzgzfzz
−=−→
)()(lim0
พสจนในทานองเดยวกนกบ
[ ] MLzgzfzz
+=+→
)()(lim0
ซงขอละไวเปนแบบฝกหด
(ii) จะแสดงวา LMzgzfzz
=→
)()(lim0
จาก Mzgzz
=→
)(lim0
และ 01> ดงนนจะม 01 >δ ทาให
1)( <− Mzg เมอ 100 δ<−< zz
ทก z ท 100 δ<−< zz จะไดวา ||1)()()( MMMzgMMzgzg +<+−≤+−=
ให 0>ε ดงนนจะม 02 >δ และ 03 >δ ททาใหไดวา
|)|1(2)(
MLzf
+<−
ε เมอ 200 δ<−< zz
และ |)|1(2
)(L
Mzg+
<−ε
เมอ 300 δ<−< zz
เลอก δ ทมคานอยทสดระหวางคาของ 1δ , 2δ และ 3δ
ดงนนสาหรบ z ท δ<−< 00 zz ทาให
100 δ<−< zz , 200 δ<−< zz และ 300 δ<−< zz
จากอสมการสามเหลยมได
LM)z(g)z(f − = LM)z(Lg)z(Lg)z(g)z(f −+−
M)z(g||L||)z(g||L)z(f −+−≤
|)|1(2
|||)|1(|)|1(2 L
LMM +
+++
<εε
εεε=+<
22
นนคอ LMzgzfzz
=→
)()(lim0
(iii) จะแสดงวา ML
zgzf
zz=
→ )()(lim
0
, เมอ 0≠M
กอนอนจะแสดงวา Mzgzz
1)(
1lim0
=→
จาก Mzgzz
=→
)(lim0
และ 02
||>
Mดงนนจะม 01 >δ ทาให
2||)( MMzg <− เมอ 100 δ<−< zz
2.6 ลมตและความตอเนอง 79
ทก z ท 100 δ<−< zz จะไดวา 2
||)(|||)(| MMzgMzg <−≤−
นนคอ 2
||3)(2
|| MzgM<<
หรอ ||
2|)(|
1Mzg
<
ให 0>ε เนองจาก 02
|| 2
>M
และ Mzgzz
=→
)(lim0
ดงนนจะม 02 >δ ทาให
ε2
||)(2MMzg <− เมอ 200 δ<−< zz
เลอก δ ทมคานอยทสดระหวางคาของ 1δ และ 2δ
ดงนนสาหรบ z ท δ<−< 00 zz ทาให
100 δ<−< zz และ 200 δ<−< zz
จงไดวา Mzg1
)(1
− = )(
)(zMg
zgM − =
|)(||||)(|
zgMzgM −
< ε2
||||
2 2
2M
M= ε
ดงนน Mzgzz
1)(
1lim0
=→
จาก (ii) จงไดวา ML
ML
zgzf
zgzf
zzzz===
→→)1()
)(1))(((lim
)()(lim
00
ขอสงเกต 1. ถา f เปนฟงกชนเชงซอนคงตว Czf =)( แลว Czfzz
=→
)(lim0
ทก 0z
2. ถา f เปนฟงกชนเชงเอกลกษณ zzf =)( แลว 0)(lim0
zzfzz
=→
ทก 0z
ตวอยาง 27 จงหาลมต
(a) 1
2)3(lim24
++−+
→ zzzzi
iz
(b) iz
zziz 31
42lim2
31 −−+−
+→
วธทา (a) พจารณา )1(lim +→
ziz
= 1+i ≠ 0
และ )2)3((lim 24 zzziiz
+−+→
= iiii 2)3( 24 +−+ = i34 +
ดงนน 1
2)3(lim24
++−+
→ zzzzi
iz =
)1(lim
)2)3((lim 24
+
+−+
→
→
z
zzzi
iz
iz
= ii
++
134
= i21
27−
(b) พจารณา )31(lim31
iziz
−−+→
= 0
80 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
และ )42(lim 2
31+−
+→zz
iz = 4)31(2)31( 2 ++−+ ii = 0
สาหรบ กรณนยงไมสามารถใชทฤษฎบท ทางพชคณตลมตได และเรยกวาอยใน
รปแบบยงไมกาหนด 00
แตสามารถแกปญหานไดโดยพจารณาฟงกชนiz
zz31422
−−+−
เมอ iz 31+≠ จะได
iz
zz31422
−−+−
= iz
iziz31
)31)(31(−−
+−−−
= iz 31+−
ดงนน iz
zziz 31
42lim2
31 −−+−
+→ = iz
iz31lim
31+−
+→
= ii 3131 +−+
= i32
ในทานองเดยวกนกบฟงกชนคาจรงจะเหนไดวา สาหรบฟงกชนเชงซอน คาลมตของ
ฟงกชนเชงซอน ท 0z ( )(lim0
zfzz→
) กบคาฟงกชนเชงซอนท 0z ( )( 0zf ) มความอสระกน
ตอไปเราจะนยามในกรณทคาฟงกชนเชงซอนท 0z มคาเทากบ ลมตฟงกชนเชงซอน ท 0z
บทนยาม 2.8 ฟงกชนเชงซอน f ตอเนองท 0z กตอเมอ )()(lim 00
zfzfzz
=→
จะเหนไดวาการท ฟงกชนเชงซอน f ตอเนองท 0z ตองประกอบดวย
1. f ตองนยามท 0z
2. )(lim0
zfzz→
ตองหาคา
และ 3. )()(lim 00
zfzfzz
=→
ดงนน ถาขาดสมบตขอใดขอหนง จะบอกไดวา f ไมตอเนองท 0z
และจากฟงกชน ),( yxu ทเปนฟงกชนคาจรงของ 2 ตวแปร x และ y จะกลาววา u ตอเนองทจด
( )00 , yx กตอเมอ
1. ),( 00 yxu หาคาได
2. ( )yxuyxyx
,lim),(),( 00→
หาคาได
และ 3 . ( )yxuyxyx
,lim),(),( 00→
= ),( 00 yxu
2.6 ลมตและความตอเนอง 81
ทาใหไดทฤษฏแสดงความสมพนธระหวางความตอเนองของฟงกชนเชงซอนกบ ฟงกชนคาจรง
ของ 2 ตวแปรดงน
ทฤษฎบท 2.3 ให ),(),()( yxivyxuzf += ทหาคาไดในบางยานของ 0z จะไดวา
f จะมความตอเนอง ท 000 iyxz += กตอเมอ u และ v มความตอเนองท ( )00 , yx
ตวอยาง 2.28 จงแสดงวาฟงกชน ( ) zzf = เปนฟงกชนตอเนอง
วธทา จาก ( ) zzf =
ถา iyxz += แลว ( ) zzf = = iyx −
ทาใหไดวา xyxu =),( และ yyxv −=),( ซงทง u และ v เปนฟงกชนตอเนอง
ดงนน ( ) zzf = จงเปนฟงกชนตอเนอง
ฟงกชนเชงซอน f จะตอเนองกตอเมอ สวนจรงและสวนจนตภาพ u และ v มความ
ตอเนอง ดงนนความตอเนองของฟงกชนเชงซอนจะเหมอนกบความตอเนองของฟงกชนคาจรง
ดงตอไปน
ทฤษฎบท 2.4 ให f และ g มความตอเนองทจด 0z จะไดวาฟงกชนตอไปนมความตอเนองทจด 0z
- ผลรวม gf + เมอ ))(( zgf + = ( )zf + )(zg ;
- ผลตาง gf − เมอ ))(( zgf − = ( )zf - )(zg ;
- ผลคณ fg เมอ ))(( zfg = ( )zf )(zg ;
- ผลหาร gf
เมอ )(zgf
= )()(
zgzf
โดยท 0)( 0 ≠zg และ
- ฟงกชนประกอบ fog เมอ ( fog ) )(z = ))(( zgf โดยท f เปนฟงกชนตอเนอง ในยาน
จดท )( 0zg
ตวอยาง 2.29 จงแสดงวาฟงกชนพหนาม nn zazazaazPw ++++== ...)( 2
210
มความตอเนองทกคาของ 0z บนระนาบเชงซอน
วธทา จาก 000
lim aazz
=→
และ 00
lim zzzz
=→
ถา 01 ≠a แลว สามารถใชพชคณตลมตแสดงไดวา
( ) 0110
lim zazazz
=→
จากนนใชอปนยเชงคณตศาสตร จะไดวา
( ) kk
kkzz
zaza 00
lim =→
สาหรบ k = 1,2,3,…,n
ดงนน =→
)(lim0
zPzz
)(lim 00
000
zPzazan
k
kk
n
k
kkzz
==
∑∑==
→
นนคอ P มความตอเนองท 0z
82 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
เทคนคหนงในการใชคานวณลมตคอการประยกตใชทฤษฎบท 2.4 กบผลหาร ถาเราให P
และ Q เปนพหนามและถา ( ) 00 ≠zQ แลว
)()(
)()(lim
0
0
0 zQzP
zQzP
zz=
→.
เทคนคอนๆ จะเปนเทคนคทเกยวของกบการกระจายพหนาม คอ ถาทง ( ) 00 =zP และ
( ) 00 =zQ สามารถกระจายออกไดเปน ( ) ( ) ( )zPzzzP 10−= และ ( ) ( ) ( )zQzzzQ 10−=
ถา ( ) 001 ≠zQ แลว ลมตคอ
=→ )(
)(lim0 zQ
zPzz )(
)()()()()(
lim01
01
10
10
0 zQzP
zQzzzPzz
zz=
−−
→
ตวอยาง 2.30 จงแสดงวา izz
iziz
−=+−
−+→
122
2lim2
2
1
วธทา กาหนดให P และ Q เปนเศษและสวนจากโจทย ตามลาดบ จะไดวา
)1)(1()( izizzP ++−−= และ )1)(1()( izizzQ +−−−=
สามารถหาคาของลมตได คอ
=+−
−+→ 22
2lim 2
2
1 zziz
iz )1)(1()1)(1(lim
1 iziziziz
iz −−−−++−−
+→
= iziz
iz +−++
+→ 11lim
1
= iiii
+−++++
1)1(1)1(
= i
i2
22 +
= i−1
แบบฝกหด 2.6
ขอ1 – 20 จงหาคาของลมตตอไปน
1. ( )zziz
−→
2
2lim 2.
zzzz
iz +−
+→1lim
3. ( )ziziz
−−→
2
1||lim 4.
)Re()Im(lim
2
3 zzz
iz =→
5. π
πe
iz→lim 6. z
izze
→lim
7. ( )zez
iz+
+→2lim 8.
++
→ xyiyxeiz
arctan||loglim 22
2.6 ลมตและความตอเนอง 83
9. ( )zziz
−−→
2
2lim 10. ( )zzz
iz+−
→
25lim
11.
+
→ zz
iez
1lim4/π
12. 11lim 2
2
1 −
++→ z
ziz
13. iz
ziz +
−−→
1lim4
14. )2()2(lim22
2 iziz
iz +−+−
+→
15. 0
0 )()(lim0 zz
bazbazzz −
+−+→
16. 11623 lim 223 ++
−++−→ zz
iziz
17. )524(lim 2
2izz
iz++−
+→ 18.
124lim
2
+++
→ zzz
iz
19. iz
ziz −
−→
1lim4
20. 12
2lim 2
2
1 +−+−+
+→ zzizz
iz
21. จงแสดงวา 0lim2
0=
→ zx
z
22. จงแสดงวา 0200
2 cos)cos(lim 0
0
yixyeyixye xx
zz+=+
→
23. จงแสดงวา [ ] 020
20
22 )ln()ln(lim0
iyyxiyyxzz
++=++→
โดยท 00 ≠z
24. จงแสดงวา 0lim2
0=
→ zz
z
ขอ 25- 30 จงพจารณาวาฟงกชนทกาหนดให เปนฟงกชนตอเนองหรอไม
25. 29 24 −+− izzz 26. 1
12 ++
zz
27. 2356
2
2
++++
zzzz
28. 22
12
4
+++zz
z
29. 1−
+x
iyx 30.
1−+
ziyx
31. จงพจารณาวา 22
23 3),(yxxyxyxu
+−
= มลมตหรอไม เมอ )0,0(),( →yx
32. จงพจารณาวา zzzf =)( มลมตหรอไม เมอ 0→z
33. กาหนดให 22
22
2
2 2)(yx
xyiyxzzzf
++−
== .
a) จงหาคา )(lim0
zfz→
เมอ 0→z ตามแนวเสนตรง y = x
b) จงหาคา )(lim0
zfz→
เมอ 0→z ตามแนวเสนตรง y = 2x
84 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
c) จงหาคา )(lim0
zfz→
เมอ 0→z ตามแนว พาราโบลา 2xy =
d) สรปคา )(lim0
zfz→
33. กาหนดใหz
zzzf )Re()( = เมอ 0≠z และ ให 0)0( =f จงแสดงวา )(zf ตอเนอง
สาหรบทกคาของ z
34. กาหนดให xy eiyxezf −+= 2)( จงแสดงวา )(zf ตอเนองสาหรบทกคาของ z
35. กาหนดให 2
22
)(z
iyxzf += เมอ 0≠z และ ให 1)0( =f จงแสดงวา )(zf ตอเนองทจด
กาเนดหรอไม
36. กาหนดให z
zzf )Re()( = เมอ 0≠z และ ให 1)0( =f จงแสดงวา )(zf ตอเนองทจด
กาเนดหรอไม
37. กาหนดให zzzf
2)Re()( = เมอ 0≠z และ ให 1)0( =f จงแสดงวา )(zf ตอเนองทจด
กาเนดหรอไม
38. กาหนดให 2/)(2/12/1)( ziArgezzzf == จงแสดงวา ( )zf ไมตอเนองท 00 =z และทกจด
บนแกน x ทางดานลบ
39. กาหนดให ( ) iArgzzf += ln z ซง Arg<−π π<z จงแสดงวา ( )zf ไมตอเนองท
00 =z และทกจดบนแกน x ทางดานลบ
40. ให ( ) Mzg ≤ และ ( ) 0lim0
=→
zfzz
จงแสดงวา ( ) ( ) 0lim0
=→
zgzfzz
41. กาหนดให 0zzz −=∆ จงแสดงวา ถา ( ) 000lim wzzfz
=∆+→∆
แลว ( ) 00
lim wzfzz
=→
42. กาหนดให ( )zf ตอเนองทกคา z
a) จงแสดงวา ( ) ( )zfzg = ตอเนองทกคา z
b) จงแสดงวา ( ) ( )zfzg = ตอเนองทกคา z
2.6 ลมตและความตอเนอง 85
บทท 2 ............................................................................................................................. 38 ฟงกชนเชงซอนและการสง .................................................................................................... 38
2.1 ฟงกชนเชงซอน .......................................................................................................... 38 แบบฝกหด 2.1 ............................................................................................................... 41 2.2 การสงเชงซอน .......................................................................................................... 41 แบบฝกหด 2.2 ............................................................................................................... 45 2.3 การสงเชงเสน ........................................................................................................... 46 แบบฝกหด 2.3 ............................................................................................................... 54 2.4 ฟงกชนกาลงพเศษ ...................................................................................................... 55 แบบฝกหด 2.4 ................................................................................................................ 62 2.5 ฟงกชนสวนกลบ ........................................................................................................ 63 แบบฝกหด 2.5 ................................................................................................................ 72 2.6 ลมต และความตอเนอง ................................................................................................. 74 แบบฝกหด 2.6 ................................................................................................................ 82
86 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง
การเปลยนขนาด ...................................... 49 การผกผนในวงกลมหนงหนวย .................... 64 การเลอนขนาน ........................................ 46 การสงเชงซอน ........................................ 41 การสงเชงเสน ......................................... 46 การสงสวนกลบ ....................................... 66 การหด .................................................. 50 การหมน ............................................... 47 ตวประกอบการเปลยนขนาด ....................... 50 ฟงกชนกาลง........................................... 55 ฟงกชนเชงซอน ....................................... 38 ฟงกชนเชงซอน ตอเนอง ............................ 81
ฟงกชนรากท 2 มขสาคญ ........................... 61 ฟงกชนรากท n มขสาคญ ........................... 62 ฟงกชนเลขชกาลง .................................... 39 ฟงกชนสวนกลบ ..................................... 63 ฟงกชนสงยคเชงซอน ............................... 66 ภาพของจดภายใตการสงเชงเสน .................. 51 ภาพของเสนโคงองตวแปรเสรม ................... 44 ระบบจานวนเชงซอนขยาย ......................... 68 ลมต ..................................................... 74 เสนโคงองตวแปรเสรม .............................. 43