4ο Λυκειο Αιγαλεω

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Α.Μελετη μιας αρμονικης ταλαντωσης ως προς την αρχικη φασηΠαραδειγμαΝα βρεθει η αρχικη φαση στις παρακατω περιπτωσεις

1. Κατά την t=0 ισχύει χ=Α/2 και υ>02. Κατά την t=0 ισχύει χ=0 και υ>03. Κατά την t=0 ισχύει χ=0 και υ<04. Κατά την t=0 ισχύει χ=+Α και υ=05. Κατά την t=0 ισχύει χ=-Α και υ=06. Κατά την t=0 ισχύει χ=-Α/2 και υ>0

Β.Υπολογισμός χρονικων στιγμών και χρονικων διαρκειώνΠαράδειγμα 1Σε μια ταλαντωση χωρίς αρχικη φαση να βρείτε τις χρονικές στιγμές που ισχύει χ=+-Α /2

Παραδειγμα 2Να λυθει το προηγούμενο προβλημα για μια ταλάντωση που παρουσιάζει αρχική φάση π/2

Παραδειγμα 3Να βρείτε πόσος χρόνος μεσολαβεί ανάμεσα στις χρονικες στιγμες που ισχύει για πρώτη φορά χ=Α /2 και για τρίτη φορα χ=-Α/2.Το πρόβλημα να λυθει σε δυο περιπτωσεις. Η ταλαντωση παρουσιάζει αρχικη φάση φ=0 και φ=π/2

Γ.Γραφικές παραστασειςΠαραδειγμα 1Να γινουν οι γραφικες παραστασεις χ=f(t) ,u=f(t), a=f(t) , K=f(t) , U=f(t) E=f(t) σε μια αρμονικη ταλαντωση χωρις αρχικη φαση

Παραδειγμα 2Να γινουν οι γραφικες παραστασεις χ=f(t) ,u=f(t), a=f(t) , K=f(t) , U=f(t) E=f(t) σε μια αρμονικη ταλαντωση με αρχικη φαση π/2

Παραδειγμα 3Να γινουν οι γραφικες παραστασεις χ=f(t) ,u=f(t), a=f(t) , K=f(t) , U=f(t) E=f(t) σε μια αρμονικη ταλαντωση με αρχικη φαση φ=π

Παραδειγμα 4Να γινουν οι γραφικες παραστασεις χ=f(t) ,u=f(t), a=f(t) , K=f(t) , U=f(t) E=f(t) σε μια αρμονικη ταλαντωση με αρχικη φαση φ=3π/2

Δ.Ταλαντωση υλικου σημειουΣτοχοι:Α. Εφαρμογη των σχέσεων της Α.Α.Τ

1

4ο Λυκειο Αιγαλεω

Β. Εφαρμογη του Θ.Δ.Ε.ΤΠαραδειγμα 1Υλικό σημείο μαζας m=5Kg εκτελεί ταλαντωση κατά την διεύθυνση του αξονα χ γυρω από τη θεση Ο. Κατά την t=0 βρίσκετε στο θετικό ημιάξονα και απέχει κατά cm από το Ο κινούμενο κατά την αρνητική φορα ενώ στις θέσεις που αντιστοιχούν σε απομακρύνσεις x1=2cm και x2=-4cm η ταχύτητα εχει μέτρο u1=4cm/s και u2=2cm/s αντιστοιχαΑ) Να γραψετε την εξίσωση απομάκρυνσης χρόνου και να κάνετε την αντιστοιχη γραφικη παράσταση Β) Να υπολογίσετε το εργο της δύναμης επαναφορας κατά την απευθείας μεταβαση από τη θεση x1=2cm στη θεση x2=-4cm

Παραδειγμα 2Για ένα υλικό σημείο που εκτελεί ΑΑΤ ξερουμε ότι:Α. Την t=0 βρίσκεται στο θετικό ημιάξονα και κινείται κατά την αρνητικη φορά ενώ ισχύει Κ=3U .Ποια η αρχική φαση της ταλαντωσηςΒ. Ο χρόνος μετάβασης από τη μια ακραία θεση ταλάντωσης στην άλλη είναι π/10s.Ποια είναι η κυκλικη συχνότητα της ταλαντωσηςΓ. Όταν το υλικο σημείο βρίσκετε σε μια θεση π[ου απέχει από τη θεση ισορροπίας χ=0,1 m εχει ταχυτητα m/s.Ποιο είναι το πλάτος της ταλάντωσηςΔ. Πόσος χρόνος μεσολαβει από την t=0 εως τη στιγμή που η ταχύτητα μηδενίζεται για πρώτη φορά Παραδειγμα 3Ένα σώμα μάζας m=2Kg εκτελεί ΑΑΤ με πλάτος Α=0,5m Η Σταθερά των ταλαντώσεων είναι D=200N/m .Σε κάποια χρονική στιγμή t1 το μετρο της ταχύτητας του σώματος είναι u1=5/2 m/s.Να υπολογιστούν:Α) Η κυκλική συχνότητα των ταλαντώσεωνΒ) Η απομακρυνση του τη χρονικη στιγμή t1

Γ) Η επιταχυνση του σωματος την ιδια χρονικη στιγμη

Ε.Συστηματα που εκτελουν ΑΑΤΣτοχος: Να εφαρμοζουμε την μεθοδολογια ώστε να αποδεικνύουμε ότι ένα συστημα εκτελει ΑΑΤ

Παραδειγμα 1Σώμα μάζας m= 4 Kg ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο στερεωμένο από το ελεύθερο άκρο ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k= 100 Nt/m το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Εκτρέπουμε το σύστημα κατά x=10cm από την θέση ισορροπίας και το αφήνουμε ελεύθερο. α) Να αποδείξετε ότι εκτελεί Α Α Τ της οποίας να υπολογίσετε την περίοδο και το πλάτος β) θεωρώντας ως t=O τη στιγμή που το αφήνουμε ελεύθερο να γράψετε τις εξισώσεις απομάκρυνσης χρόνου και ταχύτητας -χρόνου. γ) Αν διπλασιάσουμε την αρχική απομάκρυνση τι θα μεταβληθεί στην ταλάντωση. δ) Να δώσετε σε κοινό διάγραμμα και για τις δύο περιπτώσεις τη γραφικη παράσταση απομάκρυνσης -χρόνου και ταχύτητας χρόνου.

Παραδειγμα 2Θεωρείστε κατακόρυφο ελατήριο το πάνω άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο.

2

4ο Λυκειο Αιγαλεω

Στο κάτω άκρο του ελατηρίου στερεώνεται σώμα μάζας rn= 1 Kg που ισορροπεί όταν το ελατήριο έχει εmμηκυνθεί κατά Δl =10cm. Εκτρέπουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του τόσο ώστε, όταν το αφήσουμε ελεύθερο να διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με ταχύτητα μετρου Uο=2m/s

α) Να δειξετε ότι το σύστημα όταν αφεθεί ελεύθερο θα εκτελέσει ταλάντωση της οποίας να υπολογίσετε το πλάτος και την περίοδο.

β) Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης επαναφοράς και της F ελ από την στιγμή που αφήνεται ελεύθερο ως τη στιγμή που ισχύει για πρώτη φορά χ=Ο. Μόνο για το β ερώτημα δίνεται η μάζα m=O,5Kg. γ) Αν μεταφέρουμε το προηγούμενο σύστημα εκτός, οποιουδήποτε βαρυτικού πεδίου. Να δειξετε ότι αν εκτραπεί από την θέση ισορροπίας εκτελεί ταλάντωση.

Παραδειγμα 3Από την κορυφή ενός κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ=30 που είναι λείο στερεώνεται ιδανικό ελατήριο σταθεράς k= 100N/m που είναι παράλληλο στο κεκλιμένο επίπεδο. Την t=O εξαρτάται από το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου ένα σώμα μάζας rn= 1 Kg που αφήνεται να ολισθήσει στο κεκλιμένο επίπεδο. α) Να δείξετε ότι η κίνηση που επακολουθεί είναι γραμμική αρμονική ταλάντωση της οποίας να υπολογίσετε το πλάτος και την περίοδο. β) θεωρώντας την φορά προς την κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου ως θετική να γράψετε : Τις εξισώσεις και να κάνετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις. ι) Του ρυθμού μεταβολής της ορμής με την απομάκρυνση χ από την θέση ισορροπίας και το χρόνο κίνησης ιι) Να γράψετε την εξισώση της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης με το χρόνο και να γίνει η αντίστοιχη γραφική παράσταση

Παραδειγμα 4 Σωμα μάζας rn ισορροπεί σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ συνδεδεμένο στα ελεύθερα άκρα δυο όμοιων ιδανικών ελατηρίων που έχουν κοινό άξονα ενώ τα άλλα άκρα τους συνδέονται στη βάση και στην κορυφή του κεκλιμένου. Τα δυο ελατήρια έχουν την ίδια σταθερά k. Απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του προς τα κάτω και το αφήνουμε ελεύθερο. α) Να αποδειχθεί ότι θα εκτελέσει Γ Α Τ και να υπολογιστεί η περίοδος της β) Να υπολογιστεί η δυναμική ενέργεια της Γ Α Τ και η δυναμική ενέργεια των ελατηρίων στις θέσεις ισορροπίας και μέγιστης θετικής απομάκρυνσης.

Παραδειγμα 5Στο ελευθερο ακρο οριζοντιου ιδανικου ελατηριου K=200N/m στερεωνεται σωμα μαζας m=2Kg το οποιο μπορει να κινειται χωρις τριβες πανω στο οριζοντιο επιπεδο . Το άλλο ακρο του ελατηριου είναι ακλονητα στερεωμενο. Το σωμα είναι δεμενο στο ακρο οριζοντιου νηματος το οποιο βρισκετε στην προεκταση του αξονα του ελατηριου και κοβεται όταν η ταση του νηματος γινεται Τθ=100Ν .Στο άλλο ακρο του νηματος και κατά μηκος αυτου ασκειται δυναμη που δινεται από την εξισωση F=60+200x (S.I) . Με την επιδραση της δυναμης το σωμα μετακινειται προκαλωντας επιμηκυνση του ελατηριου από το φυσικο μηκος.Α) Να βρεθει το πλατος της ταλαντωσης που θα κανει το σωμα μετα το κοψιμο του νηματοςΒ) Να γραφει η εξισωση της απομακρυνσης του σωματος με τον χρονο και να γινει η αντιστοιχη γραφικη παρασταση αν θεωρηθει ως t=0 η στιγμη κατά την οποια κοβεται το νημα

3

4ο Λυκειο Αιγαλεω

ΣΤ.Oταν εχουμε συστημα σωματων που εκτελει ΑΑΤ και χρειαζεται να αντιμετωπισουμε τα σωματα ξεχωριστα θα πρεπει να γνωιζουμε ότι τα σωματα εχουν το ιδιο πλατος ισο με το πλατος του συστηματος,ιδια περιοδο με την περιοδο του συστηματος και διαφορετικη σταθερα επαναφορας

Παραδειγμα 6Σωμα μαζας m=1Kg βρισκετε σε επαφη με δισκο μαζας Μ=4Kg ο οποιος ειαι συνδεδεμενος με το ένα ακρο κατακορυφου ελατηριου σταθερας K=500N/m το άλλο ακρο του οποιου είναι στερεωμενο στο δαπεδο. Αρχικα το συστημα των δυο σωματων ισορροπει ακινητο. Απομακρυνουμε το συστημα των δυο σωματων από τη θεση ισορροπιας τους συσπειρωνοντας το ελατηριο κατά x1=0,2m και τη χρονικη στιγμη t=0 το αφηνουμε ελευθερο να κινηθει από τη θεση που το εκτρεψαμε χωρις αρχικη ταχυτητα .α) Να υπολογισετε τη σταθερα επαναφορας της ταλαντωσης του συστηματος και του κάθε σωματος ξεχωριστα β) Να αποδειξετε ότι το σωμα μαζας m χανει την επαφη του με το δισκο όταν διερχεται από τη θεση φυσικου μηκους του ελατηριουγ) Να βρειτε την δυναμη που δεχεται το σωμα μαζας m από το δισκο σε συναρτηση με το χρονο για το χρονικο διαστημα που το σωμα είναι σε επαφη με το δισκο.

4