9. pregled elementarnih funkcija -...
TRANSCRIPT
![Page 1: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/1.jpg)
9. PREGLED ELEMENTARNIH ELEMENTARNIH
FUNKCIJAFUNKCIJA
![Page 2: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/2.jpg)
Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable
Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste u ekonomiji
Realne funkcije najčešće dijelimo na:algebarske i transcedentne funkcije
![Page 3: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/3.jpg)
1. ALGEBARSKE FUNKCIJE1. ALGEBARSKE FUNKCIJE
Funkcija je algebarska ako se pri računanju zavisne varijable y koriste samo algebarske operacije: zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i potenciranje
Algebarske funkcije dijele se na:cijele racionalne funkcije (polinomi),razlomljene racionalne funkcije,iracionalne funkcije
![Page 4: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/4.jpg)
CIJELE RACIONALNE FUNKCIJE (POLINOMI)CIJELE RACIONALNE FUNKCIJE (POLINOMI)
Funkcija f : R →R definirana formulom
gdje je n ∈ N ∪ {0}, ai ∈ R (i = 0, 1, 2, …, n) i an ≠ 0 zove se polinom n-tog stupnja ili cijela racionalna funkcija.
Realni brojevi an, an-1, ..., a1, a0 nazivaju se koeficijentima polinoma. Koeficijent an ≠ 0 naziva se vodeći koeficijent.
Ako je a0 = 1, za polinom se kaže da je normiran.
011
1)( axaxaxaxP nn
nnn ++++= −
− L
![Page 5: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/5.jpg)
Polinom nultog stupnja P0(x) = a0 je konstantna funkcija, odnosno funkcija oblika
f (x) = a0 = const.
Graf konstantne funkcije je pravac paralelan s osi apscisa koji siječe os ordinata u točki (0, a0)
y = 2
y = –3
![Page 6: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/6.jpg)
Primjer. Funkciju ukupnih trošova T možemo promatrati kaofunkciju vremena t, T = T(t). Promatramo li tu funkciju urazdoblju u kojem se ne odvija proizvodni proces, ukupni sutroškovi upravo jednaki fiksnim troškovima c, tj. tada je
T(t) = c.Dakle, u navedenom slučaju funkcija ukupnih troškova jekonstantna funkcija.
Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne novine d.d., Zagreb, 2005.
![Page 7: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/7.jpg)
Polinom prvog stupnja P1(x) = a1x+ a0 je linearna funkcijačiji je graf pravac, tj. to je funkcija oblika
f (x) = ax + bgdje je a koeficijent smjera (nagib pravca), a b odsječak pravca na osi y.
Pravac je jednoznačno određen s dvije točke koje mu pripadaju
y = –3x + 1
y = 2x + 3
![Page 8: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/8.jpg)
Primjer. Fiksni troškovi pri nekoj proizvodnji iznose 10000 kn, asvaki proizvedeni komad povećava ukupne troškove za 1000 kn.Odredimo analitički oblik funkcije ukupnih troškova T kaofunkcije proizvodnje Q te njenu inverznu funkciju.
Funkcija ukupnih troškova je zbroj fiksnih i varijabilnih troškovaT (Q) = 1000Q + 10000 (*)
Ako želimo znati koliko proizvoda treba proizvesti da bi ukupnitroškovi bili T, onda je potrebno odrediti inverznu funkcijufunkcije (*)
1 1( ) 101000
T Q Q− = −
Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne novine d.d., Zagreb, 2005.
![Page 9: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/9.jpg)
Polinom drugog stupnja P2(x) = a2x2 + a1x+ a0 je kvadratna funkcija, tj. funkcija oblika
f (x) = ax2 + bx + cčiji je graf parabola.
Graf kvadratne funkcije možemo opisati u ovisnosti o vrijednosti koeficijenta a, diskriminante D = b2 – 4ac, nultočaka x1 i x2 i tjemena T(xT , yT) :
1. Za a > 0, graf funkcije je otvorom okrenut prema gore i funkcija ima minimum (najmanju vrijednost) u tjemenu,za a < 0, graf funkcije je otvorom okrenut prema dolje i funkcija ima maksimum (najveću vrijednost) u tjemenu.
![Page 10: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/10.jpg)
2. Tjeme je u točki T(xT , yT) , gdje je
3. Sjecište parabole s y osi dobijemo za x = 0:
⇒ parabola siječe os y u točki (0, c)
4. Sjecište parabole s osi x dobijemo za y = 0: ax2 + bx + c = 0Rješenja ove kvadratne jednadžbe su dana formulom:
abacyT 4
4 2−=,
2Tbxa
= −
ccbaf =+⋅+⋅= 00)0( 2
aacbbx
242
2,1−±−
=
![Page 11: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/11.jpg)
5. Diskriminantom nazivamo izraz D = b2 – 4ac. Diskriminantaje realan izraz, jer u njega ulaze realni brojevi a, b i c. Stoga postoje tri mogućnosti: D > 0, D = 0 ili D < 0.
Ako je D > 0, jednadžba ax2 + bx + c = 0 ima dva realna i različita rješenja, pa graf funkcije siječe os x u dvije točke: (x1, 0) i (x2,0).
Ako je D = 0, jednadžba ax2 + bx + c = 0 ima dvostruko realno rješenje, tj. x1 = x2 . Graf dotiče os x.
Ako je D < 0, jednadžba ax2 + bx + c = 0 nema realnih rješenja, tj. rješenja su kompleksno konjugirani brojevi, pa graf ne siječe os x.
![Page 12: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/12.jpg)
D > 0 D = 0 D < 0
a>0
a<0
![Page 13: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/13.jpg)
Nacrtajte parabole:
2 4 3y x x= + + 2 4 3y x x= + +
2 4y x x= − +
25 4 3y x x= − + −
25 4 3y x x= − + −2 4y x x= − +
![Page 14: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/14.jpg)
Izjednači li se polinom Pn(x) s nulom, dobije se algebarska jednadžba n-tog stupnja. Rješenje algebarske jednadžbe su nultočke ili korijeni pripadnog polinoma.
Za polinome vrijede slijedeće tvrdnje:
Teorem 1. (Osnovni teorem algebre): Svaki polinom stupnja n ∈ N ima barem jednu realnu ili kompleksnu nultočku.
Teorem 2. Ako je kompleksan broj z = a + bi nultočkapolinoma Pn(x), tada je i njemu konjugirano kompleksan broj z = a + bi također nultočka tog polinoma.
![Page 15: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/15.jpg)
Teorem 3. Polinom može imati najviše onoliko različitih nultočki koliko iznosi njegov stupanj. Ako su x1, x2,…, xnnultočke polinoma Pn(x), tada se polinom može na jedinstven način prikazati u faktoriziranom obliku
Pri tome, ako su nultočke višestruke, vrijedi
gdje su k1, k2,…, km prirodni brojevi za koje vrijedi da je k1 + k2 + … + km = n, pri čemu je xi nultočka polinoma Pn(x), kratnosti ki , i = 1,2,…,m
)())(()( 21 nnn xxxxxxaxP −−−= L
mkm
kknn xxxxxxaxP )()()()( 21
21 −−−= L
![Page 16: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/16.jpg)
Teorem o dijeljenju polinoma. Bilo koja dva polinoma )(xf i )(xg određuju
jedinstvene polinome )(xs i )(xr takve da je )()()()( xrxgxsxf +⋅= , odnosno
)()()(
)()(
xgxrxs
xgxf
+= ,
gdje je stupanj )(xr < stupanj )(xg . Polinom )(xs zove se kvocijent, a polinom
)(xr ostatak dijeljenja. Ako je )(xr = 0, kažemo da )(xg dijeli )(xf .
Ovaj teorem koristimo u slučaju kada je st )(xf ≥ st )(xg i u tom slučaju je
st )(xs = st )(xf – st )(xg .
![Page 17: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/17.jpg)
Primjer. Neka je 132)( 234 −+−+= xxxxxf , xxxg 2)( 2 −= , pa nađimo )(xs i )(xr .
( ):132 234 −+−+ xxxx ( ) 7522 22 ++=− xxxx
34 42 xx −
23
23
105135
xxxxx
−
−+−
xx
xx147
172
2
−
−+
115 −x
Dakle, kvocijent je )(xs = 752 2 ++ xx , a ostatak )(xr = 115 −x .
![Page 18: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/18.jpg)
RAZLOMLJENE RACIONALNE FUNKCIJERAZLOMLJENE RACIONALNE FUNKCIJE
Razlomljena racionalna funkcija je kvocijent dvaju polinoma, dakle funkcija oblika
Ako je polinom u brojniku manjeg stupnja nego polinom u nazivniku, odnosno m < n, f(x) se zove prava razlomljena racionalna funkcija. U protivnom, ona se zove neprava razlomljena racionalna funkcija.
01
01
)()(
)(bxbxbaxaxa
xPxP
xf nn
mm
n
m
++++++
==L
L
![Page 19: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/19.jpg)
Neprava razlomljena racionalna funkcija može se dijeljenjem brojnika sa nazivnikom prikazati u obliku zbroja polinoma i prave razlomljene racionalne funkcije.
Domena razlomljene racionalne funkcije je čitav skup R osim nultočaka polinoma u nazivniku.
Prava razlomljena racionalna funkcija može se prikazati u obliku zbroja parcijalnih razlomaka, odnosno u obliku zbroja razlomaka čiji su nazivnici faktori polinoma Pn(x) . Taj rastavovisi o tome da li su nultočke nazivnika realni ili nisu realni brojevi.
![Page 20: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/20.jpg)
Teorem. Neka je )()(
)(xPxP
xfn
m= prava racionalna funkcija gdje su
polinomi )(xPm i )(xPn relativno prosti, tj. bez zajedničkih nultočki.
1. Ako su nultočke nazivnika jednostruke i realne, tj.
)())(()( 21 nn xxxxxxxP −−−= K , funkcija )(xf se može napisati u obliku:
n
n
n
m
n
m
xxA
xxA
xxA
xxxxxxxP
xPxP
xf−
++−
+−
=−−−
== LK 2
2
1
1
21 )())(()(
)()(
)(
gdje su Ai , i = 1,2,...,n realne konstante.
![Page 21: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/21.jpg)
2. Ako su nultočke nazivnika višestruke i realne, tj. mk
mkk
n xxxxxxxP )()()()( 2121 −−−= K , gdje je nkkk m =++ L21 , funkcija
)(xf se može rastaviti na slijedeći način:
1 2
1
1
2
2
1 2
1 2 12
1 1 1 2
1
2
( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
m
m
m
mkk k
m
kk
kkkk
m m
P xf xx x x x x x
AA A Bx x x x x x x x
MB Mx x x x x x
= =− − −
= + + + + +− − − −
+ + + + +− − −
K
L L
L L L
![Page 22: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/22.jpg)
3. Ako su nultočke nazivnika par kompleksno konjugiranih brojeva
višestrukosti k , tada funkciju )(xf možemo rastaviti na slijedeći način:
kkk
km
cbxaxBxA
cbxaxBxA
cbxaxBxA
cbxaxxP
xf)()()(
)()( 222
222
112 ++
+++
+++
+++
+=
++= L .
Koeficijente možemo određivati na dva načina:
a) uvrštavanjem nultočaka polinoma )(xPn ,
b) korištenjem teorema o jednakosti polinoma (koeficijenti uz
odgovarajuće potencije moraju biti jednaki).
![Page 23: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/23.jpg)
Primjer. Graf funkcije 2
3 2
2( )2
x xf xx x x
+ −=
− −
![Page 24: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/24.jpg)
IRACIONALNE FUNKCIJEIRACIONALNE FUNKCIJE
Kada se uz operacije koje vode do racionalne funkcije
dopusti još i korjenovanje, dobivamo iracionalne funkcije.
Npr. xxxf −= 3)( , 11)( 2 +
−=
xxxf , 1
2)(3
−+
=xxxf ,…
Problem određivanja domene iracionalnih funkcija
svodi se uglavnom na rješavanje algebarskih jednadžbi
i nejednadžbi.
![Page 25: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/25.jpg)
Ako je korijen iz neke funkcije f parni broj tada treba
voditi računa da veličina ispod korijena ne bude negativna,
jer paran korijen iz negativnog broja je kompleksan broj.
n xgxf 2 )()( = ⇒ ∈= xfD {)( R 0)(: ≥xg } )(gD∩
![Page 26: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/26.jpg)
2. TRANSCEDENTNE FUNKCIJE2. TRANSCEDENTNE FUNKCIJE
Sve funkcije koje nisu algebarske zovemo transcedentnima. Najvažnije transcedentne funkcije su:
eksponencijalna funkcija,
logaritamska funkcija,
trigonometrijske funkcije,
ciklometrijske funkcije.
![Page 27: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/27.jpg)
EKSPONENCIJALNA FUNKCIJAEKSPONENCIJALNA FUNKCIJA
Neka je 1,0 ≠> aa zadani realni broj. Funkciju :f R→R+
definiranu sa: xaxf =)( , ∈∀x R
nazivamo eksponencijalnom funkcijom baze a.
Područje definicije te funkcije su svi realni brojevi.
![Page 28: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/28.jpg)
Za eksponencijalnu funkciju vrijedi:
1. xaxf =)( >0, ∈∀x R
2. Ako je a > 1, onda je f strogo rastuća,
a ako je 0 < a < 1, onda je f strogo padajuća.
a > 1 0 < a < 1
![Page 29: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/29.jpg)
LOGARITAMSKA FUNKCIJALOGARITAMSKA FUNKCIJA
Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije f : R → R+ zove se
logaritamska funkcija baze a koju označavamo:
xxf alog)( = .
Logaritamska funkcija je definirana samo za x > 0 jer je kodomena
eksponencijalne funkcije R+.
Graf logaritamske funkcije dobije se iz grafa eksponencijalne
funkcije simetrijom s obzirom na pravac y = x.
![Page 30: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/30.jpg)
Posebno su važne sljedeće dvije logaritamske funkcije. Ako je baza
a = 10, funkciju bilježimo sa xy log= i zovemo dekadski logaritam,
ako je baza a = e = 2.7182..., funkciju bilježimo sa xy ln= i zovemo
prirodni logaritam. Dakle, xx loglog10 = , xxe lnlog = . Funkcija
xy log= inverzna je funkciji xy 10= , a funkcija xy ln= inverzna je
funkciji xey = .
![Page 31: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/31.jpg)
Svojstva logaritamske funkcije:
1. domena: R+
2. kodomena: R
3. graf siječe x os u točki (1,0)
4. graf funkcije je rastući za a > 1, te padajući za 0 < a < 1
5. graf funkcije se asimptotski približava negativnom dijelu
osi y za a > 1,
6. graf funkcije se asimptotski približava pozitivnom dijelu
osi y za 0 < a < 1.
![Page 32: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/32.jpg)
y = 10x y = ex
y = x
y = ln x
y = log x
![Page 33: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/33.jpg)
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJETRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
sin : R → R (sinus funkcija)
cos : R → R (kosinus funkcija)
![Page 34: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/34.jpg)
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∈⋅+=
=
Z,2
)12(\R
cossin
kkD
tttgt
π { }Z,\R
sincos
∈=
=
kkD
ttctgt
π
![Page 35: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/35.jpg)
ARCUS FUNKCIJEARCUS FUNKCIJE
Inverzne funkcije trigonometrijskih funkcija zovu se arcusfunkcije ili ciklometrijske funkcije.
Područje definicije funkcija arcsinx i arccosx zatvoreni je interval [−1,1]
![Page 36: 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA - MENSO88.COMmenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/9.predavanje-pregled... · Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041209/5d67350888c99389108b6c3c/html5/thumbnails/36.jpg)
Područje definicije funkcija arctgx i arcctgx cijeli je skup realnih brojeva.