9 786025 680137 - bpm.umg.ac.idbpm.umg.ac.id/aset/images/download/buku teori ring oke.pdf · dalam...
TRANSCRIPT
9 7 8 6 0 2 5 6 8 0 1 3 7
TEORI RING
Oleh:
Sri Suryanti
Universitas Muhammadiyah Gresik
Page | ii
Perpustakaan Nasional: katalog dalam terbitan (KDT)
Judul:
TEORI RING
Penulis :
Sri Suryanti, M.Si.
Editor :
Dr. Irwani Zawawi, M.Kes.
Penyunting:
Sri Suryanti, M.Si.
Desain sampul dan Tata letak :
Wahyu Retno Kurnia Maulida
Penerbit:
UMG Press
Redaksi:
Jln. Sumatera 101 GKB
Gresik 61121
Telp +6231 3951414
Fax +6231 3952585
Email: [email protected]
ISBN :978-602-5680-13-7
Anggota IKAPI No. 189 dan APPTI No. 002.021
Cetakan pertama, April 2018
Hak cipta dilindungi undang-undang
Dilarang memperbanyak karya tulis ini dalam bentuk dan
dengan cara apapun tanpa ijin tertulis dari penerbit.
iii
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum. Wr. Wb.
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas limpahan nikmatdan karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikanpenulisan buku ajar “Teori Ring” ini sesuai dengan waktuyang telah direncanakan. Shalawat serta salam semoga tetaptercurahkan kepada teladan mulia sepanjang zaman, bagindanabi Muhammad SAW beserta keluarga dan kerabatnya.
Buku ajar ini disusun berdasarkan pada Rumusancapaian pembelajaran lulusan (CPL) program StudiPendidikan Matematika serta Rumusan Capaian PembelajaranMata Kuliah yang telah tertuang dalam Rencana PembelajaranSemester (RPS). Buku Ajar ini terdiri dari 5 (lima) bab yangsesuai dengan banyaknya rumusan sub Capaian PembelajaranMata Kuliah yang terdiri dari lima sub CPMK, yaitu Ring &karakteristik Ring, Subring, ideal & Ring Faktor, DaerahIntegral & Field, Homomorfisme Ring dan diakhiri denganBab Polynomial Ring.
Buku ajar ini ditulis dalam rangka melengkapiperangkat pembelajaran mata Kuliah Teori Ring, yangmerupakan mata kuliah wajib sekaligus mata kuliah intikeilmuan di Prodi Pendidikan Matematika UniversitasMuhammadiyah Gresik. Buku ajar ini dilengkapi dengan soal-soal latihan serta tes formatif disetiap akhir bab yang berfungsiuntuk mengukur tingkat penguasaan mahasiswa pada topikyang telah dipelajari.
iv
Harapan penulis, adanya buku ajar ini dapat membantumahasiswa dalam proses menguasai Mata Kuliah Teori Ring.Sehingga nantinya mahasiswa semakin matang serta terbentukkarakter teliti, runtut dan pantang menyerah serta memilikikemampuan berfikir kritis dan analisis yang tinggi dalammenyelesaikan masalah.
Penulis mengucapkan terimakasih yang mendalamkepada pihak-pihak yang telah mendukung tersusunnya bukuajar ini khususnya kepada DRPM Kemenristekdikti yangsecara penuh memberikan dana penelitian hingga terbitnyabuku ini. Selanjutnya penulis ucapkan terimakasih kepadapimpinan UMG yang selalu memberikan motivasi dalampenulisan buku Ajar. Penulis juga ucapkan terimakasih kepadaUMG Press melalui Biro PHPI yang telah membantupenerbitan buku ajar ini.
Akhir kata, semoga buku ajar ini bermanfaat, sertatentunya masih terdapat kekurangan-kekurangan dalampenulisan buku ajar ini, oleh karena itu besar harapan kamiuntuk diberikan kritik dan saran demi perbaikan buku inidimasa mendatang.
Wassalamu’alaikum. Wr. Wb.
Gresik, 27 April 2018
Penulis
v
DAFTAR ISIHALAMAN JUDUL ............................................................... iKATA PENGANTAR ...........................................................iiiDAFTAR ISI...........................................................................vPENDAHULUAN...................................................................1
A. DESKRIPSI MATA KULIAH..................................... 1B. PRASYARAT MATA KULIAH ................................. 1C. RENCANA PEMBELAJARAN .................................. 1D. PETUNJUK PENGGUNAAN BUKU AJAR.............. 4E. CP LULUSAN.............................................................. 4F. BENTUK EVALUASI/UMPAN BALIK .................... 5
BAB 1 RING DAN KARAKTERISTIK RING ...................71.1. PENDAHULUAN........................................................ 71.2. PENYAJIAN ................................................................ 9
1.2.1. Mengingat kembali konsep grup.......................... 91.2.2. Ring.................................................................... 131.2.3. Ring Satuan........................................................ 261.2.4. Ring Komutatif .................................................. 281.2.5. Karakteristik Ring.............................................. 321.2.6. Latihan ............................................................... 33
1.3. PENUTUP .................................................................. 371.3.1. Tes Formatif .................................................. 371.3.2. Kunci Jawab Soal Latihan .............................. 381.3.3. Umpan Balik ................................................... 51
BAB 2 SUBRING, IDEAL DAN RING FAKTOR............522.1. PENDAHULUAN ..................................................... 522.2. PENYAJIAN.............................................................. 53
2.2.1. Mengingat kembali subgrup, koset dan grupfaktor............................................................................ 532.2.2. Sub Ring............................................................. 54
vi
2.2.2. Ideal....................................................................572.2.3. Ring Faktor.........................................................662.2.3. Latihan................................................................72
2.3. PENUTUP..................................................................742.3.1. Tes Formatif .......................................................742.3.2. Kunci Jawab Soal Latihan .................................762.3.3. Umpan Balik ......................................................81
BAB 3 DAERAH INTEGRAL DAN FIELD .....................823.1. PENDAHULUAN......................................................823.1. PENYAJIAN..............................................................83
3.2.1. Daerah Integral .....................................................833.2.2. Field ......................................................................933.2.3. Latihan ................................................................98
3.3. PENUTUP..................................................................993.3.1. Tes Formatif .........................................................993.3.2 Kunci Jawab Soal Latihan .................................1003.3.3. Umpan Balik.......................................................105
BAB 4 HOMOMORFISME RING ...................................1074.1. PENDAHULUAN....................................................1074.2. PENYAJIAN............................................................108
4.2.1. Mengingat kembali konsep homomorfisme grup......................................................................................1084.2.2. Homomorfisme Ring ..........................................1084.2.3. Kernel dan image dari homomorfisme ...............1154.2.4. Monomorfisme Ring...........................................1164.2.5. Epimorfisme Ring...............................................1184.2.6. Isomorfisme Ring ...............................................1204.2.7. Latihan ................................................................121
4.3. PENUTUP................................................................1204.3.1. Tes Formatif........................................................1224.3.2. Kunci Jawaban Soal latihan................................123
vii
4.3.3. Umpan Balik....................................................... 128BAB 5 POLYNOMIAL RING ..........................................129
5.1. PENDAHULUAN ................................................... 1295.2. PENYAJIAN............................................................ 130
5.2.1. Konsep dasar polynomial ring............................ 1305.2.2 .Ring Euclide ....................................................... 1365.2.3 .Teorema sisa dan teorema faktor........................ 1375.2.4. Latihan................................................................ 138
5.3. PENUTUP................................................................ 1395.3.1. Tes Formatif ....................................................... 1395.3.2. Kunci Jawaban Soal latihan................................ 1415.3.3. Umpan Balik....................................................... 144
BIBLIOGRAPHY ..............................................................143INDEX .................................................................................145
1
PENDAHULUANPENDAHULUANPENDAHULUANPENDAHULUAN
A. Deskripsi Mata Kuliah
Mata kuliah ini berisi materi aljabar abstrak yang
membutuhkan pemikiran tingkat tinggi. Setelah
mempelajarai mata kuliah ini diharapkan mahasiswa
dapat menguasai semua topik dalam Mata Kuliah ini
sebagai bekal untuk mengambil studi lanjut, baik
dalam disiplin ilmu matematika maupun ilmu
terapan yang lain.
B. Prasyarat Mata Kuliah
Untuk menempuh Mata Kuliah Teori Ring ini,
mahasiswa harus lulus Mata Kuliah Teori Grup
dengan nilai minimal C.
C. Rencana pembelajaran
Minggu ke
1-3
Kemampuan akhir yang direncanakan
pada minggu pertama sampai dengan
ketiga ini adalah mahasiswa mampu
Menganalisis struktur ring dan
karakteristik Ring secara tepat.
Bentuk pembelajaran yang dilakukan
adalah Kuliah dan Diskusi dengan
model pembelajaran PjBL;
Tugas -1: diskusi dengan tim
kelompok mengerjakan LKM Ring
dan contoh-contohnya sebelum
perkuliahan, hasil diskusi disajikan
dalam bentuk word dan ppt untuk
2
dipresentasikan pada saat TM; Tugas
-2: presentasi hasil diskusi di kelas
Minggu ke
4-5
Kemampuan akhir yang direncanakan
pada minggu keempat dan kelima
adalah Mahasiswa mampu
menganalisis subring, ideal dan ring
faktor (quotient ring) serta dapat
menerapkan dalam pemecahan
masalah secara tepat dan konsisten.
(C4, A5, P3).
Bentuk pembelajaran yang dilakukan
adalah Kuliah dan Diskusi dengan
model pembelajaran PjBL
Tugas-1: diskusi dengan tim
kelompok mengerjakan LKM tentang
sub ring, hasil diskusi disajikan
dalam bentuk word dan ppt untuk
dipresentasikan pada saat TM
Tugas-2: diskusi dengan tim
kelompok mengerjakan LKM tentang
ideal dan ring faktor dan
mempresentasikan pada saat TM
Minggu ke
6-7
Kemampuan akhir yang direncanakan
pada minggu keenam dan ketujuh ini
adalah Mahasiswa mampu
Menganalisis daerah integral dan
Field. (C4, A5, P3).
Bentuk pembelajaran yang dilakukan
adalah Diskusi dan tanya jawab
Tugas -1: secara individu mahasiswa
3
mengerjakan LKM Daerah Integral
Tugas -2: secara individu mahasiswa
mengerjakan LKM tentang Field
Minggu ke-8 Evaluasi Tengah Semester
Minggu ke
9-10
Kemampuan akhir yang direncanakan
pada minggu kesembilan dan
kesepuluh ini adalah Mahasiswa
mampu Menganalisis homomorfisme
pada ring. (C4, A5, P3).
Bentuk Pembelajaran yang dilakukan
adalah Kuliah dan Diskusi dengan
model pembelajaran PjBL
Tugas-1: diskusi dengan tim
kelompok mengerjakan LKM tentang
Homomorfisme Ring, hasil diskusi
disajikan dalam bentuk word dan ppt
untuk dipresentasikan pada saat TM
Tugas-2: Secara individu
mengerjakan Latihan pada Buku Ajar
Minggu ke
11-15
Kemampuan akhir yang direncanakan
pada minggu ke 11 sampai minggu
kelima belas ini adalah Mahasiswa
mampu Menganalisis ring
polynomial.
Bentuk pembelajaran yang dilakukan
adalah Diskusi dan tanya jawab
Tugas-1: secara individu mahasiswa
mengerjakan LKM Ring Polynomial,
menganalisis unit dari sebuah fungsi
polinom
Tugas-2: secara individu mahasiswa
4
mengerjakan latihan pada buku ajar
Minggu ke-
16
Evaluasi Akhir Semester
D. Petunjuk Penggunaan Buku Ajar
� Penjelasan Bagi Mahasiswa
Buku ajar ini diawali dengan penyajian materi,
definisi, theorema kemudian contoh-contoh dan
soal latihan disetiap akhir penyajian.
Setelah mempelajari setiap paparan materi yang
disajikan, perdalamlah pemahaman anda dengan
mengerjakan latihan yang diberikan pada setiap
akhir paparan materi, kemudian cocokkkan
jawaban anda dengan kunci jawaban yang telah
tersedia dibagian akhir bab. Untuk lebih
memantabkan lagi, kerjakan tes formatif untuk
dievaluasi oleh dosen pengampu.
� Peran Dosen dalam pembelajaran
Peran dosen dalam pembelajaran adalah sebagai
motivator dan fasilitator
E. Capaian Pembelajaran Lulusan
CPL-PRODI
S11 Berperilaku jujur, tegas, dan manusiawi
S14 Bangga dan percaya diri menjadi guru
KU1 Mampu menerapkan pemikiran logis,
kritis, sistematis, dan inovatif dalam
konteks pengembangan atau implementasi
ilmu pengetahuan dan teknologi yang
memperhatikan dan menerapkan nilai
5
humanilora yang sesuai dengan bidang
keahliannya
KU2 Mampu menunjukkan kinerja
mandiri, bermutu, dan terukur
KU5 Mampu mengambil keputusan secara
tepat dalam konteks penyelesaian masalah
di bidang keahliannya, berdasarkan
hasil analisis informasi dan data
PP8 Menguasai konsep teoretis matematika
yang mendukung pembelajaran
matematika di pendidikan dasar dan
menengah serta untuk studi lanjut
CP-MK
M1 Mampu menganalisis struktur sebuah
Ring serta mengaplikasikan dalam
pemecahan masalah secara tepat dan
konsisten (C3, P4, A3).
F. Bentuk Evaluasi/Umpan Balik Aktivitas Belajar
� Bentuk evaluasi dari aktivitas belajar mahasiswa
adalah berupa tes tulis
� Setelah Mahasiswa selesai mempelajari materi,
diarahkan untuk mengerjakan soal latihan
kemudian mencocokkan jawabannya dengan
kunci jawaban yang tersedia, untuk mengetahui
tingkat penguasaan mahasiswa terhadap materi.
� Pengukuran tingkat penguasaan menggunakan
rumus sebagai berikut:
������� �������� = ��������� ������� ������������� ���� × 100%
6
� Jika tingkat penguasaan kurang dari 80% maka
mahasiswa yang bersangkutan diarahkan untuk
mengulang kembali terutama pada topik yang
belum dia kuasai
� Jika tingkat penguasaan mahasiswa lebih dari
80% maka mahasiswa yang bersangkutan akan
diberikan soal pengayaan serta dapat
melanjutkan pada bab berikutnya
� Selain mahasiswa mengerjakan soal latihan,
mahasiswa juga mengerjakan soal tes Formatif
yang akan dievaluasi oleh dosen
7
BAB 1 BAB 1 BAB 1 BAB 1 RING DAN KARAKTERISTIK RING DAN KARAKTERISTIK RING DAN KARAKTERISTIK RING DAN KARAKTERISTIK
RINGRINGRINGRING
1.1. PENDAHULUAN
A. Deskripsi singkat isi BAB 1
Pada bab 1 ini, mahasiswa diajak untuk
mengingat kembali terlebih dahulu konsep-
konsep dalam Teori Grup. Mahasiswa diberikan
project untuk didiskusikan secara berkelompok.
Setelah tahap diskusi kelompok maka tahap
berikutnya mahasiswa diajak untuk menemukan
konsep Ring dan karakteristik Ring. Pada akhir
pembahasan bab 1 ini mahasiswa diberikan soal
latihan untuk mengukur tingkat penguasaan
mahasiswa. Setelah mengerjakan soal latihan,
mahasiswa diberikan tes formatif.
B. Relevansi terhadap pengetahuan mahasiswa dan
bidang kerja
Mahasiswa telah menempuh mata kuliah Teori
Grup yang merupakan prasyarat mata kuliah
Teori Ring, sehingga relevansi bab 1 ini sangat
tinggi terhadap pengetahuan mahasiswa.
Konsep-konsep yang dipelajari pada bab 1 ini
sangat membutuhkan penguasaan terhadap
konsep teori grup yang telah dipelajari pada
semester sebelumnya.
8
Sedangkan relevansi terhadap bidang kerja,
lulusan Prodi pendidikan matematika adalah
menjadi guru pada jenjang sekolah menengah
yang tentunya sangat dibutuhkan penguasaan
terhadap aljabar abstrak yang membutuhkan
pemikiran tingkat tinggi. Selain itu keberhasilan
mahasiswa dalam menguasai konsep Teori
Ring akan sangat dibutuhkan apabila mereka
menempuh studi lanjut jenjang S-2.
C. Capaian Pembelajaran Mata Kuliah
Capaian Pembelajaran mata kuliah ini adalah
Mampu menganalisis struktur sebuah Ring
serta mengaplikasikan dalam pemecahan
masalah secara tepat dan konsisten. Sedangkan
secara spesifik capaian pembelajaran yang
diharapkan pada Bab 1 ini adalah mahasiswa
mampu Menganalisis struktur ring dan
karakteristik Ring secara tepat.
9
1.2. PENYAJIAN
1.2.1. Mengingat kembali konsep Grup
Mari mengingat kembali.....
� Misalkan � ≠ ∅, ��� ∘ adalah operasi biner pada G, maka himpunan G bersama-sama dengan
operasi ∘ ditulis (�,∘) adalah grupoid. Operasi Biner yaitu ∀�, � ∈ �, � ∘ � ∈ �
� Jika (�,∘) suatu grupoid, dan ∀ �, �, # ∈ � berlaku sifat asosiatif, maka (�,∘) disebut
semigrup.
Assosiatif yaitu ∀�, �, # ∈ �, (� ∘ �) ∘ # = � ∘(� ∘ #)
� Suatu semigrup yang mempunyai elemen
identitas, yaitu ∃ ∈ �, ∀ � ∈ � berlaku � ∘ = ∘ � = �, maka (�,∘) disebut monoid. Suatu monoid yang bersifat komutatif disebut monoid
komutatif atau monoid abelian
� Misalkan G suatu himpunan tak kosong, maka G
bersama-sama operasi ∘ adalah Grup, ditulis (�,∘) jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:
i. Bersifat tertutup ∀�, � ∈ �, � ∘ � ∈ �
10
ii. Bersifat asosiatif ∀�, � ∈ �, ������ (� ∘ �) ∘ # = � ∘ (� ∘ #) iii. Mempunyai elemen identitas ∃ ∈ �, sedemikian hingga ∀ � ∈ �, berlaku � ∘ = ∘ � = � iv. Setiap elemen G mempunyai invers ∀ � ∈ �, ∃�%& ∈ �, sedemikian hingga � ∘ �%& = �%& ∘ � = , �%& adalah invers
dari elemen a.
v. Tambahan sifat : jika (�,∘) suatu grup yang memenuhi sifat komutatif, maka (�,∘) disebut grup komutatif atau grup abelian.
Untuk lebih meningkatkan ingatan anda, lakukanlah
aktivitas berikut ini:
Petunjuk: bentuklah kelompok yang beranggotakan 3
orang, kemudian diskusikan dalam kelompok anda
penyelesaian dari soal berikut.
Tulis hasil diskusi anda pada lembar yang telah
disediakan.
1. Himpunan matriks � × � dengan determinan sama dengan 1 ('((�, ℛ)) bersama-sama dengan operasi biner perkalian matriks merupakan grup. Buktikan!
2. Selidikilah apakah Himpunan �((�, ℛ) matriks non-singular � × � dengan operasi perkalian matriks merupakan grup tak komutatif!
11
3. � = *+� + ��|�, � ∈ ., � = √−1 ��� √�1 + �1 =12, 3��� (�,×) adalah suatu grup abelian.
Tunjukkan!
4. � = 41, −15, 6 =4−1,1, −�, �5, 3��� (�,×)��� (6,×) masing-
masing adalah grup abelian. Tunjukkan masing-
masing dengan membuat tabel Cayleynya.
5. Selidikilah, apakah struktur aljabar berikut
merupakan grupoid, semigrup, monoid atau bahkan
merupakan Grup?
a. Himpunan bilangan bulat bersama dengan
operasi perkalian
b. Himpunan bilangan asli bersama dengan operasi
penjumlahan
c. � = 437|�, 3 ∈ 85 dengan operasi perkalian d. Himpunan bilangan Rasional bersama dengan
operasi perkalian
e. � = 49&, 91, 9:, 9;5 dengan operasi komposisi transformasi, dengan 9&(<) = <, 91(<) =−<, 9:(<) = &= , 9;(<) = − &= , ∀ < ∈ ℂ
6. Selidikilah apakah pernyataan berikut bernilai
benar atau salah
a. Sebuah grup grup dapat memiliki elemen
identitas lebih dari satu
b. Himpunan kosong dapat dipandang sebagai
sebuah grup
12
c. Hukum komutatif selalu berlaku pada sebuah
grup
d. Setiap grup merupakan subgrup pada dirinya
sendiri
e. Setiap subgrup memiliki tepat 2 subgrup tak
sejati
f. Jika �1 = �, 3��� � = g. Dalam setiap grup ? ∗ A? = ( ∗ A)?
13
1.2.2. Ring
Definisi 1.1. Misalkan . ≠ ∅ yang dilengkapi dengan dua buah operasi yaitu operasi ∘ dan operasi ∗, selanjutnya ditulis dengan (.,∘,∗), maka struktur aljabar (.,∘,∗) dinamakan Ring apabila: ℜ& . (.,∘) membentuk struktur Grup abelian ℜ1 . (.,∗) membentuk struktur Semigrup ℜ: . Memenuhi sifat distributif kiri dan distributif kanan,
yaitu ∀�, �, # ∈ ., � ∗ (� ∘ #) = (� ∗ �) ∘ (� ∗ #) dan � ∘ (� ∗ #) = (� ∘ �) ∗ (� ∘ #) Selanjutnya, diskusikan dengan teman anda:
a. Apa sajakah syarat-syarat sebuah Ring?
b. Ada berapa syarat yang harus dipenuhi agar
sebuah sistem aljabar merupakan struktur
Ring?
Contoh 1.1
Z adalah himpunan semua bilangan bulat.
Didefinisikan operasi pada Z seperti berikut
operasi + adalah operasi penjumlahan biasa, dan × adalah operasi perkalian biasa. (8, +,×) merupakan Ring.
Bukti:
� (8, +) membentuk struktur Grup Abelian • Bersifat tertutup terhadap operasi
penjumlahan
14
∀�, � ∈ 8, � + � ∈ 8 .... (sifat
ketertutupan penjumlahan bilangan bulat)
• Bersifat assosiatif ∀�, �, # ∈ 8, (� + �) + # = � + (� +#)....… (sifat assosiatif penjumlahan
bilangan bulat)
• Mempunyai elemen identitas ∃ ∈ 8, sedemikian hingga ∀ � ∈ 8, berlaku � ∘ = ∘ � = �, yaitu nol, Jadi nol adalah elemen identitas pada bilangan
bulat
• Setiap elemen mempunyai invers ∀ � ∈ 8, ∃�%& ∈ 8, sedemikian hingga � ∘ �%& = �%& ∘ � = , �%& adalah invers dari elemen a. Dalam hal ini �%& = −�
• Bersifat komutatif ∀�, � ∈ 8, � + � = � + �.... (sifat
komutatif penjumlahan bilangan bulat)
� (8,×) membentuk struktur Semigrup • Bersifat tertutup terhadap operasi
perkalian ∀�, � ∈ 8, � × � ∈ 8 .... (sifat
ketertutupan perkalian bilangan bulat)
• Bersifat assosiatif ∀�, �, # ∈ 8, (� × �) × # = � × (� ×#)....… (sifat assosiatif perkalian bilangan
bulat)
15
• Bersifat distributif kiri dan distributif
kanan ∀�, �, # ∈ 8, � × (� + #) = (� × �) +(� × #) Dan (� + �) × # = (� × #) + (� × #)
Contoh 1.2.
Diketahui 8D adalah himpunan bilangan bulat modulo 5. Didefinisikan operasi + adalah operasi penjumlahan pada bilangan bulat modulo 5, dan
operasi × adalah operasi perkalian pada bilangan bulat modulo 5. (8D, +,×) merupakan Ring. Bukti:
� (8D, +) membentuk struktur Grup Abelian • Bersifat tertutup terhadap operasi
penjumlahan ∀�, � ∈ 8, � + � ∈ 8D Akan ditunjukkan dengan menggunakan tabel
Cayley + 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
• Bersifat assosiatif
16
∀�, �, # ∈ 8D, (� + �) + # = � + (� +#)....… (sifat assosiatif penjumlahan bilangan
bulat)
• Mempunyai elemen identitas ∃ ∈ 8D, sedemikian hingga ∀ � ∈ 8, berlaku � ∘ = ∘ � = �, yaitu nol, Jadi nol adalah elemen identitas pada bilangan bulat
modulo 5.
• Setiap elemen mempunyai invers ∀ � ∈ 8D, ∃�%& ∈ 8D, sedemikian hingga � ∘ �%& = �%& ∘ � = , �%& Dalam hal ini 0%& = 0, 1%& = 4, 2%& = 3, 3%& = 2, 4%& = 1 • Bersifat komutatif ∀�, � ∈ 8D, � + � = � + �.... (sifat
komutatif penjumlahan bilangan bulat)
Pada tabel Cayley diatas, setiap baris dan
kolom simetri terhadap diagonal utama.
� (8D,×) membentuk struktur Semigrup • Bersifat tertutup terhadap operasi
perkalian ∀�, � ∈ 8D, � × � ∈ 8D Akan ditunjukkan dengan menggunakan tabel
Cayley × 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
17
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
• Bersifat assosiatif ∀�, �, # ∈ 8D, (� × �) × # = � × (� ×#)....… (sifat assosiatif perkalian bilangan
bulat)
• Bersifat distributif kiri dan distributif
kanan ∀�, �, # ∈ 8D, � × (� + #) = (� × �) +(� × #) Dan (� + �) × # = (� × #) + (� × #)
Contoh 1.3.
Diketahui H = IJ� 00 �K , �, � ∈ 8L , didefinisikan
operasi + adalah operasi penjumlahan pada matriks, dan operasi × adalah operasi perkalian pada matriks. (H, +,×) merupakan Ring. Bukti:
� (H, +) membentuk struktur Grup Abelian • Bersifat tertutup terhadap operasi
penjumlahan ∀M, N ∈ H, M + N ∈ H
Ambil sembarang M, N ∈ H
Misal : M = J� 00 �K , ��� N = J# 00 �K
18
M + N = J� 00 �K + J# 00 �K =J� + # 00 � + �K , � + # ��� � + � ∈ 8 Terbukti M + N ∈ H
• Bersifat assosiatif ∀M, N, O ∈ H, (M + N) + O = M + (N + O) Misal :
M = J� 00 �K , N = J# 00 �K , ��� O = P 00 9Q (M + N) + O = RJ� 00 �K + J# 00 �KS + P 00 9Q = P� + # + 00 � + � + 9Q M + (N + O) = J� 00 �K + TJ# 00 �K +P 00 9QU = P� + # + 00 � + � + 9Q Terbukti (M + N) + O = M + (N + O)
• Mempunyai elemen identitas ∃ V ∈ H, sedemikian hingga ∀ M ∈ H,
berlaku M + V = V + M = M, yaitu V = J0 00 0K
• Setiap elemen mempunyai invers ∀ M ∈ H, ∃M%& ∈ H, sedemikian hingga M + M%& = M%& + M = V, M%& adalah invers dari elemen A.
19
Dalam hal ini M%& = −M = J−� 00 −�K • Bersifat komutatif ∀M, N ∈ H, M + N = N + M M + N = J� 00 �K + J# 00 �K =
J� + # 00 � + �K = J# + � 00 � + �K = N + M
� (8,×) membentuk struktur Semigrup • Bersifat tertutup terhadap operasi
perkalian ∀�, � ∈ 8, � × � ∈ 8 .... (sifat ketertutupan perkalian bilangan bulat)
• Bersifat assosiatif ∀�, �, # ∈ 8, (� × �) × # = � × (� ×#)....… (sifat assosiatif perkalian bilangan
bulat)
• Bersifat distributif kiri dan distributif
kanan ∀�, �, # ∈ 8, � × (� + #) = (� × �) + (� ×#) Dan (� + �) × # = (� × #) + (� × #)
20
Contoh 1.4.
HW×? = X+Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]^ �&&, … , �W? ∈ .` terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks adalah bukan
suatu Ring.
Bukti:
� (HW×?, +) membentuk struktur Grup abelian • Bersifat tertutup terhadap operasi
penjumlahan ∀M, N ∈ HW×? , M + N ∈ HW×? Ambil sembarang M, N ∈ HW×? M = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]
N = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]
M × N = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?] + Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]
= Y �&&+�&& ⋯ �&? + �W?⋮ ⋱ ⋮�W&+�W& ⋯ �W? + �W?] ∴ M + N ∈ HW×?
• Bersifat asosiatif terhadap operasi penjumlahan ∀M, N, O ∈ HW×? ������ (M + N) + O= M + (N + O)
21
Ambil sembarang M, N, O ∈ HW×? M = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]
N = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]
O = Y #&& ⋯ #&?⋮ ⋱ ⋮#W& ⋯ #W?] (M + N) + O = bY�11 ⋯ �1�⋮ ⋱ ⋮�31 ⋯ �3�] + Y�11 ⋯ �1�⋮ ⋱ ⋮�31 ⋯ �3�
]c+ Y#11 ⋯ #1�⋮ ⋱ ⋮#31 ⋯ #3�]
= Y �&& + �&& + #&& ⋯ �&? + �&? + #&?⋮ ⋱ ⋮�W& + �W& + #W& ⋯ �W? + �W? + #W?] M + (N + O) = Y�11 ⋯ �1�⋮ ⋱ ⋮�31 ⋯ �3�]
+ bY�11 ⋯ �1�⋮ ⋱ ⋮�31 ⋯ �3�] + Y#11 ⋯ #1�⋮ ⋱ ⋮#31 ⋯ #3�]c
= Y �&& + �&& + #&& ⋯ �&? + �&? + #&?⋮ ⋱ ⋮�W& + �W& + #W& ⋯ �W? + �W? + #W?] ∴ (M + N) + O = M + (N + O)
22
• Memiliki elemen identitas ∀M ∈ HW×?, ∃ d ∈ H �ℎ����� M + d= d + M = M Yaitu d = Y0 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 0]
• Setiap elemen HW×? mempunyai invers
terhadap operasi penjumlahan ∀M ∈ HW×?, ∃ M%& ∈ H �ℎ����� M + M%&= M%& + M = d Untuk sembarang M = Y�11 ⋯ �1�⋮ ⋱ ⋮�31 ⋯ �3�], maka inversnya adalah – M, yaitu – M =Y−�11 ⋯ −�1�⋮ ⋱ ⋮−�31 ⋯ −�3�]
• Bersifat komutatif ∀M, N ∈ HW×? ������ M + N = N + M M + N = Y�11 ⋯ �1�⋮ ⋱ ⋮�31 ⋯ �3�] + Y�11 ⋯ �1�⋮ ⋱ ⋮�31 ⋯ �3�
] = Y �&& + �&& ⋯ �&? + �&?⋮ ⋱ ⋮�W& + �W& ⋯ �W? + �W?] = Y �&& + �&& ⋯ �&? + �&?⋮ ⋱ ⋮�W& + �W& ⋯ �W? + �W?]
= N + M
23
� (HW×?,×) membentuk struktur semigrup • HW×? bersifat tertutup terhadap operasi
perkalian ∀M, N ∈ HW×?, 3��� M × N ∈ HW×? Ambil sembarang M, N ∈ HW×?
M = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]
N = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]
M × N = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?] × Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]
= Y �&&�&& + ⋯ +�&?�W& ⋯ �&&�&? + ⋯ + �&?�W?⋮ ⋱ ⋮�W&�&& + ⋯ + �W?�W& ⋯ �W&�&? + ⋯ + �W?�W?] ∴ M × N ∈ HW×?
• HW×? bersifat asosiatif terhadap operasi
perkalian ∀M, N, O ∈ HW×?, ������ (M × N) × O = M ×(N × O) Ambil sembarang M, N, O ∈ HW×?
M = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]
24
N = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]
O = Y #&& ⋯ #&?⋮ ⋱ ⋮#W& ⋯ #W?]
(M × N) × O = bY �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?] × Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]c× Y #&& ⋯ #&?⋮ ⋱ ⋮#W& ⋯ #W?]
= Y �&&�&& + ⋯ + �&?�W& ⋯ �&&�&? + ⋯ + �&?�W?⋮ ⋱ ⋮�W&�&& + ⋯ + �W?�W& ⋯ �W&�&? + ⋯ + �W?�W?]× Y #&& ⋯ #&?⋮ ⋱ ⋮#W& ⋯ #W?]
= g (�&&�&& + ⋯ + �&?�W&)#&& + (�&&�&? + ⋯ + �&?�W?)#W& ⋯ (�&&�&& + ⋯ + �&?�W&)#&? + ⋯ + (�&&�&? + ⋯ + �&?�W?)#W?⋮ ⋱ ⋮(�W&�&& + ⋯ + �W?�W&)#&& + ⋯ + h�31�1� + ⋯ + �3��3�i#W& ⋯ h�31�11 + ⋯ + �3��31i#&? + ⋯ + (�W&�&? + ⋯ + �W?�W?)#W?j
M × (N × O) = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]× bY �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]× Y #&& ⋯ #&?⋮ ⋱ ⋮#W& ⋯ #W?]c
25
= Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]× Y �&&#&& + ⋯ + �&?#W& ⋯ �&&#&? + ⋯ + �&?#W?⋮ ⋱ ⋮�W&#&& + ⋯ + �W?#W& ⋯ �W&#&? + ⋯ + �W?#W?]
= Y �&&(�&&#&& + ⋯ + �&?#W&) + ⋯ + �&?(�W&#&& + ⋯ + �W?#W&) ⋯ �&&(�&&#&? + ⋯ ) + ⋯ + �&?(�W&#&? + ⋯ )⋮ ⋱ ⋮�W&(�&&#&& + ⋯ + �&?#W&) + ⋯ + �W?(�W&#&& + ⋯ + �W?#W&) ⋯ �W&(�&&#&? + ⋯ )+�W?(�W&#&? + ⋯ ) ] ∴ (M × N) × O ≠ M × (N × O) Sehingga struktur (HW×?, +,×) bukan suatu Ring
Teorema 1.1 Jika . adalah suatu Ring dengan identitas penjumlahan 0 (nol), maka �, � ∈ ., (i). 0� = �0 = 0 (ii). �(−�) = (−�)� = (−��) (iii). (−�)(−�) = ��
Bukti:
(i). �0 = �(0 + 0) = �0 + �0 Dengan menggunakan hukum kanselasi, maka
diperoleh 0 = �0 (ii). Untuk membuktikan �(−�) = (−�)� = (−��)
perlu diingat bahwa ��k�� − (��) �����ℎ �� sehingga −(��) + �� = 0 Dengan menggunakan hukum distributive
diperoleh: �(−�) + �� = �(−� + �) = �0 = 0 (−�)� + �� = (−� + �)� = 0� = 0
26
(iii). Untuk membuktikan (−�)(−�) = �� −h�(−�)i = −h−(��)i Karena −h−(��)i + h−(��)i = 0, berdasarkan (ii) maka (−�)(−�) = ��
1.2.3. Ring Satuan
Definisi 1.2
Suatu struktur aljabar (.,∘,∗) dikatakan sebagai suatu Ring Satuan jika:
(i). (.,∘) merupakan grup abelian (ii). (.,∗) merupakan monoid (iii). Berlaku distributif operasi ∗ terhadap
operasi ∘ Contoh 1.5. (8;, +,×) adalah suatu Ring satuan Bukti:
(i). (8;, +,×) adalah suatu grup abelian • Tertutup terhadap operasi penjumlahan
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
• Memenuhi sifat asosiatif penjumlahan ∀�, �, # ∈ 8;, � + (� + #) = (� + �) + # Terlihat jelas pada tabel
27
∀�, �, # ∈ 8;, ������ � + (� + #)= (� + �) + #
• Mempunyai elemen identitas ∃ ∈ 8; ����� ���, ��3����� ℎ����� ∀� ∈ 8;, � + 0 = 0 + � = � • Setiap elemen mempunyai invers ∀� ∈ 8;, ∃�%& ∈ 8;, � + �%& = �%& + � =
Dari tabel terlihat jelas invers dari setiap
elemen 8; 0%& = 0 1%& = 3 2%& = 2 3%& = 1
• Bersifat komutatif ∀�, � ∈ 8;, � + � = � + � Terlihat jelas pada tabel ∀�, � ∈ 8;, ������ � + � = � + �
(ii). (8;, +,×) adalah suatu Monoid • Tertutup terhadap operasi perkalian ∀�, � ∈ 8;, � × � ∈ 8; × 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
28
• Bersifat asosiatif ∀�, �, # ∈ 8;, � × (� × #)= (� × �)× # Terlihat jelas pada tabel ∀�, �, #∈ 8;, ������ � × (� × #)= (� × �) × #
• Mempunyai elemen identitas ∃ ∈ 8; ����� 1, ��3����� ℎ����� ∀� ∈ 8;, � × 1 = 1 × � = �
(iii). Berlaku hukum distributif perkalian terhadap
penjumlahan pada bilangan bulat modulo 4 �(� + #) = �� + �#
1.2.4. Ring Komutatif
Suatu struktur aljabar (.,∘,∗) dikatakan sebagai suatu Ring Komutatif jika:
(i). (.,∘) merupakan grup abelian (ii). (.,∗) merupakan semigrup komutatif (iii). Berlaku distributif operasi ∗ terhadap
operasi ∘ Pada Contoh 1.5. diatas, (8;, +,×) juga merupakan ring komutatif
29
Contoh 1.6 M = 4���, ������5, (M, +,×) adalah suatu Ring komutatif
Bukti:
(i). (M, +) suatu grup abelian • Bersifat tertutup terhadap operasi
penjumlahan
Dapat ditunjukkan menggunakan tabel
Cayley + genap ganjil
genap genap ganjil
ganjil ganjil genap
Berdasarkan tabel tersebut, terlihat jelas
bahwa M tertutup terhadap operasi
penjumlahan
• Bersifat asosiatif ∀�, �, # ∈ M, ������ (� + �) + #= � + (� + #) Dapat diamati pada tabel bahwa sifat asosiatif
dipenuhi.
Misal ambil sembarang �, �, # ∈ M. Misal � = ���, � = ������, # = ��� Maka diperoleh (� + �) + # = (��� +������) + ��� (� + �) + # = ������ + ��� (� + �) + # = ������ � + (� + #) = ��� + (������ + ���) � + (� + #) = ��� + ������
30
� + (� + #) = ������ • Mempunyai elemen identitas ∃ ∈ M ����� ���, ����� ∀� ∈ M, � + ��� = ��� + � = � • Setiap elemen di M mempunyai invers ∀� ∈ M, ∃�%& ∈ M, � + �%& = �%& + � =
Dari tabel diatas, dapat kita peroleh invers
dari setiap elemen di A, yaitu: (���)%& = ��� (������)%& = ������ • Bersifat komutatif ∀�, � ∈ M, � + � = � + �
Dari tabel dapat diamati secara jelas bahwa
sifat komutatif terpenuhi
(ii). M(+,×) suatu semigrup komutatif • Bersifat tertutup terhadap operasi perkalian
Dapat ditunjukkan menggunakan tabel
Cayley × genap ganjil
genap genap genap
ganjil genap ganjil
Berdasarkan tabel tersebut, terlihat jelas
bahwa M tertutup terhadap operasi perkalian. • Bersifat asosiatif ∀�, �, # ∈ M, ������ (� × �) × #= � × (� × #)
31
Dapat diamati pada tabel bahwa sifat asosiatif
dipenuhi.
Misal ambil sembarang �, �, # ∈ M. Misal � = ���, � = ������, # = ��� Maka diperoleh (� × �) × # = (��� ×������) × ��� (� × �) × # = ��� × ��� (� × �) × # = ��� � × (� × #) = ��� × (������ × ���) � × (� × #) = ��� × ��� � × (� × #) = ���
• Bersifat komutatif terhadap operasi perkalian ∀�, � ∈ M, � × � = � × � Telah terlihat jelas pada tabel.
(iii). Berlaku sifat distributif perkalian terhadap
penjumlahan ∀�, �, # ∈ M , � × (� + #) = (� × �) + (� × #) Misal ambil sembarang �, �, # ∈ M. Misal � = ���, � = ������, # = ��� Maka diperoleh � × (� + #) = ��� ×(������ + ���) � × (� + #) = ��� × ������ = ���
32
(� × �) + (� × #)= (��� × ������)+ (��� × ������) (� × �) + (� × #) = ��� + ��� = ���
1.2.5. Karakteristik Ring
Definisi 1.3.
Misalkan R adalah suatu Ring. Jika ∀�, � ∈ ., ada bilangan bulat positif terkecil �, sedemikian hingga �� = , dimana ini adalah elemen identitas pada operasi pertama, maka Ring R ini
dikatakan mempunyai karakteristik �. Jika tidak ditemukan � yang demikian, maka Ring R dikatakan mempunyai karakteristik nol atau tak
berhingga.
Contoh 1.7 (8l, +,×) adalah suatu Ring, dan mempunyai karakteristik 7
Elemen identitas terhadap operasi penjumlahan
dalam 8l adalah nol. ∀� ∈ 8l, 7� = 0, misal 7.5 = 35 ≅ 0 3�� 7, dan tidak ada bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 7, yang
memenuhi �� = 0, ∀� ∈ 8l. Sehingga Ring 8l mempunyai karakteristik 7
Contoh 1.8 (p, +,×) adalah suatu Ring yang mempunyai karakteriatik nol atau tak berhingga.
33
Contoh 1.9
Misalkan H = 4�, �, #, �5 adalah suatu Ring terhadap operasi penjumlahan. Operasi
penjumlahan pada M didefinisikan pada tabel
berikut: + � � # � � # � � � � � # � � # � � # � � � � � #
Dari tabel tersebut, dapat kita temukan elemen
identitas terhadap penjumlahan dari M adalah #. Karena � + � = #, � + � = #, # + # = # dan � + � = #, maka Ring M mempunyai
karakteristik 2.
1.2.6. Latihan
1. Apabila ' = 4�, �, #, �5 dan . = 2q adalah himpunan dari semua himpunan bagian dari
S. Didefinisikan operasi-operasi penjumlahan
dan perkalian pada R adalah sebagai berikut: ∀M, N ∈ ., M + N = M ∪ N − M ∩ N dan M × N = M ∩ N a. Tunjukkan bahwa R adalah suatu Ring
b. Tunjukkan pula bahwa R adalah Ring
Komutatif sekaligus Ring Satuan
34
2. . = 4�, �, #, �, , 9, �, ℎ5 adalah suatu Ring terhadap operasi penjumlahan. Operasi
penjumlahan pada R didefinisikan pada tabel
berikut: + � � # � 9 � ℎ � � � # � 9 � ℎ � � � � # 9 ℎ � # # � 9 � ℎ � � � � # 9 ℎ � � � 9 � ℎ � � # � 9 9 ℎ � � � � # � � ℎ � � # � 9 ℎ ℎ � � � � # 9
a. Tentukan elemen identitas terhadap
operasi penjumlahan dari R
b. Tentukan invers terhadap operasi
penjumlahan setiap elemen dari R
c. Tentukan karakteristik dari R
3. Diketahui � = 4, A, �, �5 dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian pada T
didefinisikan pada tabel berikut: + A � � A � � A A � � � � � A � � � A
35
× A � � A A A � � � � � �
a. Apakah T sebuah Ring
b. Apakah T Ring komutatif
c. Apakah T ring satuan
4. Diketahui O = 4(�, �)|� ��� � ∈ .��5 operasi-operasi penjumlahan dan perkalian
pada O didefinisikan sebagai berikut: ��, � + �#, � = �� + #, � + �
��, � × �#, � = ��# − ��, �� + �# a. Apakah C suatu Ring
b. Apakah C suatu Ring komutatif
c. Apakah C suatu Ring Satuan
5. Apakah � = 42� + 3| � ∈ 85 terhadap
operasi penjumlahan dan perkalian
merupakan Ring?
6. Misal 8 adalah himpunan bilangan bulat, dengan operasi ⊕ dan operasi ⊙ yang
didefinisikan sebagai berikut:
∀�, � ∈ 8, � ⊕ � = � + � + 1, ��� � ⊙ �= � + � + ��
Tunjukkan apakah Z terhadap operasi-operasi
tersebut merupakan Ring? Selanjutnya
36
apakah merupakan Ring komutatif dan Ring
Satuan?
7. Tunjukkan bahwa H = IR0 �0 �S |�, � ∈ .L
terhadap operasi-operasi penjumlahan dan
perkalian matriks merupakan Ring!
8. Diketahui v = 4��, �, #, � |�, �, #, � ∈ p5. Operasi-operasi penjumlahan dan perkalian
pada P didefinisikan sebagai berikut:
∀��, �, #, � ; �, 9, �, ℎ ∈ v maka ��, �, #, � + �, 9, �, ℎ
= �� + , � + 9, # + �, � + ℎ ��, �, #, � × �, 9, �, ℎ
= �� + ��, �9 + �ℎ, #+ ��, #9 + �ℎ
Tunjukkan bahwa P terhadap operasi-operasi
tersebut adalah suatu Ring
Selanjutnya jika P suatu Ring, apakah P juga
merupakan Ring Satuan?
9. Diketahui H = 4��, � |�, � ∈ 8 ��� � ≠ 0 5. kesamaan dua pasangan berurutan
didefinisikan dengan ��, � = �#, � jika dan hanya jika � = #, ��� � = �. Operasi-operasi penjumlahan dan perkalian pada M
didefinisikan sebagai berikut:
∀��, � , �#, � ∈ H, ��, � + �#, � = ��� + �#, ��
��, � × �#, � = ��#, ��
37
10. H = *� + �√2 | �, � ∈ p2 terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa, apakah
merupakan Ring?
1.3. PENUTUP
1.3.1. Tes Formatif
1. Buktikan bahwa p R√2x = I� + � √2x +h√2x i1|�, � ∈ pLS merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
2. Buktikan bahwa 8√2 = *� + �√2|�, � ∈ 82 merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian bilangan bulat.
3. Buktikan bahwa 8&1 terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo 12 adalah
suatu ring komutatif dan ring stauan
4. Tentukan karakteristik dari Ring berikut:
a. Ring Q
b. Ring �8 c. Ring 8? d. Ring 28 e. Ring 8 × 8 f. Ring 8: × 8: g. Ring 8: × 8;
5. Diketahui R adalah ring komutatif dengan elemen
satuan, dan R memiliki karakteristik 3.
Sederhanakan bentuk �� + � ;, ∀�, � ∈ .
38
1.3.2. Kunci Jawaban Soal Latihan
1. Apabila ' = 4�, �, #, �5 dan . = 2q adalah
himpunan dari semua himpunan bagian dari S.
Didefinisikan operasi-operasi penjumlahan dan
perkalian pada R adalah sebagai berikut:
∀M, N ∈ ., M + N = M ∪ N − M ∩ N dan M × N =M ∩ N a. Akan ditunjukkan bahwa R adalah suatu Ring
. = 2q
= y∅, 4�5, 4�5, 4#5, 4�5, 4�, �5, 4�, #5, 4�, �5, 4�, #5, 4�, �5, 4#, �5, 4�, �, #5,4�, �, �5, 4�, #, �5, 4�, #, �5, 4�, �, #, �5 z
Sifat ketertutupan terhadap operasi penjumlahan
pada R ditunjukkan dengan tabel Cayley.
Sifat asosiatif terpenuhi, yaitu ∀M, N, O ∈ ., �M + N + O = M + �N + O
Dalam R terdapat elemen identitas, yiatu ∅,
karena ∀M ∈ ., M + ∅ = ∅ + M = M Setiap elemen di R mempunyai invers terhadap
operasi penjumlahan. Hal ini dapat dilihat pada
tabel cayley yang telah dibuat oleh mahasiswa.
Sifat komutatif juga terpenuhi, hal ini terlihat
dari kesimetrisan setiap elemen dengan diagonal
utama pada tabel cayley
Selanjutnya kita analisis ketertutupan R pada
operasi perkalian.
Sifat ketertutupan ini dapat ditunjukkan dengan
membuat tabel cayley (mahasiswa diarahkan
untuk membuat tabel cayley).
39
Sifat asosiatif terhadap operasi perkalian juga
terpenuhi, yaitu ∀M, N, O ∈ ., �M × N × O = M × �N × O
b. Akan kita selidiki apakah R adalah Ring
Komutatif sekaligus Ring Satuan
Untuk mengetahui bahwa R adalah Ring
komutatif, maka R harus memenuhi sifat
komutatif pada operasi perkalian.
∀M, N ∈ . 3��� M × N = N × M Hal ini juga dapat diamati langsung pada tabel
cayley. Dari tabel tersebut juga diperoleh bahwa
R adalah Ring komutatif tetapi bukan ring
satuan.
2. Diketahui . = 4�, �, #, �, , 9, �, ℎ5 terhadap
operasi penjumlahan adalah Ring. Hasil operasi
penjumlahan pada R dapat kita amati pada tabel
berikut:
+ � � # � 9 � ℎ
� � � # � 9 � ℎ
� � � � # 9 ℎ �
# # � 9 � ℎ � �
� � # 9 ℎ � � �
9 � ℎ � � # �
9 9 ℎ � � � � #
� � ℎ � � # � 9
ℎ ℎ � � � � # 9
40
a. Elemen identitas terhadap operasi
penjumlahan adalah elemen � b. Dari tabel tersebut, diperoleh invers setiap
elemen adalah:
�%& = � �%& = � #%& = � �%& = ℎ %& = 9%& = 9 �%& = # ℎ%& = �
c. Karakteristik dari R adalah 4
3. Diketahui � = 4, A, �, �5 dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian pada T didefinisikan
pada tabel berikut:
+ A � �
A � �
A A � �
� � � A
� � � A
× A � �
A A A
� � �
� � �
a. Akan diselidiki apakah T suatu Ring
41
T terhadap operasi penjumlahan adalah
suatu grup abelian
- T tertutup terhadap operasi
penjumlahan, hal ini terlihat jelas pada
tabel
- Berlaku sifat asosiatif penjumlahan pada
T, yaitu ∀, A, � ∈ �, ������ � +A + � = + �A + �
- T memiliki elemen identitas, yaitu - Setiap elemen di T memiliki invers,
%& = A%& = A �%& = � �%& = �
- Berlaku sifat komutatif terhadap operasi
penjumlahan ∀, A ∈ � ������ + A = A +
T terhadap operasi perkalian, memenuhi
sifat tertutup dan asosiatif
- Sifat ketertutupan terhadap operasi
perkalian telah terpenuhi, terlihat jelas
pada tabel
- Sifat asosiatif juga dipenuhi, yaitu
∀, A, � ∈ �, ������ � × A × �= × �A × �
b. Akan diselidiki apakah T Ring komutatif
42
Telah terbukti bahwa T adalah suatu ring.
Sifat komutatif terhadap operasi perkalian
dapat diamati pada tabel.
∃A, � ∈ �, � × A ≠ A × � Sehingga T bukan Ring komutatif
c. Akan diselidiki apakah T ring satuan
Dari tabel juga dapat kita amati bahwa T
tidak memiliki elemen satuan terhadap
operasi perkalian
4. Diketahui O = 4��, � |� ��� � ∈ .��5 operasi-operasi penjumlahan dan perkalian pada O didefinisikan sebagai berikut:
��, � + �#, � = �� + #, � + � ��, � × �#, � = ��# − ��, �� + �#
a. Akan diselidiki apakah C suatu Ring
C terhadap operasi penjumlahan membentuk
struktur grup abelian
- Sifat ketertutupan pada C
∀��, � ��� �#, � ∈ O, ��, � + �#, � ∈ O
Dari definisi operasi penjumlahan yang
telah diberikan, sangat jelas bahwa sifat
ketertutupan terpenuhi.
- Sifat asosiatif penjumlahan pada C
∀��, � ; �#, � ; �, 9 ������ {��, � + �#, � | + �, 9
= ��, � + {�#, � + �, 9 |
43
{��, � + �#, � | + �, 9 = �� + #, � + � + �, 9
= �� + # + , � + � + 9 Kemudian untuk:
��, � + {�#, � + �, 9 |= ��, � + �# + , � + 9
= �� + # + , � + � + 9 Terbukti sifat asosiatif terpenuhi
- C memiliki elemen identitas
Misal ∃�3, � ∈ O, �ℎ����� ∀��, � ∈O, ��, � + �3, � = �3, � + ��, � =��, �
��, � + �3, � = ��, � �� + 3, � + � = ��, �
Diperoleh:
� + 3 = �, 3��� 3 = 0 � + � = �, 3��� � = 0
Sehingga elemen identitas dalam C
adalah �0,0 - Setiap elemen di C memiliki invers
∀��, � ∈ O, ∃��, � %& 3���� �, A sehingga ��, � + �, A = �0,0 Maka �, A = �−�, −�
- Berlaku sifat komutatif pada C
∀��, � ; �#, � ∈ O berlaku
44
��, � + �#, � = �#, � + ��, � C membentuk struktur semigrup terhadap
operasi perkalian, yaitu sifat ketertutupan dan
asosiatif
- ∀��, � ; �#, � ∈ O, ��, � × �#, � ∈ O - ∀��, � ; �#, � ; �, 9 ������
{��, � × �#, � | × �, 9 = ��, � × {�#, � × �, 9 |
{��, � × �#, � | × �, 9 = ��# − ��, �� + �# × �, 9
= h��# − �� − ��� + �# 9, ��#− �� 9 + ��� + �# i
= ��# − �� − ��9 − �#9, �#9 − ��9+ �� + �#
Selanjutnya untuk:
��, � × {�#, � × �, 9 |= ��, � × �# − �9, #9 + �
= h��# − �9 − ��#9 + � , ��#9+ � + ��# − �9 i
= ��# − ��9 − �#9 − ��, �#9 + ��+ �# − ��9
45
Terbukti sifat asosiatif terpenuhi.
Dalam C berlaku sifat distributif operasi
perkalian terhadap operasi penjumlahan
∀��, � , �#, � ��� �, 9 ∈ O {��, � + �#, � | × �, 9
= ��, � × �, 9 + �#, � × �, 9
��, � × {�#, � + �, 9 |= ��, � × �#, � + ��, � × �, 9
b. Akan diselidiki apakah C suatu Ring
komutatif
∀��, � , �#, � ∈ O berlaku: ��, � × �#, � = �#, � × ��, �
��, � × �#, � = ��# − ��, �� + �# �#, � × ��, � = �#� − ��, #� + ��
Terbukti bahwa C adalah Ring komutatif
c. Akan diselidiki apakah C suatu Ring Satuan
∀��, � ∈ O, ��� �, A ∈ O sedemikian
hingga
��, � × �, A = ��, � �� − �A, �A + � = ��, �
Diperoleh:
� − �A = � �A + � = �
46
Kita dapatkan �, A = �1,0 Terbukti bahwa C adalah ring satuan
5. Apakah � = 42� + 3| � ∈ 85 terhadap operasi penjumlahan dan perkalian merupakan Ring?
T terhadap operasi penjumlahan membentuk
struktur grup abelian
- Sifat ketertutupan T terhadap operasi
penjumlahan
Ambil sembarang �2� + 3 ��� �2} +3 ∈ �
�2� + 3 + �2} + 3 = 2�} + � + 6 = 2�} + � + 3 + 0
T tidak tertutup terhadap operasi
penjumlahan, sehingga T bukan grup
abelian, jadi pastlah T bukan Ring
6. Diketahui 8 dengan operasi ⊕ dan operasi ⊙
yang didefinisikan sebagai berikut:
∀�, � ∈ 8, � ⊕ � = � + � + 1, ��� � ⊙ �= � + � + ��
Akan kita selidiki apakah Z terhadap operasi yang
didefinisikan tersebut adalah Ring.
Z terhadap operasi ⊕ harus membentuk struktur
grup abelian
- Z tertutup terhadap operasi ⊕
∀�, � ∈ 8, � ⊕ � = � + � + 1 ∈ 8 - Berlaku sifat asosiatif ⊕ pada Z
∀�, �, # ∈ 8, �� ⊕ � ⊕ # = � ⊕ �� ⊕ # �� ⊕ � ⊕ # = �� + � + 1 ⊕ #
47
= � + � + 1 + # + 1 = � + � + # + 2
� ⊕ �� ⊕ # = � ⊕ �� + # + 1 = � + � + # + 1 + 1
= � + � + # + 2 - Z memiliki identitas terhadap operasi ⊕
∀� ∈ 8, ∃ ∈ 8, �ℎ����� � ⊕ = ⊕ � = �
� ⊕ = � � + + 1 = �
+ 1 = 0 = −1
- Setiap elemen di Z memiliki invers
∀� ∈ 8, ∃�%& ∈ 8 Sehingga � ⊕ �%& = �%& ⊕ � = −1
� ⊕ �%& = −1 � + �%& + 1 = −1
�%& = −2 − � - Berlaku sifat komutatif ⊕ pada Z
∀�, � ∈ 8, � ⊕ � = � ⊕ � � ⊕ � = � + � + 1
= � + � + 1
= � ⊕ �
48
7. Akan ditunjukkan bahwa H = IR0 �0 �S |�, � ∈
.L terhadap operasi-operasi penjumlahan dan perkalian matriks merupakan Ring
M terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
adalah Grup abelian
- Sifat ketertutupan M terhadap operasi
penjumlahan
Ambil sembarang M, N ∈ H.
Misal M = R0 �0 �S , ��� N = R0 #
0 �S M + N = R0 �
0 �S + R0 #0 �S
= R0 � + #0 � + �S
Terbukti ∀M, N ∈ H, M + N ∈ H
- Berlaku sifat asosiatif penjumlahan pada M
∀M, N, O ∈ H berlaku �M + N + O = M + �N + O
Ambil sembarang M, N, O ∈ H.
Misal M = R0 �0 �S , N = R0 #
0 �S , ��� O = T0
0 9U �M + N + O = R0 � + #
0 � + �S + T0 0 9U
= T0 � + # + 0 � + � + 9U =M + �N + O
49
- M mempunyai elemen identitas pada operasi
penjumlahan, yaitu V = R0 00 0S
- Setiap elemen di M mempunyai invers
terhadap operasi penjumlahan
∀M = R0 �0 �S ∈ H, ∃M%& ∈ H �����
M%& = R0 −�0 −�S
- Berlaku sifat komutatif terhadap operasi
penjumlahan pada M
∀M, N ∈ H, M + N = N + M M terhadap operasi perkalian membentuk
struktur semigrup
- Sifat ketertutupan terhadap operasi perkalian
Ambil sembarang M, N ∈ H.
Misal M = R0 �0 �S , N = R0 #
0 �S
∀M, N ∈ H, M × N ∈ H
M × N = R0 �0 �S × R0 #
0 �S = R0 ��0 ��S
- Berlaku sifat asosiatif perkalian pada M
Ambil sembarang M, N, O ∈ H.
Misal M = R0 �0 �S , N = R0 #
0 �S ���
50
O = T0 0 9U
∀M, N, O ∈ H, �MN O = M�NO �MN O = R0 ��
0 ��S T0 0 9U = T0 ��9
0 ��9U M�NO = R0 �
0 �S T0 #90 �9U = T0 ��9
0 ��9U Berlaku sifat distributif operasi perkalian
terhadap operasi penjumlahan pada M
�M + N O = MO + NO �M + N O = R0 � + #
0 � + �S T0 0 9U
= T0 �9 + #90 �9 + �9U
MO + NO = T0 �90 �9U + T0 #9
0 �9U = T0 �9 + #9
0 �9 + �9U Terbukti bahwa M adalah suatu Ring
8. Kunci jawaban no 8,9 dan 10 tidak diberikan.
Dilakukan pendampingan untuk dikerjakan
mahasiswa secara mandiri.
51
1.3.3. Umpan Balik dan tindak lanjut
Cocokkanlah jawaban anda dengan kunci jawaban
soal latihan yang terdapat pada bagian akhir bab 1 ini
kemudian hitunglah banyaknya jawaban anda yang
benar. Kemudian hitunglah tingkat penguasaan anda
dengan menggunakan rumus berikut:
������� ��������= ��������� ������� ����
��������� ���� × 100%
Setelah mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap
materi pada bab 1 ini, lanjutkan dengan mengerjakan
tes formatif kemudian konsultasikan dengan dosen
anda.
Arti tingkat penguasaan yang anda capai:
90% - 100% : Baik sekali
80% - 89% : Baik
70% - 79% : Sedang
≤ 69% : Kurang
Catatan: jika anda mencapai tingkat penguasaan ≥ 80%, maka anda dapat melanjutkan ke bab berikutnya.
Tetapi jika nilai anda dibawah 80%, maka sebaiknya
anda mengulangi bab 1 ini terutama bagian yang
belum anda kuasai.
52
BAB 2BAB 2BAB 2BAB 2 SUBRING, IDEAL DAN RING SUBRING, IDEAL DAN RING SUBRING, IDEAL DAN RING SUBRING, IDEAL DAN RING
FAKFAKFAKFAKTORTORTORTOR
2.1. PENDAHULUAN
A. Deskripsi singkat isi BAB 2
Bab 2 ini berisi tentang Subring, ideal dan Ring
Faktor. Seperti halnya pada bab 1, model
pembelajaran yang digunakan adalah berbasis
project dengan memadukan unsur
kontruktivisme, dimana mahasiswa diharapkan
mampu membangun sendiri konsep-konsep
dalam bab 2 ini berdasarkan pengetahuannyang
telah mereka peroleh pada Mata kuliah Teori
Grup. Diawal pembelajaran mahasiswa
diberikan lembar project yang berisi analisis
tentang subgrup, koset dan grup faktor.
Kemudian mahasiswa diarahkan untuk
menemukan konsep subring, ideal dan ring
faktor.
B. Relevansi terhadap pengetahuan mahasiswa dan
bidang kerja
Pada mata kuliah teori Grup, mahasiswa telah
mempelajari konsep subgrup, koset dan grup
faktor yang merupakan konsep awal dari
subring, ideal dan ring faktor. Sehingga dalam
hal ini, mahasiswa akan sangat mampu untuk
menguasai bab 2 ini karena materinya sangat
53
memiliki kemiripan dengan materi subgrup,
koset dan grup faktor.
C. Capaian Pembelajaran Mata Kuliah
Capaian pembelajaran yang direncanakan
secara khusus pada bab 2 ini adalah Mahasiswa
mampu menganalisis subring, ideal dan ring
faktor (quotient ring) serta dapat menerapkan
dalam pemecahan masalah secara tepat dan
konsisten. (C4, A5, P3)
2.2. PENYAJIAN
2.2.1. Mengingat kembali Subgrup, koset dan grup faktor
Mari mengingat kembali konsep sub grup, koset
dan grup faktor
Sub Grup
Misalkan G grup dan 6 ⊆ �, H dikatakan subgrup dari G dituliskan 6 < � , jika 6 ≠ ∅, H sendiri merupakan grup dengan operasi biner yang sama
dengan G
Koset
Misal H adalah Sub grup dari G, dan � ∈ �. Koset kiri dari H dalam G adalah �6 = 4�ℎ|ℎ ∈ 65 Sedangkan koset kanan dari H dalam G adalah
6� = 4ℎ�|ℎ ∈ 65 Grup Faktor
jika H subgrup normal dari Grup G, himpunan koset
dari H dalam G adalah Grup faktor dari G dan
dinotasikan dengan �/6.
54
2.2.2. Subring
Definisi 2.1.
Misal R adalah suatu Ring, dan S adalah himpunan
bagian dari R, dengan ' ≠ ∅, maka S adalah sub ring dari Ring R jika dengan operasi-operasi yang
sama dengan R, S membentuk struktur Ring.
Setiap himpunan adalah himpunan bagian dari
dirinya sendiri. Apabila R adalah suatu Ring, maka
R adalah subring dari R. Selain itu apabila e adalah
elemen identitas pada operasi pertama di R, maka
' = 45 adalah himpunan bagian dari R yang merupakan suatu Ring, sehingga ' = 45 adalah suatu Subring.
Jadi, setiap Ring R mempunyai subring R dan 45, subring ini disebut sebagai subring tak sejati
(subring trivial). Subring-subring selain R dan 45 disebut sebagai subring sejati.
Contoh 2.1.
Z adalah suatu Ring dengan operasi penjumlahan
dan perkalian bilangan bulat. Maka subring tak
sejati dari Z adalah Z dan 405. Subring sejati dari Z adalah ' = 4��|� ≠ 0 ��� � ∈ 85 Contoh 2.2.
Diketahui � = 4, A, �, �5 adalah Ring dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian yang
didefinisikan pada tabel berikut:
+ A � �
A � �
55
A A � �
� � � A
� � � A
× A � �
A A A
� � �
� � �
Misal diambil himpunan bagian dri T, misal
' = 4, A5, dengan operasi penjumlahan dan
operasi perkalian yang didefinisikan sebagai
berikut:
+ A
A
A A
× A
A A
Dapat kita amati bahwa ' bersama-sama operasi penjumlahan dan perkalian adalah suatu Ring,
maka S adalah subring dati T
Teorema 2.1
Misal R suatu Ring dan S adalah himpunan bagian
dari R dan ' ≠ ∅, S adalah subring dari Ring R jika dan hanya jika ∀�, � ∈ ' berlaku: i) ��%& ∈ '
56
ii) �� ∈ ' Bukti:
→ Akan dibuktikan bahwa jika R suatu Ring dan S subring dari Ring R, maka ∀�, � ∈ ' berlaku ��%& ∈ ' ��� �� ∈ ' i) ��%& ∈ '
Diketahui S adalah subring dari R, maka S
adalah suatu Ring, maka S terhadap operasi
pertama merupakan suatu grup abelian.
Ambil sembarang �, � ∈ ', karena S suatu grup abelian maka ∀�, � ∈ ', pasti ∃�%& ��� �%& ∈ ', dan pasti berlaku
��%& ∈ ' ii) �� ∈ '
Karena S suatu Ring, maka ∀�, � ∈' ���� �� ∈ '
← Akan dibuktikan bahwa jika ∀�, � ∈ ' berlaku ��%& ∈ ' ��� �� ∈ ' maka S subring dari R Ambil sembarang � ∈ ', ��%& ∈ ', ∈ ', hal ini menunjukkan S mempunyai elemen identitas.
Ambil sembarang
� ∈ ' ��� �%& ∈ ', 3��� ���%& %& = �� ∈ ' , hal ini menunjukkan bahwa setiap elemen S
mempunyai invers. Selanjutnya karena ' ⊂., ��� . ����� .���, maka S memenuhi sifat-sifat yang dimiliki oleh R yaitu sifat sifat asosiatif dan
57
sifat komutatif pada operasi pertama, sifat asosiatif
pada operasi kedua serta sifat distributif operasi
kedua terhadap operasi pertama.
Sehingga semua aksioma Ring terpenuhi oleh S,
maka S adalah suatu Ring. Karena ' ⊂ ., maka S adalah subring dari R.
2.2.3. Ideal
Definisi 2.2.
Misalkan R adalah suatu Ring dan I adalah
himpunan bagian dari Ring R dengan d ≠ ∅, maka I disebut Ideal dari R jika dan hanya jika:
(i). ∀�, � ∈ d, ��%& ∈ d (ii). ∀� ∈ d, ��� � ∈ ., 3��� �� ∈ d ��� �� ∈ d.
Apabila hanya memenuhi salah satu
yaitu∀� ∈ d, ��� � ∈ ., �� ∈ d maka disedut ideal kanan, sedangkan jika memenuhi
∀� ∈ d, ��� � ∈ ., �� ∈ d maka disebut idela kiri
Misalkan R suatu Ring dengan elemen identitas
pada operasi pertama adalah 45, maka 45 dan R sendiri adalah ideal-ideal dalam R, dan disebut
ideal tak sejati dari R. Ideal-ideal lainnya (jika ada)
disebut ideal sejati dari R. Jika suatu Ring R tidak
mempunyai ideal sejati, maka Ring R tersebut
disebut Ring Simpel.
58
Contoh 2.3
8 bersama-sama dengan operasi penjumlahan dan perkalian adalah suatu Ring. Misalkan N =4��|� ∈ 8 5 dengan � suatu bilangan bulat, dapat kita amati bahwa N merupakan ideal dari 8. Contoh 2.4
Diketahui suatu himpunan . = 4�, �, #, �, , 9, �, ℎ5 dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang
didefinisikan pada tabel berikut:
Operasi penjumlahan pada R
+ � � # � 9 � ℎ
� � � # � 9 � ℎ
� � � � # 9 ℎ �
# # � � � � ℎ 9
� � # � � ℎ � 9
9 � ℎ � � # �
9 9 ℎ � � � � #
� � ℎ 9 # � � �
ℎ ℎ � 9 � # � �
Operasi perkalian pada R
× � � # � 9 � ℎ
� � � � � � � � �
� � � � � � � � �
59
# � # � # � # � #
� � � � � � � � �
� � � �
9 � 9 � 9 � 9 � 9
� � � � � � � � �
ℎ � ℎ � ℎ � ℎ � ℎ
Dapat kita amati bahwa R bersama-sama operasi
penjumlahan dan perkalian adalah suatu Ring.
Misal diambil salah satu himpunan bagian dari R,
misal v = 4�, �, #, �5. Dapat kita tunjukkan bahwa P merupakan ideal kanan dari R, tetapi bukan ideal
kiri dari R. (pembuktian digunakan sebagai
latihan).
Contoh 2.5
Misal H = 4��, �, #, � |�, �, #, � ∈ p5. Operasi-
operasi penjumlahan dan perkalian pada M
didefinisikan sebagai berikut:
∀��, �, #, � , �, 9, �, ℎ ∈ H, ������: ��, �, #, � + �, 9, �, ℎ = �� + , � + 9, # +�, � + ℎ Dan ��, �, #, � × �, 9, �, ℎ = �� + ��, �9 +�ℎ, # + ��, #9 + �ℎ
60
Pada bagian sebelumnya telah dibuktikan bahwa M
bersama-sama operasi penjumlahan dan perkalian
adalah suatu Ring.
Misal diambil himpunan bagian dari M, misalkan
� = 4���, ��, ��, �� 5|�, � ∈p ��� �, � �������� �������� ������. Akan ditunjukkan bahwa T adalah suatu Ideal Kiri
dari M
� Ambil sembarang
(��&, ��&, ��&, ��&) ��� (��1, ��1, ��1, ��1) ∈� Maka (��&, ��&, ��&, ��&) − (��1, ��1, ��1, ��1)= (��&, ��&, ��&, ��&)+ (−��1, −��1, −��1, −��1) = (��& − ��1, ��& − ��1, ��& − ��1, ��&− ��1) = (�(�& − �1), �(�& − �1), �(�&− �1), �(�& − �1)) Karena �&, �1, �&, �1 ∈ p, 3��� (�& − �1), (�& −�1), (�& − �1)��� (�& − �1) ∈ p Sehingga (��&, ��&, ��&, ��&) − (��1, ��1, ��1, ��1) ∈ �
� Ambil sembarang
(�, �, #, �) ∈ H ��� (��, ��, ��, ��) ∈ �
61
Maka (�, �, #, �) × (��, ��, ��, ��)= (��� + #��, ��� + ���, #��+ ���, #�� + ���) = (�(�� + #�), �(�� + ��), �(#� + ��), �(#�+ ��)) Hal ini menunjukkan bahwa (�, �, #, �) ×(��, ��, ��, ��) ∈ � Sehingga T merupakan ideal kiri dari M
Selanjutnya apakah juga merupakan ideal kanan
dari M? (coba diskusikan)
Teorema 2.2
Apabila d& ��� d1 masing-masing adalah Ideal dari R, maka d& ∩ d1 adalah suatu Ideal dalam R. Bukti: d& adalah ideal dari Ring R, maka terhadap operasi pertama, d& merupakan subgrup dari R. Begitu juga dengan d1 juga merupakan subgrup dari R. Sehingga d& ∩ d1 adalah subgrup dari R. Sehingga berlaku: ∀�, � ∈ d& ∩ d1, ������ � − � ∈ d& ∩ d1 Ambil sembarang elemen � ∈ d& ∩ d1 maka � ∈ d& ��� � ∈ d1 Kemudian ambil sembarang � ∈ . ��� � ∈d&, ����� d& adalah ideal dari R, maka pasti berlaku �� ∈ d& ��� �� ∈ d&
62
Dengan cara yang sama, � ∈ d1, dengan d1 adalah sebuah ideal dari R, maka pasti dipenuhi untuk �� ∈ d1 ��� �� ∈ d1 Karena: �� ∈ d& ��� �� ∈ d1 3��� �� ∈ d& ∩ d1 �� ∈ d& ��� �� ∈ d1, 3��� �� ∈ d& ∩ d1 Terbukti bahwa d& ∩ d1 adalah Ideal dari R.
Definisi Ideal Utama (principal ideal)
Misalkan R adalah suatu Ring komutatif yang
mempunyai elemen satuan tertentu di R.
Definisi 2.3
Ideal utama adalah suatu ideal yang dihasilkan oleh
suatu elemen dari Ring R
Contoh 2.6
Z bersama-sama dengan operasi penjumlahan dan
perkalian adalah Ring. Misal diambil himpunan
bagian dari Z, misal d = 48�|� ∈ 85 = 40, ±8, ±16, ±24, ±32, … 5 d dapat kita tulis sebagai himpunan yang dibangun oleh elemen 4, dapat ditulis d = ⟨8⟩. Sehingga d ini merupakan ideal utama.
Misal ambil ideal lain dari Z,
d& = 44�|� ∈ 85 = 40, ±4, ±8, ±12, ±16, … 5 Yang selanjutnya dapat ditulis, d& = ⟨4⟩
d1 = 42�|� ∈ 85= 40, ±2, ±4, ±8, ±10, ±12, ±14, ±16, … 5
Yang selanjutnya dapat ditulis, d1 = ⟨2⟩
63
Apabila kita perhatikan, terlihat bahwa d ⊂ d&, d ⊂d1 ��� d ⊂ 8. Dari contoh 2.6 tersebut, dapat kita ketahui bahwa
suatu ideal utama dalam Z yang dihasilkan dari
suatu elemen k merupakan himpunan bagian dari
setiap ideal utama yang dihasilkan oleh faktor dari
k. Jika k suatu bilangan prima, maka ideal utama
yang dihasilkan oleh k hanya ⟨�⟩ dan Z sendiri.
Definisi Ideal Prima
Definisi 2.4 Misalkan R suatu komutatif, dan d suatu ideal dalam R, maka d disebut ideal prima jika dan hanya jika ∀�, � ∈ . ���� �� ∈d 3��� � ∈ d ���� � ∈ d. Contoh 2.7
Z bersama operasi penjumlahan dan perkalian
adalah Ring.
Misal diambil ideal dari Z, yaitu:
� H = ⟨7⟩ = 47�|� ∈ 85. M adalah ideal prima dari Z, karena apabila �� ∈ H, 3��� ������ℎ � ∈H ���� � ∈ H
� � = 46�|� ∈ 85. N bukan ideal prima dari Z, karena
∃12 ∈ � ��� 12 = 3 × 4, �������� 3∉ � ��� 4 ∉ �
64
Definisi Ideal Maksimal
Definisi 2.5. Misal R suatu Ring komutatif dan d suatu ideal dalam R, maka d disebut ideal maksimal dalam R jika dan hanya jika d tidak termuat dalam ideal lainnya, kecuali d sendiri dan R. Contoh 2.8
Pada contoh 2.7 diatas, M adalah ideal maksimal.
M tidak termuat dalam ideal lain dalam Z kecuali
M dan Z sendiri.
Selanjutnya perhatikan ideal N. ideal N tersebut
bukan ideal maksimal karena N termuat dalam
ideal lain, yaitu ideal yang dibangun oleh elemen 3
dan elemen 2 dalam Z.
Teorema 2.3
Misalkan Z adalah suatu Ring terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian, dan d suatu ideal dalam Z, maka d adalah suatu ideal maksimal dari Z jika dan hanya jika d dihasilkan oleh suatu bilangan prima.
Bukti:
Misal d adalah ideal yang dihasilkan suatu elemen Z, maka d merupakan ideal utama dalam Z, dan setiap ideal dalam Z adalah ideal utama.
→ akan dibuktikan bahwa jika d = ⟨�⟩ dengan � suatu bilangan prima, maka d adalah ideal
maksimal.
Untuk menunjukkan bahwa d adalah ideal
maksimal, maka akan diperlihatkan bahwa d tidak
65
termuat dalam ideal yang lain kecuali d dan Z sendiri.
Andaikan ada ideal lain dalam Z yang memuat d, misal M dengan H ≠ 8 ��� H ≠ d, maka M adalah ideal utama dalam Z. Misal M adalal ideal
yang dibangun oleh suatu elemen A dalam Z, H = ⟨�⟩, karena d ⊂ H, ���� ⟨�⟩ ⊂ ⟨�⟩ 3��� �����ℎ � = ��, untuk suatu bilangan bulat �. Diketahui bahwa � adalah suatu bilangan prima, maka haruslah
� = 1 ���� � = � Sehingga jika � = 1 maka
⟨�⟩ = ⟨1⟩ �ℎ����� H = 8 Selanjutnya jika � = � maka
⟨�⟩ = ⟨�⟩ �ℎ����� H = d Dapat kita simpulkan bahwa pengandaian tersebut
salah, seharusnya tidak ada ideal lain dalam Z yang
memuat d, artinya d adalah ideal maksimal dalam Z.
← akan dibuktikan jika d = ⟨�⟩ ideal maksimal maka � adalah bilangan prima. Andaikan � bukan bilangan prima, yaitu � suatu bilangan komposit, maka � dapat dinyatakan sebagai � = �. �, � ≠ 1 ��� � ≠ 1. Misal ada ideal
66
utama yang dihasilkan oleh � adalah P, v = ⟨�⟩, maka d ⊂ v ⊂ 8. Dan misalkan ideal utama yang dihasilkan oleh � adalah Q, p = ⟨�⟩, maka d ⊂ p ⊂ 8. d ⊂ v ⊂ 8 ��� d ⊂ p ⊂ 8 menunjukkan bahwa d termuat dalam ideal P dan Q, hal ini kontradiksi
dengan yang diketahui sebelumnya, bahwa d adalah ideal maksimal. Maka jelaslah pengandaian bahwa
� bukan bilangan prima adalah salah, seharusnya adalah � merupakan bilangan prima.
2.2.4. Ring Faktor (Quotient Ring)
Analog dengan Grup faktor, misal d adalah suatu ideal dari Ring R, maka d terhadap operasi pertama merupakan subgrup normal dari Ring R. Himpunan
semua koset dari d dalam R ditulis . d = 4� + d|� ∈ .5⁄
Operasi penjumlahan pada . d⁄ didefinisikan
sebagai berikut:
∀�&, �1 ∈ ., ��& + d + ��1 + d = ��& + �1 + d Sedangkan operasi perkalian pada . d⁄
didefinisikan sebagai berikut:
∀�&, �1 ∈ ., ��& + d × ��1 + d = ��&�1 + d Struktur aljabar . d⁄ ini merupakan suatu Ring dan
. d⁄ dinamakan Ring Faktor.
67
Bukti:
� ∀(�& + d), (�1 + d) ∈ . d⁄ , 3��� (�& + d) +(�1 + d) ∈ . d⁄
� ∀(�& + d), (�1 + d)��� (�: + d) ∈ . d⁄ berlaku: {(�& + d) + (�1 + d)| + (�: + d)= (�& + d)+ {(�1 + d) + (�: + d)|
� ∀(�& + d) ∈ . d⁄ , ∃(0 + d) sehingga (�& +d) + (0 + d) = (�& + d) Elemen identitas dalam . d⁄ adalah (0 + d) =d
� ∀(�& + d) ∈ . d⁄ , ∃(�& + d)%& sehingga (�& + d) + (�& + d)%& = d Sehingga jelaslah bahwa setiap ∀(�& + d) ∈. d⁄ mempunyai invers di . d⁄ yaitu (−�& + d)
� ∀(�& + d), (�1 + d) ∈ . d⁄ berlaku sifat
komutatif yaitu (�& + d) + (�1 + d) = (�1 + d) + (�& + d) � Selanjutnya sifat ketertutupan terhadap operasi
perkalian ∀(�& + d), (�1 + d)∈ . d⁄ , 3��� (�& + d)× (�1 + d) ∈ . d⁄ (�& + d) × (�1 + d) = (�&�1) + d
� Sifat asosiatif terhadap operasi perkalian
68
∀(�& + d), (�1 + d)��� (�: + d) ∈ . d⁄ berlaku: {(�& + d) × (�1 + d)| × (�: + d)= (�& + d)× {(�1 + d) × (�: + d)| {(�& + d) × (�1 + d)| × (�: + d)= (�&�1 + d) × (�: + d) = (�&�1�: + d) Sedangkan (�& + d) × {(�1 + d) × (�: + d)|= (�& + d) × (�1�: + d) = (�&�1�: + d)
� Sifat distributif operasi perkalian terhadap
operasi penjumlahan
Ambil sembarang (�& + d), (�1 + d)��� (�: +d) ∈ . d⁄
Berlaku distributif kiri dan distributif kanan
operasi perkalian terhadap operasi
penjumlahan
Distributif kiri: ∀(�& + d), (�1 + d)��� (�: + d) ∈ . d⁄ , 3��� (�& + d) × {(�1 + d) + (�: + d)|= {(�& + d) × (�1 + d)|+ {(�& + d) × (�: + d)| = (�&�1 + d) + (�&�: + d) = (�&(�1 + �:) + d)
69
Distributif kanan: ∀(�& + d), (�1 + d)��� (�: + d) ∈ . d⁄ , 3��� {(�1 + d) + (�: + d)| × (�& + d) = {(�1 + d) × (�& + d)| + {(�: + d) × (�& + d)| = (�1�& + d) + (�:�& + d) = (�&(�1 + �:) + d) Terbukti bahwa . d⁄ adalah Ring
Contoh 2.9
Z bersama dengan operasi penjumlahan dan
perkalian adalah Ring. d = 45�|� ∈ 85 adalah ideal dalam Z. Maka dapat kita temukan Ring
Faktor 8 d = 4d, 1 + d, 2 + d, 3 + d, ��� 4 + d5⁄
Teorema 2.4
(i). Jika R merupakan Ring komutatif, dan d sembarang ideal dalam R, maka . d⁄ juga
komutatif
(ii). Jika R merupakan Ring satuan dengan elemen
satuan , dan d sembarang ideal dalam R dengan d ≠ ., maka . d⁄ mempunyai elemen
satuan + . (iii). Jika R merupakan Ring komutatif dengan
elemen satuan, dan d ideal prima dalam R dan d ≠ ., maka . d⁄ adalah suatu daerah integral.
Pembuktian digunakan sebagai latihan
70
Contoh 2.10
Himpunan 8&� = 40,1,2,3,4,5,6,7,8,95 adalah Ring terhadap operasi-operasi penjumlahan dan
perkalian.
Ideal-ideal yang dalam 8&� adalah: ⟨0⟩ = 405
⟨1⟩ = ⟨3⟩ = ⟨7⟩ = ⟨9⟩ = 8&� ⟨5⟩ = 40,55
⟨2⟩ = ⟨4⟩ = ⟨6⟩ = ⟨8⟩ = 40,2,4,6,85 Ideal d& = ⟨2⟩ adalah ideal maksimal. Ring faktor yang terbentuk adalah:
8&� d&⁄ = 4d&, d& + 15 Dalam hal ini d& = ⟨2⟩ merupakan ideal maksimal dalam 8&� Selanjutnya jika kita ambil ideal d1 = ⟨5⟩, maka dapat kita peroleh Ring faktor yang terbentuk
adalah sebagai berikut:
8&� d1⁄ = 4d1, d1 + 1, d1 + 2, d1 + 3, d1 + 45
Contoh 2.11
8� = 40,1,2,3, … ,75 terhadap operasi penjumlahan dan perkalian adalah suatu Ring.
Ideal-ideal dalam 8� yang dihasilkan oleh elemen-elemen 8� adalah sebagai berikut:
⟨0⟩ = 405 ⟨1⟩ = ⟨3⟩ = ⟨5⟩ = ⟨7⟩ = 8�
⟨2⟩ = ⟨6⟩ = 40,2,4,65
71
⟨4⟩ = 40,45 Apabila kita perhatikan ideal yang dihasilkan oleh
elemen 2 adalah ideal maksimal. Ring faktor yang
terbentuk dari ideal maksimal ini adalah sebagai
berikut:
Misal ⟨2⟩ = d 8� ⟨2⟩⁄ = 4d, d + 1 5
Misal ⟨4⟩ = H
8� ⟨4⟩⁄ = 4H, H + 1, H + 2, H + 3 5
Contoh 2.12.
Diketahui M = IJ� �0 #K |�, �, # ∈ 8L terhadap
operasi penjumlahan dan perkalian matriks adalah
Ring komutatif. Tunjukkan bahwa
d = IJ0 �0 0K |� ∈ 8L
Merupakan ideal dalam A
Jawab.
Sangatlah jelas bahwa d ≠ ∅ � ∀H, � ∈ d, H − � ∈ d
Ambil sembarang elemen d, misal M dan N H = J0 3
0 0 K , 3 ∈ 8 � = J0 �
0 0K , � ∈ 8 H − � = J0 3 − �
0 0 K , 3 − � ∈ 8 Terbukti H − � ∈ d
72
� ∀� ∈ M, ��� H ∈ d ������ �H ∈ d, ��� H� ∈ d Ambil sembarang � ∈ M, misal � = J} �
0 <K, maka �H = J} �
0 <K × J0 30 0 K = J0 }3
0 0 K , }3 ∈ 8 Terbukti �H ∈ d
H� = J0 30 0 K × J} �
0 <K = J0 3<0 0 K , 3< ∈ 8
Terbukti H� ∈ d Sehingga terbukti bahwa d adalah ideal dari A
2.2.5. Latihan
1. Misal R adalah suatu Ring dengan elemen
satuan. Kemudian S adalah subring dari Ring
R, apakah S merupakan suatu Ring dengan
elemen satuan pula?
2. Jika H ��� � adalah subring dari ring R, maka buktikan bahwa H ∩ � adalah subring dari R pula!
3. H1×1 = IJ� �# �K |�, �, #, � ∈ 8L merupakan
Ring terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian matriks.
Selanjutnya, misal ' = IJ� 0� 0K |�, � ∈ 8L
a. Buktikan bahwa S adalah subring dari
H1×1 b. Buktikan bahwa S adalah ideal kiri dari
H1×1
73
4. Z adalah suatu Ring terhadap operasi-operasi
penjumlahan dan perkalian bilangan bulat.
Buktikan bahwa d = 4�}|} ∈ 85 adalah ideal utama dari Z!
5. 8&1 merupakan Ring terhadap operasi-operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat
modulo 12. Tentukan semua ideal dalam 8&1 kemudian pilih ideal maksimalnya I dan
temukan 8&1 d⁄
6. 8� merupakan Ring terhadap operasi-operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat
modulo 6. Tentukan semua ideal dalam 8� kemudian pilih ideal maksimalnya I dan
temukan 8� d⁄
7. 8l merupakan Ring terhadap operasi-operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat
modulo 7. Tentukan semua ideal dalam 8l kemudian pilih salah satu ideal I dalam 8l dan temukan 8l d⁄
8. 8� merupakan Ring terhadap operasi-operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat
modulo 9. Tentukan semua ideal dalam 8� kemudian pilih salah satu ideal I dalam 8� dan temukan 8� d⁄
74
2.3. PENUTUP
2.3.1. Tes Formatif
1. Temukan semua subring dari 8&& 2. 8&D merupakan Ring terhadap operasi-operasi
penjumlahan dan perkalian bilangan bulat
modulo 15. Tentukan semua ideal dalam 8&D kemudian pilih ideal maksimalnya I dan
temukan 8&D d⁄
9. 8&� merupakan Ring terhadap operasi-operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat
modulo 18. Tentukan semua ideal dalam 8&� kemudian pilih salah satu ideal I dalam 8&� dan temukan 8&� d⁄
3. 28 adalah Ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat. 88 adalah ideal dari 28. Temukan Ring faktor 28 88⁄ .
Selanjutnya apakah 28 88⁄ dan 8; adalah Ring yang Isomorfik?
4. Temukan subring dari ring 8 + 8 5. Tentukan pernyataan berikut benar atau salah:
a. p adalah ideal dari Ring R b. Setiap ideal dari ring adalah subring
dari ring tersebut
c. Setiap subring dari sebuah ring
merupakan ideal dari ring itu
d. Setiap ring faktor dari ring komutatif
adalah komutatif juga
e. Ring 8 48⁄ dan 8; adalah isomorfik
75
f. Konsep ideal pada Ring adalah sama
dengan konsep subgrup normal pada
grup
g. 8; adalah ideal dari 48 h. 8 adalah ideal dalam Q
6. Tunjukkan bahwa H1�81 terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks adalah
suatu Ring Simpel!
7. Tunjukkan bahwa N = IJ� �0 0K | �, � ∈ .L
adalah ideal kanan tetapi bukan ideal kiri dari
H1�. ! 8. Jika setiap ideal dalam ring R adalah ideal
utam, maka Ring R tersebut disebut Ring ideal
utama. Buktikan bahwa Z adalah Ring ideal
utama!
9. Diketahui � ��� � masing-masing adalah
ideal dari Ring R dan � + � = 4� + k|� ∈� ��� k ∈ �5. Buktikan bahwa � + � merupakan ideal dari Ring R pula!
76
2.3.2. Kunci Jawaban Soal Latihan
1. Misal R adalah suatu Ring dengan elemen satuan.
Kemudian S adalah subring dari Ring R, apakah S
merupakan suatu Ring dengan elemen satuan pula?
Jawab.
S belum tentu merupakan Ring dengan elemen
satuan. Hal ini dapat ditunjukkan dengan contoh
sebagai berikut:
Z adalah Ring dengan elemen satuan yaitu 1, 2Z
adlah Subring dari Ring Z, tetapi 2Z tidak memiliki
elemen satuan.
2. Jika H ��� � adalah subring dari ring R, maka buktikan bahwa H ∩ � adalah subring dari R pula! Jawab.
Ambil sembarang �, � ∈ H ∩ � maka diperoleh: �, � ∈ H ��� �, � ∈ �
Karena M suatu subring, maka � − � ∈ H dan
�. � ∈ H............................................................(1)
Selanjutnya, karena M juga suatu subring, maka
� − � ∈ � dan �. � ∈ �.....................................(2) Dari persamaan (1) dan (2) diatas, dapat kita
peroleh:
� − � ∈ H ��� � − � ∈ � maka � − � ∈ H ∩ � �. � ∈ H dan �. � ∈ �, maka �. � ∈ H ∩ � Selanjutnya, karena M subring dari R, maka H ⊂ . karena N subring dari R, maka � ⊂ .
77
sehingga dapat kita simpulkan bahwa H ∩ � adalah subring dari R pula.
3. H1×1 = IJ� �# �K |�, �, #, � ∈ 8L merupakan Ring
terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
matriks. Selanjutnya, misal ' = IJ� 0� 0K |�, � ∈ 8L
a. Buktikan bahwa S adalah subring dari H1×1 Jawab.
Ambil sembarang M, N ∈ ', misal: M = J� 0
� 0K dan N = J# 0� 0K,
dengan �, �, #, � ∈ 8 M, N ∈ ', 3��� M − N ∈ '
J� 0� 0K − J# 0
� 0K = J� − # 0� − � 0K ∈ '
Dengan �� − # ��� �� − � ∈ 8 Dan
M, N ∈ ', 3��� M × N ∈ ' J� 0� 0K × J# 0
� 0K = J�# 0�# 0K ∈ '
Dengan �#, �# ∈ 8 Terbukti S adalah subring dari H1×1
b. Buktikan bahwa S adalah ideal kiri dari H1×1 Ambil sembarang
J � �3 �K ∈ H1×1 dan J� 0
� 0K ∈ ' Maka S ideal kiri dari H1×1 jika:
78
J � �3 �K × J� 0
� 0K = J �� + �� 03� + �� 0K ∈ '
Terbukti S adalah ideal kiri dari H1×1 4. Z adalah suatu Ring terhadap operasi-operasi
penjumlahan dan perkalian bilangan bulat.
Buktikan bahwa d = 4�}|} ∈ 85 adalah ideal
utama dari Z!
Jawab.
Ambil �, � ∈ d, maka � = �} dan � = �� dengan }, � ∈ 8 � − � = �} − �� = ��} − � ∈ d, karena } − � ∈ 8 Sehingga � − � ∈ d untuk ∀�, � ∈ d Selanjutnya,
Ambil � ∈ d, 3��� � = �} , ambil ∈ 8 Maka:
�. = �}. = ��}. ∈ d
Karena }. ∈ 8 Jadi �. ∈ d untuk � ∈ d dan ∈ 8 Terbukti bahwa d adalah suatu ideal dalam Z, dan d adalah suatu ideal yang dihasilkan oleh suatu
elemen di Z, sehingga d adalah suatu ideal utama dalam Z.
5. 8&1 merupakan Ring terhadap operasi-operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo
12. Tentukan semua ideal dalam 8&1 kemudian pilih ideal maksimalnya I dan temukan 8&1 d⁄
79
Jawab.
Ideal dari 8&1 adalah ideal utama, yang dapat dibangun dari elemen 8&1
8&1 = 40,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,115 d& = ⟨0⟩ = 405
d1 = ⟨1⟩ = ⟨5⟩ = ⟨7⟩ = ⟨11⟩ = 8&1 d: = ⟨2⟩ = ⟨10⟩ = 42,4,6,8,10,05 = 40,2,4,6,8,105
d; = ⟨3⟩ = ⟨9⟩ = 43,6,9,05 = 40,3,6,95 dD = ⟨4⟩ = ⟨8⟩ = 44,8,05 = 40,4,85
d� = ⟨6⟩ = 40,65 Terdapat 6 ideal dari 8&1. Selanjutnya, ideal maksimal dari 8&1 adalah d:
8&1 d:⁄ = 4d:, d: + 15
6. 8� merupakan Ring terhadap operasi-operasi
penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo
6. Tentukan semua ideal dalam 8� kemudian pilih ideal maksimalnya I dan temukan 8� d⁄
Jawab.
Ideal dari 8� adalah ideal utama, yang dapat dibangun dari elemen 8�
8� = 40,1,2,3,4,55 d& = ⟨0⟩ = 405
d1 = ⟨1⟩ = ⟨5⟩ = 8� d: = ⟨2⟩ = ⟨4⟩ = 42,4,05 = 40,2,45
d; = ⟨3⟩ = 40,35 Terdapat 4 ideal dari 8�.
80
Selanjutnya, ideal maksimal dari 8&1 adalah d: 8� d:⁄ = 4d:, d: + 1, d: + 25
7. 8l merupakan Ring terhadap operasi-operasi
penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo
7. Tentukan semua ideal dalam 8l kemudian pilih salah satu ideal I dalam 8l dan temukan 8l d⁄
Jawab.
8l tidak memiliki ideal sejati Ideal dari 8l adalah d = 405 ��� d = 8l
8. 8� merupakan Ring terhadap operasi-operasi
penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo
9. Tentukan semua ideal dalam 8� kemudian pilih salah satu ideal I dalam 8� dan temukan 8� d⁄
Jawab.
Ideal dari 8� adalah ideal utama, yang dapat dibangun dari elemen 8�
8� = 40,1,2,3,4,5,6,7,85 d& = ⟨0⟩ = 405
d1 = ⟨1⟩ = ⟨2⟩ = ⟨4⟩ = ⟨5⟩ = ⟨7⟩ = ⟨8⟩ = 8� d: = ⟨3⟩ = ⟨6⟩ = 40,3,65
Terdapat 3 ideal utama dari 8�. Misal dipilih d:, maka diperoleh: 8� d: = 4d:, d: + 1, d: + 25⁄
81
2.3.3. Umpan Balik dan tindak lanjut
Cocokkanlah jawaban anda dengan kunci jawaban soal
latihan yang terdapat pada bagian akhir bab 2 ini
kemudian hitunglah banyaknya jawaban anda yang
benar. Kemudian hitunglah tingkat penguasaan anda
dengan menggunakan rumus berikut:
������� ��������= ��������� ������� ����
��������� ���� × 100%
Setelah mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap
materi pada bab 2 ini, lanjutkan dengan mengerjakan tes
formatif kemudian konsultasikan dengan dosen anda.
Arti tingkat penguasaan yang anda capai:
90% - 100% : Baik sekali
80% - 89% : Baik
70% - 79% : Sedang
≤ 69% : Kurang
Catatan: jika anda mencapai tingkat penguasaan ≥ 80%, maka anda dapat melanjutkan ke bab berikutnya. Tetapi
jika nilai anda dibawah 80%, maka sebaiknya anda
mengulangi bab 2 ini terutama bagian yang belum anda
kuasai.
82
BAB 3BAB 3BAB 3BAB 3 DAERAH INTEGRAL DAN FIELDDAERAH INTEGRAL DAN FIELDDAERAH INTEGRAL DAN FIELDDAERAH INTEGRAL DAN FIELD
3.1. PENDAHULUAN
A. Deskripsi singkat isi BAB 3
Bab 3 ini membahas tentang Daerah integral
dan Field.
B. Relevansi terhadap pengetahuan mahasiswa
Topik yang dipelajari pada Bab 3 ini sangat
relevan dengan pengetahuan mahasiswa.
materi-materi yang diberikan kepada
mahasiswa telah dirancang sedmikian rupa,
sehingga anatar yang satu dengan yang lain
saling berkaitan. Pada dua bab sebelumnya,
mahasiswa telah mempelajari konsep Ring,
karakteriktik ring, sub ring ideal dan ring
faktor., yang semuanya terus digunakan dalam
materi di Bab 3 ini. Sehingga mahasiswa dapat
menguasai materi Bab 3 ini dengan baik.
C. Capaian Pembelajaran Mata Kuliah
Capaian pembelajaran Mata kuliah ini adalah
menganalisis struktur sebuah Ring serta
mengaplikasikan dalam pemecahan masalah secara
tepat dan konsisten, tetapi capaian pembelajaran
yang khusus ingin dicapai setalah mempelajari
bab 3 ini adalah mahasiswa mampu
menganalisis dan menyelesaikan permasalahan
terkait daerah integral dan Field.
83
3.2. PENYAJIAN
3.2.1. Daerah Integral
Definisi 3.1.
Daerah integral adalah suatu Ring komutatif
dengan elemen satuan yang tidak memiliki
pembagi nol.
Dalam hal ini, perlu kita ingat kembali konsep
terkait pembagi nol. Misalkan R suatu ring dengan
elemen nol nya adalah e, suatu elemen dalam R
misal �, dengan � ≠ , maka � ini disebut elemen pembagi nol apabila ada bilangan �, dengan � ≠ , tetapi �. � = , atau �. � = . Selanjutnya mari kita analisis, aksioma-aksioma
yang harus dipenuhi untuk suatu daerah integral.
Misal D suatu Ring, maka D adalah daerah integral
apabila memenuhi aksioma-aksioma berikut:
� D merupakan Ring komutatif
- D merupakan grup abelian terhadap
operasi pertama
- D tertutup terhadap operasi kedua
- D memenuhi sifat asosiatif terhadap
operasi kedua
- D memenuhi sifat distributif operasi kedua
terhadap operasi pertama
- D komutatif terhadap operasi kedua
� D merupakan Ring satuan, yaitu D memiliki
elemen satuan pada operasi kedua
� D tidak memuat elemen pembagi nol
84
Contoh 3.1
Z bersama-sama dengan operasi penjumlahan dan
perkalian adalah suatu Ring komutatif, Z juga
memiliki elemen satuan terhadap operasi perkalian
yaitu 1, karena ∀� ∈ 8, � × 1 = �, selanjutnya Z tidak memiliki elemen pembagi nol. ∀�, � ∈ 8, � ×�, 3��� � = 0 ���� � = 0 Contoh 3.2 � = * + A√17| , A ∈ 82 terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian adalah daerah integral.
Hal ini dapat kita selidiki sebagai berikut:
- D terhadap operasi penjumlahan merupakan
grup abelian
a. ∀ h + A√17i��� h3 + �√17i ∈�, 3��� h + A√17i + h3 + �√17i ∈ �
h + A√17i + h3 + �√17i= � + 3 + �A + � √17
b. ∀ h + A√17i, h3 + �√17i��� h� +�√17 ∈ � ������ �h + A√17i + h3 + �√17i� + h� + �√17i
= h + A√17i+ �h3 + �√17i+ h� + �√17i�
85
�h + A√17i + h3 + �√17i� + h� + �√17i= � + 3 + �A + � √17+ h� + �√17i
= � + 3 + � + �A + � + � √17 h + A√17i + �h3 + �√17i + h� + �√17i�
= h + A√17i + �3 + � + �� + � √17
= � + 3 + � + �A + � + � √17 Terbukti berlaku sifat asosiatif
c. ∀ h + A√17i, ∃0 ∈� ��3����� ℎ����� h + A√17i + 0 =0 + h + A√17i = h + A√17i Sehingga D memiliki elemen identitas
terhadap operasi penjumlahan yaitu nol
d. ∀ h + A√17i, ∃∀ h + A√17i%&
���� 33��ℎ� h + A√17i+ h + A√17i%& = 0
Sehingga h + A√17i%& = − Rh + A√17iS e. ∀ h + A√17i ��� h3 + �√17i ∈ �
berlaku komutatif, yaitu h + A√17i +h3 + �√17i = h3 + �√17i + h + A√17i
h + A√17i + h3 + �√17i= � + 3 + �� + A √17
86
= �3 + + �A + � √17 = h3 + �√17i + h + A√17i
- D tertutup terhadap operasi perkalian
∀ h + A√17i ��� h3 + �√17i∈ � ������
h + A√17i × h3 + �√17i ∈ � h + A√17i × h3 + �√17i
= 3 + �� + A3 √17+ 17A�
= �3 + 17A� + �� + A3 √17 - D bersifat asosiatif pada operasi perkalian
∀ h + A√17i, h3 + �√17i��� h� + �√17i∈ � ������
h + A√17i × �h3 + �√17i × h� + �√17i�= �h + A√17i× h3 + �√17i�× h� + �√17i
h + A√17i × �h3 + �√17i × h� + �√17i�= h + A√17i× ��3� + 17�� + �3� + �� √17�
= �3� + 17�� + 17A�3� + �� + �A�3� + 17�� + �3� + �� √17
87
= �3� + 17�� + 173�A + 17A�� + �A3� + 17A�� + 3�+ �� √17
Selanjutnya untuk
�h + A√17i × h3 + �√17i� × h� + �√17i= ��3 + 17A� + �A3 + � √17�× h� + �√17i
= �3� + 17A�� + 17A3� + 17�� + �3� + 17A�� + A3�+ �� √17
Terbukti berlaku
h + A√17i × �h3 + �√17i × h� + �√17i�
= �h + A√17i× h3 + �√17i�× h� + �√17i
- Berlaku sifat distributif operasi perkalian
terhadap operasi penjumlahan pada D
Karena � ∈ . dengan R himpunan bilangan Real, dimana pada R berlaku sifat distributif
operasi perkalian terhadap penjumlahan,
maka pada D juga berlaku demikian.
- D berlaku sifat komutatif perkalian
88
∀ h + A√17i���h3 + �√17i ∈ � berlaku sifat komutatif, yiatu:
h + A√17i × h3 + �√17i= h3 + �√17i× h + A√17i
h + A√17i × h3 + �√17i= �3 + 17A� + �� + A3 √17
= �3 + 17�A + �� + 3A √17 = h3 + �√17i × h + A√17i
- D memiliki elemen satuan pada operasi
perkalian yaitu 1
- D tidak memiliki elemen pembagi nol
∄h + A√17i ���h3 + �√17i∈ � ��3���h + A√17i ≠ 0 ���h3 + �√17i ≠ 0
���� h + A√17i × h3 + �√17i = 0 Contoh 3.3
Diketahui ' = 4�, �, #, �, , 9, �, ℎ5 dengan
operasi penjumlahan dan perkalian yang
didefinisikan sebagai berikut:
+ � � # � 9 � ℎ
� � � # � 9 � ℎ
� � � � # 9 ℎ �
# # � � � � ℎ 9
89
� � # � � ℎ � 9
9 � ℎ � � # �
9 9 ℎ � � � � #
� � ℎ 9 # � � �
ℎ ℎ � 9 � # � �
Operasi perkalian pada S didefinisikan sebagai
berikut:
× � � # � 9 � ℎ
� � � � � � � � �
� � � # � 9 � ℎ
# � # ℎ 9 � � �
� � � 9 � # � ℎ
� � # � ℎ 9 �
9 � 9 � ℎ # � �
� � � � ℎ 9 � #
ℎ � ℎ � � � # 9
Berdasarkan tabel tersebut, dapat kita amati
bahwa S terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian merupakan Ring
- S terhadap operasi penjumlahan membentuk
struktur Grup abelian
- S tertutup terhadap operasi perkalian, hal ini
dapat dilihat pada hasil operasi perkalian
pada tabel
- S berlaku sifat asosiatif terhadap operasi
perkalian
90
- Pada S berlaku sifat distributif operasi
perkalian terhadap operasi perkalian, hal ini
juga dapat diamati pada tabel.
Selanjutnya akan kita selidiki apakah S
merupakan Daerah Integral.
- Perhatikan tabel hasil operasi perkalian
diatas, setiap elemen pada tabel simetris
terhadap diagonal utama, hal ini
menunjukkan bahwaS bersifat komutatif
terhadap perkalian.
- Dapat kita temukan elemen satuan terhadap
operasi perkalian pada S, yaitu elemen �, karena ∀} ∈ ', � × } = } × � = }
- Pada tabel hasil operasi perkalian, juga dapat
kita amati bahwa S tidak memiliki elemen
pembagi nol, dimana elemen nol pada S
adalah �, dalam tabel tidak kita temukan } × � = �, ����� } ≠ � ��� � ≠ �
Sehingga dapat kita simpulkan bahwa S adalah
Daerah integral.
Contoh 3.4
8� = 40,1,2,3,4,55 terhadap operasi penjumlahan dan operasi perkalian merupakan ring komutatif
dengan elemen satuan, tetapi 8� ini bukanlah daerah integral, karena 8� memiliki elemen pembagi nol.
∃2,3 ∈ 8�, 2 ≠ 0 ��� 3 ≠ 0, ���� 2 × 3 = 0
91
Teorema 3.1
Apabila D suatu daerah integral, maka pada D
berlaku sifat kanselasi terhadap operasi perkalian,
yiatu
∀�, �, # ∈�, ����� # ����� �3� ��� ��� �
(i). Apabila �. # = �. #, 3��� � = � (ii). Apabila #. � = #. �, 3��� � = �
Bukti:
(i). �. # = �. # �. # − �. # = �� − � . # = sifat distributif �� − � = karena diketahui
# ����� �3� ��� ��� �, # ≠ Sehingga � = �
(ii). #. � = #. � #. � − #. � = #�� − � = sifat distributif �� − � = , karena diketahui bahwa # ����� �3� ��� ��� �,
# ≠ Sehingga � = �
Teorema 3.2
Misalkan D adalah suatu daerah integral, dan I
suatu ideal dalam D, maka � d⁄ adalah suatu daerah integral jika dan hanya jika I suatu
idealprima dalam D.
92
Bukti:
Kita tahu bahwa kemungkinan I adalah d = � atau d ⊂ �. Untuk kemungkinan pertama d = � maka sudah sangat jelas.
Maka disini kita akan menganalisis untuk d ⊂ � → akan dibuktika jika � d⁄ daerah integral maka I
suatu idealprima dalam D
Diketahui � d⁄ suatu daerah integral, maka � d⁄
merupakan ring komutatif dan ring satuan serta
tidak memuat pembagi nol. S
Misal diambil sembarang elemen dari � d⁄ , misal
�� + d ��� �� + d , dan untuk ∀�� ∈ �, maka pastilah � ∈ d atau � ∈ d, sehingga I suatu
idealprima dalam D.
← akan dibuktikan bahwa jika I suatu idealprima
dalam D maka � d⁄ daerah integral
Ambil sembarang elemen D, misal �, � ∈�, ����� � ≠ 0, ��� � ≠ 0, kita ketahui bahwa �, � ∈ �, �. � ∈ d, karena d suatu ideal dalam D. karena I ideal prima dalam D, maka �. � ∈ d, maka pastilah � ∈ d atau � ∈ d. Selanjutnya untuk � d⁄ :
�� + d . �� + d = �� + � . d Hal ini berarti �� + d = d ���� �� + d artinya � d⁄ tidak memuat pembagi nol. Sehingga � d⁄
suatu daerah integral.
93
3.2.2. Field
Defnisi 3.2
Misal F adalah Ring komutatif dengan elemen
satuan, maka F adalah Field jika setiap elemen
yang tidak nol memiliki invers.
Contoh 3.5 O = 4� + ��|�, � ∈ .5 terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks
adalah suatu Field. Karena setiap elemen di O yang tidak nol mempunyai invers, yaitu ∀ �� +�� ∈ O ada �� + �� %& sehingga �� + �� × �� + �� %& = 1 yaitu �
����� + %������ �
Contoh 3.6.
8l = 40,1,2,3,4,5,65 terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian merupakan Ring
komutatif dengan elemen satuan. Selanjutnya
setiap elemen di 8l selain nol mempunyai invers. Invers dari setiap elemen elain nol di 8l, dapat diamati pada tabel berikut:
× 0 1 2 3 4 5 6
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6
2 0 2 4 6 1 3 5
3 0 3 6 2 5 1 4
4 0 4 1 5 2 6 3
5 0 5 3 1 6 4 2
6 0 6 5 4 3 2 1
94
Definisi 3.3
Setiap elemen tak nol di F yang memiliki invers
perkalian disebut Unit. Misalkan # adalah unit pada F, maka untuk �, � ∈ �, sedemikian hingga � = #. �, maka � disebut kawan dari � Contoh 3.7
Dalam 8l yang merupakan unit adalah
1,2,3,4,5,dan 6
Contoh 3.8
Himpunan bilangan bulat terhadap operasi
penjumlahan dan operasi perkalian merupakan
daerah integral, tetapi bukan Field. Elemen di z
yang merupakan unit adalah 1 dan -1.
Contoh 3.9.
Pada contoh sebelumnya, bahwa � =* + A√172 terhadap operasi penjumlahan dan perkalian adalah Daerah Integral. Selanjutnya kita
akan mecari unit-unit dalam D dan elemen dari D
yang merupakan kawan dari 2 − √17 Misalkan + A√17 adalah unit pada D, maka ada 3 + �√17 ∈ �, sedemikian hingga h +A√17i × h3 + �√17i = 1 , artinya h3 +�√17 adalah invers dari h + A√17i etrhadap operasi perkalian.
Selanjutnya kita akan menentukan invers dari
h + A√17i dalam D
95
h + A√17i × h3 + �√17i = 1 + 0√17 �3 + 17A� + �� + A3 √17 = 1 + 0√17
Kita peroleh:
3 + 17A� = 1
Dan
� + A3 = 0 Dengan menyelesaikan sistem persamaan ini,
maka diperoleh:
3 = 1 − 17A1
Dan
� = −A1 − 17A1
Karena 3 ��� � adalah bilangan bulat, maka 1 − 17A1 = ±1, dengan , A bilangan bulat. Sehingga + A√17 adalah unitdalam D apabila 1 − 17A1 = ±1 Ada beberapa kemungkinan yang dapat kita
peroleh:
- Jika = 1, ��� A = 0, 3��� 1 adalah unit dari D
- Jika = −1, ��� A = 0, 3��� −1 adalah unit dari D
- Jika = 4, ��� A = 1, 3��� 4 + √17 adalah unit dari D
96
- Jika = −4, ��� A = 1, 3��� − 4 +√17 adalah unit dari D
- Dan seteusnya
Selanjutnya kita mencari kawan dari 2 − √17 h2 − √17i × h4 + √17i = −9 − 2√17
Maka dalam hal ini:
−9 − 2√17 adalah kawan dari h2 − √17i Teorema 3.3
Setiap daerah integral yang berhingga adalah
Field
Teorema 3.4
Diketahui F adalah Field, persamaan �} + � = 0 memiliki tepat satu penyelesaian dalam F, untuk
�, � ∈ � ��� � ≠ 0. Bukti:
karena telah diketahui bahwa F adalah Field, dan
� ≠ 0, maka pastilah ada �%& ∈ �, sehingga dapat diperoleh sebagai berikut:
�} + � = 0 �} = −� (tambahkan kedua ruas dengan −� } = �%&�−� (operasikan kedua ruas dengan �%& } = −�%&� Contoh 3.10
Elemen nilpoten pada suatu daerah integral
adalah tunggal yaitu elemen netral pada operasi
penjumlahan.
97
Elemen nilpoten adalah suatu elemen D, � ∈�, �ℎ����� �? = 0 Contoh 3.11
Elemen idempotent pada suatu daerah integral
adalah nol dan e.
Misal � adalah elemen idempotent, maka untuk � ≠ 0, �1 = �, karena � = � , maka � = �1,
� − �1 = 0 �� − � = 0 sifat distributif � = 0 ���� − � = 0, karena daerah integral tidak memiliki elemen pembagi nol, maka dapat
kita peroleh � =
Teorema Fermat
Jika � ∈ 8, dan adalah bilangan primayang tidak membagi �, maka membagi � %& −1, sehingga � %& ≡ 1�3�� untuk � ≢0�3�� Akibatnya:
Jika � ∈ 8, maka � ≡ ��3�� untuk setiap bilangan prima Contoh 3.12
Hitunglah sisa pembagian dari 8&�: oleh 13 Dengan menggunakan Teorema Fermat, kita
peroleh:
8&�: ≡ �8&1 ��8l ≡ �1� �8l ≡ �8l
98
≡ �−5 l ≡ �25 :�−5 ≡ �−1 :�−5 ≡ 5 �3�� 13
3.2.3. Latihan
1. Tentukan elemen nilpotent dari daerah integral
R (himpunan bilangan Real?
2. Tentukan elemen idempotent dari daerah
integral R (himpunan bilangan Real?
3. Tentukan elemen nilpotent dan elemen
idempotent dari 8&� 4. Tentukan semua unit dan elemen pembagi nol
dari:
a. 8� b. H1×1�.
5. Buktikan bahwa ring � = 40,1,2,3, … , − 15 terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
modulo adalah suatu daerah integral jika dan hanya jika adalah bilangan prima.
6. � = 4� + ��|�, � ∈ 85. Tunjukkan bahwa G
terhadap operasi-operasi penjumlahan dan
perkalian bilangan kompleks adalah daerah
integral, kemudian tentukan unit-unit dalam G.
7. Tentukan apakah himpunan berikut merupakan
Field, berikan alasan anda
a. 8� terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian
b. 8D terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian
99
8. Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut:
a. 3} = 2 dalam 8l b. 3} = 2 dalam 81: c. }1 + 2} + 2 = 0 dalam 8�
3.3. PENUTUP
3.3.1. Tes Formatif
1. Tentukan elemen nilpotent dan elemen idempotent
dari 8� 2. Tentukan semua unit dan elemen pembagi nol dari
8&� 3. � = *� + ��√3|�, � ∈ 82. Tunjukkan bahwa T
terhadap operasi-operasi penjumlahan dan
perkalian bilangan kompleks adalah daerah
integral, kemudian tentukan unit-unit dalam T.
4. Tentukan apakah himpunan berikut merupakan
Field, berikan alasan anda: 8&D terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
5. Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut:
a. }: − 2}1 − 3} = 0 dalam 8&1 b. }1 + 2} + 4 = 0 dalam 8�
6. Tentukan apakah pernyataan berikut benar atau
salah, berikan argumen anda:
a. �8 mempunyai elemen pembagi nol apabila � bukan prima
b. Setiap Field adalah daerah integral
c. Setiap daerah integral adalah Field
100
d. Karakteristik dari �8 adalah � 7. Hukum kanselasi dipenuhi oleh setiap Ring yang
isomorfik dengan daerah integral
8. Dengan menggunakan Teorema Fermat, hitunglah
sisa pembagian dari 21��� oleh 73
3.3.2. Kunci Jawaban Soal Latihan
1. Elemen nilpotent dari daerah integral R (himpunan
bilangan Real.
Elemen nilpotent adalah � ∈ ., �? = 0, sehingga elemen nilpotent dari R adalah e sendiri, yaitu nol.
2. Elemen idempotent dari daerah integral R
(himpunan bilangan Real
Elemen idempotent adalah � ∈ ., �1 = �, sehingga elemen idempotent dari R adalah 1.
3. Elemen nilpotent dan elemen idempotent dari 8&� Elemen nilpotent dari 8&� adalah 1, 3,7 dan 9 Elemen idempotent dari 8&� adalah 0 dan 1
4. unit dan elemen pembagi nol dari:
a. 8� Unit dari 8� adalah 1 dan 5 Elemen pembagi nol dalam 8� adalah 2,3 dan 4
b. H1×1�. Unit dari H1×1�. adalah ∀M ∈ H1×1�. , dengan M = J� �
# �K , �� ≠ �#, atau dengan
101
kata lain A matriks non singular, maka A
adalah Unit.
Elemen pembagi nol dari H1×1�. : M, N ∈ H, M ≠ £ dan N ≠ £, tetapi
M × N = £ 5. Akan dibuktikan bahwa ring � = 40,1,2,3, … , −
15 terhadap operasi penjumlahan dan perkalian modulo adalah suatu daerah integral jika dan hanya jika adalah bilangan prima.
- Akan dibuktikan bahwa D suatu daerah
integral
Ambil sembarang �, � ∈ �, sedemikian hingga �. � ≡ 0 �3�� , maka � ≡ 0 �3�� atau � ≡ 0 �3��
{�| = {0| ���� {�| = {0| Hal ini menunjukkan bahwa D tidak
memuat pembagi nol.
Telah jelas juga bahwa D adalah ring
komuattif dengan elemen satuan yaitu 1,
sehingga D adalah daerah integral
- Akan dibuktikan bahwa p suatu bilangan
prima
Misalkan p bukan bilangan prima, maka
= 3. � dengan m dan n adalah bilangan bulat dan 1 < 3 < dan 1 < � < ≡ 0 �3�� , maka 3. � ≡ 0 dengan
{3| = {0| ���� {�| = {0|
102
Hal ini menunjukkan bahwa D memuat
pembagi nol, sehingga D bukan daerah
integral.
Dari pengandaian, bahwa jika p bukan
bilangan prima maka D bukan daerah
integral.
Maka pengandaian ini salah, seharusnya p
Adalah bilangan prima.
Terbukti bahwa D suatu daerah integral jika
dan hanya jika p suatu bilangan prima.
6. � = 4� + ��|�, � ∈ 85. Tunjukkan bahwa G
terhadap operasi-operasi penjumlahan dan
perkalian bilangan kompleks adalah daerah
integral, kemudian tentukan unit-unit dalam G.
Jawab.
Pada bagian sebelumnya telah kita buktikan bahwa
� = 4� + ��|�, � ∈ 85 adalah suatu Ring. Selanjutnya akan kita tunjukkan bahwa � =4� + ��|�, � ∈ 85 suatu daerah integral. - D bersifat komutatif terhadap operasi
perkalian, yaitu ∀�� + �� , �# + �� ∈ � �� + �� × �# + �� = �# + �� × �� + ��
- D memiliki elemen satuan terhadap operasi
perkalian yaitu 1
- Selanjutnya akan kita tunjukkan bahwa D tidak
memiliki elemen pembagi nol
Misal ¤, ¥ ∈ �, ����� ¤ = � + ��, dan
¥ = # + ��.
103
Misal ¤. ¥ = 0 �� + �� × �# + �� = 0
�# − �� + ��# + �� � = 0 Diperoleh:
�# − �� = 0 dan �# + �� = 0 Dari sistem persamaan ini diperoleh:
# = 0 ��� � = 0 atau � = 0 ��� � = 0 Sehingga ¤. ¥ = 0 jika ¤ = 0 atau ¥ = 0 Hal ini menunjukkan bahwa D tidak
mempunyai elemen pembagi nol, sehingga D
adalah daerah integral
- Selanjutnya menentukan unit dalam D
Ambil sembarang elemen dalam D, misal
¤ ∈ �, ����� ¤ = � + �� Misal ¤ adalah unit dalam D, maka ada ¥ ∈ �, sedemikian hingga ¤. ¥ = 1 Misal ¥ = � + A� , , A ∈ 8
¤. ¥ = 1 �� + �� � + A� = 1
� − �A + �� + �A � = 1 Diperoleh:
� − �A = 1 � + �A = 0
Penyelesaian dari sistem ini adalah:
= �� + �1
A = −�� + �1
104
Dari penyelesaian tersebut, ��� A adalah bilangan-bilangan bulat, sehingga � + �1 = 1 Hal ini akan dipenuhi jika � = ±1 atau � = ±1 Maka dapat kita peroleh unit-unit dalam D,
yaitu ±1 dan ±�
7. Akan ditunjukkan himpunan berikut merupakan
Field
a. 8� terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian
8� bukan Field, karena 8� memiliki elemen pembagi nol yaitu ∃ 2, 4 ∈ 8�, 2 ≠ 0, 4 ≠ 0 tetapi 2 × 4 = 0, sehingga tidak setiap elemen selain nol di 8� memiliki invers terhadap operasi perkalian.
b. 8D terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian
8D adalah Field, karena 8D adalah Ring komutatif dengan elemen satuan yaitu 1.
Setiap elemen tak nol di 8D memiliki invers terhadap operasi perkalian.
1%& = 1 2%& = 3 3%& = 2 4%& = 4
105
8. Menentukan penyelesaian suatu sistem persamaan:
a. 3} = 2 dalam 8l Jawab.
3} = 2 } = 2
3 ≡ 3 �3�� 7
b. 3} = 2 dalam 81: 3} = 2
} = 23 ≡ 16 �3�� 23
c. }1 + 2} + 2 = 0 dalam 8� Tidak mempunyai penyelesaian dalam 8�
3.3.3. Umpan Balik dan tindak lanjut
Cocokkanlah jawaban anda dengan kunci jawaban soal
latihan yang terdapat pada bagian akhir bab 3 ini
kemudian hitunglah banyaknya jawaban anda yang
benar. Kemudian hitunglah tingkat penguasaan anda
dengan menggunakan rumus berikut:
������� ��������= ��������� ������� ����
��������� ���� × 100%
Setelah mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap
materi pada bab 3 ini, lanjutkan dengan mengerjakan tes
formatif kemudian konsultasikan dengan dosen anda.
106
Arti tingkat penguasaan yang anda capai:
90% - 100% : Baik sekali
80% - 89% : Baik
70% - 79% : Sedang
≤ 69% : Kurang
Catatan: jika anda mencapai tingkat penguasaan ≥ 80%, maka anda dapat melanjutkan ke bab berikutnya. Tetapi
jika nilai anda dibawah 80%, maka sebaiknya anda
mengulangi bab 3 ini terutama bagian yang belum anda
kuasai.
107
BAB 4BAB 4BAB 4BAB 4 HOMOMORFISME RINGHOMOMORFISME RINGHOMOMORFISME RINGHOMOMORFISME RING
4.1. PENDAHULUAN
A. Deskripsi singkat isi BAB 4
Bab 4 ini mempelajari tentang homomorfisme
Ring, pemetaan yang Epimorfisme,
Monomorfisme dan Isomorfisme, mementukan
image dan kernel, menganalisis dua himpunan
yang saling isomorfik.
B. Relevansi terhadap pengetahuan mahasiswa
Materi homomorfisme Ring ini sangat relevan
dengan pengetahuan mahasiswa. pada mata
kuliah Teori Grup mahasiswa telah menguasai
konsep homomorfisme grup, sehingga
mahasiswa akan dapat menguasai topik pada
bab 4 ini dengan baik.
C. Capaian Pembelajaran Mata Kuliah
Capaian pembelajaran yang direncanakan untuk
mata kuliah ini adalah mahasiswa mampu
menganalisis struktur sebuah Ring serta
mengaplikasikan dalam pemecahan masalah secara
tepat dan konsisten (C3, P4, A3). Tetapi capaian
pembelajaran yang secara khusus ingin dicapai pada
Bab 4 ini adalah mahasiswa mampu Menganalisis
homomorfisme pada ring. Dengan indikator capaian
adalah:
- Mahasiswa mampu menjelaskan definisi
homomorfisme
108
- Mahasiswa mampu membuktikan sebuah
pemetaan yang merupakan homomorfisme
- Mahasiswa mampu menentukan kernel dan
image dari pemetaan yang homomorfisme
- Mahasiswa mampu menganalisis dua buah
himpunan yang saling isomorfik
4.2. PENYAJIAN
4.2.1. Mengingat kembali konsep homomorfisme Grup
Mari mengingat kembali
Misal (�,∗) dan (6,∘) adalah grup, pemetaan/fungsi dari G ke H dikatakan mengawetkan operasi /
homomorfisme jika: 9(} ∗ �) = 9(}) ∘ 9(�) Misalkan (�,×) merupakan grup abelian. 9: � → � dengan 9(}) = }?. Akan ditunjukkan bahwa f suatu homomorfisme grup.
Bukti. 9(}�) = (}�)? = }?�? = 9(}) × 9(�)
4.2.2. Homomorfisme Ring
Definisi 4.1
Analog dengan konsep homomorfisme grup,
misalkan (.; +,×) ��� (.′;⊕,⊗) Masing-masing adalah Ring, dan pemetaan ¨: . → .′ adalah suatu homomorfisme jika
memenuhi: ∀�, � ∈ . berlaku: (i). ¨(� + �) = ¨(�) ⊕ ¨(�) (ii). ̈ (� × �) = ¨(�) ⊗ ¨(�)
109
Contoh 4.1
Misalkan . = 4�, �, #, �5 dan .′ = 4, A, �, �5 masing-masing adalah Ring. Operasi penjumlahan
dan perkalian pada R didefinisikan pada tabel
berikut:
+ � � # � � � � # � � � � � # # # � � � � � # � �
× � � # � � � � � � � � � # � # � # � � � � � � #
Operasi penjumlahan (⊕) dan perkalian (⊗) pada .′ didefinisikan pada tabel berikut: ⊕ A � � � � A A � � A � A � � � A � �
110
Operasi perkalian pada .′ didefiniskan sebagai berikut:
⨂ A � � � � A A A � � � � � � � � A � �
Pemetaan ¨: . → .′ didefiniskan oleh: ¨(�) = �, ¨(�) = A, ¨(#) = � ��� ¨(�) = - Dapat kita amati bahwa ¨ adalah
pemetaan yang injektif dan juga
pemetaan yang surjektif
- Selanjutnya akan kita selidiki apakah ¨ suatu homomorfisme dari . � .′ Perhatikan tabel diatas, dapat dengan
jelas kita lihat bahwa ∀�, � ∈ ., berlaku ¨(� + �) = ¨(�)⨁¨(�) ¨(� × �) = ¨(�)⨂¨(�)
- Sehingga ¨ adalah suatu
homomorfisme dari . � .′
Contoh 4.2
Z adalah Ring terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian. 28 adalah himpunan bilangan genap, terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat dan
111
operasi bintang yang didefinisikan dengan ∀�, � ∈ 28, � ∗ � = ��1 , dan (28; +,∗) Pemetaan ¨: 8 → 28, didefnisikan oleh ¨(}) =2}, ∀} ∈ 8. Akan kita tunjukkan bahwa ¨ adalah suatu homomorfisme dari 8 � 28 Ambil sembarang }, � ∈ 8, maka: ¨(} + �) = ¨(}) + ¨(�) = 2(} + �) = 2} + 2� = ¨(}) + ¨(�) ¨(} × �) = ¨(}) ∗ ¨(�) ¨(} × �) = 2}� ¨(}) ∗ ¨(�) = 2} ∗ 2�
= 1«.1¬1 = 2}� Terbukti ¨(} × �) = ¨(}) ∗ ¨(�) , sehingga ¨ adalah suatu homomorfisme
Contoh 4.3 O = 4� + ��|�, � ∈ .��5 adalah suatu Ring
terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
bilangan kompleks.
112
H = IJ � �−� �K , �, � ∈ .��L adalah Ring
terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
matriks.
Pemetaan ¨: O → H didefinisikan oleh:
¨�� + �� = J � �−� �K, ∀�, � ∈ �������� .��
Akan kita tunjukkan bahwa ¨ adalah suatu homomorfisme dari O ke H
Ambil sembarang }, � ∈ O, misal } =�� + �� ��� � = �# + �� Maka
¨�} + � = ¨�� + �� + # + �� = ¨�� + # + �� + � �
= J � + # � + �−� − � � + #K
Selanjutnya,
¨�} + ¨�� = ¨�� + �� + ¨�# + �� = J � �
−� �K + J # �−� #K
= J � + # � + �−� − � � + #K
Terbukti ¨�} + � = ¨�} + ¨�� Selanjutnya,
¨�} × � = ¨�} × ¨�� ¨�} × � = ¨h�� + �� × �# + �� i
= ¨��# − �� + ��� + �# � = J �# − �� �� + �#
−�� − �# �# − ��K
113
¨�} × ¨�� = ¨�� + �� × ¨�# + �� = J � �
−� �K × J # �−� #K
= J �# − �� �� + �#−�# − �� �# − ��K
Terbukti ¨�} × � = ¨�} × ¨�� Sehingga ¨ adalah suatu homomorfisme dari O ke H
Contoh 4.4
Himpunan bilangan Real dan himpunan matriks
berordo 2 × 2, yaitu R dan H1×1 adalah Ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.
Didefinikan sebuah pemetaan dari R ke H1×1,
dengan ¨�� = J� 00 �K, untuk ∀� ∈ .
Akan kita tunjukkan bahwa ¨ adalah suatu homomorfisme
Ambil sembarang �, � ∈ ., maka: ¨�� + � = ¨�� + ¨��
¨�� + � = J� + � 00 � + �K
¨�� + ¨�� = J� 00 �K + J� 0
0 �K =J� + � 0
0 � + �K Terbukti ¨�� + � = ¨�� + ¨�� Selanjutnya
¨�� × � = ¨�� × ¨��
114
¨�� × � = J�� 00 ��K
¨�� × ¨�� = J� 00 �K × J� 0
0 �K = J�� 00 ��K
Terbukti ¨�� × � = ¨�� × ¨�� Sehingga terbukti bahwa ¨ adalah suatu
homorfisme
Teorema 4.1
Misal ¨: . → .′ adalah suatu homomorfisme, maka berlaku:
(i). ¨� = ′, dengan adalah elemen
identitas pada R, dan ′ adalah elemen identitas pada .′
(ii). ̈ �−� = −¨�� , ∀� ∈ . (iii). ¨�. = 4¨�� |� ∈ .5 adalah subring
dari .′ (iv). Jika R komutatif, maka ¨�. =
4¨�� |� ∈ .5 juga komutatif (v). Jika R mempunyai elemen satuan � dan
¨�. = 4¨�� |� ∈ .5 = .′, maka .′ mempunyai elemen satuan yaitu ¨��
(vi). Jika R mempunyai elemen satuan � dan ¨�. = 4¨�� |� ∈ .5 = .′, dan � suatu unit, maka ¨�� adalah unit di .′ adan ¨�� %& = ¨��%&
115
4.2.3. Kernel dan Image dari Homomorfisme
Definisi 4.2
Misal ¨: . → .′ adalah suatu homomorfisme, kernel dari ¨, ditulis Ker ¨ = 4� ∈ .|¨�� = ′5 Hubungan antara homomorfisme ring dengan
Ker ¨ , digambarkan dalam gambar berikut:
Gambar 4.1 Hubungan antara homomorfisme ring
dengan Ker ¨ Selanjutnya images dari ¨adalah �3 �¨ = 4�′ ∈ .′|¨�� = �′, ����� � ∈ .5
Teorema 4.2
Jika ¨: . → .′ adalah suatu homomorfisme, maka Ker ¨ adalh ideal dari .
116
4.2.4. Monomorfisme Ring
Definisi 4.3
Misal ¨: . → .′ adalah sebuah homomorfisme maka ¨ dinamakan monomorfisme jika ¨ injektif Contoh 4.5
Fungsi 9 yang memetakan ¨: . → .′ dengan definisi ¨�} = }2
Fungsi 9 yang memetakan ¨: . → .′ dengan definisi ¨�} = }2
Kita akan menyelidiki apakah ¨ suatu monomorfisme Ambil sembarang �, � ∈ ., 3��� Karena ∃� ≠ �, ���� ¨�� = ¨�� Yaitu ¨�2 = 4 ��� ¨�−2 = 4 ∴ ¨ ����� 3���3��9��3 Contoh 4.6
Diketahui dua himpunan bilangan Real ., yaitu .∗ = 4} ∈ .|} ≠ 05 dan himpunan .� = 4} ∈ .|} >05 Diberikan suatu pemetaan ¨ yang memetakan .∗ ke .� yang didefinisikan sebagai berikut:
¨: .∗ → .+, ����� ¨�} = |}|, ∀} ∈ .∗
117
Kita akan selidiki apakah pemetaan tersebut
merupakan monomorfisme.
• ¨ suatu homomorfisme ¨(}. �) = ¨(}). ¨(�) = |}�| = |}|. |�| = ¨(}). ¨(�) • ¨ suatu pemetaan yang injektif
Jika ¨(}) = ¨(�) maka |}| = |�| Dapat kita ambil contoh: } = 2 3��� |}| = 2 � = −2 3��� |�| = 2 ∃} ≠ � ���� ¨(}) = 9(�) Jadi ¨ bukan suatu monomorfisme
Contoh 4.7
Sebuah fungsi ¨ yang memetakan 8; ke . dimana . = ⟨�⟩ Fungsi ¨ tersebut didefinisikan sebagai berikut: ¨: 84 → ., ����� ¨(}) = �}, } ∈ 8; Akan kita selidiki apakah ¨ adalah suatu
monomorfisme
• ¨ suatu homomorfisme
118
¨(}�) = ¨(})¨(�) = �«¬ = �«�¬ = ¨(})¨(�) • ¨ suatu pemetaan yang injektif ���� ¨(}) = ¨(�)3��� } = �
Dapat kita tunjukkan sebagai berikut: 8; = 40,1,2,35 ¨(0) = �0 = 1 ¨(1) = �1 = � ¨(2) = �2 = −1 ¨(3) = �3 = −� Terbukti bahwa ¨ suatu monomorfisme
4.2.5. Epimorfisme Ring
Definisi 4.4
Misal ¨: . → .′ adalah sebuah homomorfisme maka ¨ dinamakan epimorfisme jika ¨ sujektif Contoh 4.8
Sebuah fungsi ¨ yang memetakan 8; ke . dimana . = ⟨�⟩ Fungsi ¨ tersebut didefinisikan sebagai berikut: ¨ ∶ 84 → ., ����� ¨ (}) = �}, } ∈ 8;
119
• Telah ditunjukkan bahwa ¨ suatu
homomorfisme
• Akan kita tunjukkan bahwa ¨ suatu pemetaan yang surjektif
Ambil sembarang elemen di R, misal � ∈ ., maka � = �« , �ℎ����� } = logµ � Dengan jelas pula bahwa . = ⟨�⟩={1,i,-1,-i}
Terbukti bahwa ¨ suatu epimorfisme Contoh 4.9
Didefinisikan sebuah fungsi ¨ yang memetakan dua buah grup yaitu (., +,×)����� (.�, +,×). Fungsi ¨ ini didefinisikan sebagai berikut: ¨: . → .�, ����� ¨(�) = � Akan kita selidiki apakah fungsi tersebut suatu
epimorfisme
• ¨ suatu homomorfisme ¨(�& + �1) = ¨(�&)¨(�1) = (�¶���) = �¶�� = ¨(�&)¨(�1)
• ¨ suatu pemetaan yang surjektif
120
Ambil sembarang elemen di .�, 3���� � ∈ .� Maka
� = � diperoleh � = ln � Sehingga ¨(�) = � = (¸¹ �) = � Terbukti bahwa ¨ suatu epimorfisme
4.2.6. Isomorfisme Ring
Definisi 4.5
Apabila pemetaan ¨: . → .′ adalah pemetaan bijektif, maka ¨ suatu isomorfisme. Selanjutnya jika ¨: . → .′ suatu isomorfisme maka dapat dikatakan bahwa . isomorfik dengan .′ Contoh 4.10
Diketahui Ring (., +,×) isomorfis dengan Ring (.�,×, +), ������ ���9�������� ����� 3���� Dari . ke .�, dengan definisi sebagai berikut: ¨: . → .�, ����� ¨(�) = � , ∀� ∈ . Untuk membuktikan bahwa ¨ suatu isomorfisme, maka ¨ harus bijektif dan ¨ suatu homomorfisme • ¨ suatu pemetaan yang bijektif
Misal diberikan sembarang � ∈ .�, dan � ∈ ., maka � = �, �ℎ����� � = ln � Diperoleh: ¨(�) = � = (¸¹ �) = � Sehingga ¨ suatu pemetaan yang surjektif Selanjutnya untuk membuktikan ¨ adalah
pemetaan yang injektif:
121
Andaikan ¨(�&) = ¨(�1) Maka �¶ = �� �¶%�� = 1 �& − �1 = 0 �& = �1 Karena ¨(�&) = ¨(�1) → �& = �1 Maka ¨ adalah fungsi yang injektif / satu-satu Terbukti ¨ fungsi bijektif
• ¨ suatu homomorfisme ¨(� + �) = ¨(�). ¨(�) = (���) = �. � = ¨(�). ¨(�) Terbukti bahwa ¨ adalah suatu homomorfisme Jadi Ring (., +,×) isomorfis dengan Grup (.�,×, +)
4.2.7. Latihan
1. Tentukan apakah pemetaan ¨ berikut merupakan homomorfisme atau bukan:
a. ¨: 8 → 8, ����� ¨(�) = 2�, � ∈ 8 b. ¨: 8� → 8D, ����� ¨(}) = 3} c. ¨: . → ., ����� ¨(}) = }: d. ¨: . → ., ����� ¨(}) = «
2. Dari soal nomor 1, selidikilah manakah yang
termasuk Monomorfisme, epimorfisme atau
isomorfisme?
3. Pemetaan dari C ke C, yang didefinisikan oleh ¨: O → O, ����� ¨(� + ��) = � − ��
122
Buktikan apakah ¨ suatu homomorfisme 4. Diketahui himpunan matriks H = IJ� �0 #K |�, �, # ∈
8L adalah Ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.
Buktikan bahwa pemetaan ¨: H → 8, yang didefinikan oleh:
¨ RJ� 0� 0KS = �
Adalah suatu Epimorfisme
5. Dari soal no.4 tentukan ker ¨, kemudian tunjukkan isomorfisme dari H ker ¨⁄ �e 8
6. Tentukan semua homomorfisme dari � � �′, jika � ��� �′ adalah Fields
4.3. PENUTUP
4.3.1. Tes Formatif
1. Tentukan apakah pemetaan ¨ berikut merupakan homomorfisme atau bukan:
a. ¨: 8 → 8, ����� ¨�� = �;, � ∈ 8 b. ¨: 8D → 8�, ����� ¨�� = 2� c. ¨: .∗ → .∗, ����� ¨�} = }1 d. ¨: . → ., ����� ¨�} = log }
2. Buktikan bahwa Q tidak isomorfis dengan R
3. Tentukan semua homomorfisme dari 8� � 8; 4. Tentukan semua homomorfisme dari 8� � 8&1 5. Tentukan semua homomorfisme dari
81� � 8&�
123
6. Jika ¨ adalah suatu epimorfisme dari Ring yang berorder 8 ke Ring yang berorder 4, tentukan
ker ¨ 7. Buktikan bahwa ¨: O → H1×1�. yang
didefinisikan dengan:
¨�� + �� = J � �−� �K
Adalah sebuah isomorfisme dari O � H1×1�. 8. Buktikan apakah pemetaan ¨, yang memetakan
8 ke . yang didefinisikan oleh: ¨�� = �
Adalah suatu homomorfisme
9. Berapa banyak homomorfisme dari 8&1 � 8�? 10. Apakah setiap homomorfisme merupakan
isomorfisme?berikan alasan anda!
4.3.2. Kunci Jawaban Soal Latihan
1. Menentukan pemetaan ¨ yang merupakan
homomorfisme dan bukan homomorfisme
a. ¨: 8 → 8, ����� ¨�� = 2�, � ∈ 8 Jawab.
Z adalah Ring terhadap operasi penjumlahan
dan perkalian bilangan bulat.
¨�� + � = ¨�� + ¨�� ¨�� + � = 2�� + �
= 2� + 2� = ¨�� + ¨��
Selanjutnya untuk:
¨��. � = 2�� ≠ 2�. 2�
124
≠ ¨�� . ¨�� Sehingga ¨ bukanlah homomorfisme
b. ¨: 8� → 8D, ����� ¨�} = 3} Jawab.
8� dan 8D adalah Ring terhadap operasi penjumlahan dan operasi perkalian
¨�� + � = ¨�� + ¨�� ¨�� + � = 3�� + �
= 3� + 3� = ¨�� + ¨��
¨��. � = ¨�� . ¨�� ¨��. � = 3��
¨�� . ¨�� = 3�. 3� = 3�. 3� = 9�� = 4�� �3�� 5
¨ bukan suatu homomorfisme
c. ¨: . → ., ����� ¨�} = }: Jawab.
R adalah Ring terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian.
¨�� + � = ¨�� + ¨��
125
¨�� + � = �� + � : ¨�� + ¨�� = �: + �:
¨�� + � ≠ ¨�� + ¨�� ¨ bukan homomorfisme
d. ¨: . → ., ����� ¨�} = « Jawab. R adalah ring terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian
¨�� + � = ¨�� + ¨�� ¨�� + � = ���
= � . � ¨�� + ¨�� = � + �
¨�� + � ≠ ¨�� + ¨�� ¨ bukan homomorfisme
2. Dari soal nomor 1, selidikilah manakah yang
termasuk Monomorfisme, epimorfisme atau
isomorfisme?
Dari empat pemetaan pada nomor 1, tidak ada
pemetaan yang merupakan homomorfisme,
sehingga tidak ada yang merupakan
Monomorfisme, epimorfisme maupun
isomorfisme
3. Pemetaan dari C ke C, yang didefinisikan oleh
¨: O → O, ����� ¨�� + �� = � − �� Buktikan apakah ¨ suatu homomorfisme Jawab.
¨�� + �� + # + �� = ¨�� + �� + ¨�# + �� ¨�� + �� + # + �� = � + # − �� + � �
= � + # − �� − ��
126
= � − �� + # − �� = ¨�� + �� + ¨�# + ��
¨h�� + �� × �# + �� i = ¨�� + �� × ¨�# + �� ¨h�� + �� × �# + �� i
= ¨��# − �� + ��� + �# � = �# − �� − ��� − �#�
¨�� + �� × ¨�# + �� = �� − �� �# − �� = �# − �� − ��� − �#�
Terbukti bahwa ¨ adalah homomorfisme
4. Diketahui himpunan matriks H = IJ� �0 #K |�, �, # ∈
8L adalah Ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.
Buktikan bahwa pemetaan ¨: H → 8, yang didefinikan oleh:
¨ RJ� 0� 0KS = �
Adalah suatu Epimorfisme
Jawab. Epimorfisme adalah homomorfisme yang
surjektif
- Akan ditunjukkan bahwa ¨ suatu
homomorfisme
¨ RJ� 0� 0K + J# 0
� 0KS= ¨ RJ� 0
� 0KS + ¨ RJ# 0� 0KS
¨ RJ� 0� 0K + J# 0
� 0KS = � + # = ¨ RJ� 0
� 0KS + ¨ RJ# 0� 0KS
127
Selanjutnya:
¨ RJ� 0� 0K × J# 0
� 0KS= ¨ RJ� 0
� 0KS × ¨ RJ# 0� 0KS
¨ RJ� 0� 0K × J# 0
� 0KS = ¨ J�# 0�# 0K = �#
¨ RJ� 0� 0KS × ¨ RJ# 0
� 0KS = �# Terbukti bahwa ¨ homomorfisme
- Akan dibuktikan apakah ¨ suatu pemetaan yang surjektif
∀� ∈ 8, ∃ J� 0} 0K ∈ H
Sehingga terbukti bahwa ¨ pemetaan yang surjektif
5. Jawaban nomor 5 dan 6 digunakan sebagai
jumping task bagi mahasiswa
128
4.3.3. Umpan Balik dan tindak lanjut
Cocokkanlah jawaban anda dengan kunci jawaban soal
latihan yang terdapat pada bagian akhir bab 4 ini
kemudian hitunglah banyaknya jawaban anda yang
benar. Kemudian hitunglah tingkat penguasaan anda
dengan menggunakan rumus berikut:
������� ��������= ��������� ������� ����
��������� ���� × 100%
Setelah mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap
materi pada bab 4 ini, lanjutkan dengan mengerjakan tes
formatif kemudian konsultasikan dengan dosen anda.
Arti tingkat penguasaan yang anda capai:
90% - 100% : Baik sekali
80% - 89% : Baik
70% - 79% : Sedang
≤ 69% : Kurang
Catatan: jika anda mencapai tingkat penguasaan ≥ 80%, maka anda dapat melanjutkan ke bab berikutnya. Tetapi
jika nilai anda dibawah 80%, maka sebaiknya anda
mengulangi bab 4 ini terutama bagian yang belum anda
kuasai.
129
BAB 5BAB 5BAB 5BAB 5 POLYNOMIAL RINGPOLYNOMIAL RINGPOLYNOMIAL RINGPOLYNOMIAL RING
5.1. PENDAHULUAN
A. Deskripsi singkat isi BAB 5
Bab 5 ini membahas tentang polynomial Ring,
mulai dari definisi polynomial ring, mengontruksi
ring polynomial, operasi aljabar pada ring
polynomial, menentukan hasil bagi dan sisa suatu
pembagian dalam ring polynomial. Polynomial
monik, polynomial yang irreducible dan
polynomial yang reducible
B. Relevansi terhadap pengetahuan mahasiswa
Mahasiswa telah memiliki pengetahuan yang cukup
terkait polynomial secara umum, yang telah mereka
pelajari pada jenjang pendidikan sekolah
menengah, sehingga topik yang dipelajari pada Bab
5 ini sangat relevan dengan pengetahuan
mahasiswa.
C. Capaian Pembelajaran Mata Kuliah
Capaian pembelajaran mata kuliah ini adalah
mahasiswa mampu menganalisis struktur Ring serta
mengaplikasikan dalam pemecahan masalah secara
tepat dan konsisten (C3, P4, A3). Secara lebih khusus
capaian pembelajaran yang direncanakan pada Bab 5 ini
adalah mahasiswa mampu ring polynomial. Dengan
indikator capaian:
- Mahasiswa mampu menjelaskan definisi ring
polynomial
130
- Mahasiswa mampu membangun sebuah ring
polynomial
- Mahasiswa mampu Menjelaskan pengertian
polinomial monik
- Mahasiswa mampu Menentukan unit dari suatu
polinom
- Mahasiswa mampu Menghitung sisa dan hasil
bagi dari suatu polinom
- Mahasiswa mampu Menganalisis ideal dan
field dalam ring polynomial
- Mahasiswa mampu Menganalisis polynomial
yang ireducibel (irreducible)
5.2. PENYAJIAN
5.2.1. Konsep dasar polynomial Ring
Definisi 5.1
Misalkan R adalah suatu Ring komutatif, maka
suatu polynomial (}) dalam } atas Ring R adalah suatu Polynom dengan koefisien di R, yang
dinyatakan dalam bentuk:
(}) = ¼ �µ}µ½µ¾� = ��}� + �&} + �1}1 + ⋯ + �?}?+ ⋯
Dimana �µ ∈ ..
131
Dua polynomial (}) ��� A(}) dikatakan sama jika koefisien dari }? sama untuk masing-masing polynomial (}) ��� A(}), ����� � ≥ 0 (}) dikatakan sebagai polynomial nol, jika dan hanya jika semua �µ = 0
Derajad polynomial
polynomial (}) dikatakan berderajad �, jika � adalah bilangan bulat terbesar, dengan �? ≠ 0, dan selanjutnya �? ini disebut koefisien pemimpin (leading coefficient) dari (}). Jika .{}| mempunyai elemen satuan u, dan �? = �, maka (}) disebut polynomial monik
Contoh 5.1 (}) = 4}1 − 2 adalah polynomial
berderajad 2 (}) = �}; − (2 + �)}: + 4} adalah
polynomial atas C yang berderajad 4 (}) = }l + }D + }; + 1 adalah polynomial atas 81 yang berderajad 7 (}) = 7 adalah polynomial atas Z yang berderajad 0
132
Polynomial nol dan polynomial yang
berderajad nol disebut polynomial konstan.
Teorema 5.1
Himpunan .{}| dari polynomial dalam } dengan koefisien dalam ring R, adalah Ring
Polynomial terhadap operasi penjumlahan
dan perkalian.
Bukti:
- (.{}|, +) adalah Grup abelian - Sifat operasi penjumlahan dan
perkalian pada .{}| ditunjukkan
sebagai berikut: ∀(}), A(}) ∈ .{}| (}) + A(}) = ¼ (�µ + �µ)}µ¿ÀÁ W,?
µ¾�
Sedangkan untuk operasi perkalian
adalah sebagai berikut: ∀(}), A(}) ∈ .{}| (}) × A(})= ¼ #7}7, ����� #7 = ¼ �µ�µ�¾7
W�?µ¾�
Sifat asosiatif pada operasi perkalian
dapat kita tuliskan sebagai berikut: ∀(}), A(})��� �(}) ∈ .{}| Misal
133
(}) = ¼ �µ}µ½µ¾�
A(}) = ¼ �Â}½¾�
�(}) = ¼ #7}7½7¾�
Maka berlaku: {(}). A(})|. �(}) = (}){A(}). �(})| = ü �µ}µ½
µ¾� . ¼ �Â}½¾� Ä ¼ #7}7½
7¾�
= b¼ Y¼ �µ�?%µ?
µ¾� ] }?½?¾� c Y¼ #7}7½
7¾� ] = ¼ b¼ Y¼ �µ�?%µ
?µ¾� ]Å
?¾� #Å%?c½Å¾� }Å
= ¼ g ¼ �µ�Â#7
µ�Â�7¾Å j½Å¾� }Å
= ¼ à ¼ �Å%W g¼ �Â#W%ÂW
¾� jÅW¾� Ľ
ž� }Å
= Y¼ �µ}µ½µ¾� ] à ¼ g¼ �Â#W%Â
W¾� j }W½
W¾� Ä
134
= Y¼ �µ}µ½µ¾� ] à g¼ �Â}½
¾� j Y¼ #7}7½7¾� ]Ä
Contoh 5.2.
Dalam 8D{}| yaitu polynomial ring dengan koefisien bilangan bulat modulo 5
Misal (}) ��� A(}) ∈ 8D{}| Misal (}) = 2}: + 2}1 + 1 Dan A(}) = 3}1 + 4} + 1 (}) + A(}) = (2}: + 2}1 + 1)+ (3}1 + 4} + 1) = 2}: + 4} + 2 (}). A(}) = (2}: + 2}1 + 1). (3}1+ 4} + 1) = }D + 4}; + 4} + 1 Contoh 5.3
Dalam 81{}| yaitu polynomial ring dengan koefisien bilangan bulat modulo 2. Misal (}) = } + 1 Akan kita dapatkan 1(}) dalam 81{}| 1(}) = (} + 1)1 = (} + 1)(} + 1) = }1 + 2} + 1 = }1 + 1
135
Sedangkan apabila kita hitung untuk (}) + (}) = (} + 1) + (} + 1) = 2} + 2 = 0
Proposisi
Jika R suatu daerah integral, dan (}), A(}) ∈ .{}| dengan masing-masing (}) ��� A(}) bukan polynomial nol, maka: degh(}). A(})i = deg (}) + deg A(}) Jika polynomial .{}| bukan daerah integral, derajad dari hasil suatu perkalian polynomial
bisa lebih kecil dari derajad hasil
penjumlahan polynomial tersebut.
Contoh 5.4
Misal (}) ��� A(}) dalam 8�{}| (}) = 2}: + } Dan A(}) = 3} (}). A(}) = (2}: + }). 3} = 6}; + 3}1 = 3}1
136
5.2.2. Ring Euclide
Cara pembagian panjang dari bilangan bulat untuk
memperoleh hasil dan sisa suatu pembagian. Jika � ��� � > 0 adalah bilangan bulat tak nol, maka: � = A� + � ��� 0 ≤ � ≤ �
Algoritma pembagian untuk Polynomial
Misalkan 9(}) , �(}) ∈ �{}| dengan �{}| polynom atas Field F. Jika �(}) ≠ 0, maka akan ada dengan tunggal A(}) , �(}) ∈ �{}| Sehingga 9(}) = A(}). �(}) + �(}) Dengan �(}) = 0 ���� deg �(}) < deg �(}) Contoh 5.5
Dalam 8:{}| yaitu polynomial atas 8:. Misal 9(}) , �(}) ∈ 8:{}| Misal 9(}) = }: + 2}1 + } + 2 �(}) = }1 + 2 Akan kita lakukan pembagian 9(}) oleh �(}), kemudian akan kita dapatkan hasil bagi dan sisa
pembagian
Dengan menggunakan pembagian panjang, kita
dapatkan:
137
}: + 2}1 + } + 2= (} + 2)(}1 + 2)+ (2} + 1)
5.2.3. Teorema sisa dan teorema Faktor
Teorema 5.2
Polynomial 9(}) jika dibagi oleh (} − �) dalam Polynomial �{}| maka sisanya adalah 9(�) Bukti:
Dengan menggunakan algoritma pembagian, maka ∃A(}), �(}) ∈ �{}| Dengan 9(}) = A(})(} − �) + �(}), dimana jika �(}) = 0 atau derajad dari �(}) kurang dari 1. Jadi sisa pembagian adalah konstan, �� ∈ � dan 9(}) = A(})(} − �) + ��, sehingga didapat 9(�) = ��
Teorema 5.3
Polynomial (} − �)adalah faktor dari 9(}) dalam Polynomial �{}| jika dan hanya jika 9(�) = 0 Suatu elemen � ∈ �{}| dikatakan akar dari
polynomial 9(�) = 0. Sehingga berdasarkan
teorema faktor tersebut, (} − �) adalah faktor dari 9(}) jika dan hanya jika 9(�) = 0. Suatu polynomial 9(}) ≠ 0 dan 9(}) bukan unit, 9(}) disebut ireducibel (irreducible) di �{}| jika 9(}) = �(}). ℎ(})
138
Sehingga �(}) unit atau ℎ(}) unit di �{}|. Suatu polynomial 9(}) disebut reducibel di �{}| jika 9(}) tidak ireducibel di �{}|.
5.2.4. Latihan
1. Tentukan hasil kali, hasil bagi dan sisa dari
polinom-polinom berikut terhadap 8�{}| dimana (}) = 2}1 + 2 dan �(}) = 3} + 2 dengan (}) sebagai polinom yang dibagi, dan �(}) sebagai polinom pembagi
2. Tentukan hasil bagi dan sisa dari polinom-
polinom berikut tergadap 8;{}| dimana (}) = 3}: + }1 + 2} + 2 dan �(}) =}1 + 3 dengan (}) sebagai polinom yang dibagi, dan �(}) sebagai polinom pembagi
3. Diketahui polinom 9(}) = 3}; + 4}: −}1 + 3} − 1 dan �(}) = 2}1 + } + 1 , carilah:
a. 9(}) × �(})����3 p{}| b. 9(}): �(})����3 p{}|
139
4. Diketahui polinom 9(}) = 2}l + }� + }D +}; + 2} + 1 dan �(}) = }: + 2} + 1 , carilah:
a. 9(}) × �(})����3 8:{}| b. 9(}): �(})����3 8:{}|
5. Tentukan semua akar-akar dari polynomial
berikut didalam 8�, 9(}) = }: − }
6. Tentukan semua akar-akar dari polynomial
berikut didalam 8D, 9(}) = 2}; + }: + 3}1 + 2} + 4
7. Tentukan hasil bagi dan sisa , 9(}) ∈8:(}), 9(}) = }D + 2 ������ ��ℎ 2}; + 2
5.3. PENUTUP
5.3.1. Tes Formatif
1. Tentukan jumlah dan hasil kali dari: 9(}) = 2}: + 4}1 + 3} + 2 Dan �(}) = 3}; + 2} + 4 , dengan 9(}) ��� �(}) ∈ 8D{}|
2. Tentukan hasil penjumlahan polynomial
berikut dalam 8l{}|, (3}1 + 5} + 6) + (4}1 + 3} + 6) 3. Tentukan hasil perkalian polynomial berikut
dalam 8l{}| (3}1 + 5} + 2)(4} + 4)
140
4. Dalam Ring Polynomial 8�{}|, tunjukkan bahwa {1| + {2|} adalah unit 5. Tentukan apakah 1 + 5} merupakan suatu unit
di 8{}| 6. Dalam polynomial ring 8�{}|, buktikan bahwa:
a. 4 + 2} + 4}1 adalah suatu elemen pembagi nol
b. 2} adalah suatu elemen nilpotent c. 1 + 4} dan 3 + 4} adalah unit
7. Buktikan bahwa jika � adalah daerah integral, maka �{}| daerah integral pula
8. Nyatakan pernyataan berikut benar atau salah,
berikan argumen anda:
a. Polynomial (�?}? + ⋯ + �&} + ��) ∈.{}| adalah nol, jika dan hanya jika �µ = 0, � = 0,1,2,3 … , � b. Jika R adalah Ring komutatif maka .{}|
juga komutatif
c. Jika R adalah Ring dengan elemen pembagi
nol maka .{}| juga memiliki elemen pembagi nol
d. Jika R sembarang Ring, dan 9(}) ��� �(}) ∈ .{}|, dimana masing-
masing berderajad 3 dan 4, maka 9(}). �(}) mungkin berderajad 8 dalam .{}|
e. Jika R sembarang Ring, dan 9(}) ��� �(}) ∈ .{}|, dimana masing-
141
masing berderajad 3 dan 4, maka 9(}). �(}) selalu berderajad 7
9. Temukan unit dalam 8{}| 10. Apakah polinomial 9(}) = }: + 2} + 1
dalam 8:{}| ireducibel atas 8:?
5.3.2. Kunci Jawaban Soal Latihan
1. Tentukan hasil kali, hasil bagi dan sisa dari polinom-
polinom berikut terhadap 8;{}| dimana (}) = 2}1 + 2 dan �(}) = 3} + 2 dengan (}) sebagai polinom yang dibagi, dan �(}) sebagai polinom pembagi
Jawab.
Hasil kali: (}) × �(}) = 4}1 + 4 Hasil bagi: (})�(}) = 2}1 + 2 3} + 2 = 2} − 4 + '��� Sisa pembagian: '(}) = 2
2. Tentukan hasil bagi dan sisa dari polinom-polinom
berikut tergadap 8;{}| dimana (}) = 3}: + }1 + 2} + 2 dan �(}) = }1 + 3 dengan (}) sebagai polinom yang dibagi, dan �(}) sebagai polinom pembagi
142
Jawab.
Hasil bagi: (})�(}) = 3}: + }1 + 2} + 2 }1 + 3 = 3} + 1 + '��� Sisa pembagian: '(}) = } + 3
3. Diketahui polinom 9(}) = 3}; + 4}: − }1 + 3} − 1 dan �(}) = 2}1 + } + 1 , carilah: a. 9(}) × �(})����3 p{}|
Jawab: 9(}) × �(}) = (3}; + 4}: − }1 + 3} − 1)× (2}1 + } + 1) = 6}� + 11}D + 5}; + 9}: + 2} − 1 b. 9(}): �(})����3 p{}|
Hasil bagi: :1 }1 + D; } − &D�
Sisa pembagian: 1�� } − l�
4. Diketahui polinom 9(}) = 2}l + }� + }D + }; +2} + 1 dan �(}) = }: + 2} + 1 , carilah: a. 9(}) × �(})����3 8:{}|
Jawab.
143
9(}) × �(}) = 2}&� + }� + 2}� + }: + }1+ } + 1
b. 9(}): �(})����3 8:{}| Jawab.
Hasil bagi: 6(}) = 2}; + }: + 5 Sisa pembagian: '(}) = } + 2
5. Tentukan semua akar-akar dari polynomial berikut
didalam 8�, 9(}) = }: − } Jawab. }: − } = 0 }(}1 − 1) = 0 }(} − 1)(} + 1) = 0 } = 0, } = 1, } = −1 Akar-akar dalam 8� = 40,1,75
6. Tentukan semua akar-akar dari polynomial berikut
didalam 8D, 9(}) = 2}; + }: + 3}1 + 2} + 4 Jawab.
Akar-akar dalam 8D adalah 2 7. Tentukan hasil bagi dan sisa , 9(}) ∈ 8:(}), 9(}) =}D + 2 ������ ��ℎ 2}; + 2
144
Jawab.
Hasil bagi: 6(}) = 2} Sisa Pembagian: '(}) = 2} + 2
5.3.3. Umpan Balik dan tindak lanjut
Cocokkanlah jawaban anda dengan kunci jawaban soal
latihan yang terdapat pada bagian akhir bab 5 ini
kemudian hitunglah banyaknya jawaban anda yang
benar. Kemudian hitunglah tingkat penguasaan anda
dengan menggunakan rumus berikut: ������� ��������= ��������� ������� ������������� ���� × 100%
Setelah mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap
materi pada bab 5 ini, lanjutkan dengan mengerjakan tes
formatif kemudian konsultasikan dengan dosen anda.
Arti tingkat penguasaan yang anda capai:
90% - 100% : Baik sekali
80% - 89% : Baik
70% - 79% : Sedang ≤ 69% : Kurang
Catatan: jika anda mencapai tingkat penguasaan ≥ 80%, maka anda dapat melanjutkan ke bab berikutnya. Tetapi
jika nilai anda dibawah 80%, maka sebaiknya anda
mengulangi bab 5 ini terutama bagian yang belum anda
kuasai.