8 teilchen als wellen 1924: de broglie wellenlänge eines teilchens: = h/p = h/ 2m 0 e kin beispiel...
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8 Teilchen als Wellen
1924: De Broglie Wellenlänge eines Teilchens:
= h/p = h/ 2m0Ekin
Beispiel 1:
100 g Ball, 100 km/h
2*10-34 m
vgl: Atom 10-10 m, Kern 10-15m
Beispiel 2:
Elektron 100eV
1.2*10-10 m
Ergänzungen auf Fragen nach der letzten Stunde:
Doppelspalt: Was passiert, wenn man eine Seite zuhält?
Doppelspalt: Was passiert, wenn man eine Seite zuhält?
Schliesse 1 Schlitz NACHDEM das Teilchen emittiert wurde:
Delayed Choice:
Interferenzz.B. Auslöschung
Delayed Choice:
Schalte Spiegel aus NACHDEM der Puls durch
den Teiler istKeine Interferenz!
Was passiert wenn die Teilchen die Grösse der Schlitze haben?
Auch für Wasserwellen ist die Überlagerung 2er Kugelwelleneine Idealisierung.
Details hängen vonder Form
der Schlitze ab.
Reibung,Viskosität, Wirbel etcspielen eine Rolle!
Kirchhoff: Beugung am Gitter hängt von der Schlitzbreite ab
He Teilchenwelle
Gitter Einhüllendehängt von Stegbreiteund Schlitzbreite ab.
Kirchhoff: Beugung am Gitter hängt von der Schlitzbreite ab
He Teilchenwelle
Einhüllendehängt von Stegbreiteund Schlitzbreite ab.
Gitter
Toennies & Grisenti
Kirchhoff: Beugung am Gitter hängt von der Schlitzbreite ab
He Teilchenwelle
Einhüllendehängt von Stegbreiteund Schlitzbreite ab.
Gitter
Toennies & Grisenti
Kirchhoff: Beugung am Gitter hängt von der Schlitzbreite ab
He Teilchenwelle
Gitter
Toennies & Grisenti
Effektive Schlitzbreite hängt von Teilchendurchmesser ab!
Helium Molekül: 50 Angstrom, 10-7 eV
Heisenbergsche Unschärferelation
x px ħ
Ort und Impuls eines Teilchenskönnen nicht genauer bestimmt werden
Es gibt keine Wechselwirkungfreie Beobachtung
P= h / c
Die Messung des Ortes erfordert Streuung von Licht, dadurch ist der Impuls nach der Messung geändert
Gute Ortsauflösung=kurze Wellenlänge=
hoher Impuls
9. Heisenbergsche Unschärfe
Heisenbergsche Unschärferelation
x px ħ
Ort und Impuls eines Teilchenskönnen nicht genauer bestimmt werden
Der Meßprozeß ändert den Zustand des zu messenden Objektes!
Präzise Impulsmessung
Objekt inunbekanntem
Zustand
Ort unbekannt,Impuls bekannt
Präzise Ortsmessung benötigt grossen Impulstransfer!
Objekt wieder in unbekanntem Impulszustand
Ort bekannt
Heisenbergsche Unschärferelation
x px ħ
Ort und Impuls eines Teilchenskönnen nicht genauer bestimmt werden
Theorie die nicht Aussage über die Welt an sich macht,sondern nur über mögliche Meßgrössen
Der Meßprozeß ändert den Zustand des zu messenden Objektes!
Die Wechselwirkung kann nicht beliebig klein sein!(gequantelt!)
Zeit
Ort
xKlassische Bahn eines Teilchen
Px=mdx/dt
Impuls px
Ort
x
Punkt im Phasenraum
zu einem Zeitpunkt
QM
t als Parameter
t1
t2 t3
Impuls px
Ort
x
x px ħ
Impuls ist NICHT dx/dtDa wenn x scharf p unscharf
Vorhersage unscharf
Zeit
Ort
x
Präzise Impulsmessung
Objekt inunbekanntem
Zustand
Ort unbekannt,Impuls unbekannt
Präzise Ortsmessung benötigt grossen Impulstransfer!
Objekt wieder unbekanntem Impulszustand
Ort bekannt
Impuls px
Ort
x
x px ħ
Impuls px
Ort
x
x px ħ
Wellenfunktion:
Licht:
E=h
P= h / c
Materie:
E= h = ħ
p= h/ = ħ k k=2/
A(x,t) = A0 cos(kx - t)
Ebene Welle:
Wellenfunktion:
Licht:
E=h
P= h / c
Materie:
E= h = ħ
p= h/ = ħ k k=2/
A(x,t) = A0 cos(kx - t)
Ebene Welle:
x px ħ
Extremfall: scharfer Impuls p = ħ k
Völlig delokalisiert (unendlich ausgedehnt) Impuls pxO
rt x
x px ħ
Wellenfunktion:
A(x,t) = A0 cos(kx - t)
Ebene Welle:
Wellenpaket: Überlagerung aus Ebenen Wellen verschiedenen k
Fourieranalyse: Aufbau aus harmonischen Schwingungen
= h/p = h/ 2m0Ekin
Beispiel: Schiefer Wurf
http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/german/wellen3.html
Quantemechanische Teilchenx px ħ
„Wellenpaket“
Impuls px
Ort
x
x px ħ
Klassiche Bahn
Ortsunschärfe
Impuls: WellenlängeUnschärfe: verschiedene Wellenlängen
= h/p = h/ 2m0Ekin
Beispiel: Schiefer Wurf
http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/german/wellen3.html
•Wellenlänge länger (langsamer am Scheitelpunkt)•Ausgedehnter: auseinandergelaufen
= h/p = h/ 2m0Ekin
Beispiel: Schiefer Wurf
Siehe movie aufhttp://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/german/wellen3.html
•Wellenlänge länger (langsamer am Scheitelpunkt)•Ausgedehnter: auseinandergelaufen
Doppelspalt:
Gausssche WellenpaketGaussverteilung im Ort Impuls
Impuls px
Ort
x
x px ħ
Höhe: Wahrscheinlichkeit ein Teilchen dort zu finden
ORT: dargestellt
Impuls: nicht zu sehen
Movie auf http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/diffint.htm#Double-slit
Doppelspalt:
Impuls px
Ort
x
x px ħ
ORT: dargestellt
Impuls: in der Wellenlänge
Amplitude:Farbsättigung
Movie aufhttp://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/german/wellen3.html
x px ħ
Heisenbergsche Unschärfe Relation
Ort / Impuls
Konsequenz:
x
Pot
entie
lle E
nerg
ie Klassisch:Oszillationzwischen Potentieller undkinetischerEnergie
x px ħ
Heisenbergsche Unschärfe Relation
Ort / Impuls
Konsequenz:
x
Pot
entie
lle E
nerg
ie
Klassisch:ein Teilchen kannin Ruhe am Boden sitzen
x px ħ
Heisenbergsche Unschärfe Relation
Ort / Impuls
Konsequenz:
x
Pot
entie
lle E
nerg
ie
x
px
QM:In einem
Potentialtopfgibts immer eine
„Nullpunkts-schwingung“
Heisenbergsche Unschärfe Relation
x px ħ
x
Pot
entie
lle E
nerg
ie
x
px
ħ = 1 10-34 kg m2/sec
10-26 m/sec
Kugel 10gauf 1m
Heisenbergsche Unschärfe Relation
x px ħ ħ = 1 10-34 kg m2/sec
Elektronen im Atom:
Radius: 10-10m
Elektronenimpuls>10-24 kg m/sec
me=9 10-31kg -> 9 107 m/sec
x px ħ
Heisenbergsche Unschärfe Relation
Ort / Impuls
Energie/Zeit t E ħ
Folgen:
•Monochromatisches Licht kann nicht sehr kurz sein•Ein kurzlebiger Zustand hat keine scharfe Energie•Nur stabile Zustände (Bohrmodel) haben scharfe Energie
Energieerhaltung?kann kurzzeitig verletzt sein!
Gilt streng im Einzelprozess, aber nicht in beliebig kurzenZeitintervallen.
Beispiel 1: t E ħ
Beispiel 1: t E ħ
Klassische Mechanik
Energieerhaltung giltfür jeden Zwischenschritt
Quantenmechanik
Energieerhaltung gilt fürZwischenschritte nur innerhalb
t E ħ
Beispiel 2: t E ħ
Kurze Lichtpulse sind breitbandig: t E ħ = 6.58*10-16 eVs
Kurzer Laserpuls
Überlagerung von ebenen Wellen
Bsp: 5*10-15 sec (femto) 0.1 eV (von z.B. 1,5 eV)
Ephoton= h langer sinus: scharfe Energie
•Teilchen durch Wellen beschrieben (de Broglie)•Die Wellen interferieren •Amplitudenquadrat ist Wahrscheinlichkeit•Unschärfe von Ort & Impuls, Energie & Zeit •Ebene Wellen: Impuls aber kein Ort•Teilchenanschauung: Wellenpaket
9. Heisenbergsche Unschärferelation10. Das Bohrsche Atommodell10.1. Diskrete Spektren
Schwarzer Strahler
9. Heisenbergsche Unschärferelation10. Das Bohrsche Atommodell10.1. Diskrete Spektren
a) Absorbtionsspektren
WasserstoffAbsorbtionsspektrum
WasserstoffGas
9. Heisenbergsche Unschärferelation10. Das Bohrsche Atommodell10.1. Diskrete Spektren
b) Emissionsspektren
a) Absorbtionsspektren
Helium
Wasserstoff Emissionsspektrum
Wellenlänge nm
H
SpektralanalyseKirchhoff und Bunsen:
Jedes Element hat charakteristische Emissionsbanden
H
1853 von Anders Jonas Angström entdeckt
H
1 Å = 10-10 m
sichtbar
infrarot
ultaviolett
Rydbergkonstante109678 cm-1
ganze Zahlen
Lyman n1=1Balmer n1=2Paschen n1=3
9. Heisenbergsche Unschärferelation10. Das Bohrsche Atommodell10.1. Diskrete Spektren10.2. Die Bohrschen Postulate
Wie RutherfordElektronen auf Kreisbahnen
Coulomb Anziehung Z=1, e-
Zentrifugalkraft:mer2
Gesamtenergie des Elektrons auf der Bahn:
0
Ene
rgy r
Epot
E = Ekin + Epot
negativEnergie die frei wirdwenn Elektron von unendlichzum Radius r gebracht wird.
Widerspruch zur klassichen Mechanik & Maxwellgleichungen:
•Bewegte Ladung strahlt Energie ab, Elektron stürzt in Kern!
•Strahlung ist nicht quantisiert keine diskreten Linien!
Bohrsche Postulate (Niels Bohr 1913)
•Elektronen bewegen sich auf Kreisbahnen
•Die Bewegung ist strahlungsfrei
•Der Drehimpuls der Bahnen ist quantisiert l=n ħ
(Historisch nicht korrekt)
nrn
Ry = Rydbergkonstante (Ionisierungsenergie n=1)109678 cm-1
Radius des Wasserstoffatomsrn=1= 0.59 10-10m
Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms
En=1= 13.59 eV
Z2 !! dh. Uran 115 keV
Einige Zahlenwerte:
Heisenbergsche Unschärfe x px ħ
10.3 Rydberg Atome
n=10 000
Radius = 0.6 mm En=10 000= 1.3 10-7 eV
0.01 mm wurde wirkliche erreicht!
10.3 Rydberg Atome :
Rydberg Atome
•rn n2
•vn 1/n
Heisenbergsche Unschärfe x px ħ
n ! 1
Übergang zu klassischer Bahn(Bohrsches Korrespondezprinzip)
Lebensdauer steigt E3