UNIVERZITET CRNE GOREUNIVERZITET CRNE GOREGRAĐEVINSKI FAKULTETGRAĐEVINSKI FAKULTET

STATIKA KONSTRUKCIJA 1STATIKA KONSTRUKCIJA 1

ššk.god. k.god. 20201111/20/201212

OSNOVNE NEPOZNATE I OSNOVNE JEDNAČINE RAVNIH LINIJSKIH NOSAČA I NJIHOVA KLASIFIKACIJA

Elementi i čvorovi nosača

Prosti štapovi su pravi štapovi koji su sposobni da prime i prenesu samo sile u pravcu ose štapa.Gredni štapovi-grede su štapovi koji su sposobni da prime i prenesu sile proizvoljnog pravca.

Ravan nosača je ravan u kojoj leže ose svih štapova ravnih linijskih nosača i jedna od glavnih centralnih osa inercije njihovih poprečnih presjeka.

Veze štapova :zglavkaste i krute. 4

3 m=4 m-1=3 kruta ugla

2 (a) (b) 1 (c) Slika 1.

Veza u kojoj je kruto vezano m štapova sadrži m-1 krutih uglova

Prosti štapovi mogu biti vezani samo zglavkasto, dok gredni štapovi mogu biti vezane i zglavkasto i kruto.

Elemente nosača mogu biti unutrašnji i spoljašnji.

Unutrašnji elementi su štapovi i kruti uglovi.

Spoljašnji elementi su oslonci i uklještenja.

Oslonac je konstruktivni element nosača koji oslonjenoj tački ne dozvoljava pomjeranje ili potpuno - krut oslonac, ili djelimično – elastičan – deformabilan oslonac

Pravac u kome je spriječeno pomjeranje naziva se pravac oslanjanja ili pravac oslonca.

Nepokretno uklještenje

Uklještenje

(a)Pokretni oslonac (b) Nepokretni oslonac (c) Slika 2.

-Uklještenje je konstruktivni dio nosača koji uklještenom presjeku štapa sprečava obrtanje. U uklještenju obrtanje može biti spriječeno potpuno i tada se naziva kruto uklještenje, ili samo djelimično kada je uklještenje elastično ili deformabilno.

-Nepokretno uklještenje

zs - broj štapovazk - broj krutih uglovazo - broj oslonacazu - broj uklještenja

Ukupan broj elemenata linijskog nosača je zs + zk + zo + zu .

- Čvorovi nosača. Svaki štap povezuje samo dva čvora. Čvorove ćemo belježiti brojevima od 0 do K, tako da je ukupan broj čvorova nosača K

2 3 1 2 3 4 5

8

1 K=4 4 7 9 K=10

(a) 6 (b) 10

6 7 8 9 10

K=10 1 2 3 4 5

(c)

Slika 3.

-Rešetkasti-Puni nosači

-Povećanjem broja čvorova povećava se i broj unutrašnjih elemenata nosača

-Broj elemenata nosača jednoznačno određen kada su usvojeni čvorovi i obrnuto broj čvorova je jednoznačno određen kada su usvojeni elementi nosača.

Ukupan broj statičkih i deformacijskih veličina tada je:

zo + zu + zs + zk + m + 2K

Jednačine iz kojih se mogu odrediti nepoznate :- uslovi kompatibilnosti pomjeranja čvorova nosača- uslovi ravnoteže nosača

Ukupan broj nepoznatih spoljašnjih i unutrašnjih sila ili kraće ukupan broj statički nepoznatih je:

zo + zu + zs + zk + m

Osnovne nepoznate nosača

x y ik

vi

ik uk

ui ψik uk-ui

vk

vk-vi

(φ-φT)i=ψik+τik

(φ-φT)k=ψik+τki

(uk-ui)cos ik+(vk-vi)sin ik=lik ................................ zs

Uslovi kompatibilnosti pomjeranja čvorova nosača

I grupa

ik

ikikikikikikikiT l

sinuucosvv

iririkikiT

ikir

ir

iriririr

ik

ikikikik

lsinuucosvv

lsinuucosvv

II grupa

ik

x ik i i (-T)i

i' ik ir

Y ir (-T)i ir

k k'

i

rr‘

.

..........zk

Ukupan broj uslovi za relativna pomjeranja čvorova je zs+zk.

III grupa

ui cosi + vi sin i = coi ....................................z0

i ui

i vi

coi

ik

ikikikikikui l

sinuucosvvc

i

αik ik + ik = cu

ψik k ψik

τik

cui= (ϕ-ϕT)i

......zu

Ukupan broj uslova kompatibilnosti pomjeranja čvorova nosača

zo + zu + zs + zk

IV grupa

yR

xR

LMM

RT

LMM

RT

ikRyk

ikRyi

xkiik RNN

Uslovi ravnoteže nosača

Tik

Mki Nik

I k Nki

Mik RLik 'RLik Tki

Lik

2

2

2

xikki

xikik

ikkiik

RSN

RSN

SNN

0PcosCsinTcosN ixioiikikikik

0PsinCcosTsinN iyioiikikikik

0MCM iuiikik

0HcosCsinl

MMcosS iioiik

ik

ikkiikik

0VsinCcosl

MMsinS iioiik

ik

ikkiikik

Pi

Mi

Cui i

Coi

Mik ik

Tik = +1 ili -1 Nik

................... 2K

.................................................................m

Ukupan broj uslova ravnoteže:ur= 2K+mUkupan broj uslova pomjeranja i uslova ravnoteže:

zo + zu + zs + zk + m + 2K

k

iTik

ikki

k

iTik

ikik

k

iik

dxll1

dxll1

dxl

GFTk

ht

EIM

tEFN

T

t

t

o,cik

ikc

o,cckcic

o,cikc

Tl

MMT

MMMM

NSN

- u linearnoj teoriji rješenja su jednoznačna- u linearnoj teoriji važi princip superpozicije uticaja.

Klasifikacija nosača

Kinematička klasifikacija nosača

Analitički kriterijum kinematičke stabilnosti nosača dobijamo poredeći broj uslova kompatibilnosti pomjeranja sa brojem nepoznatih pomjeranja.

zo + zu + zs + zk = 2K

D0

zo + zu + zs + zk > 2K

Analitički uslov za kinematičku stabilnost jednog nosača:

R(zo + zu + zs + zk )= 2K

Prosto stabilan sistem štapova je onaj sistem štapova kod koga je broj elemenata jednak dvostrukom broju čvorova

Višestruko stabilan sistem štapova je onaj sistem štapova kod koga je broj elemenata veći od dvostrukog broja čvorova, sa viškom elemenata uk-2K

Kinematički labilni sistemi

R(zo + zu + zs + zk )< 2K

Nepravilan raspored elemenat:

2 3 4 K=5 zs=5 zk=25 zo=3

1 zu=0 z=10, 2K=10

10=10l 13=0 2,1 + 2,1 = 2,3+ 2,3

Lv

L21L

1cos

1LL

2

2

Stabilan sistem:

Kritična konfiguracija:

f/L«1 f

L L

2 3 4

1 5

1 3 2

v

Unutrašnja kinematička stabilnost sistema

1=0 2 x u1=v1=v2=0 .......... 3 uslova

y

Ukupan broj nepoznatih pomjeranja je 2K – 3.

Analitički kriterijum unutrašnje kinematičke stabilnosti sistema štapova:

1)zs + zk = 2K - 3 D10 , unutrašnje prosto stabilan

2) zs + zk > 2K - 3 unutrašnje višestruko stabilan sa zs + zk - (2K – 3) suvišnih elemenata R(zs + zk )=2K-3

3) zs + zk < 2K - 3 unutrašnje kinematički labilan sa (2K – 3) - zs + zk stepeni relativnih pomjeranja čvorova sistema

Kruta ploča je sistem štapova koji je unutrašnje kinematički stabilan (višestruko ili prosto stabilan)

1) zo + zu + zs + zk + m = 2K + m i D'0 .....statički određen sistem štapova

statički određeni nosači kinematički prosto stabilni

2) zo + zu + zs + zk + m > 2K + m .....statički neodređen sistem štapova

statički neodređeni nosači kinematički višestruko stabilni

sn -ur = (zo + zu + zs + zk + m) –(2K + m)

3) zo + zu + zs + zk + m < 2K + m .....statički preodređen sistem štapova

statički preodređeni nosači kinematički labilni