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Sistemas de ecuaciones lineales7

Chema

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© Grupo Editorial Bruño, SL. Matemáticas de 3º ESO. Autores José María Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sáez

ORGANIZA TUS IDEAS

En este tema se estudian los sistemas de ecuaciones li-neales. Se empieza definiendo que es un sistema lineal

de dos ecuaciones con dos incógnitas, se estudia la resolu-ción gráfica y, a partir de la representación gráfica, se clasi-fica: es compatible indeterminado si tiene infinitas solucio-nes, es decir, las dos rectas son las mismas; es incompatiblesi no tiene solución, es decir, las dos rectas son paralelas yno se cortan; es compatible determinado si tiene solución,las rectas se cortan en un punto.A continuación se exponen los métodos algebraicos deresolución: sustitución, igualación y reducción. Todos lossistemas se pueden resolver por los tres métodos, pero seobservan ciertas características para resolver cada sistemapor el método más apropiado.El tema finaliza con una sección dedicada a la resoluciónde problemas numéricos, geométricos, comerciales, demezclas, de edades, etc. Un ejemplo de estas aplicacioneses calcular el número de unidades que pueden fabricarseen una industria en la que se producen bicicletas de dostipos, sabiendo que cada una de ellas lleva una cantidad deacero y de aluminio y teniendo en cuenta las existenciasalmacenadas de dichos metales.

SISTEMA LINEAL DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

⎧⎨⎩

a x + b y = ca'x + b'y = c' • gráfico

• igualación• sustitución• reducción

compatibledeterminado

una solución

compatible indeterminado

incompa-tible

resolver problemas

infinitas soluciones solución

es una expresión

y puede ser

tiene tiene no tiene

se utiliza para

se resuelve porlos métodos:

129

Chema

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1.1. Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

Ejemplo

Comprueba que x = 2, y = 3 es solución del sistema:

Comprobación:

Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

1.2. Resolución gráfica de un sistema lineal

Ejemplo

Resuelve gráficamente el sistema: ⎧⎨⎩

2x + y = 9x – 3y = 1

4 · 2 + 3 = 8 + 3 = 117 · 2 – 6 · 3 = 14 – 18 = –4

⎧⎨⎩

⎧⎨⎩

4x + y = 117x – 6y = –4

130 BLOQUE II: ÁLGEBRA

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica

a) ¿En qué punto se cortan la gráfica roja yla azul del dibujo de la izquierda?

b) ¿Tienen algún punto en común las rectas de la derecha? ¿Cómo son estasrectas?

P I E N S A Y C A L C U L A

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es una expre-sión algebraica de la forma:

donde a, b, c, a’, b’ y c’ son números conocidos: x e y son las incógnitas.

Una solución de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitases un par de valores (x, y) que verifican las dos ecuaciones. Si un sistematiene solución, se llama compatible; y, si no la tiene, incompatible.

⎧⎨⎩

a x + b y = ca’x + b’y = c’

a) Se representa la recta correspondiente a la 1ª ecuación.

b) Se representa la recta correspondiente a la 2ª ecuación.

c) La solución es el punto de corte de ambas rectas.

X

Y

s

r

X

Ys

r

2x + y = 9 x – 3y = 1

y = 9 – 2x

Solución: x = 4, y = 1

⇒ A(2, 5)⇒ B(5, –1)

⇒ C(1, 0)⇒ D(–2, –1)

x = 1 + 3y

x y2 55 –1

x y1 0

–2 –1

X

Y

P (4, 1)2x + y = 9

A (2, 5)

x – 3y = 1 B (5, –1)

D (– 2, –1)

C (1, 0)

Chema

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1.3. Número de soluciones de un sistema lineal

La clasificación se puede resumir en la siguiente tabla:

Ejemplo

1317. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Comprueba que x = 2, y = –3 es solución del si-guiente sistema:

Resuelve gráficamente el siguiente sistema:

Aplica el criterio que relaciona los coeficientes delsiguiente sistema para hallar cuántas solucionestiene, haz la interpretación gráfica, clasifícalo yresuélvelo gráficamente:

Aplica el criterio que relaciona los coeficientes delsiguiente sistema para hallar cuántas solucionestiene, haz la interpretación gráfica, clasifícalo yresuélvelo gráficamente:

Aplica el criterio que relaciona los coeficientes delsiguiente sistema para hallar cuántas solucionestiene. Haz la interpretación gráfica, clasifícalo yresuélvelo gráficamente:

Escribe un sistema que tenga como solución x = 2,y = 3

6

⎧⎨⎩

2x + y = 56x + 3y = 3

5

⎧⎨⎩

x – 3y = –73x + 2y = 1

4

⎧⎨⎩

–2x + y = –14x – 2y = 2

3

⎧⎨⎩

2x + y = 4x – 3y = –5

2

⎧⎨⎩

3x – y = 95x + 2y = 4

1

A P L I C A L A T E O R Í A

Un sistema lineal se puede clasificar, según el número de soluciones, en:

a) Compatible determinado: el sistema tiene una solución y las dos rec-tas se cortan en un punto.

b) Incompatible: el sistema no tiene solución y las dos rectas son paralelas.

c) Compatible indeterminado: el sistema tiene infinitas soluciones ylas dos rectas son la misma.

Clasificación de los sistemas

Criterio

Compatibledeterminado

IncompatibleCompatible

indeterminado

≠ bb’

aa’

= ≠ cc’

bb’

aa’

= = cc’

bb’

aa’

Interpretacióngráfica

Rectas secantes Rectas paralelas Rectas coincidentes

Sistema⎧⎨⎩

x + 2y = 83x – y = 3

Criterio

Clasificación

Interpretacióngráfica

≠ 2–1

13

Sistema compatibledeterminado

Sistemaincompatible

Sistema compatibleindeterminado

= ≠ 6–3

36

24

= = 1–3

–26

1–3

⎧⎨⎩

2x + 3y = 64x + 6y = –3

⎧⎨⎩

x – 2y = 1–3x + 6y = –3

X

Y

P (2, 3)

Rectas secantes

X

Y

Rectas paralelas

X

Y

Rectas coincidentes

Chema

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2.1. Método de sustitución

Ejemplo

Resuelve por sustitución el sistema:

Sistemas con denominadoresCuando un sistema tiene denominadores, primero hay que transformarlo enotro equivalente que no los tenga. Para ello, se halla el m.c.m. de los denomi-nadores de cada una de las ecuaciones y se multiplica toda la ecuación pordicho m.c.m.

Ejemplo

Resuelve el sistema:

m.c.m. (2, 4) = 4. Se multiplica la 1ª ecuación por 4

m.c.m. (2, 6) = 6. Se multiplica la 2ª ecuación por 6

⎧⎨⎩

2x = y15x – 7y = 3

⎧⎪⎨⎪⎩

x y— = —2 4

5x 7y 1— – — = —2 6 2

⎧⎨⎩

3x – 5y = 42x + y = 7


2. Métodos de sustitución e igualación

Resuelve mentalmente el siguiente sistema sustituyendo el valor de yde la primera ecuación en la segunda:

⎧⎨⎩

y = 2xx + y = 150


a) En la ecuación más sencilla se despeja la incógnita más fácil de despejar.

b) Se sustituye su valor en la otra ecuación.

c) Se resuelve la ecuación resultante.

d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación donde estaba despejada la1ª incógnita.

a) Se despeja la incógnita y de la 2ª ecuación. y = 7 – 2x

b) Se sustituye su valor en la 1ª ecuación. 3x – 5(7 – 2x) = 4


d) Se sustituye el valor obtenido en la ecua-ción donde estaba despejada la incógnitainicial.

La solución es x = 3, y = 1

3x – 35 + 10x = 413x = 39

x = 3

x = 3 en y = 7 – 2xy = 7 – 2 · 3 = 7 – 6 = 1

X

Y

P (3, 1)

2x + y = 7

3x – 5y = 4

Se resuelven fácilmente porsustitución los sistemas enlos que una de las incógnitasya esté despejada o sea muyfácil de despejar en una delas ecuaciones.

Ejemplo

2x + 3x = 20

5x = 20

x = 4

y = 3 · 4 = 12


⎧⎨⎩

y = 3x2x + y = 20

Chema

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De la 1ª ecuación se obtiene y = 2x. Sustituyendo en la 2ª ecuación:

15x – 7 · 2x = 3

15x – 14x = 3

x = 3

Sustituyendo x = 3 en y = 2x ⇒ y = 6


2.2. Método de igualación

Ejemplo

Resuelve por igualación el sistema: ⎧⎨⎩

5x + y = 15– 3x + y = – 1


Resuelve por sustitución el siguiente sistema:

Resuelve el siguiente sistema por igualación:

Resuelve por sustitución el siguiente sistema:

Resuelve por igualación el siguiente sistema:

Resuelve el siguiente sistema por sustitución:

Resuelve el siguiente sistema por igualación:

⎧⎨⎩

0,5x + y = 10,25x – y = – 0,25

12

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x— + 3y = 112

y2x – — = 7

3

11

⎧⎨⎩

x – 2y = 1x + 6y = – 1

10

⎧⎨⎩

2x + 3y = 12x – 5y = – 7

9

⎧⎨⎩

3x – y = 72x + y = 13

8

⎧⎨⎩

2x + y = 33x – 4y = 10

7


a) Se despeja la misma incógnita, la que resulte más fácil, en las dos ecua-ciones.

b) Se igualan los valores obtenidos.


d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación más sencilla donde estabadespejada la otra incógnita.

a) Se despeja la incógnita y de las dos ecuacio-nes.

y = 15 – 5xy = – 1 + 3x

b) Se igualan los valores obtenidos. 15 – 5x = – 1 + 3x


d) Se sustituye el valor obtenido en la ecua-ción más sencilla donde estaba despejada laotra incógnita.


– 8x = – 168x = 16

x = 2

x = 2 en y = 15 – 5xy = 15 – 5 · 2 = 15 – 10 = 5

X

Y

P (2, 5)

y = 15 – 5x

y = –1 + 3x

Se resuelven fácilmente porigualación los sistemas enlos que una de las dos incóg-nitas ya esté despejada o seamuy fácil de despejar en lasdos ecuaciones.

Ejemplo

2x = 10 – 3x

5x = 10

x = 2

y = 2 · 2 = 4


⎧⎨⎩

y = 2xy = 10 – 3x

Chema

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3.1. Método de reducción

Ejemplo

Resuelve por reducción el sistema:

La mejor estrategia que se puede utilizar en el apartado a) cuando los coefi-cientes no sean iguales, opuestos o uno múltiplo del otro consiste en:

a) Si no son primos entre sí, se halla el m.c.m. de ambos y se multiplica cadaecuación por un número, de forma que este m.c.m. sea el coeficiente.

Ejemplo

m.c.m. (4, 6) = 12 ⇒ ⎧⎨⎩

12x + 15y = 39– 12x + 14y = – 10

12 : 4 = 3⎯⎯⎯⎯⎯⎯→12 : 6 = 2 ⇒ – 2⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

⎧⎨⎩

⎧⎨⎩

4x + 5y = 136x – 7y = 5

⎧⎨⎩

3x + 2y = 12– 5x + 6y = 8


3. Reducción y qué método utilizar

Suma mentalmente las dos ecuaciones del sistema y halla el valor de xSustituye mentalmente este valor en la primera ecuación y halla el valor de y

⎧⎨⎩

5x + 2y = 123x – 2y = 4


a) Mediante multiplicaciones apropiadas, se obtiene un sistema equiva-lente con los coeficientes de una misma incógnita opuestos.

b) Se suman las dos ecuaciones.


d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación más sencilla y se halla elvalor de la otra incógnita.

a) Se multiplica la 1ª ecuación por 3 y la 2ª secambia de signo.

⎧⎨⎩

9x + 6y = 365x – 6y = – 8

b) Se suman las dos ecuaciones.

14x = 28

⎧⎨⎩

9x + 6y = 365x – 6y = – 8


d) Se sustituye el valor obtenido en la ecua-ción inicial más sencilla.


x = 2

x = 2 en 3x + 2y = 123 · 2 + 2y = 12

6 + 2y = 122y = 6y = 3

X

Y

3x + 2y = 12

5x – 6y = – 8

P (2, 3)

Se resuelven fácilmente porreducción los sistemas en losque una incógnita tenga loscoeficientes:

a) Iguales: restando ambasecuaciones.

b) Opuestos: sumando am-bas ecuaciones.

c) Uno múltiplo de otro:multiplicando la ecuaciónque tenga el menor coefi-ciente por un número paraque ambos coeficientessean opuestos.

Ejemplo

7x = 21

x = 3

2 · 3 + 3y = 12

3y = 6

y = 2


⎧⎨⎩

2x + 3y = 125x – 3y = 9

Chema

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b) Si son primos entre sí, se multiplica cada ecuación por el coeficiente de laincógnita de la otra ecuación.

Ejemplo

3.2. ¿Qué método utilizar?Todos los sistemas se pueden resolver por los tres métodos, pero hay sistemasen los que un método es mucho más sencillo de aplicar que otro. Para elegirun método se puede tener en cuenta:

Ejemplo¿Por qué método se debería resolver cada uno de los sistemas siguientes?

a) b) c)

El sistema del apartado a) se debe hacer por igualación. La incógnita yestá despejada en las dos ecuaciones.

El sistema del apartado b) se debe hacer por reducción. No parece fácildespejar ninguna de las incógnitas.

El sistema del apartado c) se debe hacer por sustitución. La incógnita x yaestá despejada en la 1ª ecuación y de la otra ecuación no parece fácil dedespejar.

⎧⎨⎩

x = 2y – 73x + 4y = 9

⎧⎨⎩

2x + 3y = 14x – 5y = 13

⎧⎨⎩

y = 3x – 9y = – 4x + 5

⎧⎨⎩

35x – 15y = 55– 27x + 15y = – 39

× 5⎯⎯⎯→× 3⎯⎯⎯→

⎧⎨⎩

7x – 3y = 11– 9x + 5y = – 13


Resuelve el siguiente sistema por reducción:




Resuelve el siguiente sistema por el método mássencillo:

Resuelve por el método más sencillo el siguientesistema:

Resuelve el siguiente sistema por el método mássencillo:

⎧⎨⎩

x = 2y – 1x = 3y – 6

19

⎧⎨⎩

2x + 3y = 74x – 3y = – 4

18

⎧⎨⎩

y = 4x – 12x + 3y = 25

17

⎧⎨⎩

3x – 2y = 134x + 5y = 2

16

⎧⎨⎩

2x + 3y = 56x + 5y = 3

15

⎧⎨⎩

3x – 2y = 83x + 7y = – 1

14

⎧⎨⎩

3x + 2y = 75x – 2y = 1

13


a) Se resuelven por sustitución los sistemas en los que una de las incógnitasya esté despejada o sea muy fácil de despejar en una de las ecuaciones.

b) Se resuelven por igualación los sistemas en los que una de las incógni-tas ya esté despejada o sea muy fácil de despejar en las dos ecuaciones.

c) Se resuelven por reducción los sistemas en los que se tenga una incóg-nita con coeficientes iguales u opuestos, o no parezca fácil aplicar susti-tución o igualación.

Chema

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4.1. Procedimiento de resolución de problemasPara resolver un problema se debe leer el enunciado varias veces hasta que seentienda muy bien cuáles son las incógnitas, los datos, las relaciones y laspreguntas. En los problemas geométricos se debe hacer siempre el dibujo, yen los numéricos, un esquema.

Este procedimiento se puede dividir en los siguientes pasos:

4.2. Problemas numéricosAna tiene el triple de dinero que Julio y entre los dos tienen 800 €. ¿Cuántodinero tiene cada uno?

a) Entérate: incógnitas, datos y preguntas

b) Manos a la obra

c) Solución y comprobación

136

4. Problemas de sistemas

En el dibujo de la izquierda está planteado un sistema correspon-diente a dos ecuaciones con dos incógnitas.

a) Suma las dos ecuaciones y halla el valor de un CD.

b) Observando la primera ecuación y sabiendo el valor de unCD, calcula el valor de una cinta de vídeo.


a) Entérate: se escriben las incógnitas, los datos y las preguntas. b) Manos a la obra: se plantean las relaciones, se transforman en un sis-

tema y se resuelve este sistema.

c) Solución y comprobación: se escriben las respuestas a las preguntas queplantea el problema, y se comprueba que cumplen las relaciones dadas.

x = 3yx + y = 800

Sistema

x = 3y x + y = 800

Suman800 €

Ana tiene eltriple que Julio

Ecuaciones

Incógnitas:Dinero de Ana: xDinero de Julio: y

}

BLOQUE II: ÁLGEBRA

Ana tiene el triple que Julio ⇒ x = 3y

(Dinero de Ana) + (Dinero de Julio) = 800 € ⇒ x + y = 800

Sistema: Se resuelve el sistema por sustitución.

3y + y = 800 ⇒ 4y = 800 ⇒ y = 200

Sustituyendo y = 200 en x = 3y ⇒ x = 3 · 200 = 600

x = 600, y = 200

x = 3y

x + y = 800 }

Dinero que tiene Ana: x; Dinero que tiene Julio: y

Ana tiene el triple que Julio. Entre los dos tienen 800 €

¿Cuánto dinero tiene cada uno?

Ana tiene 600 € y Julio tiene 200 €

Ana tiene el triple que Julio ⇒ 600 = 3 · 200

Entre los dos tienen: 600 + 200 = 800 €

Chema

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4.3. Problemas geométricosEn un rectángulo, la suma de las longitudes de la base y de la altura es 35 m yla longitud de la base menos la longitud de la altura es 7 m. ¿Cuánto midecada lado?

a) Entérate: incógnitas, datos y preguntas

b) Manos a la obra

c) Solución y comprobación


Halla dos números sabiendo que uno es el dobledel otro y que entre los dos suman 51

En un garaje hay 18 vehículos entre coches ymotos. Sin contar las ruedas de repuesto hay 58ruedas. ¿Cuántas motos y coches hay?

El perímetro de un triángulo isósceles mide 65 m,y cada uno de los lados iguales mide el doble dellado desigual. ¿Cuánto mide cada lado?

El doble de un número más el triple de otronúmero es igual a 80, y el quíntuplo del primeromenos la mitad del segundo es igual a 56. ¿De quénúmeros se trata?

Los alumnos de un centro van a ir al teatro. El pre-cio de una entrada sin descuento es de 4,5 € ycon descuento especial para colegios es de 1,5 €.Se sacan 250 entradas, unas con descuento y otrassin descuento, y en total se pagan 675 €. ¿Cuántasentradas se han comprado con descuento? ¿Y sindescuento?

Tres cintas de vídeo y 2 CD cuestan 12 €; 4 cintasde vídeo y 4 CD cuestan 18 €. Calcula cuántocuestan cada cinta de vídeo y cada CD.

Halla la ecuación de la recta ax + by = 2 sabiendoque pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 7)

26

25

24

23

22

21

20


x + y = 35x – y = 7

Sistema

x + y = 35 x – y = 7

Base menosaltura 7 mSuman 35 m

Ecuaciones

Incógnitas:Medida de la base: xMedida de la altura: y

}

y

x

La base mide 21 m

La altura mide 14 m

Suma de la base y de la altura: 21 + 14 = 35 m

Base menos altura: 21 – 14 = 7 m

Base + Altura = 35 ⇒ x + y = 35

Base – Altura = 7 ⇒ x – y = 7

Sistema: Se resuelve por reducción.

Sumando las dos ecuaciones se obtiene:

2x = 42

x = 21

Sustituyendo x = 21 en x + y = 35

21 + y = 35

y = 14

x = 21, y = 14

x + y = 35

x – y = 7 }

Medida de la base: x

Medida de la altura: y

La suma de la base y de la altura es 35 m

La base menos la altura es 7 m

¿Cuánto mide la base y la altura?

Chema

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1. Sistemas lineales. Resolución gráfica

Comprueba que x = – 1, y = 5 es solución delsiguiente sistema:

Resuelve gráficamente los siguientes sistemas:

Aplica el criterio que relaciona los coeficientes delos siguientes sistemas para hallar cuántas solucio-nes tiene, haz la interpretación gráfica, clasifícalo yresuélvelo gráficamente:

Escribe un sistema que tenga como solución:

x = – 1, y = 2

2. Métodos de sustitución e igualaciónResuelve por el método más sencillo, sustitución oigualación, los siguientes sistemas:

3. Reducción y qué método utilizar

Resuelve por el método más sencillo los siguientessistemas:

4. Problemas de sistemas

Halla dos números sabiendo que uno es el cuá-druplo del otro y que entre los dos suman 55

Dos hogazas de pan y 8 barras pesan 6 kg y 12barras y una hogaza pesan 4 kg. ¿Cuánto pesacada barra de pan y cada hogaza?

El triple de un número menos el doble de otronúmero es igual a 45 y el doble del primeromenos la cuarta parte del segundo es igual a 43.¿De qué números se trata?

El perímetro de un romboide mide 42 m y unlado mide 7 metros más que el otro. ¿Cuántomide cada lado?

Un ángulo de un rombo mide el doble que elotro. ¿Cuánto mide cada ángulo?

61

60

59

58

57

⎧⎨⎩

y = 2x + 8y = – x – 1

56

⎧⎨⎩

2x – 3y = 95x + 4y = 11

55

⎧⎨⎩

y = 3x + 1y = 4x – 2

54

⎧⎨⎩

3x – 4y = 35x + 6y = 5

53

⎧⎨⎩

x = 2y + 33x + 4y = 5

52

⎧⎨⎩

4x – 5y = 223x – 5y = 19

51

⎧⎨⎩

2x + y = 33x – 4y = 10

50

⎧⎨⎩

3x + 2y = 17– 3x + 5y = 11

49

⎧⎨⎩

x + 0,75y = 3x – 0,5y = 5

48

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x y— + — = 53 2x y— – — = 12 4

47

⎧⎨⎩

y = – 2x + 3y = 5x – 4

46⎧⎨⎩

2x – 3y = 13x + y = 7

45

⎧⎨⎩

x – 3y = – 8x + 2y = 17

44⎧⎨⎩

3x – y = 52x + y = 1

43

⎧⎨⎩

7x + 2y = 45x + y = 1

42⎧⎨⎩

x + 2y = 03x + 7y = 1

41

40

⎧⎨⎩

2x – y = 93x – 5y = 10

39⎧⎨⎩

– 2x + y = – 14x – 2y = 2

38

⎧⎨⎩

x + 3y = 73x + 9y = – 5

37⎧⎨⎩

3x – y = – 5x + 2y = – 4

36

⎧⎨⎩

x + 2y = 32x + 4y = 6

35⎧⎨⎩

2x + y = 12x + y = – 1

34

⎧⎨⎩

3x + y = 102x + 3y = 9

33⎧⎨⎩

x – 4y = 12x + 3y = – 2

32

⎧⎨⎩

2x + y = – 63x – y = 1

31⎧⎨⎩

x – 2y = – 42x + y = 7

30

⎧⎨⎩

x + y = 1x – 2y = – 8

29⎧⎨⎩

3x – y = 52x + 3y = – 4

28

⎧⎨⎩

– 3x + 2y = 134x + y = 1

27

Ejercicios y problemas

Chema

Text Box



Resuelve gráficamente los sistemas:

a) b)

Resuelve por el método más sencillo los siguientessistemas:

Escribe un sistema que tenga la solución:

x = 3, y = –1

Calcula el valor de k para que x = 2, y = 1 seasolución del sistema:

Calcula dos números sabiendo que suman 92 yque su diferencia es 22

Para una fiesta se compran refrescos a 0,85 € ybolsas de frutos secos a 1,25 € . Por cadarefresco se compran tres bolsas de frutossecos y en total se pagan 230 € . ¿Cuántosrefrescos y bolsas se han comprado?

Halla dos números cuya suma sea 12 y el pri-mero más el doble del segundo sea igual a 19

Un ángulo de un rombo mide el triple que elotro. ¿Cuánto mide cada ángulo?

Halla la edad de un padre y la de su hijo sabien-do que la edad del padre es el triple de la delhijo y la diferencia de las edades es de 28 años.

Halla los lados de un rectángulo sabiendo queel perímetro mide 130 m y que la base es 3/2de la altura.

Un pantalón y una camisa cuestan 60 € y hepagado por ellos 52,8 €. Si en el pantalón mehan hecho el 10% de descuento y en la camisa,el 15%, ¿cuánto costaba cada prenda?

81

80

79

78

77

76

75

⎧⎨⎩

x + 2y = 4kx – y = 9

74

73

⎧⎨⎩

0,25x + 0,5y = 20,75x – 0,5y = 5

72

⎧⎪⎨⎪⎩

x + 2y———— = 35

2x + 5y – 8 = 4(y + 1)71

⎧⎪⎨⎪⎩

x y— + — = 32 35x + 2y = 4x + 10

70

⎧⎪⎨⎪⎩

x y— = —3 42x + 3y = 9

69

⎧⎨⎩

5x + 3y = 113x + 5y = 13

68

⎧⎨⎩

x = y – 7x + 2y = 5

67

⎧⎨⎩

3x – 5y = 42x + y = 7

66

⎧⎨⎩

2x + 3y = 123x – 2y = 5

65

⎧⎨⎩

x + y = 16x + 1 = y – 1

64

⎧⎨⎩

3x + 2y = 25x – 4y = 40

63

⎧⎨⎩

2x – y = 0x – 2y = 0

⎧⎨⎩

x + y = 0x – y = 0

62

Ejercicios y problemasPara ampliar

Problemas

Se mezcla café de calidad extra de 12 €/kg concafé normal de 7 €/kg para obtener una mezclade 40 kg a 9 €/kg. ¿Cuántos kilos hemos mez-clado de cada clase?

Halla la ecuación de la recta y = ax + b sabien-do que pasa por los puntos A(1, 5) y B(–1, 1)

José ha comprado en el mercado 3 kg de man-zanas y 2 kg de higos y ha pagado 14 €. Sabien-do que el kilo de higos cuesta el doble que elde manzanas, halla el precio del kilo de manza-nas y del kilo de higos.

84

83

82

Chema

Text Box



El perímetro de un triángulo isósceles mide27,5 m y cada uno de los lados iguales mide 2,5 mmás que el desigual. ¿Cuánto mide cada lado?

Por una camisa y un pantalón se han pagado120 €, y por dos camisas y tres pantalones sehan pagado 312 €. ¿Cuánto cuestan cada cami-sa y cada pantalón?

El ángulo desigual de un triángulo isóscelesmide la mitad de cada uno de los iguales.¿Cuánto mide cada uno de los ángulos?

Pedro y María van a comprar cuadernos y bolí-grafos. Pedro paga 30 € por 5 cuadernos y 6bolígrafos, y María paga 34 € por 7 cuadernosy 2 bolígrafos. ¿Cuánto cuestan cada cuadernoy cada bolígrafo?

Una fábrica hace bicicletas del tipo A, que llevan1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y otras deltipo B, que llevan 2 kg de acero y 2 kg de alumi-nio. Si la empresa tiene 240 kg de acero y360 kg de aluminio, ¿cuántas bicicletas puedeconstruir de cada modelo?

Se mezcla aceite puro de oliva de 3,5 € el litrocon aceite de orujo de 2,5 € el litro, para obte-ner 400 litros de mezcla a 2,75 € el litro. ¿Cuán-tos litros hemos mezclado de cada aceite?

Halla dos números sabiendo que al dividir elmayor entre el menor se obtiene de cociente 2y de resto 3, y que la suma de los dos númeroses 39

Entre conejos y gallinas hay 48 animales en uncorral. Sabiendo que en total hay 86 patas,¿cuántos conejos y gallinas hay? Interpreta elresultado.

El perímetro de un rectángulo mide 21 m y unode los lados mide el doble del otro. ¿Cuántomide cada lado?

El triple de un número más otro número esigual a 29 y el doble del primero menos lamitad del segundo es igual a 10. ¿De qué núme-ros se trata?

Reparte 55 € proporcionalmente a 2 y 3

En una tienda, 2 pares de zapatos y 3 pares dedeportivos cuestan 170 €, y se han pagado por

ellos 132 €. Si en los zapatos han hecho el 25%de descuento y en los deportivos el 20%,¿cuánto costaba cada par?

Dos revistas deportivas y una de automóvilescuestan 6 €. Cuatro revistas deportivas y dos deautomóviles cuestan 12 €. Calcula cuánto cues-tan cada revista deportiva y cada revista de auto-móviles. Interpreta el resultado que se obtiene.

Para profundizar

Halla dos números tales que su suma sea 25 yla sexta parte del primero más cinco veces elsegundo sea igual a 38

Entre Juan y Antonio hacen un trabajo por elque cobran 654 €. Si Juan ha hecho los 2/3 deltrabajo que ha hecho Antonio, ¿cuánto tieneque cobrar cada uno?

En un puesto se venden melones y sandías porunidades. Por la compra de 3 melones y 2 san-días se pagan 8 €, y por la compra de 6 melo-nes y 4 sandías se pagan 15 €. Calcula el preciode cada melón y de cada sandía e interpreta elresultado que obtengas.

Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyoperímetro es 306 m y cuya altura mide los 3/4de la base.

Se mezcla cebada de 0,15 €/kg con trigo de0,2 €/kg para obtener 500 kg de pienso paraanimales a 0,17 €/kg. ¿Cuántos kilos de cebaday de trigo hemos mezclado?

El perímetro de un rectángulo mide 24 m y lasuma de dos lados contiguos mide 12 m. Calcu-la la longitud de los lados del rectángulo einterpreta el resultado que obtengas.

Halla dos números directamente proporciona-les a 5 y 7 cuya suma sea 36

La suma de las edades de un padre y su hijo esde 75 años y la diferencia es de 45 años. ¿Quéedad tienen el padre y el hijo?

Un número está compuesto de dos cifras quesuman 6 unidades. Si cambiamos las dos cifrasde orden, el número aumenta en 18 unidades.¿De qué número se trata?

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102

101

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99

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93

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90

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Ejercicios y problemas

Chema

Text Box



Problemas de velocidades

Dos ciudades, A y B, distan entre sí 600 km. De la ciudad A sale hacia la ciudad B un coche a80 km/h. Al mismo tiempo sale de la ciudad B hacia la ciudad A una moto a 120 km/h. Calcula eltiempo que tardarán en encontrarse y la distancia que ha recorrido cada vehículo.

El tiempo t es el mismo para los dos y hay que aplicar la fórmula e = v · t

Dos ciudades, A y B, distan entre sí 800 km. De la ciudad A sale hacia la ciudad B un tren de mer-cancías a 80 km/h. Tres horas más tarde sale de la misma estación A otro tren de pasajeros a120 km/h. Calcula el tiempo que tardará el segundo tren en alcanzar al primero y la distancia quehan recorrido los dos trenes.

108

107

Aplica tus competencias

Clasifica un sistema a partir del número de soluciones y pon un ejemplo de un sistema incompatible.

Resuelve gráficamente el sistema:

Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema:




Ana tiene el triple de dinero que Julio y entre los dos tienen 800 €. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

Un prado tiene forma rectangular. La altura del rectángulo mide 5 m menos que la base y el períme-tro mide 82 m. Halla el área del prado.

8

7

⎧⎨⎩

x = 2y – 1x = 3y – 6

6

⎧⎨⎩

2x + 3y = 75x – 6y = 4

5

⎧⎨⎩

2x + y = 23x – y = – 7

4

⎧⎨⎩

3x + y = 02x – 3y = 11

3

⎧⎨⎩

2x + y = 5x – 3y = – 1

2

1

Comprueba lo que sabes

600 km

A B

600 – x

80 km/h 120 km/h

x

A B

80 km/h

120 km/h

xC

Tiempo del tren de mercancías: t + 3

Tiempo del tren de pasajeros: t

Chema

Text Box



Resuelve algebraicamente el siguiente sistemay clasifícalo a la vista del resultado:

Solución:a) Elige en la barra de menús Resolver/Siste-

ma… En el número de ecuaciones escribe2 y pulsa el botón Sí

b) Introduce las ecuaciones, una en cada cua-dro de texto, y pulsa el botón Resolver

[x = 2 ∧ y = 3]

El sistema es compatible determinado.


Solución:Introduce las ecuaciones y pulsa Resolver

[ ]

Como no hay solución, el sistema es incom-patible.


Solución:a) Introduce las ecuaciones y pulsa Resolver

[3x – y = –1]

Como la solución es una ecuación, el siste-ma es compatible indeterminado.

b) Elige Resolver o despejar y en el cua-dro Variables marca solo la variable y. Hazclic en el botón Resolver

[y = 3x + 1]

Dando valores a x se obtienen los corres-pondientes valores de y, que son las infini-tas soluciones que tiene el sistema. Porejemplo: x = 0, y = 1; x = 1, y = 4, etcétera.

Resuelve gráficamente el siguiente sistema,clasifícalo y, si es compatible determinado,halla la solución.

Solución:

a) En la ventana Álgebra elige Ventana 2D

b) Selecciona en la barra de menús:

Ventana/Mosaico Vertical

c) Escoge en la barra de menús:

Opciones/Pantalla…/Rejilla

• Mostrar/Líneas color azul claro.

• En Intervalos escribe en Horizontal: 12y en Vertical: 12

d)En la Entrada de Expresiones escribe laprimera ecuación:

2x + y = 9

e) Pulsa Introducir Expresión

f ) Activa la Gráficas-2D y haz clic en Representar Expresión

g) Representa de igual forma la 2ª ecuación.

El sistema es compatible determinado.


Internet. Abre la web: www.editorial-bru-no.es y elige Matemáticas, curso y tema.

113

⎧⎨⎩

2x + y = 9x – 3y = 1

112

⎧⎨⎩

3x – y = – 1– 9x + 3y = 3

111

⎧⎨⎩

2x + 3y = 64x + 6y = – 3

110

⎧⎨⎩

x + 2y = 83x – y = 3

109

Paso a paso

Ajusta la configuración: en la barra de menú elige Opciones/Ajustes de Modo…/Simplificación/Restablecer


Chema

Text Box



Resuelve algebraicamente los siguientes siste-mas y clasifícalos a la vista del resultado:

a) b)


a) b)

Resuelve gráficamente los siguientes sistemas,clasifícalos y, si son compatibles determina-dos, halla la solución:

a) b)

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos conayuda de DERIVE:

Ana tiene el triple de dinero que Julio y entrelos dos tienen 800 €. ¿Cuánto dinero tienecada uno?

En un rectángulo, la suma de las longitudesde la base y la altura es 35 m y la longitud dela base menos la longitud de la altura es 7 m.¿Cuánto mide cada lado?

118

117

⎧⎨⎩

2x + 3y = 123x – 2y = 5

⎧⎨⎩

x – y = 1– 2x + 2y = 5

116

⎧⎨⎩

3x – 5y = 42x + y = 7

⎧⎨⎩

9x – 6y = 12– 3x + 2y = – 4

115

⎧⎨⎩

4x – 6y = 3– 2x + 3y = 5

⎧⎨⎩

3x + 2y = 25x – 4y = 40

114

Así funciona

Resolución algebraica de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitasEn la ventana Álgebra, barra de menús, se elige Resolver/Sistema…, en el núme-ro de ecuaciones se escribe 2 y se pulsa el botón SíSe introducen las ecuaciones, una en cada cuadro de texto, y se pulsa el botónResolver

Se pueden presentar tres casos:

a) Si el sistema es compatible determinado, escribe la solución.

b) Si el sistema es incompatible, escribe [ ]

c) Si el sistema es compatible indeterminado, elimina unaecuación. Después, se tiene que elegir Resolver o des-pejar. En el cuadro Variables se marca solo la variable quese quiere despejar y se hace clic en el botón Resolver

Resolución gráfica de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas

a) Se hace clic en Ventana 2D. Se abre dicha ventana.

b) Se selecciona en la barra de menús Ventana/Mosaico Verticalc) Se escoge en la barra de menús Opciones/Pantalla…/Rejilla

• Mostrar/Líneas color azul claro.

• En Intervalos se escribe en Horizontal: 12 y en Vertical: 12

d)En la Entrada de Expresiones se escribe la 1ª ecuación y se pulsa Introducir Expresión

e) Se activa la Ventana 2D y se hace clic en Representar Expresión

f ) En la Entrada de Expresiones se escribe la 2ª ecuación y se pulsa Introducir Expresión

g) Se activa la ventana Gráficas-2D y se hace clic en Representar Expresión

Borrar gráficasEstando activa la ventana Gráficas-2D, se elige Borrar la última gráfica

Practica

Windows Derive

Chema

Text Box




Solución:a) En , elige

y escribe las dos ecuaciones.

b) Pulsa Calcular


Solución:


Solución:

Le añadimos {y} para que despeje la 2ª varia-ble en función de la 1ª

Resuelve gráficamente el siguiente sistema,clasifícalo y, si es compatible determinado,halla la solución.

Solución:

a) En , elige y escri-be:

representar(2x + y = 9, {color = rojo})

b) Pulsa [Intro] para continuar en el mismobloque y escribe:

c) representar(x – 3y = 1, {color = azul})

d)Pulsa Calcular

Internet. Abre la web: www.editorial-bru-no.es y elige Matemáticas, curso y tema.

113

⎧⎨⎩

2x + y = 9x – 3y = 1

112

⎧⎨⎩

3x – y = – 1– 9x + 3y = 3

111

⎧⎨⎩

2x + 3y = 64x + 6y = – 3

110

⎧⎨⎩

x + 2y = 83x – y = 3

109

Paso a paso


Chema

Text Box




a) b)


a) b)

Resuelve gráficamente los siguientes sistemas,clasifícalos y, si son compatibles determina-dos, halla la solución:

a) b)

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos conayuda de Wiris:

Ana tiene el triple de dinero que Julio y entrelos dos tienen 800 €. ¿Cuánto dinero tienecada uno?

En un rectángulo, la suma de las longitudesde la base y la altura es 35 m y la longitud dela base menos la longitud de la altura es 7 m.¿Cuánto mide cada lado?

118

117

⎧⎨⎩

2x + 3y = 123x – 2y = 5

⎧⎨⎩

x – y = 1– 2x + 2y = 5

116

⎧⎨⎩

3x – 5y = 42x + y = 7

⎧⎨⎩

9x – 6y = 12– 3x + 2y = – 4

115

⎧⎨⎩

4x – 6y = 3– 2x + 3y = 5

⎧⎨⎩

3x + 2y = 25x – 4y = 40

114

Así funciona

Resolución algebraica de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas

En , se elige ; en el númerode ecuaciones se escribe 2 y se pulsa el botón Aceptar

Se escriben las dos ecuaciones y se pulsa el botón Calcular

Se pueden presentar 3 casos:

a) Si el sistema es compatible determinado, escribe la solu-ción.

b) Si el sistema es incompatible, escribe [ ]

c) Si el sistema es compatible indeterminado, despeja la 1ªvariable en función de la 2ª. Si se quiere la 2ª variable en fun-ción de la 1ª, hay que añadir la 2ª entre llaves después del sis-tema: resolver({sistema},{y})

Resolución gráfica de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas

a) En , se elige y se escribe la 1ª ecuación:

representar(2x + y = 9, {color = rojo})

b) Se pulsa [Intro] para continuar en el mismo bloque y se escribe la 2ª ecuación:

representar(x – 3y = 1, {color = azul})

c) Se pulsa Calcular

Practica

Linux/Windows

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Text Box


7 lineales © grupo editorial bruño, sl. matemáticas de ...platea.pntic.mec.es/jarias/bruno/pfdn/3...

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