7. Delci in materialno (snovno) valovanje

Snovni delci (protoni, nevtroni, elektroni)

- ne moremo določiti (izmeriti) trenutne lege in hitrosti

- njihovo gibanje ne moremo določiti s klasično mehaniko

- obravnavamo lahko povprečno obnašanje množice delcev – SNOVNO

VALOVANJE (podobno kot EM valovanje pri fotonih).

de Broglie (1925) snovnim delcem pripiše dvojno naravo. Ti se vedejo kot delci (G, W) ali

kot valovanje ()

7.1 Opis pojavov s snovnim valovanjem Pojavi, ki spremljajo gibanje množice snovnih delcev lahko opišemo s snovnim valovanjem.

Primer:

Gibanje elektronov skozi elektronski mikroskop

Podobno kot se fotoni odbijajo od površin in pri prehodu skozi leče tvorijo slike, se lahko tudi

elektroni odbijejo od površine in pri prehodu skozi EM polje tvorijo slike.

Elektrone, ki izparevajo iz vroče katode, pospešimo z napetostjo reda velikosti 100 kV, tako

da je energija elektronov reda velikosti 100 keV, njihova valovna dolžina pa 10-12

m. Ker je

valovna dolžina elektronov mnogo manjša od valovne dolžine vidne svetlobe, lahko z

elektronskim mikroskopom opazujemo mnogo manjše predmete kot z optičnim. Povečave so

lahko bistveno večje, v praksi dosegamo do približno milijonkratne povečave.

Primer:

Uklon curka elektronov na kristalu.

Porazdelitev odbitih elektronov po smereh je analogna porazdelitvi svetlobe, ki se odbija od

uklonske mrežice.

2𝑑 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝑁 d - razdalja med dvema sosednjima kristalnima ravninama

Primer:

Poskus z režama

Delci (elektroni), ki letijo skozi režo, ustvarijo uklonsko sliko. Na zaslonu za steno beležimo

elektrone z ustreznimi detektorji. Dobimo enak rezultat kot pri fotonih – interferenčno sliko.

To je dokaz za valovno naravo delcev.

7.2 Valovna dolžina snovnega valovanja de Broglijeva valovna dolžina

Relativistična gibalna količina

𝐺 = 𝑚(𝑣)𝑣

Zveza med gibalno količino in celotno energijo telesa

𝑊 = 𝑚(𝑣)𝑐2

𝑊0 = 𝑚0𝑐2

𝑊2 = 𝑊02 + 𝑐2𝐺2

Za fotone velja:

𝑊0 = 0 𝑊 = 𝑐𝐺

𝑊 = ℎ𝜈 =ℎ𝑐

𝐺 =ℎ

Za snovne delce definiramo:

=ℎ

G=

ℎ

mv

Primer 1:

m=1g, v=1 m/s

=ℎ

G=

ℎ

mv= 6,6 10−31 𝑚 ≪ 𝑑𝑜𝑣𝑖𝑟

Primer 2:

curek elektronov, ki preleti napetost 54 V

𝑚𝑣2

2= 𝑒𝑈 =

ℎ

G=

ℎ

mv= 1,7 10−10 𝑚 ≈ 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑣 𝑣 𝑘𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎𝑙𝑖ℎ

7.3 Valovno načelo nedoločenosti

Opišimo uklon delcev (npr. elektronov) na eni reži v delčni sliki. Valovna dolžina

valovanja naj bo majhna glede na širino reže (λ<< d):

- delci z gibalno količino Gx in valovno dolžino λ vpadajo pravokotno na režo:

𝐺𝑥 =ℎ

- delci na zaslonu tvorijo uklonsko sliko,

The single slit experiment

- povemo lahko le verjetnost, da bo delec zadel zaslon v določeni točki (v klasični

mehaniki lahko napovemo gibanje, če poznamo začetno lego in hitrost),

- 85 % delcev zadene zaslon v območju srednjega maksimuma, zanje je kot uklona po

absolutni vrednosti manjši od mejnega kota za prvi minimum:

𝛼𝑚 ≈ sin(𝛼𝑚) = 𝑁 /𝑑; N = 1 (Fraunhoferjev uklon na reži)

- delec, ki se ukloni za kot α in torej pade na zaslon izven centralne točke, mora imeti

gibalno količino v prečni smeri:

𝐺𝑦 = 𝐺𝑥 𝛼

- delci, ki se uklonijo za kot αm, imajo gibalno količino v prečni smeri:

𝐺𝑦 = 𝐺𝑥 𝛼𝑚 =ℎ

𝑑=

ℎ

𝑑

- uklonska slika je simetrična, enako število delcev se odkloni v pozitivno smer kot v

negativno, torej je njihova povprečna gibalna količina v prečni smeri enaka nič.

- večina delcev ima gibalno količino v prečni smeri Gy med –h/d in +h/d, nekateri pa

tudi večjo. Za nedoločenost (variacije) gibalne količine v prečni smeri za vse delce

velja:

∆𝐺𝑦 ≥ℎ

𝑑

- ne vemo točno, kje je delec šel skozi režo, torej je nedoločenost lege delca v prečni

smeri enaka širini reže:

∆𝑦 = 𝑑.

- velja:

∆𝐺𝑦 ∆𝑦 ≥ ℎ.

Heisenbergovo načelo nedoločenosti pravi: produkt nedoločenosti legein nedoločenosti

gibalne količinene more biti manjši od h/(2π):

∆𝑥 ∆𝐺𝑥 ≥ ℏ

ℏ =ℎ

2𝜋= 1,055 ∙ 10−34 𝐽𝑠

Podobno velja za nedoločenost časa in nedoločenosti energije

∆𝑡 ∆𝑊 ≥ ℏ

7.4 Schrödingerjeva enačba in valovna funkcija

Pojave v mikrosvetu rešujemo (opisujemo) s pomočjo Schrödingerjeve enačbe, ki je

dobljena eksperimentalno (kot 2. Newtonov zakon).

Predstavlja osnovno enačbo kvantne mehanike, ki stoji na stališču, da ne moremo

natančno napovedati lege delca (Heisenbergovo načelo), ampak le z določeno

verjetnostjo.

Pojmov kot so: tir delca, lega delca, valovanje, v kvantni mehaniki ne uporabljamo več. Te

pojme uporabljamo samo še v klasični fiziki, ki opisuje makrosvet.

Če hočemo rešiti Schrödingerjevo enačbo potrebujemo potencialno energijo delca v polju

sil:

pW Fdr ; F : so sile na delec

b

a

Schrödingerjeva enačba

2 2 2 2

p 2 2 2W i ; ,

2 t 2

h

m x y z

Z rešitvijo Schrödingerjeve enačbe dobimo valovno funkcijo:

( , )r t ,

ki sama nima fizikalnega pomena.

Valovna funkcija

𝜓(𝑟, 𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(�⃑⃑�𝑟 − 𝜔𝑡 + 𝛿)

𝑢(𝑟, 𝑡) = 𝑢0 𝑐𝑜𝑠(�⃑⃑�𝑟 − 𝜔𝑡 + 𝛿) Mehansko valovanje

𝐸(𝑟, 𝑡) = 𝐸0 𝑐𝑜𝑠(�⃑⃑�𝑟 − 𝜔𝑡 + 𝛿)

𝐻(𝑟, 𝑡) = 𝐻0 𝑐𝑜𝑠(�⃑⃑�𝑟 − 𝜔𝑡 + 𝛿)

EM – valovanje

𝜓(𝑟, 𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(�⃑⃑�𝑟 − 𝜔𝑡 + 𝛿) Snovno valovanje

Kompleksna pisava

Računanje z valovnimi funkcijami je enostavnejše, če namesto kotnih funkcij sinus in kosinus

uporabljamo kompleksno pisavo.

Ravno valovanje (v smeri - x)

𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

je realni del kompleksne valovne funkcije:

𝜓 = 𝐴 𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + 𝑖 𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

Pri linearnih operacijah (seštevanje, množenje s skalarjem) se realni in kompleksni del ne

mešata – računamo lahko v kompleksnem zapisu in na koncu upoštevamo le realni del

rezultata.

Kvadrat amplitude ravnega vala je enak kvadratu absolutne vrednosti kompleksne valovne

funkcije:

𝜓 ∙ 𝜓∗ = 𝐴 𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)𝐴 𝑒−𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) = 𝐴2

Pomen valovne funkcije

Zaradi enostavnosti se omejimo na eno prostorsko dimenzijo. V kvantni mehaniki imajo

valovna funkcija in iz nje izpeljane količine naslednji pomen:

𝜓(𝑥, 𝑡) - valovna funkcija (običajno kompleksna funkcija časa in kraja)

|𝜓|2 = 𝜓 ∙ 𝜓∗ - verjetnostna gostota (kvadrat absolutne vrednosti valovne funkcije),

|𝜓|2𝑑𝑥 - verjetnost, da ob času tnajdemo delec v intervalu dx okoli x (to je med (x - dx/2) in

(x + dx/2)),

∫ |𝜓|2𝑑𝑥𝑥2

𝑥1 - verjetnost, da ob času t najdemo delec med x1in x2

∫ |𝜓|2𝑑𝑥

−= 1 - verjetnost, da ob času t najdemo delec kjerkoli med - in .

Ravni val

Preizkusimo Schroedingerjevo enačbo za prosti delec, ki ga v valovni sliki opišemo kot

ravni val:

- ker je delec prost, je potencialna energija enaka 0: Wp = 0,

−ℏ2

2𝑚 𝜕2𝜓

𝜕𝑥2+ 𝑊𝑝𝜓 = 𝑖ℏ

𝜕𝜓

𝜕𝑡

−ℏ2

2𝑚 𝜕2𝜓

𝜕𝑥2= 𝑖ℏ

𝜕𝜓

𝜕𝑡

Rešitev (ravni val):

𝜓 = 𝐴 𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)

Preizkus:

ℏ2

2𝑚𝑘2𝜓 = ℏ𝜔𝜓,

ℏ𝜔 = ℎ = 𝑊 = 𝑊𝑘 + 𝑊𝑝 = 𝑊𝑘

𝐺 = 𝑚𝑣 =ℎ

= ℏ𝑘 → 𝑘 =

𝐺

ℏ=

𝑚𝑣

ℏ

ℏ2

2𝑚(

𝑚𝑣

ℏ)

2

= 𝑊𝑘,

𝑊𝑘 = 𝑊𝑘

Za ravni val velja:

𝜓 = 𝐴 𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡), 𝑘 =𝐺

ℏ, 𝜔 =

𝑊

ℏ, 𝑐 =

𝜔

𝑘=

|𝜓|2 = 𝐴2 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎

- verjetnostna gostota je neodvisna od kraja (za vse točke enaka), delec je torej z

enako verjetnostjo kjerkoli, to pomeni, da je nedoločenost lege neskončno velika,

- to je v skladu s principom nedoločenosti (∆𝑥 ∆𝐺 ≥ ℏ): gibalna količina G = ћk je

ostro določena (nedoločenost gibalne količine je 0),

- v stacionarnem stanju je tudi nedoločenost časa neskončna, stanje ima ostro

določeno energijo (nedoločenost energije je nič),

Valovni paket

- rešitev Schroedingerjeve enačbe za prosti delec je ravni val s poljubno energijo oz.

gibalno količino,

- ker je enačba linearna, jo reši tudi poljubna linearna kombinacija ravnih valov,

- Fourierjev princip: poljubno obliko lahko sestavimo kot vsoto harmoničnih funkcij,

Nedoločenost lege in gibalne količine valovnega paketa: ∆𝑥 ∆𝐺𝑥 ≥ ℏ

Tradeoff between spread of a wave-

packet in position-space (left) and

momenum-space (right).

x k =2/= G/ћ

Stacionarno stanje

Verjetnostna gostota je v splošnem odvisna od kraja in časa (delec npr. potuje). Stanje, za

katerega se verjetnostna gostota s časom ne spreminja, imenujemo stacionarno stanje -

verjetnost, da najdemo delec na danem mestu, je ves čas enaka (se ne spreminja).

Za tako stanje lahko zapišemo valovno funkcijo v obliki:

𝜓 = 𝐴 𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) = 𝑢(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑡

Kadar nas zanimajo razmere, ki niso odvisne od časa, lahko Schrödingerjevo enačbo

preuredimo z nastavkom:

𝜓 = 𝑢(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑡

𝑢(𝑥) je krajevni del valovne funkcije.

Ko nastavek vstavimo v Schrödingerjevo enačbo dobimo:

−ℏ2

2𝑚 𝜕2𝜓

𝜕𝑥2+ 𝑊𝑝𝜓 = 𝑖ℏ

𝜕𝜓

𝜕𝑡

sledi:

−ℏ2

2𝑚 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2𝑒−𝑖𝜔𝑡 + 𝑊𝑝𝑢𝑒−𝑖𝜔𝑡 = 𝜔ℏ𝑢𝑒−𝑖𝜔𝑡

Upoštevajmo še, da je celotna energija: 𝑊 = ℎ = ℎ𝜔

2𝜋= 𝜔ℏ

in dobimo:

−ℏ2

2𝑚 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+ 𝑊𝑝 = 𝑊𝑢

ℏ2

2𝑚 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+ (𝑊 − 𝑊𝑝)𝑢 = 0

To je tako imenovana stacionarna Schrödingerjeva enačba.

Rešitev enačbe je krajevni del valovne funkcije (u), kjer je verjetnost, da je delec v volumnu

Vd :

𝑑𝑝 = 𝑢 𝑢∗𝑑𝑉 = |𝑢|2𝑑𝑉

7.5 Delec v enodimenzionalni neskončni

potencialni jami

V tem poglavju bomo rešili

Schrödingerjevo enačbo za

enodimenzionalni primer. Delec je

zaprt na intervalu med x=0 do x=a. Na

tem intervalu na delec ne delujejo

nobene sile (je prost) in je zato pW 0 .

Zunaj tega intervala pa so sile tako

velike, da delec ne more iz tega

intervala p(W ) .

Stacionarno stanje: Valovna funkcija: 𝜓 = 𝐴 𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) = 𝑢(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑡

|𝑢(𝑥)|2 – verjetnostna gostota

Verjetnost, da je delec zunaj jame

Ker delec ne more iz jame, je verjetnost, da je delec izven jame, enaka nič.

u( ) 0 za 0x x a (3.9)

Verjetnost, da je delec znotraj jame

Za notranjost jame pa moramo rešiti Schrödingerjevo enačbo (stacionarno stanje):

2 2

2(W-0) 0 za 0

2

d uu x a

m dx

ali:

2

2 2

2 2

20 ;

d u mWk u k

dx (3.10)

Rešitev te enačbe je znana (Nihanje pri FIZIKI I.):

1 2u( ) sin cos sin( )x C kx C kx A kx (3.11)

Ker pa mora biti valovna funkcija v vsem prostoru zvezna, moramo z ozirom na (3.9)

zahtevati:

u( ) 0 in u( ) 0x o x a (3.12)

sledi:

0 in ; ; 1,2,3,...n

ka n k na

(3.13)

Tako imamo:

2 2

2

2 2

2sin in

n n mWu A x k

a a

(3.14)

Iz zadnje enačbe sledi nezvezen spekter za energije:

2 2 2

2 2

2 2W =

2 8n

hn n

ma ma

(3.15)

Konstanto A določimo iz pogoja:

2 2 2

0

2

2

0

1 sin

1 1 2A A

sin2

a

a

nu dx A xdx

a

a anxdx

a

(3.16)

𝑢(𝑥) = √2

𝑎𝑠𝑖𝑛 (

𝑛𝜋

𝑎𝑥)

Verjetnost, da se delec nahaja med 1 2x in x v jami, je torej:

2 2

1 1

x x2 2

n n

x x

P= P ( ) ; P ( ) nu dx x dx x u (3.17)

kjer je:

n

2 2

n

2sin

2P ( ) sin ; n=1,2,3,...n

nu x

a a

nx u x

a a

(3.18)

Grafično: Pn – verjentnostna gostota

Rešitev Schrödingerjeve enačbe da dvoje:

1.) valovno funkcijo

2.) enačbo za energije, ki so vselej nezvezne

število »n« se imenuje kvantno število.

7.6 Tridimenzionalna neskončna potencialna jama

Delec naj bo zaprt znotraj kvadra z robovi a,b,c. Znotraj je pW 0 (prost delec), zunaj pa

pW .

Zunaj kvadra je valovna funkcija enaka nič:

u( , , ) 0 0 ;0 ;0x y z za x a y b z c (3.23)

Za notranjost jame pa zapišemo Schrödingerjevo enačbo:

2 2 2 2

2 2 2( ) (W-0)u 0

2

u u n

m x y z

ali:

2 2 2

2 2

2 2 2 2

20 ;

u u u mWk u k

x y z

(3.24)

Enačbo rešimo z nastavkom:

u( , , ) ( ) ( ) ( )x y z X x Y y Z z (3.25)

Nastavek vstavimo v enačbo(3.24) in dobimo:

2X Y Z

kX Y Z

Zadnji enačbi je zadoščeno le, če je vsak člen na levi zase konstanten.

2 2 2

1 2 3 ; ; X Y Z

k k kX Y Z

(3.26)

Tako dobimo:

2 2 2 2

1 2 3k k k k (3.27)

in sistem diferencialnih enačb:

2 2 2

1 2 30 ; 0 ; 0X k X Y k Y Z k Z (3.28)

Rešitve teh enačb so znane:

1 1

2 2

3 3

( ) sin( )

( ) sin( )

( ) sin( )

X x A k x

Y y B k x

Z z C k x

(3.29)

Upoštevati moramo, da mora biti valovna funkcija zvezna v celotnem prostoru. Z

upoštevanjem enačb (3.29) in (3.23) dobimo:

1 2 3(0) 0 0 ; (0) 0 0 ; Z(0)=0 0X Y (3.30)

11 1

22 2

33 3

( , , ) 0 ; 1,2,3,...

( , , ) 0 ; 1,2,3,...

( , , ) 0 ; 1,2,3,...

nu x a y z k n

a

nu x y b z k n

b

nu x y z c k n

c

(3.30)

Z upoštevanjem enačb (3.30) in (3.24) v (3.27), dobimo enačbo za energijo:

2𝑚𝑊

ℏ2= 𝜋2 (

𝑛12

𝑎2+

𝑛22

𝑏2+

𝑛32

𝑐2)

𝑊 =ℏ2𝜋2

2𝑚(

𝑛12

𝑎2+

𝑛22

𝑏2+

𝑛32

𝑐2) =

ℎ2

8𝑚(

𝑛12

𝑎2+

𝑛22

𝑏2+

𝑛32

𝑐2)

Energije delca so torej diskretne. Za makrosvet, kjer je m 1 , W 1Jkg , pa so števila

1 2 3, ,n n n zelo velika(reda velikosti 3610 ) in se nezveznost zabriše. Energije v makrosvetu so

zvezne.

Valovna funkcija torej je:

31 28u( , , ) sin sin sin

nn nx y z x y z

abc a b c

(3.32)

1 2 3, ,n n n so kvantna števila.

7.7 Vodikov atom

Vodikov atom je edini atom, za katerega lahko Schrödingerjevo enačbo eksaktno

rešimo. Sestavljen je iz jedra (protona), v okolici pa je eden elektron. Med obema deluje

privlačna sila:

e je osnovni naboj,

191,6.10 As.

Koordinatni sistem postavimo »v proton«. Določimo še potencialno energijo elektrona v

električnem polju protona:

2

p p

0

W F r W4

ed

r (3.33)

Sedaj zapišemo Schrödingerjevo enačbo za elektron:

2 2

0

(W+ ) 02 4

eu u

m r (3.34)

Ker je pW funkcija samo »r«, imamo krogelno simetrijo. Zato je primerneje, če preidemo na

krogelni koordinatni sistem.

V krogelnih koordinatah dobi enačba obliko:

ℏ2

2𝑚 𝑢 + (𝑊 − 𝑊𝑝)𝑢 = 0 𝑢 +

2𝑚

ℏ2(𝑊 − 𝑊𝑝)𝑢 = 0 , 𝑢 =

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑧2

2 22 2

2 2 2

0

1 1 2( ) (sin ) (W+ ) 0

sin sin 4

u u u m er r u

r r r

(3.35)

Ko enačbo rešimo, dobimo:

1.) valovno funkcijo u( , , )r in

2.) enačbo za energijo

V rešitvah se zopet pojavijo tri kvantna števila (saj je primer tridimenzionalen).

7.7.1 Rešitev valovane enačbe

(Valovne funkcije in kvantna števila: n,l,m)

Valovno funkcijo elektrona zapišemo kot produkt radialnega in sfernega dela:

𝑢𝑛,𝑙,𝑚(𝑟, 𝜗, 𝜑) = 𝑅𝑛,𝑙(𝑟) ∙ 𝑌𝑙,𝑚(𝜗, 𝜑)

Pri reševanju Schrödingerjeve enačbe z zgornjim nsatavkom, dobimo tri kvantna števila

(tri prostostne stopnje):

»n« je glavno kvantno število: n = 1,2,3,...

»l« je tirno(stransko) kvantno število in je odvisno od vrednosti števila »n«; l=0,1,2,…,n-1

Podlupina (l = 0, 1, 2, … n-1; s, p, d, f, g, …)

»m« je magnetno kvantno število in je odvisno od vrednosti števila »l«; 0, 1, 2,...,m l

7.7.2 Valovna funkcija vodikovega atoma v osnovnem stanju

Elektron v osnovnem stanju ima kvantna števila enaka:

n = 1, l = 0, m = 0.

Stanje imenujemo tudi 1s.

Ker je orbitalno kvantno število enako nič pomeni, da valovna funkcija ni usmerjena, se

pravi je sferno simetrična.

Vrtilna količina pa je enaka 0, kar se ujema z eksperimentom.

Celotno valovno funkcijo zapišemo kot:

𝑢100 = 𝑅10(𝑟) ∙ 𝑌00(𝜗, 𝜑)

𝑅10(𝑟) = 2 (1

𝑎0)

3/2

𝑒−𝑟/𝑎0 𝑌00(𝜗, 𝜑) =1

√4𝜋

𝑢100 = 𝑅10(𝑟) ∙ 𝑌00(𝜗, 𝜑) =1

√𝜋(

1

𝑎0)

3/2

𝑒−𝑟/𝑎0

𝑎0 =ℎ2𝜀0

𝑒02𝑚𝜋

=(6,6 ∙10−34 Js)

2 8,85 ∙10−12 As/Vm

1∙(1,6∙10−19𝐴𝑠 )2 ∙ 9,1∙10−31 kg π = 0,53 ∙ 10−10 𝑚 (Bohrov radij)

7.7.3 Valovne funkcije vodikovega atoma v vzbujenem stanju

𝑢𝑛,𝑙,𝑚(𝑟, 𝜗, 𝜑) = 𝑅𝑛,𝑙(𝑟) ∙ 𝑌𝑙,𝑚(𝜗, 𝜑)

Radialni deli valovnih funkcij R(r)

𝑎0 =ℎ2𝜀0

𝑒02𝑚𝜋

=(6,6 ∙10−34 Js)

2 8,85 ∙10−12 As/Vm

1∙(1,6∙10−19𝐴𝑠 )2 ∙ 9,1∙10−31 kg π = 0,53 ∙ 10−10 𝑚 (Bohrov radij)

Če je orbitalno kvantno število različno od nič (l 0), je valovna funcija usmerjena.

7.7.4 Verjetnostna gostota 𝑷( 𝒓, 𝝑, 𝝋)

|𝑢𝑛𝑙𝑚|2 = 𝑢𝑛𝑙𝑚 𝑢𝑛𝑙𝑚∗

Kvadrat valovne funkcije, pomnožen z diferencialom prostora (dV), predstavlja

verjetnost, da se elektron nahaja na tem mestu (dV).

2

, ,n l mdp u dV 2 sindV r drd d

Valovne funkcije oblike un00 so neodvisne od

kotov , in v tem primeru velja:

24dV r dr

𝑃𝑛(𝑟) = 𝑑𝑝/𝑑𝑟 𝑑𝑝 = 𝑃𝑛(𝑟)𝑑𝑟

𝑝𝑛(𝑟) = |𝑢𝑛00|2 4𝜋𝑟2

𝑃1 = |𝑢100|2 4𝜋𝑟2 = 4 (1

𝑎0)

3

𝑒−2𝑟/𝑎0 𝑟2

𝑃2 = |𝑢200|2 4𝜋𝑟2

𝑃3 = |𝑢300|2 4𝜋𝑟2

Če elektron preide in 1s v 2s stanje, se mu poveča povprečni radij.

Naloga 1:

Določi najverjetnejšo oddaljenost elektrona od jedra vodikovega atoma v

osnovnem stanju.

u =1

√𝜋𝑎03/2

𝑒−𝑟/𝑎0

𝑑𝑝 = |𝑢|2𝑑𝑉 = |𝑢|24𝜋𝑟2𝑑𝑟

𝑑𝑝 =4

𝑎03 𝑒−2𝑟/𝑎0 𝑟2 𝑑𝑟 𝑃(𝑟) =

4

𝑎03 𝑒−2𝑟/𝑎0 𝑟2

𝑑𝑃(𝑟)

𝑑𝑟= 0 𝑟 = 𝑎0

Naloga 2:

Določi povprečno oddaljenost elektrona od jedra

�̅� =∫ 𝑟 𝑑𝑝

∞

0

∫ 𝑑𝑝∞

0

= ∫ 𝑟 𝑑𝑝∞

0

= ∫4

𝑎03 𝑒−2𝑟/𝑎0 𝑟3 𝑑𝑟

∞

0

=4

𝑎03 ∫ 𝑒−2𝑟/𝑎0 𝑟3 𝑑𝑟

∞

0

∫ 𝑒−𝑎𝑥𝑥𝑛 𝑑𝑥∞

0=

𝑛!

𝑎𝑛+1

�̅� =4

𝑎03

3!

(2/𝑎0)3+1=

3

2 𝑎0

7.7.5 Energija elektrona vodikovega atoma

Energija elektrona je odvisna samo od glavnega kvantnega števila:

Glej Bohrov model:

𝑊 = −𝑚𝑒0

4

8ℎ2휀02

1

𝑛2= −𝑊0

1

𝑛2

Energijski spekter:

Energija je odvisna samo od števila »n«.

Normalno elektron zaseda nivo z najmanjšo energijo (n = 1). Temu pravimo osnovno stanje,

ostalim pa vzbujena stanja (n = 2,3,4,..).

Elektron se lahko iz osnovnega stanja seli v vzbujena stanja le, če mu dovedemo energijo.

Stabilno je samo osnovno stanje.

Če je elektron v vzbujenem stanju, se v zelo kratkem času5( 10 )t s

vrne v osnovno stanje.

Pri tem pa višek energije odda v obliki fotona:

1 2f n nW W W

hc

(3.43)

Dobimo enačbo za valovne dolžine izsevane svetlobe.

2 2

2 1

1 1 1( )Rn n

7 11,097.10R m R je Rydbergova konstanta. (3.44)

Spekter izsevane svetlobe je črtast (nezvezen).

7.7.6 Fizikalni pomen kvantnih števil

- »n« (glavno kvantno število) določa energijo elektrona (polno energijo!)

n 2

1W 13,6eV

n

Ker je energija odvisna samo od enega kvantnega števila rečemo, da je energijski spekter

degeneriran.

- »l«(tirno ali stransko kvantno število) določa vrtilno količino elektrona pri gibanju okoli

jedra.

( 1) ; l=0,1,2,...,n-1L l l (3.41)

- »m«(magnetno kvantno število) določa projekcijo vrtilne količine v smeri osi »z«

zL ; m=0, 1, 2,..., lm (3.42)

Grafično si kvantni števili »l« in »m« predstavljamo:

Primer: l=1, m=0, +1, -1

7.7.4 Spin elektrona

Elektron ima tudi lastno vrtilno količino ali spin.

spin

1L ( 1) ; s=

2s s (3.46)

Račun pokaže, da je določena samo projekcija lastne vrtilne količine v smeri osi »z«:

spin, z s

1L ; m

2sm (3.47)

Lastna vrtilna količina ima v prostoru dve orientaciji: