7-1 7 7-2 7 บทที่ 7 7.1 สมการเชิงเส...
TRANSCRIPT
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-1
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
Linear Equations with Variable Coefficients
ภาคฤดูรอน ปการศึกษา 2550
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-2
7.1 สมการโคชี-ออยเลอร (The Cauchy-Euler Equation)คือสมการในรูปแบบ
)x(fyayxa yxayxa n1n)1n(1n
1)n(n
0 =+′+++ −−− L
ตัวอยาง 2xyyx =+′
แทนคา zex =
zxln = dx
dzx1 =
เพราะวา x1
dzdy
dxdz
dzdy dx
dy y ===′
dzdyyx =′
เพราะฉะนั้น 2xyyx =+′
z2eydzdy =+
z2ey)1D( =+ เมื่อ dzdD =
เพราะฉะนั้นผลเฉลยคือ
3eece1D
1ecyyyz2z
1z2z
1pc +=+
+=+= −−
3eec)z(y
z2z1 += −
3xxc)x(y
211 += −
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-3
สมการโคชี-ออยเลอรเอกพันธุอันดับสองอันดับ n)x(fyayxa yxayxa n1n
)1n(1n1
)n(n0 =+′+++ −
−− L
แทนคา zex = และกําหนดสัญลักษณ dzdD =
เพราะฉะนั้น zxln =
dxdz
x1 =
Dyx1
dxdz
dzdy
dxdyy ===′
Dydxdyx =
)DyyD(x1
dzdy
dzyd
x1
dxydy 2
22
2
22
2−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−==′′
y)1D(Ddx
ydx2
22 −=
กรณีทั่วไปจะไดวา y)1nD()1D(Ddx
ydxn
nn +−−= L
เพราะฉะนั้นสมการโคชี-ออยเลอรเอกพันธุอันดับ n0yayxa yxayxa n1n
)1n(1n1
)n(n0 =+′+++ −
−− L
จะเขียนในรูปตัวดําเนินการไดเปน 0yaDya y)1nD()1D(Da n1n0 =++++−− −LL
มีสมการชวยคือ0ama )1nm()1m(ma n1n0 =++++−− −LL
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-4
ทฤษฎีบทถา iy เปนผลเฉลยของ
0yayxa yxayxa n1n)1n(1n
1)n(n
0 =+′+++ −−− L
ซึ่งสมนัยกับราก im ของสมการชวย0ama )1nm()1m(ma n1n0 =++++−− −LL
และถารากนี้เปนรากซ้ํา k ครั้งแลว 1k
iii )x(lny , ,xlny ,y −K เปนผลเฉลย
ผลเฉลยทั่วไปของสมการ0yayxa yxayxa n1n
)1n(1n1
)n(n0 =+′+++ −
−− L
คือผลรวมเชิงเสนของผลเฉลยเหลานี้ที่ไดมาจากรากที่ตางกันทั้งหมดของสมการ
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 1 of 19
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-5
สมการโคชี-ออยเลอรเอกพันธุอันดับสองอันดับ 2 0cyybxyax2 =+′+′′
สมการชวยคือ 0cbm)1m(am =++−
0cm)ab(am2 =+−+
ผลเฉลยจําแนกเปน 3 กรณีคือกรณีที่ 1 ราก 2 รากเปนจํานวนจริงที่ตางกันคือ 1m และ 2m
ผลเฉลยทั่วไปคือ z2m2
z1m1 ecec )z(y +=
2m21m
1 xcxc )x(y +=
กรณีที่ 2 ราก 2 รากเปนจํานวนจริง 1m ที่ซ้ํากันผลเฉลยทั่วไปคือ z1m
2z1m
1 zecec )z(y +=
xlnxcxc )x(y 1m21m
1 +=
กรณีที่ 3 ราก 2 รากเปนจํานวนเชิงซอน iqp + และ iqp −
โดยที่ p และ q เปนจํานวนจริงซึ่ง 0q ≠
ผลเฉลยทั่วไปคือ )qzsincqzcosc(e)z(y 21pz +=
)]xlnqsin(c)xlnqcos(c[x )x(y 21p +=
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-6
ตัวอยางที่ 7.1.1 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ 0y3yx3yx2 =+′−′′
วิธีทาํ สมการชวยคือ 03m3)1m(m =+−−
03m4m2 =+−มีราก 2 รากคือ 3,1m =
เพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ 321 xcxc)x(y +=
ตัวอยางที่ 7.1.2 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ0y4yx5yx2 =+′+′′
วิธีทาํ สมการชวยคือ 04m5)1m(m =++−
04m4m2 =++มีรากซ้ําคือ 2,2m −−=
เพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ xlnxcxc)x(y 22
21
−− +=
ตัวอยางที่ 7.1.3 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ0yyx6yx3 2 =+′+′′
วิธีทาํ สมการชวยคือ 01m6)1m(m3 =++−
01m3m3 2 =++รากคือ i
321
21m ±−=
เพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ
] )xln32
1sin(c)xln32
1cos(c[x)x(y 2121 += −
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-7
ตัวอยางที่ 7.1.4 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ0y8yx2yx2yx 23 =+′−′′−′′′
วิธีทาํ สมการชวยคือ08m2)1m(m2)2m)(1m(m =+−−−−−
08m2m5m 23 =++− 0)2m)(4m)(1m( =−−+
มีรากคือ 4,2,1m −=
เพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ 43
22
11 xcxcxc)x(y ++= −
ตัวอยางที่ 7.1.5 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ0y8yx19yx9yx 23 =+′+′′+′′′
วิธีทาํ สมการชวยคือ08m19)1m(m9)2m)(1m(m =++−+−−
08m12m6m 23 =+++ 0)2m( 3 =+
มีราก 2m −= ซ้ํา 3 ครั้งเพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ
223
22
21 )x(lnxcxlnxcxc)x(y −−− ++=
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-8
ตัวอยางที่ 7.1.6 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ4
2
22
3
33 xy15
dxdyx5
dxydx4
dxydx =−−+
วิธีทาํ แทนคา zex = และ dzdD =
จะไดสมการใหมเปนz4ey15Dy5y)1D(D4y)2D)(1D(D =−−−+−−
z423 ey)15D7DD( =−−+สมการชวยคือ 015m7mm 23 =−−+
0)5m4m)(3m( 2 =++−รากคือ i2 ,3m ±−=
เพราะฉะนั้น )zsinczcosc(eec)z(y 32z2z3
1c ++= −
และ z423p e
15D7DD1)z(y
−−+=
37ee
15)4(7441 z4z4
23 =−−+
=
เพราะฉะนั้น )z(y)z(y)z(y pc +=
z432
z2z31 e
371)zsinczcosc(eec +++= −
และ37x)]xsin(lnc)xcos(lnc[xxc)x(y
432
231 +++= −
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 2 of 19
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-9
ตัวอยางที่ 7.1.7 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ
)xsin(lnx)xcos(lny4dxdyx
dxydx2
22 +=+−
วิธีทาํ ให zex = หรือ zxln = และ dzdD =
เพราะฉะนั้น zsinezcosy4Dyy)1D(D z+=+−−
zsinezcosy)4D2D( z2 +=+−สมการชวยคือ 04m2m2 =+−
มีรากคือ i 31m ±=
เพราะฉะนั้น )]z3sin(c)z3cos(c[e)z(y 21z
c +=
และ zsinze4D22D
1zcos4D22D
1)z(py+−
++−
=
zsin4)1D(22)1D(
1zezcos4D221
1++−+
++−−
=
zsin32D
1zezcos2D491)D23(
++
−+=
zsin3)21(
1zezcos)21(49
1)D23(+−
+−−
+=
zsinze21)zsin2zcos3(
131 +−=
เพราะฉะนั้น )z(y)z(y)z(y pc +=
)]z3sin(2c)z3cos(1c[ze += zsinze21)zsin2zcos3(
131 +−+
)]xln3sin(c)xln3cos(c[x)x(y 21 +=
)xsin(lnx21)]xsin(ln2)xcos(ln3[13
1 +−+
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-10
สมการเชิงอนุพันธในรูปแบบ y)bax(ay)bax(a )1n(1n
1)n(n
0 L++++ −−
)x(fyay)bax(a n1n =+′++ −L
แทนคา zebax =+ หรือ z)baxln( =+ (สําหรับ abx −> )
และ dzdD =
จะไดวา y)1nD()1D(Dadx
yd)bax( nn
nn +−−=+ L
แทนในสมการ y)bax(ay)bax(a )1n(1n
1)n(n
0 L++++ −−
)x(fyay)bax(a n1n =+′++ −L
จะเปลี่ยนเปน y)1nD()1D(Daa n
0 LL ++−−
)abe(fyaaDya
zn1n
−=++ −L
เปนสมการที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-11
ตัวอยางที่ 7.1.8 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ1x4x3y36y)2x3(3y)2x3( 22 ++=−′++′′+
วิธีทาํ ให ze2x3 =+ หรือ z)2x3ln( =+ และ dzdD =
เพราะฉะนั้น ]1)2x3[(31y36Dy33y)1D(D3 22 −+=−⋅+−
)1e(31y)4D(9 z22 −=−
)1e(271y)4D( z22 −=−
สมการชวยคือ 04m2 =−
รากคือ 2 ,2m −=
เพราะฉะนั้น z22
z21c ecec)z(y += −
)e4D
1e4D
1(271)z(y z0
2z2
2p −−
−=
)40
ee4z(27
12
z0z2−
−=
)1ze(108
1 z2 +=
เพราะฉะนั้น )z(y)z(y)z(y pc +=
)1ze(108
1ecec z2z22
z21 +++= −
เพราะวา ze2x3 =+ หรือ z)2x3ln( =+
เพราะฉะนั้น 22
21 )2x3(c)2x3(c)x(y +++= −
]1)2x3ln()2x3[(1081 2 ++++
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-12
7.2 จุดสามัญและจุดเอกฐานบทนิยามที่ 7.2.1 อนุกรมกาํลัง (power series) ใน 0xx −
คืออนุกรมอนันต ∑∞
=−
0n
n0n )xx(a
∑∞
=−
0n
n0n )xx(a เปนอนุกรมกําลังที่มีจุดศูนยกลางที่ 0x
เมื่อให x มีคาคาหนึ่ง
1. ถา ∑∞
=−
0n
n0n )xx(a มีคาเปนจํานวนจริง
เรากลาววา อนุกรมลูเขา (converge) ที่จุด x
2. ถาอนุกรมไมลูเขาที่จุด xจะกลาววา อนุกรมลูออก (diverge) ที่จุด x
3. ชวงของการลูเขา (interval of convergence)คือเซตของจํานวนจริง x ทั้งหมดที่ทําใหอนุกรมลูเขา
4. ทุกชวงของการลูเขาจะมี รัศมีของการลูเขา (radius of convergence)
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 3 of 19
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-13
รัศมีของการลูเขา R (radius of convergence R)
การลูเขาของ ∑∞
=−
0n
n0n )xx(a มี 3 แบบ
(1) อนุกรมลูเขาเฉพาะ x = 0x ในกรณีนี้ 0R =
(2) อนุกรมลูเขาทุกคา x ซึ่ง R |xx| 0 <− โดยที่ 0R >
และอนุกรมลูออกทุกคา x ซึ่ง R |xx| 0 >−
(3) อนุกรมลูเขาสําหรับทุกคา x ในกรณีนี้เราเขียน ∞=R
การลูเขาอยางสัมบูรณ
ถาอนุกรม ∑∞
=−
0n
n0n )xx(a ลูเขา
แลว ∑∞
=−
0n
n0n )xx(a ลูเขาอยางสัมบูรณ
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-14
สมบัติของอนุกรมกาํลัง
บนชวงของการลูเขาของอนุกรม ให ∑∞
=−=
0n
n0n )xx(a )x(f
ถาอนุกรมมีรัศมีของการลูเขา 0R >
1. f เปนฟงกชันตอเนื่อง หาอนุพันธได และหาปริพันธไดบนชวง )Rx,Rx( 00 +−
2. L )xx(a3)xx(a2a)x(f 203021 +−+−+=′
∑∞
=
−−=1n
1n0n )xx(na
3. ∫ dx )x(f
L 3)xx(
a2)xx(
a)xx(ac3
02
20
100 +−
+−
+−+=
∑∞
=
+
+−
+=0n
1n0
n 1n)xx(
a c
4. ถา 0)xx(a 0n
n0n =−∑
∞
= )Rx,Rx(x 00 +−∈∀
แลว 0a n = ทุก n
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-15
5. ถา ∑∞
=−=
0n
n0n )xx(a )x(f
และ ∑∞
=−=
0n
n0n )xx(b )x(g )Rx,Rx(x 00 +−∈∀
แลว
(1) ∑∞
=−=
0n
n0n )xx(ca )x(cf , c เปนคาคงตัว
(2) )x(g)x(f +
L )xx)(ba()xx)(ba()ba( 202201100 +−++−+++=
∑∞
=−+=
0n
n0nn )xx)(ba(
(3) )x(g)x(f
+−++= )xx)(baba(ba 0011000L )xx)(bababa( 2
0021120 +−+++
∑ ∑∞
= =− −⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0n
n0
n
0mmnm )xx(ba
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-16
บทนิยามที่ 7.2.2 )x(f เปน ฟงกชันวิเคราะห (analyticfunction) ที่จุด 0x ก็ตอเมื่อ เขียนแทน )x(f ไดดวยอนุกรมเทยเลอร (Taylor series) รอบจุด 0x
เพราะฉะนั้น
n0
0n
0)n(
)xx(!n
)x(f)x(f −= ∑
∞
= R |xx|x 0 <−∀
เมื่อ R คือรัศมีของการลูเขาของอนุกรม
ตัวอยาง ∑∞
==
0n
nx !n
x e
∑∞
=
−=
0n
n2n
)!n2(x)1( xcos
∑∞
=
+
+−
=0n
1n2n
)!1n2(x)1( xsin
∑∞
==
− 0n
n x x1
1
เพราะฉะนั้นฟงกชันเหลานี้เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =
ขอควรจาํ 1. ฟงกชันพหุนามเปนฟงกชันวิเคราะห4x3x2)x(f 2 ++= ฟงกชันวิเคราะห
2. ฟงกชันตรรกยะซึ่งเปนฟงกชันในรูปผลหารของพหุนามเปนฟงกชันวิเคราะหที่ทุกจุดยกเวนจุดซึ่งทําใหตัวสวนเปนศูนย
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 4 of 19
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-17
การหาผลเฉลยในรูปอนุกรมของสมการเชิงอนุพันธสามัญเชิงเสน 0y)x(cy)x(by)x(a =+′+′′
เขียนในรูปมาตรฐาน 0y)x(Qy)x(Py =+′+′′
บทนิยามที่ 7.2.3 จุด 0x เรียกวา จุดสามัญ (ordinary point)ของสมการ 0y)x(Qy)x(Py =+′+′′
ถาฟงกชันสัมประสิทธิ์ )x(P และ )x(Q
เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x
1. เรียกจุดที่ไมใชจุดสามัญวา จุดเอกฐาน (singular point)
2. เรียกจุดเอกฐาน 0x วาเปน จุดเอกฐานปรกติ (regularsingular point) ถา )x(P)xx( 0− และ )x(Q)xx( 2
0− เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x
ไมเชนนั้นจะเรียก 0x วาเปน จุดเอกฐานไมปรกติ (irregularsingular point)
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-18
ตัวอยางที่ 7.2.3 0y3y)1x(2y)1x(x 33 =+′−+′′−
0y)1x(x
3yx2y
3=
−+′+′′
x2)x(P = และ
3)1x(x3)x(Q−
=
เพราะวา )x(P และ )x(Q เปนฟงกชันตรรกยะเพราะฉะนั้นจะไดวาทุกจุด x เปนจุดสามัญยกเวนจุด 0x = และ 1x = เปนจุดเอกฐาน
ที่ 0x =
2)x(xP = เปนฟงกชันพหุนาม
32
)1x(x3)x(Qx−
= เปนฟงกชันตรรกยะที่ตัวสวนไมเปนศูนย
เพราะฉะนั้น )x(xP , )x(Qx 2 เปนฟงกชันวิเคราะหที่ 0x =
เพราะฉะนั้น 0x = เปนจุดเอกฐานปรกติ
ที่ 1x =
x)1x(2)x(P)1x( −
=− เปนฟงกชันตรรกยะ
)1x(x3)x(Q)1x( 2−
=− ไมเปนฟงกชันวิเคราะห
เพราะฉะนั้น 1x = เปนจุดเอกฐานไมปรกติ
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-19
ตัวอยางที่ 7.2.4 0y)2x(y)3x(5y)3x(x 22 =++′−+′′−
0y)3x(x
2xy)3x(x
5y222
=−++′
−+′′
)3x(x5)x(P
2 −= และ
22 )3x(x2x)x(Q−+=
ทุกจุด x เปนจุดสามัญยกเวนจุด 0x = และ 3x = เปนจุดเอกฐานที่จุด 0x =
)3x(x5)x(xP−
= ไมเปนฟงกชันวิเคราะห
22
)3x(2x)x(Qx
−+= เปนฟงกชันวิเคราะห
เพราะฉะนั้น 0x = เปนจุดเอกฐานไมปรกติ
ที่จุด 3x =
2x5)x(P)3x( =− เปนฟงกชันวิเคราะห
22
x2x)x(Q)3x( +=− เปนฟงกชันวิเคราะห
เพราะฉะนั้น 3x = เปนจุดเอกฐานปรกติ
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-20
7.3 ผลเฉลยรอบจุดสามัญทฤษฎีบทที่ 7.3.1การมีอยูจริงของผลเฉลยในรูปอนุกรมกาํลังถา 0xx = เปนจุดสามัญของสมการเชิงอนุพันธ
0y)x(Qy)x(Py =+′+′′
แลว มีผลเฉลย 2 ผลเฉลยในรูปอนุกรมกําลังรอบจุด 0xx = ที่เปนอิสระเชิงเสนตอกันในรูป )xx(a)xx(aay 2
02010 L+−+−+=
∑∞
=−=
0n
n0n )xx(a
และอนุกรมนี้ลูเขาอยางนอยที่สุดสําหรับทุกคา xบนชวง R|xx| 0 <− โดยที่ R คือรัศมีของการลูเขาของอนุกรมและมีคาเทากับระยะทางจาก 0x ไปยังจุดเอกฐานที่ใกลที่สุด
ผลเฉลยทั่วไป 1cy = [อนุกรมกําลังของ ( 0xx − )]+ 2c [อนุกรมกําลังของ ( 0xx − )]
สูตรของ na ในเทอมของ 1na − , 2na − , ...เรียกวาสูตร สูตรเวียนเกิด (recurrence formula)
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 5 of 19
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-21
ตัวอยางที่ 7.3.1 จงหาผลเฉลยแบบอนุกรมกําลังรอบจุดกําเนิดของสมการ 0xyyy =+′+′′
วิธีทาํเพราะวา 1)x(P = , x)x(Q = เปนฟงกชันวิเคราะหที่ 0x =
เพราะฉะนั้น 0x = เปนจุดสามัญ
สมมติ ∑∞
==++++=
0n
nn
33
2210 xa xaxaxaay L
เพราะฉะนั้น ∑∞
=
−=+++=′1n
1nn
2321 xna xa3xa2ay L
∑∞
=
−−=+⋅+⋅=′′2n
2nn32 xa)1n(n xa23a12y L
แทน y ,y ′ และ y ′′ ลงใน 0xyyy =+′+′′
0xa xna xa)1n(n 0n
1nn
1n
1nn
2n
2nn =++− ∑∑∑
∞
=
+∞
=
−∞
=
−
ทําทุกพจนใหเปน nx
∑∞
=+++∑
∞
=+++
0n
nx1na)1n( 0n
nx2na)1n)(2n( 01n
nx1na =∑∞
=−+
เปลี่ยนจุดเริ่มตนเปน n = 1
∑∑∞
=+
∞
=+ ++++++
1n
n1n1
1n
n2n2 xa)1n( axa)1n)(2n( a2
0xa 1n
n1n =+ ∑
∞
=−
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-22
รวมอนุกรมเขาดวยกันจะได )aa2( 12 +
0x)aa)1n(a)1n)(2n((1n
n1n1n2n =++++++ ∑
∞
=−++
เพราะฉะนั้น 0aa2 12 =+
และ 0aa)1n(a)1n)(2n( 1n1n2n =+++++ −++ , 1n ≥
เพราะฉะนั้น 2
aa 1
2 −=
สูตรเวียนเกิด )1n)(2n(
aa)1n(a 1n1n
2n ++
++−= −+
+
;1n = 23aa2
a 023 ⋅
+−= หรือ
6a
6a
a 013 −=
;2n = 34aa3
a 134 ⋅
+−= หรือ
24a
8a
a 014 +−=
;3n = 45aa4
a 245 ⋅
+−= หรือ
120a
40a
a 015 −=
เพราะฉะนั้น L xaxaxaxaay 44
33
2210 +++++=
3012110 x)6
a6a
(x2a
xaa −+−+=
L x)120a
40a
(x)24a
8a
( 501401 +−++−+
) x1201x24
1x611(a 543
0 L+−+−=
+ ) x81x6
1x21x(a 432
1 L+−+−
เมื่อ 0a , 1a เปนคาคงตัวไมเจาะจง
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-23
ตัวอยางที่ 7.3.2 จงหาผลเฉลยในรูปอนุกรมกําลังรอบจุด 0x = ของสมการ 0yyxy =+′+′′
วิธีทาํ x)x(P = และ 1)x(Q = เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =
เพราะฉะนั้นจุด 0x = เปนจุดสามัญ
สมมติ ∑∞
==
0n
nn xa y
แทน y,y ,y ′′′ ลงในสมการ 0yyxy =+′+′′
0xa xna xxa)1n(n 0n
nn
1n
1nn
2n
2nn =++− ∑∑∑
∞
=
∞
=
−∞
=
−
เขียนพจนในเทอม nx
0xa xna xa)1n)(2n( 0n
nn
1n
nn
0n
n2n =++++ ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=+
เปลี่ยนจุดเริ่มตนเปน n = 1
∑∞
=++++⋅⋅
1n
n2n2 xa)1n)(2n( a12
0xa axna 1n
nn0
1n
nn =+++ ∑∑
∞
=
∞
=รวมพจนอนุกรม
0x)anaa)1n)(2n(( )aa2(1n
nnn2n02 =++++++ ∑
∞
=+
เพราะฉะนั้น 0aa2 02 =+ หรือ 2
aa 0
2 −=
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-24
สูตรเวียนเกิด 0a)1n(a)1n)(2n( n2n =++++ +
n2n a2n
1a+
−=+
;1n = 13 a31a −=
;2n = 024 a42
1a41a
⋅=−=
;3n = 135 a53
1a51a
⋅=−=
;4n = 046 a642
1a61a
⋅⋅−=−=
;5n = 157 a753
1a71a
⋅⋅−=−=
;6n = 068 a8642
1a81a
⋅⋅⋅=−=
ผลเฉลยคือ ∑∞
==
0n
nn xa y
L++++++= 55
44
33
2210 xaxaxaxaxaa
31
2010 x)a3
1(x)a21(xaa −+−++=
L+⋅
+⋅
+ 51
40 x)a53
1(x)a421(
]x53
1x31x[a]x
421x
211[a 53
142
0 LL −⋅
+−+−⋅
+−=
โดยที่ 0a และ 1a เปนคาคงตัวไมเจาะจง
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 6 of 19
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-25
การหาผลเฉลยแบบที่ 2.จากสูตรเวียนเกิด n2n a
2n1a+
−=+
n2n aa)2n( −=+ +จะไดสูตรผลเฉลยจาก ,...a,a,a 420 และ ,...a,a,a 531n = 0, 2, 4, 6, ...
02 aa2 −=
22 aa4 −=
46 aa6 −=
: 2n2n2 ana2 −−=
................................................................................2n2420
nn2642 a...aaa)1(a...aaa)n2)...(6)(4)(2( −−=
0n
n2n a)1(a)n...3.2.1(2 −=
0n
nn2 a
!n2)1(a −=
เพราะฉะนั้น n20n
n
0n1 xa
!n2)1()x(y −= ∑
∞
=
n2n
n
0n0 x
!n2)1(a −= ∑
∞
=
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-26
สูตรผลเฉลยจาก ,...a,a,a 531n = 1, 3, 5, 7, ... 13 aa3 −=
35 aa5 −=
5a7a7 −=
:
1n21n2 aa)1n2( −+ −=+
................................................................................1n2531
n1n2753 a...aaa)1(a...aaa)1n2)...(7)(5)(3( −+ −=+
1n
1n2 a)1(a)1n2)...(7)(5)(3( −=+ +
1n
1n2 a)1(a)n2....(6.4.2)1n2)(n2)...(7(6)5(4)3(2 −=+
+
1n
1n2n a)1(a!n2)!1n2( −=+
+
1nn
1n2 a)!1n2(!n2)1(a
+−=+
เพราะฉะนั้น n21
nn
0n2 xa)!1n2(
!n2)1()x(y+
−= ∑∞
=
n2nn
0n1 x)!1n2(
!n2)1(a+
−= ∑∞
=ผลเฉลยทั่วไปคือ
y(x) = n2n
n
0n0 x
!n2)1(a −∑
∞
=
n2nn
0n1 x)!1n2(
!n2)1(a+
−+ ∑∞
=
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-27
ตัวอยางที่ 7.3.3 จงหาผลเฉลยในรูปอนุกรมกําลังรอบจุดกําเนิดของสมการ 0y)x1(yxy =−+′+′′
เมื่อ 2)0(y,3)0(y −=′=
วิธีทาํ x)x(P = , x1)x(Q −= เปนฟงกชันวิเคราะห 0x =
เพราะฉะนั้นจุด 0x = เปนจุดสามัญ
สมมติ ∑∞
==
0n
nn xa y
แทน y,y ,y ′′′ ลงใน 0y)x1(yxy =−+′+′′
∑∑∞
=
−∞
=
− +−1n
1nn
2n
2nn xna xxa)1n(n 0xa )x1(
0n
nn =−+ ∑
∞
=
∑∑∞
=
∞
=
− +−1n
nn
2n
2nn xna xa)1n(n
0xa xa 0n
1nn
0n
nn =−+ ∑∑
∞
=
+∞
=
จัดรูปเปน nx
∑∑∞
=
∞
=+ +++
1n
nn
0n
n2n xna xa)1n)(2n(
0xa xa 1n
n1n
0n
nn =−+ ∑∑
∞
=−
∞
=
จัดผลบวก ∑ ใหเริ่มตนที่ n = 1
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-28
∑∑∞
=
∞
=+ ++++⋅⋅
1n
nn
1n
n2n2 xna xa)1n)(2n( a12
0xa xa a1n
n1n
1n
nn0 =−++ ∑∑
∞
=−
∞
=รวมอนุกรม
0x)aa)1n(a)1n)(2n(()aa2(1n
n1nn2n02 =−++++++ ∑
∞
=−+
เพราะฉะนั้น 0aa2 02 =+
02 a21a −=
n = 1, 2, 3, ...สูตรเวียนเกิด
0aa)1n(a)1n)(2n( 1nn2n =−++++ −+
n1n2n a2n
1a)1n)(2n(
1a+
−++
= −+
;1n = 10103 a31a
61a
31a
231a −=−⋅
=
;2n =
1001214 a121a
81)a
21(
41a
121a
41a
341a +=−−=−⋅
=
;3n =
)a31a6
1(51)a2
1(201a5
1a451a 100325 −−−=−⋅
=
10 a151a120
7 +−=
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 7 of 19
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-29
แทนคา na ที่หาคาได จะไดผลเฉลยทั่วไปคือ
∑∞
==
0n
nn xa y
L++++++= 55
44
33
2210 xaxaxaxaxaa
310
2010 x)a3
1a61(x)a2
1(xaa −+−++=
L++−+++ 510
410 x)a15
1a1207(x)a12
1a81(
]x1207x8
1x61x2
11[a 54320 L+−++−=
]x151x12
1x31x[a 543
1 L+++−+
โดยที่ 0a และ 1a เปนคาคงตัวไมเจาะจงและหาอนุพันธจะได
]x247x2
1x21x[ay 432
0 L+−++−=′
]x31x3
1x1[a 4321 L+++−+
เพราะวา 3)0(y = และ 2)0(y −=′
เพราะฉะนั้น 0a3 = และ 1a2 =−
เพราะฉะนั้นผลเฉลยคือ)x120
7x81x6
1x211(3)x(y 5432 L+−++−=
)x151x12
1x31x(2 543 L+++−−
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-30
ตัวอยางที่ 7.3.4 จงหาผลเฉลยในรูปอนุกรมกําลังรอบจุด 0x = ของสมการ 0yyxy)x1( =−′+′′−
วิธีทาํ
x1x)x(P−
= , x11)x(Q−
−= เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =
เพราะฉะนั้นจุด 0x = เปนจุดสามัญ
สมมติ ∑∞
==
0n
nn xa y
แทน y ,y ,y ′′′ ลงใน 0yyxy)x1( =−′+′′−
0xa xna xxa)1n(n )x1(0n
nn
1n
1nn
2n
2nn =−+−− ∑∑∑
∞
=
∞
=
−∞
=
−
∑∑∞
=
−∞
=
− −−−2n
1nn
2n
2nn xa)1n(n xa)1n(n
0xa xna 0n
nn
1n
nn =−+ ∑∑
∞
=
∞
=
เขียนในเทอม nx
∑∑∞
=+
∞
=+ +−++
1n
n1n
0n
n2n xna)1n( xa)1n)(2n(
0xa xna 0n
nn
1n
nn =−+ ∑∑
∞
=
∞
=
จัดผลบวก ∑ ใหเริ่มตนที่ n = 1
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-31
∑∞
=++++⋅⋅
1n
n2n2 xa)1n)(2n( a12
0xa axna xna)1n( 1n
nn0
1n
nn
1n
n1n =−−++− ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=+
รวมกลุม)aa2( 02 − +
0x}a)1n(na)1n(a)1n)(2n{( 1n
nn1n2n =−++−++∑
∞
=++
เพราะฉะนั้น 0aa2 02 =− หรือ 02 a21a =
สําหรับ 1n ≥ จะไดสูตรเวียนเกิด0a)1n(na)1n(a)1n)(2n( n1n2n =−++−++ ++
n1n2n a)1n)(2n(
1na2n
na++
−−+
= ++
;1n = 00123 a!3
1a23
1a0a31a =
⋅=⋅−=
;2n =
00000234 a!4
1a!4
1a!4
2a234
1a!34
2a34
1a42a =−=
⋅⋅−
⋅=
⋅−=
;3n =
000345 a!5
1a!345
2a!45
3a45
2a53a =
⋅⋅−
⋅=
⋅−=
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-32
ผลเฉลยคือ ∑∞
==
0n
nn xa y
L++++++= 55
44
33
2210 xaxaxaxaxaa
L++++++= 50
40
30
2010 xa
!51xa
!41xa
!31xa
!21xaa
xaxa]x!5
1x!4
1x!3
1x!2
1x1[a 105432
0 +−++++++= L
x)aa(ea 01x
0 −+=
xcec 2x
1 +=
โดยที่ 1c และ 2c เปนคาคงตัวไมเจาะจง
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 8 of 19
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-33
7.4 ผลเฉลยรอบจุดเอกฐานปรกติ โดยวิธีของโฟรเบนิอุสสมการ 0y)2x(yx9 2 =++′′
มีผลเฉลยเปน L 7643x
43xx)x(y
38
35
32
1 −⋅⋅⋅
+⋅
−=
L 6532x
32x1)x(y
37
34
2 −⋅⋅⋅
+⋅
−=
เพราะฉะนั้น
ถาเราเริ่มตนหาผลเฉลยในรูป ∑∞
=−=
0n
n0n )xx(a y
อาจไปไมถึงผลเฉลยที่แทจริงได
เพ่ือใหไดผลเฉลยที่ตองการ
ตองสมมติ ∑∞
=
+−=0n
rn0n )xx(a y แลวหาคา r
การหาคําตอบในลักษณะนี้เรียกวาวิธีของโฟรเบนิอุส (method of Frobenius)
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-34
ทฤษฎีบทที่ 7.4.1ทฤษฎีบทของโฟรเบนิอุส (Frobenius' Theorem)ถา 0xx = เปนจุดเอกฐานปรกติของสมการเชิงอนุพันธ 0y)x(Qy)x(Py =+′+′′
แลว อยางนอยผลเฉลยหนึ่งของสมการจะอยูในรูป] )xx(a)xx(aa[)xx(y 2
02010r
0 L+−+−+−=
0a ,)xx(a 00n
rn0n ≠−= ∑
∞
=
+
โดยที่ r เปนจํานวนจริงที่จะตองหาและอนุกรมนี้ลูเขาอยางนอยที่สุดสําหรับ Rxx0 0 <−<
โดยที่ R คือรัศมีของการลูเขาของอนุกรมและมีคาเทากับระยะทางจาก 0x ไปยังจุดเอกฐานอื่นที่ใกลที่สุด
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-35
สมมติ 0a ], xaxaa[xy 02
210r ≠+++= L
∑∞
=
+=0n
rnn xa
เปนผลเฉลยของสมการ 0y)x(Qy)x(Py =+′+′′
ที่มีจุด 0x = เปนจุดเอกฐานปรกติเพราะวา )x(xP และ )x(Qx 2 เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =
เพราะฉะนั้นให L xpxpp)x(xP 2210 +++=
L xqxqq)x(Qx 2210
2 +++=
คาํแนะนาํ )x(Qxq 20 = และ )x(xPp0 = เมื่อ x = 0
เพราะวา 0y)x(Qxy))x(xP(xyx 22 =+′+′′
เพราะฉะนัน้y] xpxpp[xyx 2
2102 ′++++′′ L
0 y] xqxqq[ 2210 =++++ L
เพราะวา ∑∞
=
+=0n
rnnxa y
เพราะฉะนั้น ∑∞
=
−++=′0n
1rnnxa)rn( y
∑∞
=
−+−++=′′0n
2rnnxa)1rn)(rn( y
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-36
แทน y ,y ′ และ y ′′ ลงในy] xpxpp[xyx 2
2102 ′++++′′ L
0 y] xqxqq[ 2210 =++++ L
0 = ∑∞
=
−+−++0n
2rnn
2 xa)1rn)(rn( x
) xpxpp(x 2210 L++++ ∑
∞
=
−++0n
1rnnxa)rn(
) xqxqq( 2210 L++++ ∑
∞
=
+
0n
rnn
2 xa x
พจนที่ x มีกําลังต่ําท่ีสุดคือ rx มีสัมประสิทธิ์เปนr
000 xa)qrp)1r(r( ++−
เพราะฉะนั้น 0a)qrp)1r(r( 000 =++−
เพราะวา 0a0 ≠
เพราะฉะนั้น0 0qrp)1r(r 00 =++−
0qr)1p(r 002 =+−+
สมการนี้ชื่อเรียกวา สมการดัชนี (indicial equation)และราก 1r และ 2r เรียกวา เลขชี้กาํลัง (exponents)
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 9 of 19
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-37
เงื่อนไขของสูตรผลเฉลยขึ้นอยูกับคารากของสมการดัชนี0y)x(Qy)x(Py =+′+′′ มี 0x = เปนจุดเอกฐานปรกติ
)x(Qxq 20 = และ )x(xPp0 = เมื่อ x = 0
0qr)1p(r 002 =+−+
21 r,rr =
ให ∑∞
=
+=0n
1rnn1 xa y และ ∑
∞
=
+=0n
2rnn2 xb y
ผลเฉลยทั่วไปคือ )x(yc)x(yc)x(y 2211 +=
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-38
ตัวอยางที่ 7.4.1 จงใชวิธีของโฟรเบนิอุสหาผลเฉลย 2ผลเฉลยที่เปนอิสระเชิงเสนตอกันรอบจุด 0x =
ของสมการ 0y)2x(yx9 2 =++′′
วิธีทาํ0)x(P = ,
2x92x)x(Q += ไมเปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =
เพราะฉะนั้น 0x = เปนจุดเอกฐาน0)x(xP = และ )2x(
91
x92xx)x(Qx
222 +=+=
เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =
เพราะฉะนั้น 0x = เปนจุดเอกฐานปรกติ
สมมติ 0a ,xa y 00n
rnn ≠= ∑
∞
=
+
แทน y และ y ′′ ลงใน 0y)2x(yx9 2 =++′′
0xa )2x(xa)1rn)(rn( x90n
rnn
0n
2rnn
2 =++−++ ∑∑∞
=
+∞
=
−+
∑∞
=
+−++0n
rnnxa)1rn)(rn(9
0xa2 xa 0n
rnn
0n
1rnn =++ ∑∑
∞
=
+∞
=
++
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-39
∑∑∞
=
++∞
=
+ +−+++−0n
1rnn
1n
rnn
r0 xa xa)1rn)(rn(9 xa)1r(r9
0xa2 xa21n
rnn
r0 =++ ∑
∞
=
+
ทํากําลังของ x ในอนุกรมเปนกําลัง n + r +1
∑∞
=
++++++++−
0n
1rn1n
r0 xa)rn)(1rn(9 xa}2)1r(r9{
∑∞
=
+++0n
1rnnxa 0xa2
0n
1rn1n =+ ∑
∞
=
+++
รวมพจนของอนุกรมเขาดวยกันไดเปนr
0xa}2)1r(r9{ +−
0x)aa )2)rn)(1rn(9(( 0n
1rnn1n =++++++ ∑
∞
=
+++
สมการดัชนีคือ 02)1r(r9 =+−
0)2r3)(1r3( =−−
เลขชี้กําลังคือ 32 ,
31r =
สูตรเวียนเกิดคือ 2)nr)(1nr(9
aa n
1n ++++−=+
}2)nr(3}{1)nr(3{
a n++++
−= , K,2,1 ,0n =
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-40
การหาผลเฉลย 1y เมื่อ 31rr 1 ==
เพราะฉะนั้นสูตรเวียนเกิด )3n3)(2n3(
aa n
1n ++−=+
;0n = 32
aa 0
1 ⋅−=
;1n = 6532
a65
aa 01
2 ⋅⋅⋅=
⋅−=
;2n = 986532
a98
aa 02
3 ⋅⋅⋅⋅⋅−=
⋅−=
แทนคา 31rr 1 == และ na
จะไดผลเฉลย )xaxaxaa(x)x(y 3
32
2101r L++++=
] x986532
ax
6532a
x32
aa[x 30200
031
L+⋅⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅
+⋅
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⋅⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅
+⋅
−= L 986532
x6532
x32
x1xa32
31
0
เลือก 1a0 = จะไดผลเฉลยเฉพาะคือ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⋅⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅
+⋅
−= L 986532
x6532
x32
x1x)x(y32
31
1
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 10 of 19
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-41
การหาผลเฉลย 2y เมื่อ 32rr 2 ==
สูตรเวียนเกิดคือ )4n3)(3n3(
aa n
1n ++−=+ , K ,2 ,1 ,0n =
;0n = 43
aa 0
1 ⋅−=
;1n = 7643
a76
aa 01
2 ⋅⋅⋅=
⋅−=
;2n = 1097643
a109
aa 02
3 ⋅⋅⋅⋅⋅−=
⋅−=
แทนคา 32rr 2 == และ na ที่หาไดใน (7.4.5)
จะใหผลเฉลยคือ)xaxaxaa(x)x(y 3
32
2102r L++++=
] x1097643
ax
7643a
x43
aa[x 30200
032
L+⋅⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅
+⋅
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⋅⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅
+⋅
−= L 1097643
x7643
x43
x1xa32
32
0
เลือก 1a0 = จะไดผลเฉลยเฉพาะคือ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⋅⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅
+⋅
−= L 1097643
x7643
x43
x1x)x(y32
32
2
)x(y1 และ )x(y2 เปนอิสระเชิงเสนตอกันผลเฉลยทั่วไปคือ )x(yc)x(yc)x(y 2211 +=
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-42
ตัวอยางที่ 7.4.2 จงใชวิธีของโฟรเบนิอุสหาผลเฉลยรอบจุด 0x = ของสมการ 0yy)1x3(y)1x(x =+′−+′′−
วิธีทาํ )1x(x
1x3)x(P−−= และ
)1x(x1)x(Q−
= ไมเปนฟงกชัน
วิเคราะหที่จุด 0x = เพราะฉะนั้น 0x = เปนจุดเอกฐานเพราะวา
1x1x3)x(xP
−−= และ
1xx)x(Qx 2−
=
เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =
เพราะฉะนั้น 0x = เปนจุดเอกฐานปรกติ
สมมติ 0a ,xa y 00n
rnn ≠= ∑
∞
=
+
แทน y, y′ และ y ′′ ลงใน 0yy)1x3(y)1x(x =+′−+′′−
∑∞
=
−+−++−0n
2rnnxa)1rn)(rn( )1x(x
0xa xa)rn( )1x3(0n
rnn
0n
1rnn =++−+ ∑∑
∞
=
+∞
=
−+
∑∞
=
+−++0n
rnnxa)1rn)(rn(
∑∞
=
−+−++−0n
1rnnxa)1rn)(rn(
∑∑∞
=
−+∞
=
+ +−++0n
1rnn
0n
rnn xa)rn( xa)rn(3
0xa 0n
rnn =+ ∑
∞
=
+
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-43
รวมกลุมอนุกรมที่เหมือนกันจะได
[ ]∑∞
=
++++−++0n
rnnxa 1)rn(3)1rn)(rn(
[ ] 0 xa )rn()1rn)(rn( 0n
1rnn =++−++− ∑
∞
=
−+
เขียนพจนแรกของอนุกรมหลังออกมาเปน
[ ]∑∞
=
++++−++0n
rnn xa 1)rn(3)1rn)(rn(
1r0xa)r)1r(r( −+−−
[ ] 0 xa )rn()1rn)(rn( 1n
1rnn =++−++− ∑
∞
=
−+
เขียนอนุกรมหลังใหมใหกําลังของ x เปน rn + จะได
[ ]∑∞
=
++++−++0n
rnn xa 1)rn(3)1rn)(rn(
1r0
2 xar −−
[ ] 0 xa )1rn()rn)(1rn( 0n
rn1n =++++++− ∑
∞
=
++
รวมอนุกรมเขาดวยกันจะได1r
02 xar −−
{ }[ ] 0 xa)1rn(a1)2rn)(rn( 0n
rn1n
2n =++−++++− ∑
∞
=
++
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-44
เพราะฉะนั้น 0r2 =
มีเลขชี้กําลังคือ 0rr 21 ==
สูตรเวียนเกิดคือ0a)1nr(a)1)2nr)(nr(( 1n
2n =++−++++ +
2n
1n )1nr(
a}1)2nr)(nr{(a
++
++++=+
เมื่อ 0rr 1 == จะไดสูตรเวียนเกิดเปน
2n
21n )1n(
a)1n2n(a
+
++=+ , K ,2 ,1 ,0n =
n1n aa =+ , K ,2 ,1 ,0n =
เพราะฉะนั้น LL a aaa n210 =====
เพราะฉะนั้นผลเฉลยคือ ) xaxaa(x )x(y 2000
0 L+++=
∑∞
==
0n
n0 x a
x1
a 0−
=
เลือก 1a0 = จะไดผลเฉลยเฉพาะ x1
1)x(y1 −=
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 11 of 19
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-45
เลือก dx )x(y
e )x(y)x(y21
dx )x(P 12 ∫
∫=
−
เพราะวา )1x(x
1x3)x(P−−=
เพราะฉะนั้น ∫=∫ −
−−− dx )1x(x1x3 dx )x(P e e
∫= −+− dx )1x
2x1(
e )1xln(2xlne −−−=
2)1x(x1 −
=
เพราะฉะนั้น xlnx1
1 dx )1x(x
)1x( x1
1 )x(y2
22 −
=−
−−
= ∫
เพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไป )x(yc)x(yc )x(y 2211 +=
xlnx1
cx1
c 21
−+
−=
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-46
ตัวอยางที่ 7.4.3 จงหาผลเฉลยรอบจุด 0x =
ของสมการ 0y2y)4x(yx =+′+−′′ โดยวิธีของโฟรเบนิอุสวิธีทาํ
x4x)x(P +−= และ
x2)x(Q =
ไมเปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =
เพราะฉะนั้น 0x = เปนจุดเอกฐานเพราะวา )4x()x(xP +−=
และ 2)x(Qx 2 = เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =
เพราะฉะนั้น 0x = เปนจุดเอกฐานปรกติ
สมมติ 0a ,xa y 00n
rnn ≠= ∑
∞
=
+
เมื่อแทน y, y′ และ y ′′ ลงใน 0y2y)4x(yx =+′+−′′
∑∞
=
−+−++0n
2rnnxa)1rn)(rn( x
0xa 2xa)rn( )4x(0n
rnn
0n
1rnn =+++− ∑∑
∞
=
+∞
=
−+
หรือ ∑∑∞
=
+∞
=
−+ +−−++0n
rnn
0n
1rnn xa)rn( xa)1rn)(rn(
0xa2 xa)rn(4 0n
rnn
0n
1rnn =++− ∑∑
∞
=
+∞
=
−+
รวมกลุมอนุกรมที่เหมือนกันจะได
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-47
∑∞
=
−++−−++0n
1rnnxa)}rn(4)1rn)(rn({
0xa}2)rn{( 0n
rnn =−+− ∑
∞
=
+
∑∞
=
−+−++0n
1rnnxa)5rn)(rn(
0xa)2rn( 0n
rnn =−+− ∑
∞
=
+
เขียนพจนที่หนึ่งของอนุกรมแรกแยกออกมาได
∑∞
=
−+− −+++−1n
1rnn
1r0 xa)5rn)(rn( xa)5r(r
0xa)2rn( 0n
rnn =−+− ∑
∞
=
+
เขียนใหมใหอนุกรมหลังเริ่มตนที่ 1n = ไดเปน
∑∞
=
−+− −+++−1n
1rnn
1r0 xa)5rn)(rn( xa)5r(r
0xa)3rn( 1n
1rn1n =−+− ∑
∞
=
−+−
รวมพจนของอนุกรมเขาดวยกันจะได1r
0xa)5r(r −−
0x}a)3rn(a)5rn)(rn({ 1n
1rn1nn =−+−−+++ ∑
∞
=
−+−
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-48
เพราะฉะนั้นสมการดัชนี 0)5r(r =−
เลขชี้กําลังคือ 5r ,0r 21 ==
สูตรเวียนเกิดคือ 0a)3nr(a)5nr)(nr( 1nn =−+−−++ − , K ,3 ,2 ,1n =
เพราะวา 21 rr − เปนจํานวนเต็มและ 1r เปนคานอยเพราะฉะนั้นใช 1r ในการหาผลเฉลยกอนแทนคา 0rr 1 == ลงในสูตรเวียนเกิด จะได
0a)3n(a)5n(n 1nn =−−− − , K ,3 ,2 ,1n =
แทนคา 4 ,3 ,2 ,1n = ตามลําดับในสูตรเวียนเกิดจะได
0a ,0a ,a121a
61a ,a
21a 4301201 =====
เมื่อ 5n = จะได 0a0 5 =⋅ ไมวา 5a จะมีคาเปนเทาใดเพราะฉะนั้นเลือก 5a เปนคาคงตัวใดๆแทนคา K ,8 ,7 ,6n = ในสูตรเวียนเกิดจะได
L ,a8735a83
5a ,a71a7
2a ,a21a 57856756 ⋅⋅
=⋅
====
เพราะฉะนั้นผลเฉลย ) xaxaa(x )x(y 2
2101r L+++=
] x7a
x2a
xax12a
x2a
a[x 756555
2000
0 L++++++=
) x71x2
1x(a )x121x2
11(a 7655
20 L++++++=
เปนผลเฉลยทั่วไป เมื่อ 0a และ 5a เปนคาคงตัวไมเจาะจงใด2301312 Differential equations 2555 2nd Page 12 of 19
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-49
ตัวอยางที่ 7.4.4 จงใชวิธีของโฟรเบนิอุสหาผลเฉลยรอบจุด 0x = ของสมการ
0y)1x(y)1x(xy)1x(x 2222 =++′+−′′−
วิธีทาํ )1x(x
1x)x(P2
2
−+−= และ
)1x(x1x)x(Q
222
−+=
ไมเปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =
เพราะฉะนั้น 0x = เปนจุดเอกฐาน
1x1x)x(xP
22
−+−= และ
1x1x)x(Qx
222−+=
เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =
เพราะฉะนั้น 0x = เปนจุดเอกฐานปรกติ
สมมติ 0a ,xa y 00n
rnn ≠= ∑
∞
=
+
แทน y, y′ และ y ′′ ลงใน0y)1x(y)1x(xy)1x(x 2222 =++′+−′′−
จะได
∑∞
=
−+−++−0n
2rnn
22 xa)1rn)(rn( )1x(x
0xa )1x(xa)rn( )1x(x0n
rnn
2
0n
1rnn
2 =++++− ∑∑∞
=
+∞
=
−+
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-50
∑∞
=
++−++0n
2rnnxa)1rn)(rn(
∑∞
=
+−++−0n
rnnxa)1rn)(rn(
∑∑∞
=
+∞
=
++ +−+−0n
rnn
0n
2rnn xa)rn( xa)rn(
0xa xa 0n
rnn
0n
2rnn =++ ∑∑
∞
=
+∞
=
++
รวมพจนอนุกรมที่เหมือนกันเขาดวยกันไดเปน
∑∞
=
++++−−++0n
2rnnxa)1)rn()1rn)(rn((
0xa)1)rn()1rn)(rn(( 0n
rnn =−++−++− ∑
∞
=
+
∑∞
=
++−+0n
2rnn
2 xa)1rn(
0xa)1rn)(1rn( 0n
rnn =++−+− ∑
∞
=
+
เขียนอนุกรมแรกเริ่มที่ 2n = และ 2 พจนแรกของอนุกรมหลัง
∑∞
=
+−−+
2n
rn2n
2 xa)3rn(
1r1
r0 xa)2r(rxa)1r)(1r( ++−+−−
0xa)1rn)(1rn( 2n
rnn =++−+− ∑
∞
=
+
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-51
รวมพจนของอนุกรมเขาดวยกันจะได1r
1r
0 xa)2r(rxa)1r)(1r( ++−+−−
0x)a)1rn)(1rn(a)3rn(( 2n
rnn2n =++−+−−++ ∑
∞
=
+−
สมการดัชนีคือ 0)1r)(1r( =+−
มีเลขชี้กําลัง 1r ,1r 21 =−=
จากพจนที่สองของสมการจะได 0a)2r(r 1 =+−
เพราะฉะนั้น ไมวา 1rr 1 −== หรือ 1rr 2 == จะได 0a1 =
สูตรเวียนเกิดคือ0a)1rn)(1rn(a)3rn( n2n
2 =−+++−−+ −เนื่องจาก 2rr 21 −=− เปนจํานวนเต็มและ 21 rr <
การหาสูตรผลเฉลยเมื่อ 1rr 1 −==
แทนคา 1rr 1 −== ลงในสูตรเวียนเกิดจะได0a)2n(na)4n( n2n
2 =−−− − , K ,4,3,2n =
แทนคา 2n =
ในสูตรเวียนเกิดจะได 0a4 0 =
0a 0 = ซึ่งคานกับที่สมมติไวเพราะฉะนั้นเราไมสามารถหาผลเฉลยจากรากคานอยไดจึงจําเปนตองใชรากคามาก
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-52
การหาสูตรผลเฉลยเมื่อ 1rr 2 ==
สูตรเวียนเกิดคือ 2n2
n a)2n(n
)2n(a −+−
= , K ,4 ,3 ,2n =
แทนคา K ,4 ,3 ,2n = ตามลําดับสําหรับ n ที่เปนเลขคู L ,0a ,0a ,0a0a 6402 ===⋅=
สําหรับ n ที่เปนเลขคี่ L ,0a ,0a ,0a151a 7513 ====
เพราะฉะนั้น 0 a a a a a 54321 ====== L
แทนคา 1rr 2 == และ na
ผลเฉลยคือ ) xaxaa(x )x(y 2210
1 L+++= xa0=
เลือก 1a0 = จะไดผลเฉลยเฉพาะคือ x )x(y1 =
เลือก dx )x(y
e )x(y)x(y21
dx )x(P 12 ∫
∫=
−
เนื่องจาก )1x(x
)1x(x)x(P22
2
−
+−= ดังนั้น
x1xe e e
2x
12xlndx 1x1
1x1
x1 dx )x(P −==
∫=∫
−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
−+
++−−−
เพราะฉะนั้น dx x
1x x )x(y3
22 ∫ −= )
x21xln(x
2+=
x2
1xlnx +=
ผลเฉลยทั่วไปคือ)
x21xlnx(cxc )x(yc)x(yc)x(y 212211 ++=+=
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 13 of 19
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-53
ตัวอยางที่ 7.4.5 จงหาผลเฉลยในรูปอนุกรมรอบจุด 0x = ของสมการ 0yy3yx2 =−′+′′
วิธีทาํ x23)x(P = และ
x21)x(Q −=
ไมเปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =
เพราะฉะนั้นจุด 0x = เปนจุดเอกฐาน
23)x(xP = และ
2x)x(Qx 2 −=
เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =
เพราะฉะนั้น 0x = เปนจุดเอกฐานปรกติ
สมมติ 0a ,xa y 00n
rnn ≠= ∑
∞
=
+
แทน y,y ,y ′′′ ลงใน 0yy3yx2 =−′+′′
∑∞
=
−+−++0n
2rnnxa)1rn)(rn( x2
0xa xa)rn( 30n
rnn
0n
1rnn =−++ ∑∑
∞
=
+∞
=
−+
∑∞
=
−+−++0n
1rnnxa)1rn)(rn2(
0xa xa)rn3( 0n
rnn
0n
1rnn =−++ ∑∑
∞
=
+∞
=
−+
เขียนอนุกรมที่สามใหกําลังของ x เปน 1rn −+ จะได
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-54
∑∞
=
−+−++0n
1rnnxa)1rn)(rn2(
0xa xa)rn(3 1n
1rn1n
0n
1rnn =−++ ∑∑
∞
=
−+−
∞
=
−+
เขียนพจนแรกของอนุกรมแรกและอนุกรมที่สองออกมาเปน
∑∞
=
−+− −+++−1n
1rnn
1r0 xa)1rn)(rn2( xa)1r(r2
0xa xa)rn(3 xra31n
1rn1n
1n
1rnn
1r0 =−+++ ∑∑
∞
=
−+−
∞
=
−+−
รวมพจนของอนุกรมเขาดวยกันจะได1r
0xa]r3)1r(r2[ −+−
0x]aa)rn(3a)1rn)(rn[2( 1n
1rn1nnn =−++−+++ ∑
∞
=
−+−
1r0xa)]1r2(r[ −+
0x]aa)1r2n2)(rn[( 1n
1rn1nn =−++++ ∑
∞
=
−+−
สมการดัชนีคือ 0)1r2(r =+
เลขชี้กําลังคือ 0 ,21r −=
สูตรเวียนเกิดคือ 0aa)1r2n2)(rn( 1nn =−+++ − , 1n ≥
1nn a)1r2n2)(rn(
1a −+++= , 1n ≥
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-55
การหาผลเฉลยเมื่อ 21r −=
สูตรเวียนเกิดคือ 1nn a)1n2(n
1a −−= , 1n ≥
;1n = 001 aa11a ==
;2n = 012 a61a
321a =⋅
=
;3n = 0023 a901a
6151a
531a =
⋅=
⋅=
เพราะฉะนั้นผลเฉลยคือ
∑∞
=
+=0n
1rnn xa )x(y
]xaxaxaa[x 33
22101r L++++=
]xa901xa
61xaa[x 3
02
00021
L++++=−
]x901x
61x1[xa 322
1 0 L++++=
−
โดยที่ 0a เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆเลือก 1a0 = จะไดผลเฉลยเฉพาะเปน
]x901x
61x1[x)x(y 322
1 1 L++++=
−
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-56
การหาผลเฉลยเมื่อ 0r =
สูตรเวียนเกิดคือ 1nn a)1n2(n
1a −+= , 1n ≥
;1n = 001 a31a
311a =⋅
=
;2n = 0012 a301a
3101a
521a =
⋅=
⋅=
;3n = 0023 a6301a
30211a
731a =
⋅=
⋅=
ผลเฉลยคือ ∑∞
=
+=0n
2rnn xa )x(y
]xaxaxaa[x 33
22102r L++++=
]xa6301xa
301xa
31a[x 3
02
0000 L++++=
]x6301x
301x
311[a 32
0 L++++=
โดยที่ 0a เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆเลือก 1a0 = จะไดผลเฉลยที่สองเปน
]x6301x
301x
311[)x(y 32
2 L++++=
เพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ )x(yc)x(yc)x(y 2211 +=
]x901x6
1x1[xc 3221
1 L++++=−
]x6301x30
1x311[c 32
2 L+++++
โดยที่ 1c และ 2c เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆ2301312 Differential equations 2555 2nd Page 14 of 19
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-57
ตัวอยางที่ 7.4.6 จงหาผลเฉลยในรูปอนุกรมกําลังรอบจุด 0x = ของสมการ 0y3y)5x(yx =+′+−′′
วิธีทาํ x51
x5x)x(P −−=+−= และ
x3)x(Q =
ไมเปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =
เพราะฉะนั้นจุด 0x = เปนจุดเอกฐาน5x)x(xP −−= และ x3)x(Qx 2 =
เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =
เพราะฉะนั้นจุด 0x = เปนจุดเอกฐานปรกติ
สมมติ 0a ,xa y 00n
rnn ≠= ∑
∞
=
+
แทน y,y ,y ′′′ ลงใน 0y3y)5x(yx =+′+−′′
∑∞
=
−+−++0n
2rnnxa)1rn)(rn( x
0xa 3xa)rn( )5x(0n
rnn
0n
1rnn =+++− ∑∑
∞
=
+∞
=
−+
∑∑∞
=
+∞
=
−+ +−−++0n
rnn
0n
1rnn xa)rn( xa)1rn)(rn(
0xa3 xa)rn(5 0n
rnn
0n
1rnn =++− ∑∑
∞
=
+∞
=
−+
รวมกลุมอนุกรมที่เหมือนกันจะได
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-58
∑∞
=
−++−−++0n
1rnnxa)]rn(5)1rn)(rn[(
0xa]3)rn([ 0n
rnn =−+− ∑
∞
=
+
0xa)3rn( xa)6rn)(rn( 0n
rnn
0n
1rnn =−+−−++ ∑∑
∞
=
+∞
=
−+
เปลี่ยนกําลังของ x ในอนุกรมหลังเปน 1rn −+ จะได
0xa)4rn( xa)6rn)(rn( 1n
1rn1n
0n
1rnn =−+−−++ ∑∑
∞
=
−+−
∞
=
−+
เขียนพจนแรกของอนุกรม และอนุกรมที่เหลือเร่ิมตนที่ 1n =
1r0xa)6r(r −− ∑
∞
=
−+−+++1n
1rnnxa)6rn)(rn(
0xa)4rn( 1n
1rn1n =−+− ∑
∞
=
−+−
รวมอนุกรมเขาดวยกันจะได 1r0xa)6r(r −−
0x]a)4rn(a)6rn)(rn[( 1n
1rn1nn =−+−−+++ ∑
∞
=
−+−
สมการดัชนีคือ 0)6r(r =−
มีรากหรือเลขชี้กําลัง 6r ,0r 21 ==
สูตรเวียนเกิดคือ0a)4rn(a)6rn)(rn( 1nn =−+−−++ − , 1n ≥
1nn a)4rn(a)6rn)(rn( −−+=−++ , 1n ≥
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-59
การหาผลเฉลยเมื่อ 0rr 1 ==
สูตรเวียนเกิดคือ 1nn a)4n(a)6n(n −−=− , 1n ≥
;1n = 01 a)3(a)5)(1( −=− หรือ 01 a53a =
;2n = 12 a)2(a)4)(2( −=− หรือ 012 a203a
41a ==
;3n = 23 a)1(a)3)(3( −=− หรือ 022 a601a
91a ==
;4n = 34 a)0(a)2)(4( =− หรือ 0a 4 =
;5n = 45 a)1(a)1)(5( =− หรือ 0a51a 45 =−=
;6n = 0a)2(a)0)(6( 56 == หรือ 0a0 6 =⋅
เพราะวาไมวา 6a จะมีคาเปนเทาใด 0a0 6 =⋅ เปนจริงเสมอเพราะฉะนั้นให 6a เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆ ตัวใหมเพราะฉะนั้นจะไดสูตรเวียนเกิดสําหรับ 7n ≥ เปน
1nn a)6n(n
4na −−−=
เพราะฉะนั้น ;7n = 67 a17
3a⋅
=
;8n = 78 a28
4a⋅
= หรือ 68 a283a =
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-60
เพราะฉะนั้นผลเฉลยคือ
∑∞
=
+=0n
1rnn xa )x(y
]xaxaxaa[x 33
22101r L++++=
++++= 30
2000
0 xa601xa20
3xa53a[x
]xa283xa7
3xa 86
76
66 L++++
]x601x20
3x531[a 32
0 +++=
]x283x7
3x[a 8766 L++++
]x283x
731[xa]x
601x
203x
531[a 26
632
0 L+++++++=
เมื่อ 0a และ 6a เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆ ซึ่งเปนผลเฉลยทั่วไปของสมการที่กําหนดให โดยที่
321 x
601x
203x
531)x(y +++=
และ ]x283x
731[x)x(y 26
2 L+++=
หมายเหตุถาหากเราจะหาผลเฉลยโดยใชรากคามากคือ 6rr 2 ==
จะพบวา ]x283x
731[xa)x(y 26
0 L+++= ที่หาไดจะไปซ้ํากับ )x(y2
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 15 of 19
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-61
ตัวอยางที่ 7.4.7 จงหาผลเฉลยในรูปอนุกรมรอบจุด 0x = ของสมการ 0xyyx2yx4 2 =−′+′′
วิธีทาํ x2
1)x(P = และ x4
1)x(Q −=
ไมเปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =
เพราะฉะนั้นจุด 0x = เปนจุดเอกฐาน
21)x(xP = และ x
41)x(Qx 2 −=
เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =
เพราะฉะนั้นจุด 0x = เปนจุดเอกฐานปรกติ
สมมติผลเฉลย 0a ,xa y 00n
rnn ≠= ∑
∞
=
+
แทน y,y ,y ′′′ ลงใน 0xyyx2yx4 2 =−′+′′
∑∞
=
−+−++0n
2rnn
2 xa)1rn)(rn( x4
0xa xxa)rn( x20n
rnn
0n
1rnn =−++ ∑∑
∞
=
+∞
=
−+
∑∞
=
+−++0n
rnnxa)1rn)(rn4(
0xa xa)rn(2 0n
1rnn
0n
rnn =−++ ∑∑
∞
=
++∞
=
+
เขียนใหมใหอนุกรมหลังมีกําลังของ x เปน rn + จะได
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-62
∑∞
=
+−++0n
rnnxa)1rn)(rn4(
0xa xa)rn(2 1n
rn1n
0n
rnn =−++ ∑∑
∞
=
+−
∞
=
+
เขียนพจนแรกของสองอนุกรมแรกออกมาเปน
∑∞
=
+−+++−1n
rnn
r0 xa)1rn)(rn4( xa)1r(r4
0xa xa)rn(2 xra21n
rn1n
0n
rnn
r0 =−+++ ∑∑
∞
=
+−
∞
=
+
รวมกลุมของพจนที่เหมือนกันเขาดวยกันจะไดr
0xa]r2)1r(r4[ +−
0x]aa)rn(2a)1rn)(rn[4( 1n
rn1nnn =−++−+++ ∑
∞
=
+−
r0
2 xa]r2r4[ −
0x]aa)1r2n2)(rn(2[ 1n
rn1nn =−−+++ ∑
∞
=
+−
สมการดัชนีคือ 0r2r4 2 =−
เลขชี้กําลังคือ 21r ,0r 21 ==
สูตรเวียนเกิดคือ 0aa)1r2n2)(rn(2 1nn =−−++ − , 1n ≥
1nn a)1r2n2)(rn(2
1a −−++= , 1n ≥
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-63
การหาผลเฉลยเมื่อ 0rr 1 ==
สูตรเวียนเกิดคือ 1nn a)1n2(n2
1a −−= , 1n ≥
;1n = 001 a!2
1a112
1a =⋅⋅
=
;2n = 0012 a!4
1a!234
1a322
1a =⋅⋅
=⋅⋅
=
;3n = 0023 a!6
1a!456
1a532
1a =⋅⋅
=⋅⋅
=
เพราะฉะนั้นผลเฉลยคือ
∑∞
=
+=0n
1rnn xa )x(y
]xaxaxaa[x 33
22101r L++++=
]xa!6
1xa!4
1xa!2
1a[x 30
2000
0 L++++=
]x!6
1x!4
1x!2
11[a 320 L++++=
∑∞
==
0n
n0 )!n2(
x a
โดยที่ 0a เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆเลือก 1a0 =
จะไดผลเฉลยเฉพาะ ∑∞
==
0n
n1 )!n2(
x )x(y
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-64
การหาผลเฉลยเมื่อ 21rr 2 ==
สูตรเวียนเกิดคือ 1nn a)1n2(n2
1a −+= , 1n ≥
;1n = 001 a!3
1a312
1a =⋅⋅
=
;2n = 0012 a!5
1a!345
1a522
1a =⋅⋅
=⋅⋅
=
เพราะฉะนั้นผลเฉลยคือ ∑∞
=
+=0n
2rnn xa )x(y
]xaxaxaa[x 33
22102r L++++=
]xa!7
1xa!5
1xa!3
1a[x 30
20002
1L++++=
]x!7
1x!5
1x!3
11[xa 3221
0 L++++=
∑∞
= +=
0n
n21
0 )!1n2(x xa ∑
∞
=
+
+=
0n
21n
0 )!1n2(x a
โดยที่ 0a เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆ
เลือก 1a0 = จะไดผลเฉลยเฉพาะ ∑∞
=
+
+=
0n
21n
2 )!1n2(x )x(y
เพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ )x(yc)x(yc)x(y 2211 +=
∑∑∞
=
+∞
= ++=
0n
21n
20n
n1 )!1n2(
x c)!n2(
x c
โดยที่ 1c และ 2c เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆ2301312 Differential equations 2555 2nd Page 16 of 19
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-65
ตัวอยางที่ 7.4.8 จงหาผลเฉลยในรูปอนุกรมรอบจุด 0x = ของสมการ 0yy)xx(yx 22 =+′+−′′
วิธีทาํ )x11(
xxx)x(P
22
+−=+−= และ 2x
1)x(Q =
ไมเปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =
เพราะฉะนั้นจุด 0x = เปนจุดเอกฐาน)1x()x(xP +−= และ 1)x(Qx 2 =
เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =
เพราะฉะนั้นจุด 0x = เปนจุดเอกฐานปรกติ
สมมติผลเฉลยคือ 0a ,xa y 00n
rnn ≠= ∑
∞
=
+
แทน y,y ,y ′′′ ลงใน 0yy)xx(yx 22 =+′+−′′
∑∞
=
−+−++0n
2rnn
2 xa)1rn)(rn( x
0xa xa)rn( )xx(0n
rnn
0n
1rnn
2 =+++− ∑∑∞
=
+∞
=
−+
∑∑∞
=
++∞
=
+ +−−++0n
1rnn
0n
rnn xa)rn( xa)1rn)(rn(
0xa xa)rn( 0n
rnn
0n
rnn =++− ∑∑
∞
=
+∞
=
+
เขียนอนุกรมที่สองใหมีกําลังของ x เปน rn +
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-66
∑∑∞
=
+−
∞
=
+ −+−−++1n
rn1n
0n
rnn xa)1rn( xa)1rn)(rn(
0xa xa)rn( 0n
rnn
0n
rnn =++− ∑∑
∞
=
+∞
=
+
เขียนพจนแรกของแตละอนุกรมออกมา ยกเวนอนุกรมที่สอง
∑∞
=
+−+++−1n
rnn
r0 xa)1rn)(rn( xa)1r(r
∑∞
=
+−−+−
1n
rn1n xa)1rn(
0xa xaxa)rn( xra1n
rnn
r0
1n
rnn
r0 =+++−− ∑∑
∞
=
+∞
=
+
รวมกลุมพจนที่เหมือนกันเขาดวยกันจะไดr
0xa]1r)1r(r[ +−−
01n
rnx]1na)1rn(nana)rn(na)1rn)(rn[( =∑∞
=
+−−+−++−−+++
r0
2 xa]1r2r[ +−
0x]a)1rn(a)1rn[( 1n
rn1nn
2 =−+−−++ ∑∞
=
+−
สมการดัชนีคือ 01r2r2 =+− หรือ 0)1r( 2 =−
เลขชี้กําลังคือ 1 ,1r = ซึ่งเปนรากซ้ํา และสูตรเวียนเกิดคือ0a)1rn(a)1rn( 1nn
2 =−+−−+ − , 1n ≥
1nn a)1rn(
1a −−+= , 1n ≥
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-67
การหาผลเฉลยเมื่อ 1r =
สูตรเวียนเกิดคือ 1nn an1a −= , 1n ≥
;1n = 001 a!1
1a11a ==
;2n = 0012 a!2
1a!12
1a21a =
⋅==
;3n = 0023 a!3
1a!23
1a31a =
⋅==
เพราะฉะนั้นผลเฉลยคือ ∑∞
=
+=0n
rnn xa )x(y
]xaxaxaa[x 33
2210
r L++++=
]xa!3
1xa!2
1xa!1
1a[x 30
2000 L++++=
]x!3
1x!2
1x!1
11[xa 320 L++++=
∑∞
==
0n
n0 n!
x xa
x0xea=
โดยที่ 0a เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆเลือก 1a0 = จะไดผลเฉลยเฉพาะ x
1 xe)x(y =
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-68
การหาผลเฉลยที่สองของสมการ
dx e)x(y
1 )x(y)x(ydx )x
11( 21
12 ∫∫=
+−
∫ += dx eex1 xe xlnx
x22x
∫−
= dx x
e xexx
∫ ∑∞
=
−−= dx
!nx)1( xe
0n
1nnx
∫ ∑ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
∞
=
−dx
!nx)1(
x1 xe
1n
1nnx
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅
−+= ∑
∞
=1n
nnx
!nnx)1( xlnxe
เพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ )x(yc)x(yc)x(y 2211 +=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅
−++= ∑
∞
=1n
nnx
2x
1 !nnx)1( xlnxecxec
โดยที่ 1c และ 2c เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆ
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 17 of 19
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-69
ตัวอยางที่ 7.4.9 จงหาผลเฉลยในรูปอนุกรมรอบจุด 0x = ของสมการ 0y)x26(y)x4(xyx 2 =−+′−−′′
วิธีทาํ x41
x)x4(x)x(P
2−=
−−=
และ x2
x6
xx26)x(Q
22−=−=
ไมเปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =
เพราะฉะนั้นจุด 0x = เปนจุดเอกฐาน4x)x(xP −= และ x26)x(Qx 2 −=
เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =
เพราะฉะนั้นจุด 0x = เปนจุดเอกฐานปรกติ
สมมติคือ 0a ,xa y 00n
rnn ≠= ∑
∞
=
+
แทน y,y ,y ′′′ ลงใน 0y)x26(y)x4(xyx 2 =−+′−−′′
∑∞
=
−+−++0n
2rnn
2 xa)1rn)(rn( x
∑∞
=
−++−−0n
1rnnxa)rn( )x4(x
0xa )x26(0n
rnn =−+ ∑
∞
=
+
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-70
∑∑∞
=
+∞
=
+ +−−++0n
rnn
0n
rnn xa)rn(4 xa)1rn)(rn(
∑∞
=
++++0n
1rnnxa)rn(
0xa2 xa6 0n
1rnn
0n
rnn =−+ ∑∑
∞
=
++∞
=
+
เขียนอนุกรมที่สามและหาใหกําลังของ x เปน rn + จะได
∑∑∞
=
+∞
=
+ +−−++0n
rnn
0n
rnn xa)rn(4 xa)1rn)(rn(
∑∞
=
+−−++
1n
rn1n xa)1rn(
0xa2 xa6 1n
rn1n
0n
rnn =−+ ∑∑
∞
=
+−
∞
=
+
เขียนพจนแรกของอนุกรมที่หนึ่ง สองและส่ีออกมาเปน
∑∞
=
+−+++−1n
rnn
r0 xa)1rn)(rn( xa)1r(r
∑∞
=
++−−1n
rnn
r0 xa)rn(4 xra4
r0
1n
rn1n xa6xa)1rn( +−++ ∑
∞
=
+−
0xa2 xa6 1n
rn1n
1n
rnn =−+ ∑∑
∞
=
+−
∞
=
+
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-71
รวมกลุมของพจนที่เหมือนกันเขาดวยกันจะไดrx0a]6r4)1r(r[ +−−
01n
rnx]1na}2)1rn{(na}6)rn(4)1rn)(rn[{( =∑∞
=
+−−−++++−−+++
หรือrx0a]6r52r[ +−
01n
rnx]1na)3rn(na}6)rn(4)1rn)(rn{([ =∑∞
=
+−−++++−−+++
สมการดัชนีคือ 06r5r2 =+−
0)3r)(2r( =−−มีเลขชี้กําลัง 3r ,2r 21 ==
สูตรเวียนเกิดคือ0a)3rn(a}6)rn(4)1rn)(rn{( 1nn =−++++−−++ −
1nn a6)rn(4)1rn)(rn(
3rna −++−−++−+−= , 1n ≥
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-72
การหาผลเฉลยเมื่อ 2rr 1 ==
สูตรเวียนเกิดคือ 1nn a6)2n(4)1n)(2n(
1na −++−++−−=
1nn a6)3n)(2n(
1na −+−+−−=
1n2n a66nn
1na −+−−−−=
1nn an1a −−=
;1n = 001 aa11a −=−=
;2n = 0012 a!2
1a21a
21a ==−=
;3n = 0023 a!3
1a!23
1a31a −=
⋅−=−=
เพราะฉะนั้นผลเฉลยคือ ∑∞
=
+=0n
1rnn xa )x(y
]xaxaxaa[x 33
22101r L++++=
]xa!3
1xa!2
1xaa[x 30
2000
2 L+−+−=
]x!3
1x!2
1x1[xa 3220 L+−+−=
∑∞
=
−=
0n
n2
0 !n)x( xa
x20 exa −=
โดยที่ 0a เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆเลือก 1a0 = จะไดผลเฉลยเฉพาะ x2
1 ex)x(y −=
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 18 of 19
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-73
การหาผลเฉลยเมื่อ 3rr 2 ==
สูตรเวียนเกิดคือ
1nn a6)3n(4)2n)(3n(
na −++−++−= , 1n ≥
1nn a6)2n)(3n(
na −+−+−=
1n2n a66nn
na −+−+−=
1nn a1n
1a −+−=
;1n = 001 a!2
1a21a −=−=
;2n = 0012 a!3
1a!23
1a31a =
⋅=−=
;3n = 0023 a!4
1a!34
1a41a −=
⋅−=−=
เพราะฉะนั้นผลเฉลยคือ
∑∞
=
+=0n
2rnn xa )x(y
]xaxaxaa[x 33
22102r L++++=
]xa!4
1xa!3
1xa!2
1a[x 30
2000
3 L+−+−=
]x!4
1x!3
1x!2
11[xa 3230 L+−+−=
]x!4
1x!3
1x!2
1x[xa 43220 L+−+−=
20
43220 xa]x
!41x
!31x
!21x1[xa ++−+−+−= L
20
43220 xa]x
!41x
!31x
!21x1[xa +−+−+−−= L
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-74
20
0n
n2
0 xa!n)x( xa +
−−= ∑
∞
=2
0x2
0 xaexa +−= −
โดยที่ 0a เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆเลือก 1a0 =
จะไดผลเฉลยเฉพาะ 2x22 xex)x(y +−= −
จากผลเฉลยx2
1 ex)x(y −=2x2
2 xex)x(y +−= −
เพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ)x(yc)x(yc)x(y 2211 +=
)xex(B)ex(A 2x2x2 +−+= −−
)Bxex)BA( 2x2 +−= −
22
x21 xcexc += −
โดยที่ BAc1 −= และ Bc2 = เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆ
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-75
สรุปบทที่ 7จุดสามัญ
0y)x(Qy)x(Py =+′+′′
1. ถา P(x), Q(x) เปนฟงกชันวิเคราะหที่ x = 0แลว 0x = เปนจุดสามัญถา 0x = เปนจุดสามัญ
แลว สมมติ ∑∞
==+++=
0n
nn
2210 xa ...xaxaay
หา 1y (x) และ 2y (x)ขอสังเกต
1. 1y (x) หาไดแนนอน2. 2y (x) อาจหาได ระหวางหา 1y (x) เชน
2.1 อนุกรมแบงเปน 2 ชุดไดตามคา na , 2na −
2.2 อนุกรมแบงเปน 2 ชุดชุดแรก เปนพหุนามชุดที่สอง เปนอนุกรมอนันต
3. 2y (x) = 1y (x)∫)x(y
e21
dx)x(P∫− dx
ผลเฉลยทั่วไปคือ )x(yc)x(yc)x(y 2211 +=
บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร
7-76
จุดเอกฐานปกติ
2. ถา 0x = ไมเปนจุดสามัญ ใหตรวจสอบวา 0x = เปนจุดเอกฐานปกติหรือไม
3. ถา )x(Qx2 และ xP(x) เปนฟงกชันวิเคราะหที่ x = 0แลว 0x = เปนจุดเอกฐานปกติ
4. ถา )x(Qx2 และ xP(x) เปนฟงกชันวิเคราะหที่ x = 0แทนคา x = 0จะได )x(Qx2 = 0q และ xP(x) = 0p
5. สมการดัชนีคือ0qr)1p(r 00
2 =+−+
รากดัชนี หรือ คาดัชนีคือ 21 r,rr =
ให ∑∞
=
+=0n
1rnn1 xa y
และ ∑∞
=
+=0n
2rnn2 xb y
ดูแผนผังที่หนา 7-37
ผลเฉลยทั่วไปคือ )x(yc)x(yc)x(y 2211 +=
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 19 of 19