6.1 อัตราส วนตรีโกณมิติ · 6 3วันพร...

..

1

...

....

CHAPTER

. 6. อตราสวนตรโกณมต

6.1 อตราสวนตรโกณมต

..

▷▷ M20001

.

พจารณาสามเหลยมมมฉากดงรป สมมตให• มม θ เรยกวามมหลก• ความยาวดานตรงขามมมฉาก = ฉาก• ความยาวดานตรงขามมมหลก (θ) = ขาม• ความยาวดานซงอยระหวางมมฉากกบมมหลก

(เรยกเปนดานประชดมม) = ชด ..

ขาม

.

ฉาก

.ชด

. θ

..จะไดวา

sinθ =ขามฉาก

cosθ =ชดฉาก

tanθ =ขามชด .

คาตรโกณมตพนฐานทตองจำ

คาθ

30◦ 45◦ 60◦

sin12

√2

2

√3

2

cos√

32

√2

212

tan1√3

1√

3

ฟงกชนตรโกณมตอน ๆ ทควรรจกcotangentθ = cotθ =

1tanθ

=cosθ

sinθเมอ sinθ = 0

secantθ = secθ =1

cosθเมอ cosθ = 0

cosecantθ = cosecθ =1

sinθเมอ sinθ = 0

..6.

www.educasy.com

...

2

...

..1 ..M10001 (แนว O-NET) ขอใดตอไปนไมถกตอง1. sin30◦ < sin45◦ 2. cos45◦ < cos30◦

3. tan45◦ < cot45◦ 4. cot60◦ < tan60◦

..2 (มช. 55) (แนว O-NET) คำตอบของสมการ x2 − 4sin30◦ = 22cos60◦ เทากบขอใด

1. ±2 2. ±3 3. ±√11 4. ±√

13

6.2 การประยกตของอตราสวนตรโกณมต

..วธการประยกตใชงานอตราสวนตรโกณมต ใหศกษาจากโจทยตอไปน

..3 ..M10002 (มช. 56) ถา น.ส. กอยยนอยทจดA หางจากตนไม 150 เมตร แลวสงเกตเหนวามมระหวางพนดนและยอดของตนไมทมความสง h คอ 30◦ (ดงรป) ขอใดคอความสง h ของตนไม

1. 50

2. 50√

3

3. 150√

3

4. 450√

3

...A

.150 ม.

.

h =?

.. 30◦

..6

.3 วนพรอมสอบ คณต O-NET

..

3

...

..4 ..M10003 (แนว O-NET) ถารปสามเหลยมดานเทารปหนงมความสง 1 หนวย แลวความยาวเสนรอบรปของสามเหลยมรปนยาวเทากบขอใดตอไปน

1.√

32

หนวย 2. 2√

3 หนวย 3. 3√

3 หนวย 4. √3 หนวย

..5 ..M10004 (มช. 55) จากรปทกำหนดใหถา |DE| = 4

√3 หนวย

|BE| = 6 หนวยแลว |AB| เทากบขอใด

1. 6 2. 6√

3

3. 10 4. 10√

3

..B.

E.

C.

D

.

A

. 60◦

..6.

www.educasy.com

...

4

...

..6 ..M10005 (แนว O-NET) กำหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก และดาน BC ยาว 18 นว ถา D เปนจดบนดาน AC โดยท BDC = 70◦ และ ABD = 10◦

แลวดาน AB ยาวเทากบขอใดตอไปน

1. 4√

3 นว 2. 12√

3 นว 3. 6 นว 4. 18 นว

..7 ..M10006 (แนว O-NET) กำหนดให ABC เปนรปสามเหลยมซงมมม A เปนมมฉาก และมมม B = 30◦ ถา D และ E เปนจดบนดาน AB และ BC ตามลำดบ ซงทำให DE ขนานกบ AC โดยท DE ยาว 5 หนวย และ EC ยาว 6 หนวย แลว AC ยาวเทากบขอใดตอไปน

1. 8 หนวย 2. 10 หนวย 3. 14 หนวย 4. 20 หนวย

..8 ..M10007 (แนว O-NET) กำหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก มดานBC ยาวเทากบ 20

√3 หนวย และดาน AB ยาวเทากบ 40 หนวย ถาลากเสนตรงจากจด C

ไปตงฉากกบดาน AB ทจด D แลวจะไดวาดาน CD ยาวเทากบขอใดตอไปน

1. 5√

2 หนวย 2. 5√

3 หนวย 3. 10√

2 หนวย 4. 10√

3 หนวย

..6


..

5

...

..9 ..M10008 (แนว O-NET) กลองวงจรปดซงถกตดตงอยสงจากพนถนน 4 เมตร สามารถจบภาพไดตำทสดทมมกม 45◦ และสงทสดทมมกม 30◦ ระยะทางบนพนถนนในแนวกลองทกลองนสามารถจบภาพไดคอเทาใด (กำหนดให √3 ≈ 1.73)

1. 1.0 เมตร 2. 1.46 เมตร 3. 2 เมตร 4. 2.92 เมตร

..10 ..M10009 (แนว O-NET) วงกลมวงหนงมเสนผานศนยกลาง 12 หนวย และ A , B , C เปนจดบนเสนรอบวงของวงกลม ถา AB เปนเสนผานศนยกลางของวงกลม และ CAB = 60◦

แลวพนทของรปสามเหลยม ABC เทากบขอใดตอไปน

1. 15√

3 ตารางหนวย 2. 16√

3 ตารางหนวย3. 17

√3 ตารางหนวย 4. 18

√3 ตารางหนวย

..11 ..M10010 (แนว O-NET) กำหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B เปนมมฉาก มมมA เทากบ 30◦ และมพนทเทากบ 6

√3 ตารางหนวย ความยาวของดาน AB เทากบขอใด

1. 6 หนวย 2. 12 หนวย 3. 16 หนวย 4. 18 หนวย

..6.

www.educasy.com

...

6

...

..12 ..M10011 (แนว O-NET) กำหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก และcosB =

23ถาดาน BC ยาว 4 หนวย แลวพนทของรปสามเหลยม ABC เทากบขอใด

1.√

53

ตารางหนวย 2.√

52

ตารางหนวย3. 2

√5 ตารางหนวย 4. 4

√5 ตารางหนวย

..13 ..M10012 (แนว O-NET) กำหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B เปนมมฉาก ถาcotA =

125

แลว 5cosecA + 12secA มคาเทาใด

..6


..

7

...

..14 ..M10013 (มช. 55) ถา 0 <π

2และ sinθ =

45แลว cosθ + cot2θ มคาเทากบขอใด

1. 45107

2. 8093

3. 9380

4. 10745

..15 ..M10014 (มช. 56) ถากำหนดรปสามเหลยม ABC มมม C เปนมมฉาก และใหcos(B) =

14

คาของ cos(A) คอขอใด

1. 1√17

2. 1√15

3.√

154

4. 4√17

..6.

www.educasy.com

...

8

...

..

▷▷ M20002

.

Co-functionโปรดจำไวใหแมน ถา A + B = 90◦ แลว

1. sinA = cosB เชน sin20◦ = cos70◦

2. tanA = cotB เชน tan10◦ = cot80◦

3. secA = cosecB เชน sec75◦ = cosec15◦

..16 ..M10015 (แนว O-NET) จากรป ขอใดตอไปนไมถกตอง

1. sin21◦ = cos69◦

2. sin21◦ = cos21◦

3. tan21◦ = cot69◦

4. cot21◦ = tan69◦

..A

.B

.

C

. 21◦

..17 ..M10016 (แนว O-NET) cosec30◦ +(

sin31◦sin35◦

cos35◦cos59◦

)tan55◦ มคาเทากบเทาใด

..6


..

9

...

.. โจทยเพมเตม..1 ..M10017 (แนว O-NET) ถา ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B เปนมมฉาก และ sinA =

35

แลว cos(B − A) มคาเทากบเทาใด

..2 ..M10018 (แนว O-NET) ถา 2cos2θ + cosθ = 1 โดยท 90◦ ≤ θ ≤ 180◦ แลว θ เปนมมกองศา

..3 ..M10019 (แนว O-NET) โดยการใชตารางหาอตราสวนตรโกณมตของมมขนาดตาง ๆทกำหนดใหตอไปน

θ sinθ cosθ

72◦ 0.951 0.309

73◦ 0.956 0.292

74◦ 0.961 0.276

75◦ 0.966 0.259

มมภายในทมขนาดเลกทสดของรปสามเหลยมทมดานทงสามยาว 7 , 24 และ 25 หนวย มขนาดใกลเคยงกบขอใดมากทสด

1. 16◦ 2. 20◦ 3. 24◦ 4. 28◦

..4 ..M10020 (แนว O-NET) กำหนดใหตาราง A ตาราง B และตาราง C เปนตารางหาอตราสวนตรโกณมตของมมขนาดตาง ๆ ดงน

ตาราง A

θ sinθ

40◦ 0.643

41◦ 0.656

42◦ 0.669

ตาราง B

θ cosθ

40◦ 0.766

41◦ 0.755

42◦ 0.743

ตาราง C

θ tanθ

40◦ 0.839

41◦ 0.869

42◦ 0.900

..6.

www.educasy.com

...

10

...

ถารปสามเหลยม ABC มมม B เปนมมฉากมม C มขนาด 41◦ และสวนสง BX ยาว1 หนวย แลวความยาวของสวนของเสนตรงAX เปนดงขอใดตอไปน

1. ปรากฏอยในตารางตาราง A2. ปรากฏอยในตารางตาราง B3. ปรากฏอยในตารางตาราง C4. ไมปรากฏอยในตาราง A , B และ C

..X.

B

.C

.A

..5 ..M10021 กำหนดใหรปสามเหลยมดานเทาDEF ม DG เปนสวนสง และ DE ยาว18 หนวย ดงรป จงหาความยาวของ DG

1. 18√

3 2. 9√

3

3. 9

√3

24.

√3

2

..D

.E

.

F

.

G

..6 ..M10022 (แนว O-NET) กำหนดให ABCD เปนรปสเหลยมผนผาซงมพนทเทากบ 48

ตารางหนวย tanABD =13ถา AE ตงฉากกบ BD ทจด E แลว AE ยาวเทากบขอใด

ตอไปน

1.√

103

หนวย 2. 45

√10 หนวย

3.√

102

หนวย 4. 65

√10 หนวย

..6


..

11

...

..7 ..M10023 (แนว O-NET) ให ABC เปนรปสามเหลยมทมพนทเทากบ 15 ตารางหนวย และมมม C เปนมมฉาก ถา sinB = 3sinA แลวดาน AB ยาวเทากบขอใดตอไปน

1. 5 หนวย 2. 5√

3 หนวย 3. 10 หนวย 4. 10√

3 หนวย

..8 ..M10024 (แนว O-NET) กำหนดใหสามเหลยม ABC ม AD เปนเสนความสงโดยท D อยบนดาน BC ถาดาน AB ยาว 5 หนวย ดาน AD ยาว 3 หนวย และ BAD = ACD แลวดาน CD ยาวกหนวย

..6.

www.educasy.com

...

12

...

.. สมมตวานกเรยนกำลงเปนดารารบเชญในรายการทวและไดเลนเกมเพอชงรางวล โดยมประตใหเลอก 3 บาน ขางหลงประตใดประตหนงมรางวลเปนรถสปอรตอย สวนอก 2บานทเหลอเปนแพะนนคอไมไดรางวล พธกรใหเราเลอกประตใดประตหนง หลงจากเลอกแลวพธกรจะตดประตทผดออกประตหนงเหลอแคสองประต แลวถามนกเรยนวาจะเปลยนใจไปเลอกประตอกบานหรอไม

นกเรยนจะเปลยนใจรเปลา เพราะอะไร

.

..6


..

13

...

.. เฉลยโจทยประกอบเนอหา..1 ตอบขอ 3)แนวคด เนองจาก sin30◦ =

12

sin45◦=

√2

2sin60◦ =

√3

2

cos30◦ =

√3

2cos45◦=

√2

2cos60◦ =

12

tan30◦ =1√3

tan45◦ = 1 tan60◦ =√

3

cot30◦ =√

3 cot45◦ = 1 cot60◦ =1√3

ขอ 3. ผด เพราะ tan45◦ = cot45◦ = 1

..2 ตอบขอ 4)แนวคด จาก x2 − 4sin30◦ = 22cos60◦

x2 − 4(

12

)= 22

(12

)x2 − 2 = 11

x2 = 13

x = ±√

13

..3 ตอบขอ 2)แนวคด พจารณาจากรป △ มมฉากทกำหนด

...A

. 30◦.h =ขาม

.ชด= 150

..6.

www.educasy.com

...

14

...

จาก ขามชด = tan30◦

จะได h150

=1√3

h =150√

3

h =150√

3·√

3√3

h =150

√3

3h = 50

√3

นนคอ ตนไมน มความสง 50√

3 เมตร

..4 ตอบขอ 2)แนวคด พจารณา △ABC ดงรป

• มมภายในของรปสามเหลยมดานเทาจะเทากบ60◦ เสมอ

• โจทยบอกสวนสงของรป △ คอดาน BC = 1

จาก sin60◦ =ขามฉาก√

32

=1

AC

AC =2√3

AC =2√3·√

3√3=

2√

33

..

ฉาก=?

. 60◦.B

.A

.

C

.

ขาม= 1

นนคอ ความยาวดานของสามเหลยมนมคาเทากบ 2√

33

หนวย

และความยาวเสนรอบรป (ความยาวทง 3 ดานรวมกน) = 3

(2√

33

)= 2

√3 หนวย

..6


..

15

...

..5 ตอบขอ 4)แนวคด ขนท 1 พจารณา △CDE ดงรป

จาก tan60◦ =ขามชด

จะได √3 =

4√

3EC

EC = 4..

B.

E.

C.

D

.

A

. 60◦.ขาม = 4

√3

.ชด =?

.6

จะไดวา ความยาวดาน EC = 4

ดงนน ความยาวดาน BC = 6 + 4 = 10 หนวย

ขนท 2 พจารณา △ABC


จะได √3 =

AB10

AB = 10√

3

นนคอความยาวดาน AB มคาเทากบ 10√

3 หนวย

..B.

C.

A

. 60◦.

ขาม =?

.ชด = 10

..6 ตอบขอ 2)แนวคด ขนท 1 ลองวาดรปตามโจทยบรรยายจะ

ไดดงนพจารณา△BCD จะพบวาขนาด

มม CBD เปน 20◦ เพราะมมภายในรป△ รวมกนตองได 180◦ เสมอ

.. 70◦.

20◦

.

10◦

.C.

D.

A.

B

.

18′′

.90◦

..6.

www.educasy.com

...

16

...


จาก cos30◦ =ชดฉาก

จะได√

32

=18AB

AB =36√

3

AB =36√

3·√

3√3

AB = 12√

3

นนคอ ความยาวดาน AB มคาเทากบ 12√

3 นว

..

30◦

.C.

A.

B

.

ชด=

18′′

.

ฉาก =?

..7 ตอบขอ 1)แนวคด ลองวาดรปตามโจทยบรรยายจะไดดงน

ขนท 1 พจารณา △BDE

จาก sin30◦ =ขามฉาก

จะได 12=

5BE

BE = 10

ขนท 2 พจารณา △ABC จะไดวาBC = BE + EC

BC = 10 + 6

BC = 16


จะได 12=

AC16

AC = 8

นนคอ AC จะยาว 8 หนวย

..

∖

.

6

.

∖

.

ขาม= 5

.

ฉาก

. 30◦.A

.D

.B

.

E

.

C

.

30◦

.

A

.

B

.

E

.

C

.

ขาม=?

.

6

.

10

.

ฉาก= 16

..6


..

17

...

..8 ตอบขอ 4)แนวคด ลองวาดรปตามโจทยบรรยายจะไดดงน


จาก cosB =ขดฉาก

จะได cosB =20√

340

cosB =

√3

2B = 30◦

ขนท 2 ลาก CD ให ⊥ กบ AB

แลวพจารณา △CDB

จาก ขามฉาก = sin30◦

จะได CD20√

3=

12

CD = 10√

3

นนคอ ดาน CD จะมความยาว 10√

3 หนวย

..C

.

A

.B

.

ฉาก= 40

.ชด= 20

√3

.

C

.

A

.

B

.

D

.

30◦

.

ฉาก= 20√

3

.

ขาม=

?

..9 ตอบขอ 4)แนวคด ลองวาดรปตามโจทยบรรยายจะไดดงภาพ จากนน พจารณาทจด C ซงเปนจดตง

กลองวงจรปดขนท 1 พจารณา △ABC


จะได tan30◦ =4

AB1√3=

4AB

AB = 4√

3

AB = 4(1.73)

AB = 6.92 เมตร

..D

.B

.

C

.A

. 30◦.

45◦

.

30◦

. 45◦.

ขาม=

4ม.

..6.

www.educasy.com

...

18

...

ขนท 2 พจารณา △BCD

จากtan45◦ =ขามชด

จะได 1 =4

BDBD = 4 เมตร

นนคอ ระยะบนพนทกลองจบภาพไดคอระยะ AD

= AB − BD = 6.92 − 4 = 2.92 เมตร

..10 ตอบขอ 4)แนวคด จากขอมลทโจทยใหมา เขยนรปจะไดดงแสดง และตามทฤษฎเรขาคณต มม C จะ

เปนมมฉากเสมอ



จะได√

32

=BC12

6√

3 = BC

จาก cos60◦ =ชดฉาก

จะได 12=

AC12

6 = AC

ขนท 2 หาพนท △ABC

จาก พนท △ =12(ฐาน) (สง)

จะได พนท △ =12× 6 × 6

√3

พนท △ = 18√

3 ตารางหนวย

..

A

.

C

.

B

.

60◦

.

ฉาก= 12

.

ขาม

.

ชด

..6


..

19

...

..11 ตอบขอ 1)แนวคด จากขอมลทโจทยใหมา เขยนรปจะไดดงแสดง

ขนท 1 สมมตให AB ยาวเทากบ x

จาก ขามชด = tan30◦

จะได BCx

=1√3

BC =1√3

x

ขนท 2 หาความยาว AB (x)

จาก พนท △ =12(ฐาน) (สง)

จะได 6√

3 =

(12

)(x)(

1√3

x)

x2 =(

6√

3) (

2√

3)

x2 = 36

x = 6

นนคอ ความยาวดาน AB มคาเทากบ 6 หนวย

..B

.A

.

C

. 30◦.ชด= x

.

ขาม= 1√3

x

..12 ตอบขอ 4)แนวคด โจทยกำหนด cosB =

23=

ชดฉาก แสดงวา

ถาดานชดยาว 2 หนวย ดานฉากจะยาว 3 หนวยขนท 1 จากทฤษฎพทากอรส

จะได AB2 = AC2 + BC2

32 = AC2 + 22

AC =√

5

แตโจทยกำหนดให BC ยาว 4 หนวย จงไดวาถา BC ยาว 2 AC ยาว √

5

ดงนน BC ยาว 4 AC ยาว 2√

5

..C.

B.

A

.ชด= 2

.

ขาม= √5

.

ฉาก= 3

..6.

www.educasy.com

...

20

...

ขนท 2 หาพนท △ABC

จากพนท △ =12(ฐาน) (สง)

จะไดพนท △ =12× 4 × 2

√5

พนท △ = 4√

5 ตารางหนวย ..C

.B

.

A

.ชด= 4

.

ขาม= 2√

5

..13 ตอบ 26แนวคด ขนท 1 จาก cotA =

125

จะได 1tanA

=125

tanA =5

12

เนองจาก tanA =ขามชด

แสดงวา BC = 5

AB = 12

ขนท 2 จากทฤษฎปทากอรส จะไดวาฉาก2 = 122 + 52

ฉาก2 = 169

ฉาก = 13

ขนท 3 พจารณาจากรป จะไดวา

จาก sinA =ขามฉาก

และ cosecA =1

sinA=

ฉากขาม =

135

จาก cosA =ชดฉาก

และ secA =1

cosA=

ฉากชด =

1312

ดงนน 5cosecA + 12secA = 5(

135

)+ 12

(1312

)= 13 + 13 = 26

..B

.A

.

C

.ชด= 12

.

ขาม= 5

.

ฉาก= 13

..6


..

21

...

..14 ตอบขอ 3)แนวคด ขนท 1 โจทยบอก sinθ =

45=

ขามฉาก

แสดงวา ถาความยาวดานขาม = 4 แลว ความยาวดานฉาก = 5

และตามทฤษฎพทาโกรส จะไดความยาวดานชด = 3 ดงรปขนท 2 จากรปจะไดวา

cosθ =ชดฉาก =

35

tanθ =ขามขด =

43

cotθ =1

tanθ=

143

=34

ดงนน cosθ + cot2θ =35+

(34

)2

=35+

916

=48 + 45

80

=9380

..B

.A

.

C

.ชด= 3

.

ขาม= 4

.

ฉาก= 5

. θ

..15 ตอบขอ 3)แนวคด ขนท 1 พจารณา △ABC โดย

ใช B เปนมมหลก จะไดวาcosB =

14=

ฉากชด

แสดงวา ถาชดยาว = 1

แลว ฉากยาว = 4

จากทฤษฎปทากอรส จะไดวาขาม2

+ 12 = 42

ขาม2= 15

ขาม =√

15

..C

.B

.

A

.ชด= 1

.

ขาม= √15

.

ฉาก= 4

. θ

..6.

www.educasy.com

...

22

...

ขนท 2 พจารณา △ABC แตใช A เปนมมหลก จะไดวา

cosA =ชดฉาก

cosA =

√154

..C

.B

.

A

.ขาม= 1

.

ชด= √15

.

ฉาก= 4

.

θ

..16 ตอบขอ 2)แนวคด เนองจาก 21◦ + 69◦ = 90◦

ขอ 1. , 3. , 4. ถกขอ 2. ผด เพราะ sin21◦ = cos69◦

..17 ตอบ 3แนวคด cosec30◦ +

(sin31◦sin35◦

cos35◦cos59◦

)tan55◦

=1

sin30◦+

(cos[90◦ − 31◦]cos[90◦ − 35◦]

sin[90◦ − 35◦]cos59◦

)(sin55◦

cos55◦

)=

1(12

) +

(cos59◦ · cos55◦

sin55◦ · cos59◦

)(sin55◦

cos55◦

)

=

(21

)+ 1

= 3

..6


..

23

...

.. เฉลยโจทยเพมเตม..1 ตอบ 0.6แนวคด โจทยกำหนด sinA =

35

จะได A = 37◦

โจทยใหหา cos(B − A) = cos(90◦ − 37◦) (โจทยกำหนด B = 90◦)

= cos53◦

= 0.6

..2 ตอบ 180◦แนวคด จาก 2cos2θ + cosθ = 1

2cos2θ + cosθ − 1 = 0

(2cosθ − 1)(cosθ + 1) = 0

นนคอ 2cosθ − 1 = 0 แ..ละ cosθ + 1 = 0

cosθ =12

cosθ = −1

θ = 60◦ θ = 180◦

แตโจทยกำหนดให 90◦ ≤ θ ≤ 180◦

ดงนน จงตอบ θ = 180◦เทานน.

..6.

www.educasy.com

...

24

...

..3 ตอบขอ 1)แนวคด ขนท 1 พจารณาตามรป โดยใชมม A เปนมมหลก จะไดวา

sinA =ขามฉาก

sinA =2425

sinA = 0.96

เมอดจากตารางทโจทยใหมา จะไดวาA = 74◦

ขนท 2 จาก มมภายใน △ รวมกนได 180◦ จะไดวาA + B + 90◦ = 180◦

74◦ + B + 90◦ = 180◦

B = 16◦

นนคอ มมทเลกทสดใน △ คอมม 16◦

.....24 =ขาม

.

7 =ชด

.

25 =ฉาก

. B.

A

..4 ตอบขอ 3)แนวคด พจารณา △ABX


จะได 0.869 =AX1

AX = 0.869

คา AX ปรากฏอยในตาราง C

..X.

B

.C

.A

.

41◦

.

49◦

. 41◦.ขาม

.

ชด= 1

..6


..

25

...

..5 ตอบขอ 2)แนวคด พจารณา △DEG ดงรปจะไดวา

• มมภายในของรปสามเหลยมดานเทาจะเทากบ 60◦ เสมอ• โจทยบอก DE = 18 หนวย


จะได√

32

=DG18

DG = 18

(√3

2

)DG = 9

√3

นนคอดาน DG ยาวเทากบ 9√

3 หนวย..

D.

E.

F

.

G

. 60◦.ฉาก= 18

.

ขาม=?

..6.

www.educasy.com

...

26

...

..6 ตอบขอ 4)แนวคด ขนท 1 พจารณา △ABD โจทยบอก tanB =

13

จาก tanB =ขามชด

จะได 13=

ADAB

นนคอ AD : AB = 1 : 3

ดงนน ถา AD ยาว = x

AB จะยาว = 3x

ขนท 2 เนองจาก พท.□ = 48 หนวยดงนน x(3x) = 48

x2 = 16

x = 4

นนคอ AD ยาว 4 หนวย และ AB ยาว 3(4) = 12 หนวยขนท 3 พจารณา △ABD

หาความยาว DB โดยใชทฤษฎพทากอรสจาก 42 + 122 = BD2

จะได BD2 = 160

BD =√

16√

10

BD = 4√

10

ขนท 4 ใหลากเสนตรง AE ไป ⊥ DB ดงรป และเราจะไดอกวาพท. △ABD = 24 (ครงหนงของ □ )จาก พท.△ ABD =

12(ฐาน) (สง)

24 =12

(4√

10)

AE

AE =12√10

·√

10√10

AE =6√

105

..B

.

D

.

C

.A

.

x

.3x

.

B

.

D

.

C

.

A

.

4

.

12

.

4√

10

.

B

.

D

.

C

.

A

.

E

.

4√

10

..6


..

27

...

..7 ตอบขอ 3)แนวคด ขนท 1

..C

.A

.

B

.ขาม

.

ฉาก

.

พจารณา △ โดยใชB เปนมมหลก จะไดวา

sinB =ACAB

.C

.A

.

B

.

ขาม

.

ฉาก

.

พจารณา △ โดยใชA เปนมมหลก จะไดวา

sinA =BCAB

โจทยกำหนด sinB = 3sinAACAB

= 3BCAB

จะได AC = 3BC (แสดงวา ถา BC ยาว x, AC จะยาว 3x)ขนท 2 จาก พท.△ =

12(ฐาน) (สง)

15 =12(3x)(x)

10 = x2

x =√

10

นนคอ BC = x =√

10

และ AC = 3x = 3√

10

ขนท 3 หาความยาวดาน AB จากทฤษฎพทากอรสAB2 = BC2 + AC2

AB2 =(√

10)2

+(

3√

10)2

AB2 = 10 + 90

AB = 10

นนคอ ดาน AB จะยาวเทากบ 10 หนวย

..C

.A

.

B

.3x

.

x

..6.

www.educasy.com

...

28

...

..8 ตอบ 2.25แนวคด ขนท 1 เมอนำขอมลทโจทยบอกมาเขยนรป จะไดดงน

..B

.D

.

A

.C

. θ.

θ

.x

.4

.

3

.

5

• เนองจาก AD เปนความสงของสามเหลยม แสดงวามม D เปนมมฉาก• พจารณาท △BAD ซงเปนสามเหลยมเปนมมฉาก

จากทฤษฎพทาโกรสจะไดวา ดาน BD ยาว 4 หนวย• เมอสมมต BAD = θ จะไดวา tanθ =

43

ขนท 2 พจารณา △ACD สมมต DC ยาว x หนวยโจทยกำหนด ACD = BAD

ดงนน ACD = θ

และ tanθ =3x

(แทนคา tanθ =43)

จะได 43=

3x

x =94

x = 2.25

นนคอ CD = x = 2.25 หนวย

..

29

...

....

CHAPTER

. 7. ความนาจะเปน

7.1 กฏเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

..

▷▷ M20003

.

การคำนวณหาจำนวนวธทจะจดเรยงสงของตาง ๆ นน อาจทำไดหลายวธ เชนการเขยนแผนภาพตนไม หรอการใชกฎการนบ เปนตน

กฏการนบเบองตนไดแกกฎขอท 1 ถามงาน 2 ชน แตละชนทำได n1 และ n2 วธตามลำดบ จะไดจำนวน

วธเรยงสบเปลยนทงหมดเทากบ n1 × n2 วธกฎขอท 2 ถามงาน k ชน แตละชนทำได n1 , n2 , . . . จนถง nk วธตามลำดบ

จะไดจำนวนวธเรยงสบเปลยนทงหมดเทากบ n1 × n2 × . . . × nk วธตวอยาง นายสมชาตมกางเกง 2 ตว คอสแดง และสเหลอง มเสออก 3 ตว สมวง สเขยวและสฟา นายสมชาตจะใสเสอและกางเกงสลบไปมาเปนชด ๆ ไดทงหมดกชดวธทำ วธท 1 เขยนแผนภาพตนไม

..

เสอสมวง

.

เสอสเขยว

.

เสอสฟา

.

เสอสมวง

.

เสอสเขยว

.

เสอสฟา

.

กางเกงสแดง

.

กางเกงสเหลอง

จากแผนภาพ จะไดวาสามารถสวมเสอและกางเกงทมสลบไปมาได 6 ชดวธท 2 ใชกฎการนบ

โจทยขอนมงานทตองทำ 2 งาน จำนวนวธทำงานแตละงานมดงตาราง

งาน เลอกกางเกง เลอกเสอจำนวนวธ 2 3

สดทายจะไดวา จำนวนวธเรยงสบเปลยน (จำนวนชด) = 2 × 3 = 6 วธ (ชด)

..7.

www.educasy.com

...

30

...

..9 ..M10025 บรษทผผลตเสอผาสำเรจรปบรษทหนงผลตเสอ 4 แบบ แตละแบบม 6 ส และมขนาดตางกน 3 ขนาด ถาจะจดเขาตโชวหนารานใหครบทกแบบ ทกส และทกขนาดจะตองใชเสอทงหมดกตว

..10 ..M10026 สนามกฬาแหงหนงมประตอย 4 ประต ถาจะเขาประตหนงแลวออกอกประตหนงไมใหซำกบประตทเขามา จะมวธเขาและออกจากสนามกฬาแหงนไดทงหมดกวธ

..11 ..M10027 (มช. 55) ถาขอสอบปรนยชดหนงม 5 ขอ แตละขอม 4 ตวเลอก หากนกเรยนคนหนง ตองการทำขอสอบชดนโดยการเดาทกขอ จำนวนวธทงหมดทนกเรยนคนนจะใชทำขอสอบเทากบขอใด

1. 20 2. 120 3. 625 4. 1, 024

..12 ..M10028 (แนว O-NET) ขอสอบชดหนงม 2 ตอนตอนทหนงม 4 ขอ เปนขอสอบแบบ 4 ตวเลอกตอนทสองม 4 ขอ ใหเลอกตอบวาจรงหรอเทจ

ถาตองตอบขอสอบชดนทกขอโดยไมเวนแลว จะมวธตอบขอสอบชดนไดตาง ๆ กนทงหมดเทากบขอใดตอไปน

1. 44 × 42 วธ 2. 42 × 24 วธ 3. 44 × 24 วธ 4. 24 × 22 วธ

..7


..

31

...

..13 ..M10029 (มช. 55) สายลบคนหนงตองใสรหสลบในการเปดกระเปาเอกสาร โดยมเงอนไขวารหสลบน ม 4 ตว สองตวแรกเปนอกษรภาษาองกฤษ สองตวสดทายเปนตวเลข จำนวนวธทงหมดทเขาจะใสรหสลบมกวธ

1. 72 2. 766 3. 10, 400 4. 67, 600

..14 ..M10030 (แนว O-NET) ในการคดเลอกคณะกรรมการหมบานซงประกอบดวยประธานฝายชาย 1 คนประธานฝายหญง 1 คน กรรมการฝายชาย 1 คน และกรรมการฝายหญง 1

คน จากผสมครชาย 5 คน และหญง 5 คน โดยทแตละตำแหนงจะเลอกคนซำกนไมได มวธการเลอกคณะกรรมการไดกวธ

1. 168 วธ 2. 400 วธ 3. 672 วธ 4. 1, 344 วธ

..15 ..M10031 (แนว O-NET) ครอบครวหนงมพนอง 5 คน เปนหญง 2 คน ชาย 3 คน จำนวนวธทจะจดให คนทงหายนเรยงกนเพอถายรป โดยใหหญงสองคนยนอยรมสองขางเสมอเทากบขอใด

1. 12 วธ 2. 24 วธ 3. 36 วธ 4. 48 วธ

..16 ..M10032 (แนว O-NET) ตองการจดทนงใหผใหญ 4 คน กบเดก 3 คน เดนทางดวยรถยนต7 ทนง โดยคนขบตองเปนผใหญ จะมจำนวนวธการจดไดกวธ

..7.

www.educasy.com

...

32

...

..17 ..M10033 (แนว O-NET) ในการเขยนตวเลข 3 หลกจากเลขโดด 1 ถง 6 โดยทเลขโดดในหลกทงสามไมซำกนเลย จะมวธเขยนตวเลขเหลานทแสดงจำนวนคไดกวธ

..18 ..M10034 (มช. 56) นกเรยนระดบมธยมปลายของโรงเรยนแหงหนง แขงขนการแสดงเปนทมเพอชง รางวลเงนสด 3 รางวลคอ 5, 000 , 4, 000 และ 2, 000 โดยแตละหองสามารถสงทมกทมกได มทมผานรอบสดทาย 10 ทม ในจำนวนนมทมจากนกเรยนหอง ม.6/3 ถง 3

ทม จงหาจำนวนวธททมนกเรยนจากหอง ม.6/3 จะไดรบเงนรางวลรวมกน 6, 000 บาท

..19 ..M10035 (แนว O-NET) ตนรภยมระบบลอกทเปนรหสประกอบดวยตวเลขโดด 0 ถง 9

จำนวน 3 หลก จำนวนรหสทงหมดทมเลขซำกนมคาเทาใด

..20 ..M10036 (แนว O-NET) จำนวนวธในการจดใหหญง 3 คนและชาย 3 คน นงเรยงกนเปนแถว โดยใหสามภรรยาคหนงนงตดกนเสมอ มทงหมดกวธ

..7


..

33

...

7.2 ความนาจะเปน

..

▷▷ M20004

.

การทดลองสม หมายถง การทดลองหรอการกระทำซงทราบวาผลลพธทไดจากการทดลองนนอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถระบไดแนชดวาในการทดลองแตละครงวาจะเกดผลลพธอะไรจากผลลพธทงหมดเหลานน เชนการโยนเหรยญ การโยนลกเตาเปนตน

ปรภมตวอยาง (Sample space) หมายถง เซตของผลลพธทอาจจะเกดขนไดทงหมดจากการทดลองสม และเปนสงทเราสนใจ แตละสมาชกของปรภมตวอยางเรยกวาจดตวอยาง

เหตการณ (Event) คอสบเซตของปรภมตวอยาง

ถา S เปนปรภมตวอยางและเปนเซตจำกด ซงแตละผลลพธใน S

มโอกาสเกดขนเทา ๆ กนE เปนเหตการณซง E ⊂ S

P(E) แทนความนาจะเปน (Probability) ของเหตการณ E แลวจะไดวา

P(E) =จำนวนสมาชกในเหตการณ E

จำนวนสมาชกในปรภมตวอยาง S

นนคอ P(E) =n(E)n(S)

..7.

www.educasy.com

...

34

...

..21 ..M10037 (แนว O-NET) จากการสำรวจนกเรยนกลมหนงจำนวน 100 คน ไดขอมลวามนกเรยนทสวม รองเทาขนาดตาง ๆ ดงน

เบอรรองเทา จำนวนนกเรยน5 3

6 27

7 35

8 12

9 16

10 7

รวม 100 คน

เมอเลอกนกเรยน 1 คนจากนกเรยนกลมน ความนาจะเปนทจะเลอกไดนกเรยนสวมรองเทาเบอร 6 หรอเบอร 7 เทากบเทาใด

..22 ..M10038 (แนว O-NET) เสอ 50 ตว บรรจในกลองใบหนงมขนาดและสตาง ๆ เปนจำนวนตามตารางตอไปน

ขนาดส แดง เขยว เหลอง นำเงน สม รวม

S 2 1 2 3 1 9

M 4 3 5 2 3 19

L 3 5 3 4 5 18

XL 1 1 0 1 1 4

รวม 10 10 10 10 10 50

ถาสมหยบเสอมา 1 ตว ความนาจะเปนทจะไดเสอสเขยวขนาด L หรอสสมขนาด S เทากบเทาใด

..7


..

35

...

..23 ..M10039 (แนว O-NET) โรงแรมแหงหนงมหองวางชนทหนง 15 หอง ชนทสอง 25 หองชนทสาม 10 หอง ถาครสมใจตองการเขาพกในโรงแรมแหงนโดยวธสมแลว ความนาจะเปนทครสมใจจะไดเขาพกหองชนทสองของโรงแรมเทากบขอใดตอไปน

1. 110

2. 15

3. 310

4. 12

..24 ..M10040 (มช. 56) ในกระปองหนงมเหรยญบาท 53 เหรยญ เหรยญหาบาท 19 เหรยญทเหลอเปนเหรยญสบบาท ความนาจะเปนทจะหยบเหรยญอยางสมมาหนงเหรยญแลวไดเหรยญสบบาทเทากบ 1

4จงหาจำนวนเหรยญสบบาทในกระปอง

..25 ..M10041 (แนว O-NET) ความนาจะเปนทรางวลเลขทาย 2 ตวของสลากกนแบงรฐบาลจะออกเลขทงสองหลกเปนเลขเดยวกน เทากบขอใดตอไปน

1. 110

2. 210

3. 19

4. 29

..7.

www.educasy.com

...

36

...

..26 ..M10042 (แนว O-NET) ในการออกรางวลแตละงวดของกองสลาก ความนาจะเปนทรางวลเลขทาย 2 ตวจะออกหมายเลขทมหลกสบเปนเลขคและหลกหนวยมากกวาหลกสบอย 1 เทากบขอใด

1. 0.04 2. 0.05 3. 0.20 4. 0.25

..27 ..M10043 (แนว O-NET) มกลอง 2 ใบ แตละใบมลกบอลหมายเลข 1 , 2 , 3 , 4 , 5 อยอยางละลก ถาสมหยบลกบอล 2 ลกจากกลองทงสองใบนกลองละลก แลวความนาจะเปนทไดลกบอลหมายเลขเหมอนกนเทากบเทาใด

..28 ..M10044 (แนว O-NET) เมอทาสเหรยญสามอนดงน เหรยญแรกดานหนงทาสขาวอกดานหนงทาสแดง เหรยญทสองดานหนงทาสแดงอกดานหนงทาสฟา เหรยญทสามดานหนงทาสฟาอกดานหนงทาสขาว โยนเหรยญทงสามขนพรอมกน ความนาจะเปนทเหรยญจะขนหนาสแดง 2 เหรยญเปนดงขอใด

1. 12

2. 14

3. 18

4. 116

..7


..

37

...

..29 ..M10045 (แนว O-NET) ในการเลอกคณะกรรมการชดหนงซงประกอบดวย ประธาน รองประธาน และ เลขานการอยางละ 1 คน จากหญง 4 คน และชาย 6 คน ความนาจะเปนทคณะกรรมการชดนจะมประธานและรองประธานเปนหญงเทากบขอใด

1. 118

2. 215

3. 19

4. 13

..30 ..M10046 (แนว O-NET) โรงเรยนแหงหนงมรถโรงเรยน 3 คน นกเรยน 9 คน กำลงเดนไปขนรถโรงเรยนโดยสม ความนาจะเปนทไมมนกเรยนคนใดขนรถคนแรกเทากบขอใดตอไปน

1.(

13

)9

2.(

23

)9

3.(

19

)3

4.(

29

)3

..7.

www.educasy.com

...

38

...

..31 ..M10047 (มช. 55) กำหนดให E1 , E2 , E3 และ E4 เปนเหตการณทนกเรยนจะรบประทานกลวย สบปะรด มะละกอ และฝรง ตามลำดบ จากการสำรวจความนยมในโรงเรยนพบวา ความนาจะเปนทนกเรยนจะเลอกรบประทานผลไมแตละชนดเปนดงน

P(E1) =524

P(E2) =14

P(E3) =16

P(E4) =38

ลำดบความนยมของผลไมทนกเรยนชอบมากทสดไปนอยทสดคอขอใด

1. ฝรง กลวย สบปะรด มะละกอ 2. ฝรง สบปะรด กลวย มะละกอ3. มะละกอ สบปะรด กลวย ฝรง 4. มะละกอ กลวย สบปะรด ฝรง

..32 ..M10048 (มช. 56) จากการสำรวจการเดนทางมาทำงานของพนกงานโรงงานผลตชนสวนอเลกทรอนกสแหงหนง พบขอมลดงน เดน 20 คน ขรถจกรยาน 1

8ของพนกงานทงหมด ข

รถจกรยานยนต 38ของพนกงานทงหมด ใชบรการรถโดยสารสาธารณะ 25% ขอใดคอความ

นาจะเปนทพนกงานคนหนงจะเดนมาทำงาน

1. 18

2. 16

3. 14

4. 35

..7


..

39

...

.. โจทยเพมเตม..1 ..M10049 (แนว O-NET) จากเมอง (ก) ไปยงเมอง (ค) โดยตองเดนทางผานเมอง (ข) จาก

เมอง (ก) ไปเมอง (ข) สามารถเลอกเดนทางโดยรถยนต รถไฟ หรอเครองบนได จากเมอง(ข) ไปยงเมอง (ค) สามารถเดนทางไปทางเรอ รถยนต รถไฟหรอเครองบน ขอใดคอจำนวนวธในการเดนทางจากเมอง (ก) ไปยงเมอง (ค) โดยเดนทางโดยรถไฟเพยง 1 ครง

1. 5 2. 6 3. 8 4. 9

..2 ..M10050 (แนว O-NET) พจารณาขอความตอไปน(ก) การทดลองสมเปนการทดลองททราบวาผลลพธอาจเปนอะไรไดบาง(ข) แตละผลลพธของการทดลองสมมโอกาสเกดขนเทา ๆ กน ขอสรปใดตอไปน

ถกตอง

1. (ก) ถก (ข) ถก 2. (ก) ถก (ข) ผด3. (ก) ผด (ข) ถก 4. (ก) ผด (ข) ผด

..3 ..M10051 (แนว O-NET) ในการวดนำหนกนกเรยนแตละคนในชนพบวา นกเรยนทหนกทสดหนก 77 กโลกรม นกเรยนทเบาทสดหนก 45 กโลกรม พจารณาเซตของสวนสงตอไปน

S = {W | Wเปนนำหนกในหนวยกโลกรมของนกเรยนในชน}T = {W | 45 ≤ W ≤ 77}

เซตใดถอเปนปรภมตวอยาง (แซมเปลสเปซ) สำหรบการทดลองสมน

1. S และ T 2. S เทานน3. T เทานน 4. ทง S และ T ไมเปนปรภมตวอยาง

..4 ..M10052 (แนว O-NET) โยนลกเตา 3 ลก ความนาจะเปนทลกเตาจะขนแตมคอยางนอย 1

ลก เทากบขอใดตอไปน

1. 23

2. 58

3. 34

4. 78

..7.

www.educasy.com

...

40

...

..5 ..M10053 (แนว O-NET) ในการหยบบตรสามใบ โดยหยบทละใบจากบตรสใบ ซงมหมายเลข 0 , 1 , 2 และ 3 กำกบ ความนาจะเปนทจะไดผลรวมของตวเลขบนบตรสองใบแรกนอยกวาตวเลขบนบตรใบทสามเทากบขอใด

1. 14

2. 34

3. 12

4. 23

..6 ..M10054 (แนว O-NET) กลอง 12 ใบ มหมายเลขกำกบเปนเลข 1 , 2 , . . . , 12 และกลองแตละใบบรรจลกบอล 4 ลก เปนลกบอลสดำ สแดง สขาว และสเขยว ถาสมหยบลกบอลจาก กลองแตละใบใบละ 1 ลก แลวความนาจะเปนทจะหยบไดลกบอลสแดงจากกลองหมายเลขค และไดลกบอลสดำจากกลองหมายเลขคเทากบขอใดตอไปน

1.(

112

)2

2.(

14

)12

3.(

12

)12

4.(

112

)4

..7 ..M10055 (แนว O-NET) จากการสำรวจนกเรยนหองหนงจำนวน 20 คนพบวา มนกเรยนไมชอบรบประทานปลา 12 คน และชอบรบประทานปลาหรอกง 13 คน ถาสมนกเรยนมา 1

คน ความนาจะเปนทจะไดนกเรยนทชอบรบประทานกงเพยงอยางเดยวมคาเทากบขอใดตอไปน

1. 16

2. 15

3. 14

4. 35

..8 ..M10056 (แนว O-NET) ชางไฟคนหนงสมหยบบนได 1 อนจากบนได 9 อนซงมความยาว4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 และ 12 ฟต แลวนำมาพาดกบกำแพงโดยใหปลายขางหนงหางจากกำแพง 3 ฟต ความนาจะเปนทบนไดจะทำมมกบพนราบมากกวา 60◦ มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 19

2. 39

3. 29

4. 69

..7


..

41

...

.. เฉลยโจทยประกอบเนอหา..1 ตอบ 72แนวคด ขอนตองแบงคดเปนงาน 3 งาน ดงน

งาน เลอกแบบ เลอกส เลอกขนาดจำนวนวธทำ 4 6 3

จำนวนวธทงหมด = 4 × 6 × 3 = 72 วธนนคอตองผลตเสอ 72 ตว จงไดเสอครบทกแบบ ทกส ทกขนาด

..2 ตอบ 12แนวคด ขอนตองแบงคดเปนงาน 2 งาน ดงน

งาน เลอกประตเขา เลอกประตออกจำนวน 4 ..3

จำนวนวธทงหมด = 4 × 3 = 12 วธ ..

จำนวนประตทเลอกไดมนอยลงเพราะใชประตออกซำเดมไมได

..3 ตอบขอ 4)แนวคด โจทยใหทำขอสอบ 5 ขอ แตละขอม 4 ตวเลอก

งาน ทำขอ 1 ทำขอ 2 ทำขอ 3 ทำขอ 4 ทำขอ 5จำนวนวธทำ 4 4 4 4 4

จำนวนวธทงหมด = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1, 024 วธ..4 ตอบขอ 3)แนวคด ขอนมงานทตองทำ 8 งาน คอทำขอสอบแตละขอรวม 8 ขอนนเอง

งาน ทำขอ 1 ขอ 2 ขอ 3 ขอ 4 ขอ 5 ขอ 6 ขอ 7 ขอ 84 ตวเลอก (4 ต.) (4 ต.) (4 ต.) จรง/เทจ (จ/ท) (จ/ท) (จ/ท)

จำนวนวธ 4 4 4 4 2 2 2 2

จำนวนวธทงหมด = 4 × 4 × 4 × 4 × 2 × 2 × 2 × 2 = 44 × 24 วธ

..7.

www.educasy.com

...

42

...

..5 ตอบขอ 4)แนวคด ขอนมงานทตองทำ 4 งาน คอเลอกตวอกษรหรอตวเลขไปใสหลกตาง ๆ 4 หลก

งาน เลอกอกษรองกฤษ เลอกอกษรองกฤษ เลอกตวเลข เลอกตวเลขใสหลก 1 ใสหลก 2 ใสหลก 3 ใสหลก 4

จำนวนวธ 26 26 10 10

จำนวนรหสทงหมด = 26 × 26 × 10 × 10 = 67, 600 รหส..6 ตอบขอ 2)แนวคด จากผสมครชาย 4 คน และหญง 8 คน หาจำนวนวธเลอกตำแหนงดงน

งาน เลอก เลอก เลอกตวเลข เลอกประธานชาย ประธานหญง กรรมการชาย กรรมการหญง

จำนวนวธ 5 5 ..4 ..4

จำนวนวธทงหมด = 5 × 5 × 4 × 4 = 400 วธ ..

จำนวนคนทเลอกไดมนอยลงเพราะใชคนซำกบตำแหนงอนไมได

..7 ตอบขอ 1)แนวคด จากผชาย 3 คน และผหญง 2 คน หาจำนวนวธเลอกตำแหนงดงน

งาน เลอกหญง เลอกชาย เลอกชาย เลอกชาย เลอกหญงมายนจด 1 มายนจด 2 มายนจด 3 มายนจด 4 มายนจด 5

จำนวนวธ 2 3 ..2 ..1 ..1

จำนวนวธเรยงสบเปลยน = 2 × 3 × 2 × 1 × 1 = 12 วธ ..


..7


..

43

...

..8 ตอบ 2,880แนวคด จากผใหญ 4 คน เดก 3 คน และทนง 7 ทนง หาจำนวนวธเลอกตำแหนงดงน

งาน เลอกคนนง เลอกคน เลอกคน เลอกคน เลอกคน เลอกคน เลอกคนทคนขบ ลงทนง 1 ลงทนง 2 ลงทนง 3 ลงทนง 4 ลงทนง 5 ลงทนง 6

จำนวนวธ ..4 ..6 ..5 ..4 ..3 ..2 ..1

จำนวนวธทงหมด = 4 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 2, 880 วธ ..


.

เลอกไดเฉพาะผใหญ

..9 ตอบ 60แนวคด จากตวเลข 3 หลก และเลขโดดจาก 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 หาจำนวนวธดงน

งาน เลอกเลขลงหลกรอย เลอกเลขลงหลกรอย เลอกเลขลงหลกหนวยจำนวนวธ 4 5 ..3

จำนวนวธทงหมด = 4 × 5 × 3 = 60 วธ ..

ขอนตองคดหลกหนวยกอนเพราะมปญหาวาตองใชเลขคเทานน เลขทเลอกไดจงเหลอเพยง 1, 3, 5 = 3 ตว

..7.

www.educasy.com

...

44

...

..10 ตอบ 42แนวคด เนองจากมรางวลอย 3 รางวล คอ 5, 000 , 4000 และ 2, 000 บาท และมทมท

เขารอบ 10 ทม โดยม ม.6/3 อย 3 ทม หากตองการให ม.6/3 ไดรบรางวลรวม6, 000 บาท จะตองใหไดรบรางวล 4, 000 และ 2, 000 บาทเทานน สวนทมทเหลอจะไดรบรางวล 5, 000 บาท

งาน เลอกทมใหรางวล เลอกทมใหรางวล เลอกทมใหรางวล4, 000 บาท 2, 000 บาท 5, 000 บาท

จำนวนวธ ..3 ..2 ..7

จำนวนวธทงหมด = 3 × 2 × 7 = 42 วธ ..

ตองไมใช 6/3

.

ตองเปน 6/3 เทานน

..11 ตอบ 280แนวคด ขนท 1 หาจำนวนวธทจะใชเลข 0 ถง 9 สรางรหส 3 หลก แบบไรเงอนไขอนใด

งาน เลอกเลขลงหลกรอย เลอกเลขลงหลกสบ เลอกเลขลงหลกหนวยจำนวนวธ 10 10 10

จำนวนวธสรางรหสทงหมด = 10 × 10 × 10 = 1, 000 วธ

ขนท 2 หาจำนวนวธทจะสรางรหสโดยใชเลขไมซำกนเลยงาน เลอกเลขลงหลกรอย เลอกเลขลงหลกสบ เลอกเลขลงหลกหนวย

จำนวนวธ 10 9 8

จำนวนวธสรางรหสทงหมด = 10 × 9 × 8 = 720 วธสดทายจะไดวา จำนวนรหสทมเลขซำกนบางม = 1, 000 − 720 = 280 รหส

..7


..

45

...

..12 ตอบ 240แนวคด กอนอนใหมดชายและหญงทเปนสามภรรยาคหนงทจะนงตดกนใหเปนคนคนเดยว

กอนแลวจำนวนคนทงหมดจะเสมอนมเพยง 5 คน แลวจงหาวธเรยงสบเปลยนดงน

....งาน เลอกคน เลอกคน เลอกคน เลอกคน เลอกคน สลบตำแหนงภาย

นงจดท 1 นงจดท 2 นงจดท 3 นงจดท 4 นงจดท 5 ในระหวางสามภรรยาทมดไว

จน.วธ 5 4 3 2 1 2

จำนวนวธทงหมด = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 2 = 240 วธ..13 ตอบ 0.62

แนวคด จากโจทยจะไดวา

n(S) = จำนวนคนทงหมด = 100 คนn(E) = จำนวนคนสวมรองเทาเบอร 6 + จำนวนคนสวมรองเทาเบอร 7

= 27 + 35 = 62

ดงนน P(E) =n(E)n(S)

=62

100= 0.62

..14 ตอบ 0.12แนวคด จากโจทยจะไดวา

n(S) = จำนวนเสอทงหมด = 50

n(E) = เสอเบอร L สเขยว + เสอเบอร S สสม = 5 + 1 = 6


=6

50= 0.12

..7.

www.educasy.com

...

46

...

..15 ตอบขอ 4)แนวคด จากโจทยจะไดวา

n(S) = จำนวนหองทงหมด = 15 + 10 + 25 = 50

n(E) = จำนวนหองชน 2 = 25


=2550

=12

..16 ตอบ 24แนวคด โจทยบอกในกระปองมเหรยญหนงบาท 53 เหรยญ

มเหรยญหาบาท 19 เหรยญสมมตมเหรยญสบบาท x เหรยญ

จำนวนเหรยญรวมทงหมด x + 72 เหรยญและความนาจะเปนทจะสมหยบ 1 เหรยญแลวไดเหรยญสบบาทมคาเทากบ 1

4

จาก P(E) =n(E)n(S)

จะได 14=

xx + 72

x + 72 = 4x

72 = 3x

x = 24

นนคอในกระปองนมเหรยญสบบาทอย 24 เหรยญ

..17 ตอบขอ 1)แนวคด การออกรางวลเลขทาย 2 ตวรางวลทอาจออกไดคอ

S = {00 , 01 , 02 , 03 , . . . , 99} จะไดวา n(S) = 100

รางวลทนาสนใจคอ เลขทงสองหลกเหมอนกนE = {00 , 11 , 22 , 33 , 44 , . . . , 99} จะไดวา n(E) = 10


=10100

=1

10

..7


..

47

...

..18 ตอบขอ 1)แนวคด การออกรางวลเลขทาย 2 ตวรางวลทอาจออกไดคอ

S = {00 , 01 , 02 , 03 , . . . , 99} จะไดวา n(S) = 100

เหตการณสนใจคอหลกสบเปนเลขค แลวหลกหนวยมากกวาหลกสบ 1 แตมE = {12 , 34 , 56 , 78} จะไดวา n(E) = 4


=4

100= 0.04

..19 ตอบ 0.2แนวคด ตามรปภาพเมอสมเลอกลกบอลออกจากกลอง กลองละ 1 ลก หมายเลขทสมได

อาจเปนไปไดถง 25 กรณ คอ

..(5, 1)

.(5, 2)

.(5, 3)

.(5, 4)

.(5, 5)

.

(4, 1)

.

(4, 2)

.

(4, 3)

.

(4, 4)

.

(4, 5)

.

(3, 1)

.

(3, 2)

.

(3, 3)

.

(3, 4)

.

(3, 5)

.

(2, 1)

.

(2, 2)

.

(2, 3)

.

(2, 4)

.

(2, 5)

.

(1, 1)

.

(1, 2)

.

(1, 3)

.

(1, 4)

.

(1, 5)

.

..1

.

..2

.

..3

.

..4

.

..5

.

..

.

..1

.

..2

.

..3

.

..4

.

..5

.

..

ดงนน n(S) = 25

เหตการณทสนใจคอ กรณทหมายเลขเหมอนกนซงม 5 กรณตามทวงไวดงนน n(E) = 5

สดทายจะได P(E) =525

= 0.2

..7.

www.educasy.com

...

48

...

..20 ตอบขอ 2)แนวคด เมอโยนเหรยญทงสามพรอมกน สทอาจจะออกเปนดงน

..

ฟา

.

ขาว

.

ฟา

.

ขาว

.

ฟา

.

ขาว

.ฟา

. ขาว. ฟา.

แดง

.

ฟา

.

แดง

.

ขาว

.

แดง

.

ขาว,แดง,ฟา

.

ขาว,แดง,ขาว

.

ขาว,ฟา,ฟา

.

ขาว,ฟา,ขาว

.

แดง,แดง,ฟา

.

แดง,แดง,ขาว

.แดง,ฟา,ฟา

. แดง,ฟา,ขาว.

เหรยญท 1

.


.


จะเหนวา n(S) = จำนวนรปแบบทออกไดทงหมด = 8 แบบn(E) = จำนวนรปแบบทขนสแดง 2 เหรยญ = 2 แบบ


=28=

14

..7


..

49

...

..21 ตอบขอ 2)แนวคด ขนท 1 หาจำนวนแบบการเลอกตงโดยไรเงอนไข แตละตำแหนงจะเลอกชายหรอ

หญงกได จากคนทงหมด 10 คนโดยไมซำกนดงนงาน เลอกประธาน เลอกรองประธาน เลอกเลขานการ

จำนวนวธเลอก 10 9 8

จะได จำนวนวธเลอกทงหมด = 10 × 9 × 8 = n(s)

ขนท 2 หาจำนวนวธเลอกตงโดยใหประธานและรองประธานเปนผหญง จากผหญง 6 คน และชาย 4 คนดงน

งาน เลอกประธาน เลอกรองประธาน เลอกเลขานการจำนวนวธเลอก 4 3 ..8

จะได จำนวนวธเลอก = 4 × 3 × 8 = n(E)

สดทายจะได P(E) =n(E)n(S)

=4 × 3 × 8

10 × 9 × 8=

215..

ชาย 6 คน +หญงทเหลอ 2 คน

..22 ตอบขอ 2)แนวคด ขนท 1 หาจำนวนวธการเลอกรถโดยไมมเงอนไข

งาน ใหคนท 1 ใหคนท 2 ใหคนท 3 . . . . . . ใหคนท 8 ใหคนท 9เลอกรถ เลอกรถ เลอกรถ เลอกรถ เลอกรถ เลอกรถ

จำนวนวธ 3 3 3 3 3 3

จะได จำนวนวธทงหมด = 3× 3× 3× 3× 3× 3× 3× 3× 3 = 39 = n(S)

ขนท 2 หาจำนวนวธทไมมใครเลอกรถคนแรกเลย ขนเฉพาะ 2 คนหลงงาน ใหคนท 1 ใหคนท 2 ใหคนท 3 . . . . . . ใหคนท 8 ใหคนท 9

เลอกรถ เลอกรถ เลอกรถ . . . . . . เลอกรถ เลอกรถจำนวนวธ 2 2 2 2 2 2

จะได จำนวนวธทงหมด = 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2 = 29 = n(E)

สดทายจะได P(E) =n(E)n(S)

=29

39 =

(23

)9

..7.

www.educasy.com

...

50

...

..23 ตอบขอ 2)แนวคด โจทยบอก

ความนาจะเปนททานกลวย = P(E1) =5

24

ความนาจะเปนททานสบปะรด = P(E2) =14× 6

6=

624

ความนาจะเปนททานมะละกอ = P(E3) =16× 4

4=

424

ความนาจะเปนททานฝรง = P(E4) =38× 3

3=

924

จะเหนวา P(E4) > P(E2) > P(E1) > P(E3)

เรยงลำดบความนยมจงได ฝรง > สบปะรด > กลวย > มะละกอ..24 ตอบขอ 3)

แนวคด โจทยบอก จากการสำรวจการเดนทางมาทำงานของพนกงานพบวา

ความนาจะเปนทจะขรถจกรยาน =18

ความนาจะเปนทจะขรถจกรยานยนต= 38

ความนาจะเปนทจะใชรถโดยสาร = 25% =25

100=

14

ความนาจะเปนทจะเดนมา = ?

เนองจากผลรวมความนาจะเปนตองเทากบ 1 เสมอดงนน ความนาจะเปนทจะเดนมา+ 1

8+

38+

14= 1

ความนาจะเปนทจะเดนมา = 1 − 18− 3

8− 1

4

ความนาจะเปนทจะเดนมา = 8 − 1 − 3 − 28

ความนาจะเปนทจะเดนมา = 28

ความนาจะเปนทจะเดนมา = 14

..7


..

51

...

.. เฉลยโจทยเพมเตม..1 ตอบขอ 1)แนวคด จาก (ก) ไป (ข) เดนทางได 3 วธคอ รถยนต รถไฟ เครองบน

จาก (ข) ไป (ค) เดนทางได 4 วธคอ เรอ รถยนต รถไฟ เครองบนกรณ 1 จาก (ก) ไป (ข) ใชรถไฟ และจาก (ข) ไป (ค) ไมใชรถไฟ

งาน เดนทางจาก (ก) ไป (ข) เดนทางจาก (ข) ไป (ค)จำนวนวธเดนทาง 1 (ใชรถไฟเทานน) 3 (ไมใชรถไฟ)

จำนวนวธทงหมด = 1 × 3 = 3 วธกรณ 2 จาก (ก) ไป (ข) ไมใชรถไฟ และจาก (ข) ไป (ค) ใชรถไฟ

งาน เดนทางจาก (ก) ไป (ข) เดนทางจาก (ข) ไป (ค)จำนวนวธเดนทาง 2 (ไมใชรถไฟ) 3 (ใชรถไฟเทานน)

จำนวนวธทงหมด = 2 × 1 = 2 วธสดทายจะได วธรวมทง 2 กรณ = 3 + 2 = 5 วธ

..2 ตอบขอ 2)แนวคด ขอ (ก) ถก การทดลองสมคอการทดลองททราบผลลพธทอาจเปนไปได เชนการ

ออกรางวลเลขทาย 2 ตว รางวลทอาจเปนไปไดคอ {00, 01, 02, . . . , 99}

ขอ (ข) ผด เพราะผลลพธทออกอาจมโอกาสเกดไมเทากนกได เชนในการโยนลกเตา 1 ลก แตมทอาจออกคอ 1, 2, 3, 4, 5, 6 หากเราสนใจแตมทนอยกวา 5

โอกาสเกดม 4 ใน 6 และโอกาสเกดแตมมากวา 5 ม 2 ใน 6 จะเหนวาอาจไมเทากนขนอยกบเหตการณทสนใจ

..7.

www.educasy.com

...

52

...

..3 ตอบขอ 2)แนวคด สมมตวาหองนมนกเรยน 6 คน ซงมนำหนกดงน {45 , 48 , 52 , 63 , 68 , 77}

และเซตความสงของทกคนนถอเปนแซมเปลสเปซดงนน S = {W | Wเปนนำหนกในหนวยกโลกรมของนกเรยนในชน }

เมอแจกแจงสมาชกกจะได {45 , 48 , 52 , 63 , 68 , 77} จงถอวาเปนแซมเปลสเปซไดเชนกน

สวน T = {H | 45 ≤ H ≤ 77}เซตนหมายถง จำนวนทกจำนวนทงทเปนจำนวนเตมและทศนยมตงแต 45 ถง 77

เชน 45.3286 เปนตน ซงเมอแจกแจงจะไดเซตทไมเหมอนเซตขางตน จงไมถอเปนแซมเปลสเปซ

..4 ตอบขอ 4)แนวคด ขนท 1 หาจำนวนวธทงหมดทจะเกดจากการโยนลกเตา 3 ลก

งาน โยนเตา 1 โยนเตา 2 โยนเตา 3จำนวนวธทจะออก 6 6 6

จำนวนวธทงหมด = 6 × 6 × 6 = 216 = n(S)

ขนท 2 หาจำนวนวธทขนเลขคทง 3 ลก และจำนวนวธทอาจขนเลขคบาง

งาน โยนเตา 1 โยนเตา 2 โยนเตา 3จำนวนวธออกเลขค 3 3 3

จำนวนวธขนเลขคลวน ๆ = 3 × 3 × 3 = 27 วธและจำนวนวธทใน 3 ลกนนออกเลขคปนอยบางลก = 216 − 27 = 189 = n(E)

สดทาย หาความนาจะเปนจาก P(E) =n(E)n(S)

=189216

=78

..7


..

53

...

..5 ตอบขอ 1)แนวคด ขนท 1 หาจำนวนวธทงหมดในการหยบสลาก

งาน หยบใบ 1 หยบใบ 2 หยบใบ 3จำนวนวธ 4 3 2

จำนวนวธ = 4 × 3 × 2 = 24 = n(S)

ขนท 2 จำนวนวธทผลรวม 2 ใบแรกนอยกวาแตมใบท 3 ไดแก

1) ไดหมายเลข 0 , 1 , 2 เพราะ 0 + 1 < 2

2) ไดหมายเลข 0 , 1 , 3 เพราะ 0 + 1 < 3

3) ไดหมายเลข 1 , 0 , 2 เพราะ 1 + 0 < 2

4) ไดหมายเลข 1 , 0 , 3 เพราะ 1 + 0 < 3

5) ไดหมายเลข 0 , 2 , 3 เพราะ 0 + 2 < 3

6) ไดหมายเลข 2 , 0 , 3 เพราะ 2 + 0 < 3

จะเหนวาเหตการณทสนใจมอย 6 แบบ ดงนน n(E) = 6


=6

24=

14

..7.

www.educasy.com

...

54

...

..6 ตอบขอ 2)แนวคด ขนท 1 คดจำนวนวธทจะเกดไดทงหมด โดยไมมเงอนไข

งาน หยบบอล หยบบอล หยบบอล . . . . . . หยบบอล หยบบอลกลอง 1 กลอง 2 กลอง 3 . . . . . . กลอง 11 กลอง 12

จำนวนวธ 4 4 4 . . . . . . 4 4

จำนวนวธ = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 412 = n(S)

ขนท 2 หาวธทจะไดสแดงจากกลองเลขคไดสดำจากลองเลขค

งาน หยบบอล หยบบอล หยบบอล . . . . . . หยบบอล หยบบอลกลอง 1 กลอง 2 กลอง 3 . . . . . . กลอง 11 กลอง 12

จำนวนวธ 1 1 1 . . . . . . 1 1

(ไดแดง) (ไดดำ) (ไดแดง) (ไดแดง) (ไดดำ)

จำนวนวธ = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 112 = n(E)


=112

412 =

(14

)12

..7 ตอบขอ 3)แนวคด จากจำนวนคนทงหมด 20 คน ไม

ชอบทานปลา 12 คน แสดงวาชอบทานปลา 8 คน ดงภาพท (1)

โจทยบอกอกวา ชอบปลาหรอชอบกงม 13 คน แตเราทราบวา คนชอบปลาม 8 คน ดงนนคนชอบกง อยางเดยวจงม5 คน ดงแสดงในภาพท (2)

..

ชอบปลา

.

ชอบกง

.8 คน.

20 คน

จากคนทงหมด = 20 = n(S)

เหตการณทสนใจคอไดคนทานกงอยางเดยว = 5 = n(E)

สดทาย หาความนาจะเปนจาก

P(E) =n(E)n(S)

=5

20=

14

..

ชอบปลา

.

ชอบกง

.8 คน. 5 คน.

13 คน

..7


..

55

...

..8 ตอบขอ ภ)แนวคด สมมตความยาวบนไดเทากบ L ดงรป

พจารณา △ABC จะไดวา

cos60◦ =ชดฉาก

12=

3L

L = 6 ฟต

..

60◦

.

ฉาก= L

.

B

.C

.

A

. ชด = 3 ฟตบนไดมทงหมด 9 อนยาว 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ฟต

หากตองการใหมมเอยงมากกวา 60◦ ตองใชความยาวมากกวา 6 ฟต คอใชความยาว 7, 8, 9, 10, 11, 12 ฟต เทานน

นนคอ n(E) = 6 , n(S) = 9

สดทาย จะได P(E) =n(E)n(S)

=69

..9 ตอบขอ 3)แนวคด โจทยกำหนด A = {1, 2, 3} มสมาชก 3 ตว

B = {5, 6, 7, . . . , 14} มสมาชก 10 ตวr = {(m, n) | m ∈ A และ n ∈ B}

เมอแจกแจงสมาชกจะได r = {(1, 5) , (1, 6) , (1, 7) , . . . , (3, 14)}จำนวนสมาชกทงหมด = 3 × 10 = 30 = n(S)

ตอไป เราสนใจ (m, n) โดยท n ∈ B และ n ตองหารดวย 5 แลวเหลอเศษ 3 ซงสมาชกใน B ทมคณสมบตดงกลาวไดแก {8, 13} มสมาชก 2 ตว

เมอแจกแจงสมาชกจะได{(1, 8), (1, 13), (2, 8), (2, 13), (3, 8), (3, 13)}

จำนวนสมาชกทสนใจม = 3 × 2 = 6 = n(E)

สดทายหาความนาจะเปนจาก P(E) =n(E)n(S)

=6

30=

15

..7.

www.educasy.com

...

56

...

..หากมเพอนมาชวนนกเรยนเลนเกมสหนงเกมส ซงม

ลกษณะเกมสดงนมการด 2 ใบ ใบท 1 เปนสดำทงสองหนา ใบทสองเปน

สดำหนงหนาและสขาวหนงหนา การดทงสองใบอยในกลองซงมองไมเหนดานในกตกา

• หากหยบการดขนมา 1 ใบแลวหงายดานสขาวขนมา ใหใสการดลงไปในกลองแลวหยบใหม

• หากหยบการดขนมา 1 ใบแลวหงายดานสดำ ใหนำมาคดดงน– ถาพลกอกดานเปนสขาว นกเรยนชนะ– ถาพลกอกดานเปนสดำ เพอนชนะเลนกนทงหมดสบรอบ ใครชนะถง 10 ครงกอนถอเปนผ

ชนะเกมสนน หากนกเรยนชนะจะไดบานพรอมทดนจากเพอนหากนกเรยนแพ ตองจายใหเพอน 100 บาท

นกเรยนจะเลนเกมสนหรอไม เพราะอะไร.

..

57

...

....

CHAPTER

. 8. ลำดบและอนกรม

8.1 ลำดบ

..

▷▷ M20005

.

8.1.1 ความหมายของลำดบลำดบ คอฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจำนวนเตมบวกตงแต 1 เรยงกนไป เชน

f = {(1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11), . . .}

ฟงกชนนถอวาเปนลำดบไดเพราะโดเมน (สมาชกตวหนา) เปนจำนวนเตมบวกตงแต 1 คอ 1, 2, 3, 4, . . . เรยงกนไป

• ลำดบทมจำนวนสมาชกจำกด เรยกลำดบจำกด• ลำดบทมจำนวนสมาชกมากมายไมมทสนสด เรยกลำดบอนนต

..1 ..M10057 ความสมพนธขอใดตอไปนเปนลำดบ

1. {(1, 1), (3, 2), (5, 3), (7, 4), . . .}2. {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7), . . .}3. {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), . . .}

4. {(1, 1), (5, 2), (7, 3), (9, 4), . . .}

..8.

www.educasy.com

...

58

...

..

▷▷ M20006

.

8.1.2 การเขยนลำดบโดยทวไปแลวการเขยนลำดบจะเขยนแสดงเฉพาะเรนจ (สมาชกตวหลง) เทานนเชน {(1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11), . . .}สามารถเขยนเปน 5 , 7 , 9 , 11 , . . .

สมาชกตวแรกของลำดบจะเรยกเปนพจนท 1 (a1) ถดไปจะเรยกเปนพจนท 2 (a2) , พจนท 3(a3) , . . . ไปถงสมาชกตวท n จะเรยกพจนทวไป (an)

5.. , 7.. , 9.. , 11.. , . . . .. ..?

พจน..ท 1a1

พจน..ท 2a2

พจน..ท 3a3

พจน..ท 4a4

พจน..ท nan

..▷▷ M20007ฝกทำ พจารณาลำดบ 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , . . .

เลข 5 เรยกวาเปนพจนท . . . . . . เขยนสญลกษณเปน . . . . . .

เลข 7 เรยกวาเปนพจนท . . . . . . เขยนสญลกษณเปน . . . . . .

พจนท n ของลำดบเรยก . . . . . . เขยนสญลกษณเปน . . . . . .

.

..8


..

59

...

..

▷▷ M20008

.

8.1.3 ลำดบเลขคณตลำดบเลขคณต คอลำดบซงเมอนำพจนขวามอตงแลวลบออกดวยพจนซายมอท

อยตดกน แลวผลจากการลบจะมคาคงทเสมอ คาคงทนเรยกวา "ผลตางรวม (d)"เชน 5 , 7 , 9 , 11 , . . .

เมอนำพจนขวามอตงแลวลบออกดวยพจนซายมอทอยตดกนจะไดดงน

7 − 5 = 2

9 − 7 = 2

11 − 9 = 2

จะเหนวาผลลบของพจนขวากบพจนซายทอยตดกนจะมคาเทากนทกชวง ลำดบนจงเปนลำดบเลขคณต ผลลบทไดนนเรยกผลตางรวม (d) สำหรบตวอยางน d = 2

สำหรบพจนทวไป (an) ของลำดบเลขคณตใด ๆ จะหาไดจากสมการ

.. an = a1 + (n − 1)d เมอ an = คอพจนทวไปหรอ an = d · n + (a1 − d) a1 = คอพจนท 1หรอ an = am + k · d. n = คอลำดบทของพจนทจะหา

d = คอผลตางรวมk = n − m

..2 ..M10058 พจนท 21 ของลำดบเลขคณตตอไปน มคาเทากบเทาใด

2 , 6 , 10 , 14 , . . .

..8.

www.educasy.com

...

60

...

..3 ..M10059 (แนว O-NET) กำหนดให 32

, 1 ,12

, . . . เปนลำดบเลขคณต ผลบวกของพจนท 32 และพจนท 42 เทากบขอใด

1. −14 2. −19 3. −33 4. −38

..4 ..M10060 (แนว O-NET) พจนท 31 ของลำดบเลขคณต 120

,1

30,

160

, . . . เทากบขอใดตอไปน

1. − 512

2. −1330

3. − 715

4. − 920

..5 ..M10061 กำหนดพจนท 4 และพจนท 7 ของลำดบเลขคณตเทากบ 18 และ 36 ตามลำดบจงหาผลตางรวม

..8


..

61

...

..6 ..M10062 (แนว O-NET) ถา a1 , a2 , a3 , . . . เปนลำดบเลขคณต ซงa30 − a10 = 40 แลวผลตางรวมของลำดบเลขคณตนมคาเทากบขอใดตอไปน

1. 1.25 2. 1.5 3. 1.75 4. 2.0

..7 ..M10063 (มช. 55) ถาพจนทสองของลำดบเลขคณตคอ a2 = 13 และพจนทเจดคอa7 = 68 พจนท 14 ของลำดบนคอขอใด

1. 108 2. 136 3. 145 4. 173

..8 ..M10064 ถาสามพจนแรกของลำดบเลขคณตคอ 20 , 16 และ 12 ตามลำดบแลว −96 เปนพจนทเทาไรของลำดบน

..8.

www.educasy.com

...

62

...

..9 ..M10065 (แนว O-NET) ลำดบเลขคณต −43 , −34 , −25 , . . . มพจนทมคานอยกวา 210 อยกพจน

..10 ..M10066 ระหวาง 100 และ 500 มจำนวนเตมบวกทหาร 9 ลงตวกจำนวน

..11 ..M10067 (แนว O-NET) ลำดบเลขคณตในขอใดตอไปนมบางพจนเทากบ 20

1. an = 1 − 2n 2. an = 1 + 2n

3. an = 2 − 2n 4. an = 2 + 2n

..8


..

63

...

..12 ..M10068 (แนว O-NET) ถาผลบวก และผลคณของสามพจนแรกของลำดบเลขคณตทม dเปนผลตางรวมเทากบ 15 และ 80 ตามลำดบ แลว |d| มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 1 2. 3 3. 9 4. 16

..

▷▷ M20009

.

8.1.4 ลำดบเรขาคณตลำดบเรขาคณต คอลำดบซงเมอนำพจนขวามอตงแลวหารดวยพจนซายมอทอย

ตดกน แลวผลจากการหารจะมคาคงทเสมอ คาคงทนเรยกวา "อตราสวนรวม (r)"เชน 2 , 4 , 8 , 16 , . . .

เมอนำพจนขวามอตงแลวหารดวยพจนซายมอทอยตดกนจะไดดงน

4 ÷ 2 = 2

8 ÷ 4 = 2

16 ÷ 8 = 2

จะเหนวาผลหารของพจนขวากบพจนซายทอยตดกนจะมคาเทากนทกชวง ลำดบนจงเปนลำดบเรขาคณต และผลหารทไดนนเรยก อตราสวนรวม (r) ซงในตวอยางนr = 2

สำหรบพจนทวไป (an) ของลำดบเรขาคณตใด ๆ จะหาไดจากสมการ

.. an = a1r(n−1) เมอ an = คอพจนทวไปหรอ an =

a1

r(rn) a1 = คอพจนท 1

หรอ an = am · rk. n = คอลำดบทของพจนทจะหาr = คออตราสวนรวมk = n − m

..8.

www.educasy.com

...

64

...

..13 ..M10069 (แนว O-NET) พจนท 10 ของลำดบเรขาคณต 1625

,1

125√

5,

1125

, . . .

เทากบขอใดตอไปน

1. √5 2. 125 3. 125√

5 4. 625

..14 ..M10070 จงหาอตราสวนรวมของลำดบเรขาคณตทม a3 = 12 และ a6 = 96

..15 ..M10071 (แนว O-NET) ลำดบเรขาคณตในขอใดตอไปน มอตราสวนรวมอยในชวง(0.3 , 0.5)

1. 4 , 3 ,94

, . . . 2. 5 , 5 ,165

, . . .

3. 3 ,54

,2548

, . . . 4. 2 ,43

,89

, . . .

..8


..

65

...

..16 ..M10072 (แนว O-NET) กำหนดให a1 , a2 , a3 เปนลำดบเรขาคณต โดยทa1 = 1 และ a3 = 100 ถา a2 คอคาในขอใดขอหนงตอไปนแลว ขอดงกลาวคอขอใด

1. −10 2. −50 3. 20 4. 100

..17 ..M10073 (แนว O-NET) ลำดบเรขาคณตลำดบหนงมผลบวกและผลคณของ 3 พจนแรกเปน 13 และ 27 ตามลำดบ ถา r เปนอตราสวนรวมของลำดบนแลว r มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 13

2. 43

3. 73

4. 103

..18 ..M10074 (มช. 56) การกระโดดอยางตอเนองของจงหรดตวหนงพบวา แตละครงทกระโดดจะมความ สงลดลงดวยอตราเดมเสมอ ถาคราวนมนกระโดดไดสง 480 , 240 , 120 , . . .

เซนตเมตร ตามลำดบ และถามนกระโดดไดสงนอยกวาตนหญาซงสง 10 เซนตเมตร มนจะหยด จำนวนครงทจงหรดกระโดดคราวนเปนเทาใด

1. 6 2. 7 3. 8 4. 9

..8.

www.educasy.com

...

66

...

..19 ..M10075 (แนว O-NET) ใน 20 พจนแรกของลำดบ an = 3 + (−1)n มกพจนทมคาเทากบพจนท 20

1. 10 2. 20 3. 30 4. 40

..20 ..M10076 (แนว O-NET) ลำดบในขอใดตอไปน เปนลำดบเรขาคณต

1. an = 3n2 2. an = (2n)n

3. an = 2n · 32n 4. an = 2n + 4n

..8


..

67

...

8.2 อนกรม

..

▷▷ M20010

.

8.2.1 ความหมายของอนกรมอนกรม (S) คอผลบวกของสมาชกของลำดบเราใชสญลกษณ Sn แทนผลบวกของสมาชก n ตวแรกของลำดบเขน S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 ..

S4 = a1 + a2 + a3 + a4

S3 = a1 + a2 + a3

S2 = a1 + a2

S1 = a1

S∞ = S0 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + . . . ..

• อนกรมทสามารถบอกจำนวนพจนทบวกกนไดวามกพจนเรยกเปนอนกรมจำกด• อนกรมทมจำนวนพจนทบวกกนอยมากมายจนนบจำนวนพจนไมไดเรยกเปนอนกรมอนนต

...อนกรม

.

.

อนกรมจำกด .

.

อนกรมอนนต

.

.

อนกรมจำกดเลขคณต

.

.

อนกรมจำกดเรขาคณต

.

.

อนกรมอนนตเลขคณต

.

.

อนกรมอนนตเรขาคณต

..

อนกรมจำกด

.

อนกรมอนนต

..8.

www.educasy.com

...

68

...

..

▷▷ M20011

.

8.2.2 อนกรมจำกดเลขคณตอนกรมจำกดเลขคณต คออนกรมทไดจากลำดบเลขคณตจำกด เราสามารถ

หาผลบวกของสมาชก n ตวแรกของอนกรมจำกดเลขคณต ไดจาก

.. Sn =n2(a1 + an) เมอ Sn = คอผลบวก n พจนแรก

หรอ Sn =n2[2a1 + (n − 1)d] . n = คอจำนวนพจนทบวก

d = คอผลตางรวมa1 = คอพจนแรกของอนกรมan = คอพจนสดทายของอนกรม

..21 ..M10077 ผลบวก 10 พจนแรกของอนกรมเลขคณต −3 + 2 + 7 + 12 + . . . มคาเทากบเทาใด

..22 ..M10078 (มช. 56) จงหาผลบวก 20 พจนแรกของอนกรม 15 + 13.5 + 12 + . . .

..8


..

69

...

..23 ..M10079 จงหาผลบวกของจำนวนเตมบวกทเปนพหคณของ 3 ยสบจำนวนแรก

..24 ..M10080 (แนว O-NET) คาของ 1 + 6 + 11 + 16 + . . . + 101 เทากบขอใดตอไปน

1. 970 2. 1, 071 3. 1, 220 4. 1, 440

..25 ..M10081 (มช. 55) ผลบวกของพจนทกพจนของอนกรม−18 − 13 − 8 − 3 + 7 + . . . + 67 เทากบขอใด

1. 276 2. 441 3. 483 4. 575

..8.

www.educasy.com

...

70

...

..26 ..M10082 (แนว O-NET) ในสวนปาแหงหนง เจาของปลกตนยคาลปตสเปนแถวดงน แถวแรก 12 ตน แถวทสอง 14 ตน แถวทสาม 16 ตน โดยปลกเพมเชนนตามลำดบเลขคณต ถาเจาของปลกตนยคาลปตสไวทงหมด 10 แถว จะมตนยคาลปตสในสวนปานทงหมดกตน

..27 ..M10083 (แนว O-NET) กำหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของลำดบเลขคณตa1 , a2 , a3 , . . . ถา S5 = 90 และ S10 = 5 แลว a21 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. −60 2. −82 3. −108 4. −242

..8


..

71

...

..

▷▷ M20012

.

8.2.3 อนกรมจำกดเรขาคณตอนกรมจำกด เรขาคณต คออนกรมท ได จากลำดบเรขาคณตจำกด เรา

สามารถหาผลบวกของสมาชก n ตวแรกของอนกรมจำกดเรขาคณต ไดจาก

.. Sn =a1r(n−1)

r − 1เมอ Sn = คอผลบวก n พจนแรก

หรอ Sn =anr − a1

r − 1. n = คอจำนวนพจนทบวก

r = คออตราสวนรวมa1 = คอพจนแรกของอนกรมan = คอพจนสดทายของอนกรม

..28 ..M10084 (แนว O-NET) ผลบวกของอนกรมเรขาคณต 1 − 2 + 4 − 8 + . . . + 1, 024

เทากบขอใดตอไปน

1. −693 2. −171 3. 171 4. 683

..29 ..M10085 (แนว O-NET) ให a1 , a2 , a3 , . . . เปนลำดบเรขาคณต ถา a2 = 8 และa5 = −64 แลวผลบวกของ 8 พจนแรกของลำดบนเทากบขอใด

1. 2, 048 2. 1, 512 3. 680 4. 340

..8.

www.educasy.com

...

72

...

..30 ..M10086 (มช. 55) แพรวตองการพบดาวใหได 10, 000 ดวง หากในวนแรกพบได 10 ดวงวนทสอง พบได 20 ดวง วนทสามพบได 40 ดวง เปนเชนนไปเรอย ๆ แพรวจะใชเวลากวนพบดาวไดตามจำนวนทตองการ

..31 ..M10087 (แนว O-NET) กำหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ซงมอตราสวนรวมเทากบ 2 ถา S10 − S8 = 32 แลวพจนท 5 ของอนกรมนเทากบขอใด

1. 23

2. 83

3. 263

4. 323

..32 ..M10088 (มช. 55) ถาลำดบทเกดจากการใชเหตผลแบบอปนย เปนดงน

−4 , 0 , 4 , −4 , 0 , 4 , −4 , 0 , 4 , . . .

จงหาผลบวก 200 พจนแรกของลำดบขางตน

1. −4 2. 0 3. 4 4. 8

..8


..

73

...

.. โจทยเพมเตม..1 ..M10089 (แนว O-NET) ปาจเรมขายขนมครกในวนท 2 มกราคม ในวนแรกขายไดกำไร

100 บาท และในวนตอ ๆ ไป จะขายไดกำไรเพมขนจากวนกอนหนาวนละ 20 บาททกวนขอใดตอไปนเปนวนทของเดอนมกราคมทปาจขายไดกำไรเฉพาะในวนนน 280 บาท

1. วนท 10 2. วนท 11 3. วนท 12 4. วนท 13

..2 ..M10090 (แนว O-NET) กำหนดให a1 , a2 , a3 , . . . เปนลำดบเรขาคณต พจารณาลำดบสามลำดบตอไปนก. a1 + a3 , a2 + a4 , a3 + a5 , . . .

ข. a1a2 , a2a3 , a3a4 , . . .

ขอใดเปนลำดบเรขาคณต

1. ขอ ก. เทานน 2. ขอ ข. เทานน3. ขอ ก. และขอ ข. 4. ไมมขอใดเปนลำดบเรขาคณต

..3 ..M10091 (แนว O-NET) ถาผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมหนงคอ Sn = 3n2 แลวพจนท 5 ของอนกรมนมคาเทากบขอใดตอไปน

1. 17 2. 22 3. 27 4. 38

..4 ..M10092 (แนว O-NET) กำหนดให S = {101 , 102 , 103 , . . . , 999}

ถา a เทากบผลบวกของจำนวนคทงหมดใน S

และ b เทากบผลบวกของจำนวนคทงหมดใน S

แลว a − b มคาเทากบขอใดตอไปน

1. −550 2. −500 3. 500 4. 550

..8.

www.educasy.com

...

74

...

..5 ..M10093 (แนว O-NET) ถา a เปนจำนวนจรงลบ และ a20 + 2a − 3 = 0 แลว1 + a + a2 + . . . + a19 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. −2 2. −3 3. −4 4. −5

..6 ..M10094 (แนว O-NET) ขอใดตอไปนเปนอนกรมเรขาคณตทม 200 พจน

1. 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) + . . . + 199

2. 1 +13+

15+ . . . +

1(2n − 1)

+ . . . +1

199

3. 1 + 2 + 3 + . . . + 2(n−1) + . . . + 2199

4. 15+

1125

+1

3, 125+ . . . +

(1

5(2n−1)

)+ . . . +

15199

..8


..

75

...

.. เฉลยโจทยประกอบเนอหา..1 ตอบขอ 2)แนวคด { (1, 1) , (2, 3) , (3, 5) , (4, 7) , . . . }

ฟงกชนนถอวาเปนลำดบไดเพราะโดเมน (สมาชกตวหนา) เปนจำนวนเตมบวกตงแต 1 คอ 1 , 2 , 3 , 4 , . . . เรยงกนไป

..2 ตอบ 82แนวคด จากลำดบเลขคณต 2 , 6 , 10 , 14 , . . .

จะไดวา a1 = 2 , d = 6 − 2 = 4 , a21 =?

จาก an = am + kd (เมอ k = n − m)

จะได a21 = a1 + (21 − 1)(4)

a21 = 2 + (20)(4)

a21 = 82

นนคอพจนท 21 มคาเทากบ 82

..3 ตอบขอ 3)แนวคด จากลำดบเลขคณต 3

2, 1 ,

12

, . . .

หรอ 1.5 , 1 , 0.5 , . . .

จะไดวา a1 = 1.5 , d = 1 − 1.5 = −0.5


จะได a32 = a2 + (32 − 2)(−0.5)

= 1 − 15 = −14

a42 = a2 + (42 − 2)(−0.5)

= 1 − 20 = −19

ดงนน a32 + a42 = (−14) + (−19) = −33

..8.

www.educasy.com

...

76

...

..4 ตอบขอ 4)แนวคด จากลำดบเลขคณต 1

20,

130

,1

60, . . .

จะไดวา a1 =1

20, d =

130

− 120

=2 − 3

60= − 1

60, a31 =?


จะได a31 = a1 + (31 − 1)d

a31 =1

20+ (30)

(− 1

60

)a31 =

120

− 12

a31 = − 920

นนคอ พจนท 31 มคาเทากบ − 920

..5 ตอบ 6แนวคด โจทยบอก a4 = 18 , a7 = 36 , d =?


จะได a7 = a4 + (7 − 4)d

36 = 18 + 3d

d = 6

นนคอ ผลตางรวมมคาเทากบ 6

..8


..

77

...

..6 ตอบขอ 4)แนวคด ขนท 1 จาก an = am + kd (เมอ k = n − m)

จะได a30 = a10 + (30 − 10)d

a30 = a10 + 20d −→ ..1ขนท 2 จาก a30 − a10 = 40 (แทนคา a30 จาก ..1 )

จะได (a10 + 20d)− a10 = 40

20d = 40

d = 2.0

นนคอ ผลตางรวมมคาเทากบ 2.0

..7 ตอบขอ 3)แนวคด ขนท 1 หาอตราสวนรวม d


จะได a7 = a2 + (7 − 2)d

68 = 13 + 5d

d = 11

ขนท 2 หา a14


จะได a14 = a7 + (14 − 7)d

a14 = 68 + 7(11)

a14 = 145

นนคอ พจนท 14 ของลำดบนมคาเทากบ 145

..8.

www.educasy.com

...

78

...

..8 ตอบ 30แนวคด พจารณาลำดบ 20 , 16 , 12 , . . . , −96

จะไดวา a1 = 20 , d = 16 − 20 = −4 , an = −96 , n =?

จาก an = a1 + (n − 1)d

ดงนน −96 = 20 + (n − 1)(−4)

−96 = 20 − 4n + 4

4n = 120

n = 30

นนคอ −96 เปนพจนท 30 ของลำดบน

..9 ตอบ 29แนวคด พจารณาลำดบ −43 , −34 , −25 , . . .

จะไดวา a1 = −43, d = (−34)− (−43) = 9

การจะหาวา 210 มคาใกลเคยงกบพจนทเทาใด สามารถทำไดโดยสมมตให an = 210 แลวใหหา n =?

จาก an = a1 + (n − 1)d

ดงนน 210 = (−43) + (n − 1)(9)

253 = 9(n − 1)

28.11 = n − 1

n = 29.11

แสดงวา 210 มคาเกนพจนท 29 อยเลกนอยนนคอ จำนวนพจนทมคานอยกวา 210 ม 29 พจน

..8


..

79

...

..10 ตอบ 44แนวคด จำนวนท 9 หารลงตว ระหวาง 100 − 500 ไดแก

108 , 117 , 126 , 135 , . . . , 495

ลำดบนเปนลำดบเลขคณตโดย

a1 = 108 , d = 117 − 108 = 9 , an = 495 , n =?

จาก an = a1 + (n − 1)d

จะได 495 = 108 + (n − 1)(9)

495 = 108 + 9n − 9

495 − 108 + 9 = 9n

396 = 9n

n = 44

นนคอ ระหวาง 100 − 500 มจำนวนท 9 หารลงตวอย 44 จำนวน

..11 ตอบขอ 4)แนวคด เนองจาก n คอลำดบทของพจน คา n จงตองเปนจำนวนเตมบวก

ดงนน ถาลองแทน an = 20 ลงไปในตวเลอกทละขอ ขอใดแกสมการได n เปนจำนวนเตมบวก ขอนนจงใชเปนคำตอบได

ขอ 1. an = 1 − 2n ขอ 2. an = 1 + 2n

20 = 1 − 2n 20 = 1 + 2n

2n = −19 19 = 2n

n = −9.5 n = 9.5

ขอ 3. an = 2 − 2n ขอ 4. an = 2 + 2n

20 = 2 − 2n 20 = 2 + 2n

2n = −18 18 = 2n

n = −9 n = 9

จะเหนวา ขอ 4. เทานนทมคา n เปนจำนวนเตมบวก จงตอบขอ 4.

..8.

www.educasy.com

...

80

...

..12 ตอบขอ 2)แนวคด ขนท 1 สมมตใหสามพจนแรกเปน (a − d) , a , (a + d)

โจทยบอกผลรวมสามพจนเทากบ 15

ดงนน (a − d) + a + (a + d) = 15

3a = 15

a = 5 −→ ..1ขนท 2 โจทยบอกผลคณเทากบ 80

ดงนน (a − d)a(a + d) = 80 (แทนคา a = 5 จาก ..1 )

(5 − d)5(5 + d) = 80

(5 − d)(5 + d) = 16

52 − d2 = 16

9 = d2

d = ±3

นนคอ |d| = |3| = | − 3| = 3

..8


..

81

...

..13 ตอบขอ 1)แนวคด พจารณาลำดบเรขาคณต 1

625,

1125

√5

,1

125

จะไดวา a1 =1

625, r =

1125

÷ 1125

√5=

1125

× 125√

5 =√

5

จาก an = a1r(n−1)

จะได a10 =1

625

(√5)10−1

a10 =154

(√5)9

a10 =154

(√5)8

·√

5

a10 =154

[(√5)2]4

·√

5

a10 =154 54 ·

√5

a10 =√

5

นนคอ พจนท 10 มคาเทากบ √5

..14 ตอบ 2แนวคด โจทยบอก a3 = 12 , a6 = 96 , r =?

จาก an = amrk (เมอ k = n − m)

จะได a6 = a3r(6−3)

96 = 12r3

8 = r3

23 = r3

r = 2

นนคอ อตราสวนรวมของลำดบนมคาเทากบ 2

..8.

www.educasy.com

...

82

...

..15 ตอบขอ 3)แนวคด พจารณาลำดบ 3 ,

54

,2548

, . . .

อตราสวนรวม (r) =54÷ 3 =

54× 1

3=

512

= 0.42

จะเหนวาอตราสวนรวม (r) ของลำดบนอยในชวง (0.3 , 0.5) จรง

..16 ตอบขอ 1)แนวคด พจารณาลำดบ 1 , a2 , 100 ซงเปนลำดบเรขาคณต

จงไดวา a2

1=

100a2

(a2)2 = 100

a2 = ±10

ดงนน คา a2 อาจเปนได 2 คาคอ +10 และ −10 จงเลอกตอบ −10 ได

..17 ตอบขอ 1)แนวคด ขนท 1 สมมต 3 พจนแรกของลำดบเรขาคณตนเปน a

r, a , ar

โจทยบอก ar· a · ar = 27

จะได a3 = 27

a = 3 −→ ..1ขนท 2 โจทยบอก a

r+ a + ar = 13 (แทนคา a = 3 จาก ..1 )

3r+ 3 + 3r = 13 (ใช r คณตลอด)

จะได 3 + 3r + 3r2 = 13r

3r2 − 10r + 3 = 0

(3r − 1)(r − 3) = 0

r =13

, 3

นนคอ คา r อาจเปนได 2 คาคอ 13และ 3 จงเลอกตอบ 1

3ได

..8


..

83

...

..18 ตอบขอ 2)แนวคด จากลำดบทโจทยกำหนดจะพบวา การกระโดดแตละครงจะไดความสงเหลอเพยง

ครงของตอนกอนหนาดงน

480 , 240 , 120 , 60 , 30 , 15 , 7.5

และโจทยกำหนดใหเมอกระโดดไดความสงนอยกวา 10 เซนตเมตรใหหยด ดงนนจงหรดตวนกระโดดไดทงหมด 7 ครง

..19 ตอบขอ 1)แนวคด จาก an = 3 + (−1)n

a1 = 3 + (−1)1 = 3 − 1 = 2

a2 = 3 + (−1)2 = 3 + 1 = 4

a3 = 3 + (−1)3 = 3 − 1 = 2

a4 = 3 + (−1)4 = 3 + 1 = 4

a5 = 3 + (−1)5 = 3 − 1 = 2

a6 = 3 + (−1)6 = 3 + 1 = 4... ...

a20 = 3 + (−1)20 = 3 + 1 = 4

จะเหนวา a20 มคาเทากบ 4 ดงนนใน 20 พจนแรก จะมอย 10 พจนทมคาเทากบ a20

..8.

www.educasy.com

...

84

...

..20 ตอบขอ 3)แนวคด พจารณาขอ 3. จาก an = 2n · 32n

จะไดวา a1 = 21 · 32×1 = 2 · 32

a2 = 22 · 32×2 = 22 · 34

a3 = 23 · 32×3 = 23 · 36

ตอไป ลองหาอตราสวนรวม r โดยa3

a2=

23 · 36

22 · 34 = 2 · 32

และ a2

a1=

22 · 34

2 · 32 = 2 · 32

จะเหนวา ไมวาจะคดชวงไหนกไดอตราสวนรวม (r) เทากนแสดงวา ลำดบในขอ 3. นเปนลำดบเรขาคณต

..21 ตอบ 195แนวคด พจารณาอนกรมเลขคณต −3 + 2 + 7 + 12 + . . .

จะไดวา a1 = −3 , d = 7 − 2 = 5 , n = 10 , S10 =?

จาก Sn =n2[2a1 + (n − 1)d]

จะได S10 =102[2(−3) + (10 − 1)(5)]

s10 = 5(−6 + 45)

S10 = 195

นนคอ ผลบวก 10 พจนแรกมคาเทากบ 195

..8


..

85

...

..22 ตอบ 15แนวคด พจารณาอนกรมเลขคณต 15 + 13.5 + 12 + . . .

จะไดวา a1 = 15 , d = 13.5 − 15 = −1.5 , n = 20 , S20 =?

จาก Sn =n2[2a1 + (n − 1)d]

จะได S20 =202[2(15) + (20 − 1)(−1.5)]

S20 = 10[30 − 28.5]

s20 = 15


..23 ตอบ 630แนวคด พจารณาอนกรมเลขคณต 3 + 6 + 9 + 12 + . . .

จะไดวา a1 = 3 , d = 6 − 3 = 3 , n = 20 , S20 =?

จาก Sn =n2[2a1 + (n − 1)d]

จะได S20 =202[2(3) + (20 − 1)(3)]

S20 = 10[6 + 57]

s20 = 630


..8.

www.educasy.com

...

86

...

..24 ตอบขอ 2)แนวคด พจารณาอนกรมเลขคณต 1 + 6 + 11 + 16 + . . . + 101

จะไดวา a1 = 1 , d = 6 − 1 = 5 , an = 101 , Sn =?

ขนท 1 หาจำนวนพจน nจาก an = a1 + (n − 1)d

จะได 101 = 1 + (n − 1)5

n = 21

ขนท 2 หาผลบวก Sn

จาก Sn =n2[a1 + an]

จะได S21 =212[1 + 101]

S21 =212(102)

S21 = 1, 071

นนคอ ผลบวกของอนกรมนมคา 1, 071

..8


..

87

...

..25 ตอบขอ 2)แนวคด พจารณาอนกรมเลขคณต −18 − 13 − 8 − 3 + 7 + . . . + 67

จะไดวา a1 = −18 , d = (−13)− (−18) = 5 , an = 67 , Sn =?

ขนท 1 หาจำนวนพจน nจาก an = a1 + (n − 1)d

จะได 67 = −18 + (n − 1)5

85 = 5(n − 1)

17 = n − 1

n = 18

ขนท 2 หาผลบวก Sn

จาก Sn =n2[a1 + an]

จะได S18 =182[−18 + 67]

S18 = 9(49)

S18 = 441

นนคอ ผลบวกของอนกรมนมคา 441

..26 ตอบ 210แนวคด จากขอมลทโจทยใหมา จะไดวา จำนวนตนยคาลปตสมเทากบ 12+ 14+ 16+ . . .

(มทงหมด 10 พจน) ซงจะกลายเปนอนกรมเลขคณตโดยท a1 = 12 , d = 14 − 2 = 2 , n = 10 , Sn =?

จาก Sn =n2[2a1 + (n − 1)d]

จะได S10 =102[2(12) + (10 − 1)(2)]

S10 = 5(24 + 18)

S10 = 210

นนคอ สวนปานจะมตนยคาลปตสอยทงหมด 210 ตน

..8.

www.educasy.com

...

88

...

..27 ตอบขอ 3)แนวคด โจทยบอก S5 = 90 , S10 = 5 , a21 =?

ขนท 1 จาก Sn =n2[2a1 + (n − 1)d]

จะได S5 =52[2a1 + (5 − 1)d] (แทน S5 = 90)

90 =52(2a1 + 4d)

36 = 2a1 + 4d (ใช 2 หารตลอด)18 = a1 + 2d

a1 = 18 − 2d −→ ..1ขนท 2 จาก S10 =

102[2a1 + (10 − 1)d] (แทน S10 = 5)

จะได 5 = 5(2a1 + 9d)

1 = 2a1 + 9d (แทนคา a2 จาก ..1 )

1 = 2(18 − 2d) + 9d

1 = 36 − 4d + 9d

−35 = 5d

d = −7

ขนท 3 แทนคา d = −7 ลงใน ..1จะได a1 = 18 − 2(−7) = 32

และจาก an = a1 + (n − 1)d

จะได a21 = 32 + (21 − 1)(−7)

a21 = −108

นนคอ พจนท 21 ของอนกรมนมคา −108

..8


..

89

...

..28 ตอบขอ 4)แนวคด พจารณาอนกรมเรขาคณต 1 − 2 + 4 − 8 + . . . + 1, 024

จะไดวา a1 = 1 , r =−21

=4−2

= −2 , an = 1, 024 , Sn =?

จาก Sn =anr − a1

r − 1

จะได S10 =(1, 024)(−2)− (1)

(−2)− 1

s10 =−2, 049−3

S10 = 683

นนคอ ผลบวกของอนกรมนมคาเทากบ 683

..29 ตอบขอ 4)แนวคด โจทยบอก a2 = 8 , a5 = −64 , s8 =?

ขนท 1 หา r และ a1

จาก an = amrk

จะได a5 = a2r(5−2)

−64 = 8r3

r = −2

และ a2 = a1r(2−1)

8 = a1(−2)1

a1 = −4

ขนท 2 จาก Sn =a1rn − 1

r − 1

S8 =(−4)

[(−2)8 − 1

](−2)− 1

S8 =−4(256 − 1)

−3S8 = 340

นนคอ ผลบวก 8 พจนแรกของลำดบนมคาเทากบ 340

..8.

www.educasy.com

...

90

...

..30 ตอบ 10แนวคด โจทยใหหาวาจะตองพบกวนจงจะไดดาวทงหมด 10, 000 ดวง

โดย จำนวนดาวทพบ = 10 + 20 + 40 + . . .

อนกรมทไดน เปนอนกรมเรขาคณตโดยท a1 = 10 , r =

2010

=4020

= 2 , Sn = 10, 000 , n =?

จาก Sn =a1 (rn − 1)

r − 1

จะได 10, 000 =10 (2n − 1)

2 − 110, 000 = 10 (2n − 1)

1, 000 = 2n − 1

2n = 1, 001 (เพราะ 210 = 1, 024)

210 ≈ 1, 001

n ≈ 10

นนคอ ตองพบกระดาษประมาณ 10 วน จงจะไดดาวครบตามตองการ

..8


..

91

...

..31 ตอบขอ 1)แนวคด ขนท 1 โจทยกำหนด r = 2 , S10 − S8 = 32 , S5 =?

จาก Sn =a1 (rn − 1)

r − 1

ดงนน S10 =a1(210 − 1

)2 − 1

S10 = 1, 023a1 −→ ..1

และ S8 =a1(28 − 1

)2 − 1

S8 = 255a1 −→ ..2ขนท 2 โจทยบอก S10 − S8 = 32 (แทนคาจาก ..1 และ ..2 )

จะได 1, 023a1 − 255a1 = 32

768a1 = 32

a1 =1

24

ขนท 3 จาก an = a1r(n−1)

จะได a5 =

(1

24

)2(5−1)

a5 =

(1

24

)24

a5 =

(1

24

)16

a5 =23

นนคอ พจนท 5 ของอนกรมนมคาเทากบ 23

..32 ตอบขอ 1)แนวคด

−..4 , 0 , 4..,−..4 , 0 , 4..,−..4 , 0 , 4.., . . . − ..4 , 0 , 4..,−..4 , 0..

จากแผนภาพจะเหนวา ผลรวมทงหมด = −4..

a1

.

a3

.

a6

.

a9

.

a198

.

a200

.รวม= 0

.รวม= 0

.รวม= 0

.รวม= 0

.รวม= −4

..8.

www.educasy.com

...

92

...

..นกเรยนถกโจรโรคจตจบตวไป มนบงคบใหนกเรยนเลน

รสเซยนรเลตต ถาไมยอมเลนจะยงทง ถาเลนแลวรอดจะปลอยตวไป โดยปนลกโมทใชเปนชนดทบรรจกระสนได 6 นด มแผนปดลกปนหลงโมมดชดกนการแอบดลกปน มระบบการหมนลกโมทลนมาก ๆ มระบบชดเชยนำหนกกระสนทไมสมดลย คอไมวาจะมกระสนเรยงไมสมดลยยงไง มนกสามารถหมนไดอยางเทยงตรงเสมอ และจะหยดชองไหนกมโอกาสเทา ๆ กน โดยโจรโรคจตกำหนดกตกาคอ ลกโมใสกระสน 3 ลกเรยงตดกนสามนดรวด มวธยงใหเลอกสองแบบ1. ปนลกโมเพยงครงเดยว จากนนยง 3 นดตดกน2. ปนลกโมใหมทกครงกอนลนไก ยง 3 นดเชนกน

ถกบงคบใหเลอกแลว!! นกเรยนจะเลอกแบบไหน เพราะอะไร.

..8


..

93

...

.. เฉลยโจทยเพมเตม..1 ตอบขอ 3)แนวคด พจารณากำไรทไดแตละวน

10..0 , 12..0 , 14..0 , 16..0 , . . . , 28..0

ลำดบนจดเปนลำดบเลขคณตโดย a1 = 100 , d = 120 − 100 = 20 , an = 280 , n =?

จาก an = a1 + (n − 1)d

จะได 280 = 100 + (n − 1)(20)

180 = 20n − 20

n = 10

แสดงวา กวาจะขายไดวนละ 280 บาท ตองรออก 10 วนดงนน หากเรมตนนบจากวนท 2 นบไปอก 10 วน จะเปนวนท 12 พอด

..

วนท 2

.

วนท 3

.

วนท 4

.

วนท 5

.

วนท ?

..2 ตอบขอ 3)แนวคด พจารณาขอ ก. a1 + a3 , a2 + a4 , a3 + a5 , . . .

=(

a1 + a1r2)

,(

a1r + a1r3)

,(

a1r2 + a1r4)

, . . .

= a1

(1 + r2

), a1r

(1 + r2

), a1r2

(1 + r2

), . . .

เมอนำพจนขวามอหารดวยพจนซายมอทตดกน จะไดคาเทากบ r เสมอแสดงวา ลำดบนเปนลำดบเรขาคณตทมอตราสวนรวมเทากบ r

พจารณาขอ ข. a1a2 , a2a3 , a3a4 , . . .

= a1(a1r) , (a1r)(

a1r2)

,(

a1r2) (

a1r3)

, . . .

=(

a21r)

,(

a21r)

r2 ,(

a21r)

r4 , . . .

เมอนำพจนขวามอหารดวยพจนซายมอทตดกน จะไดคาเทากบ r2 เสมอแสดงวา ลำดบนเปนลำดบเรขาคณตทมอตราสวนรวมเทากบ r2

..8.

www.educasy.com

...

94

...

..3 ตอบขอ 3)แนวคด จาก Sn = 3n2

จะได S5 = 3(5)2 = 75

และ S4 = 3(4)2 = 48

จะไดวา a5 = S5 − S4

a5 = 75 − 48

a5 = 27

ดงนน พจนท 5 ของอนกรมนคอ 27

..4 ตอบขอ 4)แนวคด S = {101 , 102 , 103 , . . . , 999} มสมาชกทงหมด 899 ตว

เปนเลขคคอ = {101 , 103 , 105 , . . . , 999} มสมาชก 450 ตวเปนเลขคคอ = {102 , 104 , 106 , . . . , 998} มสมาชก 449 ตว

หาผลบวกจำนวนค (a) จาก {101 + 103 + 105 + . . . + 999}

โดย a1 = 101 , d = 103 − 101 = 2 , n = 450

จาก Sn =n2(a1 + an)

Sn =4502

(101 + 999)

Sn = 247, 500 = a

หาผลบวกจำนวนค (b) จาก {102 + 104 + 106 + . . . + 998}

โดย a1 = 102 , d = 104 − 102 = 2 , n = 449

จาก Sn =n2(a1 + an)

Sn =4492

(102 + 998)

Sn = 246, 950 = b

ดงนน a − b = 247, 500 − 246, 950

a − b = 550

..8


..

95

...

..5 ตอบขอ 1)แนวคด ขนท 1 จาก a20 + 2a − 3 = 0

a20 = −2a + 3

a20 − 1 = −2a + 3 − 1

a20 − 1 = −2a + 2

a20 − 1 = −2(a − 1)

a20 − 1a − 1

= −2 −→ ..1

ขนท 2 หาคาของ 1 + a + a2 + . . . + a19 ซงกคอ อนกรมเรขาคณตจำกดทม a1 = 1 , r =

a1= a , an = a19 , n = 20 , S20 =?

จาก Sn =anr − a1

r − 1

Sn =a19 · a − 1

a − 1

Sn =a20 − 1a − 1

(แทนคา a20 − 1

a − 1= −2 จาก ..1

)ดงนน Sn = −2

นนคอ ผลบวกของ 1 + a + a2 + . . . + a19 มคาเทากบ −2

..8.

www.educasy.com

...

96

...

..6 ตอบขอ 3)แนวคด ขอ 1. ไมใชอนกรมเรขาคณต เพราะ 3

1= 5

3จงไมมอตราสวนรวม

ขอ 2. ไมใชอนกรมเรขาคณต เพราะ 13÷ 1 = 1

5÷ 1

3จงไมมอตราสวนรวม

ขอ 3. เปนอนกรมเรขาคณต เพราะ 21=

42= 2

และม a1 = 1 , r = 2 , an = 2199


จะได 2199 = 1 · 2(n−1)

199 = n − 1

n = 200

นนคอ อนกรมนเปนอนกรมเรขาคณตทมจำนวนพจนเทากบ 200

จงเลอกขอนเปนคำตอบขอ 4. เปนอนกรมเรขาคณต เพราะ 1

125÷ 1

5=

13, 125

÷ 1125

=1

25

และม a1 =15

, r =1

25, an =

15199


จะได 15199 =

15

(1

25

)n−1

(15

)199

=

(15

)1 (15

)2(n−1)

(15

)199

=

(15

)2(n−1)+1

(15

)199

=

(15

)2n−1

199 = 2n − 1

n = 100

นนคอ อนกรมนเปนอนกรมเรขาคณตทมจำนวนพจนเทากบ 100

..

97

...

....

CHAPTER

. 9. สถตและขอมล

9.1 ตวอยางปญหาทตองใชสถต

..

▷▷ M20013

.

ปญหาทจำเปนตองใชสถตมาชวยในการแกปญหาหรอหาขอสรปมมากมาย ดงตวอยางตอไปน

• การพยากรณอากาศ• การทดสอบประสทธผลของยารกษาโรค• การควบคมคณภาพของสนคา• การสำรวจความคดเหนหรอโพล (Poll)

9.2 ความหมายของสถต

..

▷▷ M20014

.

สถต เปนศาสตรท วาดวยการเกบรวบรวมและการวเคราะหขอมล เพอนำมาอธบายปรากฏการณหนง หรอตอบประเดนปญหาทสนใจ

สถตเชงพรรณนา (Descriptive Statistics) เปน สถต ท เกยว กบ การ เกบรวบรวมขอมล แจกแจงขอมล และทำการวเคราะหขอมลเชนหาคาแนวโนมสสวนกลางคาการกระจาย เพออธบายลกษณะกวางๆ ของขอมลชดนน

สถตเชงอนมาน (Inferential Statistics) เปน สถต ท เกยว กบ การ เลอก กลมตวอยางจากกลมประชากร การวเคราะหขอมลท เกบไดจากตวอยางเพออางองไปถงขอมลทงหมด

สถตศาสตรจะครอบคลมองคประกอบตอไปน1. การเกบรวบรวมขอมล2. การวเคราะหขอมล3. การนำเสนอขอสรป

..9.

www.educasy.com

...

98

...

9.3 ขอมลและการเกบรวบรวมขอมล

..

▷▷ M20015

.

9.3.1 ความหมายของขอมลขอมลคอขอความจรงทบอกถงลกษณะ หรอสถานการณ หรอปรากฎการณหนง

โดยทขอมลอาจเปนตวเลขหรอขอความกได

9.3.2 ประเภทของขอมลการจำแนกประเภทของขอมลนนอาจทำไดหลายวธดงน1. การจำแนกขอมลตามวธการเกบรวบรวมขอมล จะแบงขอมลไดเปน

ก. ขอมลปฐมภม คอขอมลทเกบรวบรวมจากแหลงทมาของขอมลโดยตรงซงอาจทำไดโดยการสมภาษณ วด นบ หรอสงเกต

การเกบรวบรวมขอมลปฐมภมทำได 2 วธคอ• การสำมะโน เปนการเกบรวบรวมขอมลจากทก ๆ หนวยของประชากร• การสำรวจ จากกลมตวอยางทเลอกมาจากกลมประชากร

ข. ขอมลทตยภม คอขอมลทไดจากขอมลทผอนรวบรวมไวแลว เชนรายงานตาง ๆ ของหนวยงานราชการหรอองคการของรฐบาล เปนตน

2. การจำแนกประเภทของขอมลตามลกษณะของขอมล จะแบงขอมลไดเปนก. ขอมลเชงปรมาณ คอขอมลทมลกษณะเปนตวเลขแสดงความมากนอย

สามารถนำมาเปรยบเทยบกนไดโดยตรง เชนนำหนก ความสง อตราดอกเบย เปนตนข. ขอมลเชงคณภาพ คอขอมลทไมเปนตวเลข เชนเพศ อาชพ เปนตน

หรออาจเปนตวเลขทไมแสดงถงความมากนอย เชนเลขทะเบยนรถ บานเลขท หมายเลขโทรศพท เกรดการเรยนวชาตาง ๆ เปนตน

..9


..

99

...

..7 ..M10095 (แนว O-NET) ขอใดตอไปนถกตอง

1. สถตเชงพรรณนา คอสถตของการวเคราะหขอมลขนตนทมงอธบายลกษณะกวาง ๆ ของขอมล

2. ขอมลทเปนหมายเลขทใชเรยกสายรถโดยสารประจำทางเปนขอมลเชงปรมาณ3. ขอมลปฐมภม คอขอมลทผใชเกบรวบรวมจากแหลงขอมลทมผอนเกบมาแลวกอนหนาน

เพอนำมาใชเปนเบองตน4. ขอมลทรวบรวมจากรายงานตางๆ ทไดจากหนวยงานราชการเปนขอมลปฐมภม

..8 ..M10096 จงพจารณาขอมลตอไปน

1. คะแนนสอบวชาคณตศาสตร 2. เกรดวชาคณตศาสตร3. หมายเลขทะเบยนรถจกรยานยนต 4. หมายเลขโทรศพท5. ราคาขาวสารตอกระสอบ 6. เลขประจำตวประชาชน7. ขนาดรองเทาของนกเรยน 8. รายไดของคนในครอบครว

ขอมลทถอวาเปนขอมลเชงคณภาพมกขอ

1. 3 ขอ 2. 4 ขอ 3. 5 ขอ 4. 6 ขอ

..9.

www.educasy.com

...

100

...

..9 ..M10097 (แนว O-NET) ครสอนวทยาศาสตรมอบหมายใหนกเรยน 40 คน ทำโครงงานตามความสนใจ หลงจากตรวจรายงานโครงงานของทกคนแลว ผลสรปเปนดงน

ผลประเมน จำนวนโครงงานดเยยม 5ด 18

พอใช 10ตำกวาเกณฑ 7

ขอมลทเกบรวบรวมเพอใหไดผลสรปขางตนเปนขอมลชนดใด

1. ขอมลปฐมภม เชงปรมาณ 2. ขอมลทตยภม เชงปรมาณ3. ขอมลปฐมภม เชงคณภาพ 4. ขอมลทตยภม เชงคณภาพ

..10 ..M10098 (แนว O-NET) ขอตอไปนมผลกระทบตอความถกตองของการตดสนใจโดยใชสถต ยกเวนขอใด

1. ขอเทจจรง 2. ขอมล3. ขาวสาร 4. ความเชอทางศาสนา

..9


..

101

...

.. เฉลยโจทยประกอบเนอหา..1 ตอบขอ 1)แนวคด ขอ 1. ถก สถตเชงพรรณนา (Descriptive Statistics) เปนสถตทเกยวกบการเกบ

รวบรวมขอมล แจกแจงขอมล และทำการวเคราะหขอมลเชนหาคาแนวโนมสสวนกลาง คาการกระจาย เพออธบายลกษณะกวาง ๆ ของขอมลชดนนขอ 2. ผด ขอมลทเปนหมายเลขทใชเรยกสายรถโดยสารเปนขอมลเชงคณภาพขอ 3. ผด และขอ 4. ผด ขอมลทคดลอกจากรายงานทผอนทำไวแลวกอนหนาถอเปนขอมลทตยภม ไมใชปฐมภม

..2 ตอบขอ 3)แนวคด ขอมลเชงคณภาพไดแก เกรดวชาคณตศาสตร, หมายเลขทะเบยนรถจกรยานยนต,

หมายเลขโทรศพท, เลขประจำตวประชาชน, ขนาดรองเทาของนกเรยน..3 ตอบขอ 3)แนวคด เนองจากขอมลนเกบจากนกเรยนทกคนในหอง ไมไดเกบจากกลมตวอยาง จงถอ

เปนขอมลปฐมภม แตจำแนกแยกโดยใชผลการประเมน ดเยยม ด พอใช ตองแกไขตรงนถอเปนขอมลเชงคณภาพ

..4 ตอบขอ 4)แนวคด สถตเปนวทยาศาสตร ความเชอไมมผลตอสถต

..9.

www.educasy.com

...

102

...

..

หลงการยทธ สดสน เลอดรนหลงแมทพสง สำรวจ ตรวจเสยหาย

นบทวถง ครงทพแลว แคลวอนตรายสบเทาทายหาสองศนยเพมพนผล

หนงในเกา กบแปดรอย ตองยอยยบหายใจผงบ หลบอยขาง ทางสถลหนงในหก นอนนง ไมตงสกลธทงลตน หนทพ กบเปนเชลย

อทาหรณ ตอนน ชเตอนใจผมกใหญ ใฝรกราน เปนพาลเผยหาประโยชน กำไร ไมไดเลย

เชญทานเฉลย กำลงพล แตตนเอย.

..

103

...

....

CHAPTER

. 10. การวเคราะหขอมลเบองตน

..

▷▷ M20016

.

กอนศกษารายละเอยดเกยวกบการวเคราะหขอมลเบองตน ตองทำความรจกคำวา "ตวแปร" กอน

ตวแปร (variable) หมายถงลกษณะของประชากรซงสามารถเปลยนคาได ไมวาจะเปนเชงปรมาณหรอเชงคณภาพ

เชน จำนวนสมาชกในครอบครว เปนตวแปรเพราะสามารถเปลยนคาไดซงอาจเปน 1 , 2 , 3 , . . .

เพศ เปนตวแปรเพราะสามารถเปลยนคาไดซงอาจเปนชาย , หญง

สถานภาพสมรส เปนตวแปรเพราะสามารถเปลยนคาไดซงอาจเปนโสด สมรส หยา

10.1 การแจกแจงความถของขอมล

..

พจาณาตวอยางสมมตตอไปน จากคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชน ม.6 กลมหนงจำนวน 20 คน เปนดงน

6, 8, 11, 13, 13, 14, 15, 15, 16, 16

16, 16, 17, 18, 20, 21, 23, 24, 24, 28

เมอนำขอมลนมาเขยนเปนตารางแจกแจงความถจะไดดงน

..10.

www.educasy.com

...

104

...

..

อนตร ความถ ความถ ความถ ความถ รอยละ ขอบลาง ขอบบน จดกงภาคชน ( f ) สมพทธ สะสม สะสม ความถสะสม กลางชน

สมพทธ สมพทธ5 − 9 2 0.10 2 0.10 10 4.5 9.5 7

10 − 14 4 0.20 6 0.30 30 9.5 14.5 12

15 − 19 8 0.40 14 0.70 70 14.5 19.5 17

20 − 24 5 0.25 19 0.95 95 19.5 24.5 22

25 − 29 1 0.05 20 1.00 100 24.5 29.5 24

อนตรภาคชน หมายถงชวงชนของขอมล (คะแนน) ทถกแบงเปนชวง ๆชนบนสดเรยกเปนอนตรภาคชนท 1ชนถดลงมาเรยกเปนอนตรภาคชนท 2 , 3 , 4 , . . . ตามลำดบ

ความถ ( f ) หมายถงจำนวนคน สตว สงของ ในอนตรภาคชนนน ๆความถสมพทธ หมายถงความถชนนน ÷ ผลรวมความถทงหมด

เชนจากตารางนจะไดวา

ความถสมพทธชนท 1 =2

20= 0.10


20= 0.20


20= 0.40


20= 0.25


20= 0.05

..10


..

105

...

..

ความถสะสม หมายถงผลรวมความถของอนตรภาคชนนน ๆ กบชนทตำกวาทงหมด


ความถสะสมชนท 1 = 2

ความถสะสมชนท 2 = 2 + 4 = 6




ความถสะสมสมพทธ หมายถงความถสะสมชนนน ÷ ผลรวมความถทงหมดเชนจากตารางนจะไดวา

ความถสะสมสมพทธชนท 1 =2

20= 0.10


20= 0.30


= 0.70


= 0.95


= 1.00

รอยละความถสะสมสมพทธ หมายถงความถสะสมสมพทธชนนน ×100


รอยละความถสะสมสมพทธชนท 1 = 0.10 × 100 = 10





..10.

www.educasy.com

...

106

...

..

ขอบลาง (Lower boundary)= (คาตำสดชนนน + คาสงสดชนตำกวาทตดกน) ÷2

ขอบบน (Upper boundary)= (คาสงสดชนนน + คาตำสดชนสงกวาทตดกน) ÷2

เชนจากอนตราภาคชนท 2 ของตารางนจะไดวา

ขอบลาง = 10 + 92

= 9.5

ขอบบน =14 + 15

2= 14.5

จดกงกลางชน = (ขอบลาง + ขอบบน) ÷2

เชนจากอนตราภาคชนท 2 ของตารางนจะไดวา

จดกงกลางชน =9.5 + 14.5

2= 12

ความกวางอนตรภาคชน (I) = ขอบบน − ขอบลางเชนจากอนตราภาคชนท 2 ของตารางนจะไดวา

ความกวางอนตรภาคชน (I) = 14.5 − 9.5 = 5

ฝกทำ. จงเตมขอมลของตารางแจกแจงความถตอไปนใหสมบรณ ..▷▷ M20017

อนตร ความถ ความถ ความถ ความถ รอยละ ขอบลาง ขอบบน จดกงภาคชน ( f ) สมพทธ สะสม สะสม ความถสะสม กลางชน

สมพทธ สมพทธ5 − 9 2

10 − 14 4

15 − 19 8

20 − 24 5

25 − 29 1

เฉลย ดในตารางในหวขอ 10.1

..10


..

107

...

..5 ..M10099 (แนว O-NET) ในการสำรวจอายของคนในหมบานแหงหนงเปนดงน

อาย (ป) ความถ (คน) ความถสมพทธ0 − 10 10

11 − 20 25

21 − 30 35

31 − 40 x y

41 − 50 40

51 − 60 20 0.10

61 − 70 15

71 − 80 3

81 − 90 2

คา y ในตารางแจกแจงความถสมพทธเทากบเทาใด

..10.

www.educasy.com

...

108

...

..6 ..M10100 (แนว O-NET) ขอมลชดหนงมบางสวนถกนำเสนอในตารางตอไปน

อนตรภาคชน ความถ ความถสะสม ความถสมพทธ2 − 6

7 − 11 11 0.2

12 − 16 14

17 − 21 6 0.3

ชวงคะแนนใดเปนชวงคะแนนทมความถตำสด

1. 2 − 6 2. 7 − 11 3. 12 − 16 4. 17 − 21

..10


..

109

...

10.2 การแจกแจงความถโดยใชกราฟ

..

▷▷ M20018

.

10.2.1 ฮสโทแกรมฮสโทแกรมมลกษณะเปนรปสเหลยมมมฉากวางเรยงตอกนบนแกนนอน โดย

มแกนนอนแทนคาของตวแปร ความกวางของรปสเหลยมมมฉากแทนความกวางของอนตรภาคชน ตวอยางเชน จากตารางแจกแจงความถดานลาง

คะแนนสอบ ขอบลาง - ขอบบน จำนวนนกเรยน (คน)201 − 300 200.5 − 300.5 2

301 − 400 300.5 − 400.5 11

401 − 500 400.5 − 500.5 18

501 − 600 500.5 − 600.5 15

601 − 700 600.5 − 700.5 10

701 − 800 700.5 − 800.5 4

สามารถเขยนเปนฮสโทแกรมไดดงน

..3

.

6

.

9

.

12

.

15

.

18

.

f (จำนวนนกเรยน)

.200.5

.300.5

.400.5

.500.5

.600.5

.700.5

.800.5

. x (คะแนนสอบ)

..10.

www.educasy.com

...

110

...

..

▷▷ M20019

.

10.2.2 แผนภาพตน − ใบพจาณาตวอยางสมมตตอไปน จากคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชน

ม.6 กลมหนงจำนวน 12 คน เปนดงน

3, 5, 7, 13, 14, 16, 20, 21, 22, 22, 30, 31

เมอนำขอมลนมาเขยนเปนแผนภาพตน − ใบ จะไดดงน

0 3 5 7

1 3 4 6

2 0 1 2 2

3 0 1

ลำตน ใบ

ขอมลทอยในบรรทดท 1 ไดแก 3, 5, 7

ขอมลทอยในบรรทดท 2 ไดแก 13, 14, 16

ขอมลทอยในบรรทดท 3 ไดแก 20, 21, 22, 22

ขอมลทอยในบรรทดท 4 ไดแก 30, 31

พจารณาตวอยางตอไปจากแผนภาพตน − ใบ ทกำหนดดานลาง

ขอมลชดท 1 ขอมลชดท 28 6 4 3 4 9

8 6 6 4 2 2 4

5 0

จะไดวา ขอมลชดท 1 ไดแก 34, 36, 38, 46, 46, 48

ขอมลชดท 2 ไดแก 34, 39, 42, 42, 44, 50

..10


..

111

...

10.3 การวดตำแหนงทของขอมล

..

▷▷ M20020

.

เปอรเซนไทล เปนคาทแบงจำนวนขอมลออกเปน 100 สวนเทา ๆ กน เมอเรยงขอมลจากคานอยไปมาก สำหรบขอมลชดหนง ๆ แลว จะมคาเปอรเซนไทลอย 99 คาไดแกเปอรเซนไทลท 1(P1) , เปอรเซนไทลท 2(P2) , . . . , เปอรเซนไทลท 99(P99)

(เรยงตามลำดบจากคานอยไปคามาก)

..

P1

.

P10

.

P20

.

P30

.

P40

.

P50

.

P60

.

P70

.

P80

.

P90

.

P99

.89 , 91 , 94 , 95 , 98 , 105 , 116 , 122 , 131

เพมเตม : ควอรไทล เปนคาทแบงจำนวนขอมลออกเปน 4 สวนเทา ๆ กน เมอเรยงขอมลจากคานอยไปคามาก สำหรบขอมลชดหนง ๆ แลว จะมคาควอรไทลอย 3 คาไดแก ควอรไทลท 1(Q1) , ควอรไทลท 2(Q2) , ควอรไทลท 3(Q3)

และ ควอรไทลท 1(Q1) = เปอรเซนไทลท 25(P25)

ควอรไทลท 2(Q2) = เปอรเซนไทลท 50(P50)

ควอรไทลท 3(Q3) = เปอรเซนไทลท 75(P75)

..89 , 91 , 94 , 95 , 98 , 105 , 116 , 122 , 131.

P25

.

P50

.

P75

.

Q1

.

Q2

.

Q3

.

89 , 91 , 94 , 95 , 98 , 105 , 116 , 122 , 131

..10.

www.educasy.com

...

112

...

..

▷▷ M20021

.

การหาคาเปอรเซนไทล จากขอมลทไมไดแจกแจงความถขนท 1 เรยงขอมลจากนอยไปมากขนท 2 หาตำแหนงเปอรเซนไทลทตองการจาก

..ตำแหนงของ Pr = (N + 1)( r

100

)เมอ N คอจำนวนตวขอมลทงหมด.

ขนท 3 หากตำแหนงทคำนวณไดเปนจำนวนเตม

..Pr = ขอมลตำแหนงทคำนวณไดจากขนท 2

หากตำแหนงทคำนวณไดไมเปนจำนวนเตม

..Pr = (ขอมลตำแหนงท x) + z(ขอมลตำแหนงท y − ขอมลตำแหนงท x)

เมอ x คอคาของจำนวนเตมของตำแหนงทคำนวณไดy = x + 1

z คอคาของทศนยมของตำแหนงทคำนวณไดเชน สมมตคำนวณตำแหนงได 6.23

จะไดวา x = 6 , y = 6 + 1 = 7 , z = 0.23

..10


..

113

...

..

ตวอยาง จากขอมลตอไปน

89 , 91 , 94 , 95 , 95 , 105 , 116 , 118 , 131

จงหาคาของเปอรเซนไทลท 28 (P28)

ตอบ 93.4

แนวคด ขนท 1 เรยงขอมลจากนอยไปมากเนองจากขอมลเรยงจากนอยไปมากอยแลว จงหาเปอรเซนไทล ท 28

(P28) ไดทนท89 , ..91 , 94 ., 95 , 95 , 105 , 116 , 118 , 131

ขนท 2 หาตำแหนงของ P28

จะได ตำแหนงของ P28 = (N + 1)( r

100

)= (9 + 1)

(28

100

)= 2.8

เนองจากตำแหนงทคำนวณไดไมเปนจำนวนเตม จะไดวาx = คาของจำนวนเตมของตำแหนงทคำนวณได = 2

y = x + 1 = 2 + 1 = 3

z = คาของทศนยมของตำแหนงทคำนวณได = 0.8

สดทาย หา P28

จาก คา Pr = ขอมลตำแหนงท x + z(ขอมลตำแหนงท y − ขอมลตำแหนงท x)คา P28 = ขอมลตำแหนงท 2 + (0.8)(ขอมลตำแหนงท 3 − ขอมลตำแหนงท 2)คา P28 = 91 + (0.8)(94 − 91)

คา P28 = 93.4

..10.

www.educasy.com

...

114

...

..7 ..M10101 (แนว O-NET) พจารณาขอมลตอไปน

10 , 5 , 6 , 9 , 12 , 15 , 8 , 18

คาของ P60 เทากบขอใดตอไปน

1. 10.0 2. 10.4 3. 10.8 4. 12.0

..8 ..M10102 (แนว O-NET) คะแนนของผเขาสอบ 15 คน เปนดงน

45 , 54 , 59 , 60 , 62 , 64 , 65 , 68 , 71 , 73 , 73 , 75 , 76 , 80 , 81

ถาเกณฑในการสอบผานคอตองไดคะแนนไมตำกวาเปอรเซนไทลท 60 แลว ขอใดตอไปนเปนคะแนนตำสดของผทสอบผาน

1. 68 คะแนน 2. 70 คะแนน 3. 72 คะแนน 4. 73 คะแนน

..10


..

115

...

..9 ..M10103 (แนว O-NET) ขอมลชดหนงม 9 จำนวน ประกอบดวยจำนวนตอไปน

4 , 8 , 8 , 9 , 14 , 15 , 18 , 22 , 25

ควอรไทลทสามของขอมลชดนมคาเทากบเทาใด

..10 ..M10104 (แนว O-NET) คะแนนสอบวชาคณตศาสตรนกเรยนหองหนงแสดงดวยแผนภาพตนใบไดดงน

3 0 4 9

4 0 7 7 8 8 8

5 0 0 1 2 2 3 4 6 6 7 7 8 8 9

6 0 2 3 3 6 8 9

7 0

เปอรเซนตไทลท 50 ของคะแนนสอบนเทากบคะแนนเทาใด

..10.

www.educasy.com

...

116

...

..11 ..M10105 (แนว O-NET) ขอมลชดหนงประกอบดวย 19 จำนวนตอไปน

6 8 9 12 12 15 15 16 16 19

20 20 21 22 24 24 25 30 30

ควอไทลท 3 มคาตางจากเปอรเซนไทลท 45 เทากบขอใดตอไปน

1. 2 2. 4 3. 6 4. 8

..12 ..M10106 (แนว O-NET) ขอมลชดหนงม 5 จำนวน ถาเปอรเซนตไทลท 25 เปอรเซนตไทลท 50 และเปอรเซนตไทลท 75 เทากบ 18 , 25 และ 28 ตามลำดบ แลวผลรวมของขอมลชดนเทากบขอใด

1. 100 2. 113 3. 117 4. 120

..10


..

117

...

10.4 การวดคากลางของขอมล

..

▷▷ M20022

.

คากลางของขอมล คอคาทใชเปนตวแทนของขอมลทงหมดไดการหาคากลางของขอมลสามารถทำไดหลายวธ แตคากลางทนยมใชม 3 ชนดคอ

คาเฉลยเลขคณต , มธยฐาน และฐานนยม

10.4.1 คาเฉลยเลขคณต (Arithmatic mean)คาเฉลยเลขคณตของประชากรจะใชสญลกษณแทนดวย µ

คาเฉลยเลขคณตของกลมตวอยางจะใชสญลกษณแทนดวย x

ในทนจะเนนหาคาเฉลยเลขคณตของกลมตวอยางเปนหลกการหาคาเฉลยเลขคณตแบงไดเปน 4 กรณยอยไดแกก. สำหรบขอมลไมแจกแจงความถ คาเฉลยเลขคณตหาไดจากสมการ

..x =

N∑

i=1xi

Nเขยนยอเปน x =

∑ xiN

เมอ x คอคาเฉลยเลขคณตxi คอคาของขอมลตวท i

∑ xi คอผลรวมของขอมลทกตวN คอจำนวนตวขอมลทงหมดทม

..10.

www.educasy.com

...

118

...

..

▷▷ M20023

.

ข. สำหรบขอมลแจกแจงความถ คาเฉลยเลขคณตหาไดจากสมการ

..x =

k∑

i=1fixi

k∑

i=1fi

เขยนยอเปน x =∑ fixi

∑ fi

เมอ xi คอจดกงกลางอนตรภาคชนท i

fi คอความถหรอจำนวนขอมลชนท i∑ fi คอผลรวมความถทกอนตรภาคชน

∑ fixi คอผลรวมของผลคณความถกบจดกงกลางชนทกอนตรภาคชน

..▷▷ M20024ค. คาเฉลยเลขคณตถวงนำหนก (ใชในกรณทขอมล แตละคามความสำคญไม

เทากน)

ให w1 , w2 , w3 , . . . , wk เปนความสำคญหรอนำหนกถวงของขอมลx1 , x2 , x3 , . . . , xk ตามลำดบ จะไดวา

..x =

k∑

i=1wixi

k∑

i=1wi

เขยนยอเปน x =∑ wixi

∑ wi

เมอ ∑ wi คอผลรวมนำหนกถวงขอมล∑ wixi คอผลรวมของผลคณนำหนกถวงกบขอมลนน ๆ

..10


..

119

...

..

▷▷ M20025

.

ง. คาเฉลยเลขคณตรวม

ถา x1 , x2 , . . . , xk เปนคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1, 2, . . . , k

N1 , N2 , . . . , Nk เปนจำนวนคาจากการสงเกตในขอมลชดท 1, 2, . . . , k

..xรวม =

k∑

i=1Nixi

k∑

i=1Ni

เขยนยอเปน xรวม =∑ Nixi

∑ Ni

เมอ ∑ Ni คอผลรวมจำนวนขอมลทกกลมยอย∑ Nixi คอผลรวมของผลคณจำนวนขอมลกบคาเฉลยแตละกลมยอย

..13 ..M10107 จงหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลดบตอไปน

2 , 3 , 3 , 5 , 6 , 5 , 8 , 8

..14 ..M10108 (แนว O-NET) ความสมพนธระหวางกำไร (y) และราคาทน (x) ของสนคาในรานแหงหนงเปนไปตามสมการ y = 2x + 4 ถาราคาทนสนคา 5 ชนดคอ31 , 34 , 35 , 36 และ 39 บาทแลว คาเฉลยเลขคณตของกำไรในการขายสนคา 5 ชนดนเทากบขอใดตอไปน

1. 70 บาท 2. 72 บาท 3. 74 บาท 4. 76 บาท

..10.

www.educasy.com

...

120

...

..15 ..M10109 (แนว O-NET) ตารางแจกแจงความถ แสดงจำนวนนกเรยนในชวงอายตาง ๆของนกเรยนกลมหนงเปนดงน

ชวงอาย(ป) ความถ (คน)1 − 5 4

6 − 10 9

11 − 15 2

16 − 20 5

อายเฉลยของนกเรยนกลมน เทากบขอใดตอไปน

1. 9 ป 2. 10 ป 3. 10.5 ป 4. 11.5 ป

..16 ..M10110 (แนว O-NET) ในการทดสอบความถนดของนกเรยนกลมหนง มตารางแจกแจงความถของผลการสอบดงน

ชวงคะแนน ความถ (คน)0 − 4 4

5 − 9 5

10 − 14 x

15 − 19 7

ถาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 11 แลวนกเรยนทสอบไดคะแนนในชวง 5 − 14

คะแนน มจำนวนเทากบขอใดตอไปน

1. 9 2. 14 3. 16 4. 19

..10


..

121

...

..17 ..M10111 (แนว O-NET) ผลการสอบวชาคณตศาสตรของนายคณต จำนวน 4 รหสวชาเปนดงน

รหสวชา ค41101 ค42101 ค41102 ค41202จำนวนหนวยกต 1 1.5 1 1.5

เกรด 2.5 3 3.5 2

เกรดเฉลยของวชาคณตศาสตรของนายคณตใน 4 รหสวชานเทากบขอใดตอไปน

1. 2.70 2. 2.75 3. 2.80 4. 2.85

..18 ..M10112 ผลการสอบวชาเคมของนกเรยน 2 กลม ปรากฏผลดงตาราง จงหาคะแนนสอบเฉลยของนกเรยนทงสองกลมน

จำนวนคน คาเฉลยเลขคณตกลมท 1 5 18

กลมท 2 7 12

..19 ..M10113 (มช. 56) หางสรรพสนคาแหงหนงมลกจางประจำและลกจางชวคราว โดยลกจางประจำได คาจางเฉลยเลขคณต 400 บาทตอคนตอวน ลกจางชวคราวไดคาจางเฉลยเลขคณต 300 บาทตอคนตอวน ถาจำนวนลกจางชวคราวเปน 3 เทาของจำนวนลกจางประจำแลว ลกจางของหางสรรพสนคาแหงนมคาจางเฉลยเลขคณตตอคนตอวนเทาไร

..10.

www.educasy.com

...

122

...

..20 ..M10114 (แนว O-NET) อายเฉลยของคนกลมหนงเทากบ 31 ป ถาอายเฉลยของผหญงในกลมนเทากบ 35 ป และอายเฉลยของผชายในกลมนเทากบ 25 ป แลวอตราสวนระหวางจำนวนผชายตอจำนวนผหญงในกลมเทากบขอใดตอไปน

1. 2 : 3 2. 2 : 5 3. 3 : 2 4. 3 : 5

..21 ..M10115 (แนว O-NET) ชายคนหนงตกปลาทเลยงไวในกระชงเพอสงขายจำนวน 500 ตวซงมนำหนกโดยเฉลยตวละ 700 กรม ในจำนวนนเปนปลาจากกระชงทหนง 300 ตว และจากกระชงทสอง 200 ตว ถาปลาในกระชงทหนงมนำหนกเฉลยตอตวมากกวาในกระชงทสอง 50 กรม แลวปลาจากกระชงทสองมนำหนกเฉลยตวละกกรม

..10


..

123

...

..

▷▷ M20026

.

10.4.2 มธยฐาน (Median)มธยฐาน คอขอมลทมตำแหนงอยกงกลางของขอมลทงหมดเมอเรยงขอมลจาก

คานอยไปคามาก หรอจากคามากไปหาคานอยขนตอนการหาคามธยฐานจากขอมลทไมไดแจกแจงความถขนท 1 เรยงลำดบขอมลจากคานอยไปหาคามาก หรอจากคามากไปหาคานอยขนท 2 หาตำแหนงของมธยฐาน จาก

..ตำแหนงของมธยฐาน =N + 1

2

เมอ N คอจำนวนตวขอมลทงหมดขนท 3 หากตำแหนงทคำนวณไดเปนจำนวนเตม

..มธยฐาน = ขอมลตำแหนงทคำนวณไดจากขนท 2 นน

หากตำแหนงทคำนวณไดไมเปนจำนวนเตม

..มธยฐาน = (ขอมลตำแหนงท x + ขอมลตำแหนงท y)÷ 2

เมอ x คอคาของจำนวนเตมของตำแหนงทคำนวณไดy = x + 1

เชนสมมตคำนวณตำแหนงได 6.5

จะไดวา x = 6 , y = 6 + 1 = 7

..10.

www.educasy.com

...

124

...

..22 ..M10116 คามธยฐานแตละขอยอยตอไปนมคาเทากบเทาใดก) 4, 9, 11, 17, 21, 26, 35

ข) 2, 4, 5, 7, 9, 10

ค) 10, 12, 12, 13, 16, 17, 22, 24, 29, 33, 49, 50, 67, 67, 67, 68, 69, 70, 71

1. ก) 17 , ข) 5 , ค) 29 2. ก) 17 , ข) 6 , ค) 33

3. ก) 17 , ข) 7 , ค) 29 4. ก) 17 , ข) 7 , ค) 33

..

▷▷ M20027

.

10.4.3 ฐานนยม (Mode)ฐานนยม คอคาของขอมลทมความถสงสด การหาคาฐานนยมสำหรบขอมลไม

แจกแจงความถ ใหถอหลกวา..ฐานนยม = ขอมลตวทซำกนบอยทสด

สำหรบขอมล 1 ชดใด ๆ อาจมฐานนยมไดหลายคา หรออาจไมมฐานนยมเลยกได

..23 ..M10117 คาฐานนยมแตละขอยอยตอไปนมคาเทากบเทาใดก) 3, 6, 2, 6, 5, 6, 4, 1, 1, 6

ข) 21, 13, 12, 6, 23, 23, 20, 19, 13

ค) 3, 4, 5, 8, 10

1. ก) 6 , ข) 13 , ค) − 2. ก) 6 , ข) 23 , ค) −3. ก) 6 , ข) − , ค) − 4. ก) 6 , ข) 13, 23 , ค) −

..10


..

125

...

..24 ..M10118 (แนว O-NET) ถาขอมลชดหนงประกอบดวย 10 , 12 , 15 , 13 และ 10

ขอความในขอใดตอไปนเปนเทจสำหรบขอมลชดน

1. มธยฐานเทากบ 12 2. ฐานนยมนอยกวา 12

3. ฐานนยมนอยกวาคาเฉลยเลขคณต 4. ไมมขอใดเปนเทจ

..25 ..M10119 (แนว O-NET) ขอมลชดหนงประกอบดวย 4 , 9 , 2 , 7 , 6 , 5 , 4 , 6 , 3 , 4

คากลางขอใดตอไปนมคานอยทสด

1. คาเฉลยเลขคณต 2. มธยฐาน3. ฐานนยม 4. มธยฐานและฐานนยม

..26 ..M10120 (แนว O-NET) กำหนดแผนภาพ ตน−ใบของขอมลชดหนง ดงน

0 3 7 5

1 6 4 3

2 0 2 1 2

3 0 1

สำหรบขอมลชดน คากลางขอใดตอไปนมคานอยทสด

1. คาเฉลยเลขคณต 2. มธยฐาน3. ฐานนยม 4. มธยฐานและฐานนยม

..10.

www.educasy.com

...

126

...

..27 ..M10121 (แนว O-NET) แผนภาพตน−ใบของขอมลชดหนงเปนดงน

2 0 0 3 5 8

3 1 4 4 6 7

4 3 3 5 7

5 1 2 2 2

6 3 5

พจารณาขอความตอไปนก. มธยฐานของขอมลชดนเทากบ 52 ข. ไมมฐานนยม

ขอใดตอไปนถกตอง

1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

..10


..

127

...

..28 ..M10122 (แนว O-NET) แผนภาพตน−ใบของนำหนกในหนวยกรมของไขไก 10 ฟอง เปนดงน

5 7 8

6 7 8 9

7 0 4 4 7

8 1

ขอสรปใดเปนจรง

1. ฐานนยมของนำหนกของไขไกมคาเทากบ 4 และ 7

2. คาเฉลยเลขคณตมคานอยกวามธยฐาน3. มไขไก 5 ฟอง มนำหนกนอยกวา 70 กรม4. ไขไกมนำหนกสงกวาฐานนยมมจำนวนมากกวาไขไกทมนำหนกเทากบฐานนยม

..29 ..M10123 (มช. 56) ขอมลชดหนงเรยงลำดบจากมากไปนอยไดเปน

12 , 9 , 6 , 6 , a , b , 3 , 3 , 2 , 1

ถามธยฐานและฐานนยมของขอมลชดนเปน 4 และ 3 ตามลำดบ a และ b มคาเทาใด

1. 3 และ 3 2. 5 และ 5

3. 3 และ 5 4. 5 และ 3

..10.

www.educasy.com

...

128

...

..30 ..M10124 (แนว O-NET) กำหนดใหขอมลชดหนงคอ

12 , 3 , x , 5 , 5

ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนมคาเทากบมธยฐาน แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 3 3. 5 4. 7

..31 ..M10125 (แนว O-NET) ในการแขงขนกฬามหาวทยาลยโลกครงท 24 ซงประเทศไทยเปนเจาภาพ มการสงรายชอนกกฬาจากประเทศไทย 379 คน มอายเฉลย 22 ป ถามการถอนตวนกกฬาไทยออก 4 คน ซงมอาย 24, 25, 25 และ 27 ป และมการเพมนกกฬาไทยอก 5

คน ซงมอายเฉลย 17 ป แลวอายเฉลยของนกกฬาจากประเทศไทยจะเทากบขอใดตอไปน

1. 21.6 ป 2. 21.9 ป 3. 22.0 ป 4. 22.2 ป

..10


..

129

...

..32 ..M10126 (แนว O-NET) สำหรบขอมลเชงปรมาณใด ๆ ทมคาสถตตอไปน คาสถตใดจะตรงกบคาของขอมลคาหนงเสมอ

1. ฐานนยม 2. คาเฉลยเลขคณต3. มธยฐาน 4. สวนเบยงเบนมาตรฐาน

..

▷▷ M20028

.

10.4.4 ขอสงเกตและหลกเกณฑสำคญในการใชคากลางชนดตางๆ1) การคำนวณหาคาเฉลยเลขคณตจะใชขอมลทก ๆ ตว แตมธยฐานและฐานนยม

ใชขอมลบางคาเทานน2) ถาขอมลบางคามคาสงหรอตำกวาขอมลอนมาก ๆ คาเฉลยเลขคณตจะเปนคา

กลางทไมเหมาะทจะเปนตวแทนของขอมล3) ถา การแจกแจงความถ ของขอมลประกอบดวยอนตรภาคชน เปด จะ ไม

สามารถหาคาเฉลยเลขคณต แตอาจหามธยฐานหรอฐานนยมได4) ถาความกวางของแตละอนตรภาคชนไมเทากน อาจทำใหคาเฉลยเลขคณต

หรอฐานนยมคลาดเคลอนไปจากทควรจะเปน แตจะไมกระทบกระเทอนการหามธยฐาน5) มธยฐานและฐานนยมหาจากกราฟได แตคาเฉลยเลขคณตหาจากกราฟไมได6) ในกรณทขอมลเปนขอมลเชงคณภาพ จะหาไดเฉพาะฐานนยมเทานน จะหา

คาเฉลยเลขคณตและมธยฐานไมได7) ในสถตชนสงคาเฉลยเลขคณตมทใชมาก สวนมธยฐานกบฐานนยมแทบไมมท

ใช

..33 ..M10127 (มช. 56) ในการพจารณาคากลางของขอมลเชงปรมาณตอไปน

6 , 31 , 9 , 8 , 4 , 9 , 4 , 13 , 10 , 10

ควรใชคาในขอใดจงจะเหมาะสม

1. คาเฉลยเลขคณต 2. มธยฐาน 3. ฐานนยม 4. พสย

..10.

www.educasy.com

...

130

...

..34 ..M10128 (แนว O-NET) ขอมลตอไปนแสดงนำหนกในหนวยกโลกรมของนกเรยนกลมหนง

41 , 88 , 46 , 42 , 43 , 49 , 44 , 45 , 43 , 95 , 47 , 48

คากลางในขอใดเปนคาทเหมาะสมทจะเปนตวแทนของขอมลชดน

1. คาเฉลยเลขคณต 2. ฐานนยม3. มธยฐาน 4. เหมาะสมทกขอ

10.5 การวดการกระจายของขอมล

..

▷▷ M20029

.

10.5.1 พสย (Range)พสย คอคาการกระจายทหาไดจากการนำขอมลทมคาสงสดลบดวยขอมลทมคา

ตำสด การหาคาพสยสำหรบขอมลไมแจกแจงความถ หาไดจากสมการ

พสย = xmax − xmin

เมอ xmax = ขอมลทมคาสงสดxmin = ขอมลทมคาตำสด

..35 ..M10129 (แนว O-NET) ความสงในหนวยเซนตเมตรของนกเรยนกลมหนงซงม 10 คน เปนดงน

155 , 157 , 158 , 158 , 160 , 161 , 163 , 165 , 166

ถามนกเรยนเพมขนอกหนงคนซงมความสง 158 เซนตเมตร แลวคาสถตใดตอไปนไมเปลยนแปลง

1. คาเฉลยเลขคณต 2. พสย3. ฐานนยม 4. สวนเบยงเบนมาตรฐาน

..10


..

131

...

..36 ..M10130 (มช. 55) ขอมลตอไปนเปนแผนภาพตน − ใบของผลผลตตอแปลง (กโลกรม)ของการทดลองปลกขาวพนธหนง

หลกสบ หลกหนวย1 8 9

2 4 4 5

3 0 3 6 8

4 3

ขอใดสอดคลองกบขอมลขางตน

1. พสยเทากบ 30.5 กก. 2. ฐานนยมเทากบ 38 กก.3. มธยฐานเทากบ 25 กก. 4. คาเฉลยเลขคณตเทากบ 29 กก.

..10.

www.educasy.com

...

132

...

..37 ..M10131 (แนว O-NET) สวนสงของพนอง 2 คนมพสยเทากบ 12 เซนตเมตร มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 171 เซนตเมตร ขอใดตอไปนเปนสวนสงของพหรอนองซงมสวนสงนอยกวา

1. 165 เซนตเมตร 2. 172 เซนตเมตร3. 175 เซนตเมตร 4. 177 เซนตเมตร

..38 ..M10132 (แนว O-NET) ครอบครวหนงมบตร 4 คน บตร 2 คนมนำหนกเทากนและมนำหนกนอยกวาบตรอก 2 คน ถานำหนกของบตรทง 4 คนมคาฐานนยม มธยฐาน และพสยเทากบ 45 , 47.5 และ 7 กโลกรมตามลำดบ แลวคาเฉลยเลขคณตของนำหนกของบตรทง4 คนมคาเทากบขอใดตอไปน

1. 46 กโลกรม 2. 47 กโลกรม 3. 48 กโลกรม 4. 49 กโลกรม

..10


..

133

...

..

▷▷ M20030

.

10.5.2 สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation , S.D.)สวนเบยงเบนมาตรฐาน คอคาทใชวดการกระจายของขอมลทไดจากการหาราก

ทสองทเปนบวกของคาเฉลยของกำลงสองของผลตางระหวางคาของขอมลแตละคากบคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนน

การหาสวนเบยงเบนมาตรฐานจากขอมลทไมแจกแจงความถ หาไดจากสมการ

S.D. =

√√√√√ N∑

i=1(xi − x)2

Nหรอ S.D. =

√√√√√ N∑

i=1x2

i

N− x2

เขยนยอเปน S.D. =

√∑ (xi − x)2

Nหรอ S.D. =

√∑ x2

iN

− x2

เมอ S.D. คอสวนเบยงเบนมาตรฐาน (อาจใชสญลกษณ S กได)xi หรอ x คอคาของขอมลแตละคา

x คอคาเฉลยเลขคณตN คอจำนวนตวของขอมล

ตวอยาง จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลตอไปน

1 , 3 , 5 , 7 , 9

ขนท 1 หาคาเฉลยเลขคณต (x)

จาก x =∑ xi

N

x =1 + 3 + 5 + 7 + 9

5x = 5

..10.

www.educasy.com

...

134

...

..

ขนท 2 หาสวนเบยงเบนมาตรฐาน (S.D.)

จาก S.D. =

√∑ x2

iN

− x2

จะได S.D. =

√12 + 32 + 52 + 72 + 92

5− 52

S.D. =

√165

5− 25

S.D. = 2.83

หรอใชสตร S.D. =

√∑ (xi − x)2

N

จะได S.D. =

√(1 − 5)2 + (3 − 5)2 + (5 − 5)2 + (7 − 5)2 + (9 − 5)2

5S.D. = 2.83

..39 ..M10133 (มช. 55) "ดวยนโยบายการสงเสรมการทองเทยวเชงอนรกษ สงผลใหแตละครวเรอนในหมบานมรายไดสงในระดบทใกลเคยงกน" ขอใดสอดคลองกบขอความขางตน

1. รายไดเฉลยมคามาก สวนเบยงเบนมาตรฐานมคามาก2. รายไดเฉลยมคามาก สวนเบยงเบนมาตรฐานมคานอย3. รายไดเฉลยมคานอย สวนเบยงเบนมาตรฐานมคามาก4. รายไดเฉลยมคานอย สวนเบยงเบนมาตรฐานมคานอย

..10


..

135

...

..

▷▷ M20031

.

10.5.3 ความสมพนธระหวางการแจกแจงความถ คากลาง และคาการกระจายของขอมล

สมมตขอมลคะแนนสอบชดหนง หากเปนการสอบปกต คนทไดคะแนนปานกลางจะมจำนวนมาก คนทไดคะแนนนอยหรอมากกวาปกตจะมจำนวนนอยดงตาราง

คะแนนสอบ (x) จำนวนคน ( f )

0 − 19 8

20 − 39 15

40 − 59 60

60 − 79 13

80 − 99 4 ...x

.

f

เมอเขยนกราฟความถ จะไดเสนโคงรประฆงควำสมมาตร เรยก เสนโคงปกตหากเปนการสอบซงคนจำนวนมากไดคะแนนตำกวาปกต ดงตาราง


0 − 19 15

20 − 39 52

40 − 59 16

60 − 79 13

80 − 99 4 ...x

.

f

เมอเขยนกราฟความถ จะไดเสนโคงดงรป เรยก เสนโคงเบลาดทางขวาหากเปนการสอบซงคนจำนวนมากไดคะแนนสงกวาปกต ดงตาราง


0 − 19 2

20 − 39 10

40 − 59 18

60 − 79 58

80 − 99 12 ...x

.

f

เมอเขยนกราฟความถ จะไดเสนโคงดงรป เรยก เสนโคงเบลาดทางซาย

..10.

www.educasy.com

...

136

...

..

▷▷ M20032

.

สมบตสำคญของเสนโคงแตละอยาง

1) เสนโคงปกตคะแนนซงอยตรงจดกงกลาง

= x = มธยฐาน = ฐานนยม...

x.

f

.x

มธยฐานฐานนยม

2) เสนโคงเบลาดทางขวาฐานนยม < มธยฐาน < x

...x

.

f

.

ฐานนยม

.

มธยฐาน

.

x

3) เสนโคงเบลาดทางซายx < มธยฐาน < ฐานนยม

...x

.

f

.

ฐานนยม

.

มธยฐาน

.

x

..10


..

137

...

..

▷▷ M20033

.

แผนภาพกลอง เปนแผนภาพทถกสรางขนมาเพอวดการกระจายของขอมล โดยแสดงรายละเอยดคาสถต 5 คาดงรป

..

คาตำสด

.

Q1

.

Q2

.

Q3

.

คาสงสด

สงทตองทราบเกยวกบแผนภาพกลอง1. ถาความกวางของกลอง (Box) มากแลวขอมลมการกระจายมาก

ถาความกวางของกลอง (Box) นอยแลวขอมลมการกระจายนอย2. จากแผนภาพกลองเราสามารถพจารณาลกษณะการกระจายขอมลไดดงน

2.1 ถามธยฐานหรอควอไทลทสอง (Q2) อยตรงกลางของ Box จะไดวาขอมลมการกระจายแบบปกตดงรป

...Q1

.Q2

.Q3

.

xมธยฐานฐานนยม

2.2 ถามธยฐานหรอควอไทลทสอง (Q2) อยทางดานซายของ Box แลวขอมลมการกระจายแบบเบลาดทางขวา ดงรป

...Q1

.Q2

.Q3

.

ฐานนยม

.

x

.

มธยฐาน

2.3 ถามธยฐานหรอควอไทลทสอง (Q2) อยทางดานขวาของ Box แลวขอมลมการกระจายแบบเบลาดทางซาย ดงรป

...Q1

.Q2

.Q3

.

ฐานนยม

.

x

.

มธยฐาน

..10.

www.educasy.com

...

138

...

..40 ..M10134 (แนว O-NET) คะแนนสอบของนกเรยน 200 คน นำเสนอโดยใชแผนภาพกลองดงน

..10. 12. 16. 18. 24

ขอใดเปนจรง

1. จำนวนนกเรยนททำได 12 ถง 16 คะแนนมคาเทากบจำนวนนกเรยนททำได 16 ถง 18

คะแนน2. จำนวนนกเรยนททำได 12 ถง 18 คะแนนมคาเทากบจำนวนนกเรยนททำได 18 ถง 24

คะแนน3. จำนวนนกเรยนททำได 10 ถง 12 คะแนนมคานอยกวาจำนวนนกเรยนททำได 18 ถง 24

คะแนน4. จำนวนนกเรยนททำได 12 ถง 16 คะแนนมคามากกวาจำนวนนกเรยนททำได 16 ถง 18

คะแนน

..10


..

139

...

..41 ..M10135 (แนว O-NET) จากการทดสอบนกเรยนจำนวน 100 คน ใน 2 รายวชา แตละรายวชามคะแนนเตม 150 คะแนน ถาผลการทดสอบทงสองรายวชาเขยนเปนแผนภาพกลองไดดงน

..0.

20.

40.

60.

80.

100.

120.

140.

คะแนนสอบรายวชาท 2.

คะแนนสอบรายวชาท 1

ขอใดตอไปนถก

1. คะแนนสอบทงสองรายวชามการแจกแจงปกต2. คะแนนสงสดทอยในกลม 25% ตำสดของผลการสอบรายวชาท 1 นอยกวาคะแนนสงสดท

อยในกลม 25% ตำสดของผลการสอบรายวชาท 2

3. จำนวนนกเรยนทไดคะแนนไมเกน 80 คะแนนในรายวชาท 1 มากกวาจำนวนนกเรยนทไดคะแนนไมเกน 80 คะแนน ในรายวชาท 2

4. จำนวนนกเรยนทไดคะแนนระหวาง 60 − 80 คะแนนในการสอบรายวชาท 2 นอยกวาจำนวนนกเรยนทไดคะแนนในชวงเดยวกน ในการสอบรายวชาท 1

..10.

www.educasy.com

...

140

...

..42 ..M10136 (แนว O-NET) จากแผนภาพกลองของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนจำแนกตามเพศเปนดงน

..0.

100.

คะแนนสอบ.

คะแนนสอบของนกเรยนชาย.

คะแนนสอบของนกเรยนหญง

ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง

1. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชาย มการกระจายเบขวา2. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญง มการกระจายมากกวาคะแนนสอบวชา

คณตศาสตรของนกเรยนชาย3. คะแนนสอบเฉลยวชาคณตศาสตรของนกเรยนชาย สงกวาคะแนนสอบเฉลยวชา

คณตศาสตรของนกเรยนหญง4. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญง มการกระจายเบขวา

..10


..

141

...

.. โจทยเพมเตม..1 ..M10137 (แนว O-NET) ใหตารางแจกแจงความถสะสมของคะแนนของนกเรยนหองหนง

เปนดงน

ชวงคะแนน ความถสะสม30 − 39 1

40 − 49 11

50 − 59 18

60 − 69 20

ขอสรปในขอใดตอไปนผด

1. นกเรยนทไดคะแนน 40 − 49 คะแนน มจำนวน 10 คน2. นกเรยนสวนใหญไดคะแนน 40 − 49 คะแนน3. นกเรยนทไดคะแนนมากกวา 53 คะแนน มจำนวนนอยกวานกเรยนทไดคะแนน 40 − 49

คะแนน4. นกเรยนทไดคะแนนนอยกวา 47 คะแนน มจำนวนมากกวานกเรยนทไดคะแนนมากกวา

50 คะแนน..2 ..M10138 (แนว O-NET) คะแนนสอบวชาคณตศาสตรนกเรยนหองหนงแสดงดวยแผนภาพ

ตน − ใบไดดงน

3 0 4 9

4 0 7 7 8 8 8

5 0 0 1 2 2 3 3 6 6 7 7 8 8 9

6 0 2 3 3 6 8 9

7 0 1

เปอรเซนตไทลท 50 ของคะแนนสอบนเทากบเทาใด

..10.

www.educasy.com

...

142

...

..3 ..M10139 (แนว O-NET) ขอมลชดหนงม 10 จำนวนประกอบดวยจำนวนตอไปน

4 , 8 , 8 , 9 , 14 , 15 , 18 , 18 , 22 , 25

ควอรไทลทหนงของขอมลชดนมคาเทากบเทาใด..4 ..M10140 (แนว O-NET) ขอมลชดหนงม 5 จำนวน ถาควอไทลทหนง ควอไทลทสอง และ

ควอไทลทสามเทากบ 20 , 25 และ 30 ตามลำดบ แลวคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบขอใด1. 23 2. 23.5 3. 24.0 4. 25.0

..5 ..M10141 (แนว O-NET) นกเรยนกลมหนงจำนวน 80 คนซงม ดำ แดง และชมพ รวมอยดวย ปรากฏผลการสอบดงน

ดำไดคะแนนตรงกบเปอรเซนไทลท 75

แดงไดคะแนนตรงกบควอรไทลทสองชมพไดคะแนนเปนลำดบท 30 เมอเรยงคะแนนจากมากไปหานอย

ขอใดตอไปนเปนการเรยงรายชอของผทไดคะแนนนอยไปหาผทไดคะแนนมาก1. ชมพ แดง ดำ 2. ชมพ ดำ แดง3. แดง ชมพ ดำ 4. แดง ดำ ชมพ

..6 ..M10142 (แนว O-NET) เมอพจารณาผลการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 39 คนพบวา เปอรเซนไทลท 25 ของคะแนนสอบเทากบ 35 คะแนน และมนกเรยน 30 คนไดคะแนนนอยกวาหรอเทากบ 80 คะแนน ถามนกเรยนทสอบได 35 คะแนนเพยงคนเดยวแลวจำนวนนกเรยนทสอบไดคะแนนในชวง 35 − 80 คะแนนเทากบขอใดตอไปน1. 18 คน 2. 19 คน 3. 20 คน 4. 21 คน

..7 ..M10143 (แนว O-NET) ขอมลชดหนงถาเรยงจากนอยไปมากแลว ไดเปนลำดบเลขคณตตอไปน

2 , 5 , 8 , . . . , 92

เปอรเซนตไทลท 75 ของขอมลชดนมคาเทากบขอใดตอไปน1. 68 2. 69 3. 71 4. 72

..10


..

143

...

..8 ..M10144 (มช. 56) ถาตารางแจกแจงความถของอายผปวยทเขารบการรกษาในสถานพยาบาลหนงในชวงงานวนเดกแหงชาตเปนดงน

อาย (ป) ความถ0 − 4 3

5 − 9 4

10 − 14 10

15 − 19 2

20 − 24 1

คาเฉลยเลขคณตของอายผปวยเทากบกป

1. 10.25 2. 10.50 3. 11.25 4. 11.50

..9 ..M10145 (แนว O-NET) ในการสำรวจนำหนกตวของนกเรยนในชนเรยนทมนกเรยน 30

คน เปนดงน

นำหนก (กโลกรม) ความถสะสม (คน)30 − 49 10

50 − 69 26

70 − 89 30

คาเฉลยเลขคณตของนำหนกตวของนกเรยนชนนเทากบกกโลกรม

1. 54.0 2. 54.5 3. 55.5 4. 56.0

..10.

www.educasy.com

...

144

...

..10 ..M10146 (แนว O-NET) ตารางแสดงนำหนกของนกเรยนจำนวน 50 คน เปนดงน

นำหนก (กโลกรม) จำนวน(คน)30 − 39 4

40 − 49 5

50 − 59 13

60 − 69 17

70 − 79 6

80 − 89 5

ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง

1. นกเรยนกลมนสวนใหญมนำหนก 30 − 49 กโลกรม2. นกเรยนทมนำหนกตำกวา 50 กโลกรม ม 5 คน3. นกเรยนทมนำหนกในชวง 50 − 59 กโลกรม ม 26%

4. นกเรยนทมนำหนกมากกวา 80 กโลกรม ม 10%

..11 ..M10147 (แนว O-NET) คาเฉลยเลขคณตของนำหนกของพนกงานของบรษทหนงเทากบ48.01 กโลกรม บรษทนมพนกงานชาย 43 คน และพนกงานหญง 57 คน ถาคาเฉลยเลขคณตของนำหนกพนกงานหญงเทากบ 45 กโลกรม แลวนำหนกของพนกงานชายทงหมดรวมกนเทากบกกโลกรม

..12 ..M10148 (แนว O-NET) มขอมล 5 จำนวนซงเรยงจากนอยไปมาก คอ x1, x2, x3, x4, x5

โดยม x1 = 7 คาเฉลยเลขคณตเทากบ x และความแปรปรวนเทากบ 16 ถากำหนดตารางแสดงคาของ xi − x ดงน

..10


..

145

...

i xi − x

1 7 − x

2 −3

3 −1

4 3

5 6

แลวคาของ x เทากบขอใดตอไปน

1. 11 2. 11.5 3. 12.0 4. 12.5

..13 ..M10149 (แนว O-NET) แมคานำเมลดมะมวงหมพานต 1 กโลกรม ถงลสง 3 กโลกรมและเมลดฟกทอง 4 กโลกรม มาผสมกนแลวแบงใสถงถงละ 100 กรม ถาแมคาซอเมลดมะมวงหมพานต ถวลสง และเมลดฟกทองมาในราคากโลกรมละ 250 บาท 50 บาท และ100 บาทตามลำดบ แลวแมคาจะตองขายเมลดพชผสมถงละ 100 กรมนในราคาเทากบขอใดตอไปนจงจะไดกำไร 10% เมอขายหมด

1. 11 บาท 2. 12 บาท 3. 14 บาท 4. 16 บาท

..14 ..M10150 (แนว O-NET) ถานำหนก (คดเปนกโลกรม) ของนกเรยน 2 กลม กลมละ 6 คนเขยนเปน แผนภาพตน−ใบ ไดดงน

นกเรยนกลมท 1 นกเรยนกลมท 2

8 6 4 3 4 9

8 6 6 4 2 2 4

5 0

ขอสรปในขอใดตอไปนไมถกตอง

1. นำหนกเฉลยของนกเรยนกลมท 2 มากกวานำหนกเฉลยของนกเรยนกลมท 1

2. มธยฐานของนำหนกของนกเรยนกลมท 2 เทากบมธยฐานของนำหนกของนกเรยนกลมท 1

..10.

www.educasy.com

...

146

...

3. ฐานนยมของนำหนกของนกเรยนกลมท 2 นอยกวาฐานนยมของนำหนกของนกเรยนกลมท 1

4. มธยฐานของนำหนกของนกเรยนกลมท 2 มากกวาฐานนยมของนำหนกของนกเรยนกลมท 1

..15 ..M10151 (แนว O-NET) แผนภาพ ตน−ใบของขอมลแสดงนำหนก (ก.ก.) ของนกเรยนกลมหนงเปนดงน

4 2 1 0

5 0 8 3 2 2

6 0 3 1 4

เมอสมเลอกนกเรยนมา 1 คนจากกลมน ความนาจะเปนทจะไดนกเรยนทมนำหนกมากกวาฐานนยมของกลมมคาเทากบขอใดตอไปน

1. 14

2. 13

3. 512

4. 12

..16 ..M10152 (แนว O-NET) ถาสมตวเลขหนงตวเลขจากขอมลชดใด ๆ ซงประกอบดวยตวเลข101 ตว แลวขอใดตอไปนถก

1. ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคามากกวาคามธยฐาน >12

2. ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคามากกวาคาเฉลยเลขคณต >12

3. ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคามธยฐาน <12

4. ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคาเฉลยเลขคณต <12

..17 ..M10153 (แนว O-NET) ถาในป พ.ศ. 2547 คาเฉลยเลขคณตของอายพนกงานของบรษทแหงหนงเทากบ 23 ป ในปตอมาบรษทไดรบพนกงานเพมขนอก 20 คน ทำใหคาเฉลยเลขคณตของอายพนกงานป พ.ศ. 2548 เทากบ 25 ป และผลรวมของอายของพนกงานทเพมขนจากป พ.ศ. 2547 อก 652 ป แสดงวาป พ.ศ. 2547 บรษทแหงนมพนกงานทงหมดจำนวนเทากบขอใดตอไปน

1. 76 คน 2. 96 คน 3. 326 คน 4. 346 คน

..10


..

147

...

..18 ..M10154 (แนว O-NET) ขอใดตอเปนนเปนสงทไมตองคำนงถงในการเลอกใชคากลางของขอมล

1. จดประสงคของการนำไปใช 2. ขอดและขอเสยของคากลางแตละชนด3. ลกษณะของขอมล 4. วธจดเรยงลำดบขอมล

..10.

www.educasy.com

...

148

...

..

มคน 4 คน ชอ A B C และ D ขนรถแทกซดวยกนเพอจะกลบบานซงบานของแตละคนอยหางกนโดยจะถงของ A กอน ตามดวย B , C และ Dตามลำดบ

เนองจากเราไมร ระยะทางและไมร คาแทกซสดทาย จะมวธคดแบงจายคารถอยางไรใหยตธรรมทสด โดยไมใหมาเฉลยจายเทา ๆ กน

.

..10


..

149

...

.. เฉลยโจทยประกอบเนอหา..1 ตอบ 0.25แนวคด ขนท 1 พจารณาชน 51 − 60 ซงม f = 20 , ความถสมพทธ = 0.10

จาก ความถสมพทธ = f∑ f

จะได 0.10 =20

∑ f

∑ f = 200

นนคอผลรวมความถทงหมดมคาเทากบ 200

ขนท 2 พจารณาทงตารางจาก ∑ f = 10 + 25 + 35 + x + 40 + 20 + 15

+ 3 + 2

จะได 200 = x + 150

x = 50

สดทาย พจารณาชน 31 − 40 ซงม f = x = 50 , ความถสมพทธ = y


จะได y =50

200y = 0.25

..10.

www.educasy.com

...

150

...

..2 ตอบขอ 3)แนวคด พจารณาจากตารางทโจทยกำหนดให

อนตรภาคชน ความถ ความถสะสม ความถสมพทธ2 − 6 x

7 − 11 y 11 0.2

12 − 16 14 − 11 = 3 14

17 − 21 6 14 + 6 = 20 0.3

สมมตความถชนท 1 เปน x และชนท 2 เปน y ดงแสดงในตารางความถชนท 3 = 14 − 11 = 3


ดงนนจำนวนขอมลทงหมด (∑ f) จงม 20 ตวดวย

พจารณาชนท 2 ซงม f = y


จะได 0.2 =y20

y = 4

พจารณาทงตาราง จาก จำนวนขอมลทงหมด = x + y + 3 + 6

จะได 20 = x + 4 + 3 + 6

x = 7

เมอเปรยบเทยบความถแตละชนแลวจะไดวาความถตำสดจงมคาเทากบ 3 อยในอนตรภาคชน 12 − 16 นนเอง

..10


..

151

...

..3 ตอบขอ 3)แนวคด ขนท 1 เรยงขอมลจากนอยไปมากจะไดดงน

5 , 6 , 8 , 9 , ..10 , 12 ., 15 , 18



100

)= (8 + 1)

(60

100

)= 5.4


y = x + 1 = 5 + 1 = 6


สดทาย หา P60 จากPr = ขอมลตำแหนงท x + z(ขอมลตำแหนงท y−ขอมลตำแหนงท x)

P60 = ขอมลตำแหนงท 5 + (0.4)(ขอมลตำแหนงท 6−ขอมลตำแหนงท 5)P60 = 10 + (0.4)(12 − 10)

P60 = 10.8

นนคอเปอรเซนตไทลท 60 เทากบ 10.8

..10.

www.educasy.com

...

152

...

..4 ตอบขอ 4)แนวคด ขนท 1 เรยงขอมลจากนอยไปมาก เนองจากขอมลเรยงจากนอยไปมากอยแลว

จงหาเปอรเซนไทลท 60 (P60) ไดทนท45, 54, 59, 60, 62, 64, 65, 68, ..71 , 73 ., 73, 75, 76, 80, 81



100

)= (15 + 1)

(60

100

)= 9.6


y = x + 1 = 9 + 1 = 10




P60 = 72.2

นนคอคะแนนตำสดทจะสอบผาน P60 ไดคอ 73 คะแนน

..10


..

153

...

..5 ตอบ 20แนวคด ควอรไทลทสาม Q3 มคาเทากบเปอรเซนไทลท 75 (P75) ขอนจงหา P75 แทนได

ขนท 1 เรยงขอมลจากนอยไปมาก เนองจากขอมลเรยงจากนอยไปมากอยแลวจงหาเปอรเซนไทลท 75 (P75) ไดทนท4 , 8 , 8 , 9 , 14 , 15 , ..18 , 22 ., 25



100

)= (9 + 1)

(75

100

)= 7.5


y = x + 1 = 7 + 1 = 8




P75 = 20

นนคอเปอรเซนตไทลท 75 และควอรไทลท 3 มคาเทากบ 20

เพมเตม กรณทคา z (ทศนยมของตำแหนง) มคาเปน 0.5 อาจคำนวณอกแบบไดดงนP75 = (ขอมลตำแหนงท 8 +ขอมลตำแหนงท 7) ÷2

P75 =22 + 18

2P75 = 20

นนคอ Q3 = P75 = 20

..10.

www.educasy.com

...

154

...

..6 ตอบ 54แนวคด ขนท 1 เรยงขอมลจากนอยไปมาก จะไดดงน

30, 34, 39, 40, 47, 47, 48, 48, 48, 50, 50, 51, 52, 52, 53, ..54 ., 56, 56, 57,

57, 58, 58, 59, 60, 62, 63, 63, 66, 68, 69, 70



100

)= (31 + 1)

(50

100

)= 16

เนองจากตำแหนงทคำนวณไดเปนจำนวนเตม จะไดวาP50 = ขอมลตำแหนงท 16 = 54

นนคอเปอรเซนตไทลท 50 ของคะแนนสอบนเทากบ 54 คะแนน

..7 ตอบขอ 4)แนวคด ขนท 1 เรยงขอมลจากนอยไปมาก จะไดดงน

6, 8, 9, 12, 12, 15, 15, 16, 16, 19, 20, 20, 21, 22, 24, 24, 25, 30, 30

ขนท 2 หา Q3 โดยท Q3 มคาเทากบ P75 ขอนจงหา P75 แทนไดจะได ตำแหนงของ P75 = (N + 1)

( r100

)= (19 + 1)

(75

100

)= 15

แสดงวา Q3 = P75 = สมาชกตวท 15 = 24

ขนท 3 หา P45 ตำแหนงของ P45 = (N + 1)( r

100

)= (19 + 1)

(45

100

)= 9

แสดงวา P45 = สมาชกตวท 9 = 16

นนคอ Q3 ตางกบ P45 อย 24 − 16 = 8

..10


..

155

...

..8 ตอบขอ 3)แนวคด เนองจากขอมลม 5 ตว

จาก ตำแหนงของ Pr = (N + 1)( r

100

)ดงนน ตำแหนงของ P25 = (5 + 1)

(25

100

)= 1.5

ตำแหนงของ P50 = (5 + 1)(

50100

)= 3

ตำแหนงของ P70 = (5 + 1)(

75100

)= 4.5

สมมตขอมลทง 5 ตว เปนดงน

a .., b , ..c , d .., e

จากแผนภาพจะไดวา c = 25

และ a + b2

= 18d + c

2= 28

a + b = 36 d + c = 56

สดทาย จะไดวา ผลรวมของขอมลทกตว = a + b + c + d + e

= 36 + 25 + 56

= 117

..

P25 = 18

.

P50 = 25

.

P75 = 28

..9 ตอบ 5แนวคด จาก x =

∑ xi

N

จะได x =2 + 3 + 3 + 5 + 6 + 5 + 8 + 8

8=

408

= 5

นนคอคาเฉลยเลขคณตของขอมลดบชดนมคาเทากบ 5

..10.

www.educasy.com

...

156

...

..10 ตอบขอ 3)แนวคด ขนท 1 โจทยกำหนด ราคาตนทน (x) ไดแก 31, 34, 35, 36, 39

ดงนน ตนทนเฉลย (x) = ∑ xi

N

x =31 + 34 + 35 + 36 + 39

5x = 35 บาท

ขนท 2 โจทยบอก ตนทน (x) กบกำไร (y) สมพนธกนตามสมการy = 2x + 4

จงไดวา y = 2x + 4

ดงนน y = 2(35) + 4 (แทนคา x = 35)

y = 74

นนคอกำไรเฉลย (y) จะมคา 74 บาท

..11 ตอบขอ 2)แนวคด พจารณาขอมลทโจทยบอกตามตาราง

ชวงอาย (ป) ความถ ( fi) จดกงกลางชน (xi) fixi

1 − 5 4 3 12

6 − 10 9 8 72

11 − 15 2 13 26

16 − 20 5 18 90

∑ fi = 20 ∑ fixi = 200

สดทาย จะได x =∑ fixi

∑ fi=

20020

= 10 ป

นนคออายเฉลยมคาเทากบ 10 ป

..10


..

157

...

..12 ตอบขอ 4)แนวคด ขนท 1 หาคา x ในตารางจากคา x

ชวงอาย (ป) ความถ ( fi) จดกงกลางชน (xi) fixi

0 − 4 4 2 8

5 − 9 5 7 35

10 − 14 x 12 12x

15 − 19 7 17 119

∑ fi = x + 16 ∑ fixi = 12x + 162

จาก x =∑ fixi

∑ fi(โจทยบอก x = 11)

จะได 11 =12x + 162

x + 1611(x + 16) = 12x + 162

11x + 176 = 12x + 162

14 = x

สดทาย จะไดวาในชวงคะแนน 5 − 14 คะแนนจะมจำนวนคน = 5 + 14 = 19 คน

..13 ตอบขอ 1)แนวคด พจารณาขอมลทโจทยบอก

รหสวชา ค41101 ค42101 ค41102 ค41202 ผลรวมจำนวนหนวยกต 1 1.5 1 1.5 ∑ wi = 5

เกรด 2.5 3 3.5 2

wixi 2.5 4.5 3.5 3.0 ∑ wixi = 13.5

สดทาย จะไดวา x =∑ wixi

∑ wi=

13.55

= 2.7

นนคอเกรดเฉลยมคาเทากบ 2.70

..10.

www.educasy.com

...

158

...

..14 ตอบ 14.5แนวคด พจารณาขอมลทโจทยบอก

จำนวนคน (Ni) คาเฉลยเลขคณต (xi) Nixi

กลมท 1 5 18 90

กลมท 2 7 12 84

∑ Ni = 12 ∑ Nixi = 174

สดทาย จะไดวา xรวม =∑ Nixi

∑ Ni=

17412

= 14.5

นนคอคะแนนสอบเฉลยของนกเรยนทงสองกลมนมคาเทากบ 14.5

..15 ตอบ 325แนวคด สมมต จำนวนลกจางประจำ = A คน

จะไดวา จำนวนลกจางชวคราว = 3A คน (เปน 3 เทาของลกจางประจำ)และเมอนำขอมลทโจทยบอกมาเขยนตารางจะไดดงน

ลกจาง จำนวนคน (Ni) คาจางเฉลย (xi) Nixi

ประจำ A 400 400A

ชวคราว 3A 300 900A

∑ Ni = 4A ∑ Nixi = 1, 300A

สดทาย จะไดวา xรวม =∑ Nixi

∑ Ni=

1, 300A4A

= 325 บาท

นนคอลกจางทงหมดจะมคาจางเฉลยตอวน = 325 บาท

..10


..

159

...

..16 ตอบขอ 1)แนวคด สมมต จำนวนผหญง = x , จำนวนผชาย = y

และเมอนำขอมลทโจทยบอกมาเขยนตารางจะไดดงน

กลม จำนวนคน (Ni) อายเฉลย (xi) Nixi

ผหญง x 35 35x

ผชาย y 25 25y

∑ Ni = x + y ∑ Nixi = 35x + 25y

จาก xรวม =∑ Nixi

∑ Ni(โจทยบอก xรวม = 31)

จะได 31 =35x + 25y

x + y

31(x + y) = 35x + 25y

31x + 31y = 35x + 25y

6y = 4xyx=

46

yx=

23

นนคออตราสวนจำนวนผชายตอผหญงมคาเปน 2 : 3

..10.

www.educasy.com

...

160

...

..17 ตอบ 670แนวคด สมมตปลากระชงทสองมนำหนกเฉลย = A กรม

ดงนนปลากระชงทหนงจะมนำหนกเฉลย = A + 50 กรม(มากกวากระชงทสอง 50 กรม)

และเมอนำขอมลทงหมดมาเขยนตารางจะไดดงน

กระชงท จำนวนปลา (Ni) นำหนกเฉลย (xi) Nixi

1 300 A + 50 300(A + 50)

2 200 A 200A

∑ Ni = 500 ∑ Nixi = 300(A + 50) + 200A


∑ Ni(โจทยบอก xรวม = 700)

จะได 700 =300(A + 50) + 200A

500350, 000 = 300A + 15, 000 + 200A

335, 000 = 500A

670 = A

นนคอปลาจากกระชงทสองมนำหนกเฉลยตวละ 670 กรม

..10


..

161

...

..18 ตอบขอ 2)แนวคด ก.) เมอเรยงขอมลจากนอยไปมากจะได 4 , 9 , 11 , 17 , 21 , 26 , 35

ตำแหนงมธยฐาน =N + 1

2=

7 + 12

= 4

ดงนน มธยฐาน = ขอมลตวท 4 = 17

ข.) เมอเรยงขอมลจากนอยไปมากจะได 2 , 4 , 5 , 7 , 9 , 10


2=

6 + 12

= 3.5


y = x + 1 = 3 + 1 = 4

ดงนน มธยฐาน = (ขอมลตำแหนงท 3 + ขอมลตำแหนงท 4)÷ 2

มธยฐาน =5 + 7

2= 6

ค.) เมอเรยงขอมลจากนอยไปมากจะได10 , 12 , 12 , 13 , 16 , 17 , 22 , 24 , 29 , 33 , 49 , 50 , 67

67 , 67 , 68 , 69 , 70 , 71


2=

19 + 12

= 10

ดงนน มธยฐาน = ขอมลตวท 10 = 33

..19 ตอบขอ 4)แนวคด ก) 6 เพราะขอมลชดนม 6 ซำกนอยถง 4 ตว ซำบอยกวาขอมลตวอน

ข) 13 , 23 เพราะขอมลชดนม 13 และ 23 ซำกนอย 2 ตว ซำบอยกวาขอมลตวอน

ค) ไมมฐานนยม เพราะขอมลทกตวมความถเทากนจงถอวาไมมฐานนยม

..10.

www.educasy.com

...

162

...

..20 ตอบขอ 4)แนวคด เมอเรยงขอมลจากนอยไปมากจะได 10 , 10 , 12 , 13 , 15

จะไดวา มธยฐาน = ตวทอยตรงกลาง = 12

ฐานนยม = ตวซำบอยทสด = 10

และ x =∑ xi

N

x =10 + 10 + 12 + 13 + 15

5

x =605

= 12

จะเหนวาไมมขอใดเปนเทจเลย

..21 ตอบขอ 3)แนวคด จากขอมล 2 , 3 , 4 , 4 , ..4 .., 5 ., 6 , 6 , 7 , 9

จะไดวา ฐานนยม = 4

และ x =∑ xi

N

x =2 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 6 + 6 + 7 + 9

10= 5

มธยฐาน = ตวทอยตรงกลางมธยฐาน = ตวทอยตรงกลางเลข 4 และ 5 ดงแผนภาพมธยฐาน =

4 + 52

= 4.5

จะเหนวาฐานนยมมคานอยทสด

..

มธยฐาน

..10


..

163

...

..22 ตอบขอ 1)แนวคด จากขอมล 3 , 5 , 7 , 13 , 14 , ..16 .., 20 ., 21 , 22 , 22 , 30 , 31

จะไดวา ฐานนยม = 22

และ x =∑ xi

N

x =3 + 5 + 7 + 13 + 14 + 16 + 20 + 21 + 22 + 22 + 30 + 31

12x = 17

มธยฐาน = ตวทอยตรงกลางเลข 16 และ 20 ดงแผนภาพมธยฐาน =

16 + 202

= 18

จะเหนวาคาเฉลยเลขคณตมคานอยทสด

..

มธยฐาน

..23 ตอบขอ 4)แนวคด เมอเปลยนขอมลในแผนภาพตน − ใบเปนขอมลดบจะได

20, 20, 23, 25, 28, 31, 34, 34, 36, ..37 .., 43 ., 43, 45, 47, 51, 52, 52, 52, 63, 65

ขอ ก. ผด เพราะมธยฐาน = ตวทอยตรงกลางเลข 37 และ 43 ดงภาพมธยฐาน =

37 + 432

= 40

ขอ ข. ผด เพราะเพราะฐานนยม = 52..

มธยฐาน

..10.

www.educasy.com

...

164

...

..24 ตอบขอ 3)แนวคด จากแผนภาพตน − ใบทโจทยกำหนด เมอเขยนเปนขอมลดบจะได

57 , 58 , 67 , 68 , ..69 .., 70 ., 74 , 74 , 77 , 81

ขอ 1. เทจ เพราะฐานนยม = 74

ขอ 2. เทจ เพราะ

x =57 + 58 + 67 + 68 + 69 + 70 + 74 + 74 + 77 + 81

10

x =69510

= 69.5

มธยฐาน = ตวทอยตรงกลางเลข 69 และ 70 ดงแผนภาพมธยฐาน =

69 + 702

= 69.5

จะเหนวา คาเฉลยเลขคณต (x) = มธยฐานขอ 3. จรง เพราะไขไกทมนำหนกนอยกวา 70 กรม มอย 5 ฟองจรงขอ 4. เทจ เพราะ ไขไกทมนำหนกสงกวาฐานนยมม 2 ฟอง

และ ไขไกทมนำหนกเทากบฐานนยมม 2 ฟองทงสองแบบมจำนวนเทากนพอด..

มธยฐาน

..25 ตอบขอ 4)แนวคด พจารณาขอมลเมอเรยงจากนอยไปมาก 1, 2, 3, 3, ..b .., a ., 6, 6, 9, 12

โจทยบอกฐานนยม = 3 แสดงวา b ตอง= 3 เพอใหเลข 3 มซำกนมากทสดและ มธยฐาน = ตวทอยตรงกลาง b และ a

มธยฐาน =b + a

2(โจทยบอก มธยฐาน = 4 และ b = 3)

จะได 4 =3 + a

2a = 5

ดงนนขอน a = 5 และ b = 3

..

มธยฐาน

..10


..

165

...

..26 ตอบขอ 1)แนวคด ขนท 1 จากขอมล 5 ตว คอ 12 , 3 , x , 5 , 5

เมอเรยงขอมลททราบคาจากนอยไปมาก จะได 3 , 5 , 5 , 12

และนาสงเกตวาไมวาจะวาง x ไวตรงไหน เลขตรงกลางจะเปน 5 เสมอ

..

x

.

3

.

5

.

5

.

12

.3

.x

.5

.5

.12

.

3

.

3

.

5

.

x

.

12

.

3

.

3

.

5

.

12

.

x

.3

.5

.x

.5

.12

.....

จากแผนภาพทแสดงจะไดวา มธยฐาน = 5

และเนองจากโจทยกำหนด x = มธยฐาน = 5 ดวย

สดทาย จาก x =∑ xi

N

5 =12 + 3 + x + 5 + 5

5

5 =25 + x

5x = 0

..10.

www.educasy.com

...

166

...

..27 ตอบขอ 2)แนวคด ขนท 1 จำนวนนกกฬา (N) = 379 คน , อายเฉลย (x) = 22 ป

จาก x =∑ xi

N

จะได 22 =∑ xi

379

∑ xi = 8, 338

นนคอผลรวมอายตอนแรก (∑ xi) เทากบ 8, 338 ป

ขนท 2 ถอนตวออก 4 คน ซงมอาย 24, 25, 25, 27

∑ xใหม = 8, 388 − 24 − 25 − 25 − 27

= 8, 287ปแลวเพมเขาใหม 5 คนอายเฉลย 17 ป อาจคดเสยวา 5 คนนนอาย 17 ป ทกคนกไดดงนน ∑ xใหม = 8, 287 + 17 + 17 + 17 + 17 + 17

= 8, 322ปและ จำนวนคน (Nใหม

)= 379 − 4 + 5

= 380

ขนท 3 หาอายเฉลยใหม (xใหม)จาก xใหม =

∑ xใหมNใหม

=8, 322380

= 21.9 ป

..28 ตอบขอ 4)แนวคด ฐานนยมคอ ขอมลตวทซำบอยทสด ดงนนฐานนยมจงมคาเทากบขอมลตวหนงตว

ใด ในโจทยแนนอน..29 ตอบขอ 2)

แนวคด เนองจากขอมลชดนม 31 เปนขอมลทมคาสงผดปกต จงไมควรใชคาเฉลยเลขคณตและเนองจากเลขทซำกนบอยม 2 ตวคอ 9 และ 10 จงไมควรใชฐานนยมดวยดงนนขอนจงควรใชมธยฐานเปนคากลาง

..10


..

167

...

..30 ตอบขอ 3)แนวคด เนองจากขอมลสวนใหญอยในชวง 40 ถง 50 แลวมขอมล 2 ตวคอ 88 และ 95 ม

คาสงสดผดปกต ดงนนขอมลชดนไมควรใชคาเฉลยเลขคณต (x) เปนคากลาง และเนองจากขอมลชดนเปนขอมลเชงปรมาณ จงควรใชมธยฐานเปนคากลางมากกวาทจะใชฐานนยม

..31 ตอบขอ 2)แนวคด จากขอมล 155 , 157 , 158 , 158 , 160 , 161 , 161 , 163 , 165 , 166

พสย = xmax − xmin = 166 − 155 = 11

ถาเพมขอมล 158 อก 1 ตว คาตำสดและคาสงสดจะไมเปลยนแปลง คาพสยจงไมเปลยนแปลงดวย

..32 ตอบขอ 4)แนวคด เมอนำแผนภาพตนใบมาเขยนเปนขอมลดบจะได

18 , 19 , 24 , 24 , ..25 .., 30 ., 33 , 36 , 38 , 43

ขอ 1. ผด เพราะ พสย = xmax − xmin = 43 − 18 = 25

ขอ 2. ผด เพราะ ฐานนยม = 24

ขอ 3. ผด เพราะ มธยฐาน = ตวทอยตรงกลางเลข 25 และ 30

มธยฐาน =25 + 30

2= 27.5

ขอ 4. ถก เพราะ x =18 + 19 + 24 + 24 + 30 + 33 + 36 + 38 + 43

10

x =29010

= 29

นนคอคาเฉลยเลขคณตมคาเทากบ 29 จรง ..

มธยฐาน

..10.

www.educasy.com

...

168

...

..33 ตอบขอ 1)แนวคด ขนท 1 สมมตสวนสงของพนอง 2 คนมคาเปน a และ b เมอ b > a

โจทยบอกพสยมคาเทากบ 12

ดงนน b − a = 12

b = a + 12 −→ ..1ขนท 2 และโจทยบอกคาเฉลยเลขคณตเทากบ 171

ดงนน a + b2

= 171 (แทนคา b = a + 12จาก ..1 )

a + (a + 12) = 342

a = 165

สดทาย แทนคา a = 165 ลงใน ..1จะได b = a + 12

b = 165 + 12 = 177

นนคอสวนสงของพหรอนองทมคานอยกวาคอ 165 เซนตเมตร

..10


..

169

...

..34 ตอบขอ 3)แนวคด สมมตบตรทง 4 คนมนำหนกเปน a , ..b .., c ., d (เรยงจากนอยไปมาก)

โจทยบอกบตร 2 คนมนำหนกเทากนและฐานนยมเทากบ 45 แสดงวา a = b = 45

และโจทยบอกมธยฐานเทากบ 47.5

แสดงวา b + c2

= 47.5 (แทนคา b = 45)

จะได 45 + c2

= 47.5

c = 50

โจทยบอกพสยเทากบ = 7

แสดงวา d − a = 7

จะได d − 45 = 7

d = 52

จงไดวานำหนกทงหมดมคา 45 , 45 , 50 , 52 ตามลำดบดงนนนำหนกเฉลย (x) =

45 + 45 + 50 + 524

= 48 ก.ก

..

มธยฐาน

..35 ตอบขอ 2)แนวคด เนองจากแตละครอบครวมรายไดสง ดงนนคาเฉลยของรายไดจงมคามากดวย และ

เนองจากรายไดแตละครอบครวมคาใกลเคยงกน คาสวนเบยงเบนมาตรฐาน (คาการกระจาย) จงมคานอย

..10.

www.educasy.com

...

170

...

..36 ตอบขอ 1)แนวคด พจารณาตามแผนภาพแตละจด จะเปนจดซงอยตรงกบควอรไทลท 1 , 2 , และ 3

ดงรป

..

25%

.

25%

.

25%

.

25%

.

Q1

.

Q2

.

Q3

.10. 12. 16. 18. 24

ขอ 1. จรง เพราะในชวง 12 ถง 16 มจำนวนคนอย 25% เทากบในชวง 16 ถง 18

ซงมจำนวนคนอย 25% เชนกนขอ 2. เทจ เพราะในชวง 12 ถง 18 มจำนวนคนอย 50% แตชวง 18 ถง 24 มจำนวน คนอยเพยง 25%

ขอ 3. เทจ เพราะในชวง 10 ถง 12 กบในชวง 18 ถง 24 มจำนวนคนอย 25%

เทากนขอ 4. เทจ เพราะในชวง 12 ถง 16 กบในชวง 16 ถง 18 มจำนวนคนอย 25%

เทากน..37 ตอบขอ 2)

แนวคด จากแผนภาพสวน 25% ตำสดรายวชาท 1 คะแนนสงสดของสวนนคอ 30 คะแนนรายวชาท 2 คะแนนสงสดของสวนนคอ 50 คะแนน

จะเหนวาคะแนนสงสดของสวนนของกลม 1. นอยกวาของกลม 2. ขอ 2. จงถก..38 ตอบขอ 3)

แนวคด กลมนกเรยนชายนน คะแนนสงอยหางจากจดกงกลาง (Q2) มาก ขณะทคะแนนตำอยหางจากจดกงกลางไมมาก ลกษณะเชนนจะทำใหคะแนนเฉลยของกลมนกเรยนชายมคามากกวา Q2

สำหรบกลมนกเรยนหญง คะแนนตำอยหางจากจดกงกลาง (Q2) มากกวาความหางของคะแนนสงกบจดกงกลาง ลกษณะนคะแนนเฉลยของนกเรยนหญงจะนอยกวาจดกงกลาง (Q2)

ดงนน xชาย > xหญง ขอ 3. จงถก

..10


..

171

...

.. เฉลยโจทยเพมเตม..1 ตอบขอ 4)แนวคด พจารณาขอมลตามตารางตอไปน

ชวงคะแนน ความถสะสม ความถ30 − 39 1 1

40 − 49 11 10

50 − 59 18 7

60 − 69 20 2

ขอ 1. ถก จากตารางจะเหนวา จำนวนคนในชวง 40 − 49 คะแนนม 10 คนจรงขอ 2. ถก เพราะในชวง 40 − 49 คะแนน มคนอย 10 คน มากกวาชนอนขอ 3. ถก เพราะคนทไดคะแนนมากกวา 53 คะแนน มไมเกน 9 คน (7 + 2 คน)แตคนทไดคะแนน 40 − 49 คะแนน ม 10 คนขอ 4. ผด เพราะคนทไดคะแนนมากกวา 50 ม 9 คน (7 + 2 คน) แตคนทไดนอยกวา 47 คะแนนมนอยกวา 11 คน ซงบอกไมไดวานอยแคไหนอาจนอยกวา 9 คน

..10.

www.educasy.com

...

172

...

..2 ตอบ 54.5แนวคด ขนท 1 เรยงขอมลจากนอยไปมากจะไดดงน

30, 34, 39, 40, 47, 47, 48, 48, 48, 50, 50, 51, 52, 52, 53

..53 , 56 ., 56, 57, 57, 58, 58, 59, 60, 62, 63, 63, 66, 68, 69, 70, 71


จะได ตำแหนงของ Pr = (N + 1)( r

100

)ตำแหนงของ P50 = (32 + 1)

(50

100

)= 16.5


y = x + 1 = 16 + 1 = 17




P50 = 54.5

นนคอเปอรเซนตไทลท 50 ของคะแนนสอบนเทากบ 54.5 คะแนน

..10


..

173

...

..3 ตอบ 8แนวคด ควอรไทลทหนง (Q1) มคาเทากบเปอรเซนไทลท 25 (P25) ขอนจงหา P25 แทนได

ขนท 1 เรยงขอมลจากนอยไปมากจะไดดงน4 , ..8 , 8 ., 9 , 14 , 15 , 18 , 18 , 22 , 25



100

)= (10 + 1)

(25

100

)= 2.75


y = x + 1 = 2 + 1 = 3




P25 = 8

นนคอเปอรเซนตไทลท 25 หรอควอไทลท 1 มคาเทากบ 8

..10.

www.educasy.com

...

174

...

..4 ตอบขอ 4)แนวคด ขอมลม 5 ตว จาก ตำแหนงของ Pr = (N + 1)

( r100

)ดงนน ตำแหนงของ Q1 = ตำแหนงของ P25 = (5 + 1)

(25

100

)= 1.5

ตำแหนงของ Q2 = ตำแหนงของ P50 = (5 + 1)(

50100

)= 3

ตำแหนงของ Q3 = ตำแหนงของ P75 = (5 + 1)(

75100

)= 4.5

สมมตขอมลทง 5 ตว เปนดงนa .., b , ..c , d .., e

จากแผนภาพจะไดวา c = 25

และ a + b2

= 20d + c

2= 30

a + b = 40 d + c = 60

สดทาย จะไดวาx =

∑ xi

N=

(a + b) + c + (d + e)5

=40 + 25 + 60

5= 25

..

Q1 = 20

.

Q2 = 25

.

Q3 = 30

..5 ตอบขอ 3)แนวคด จากจำนวนคนทงหมด 80 คน

ตำแหนงของดำ P75 = (N + 1)(

75100

)= (80 + 1)

(75

100

)= 60.75

ตำแหนงของแดง Q2 = ตำแหนง P50

= (N + 1)(

50100

)= (80 + 1)

(50

100

)= 50.5

ตำแหนงของชมพ = ตำแหนงท 30 จากมากมานอย= ตำแหนงท 51 จากนอยไปมาก

ดงนนเมอเรยงลำดบคะแนนจากนอยไปมากจงได แดง , ชมพ , ดำ

..10


..

175

...

..6 ตอบขอ 4)แนวคด ขนท 1 ตองหาวา P25 อยตรงกบตำแหนงคนทเทาไร

จาก ตำแหนงของ P25 = (N + 1)(

25100

)(39 + 1)

(25

100

)= 10

นนคอตำแหนง P25 หรอคนทไดคะแนน 35 คะแนนคอคนท 10

ขนท 2 พจารณาแผนภาพ

..คนท 1

.คนท 2

.คนท 3

. · · ·.คนท 9

.คนท 10

.35

คะแนน

.80

คะแนน

. · · ·.

จะไดวาชวงคะแนน 35 ถง 80

มจำนวนคน = 30 − 9 = 21 คน

.ม 9 คน

.

ม 30 คน

..7 ตอบขอ 3)แนวคด ขนท 1 พจารณาลำดบเลขคณต 2 , 5 , 8 , . . . , 92

จะไดวา a1 = 2, d = 5 − 2 = 3, an = 92

จาก an = a1 + (n − 1)d

จะได 92 = 2 + (n − 1)3

n = 31

แสดงวาลำดบนมสมาชกทงหมด 31 ตวขนท 2 หาสมาชกตวทอยตำแหนง P75

จาก ตำแหนง P75 = (N + 1)(

75100

)= (31 + 1)

(75

100

)= 24

แสดงวา P75 คอสมาชกตวท 24 ของลำดบนขนท 3 หาคาของสมาชกตวท 24

จาก an = a1 + (n − 1)d

จะได a24 = 2 + (24 − 1)(3)

a24 = 71

นนคอเปอรเซนตไทลท 75 ของขอมลชดนมคาเทากบ 71

..10.

www.educasy.com

...

176

...

..8 ตอบขอ 2)แนวคด พจารณาขอมลทโจทยบอกตามตาราง

อาย (ป) ความถ จดกงกลางชน (xi) fixi

0 − 4 3 2 6

5 − 9 4 7 28

10 − 14 10 12 120

15 − 19 2 17 34

20 − 24 1 22 22

∑ fi = 20 ∑ fixi = 210


∑ fi=

21020

= 10.5

นนคออายเฉลยของผปวยมคาเทากบ 10.5 ป..9 ตอบขอ 3)แนวคด พจารณาตารางขอมลทโจทยกำหนดใหดงน

นำหนก จดกงกลาง (xi) f สะสม ความถ ( fi) fixi

30 − 49 39.5 10 10 − 0 = 10 395

50 − 69 59.5 26 26 − 10 = 16 952

70 − 89 79.5 30 30 − 26 = 4 318

∑ fi = 30 ∑ fixi = 1, 665


∑ fi=

1, 66530

= 55.5

นนคอคาเฉลยเลขคณตของนำหนกตวของนกเรยนชนนเทากบ 55.5 กโลกรม

..10


..

177

...

..10 ตอบขอ 3)แนวคด จากตารางขอมลทโจทยกำหนด

ขอ 1 ผด เพราะชวง 30− 39 ก.ก. และ 40− 49 ก.ก. มจำนวนคน = 4+ 5 = 9

คน นอยกวาชน 60 − 69 ก.ก. ซงมถง 17 คนขอ 2 ผด นำหนกนอยกวา 50 ก.ก. คอชวงนำหนก 30 − 39 ก.ก. และ 40 − 49

ก.ก. ซงมจำนวนคน = 4 + 5 = 9 คนขอ 3 ถก นำหนก 50 − 59 ก.ก. ม 13 คน จากทงหมด 50 คนคดเปนเปอรเซนต = 13

50× 100 = 26%

ขอ 4 ผด เพราะคนทมนำหนกตงแต 80 ก.ก. ขนไป (รวม 80 ก.ก. ดวย)ม 5 คน คดเปนเปอรเซนต = 5

50× 100 = 10% ดงนนคนทมนำหนก

มากกวา 80 ก.ก. (ไมรวม 80 ก.ก.) จะมนอยกวา 10%..11 ตอบ 2,236

แนวคด จาก ∑ xi

N= x

จะได ∑ xi = Nx

ตอไป สมมตใหผลรวมนำหนกพนกงานชาย (∑ xชาย) = Nxชาย = A และเมอนำขอมลทโจทยบอกมาเขยนเปนตาราง จะไดดงน

พนกงาน จำนวนคน (Ni) นำหนกเฉลย (xi) Nixi เทากบ(∑ x

)ชาย 43 − A

หญง 57 45 2, 565

∑ Ni = 100 ∑ Nixi = A + 2, 565


∑ N(โจทยบอก xรวม = 48.01)

จะได 48.01 =A + 2, 565

100A = 2, 236

นนคอผลรวมนำหนกพนกงานชายมคาเทากบ 2, 236 กโลกรม

..10.

www.educasy.com

...

178

...

..12 ตอบขอ 3)แนวคด จากโจทย จะไดวา

x2 − x = 3 x3 − x = −1 x4 − x = 3 x5 − x = 6

x2 = x − 3 x3 = x − 1 x4 = x + 3 x5 = x + 6

จาก x =x1 + x2 + x3 + x4 + x5

5

จะได x =7 + (x − 3) + (x − 1) + (x + 3) + (x + 6)

55x = 4x + 12

x = 12

..13 ตอบขอ 1)แนวคด พจารณาสงทซอมา

มะมวงหมพานต 1 ก.ก. กโลละ 250 บาท เปนเงน = 1 × 250 = 250 บาทถวลสง 3 ก.ก. กโลละ 50 บาท เปนเงน = 3 × 50 = 150 บาทเมลดฟกทอง 4 ก.ก. กโลละ 100 บาท เปนเงน = 4 × 10 = 400 บาท

รวม 8 ก.ก. (8, 000กรม) เปนเงนตนทน = 800 บาทตอมา นำมาแบงเปนถงยอย ถงละ 100 กรม คดราคาตนทนถงยอยนำหนก 8, 000 กรม ตนทน 800 บาทนำหนก 100 กรม ตนทน 800 × 100

8, 000= 10 บาท

สดทาย ตองการไดกำไร 10% แสดงวาถาตนทน 100 บาท ตองขาย 110 บาทดงนนตนทน 10 บาท ตองขาย 11 บาทนนคอตองขายถงยอยละ 11 บาท จงจะไดกำไร 10% ดงกลาว

..10


..

179

...

..14 ตอบขอ 4)แนวคด ขนท 1 แจกแจงนำหนกนกเรยนกลม 1 จะได

34 , 36 , ..38 .., 46 ., 46 , 48

จะไดวา ฐานนยม1 = 46

คาเฉลยเลขคณต (x1) =34 + 36 + 38 + 46 + 46 + 48

6= 41.3

มธยฐาน = ตวทอยตรงกลางเลข 38 และ 46 ดงแผนภาพมธยฐาน1 =

38 + 462

= 42

ขนท 2 แจกแจงนำหนกนกเรยนกลม 2 จะได34 , 39 , ..42 .., 42 ., 44 , 50

จะไดวา ฐานนยม2 = 42

คาเฉลยเลขคณต (x2) =34 + 39 + 42 + 42 + 44 + 50

6= 41.8

มธยฐาน = ตวทอยตรงกลางเลข 42 และ 42 ดงแผนภาพมธยฐาน2 =

42 + 422

= 42

ขอ 4. ผด เพราะมธยฐานของนำหนกของนกเรยนกลมท 2 ไมไดมากกวาฐานนยมของนำหนกของนกเรยนกลมท 1

..

มธยฐาน

.

มธยฐาน

..15 ตอบขอ 4)แนวคด จากแผนภาพตนใบทกำหนด เมอแจกแจงและเรยงลำดบจากนอยไปมากจะได

40 , 41 , 42 , 50 , ..52 .., 52 ., ..53 , 58 , 60 , 61 , 63 , 64..

ขอมลทงหมดม 12 ตว ดงนน n(S) = 12

ฐานนยม คอ 52 ดงนน ขอมลทมคามากกวาฐานนยมม 6 ตว นนคอ n(E) = 6

สดทาย จะได P(E) =n(E)n(S)

=612

=12..

ฐานนยม

.

มากกวาฐานนยม

..10.

www.educasy.com

...

180

...

..16 ตอบขอ 3)แนวคด ตวเลขทงหมดม 101 ตว ดงนน n(S) = 101

เมอเรยงจากนอยไปมากแลวหาตำแหนงมธยฐาน จะได


2=

101 + 12

= 51

นนคอมธยฐานคอตวท 51 ดงรป

.. ..1 , ..2 , . . . . . . . . . , ..50 .., .. ..51 , ..52 , . . . . . . . . . , ..100 , ..101

และจากรปจะเหนวา ตวเลขทนอยกวามธยฐานม 50 ตว จงได n(E) = 50

ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวามธยฐาน =n(E)n(S)

=50

101

เนองจาก 50101

<12ดงนน ขอ 3. จงถก ..

มธยฐาน

.

นอยกวามธยฐานมอย 50 ตว

..10


..

181

...

..17 ตอบขอ 1)แนวคด ขนท 1 คดป พ.ศ. 2547 สมมตจำนวนคน = N , x = 23 ป

จาก x =∑ xi

N

จะได 23 =∑ xi

N

∑ xi = 23N

ขนท 2 คดป พ.ศ. 2548 จำนวนคน = N + 20 (เพราะรบเพมอก 20 คน)x = 25 และ ∑ xi = 23N + 652 (เพราะโจทยเพมจากป 47 อก 652 ป)จาก x =

∑ xi

N

จะได 25 =23N + 652

N + 2025(N + 20) = 23N + 652

25N + 500 = 23N + 652

2N = 152

N = 76

นนคอจำนวนคนป 2547 = N = 76 คน

..18 ตอบขอ 4)แนวคด การเลอกใชคากลางของขอมล ตองคำนงถง

ขอ 1. จดประสงคการนำไปใชขอ 2. ขอดและขอเสยของคากลางแตละชนดขอ 3. ลกษณะของขอมลแตขอ 4. วธการจดเรยงลำดบขอมลนนเปนเพยงขนตอนการหาคากลาง ไมมความสำคญตอการเลอกใชคากลาง

..10.

www.educasy.com

...

182

...

6.1 อัตราส วนตรีโกณมิติ · 6 3วันพร...

Documents