CÁLCULO DE VOLUME ÚTIL DE PILHAS DE GRAHtiS PELO MtTODO DE

MONTE CARLO SIMPLE~

604

Em geral a determinação da fração de utilização de pilhas de granéis com sistema de retomada inferior é dificil, especialmente no caso de pontos mlll tiplos de retomada. Em vista disso, desenv.olveu-rse um prograaa utilizando um aétodo de Monte · Carlo simples, no qual pontos . com coord~nadas pseudo-aleatórias são sorteados e então submetidos a testes de pertinência no volume retomável da pilha. Algoritmos e o fluxograma de cAlculo são apresentados para pilhas cónicas, longitudinais de eixo reto e radiais.

RECLAIM CAPACITY OF STOCKPILE BASED ON MONTE . CARLO METHOD

The determination of the useful fraction of stockpile,s with lower reclaim is, ingeneral, difficult, specially in the case of multiple reclaiming points. A program . was dev.eloped, utilizing a hit-or-mis Monte Carlo method, which provided the raffle of randomly coordinated points. These points are tested in teqns of ·being . contained in the useful stockpile volume. Calculation algorithms and flowsheets are . pr.esented for conical, windrow parallel ·and windrow radial stockpiles .

Engenheiro de Minas, M.Sc. - Doutorando em Engenharia de Minas - ~EUFMG.

2 Engenheiro Metalurgista, M.Sc., Ph.D., Chefe. do Departamento· de En enharia de Minas da EEUFMG.

INTRODUÇÃO 605

O dimensionamento de pilhas de regularização de fluxo, de blendagem ( *) , ou de armazenamento, é de grande relevância no projeto de instalações .de processamento de minérios. A fração de utilizaçio duma pilha de material granulado resulta, em última análise, da adoçio de critérios de projeto que levam em conta: o tipo de retomada (interior-ou superior); o número de retomadores; a dispoaiçio e o arranjo de pontos de retomada; a área dos retomadores (para o caso de retomada inferior) e a conveniência do emprego de septds ou muros de contenção

(baias). Exerce, portanto, impacto; sobre fatores técnicos e econõmicos do projet;o, especialmente sobre o "layout" das instalações. Usualmente, a tração de utilização (ou o "volume vivo") de pilhas com retomada superior (como, por exemplo, por meio de retomadores continues ou de carregadeira frontal) é

aproximadamente 1,0 ou lOOt, já que, em principio, não há impedimento para uma retomada total. No caso de retomada inferior (por exemplo por meio de alimentadores vibratórios posicionados em túnel na base da pilha), a fração de utilização depende grandemente de parâmetros, como: ângulos de repouso estático (P) e dinâmico (a): área do retomador; número de retomadores; disposição geométrica dos pontos de retomada; existência de vincules geométricos (septos).

Em geral,; a determinação do volume vivo da pilha com ·sistema de retomada inferior é difií::il, especialmente no caso de pontos múltiplos de retomada. As intersecções das diversas superficies de escoamento do material entre si e entre cada uma e a superficie externa da pilha, levam a enfadonhas integrações, tornando impraticável o cálculo determinista.

Em vista.do exposto, desenvolveu-se um método probabilista com base na técnica de Monte Carlo simples (ou "cru"), no qual pontos com coordenadas pseudo-aleatórias são sorteados e

(*) ~eologi_smo, do inglês "blending", de uso intensivo em m:tneraçao. Trata-se de operação de "mistura com homogeneização" ou mescla.

606

entAo submetidas a testes de pertinência no volume retomável da pilha. Após a convergência, dentro da toler&ncia adotada, a frac;:io de utilização será. dada pela razão entre o número de pontos dentro de ao menos um dos cones de retomada e o número total de pontos da pilha sorteados.

No caso mais simples de pilha c6nica com material . incoerente e de superficfe de equilibrio também cônica, no qual as dimensões do retomador;alimentador são muito menores que as dimensões da pilha, vale a expressão para a fração de utilizaçAo com o retomador central (*):

(tg cx) 2

F ,. (tgcx + tg/3) 2

( 1)

Para o caso de mais Qe um retomador, existe um número limitado de gráficos/ábacos que mostram a variação do percentual de utilização em função do número de retomadores e/ou do espaçamento entre eles, usualmente obtidos a partir de ensaios em modelos reduzidos; e com resultados· às vezes aparentemente discrepantes . Confronte-se por exemplo, as referências (1] e (2].

O MÉTODO

Representação Analitica das Superficies: A idealização

geométrica das pilhas de granéis pode ser . vista nas figuras 1-a, 1-b e 2 para os casos de pilhas c6nicas, longitudinais retas e longitudinais radiais, respectivamente. Na figura 1-a o ponto I representa o centro de um alimentador (retomador da pilha) de área finita nio nula e aqui admitido circular. o ponto I " foi considerado arbitrário de coordenadas I • (X1, 'li, O). Nesse caso o volume retomável da pilhc:a é todo o volume de material compreendido entre o perimetro do alimentador e a curva de intersecção (m) • A superficie c6nica de retomada é decorrente: das seguintes premissas: pilha isotróp~ca;

(*) Os silllbolos e unidades adotados, acham.,.se listados ao final do artigo.

607

material particulado solto (maciço incoerente), com &ngulo de atrito interno na reteimada igual a ~; ·dimensões · dos grAnules

desprezíveis em relação ' bbca de retomada; perimetro c.Írcular do retomador (alimentador do sistema de retomada). A partir disso~· estudam-se as expressões analiticas para os vários casos:

A) Pilha cllnica: A equação · da superficie gerada pela curva z • f(X) girando. eiD torno do eixo coordenado oz é (3]:

(2)

Assim, para cones ortogonais como mostrados na figura 3 a curva z é uma reta geratriz (rt ou ra). Para a pilha (figura 3-a) tem-se: Z•H•(D.tga)/2 quando z-o; e Z•O quando X=D/2.

A equação da geratriz rt em XOY é: Z .. atX + bt; onde:

H = at • O + b1 :. bt "" H = ( D tga) I 2 O .., (atD/2) + b1 = at2D + Dtia :. a1 • - tga

Logo:

r1 -= Z1 - ( ~ - x) tga ,.. f(X) (3)

A equação do cone da pilha, no sistema de coordenadas XYZ, será, port;anto:

Zp = ( ~ . - / X2 + Y2 ) tga ( 4) '

Analogamente., para um cone de retl)mada (ortogonal

invertido) tem.- se para a geratriz:. r2 - zz - azx + .b2 (figura 3-b). Aqui: bz -o e .a2 .. tga. Loqo: n - Z2 • X . .. tga.

A equação do cone de retomada .no sistema auxiliar de .

coor~en~das xy~ é:

(5)

608

z

H

z

8

i

F~GURA 1 - ConfiquraçAo de Pilhas. l-a - Pilha canica, coa um ponto de retomada excêntrico. 1-b - Pilha lontitudinal de eixo reto.

609

'-1 _,

X

o•• CORTE A-&

FIGURA 2- CONFIGURAÇlO OE PILHA LONGITUDINAL DE EIXO ·ciRCULAR

FIGURA 2- configuração de pilha · ' longitudinal de eixo circular.

.,

,.jj ...

z . '

z z

X

•

FIGURA 3 - Idealização das superficie• cónicas. 3-a - Cone da pilha. 3-b - Cone de retomada com vértice _no plano (xoy)•(XOY). 3-c - InterseeçAo dos cones com mudança de coordenadas. J-,d- Cone de retomada com vértice abaixo do plano (XOY).

611

Se os planos (xoy) e (XOY) forem coincidentes', tem-se o caso de ·um alimentador de dimensão desprezivel em relação ao diâmetro (D) da pilha, como ilustrado na figura 3-c. Nesse caso z=Z e as coordenadas do ponto I = (Xi, Yi, Zi = O). No caso em que a área da boca do retomadorjalimentador não for desprezivel, o vértice do cone de retomada fica abaixo do

plano (XOY), como mostra o esquema da figura 3-d. Como o sistema (xyz) é dependente do retomador, é vantajo.so introduzir uma transformação de coordenadas para um sistema ~nico, por conveniência o referido a XYZ. Tem-se que:

{

X = X - Xi y = Y - Yi z = z.- zi

(6-a) (6-b) (6-c)

A equação do cone de retomada referida a coordenadas (X,

Y, Z) é obtida das aplicações das equações (6-a), (6-c) à

(5), a saber:

Zr = [/(X - X 12

- (Y - Yi) 2 ]tg~ + Zi (7)

A curva (m) de intersecção entre o cone da pilha e o de retomada é expressa pelo sistema dado pela ·consideração

simultânea das equações (4) e (7) . Por outro lado, a cota Zi do vértice do cone de extração pode ser obtida a partir da área equivale~t~ da boca do retomador usando-se trigonometria:

Zi = ... ~ . tg~ (8)

o volume global da pilha pode ser obtido da expressão:

n v= • D

3 • tga (9)

24

B) Pilha Longitudinal Reta: Como . se vê na figura 1-b, essa

pil~a ' pode· ser. s~bdlvidi,da geometr~camente em uma parte prismática de secção triangular de comprimento L' ·e dois semicones idênticos nas extremidades (de raio B/2), perfazendo

um comprimento total .. 1;- nç plano horiz,ontal de base.

Adotando um r~ferencial cartesiano triortogonal no centro do círculo basal da pilha, conforme mostram as diversas vistas da figura 1-b, tem-se para os flancos:

.• · · ! !

- traço do plano Til em (XOY) : reta Y ,; -B/2 (10-a) traço do plano TI2 em (XOY): reta Y =- B/2 (10-b)

- traço de Ut e TI2 em (XOZ): reta Z=H=(B/2).tga (10-c)

Por construção, ns e TI2 são paralelos ao eixo (OX), leigo suas equações independem da , abscissa .

Tit • btY + c1Z + d1 TI2 • b2Y + C2Z + d2

o o

(11-a) (11-b)

As expressões (11-a) e (11-b) podem ser obtidas a partir da equação do plano que passa por dois pontos e é paralelo à

direção do vetar " (X, Y, Z) (no presente caso: "= (1,0,0)):

I (X-Xt) (Y-Yt) (Z-Z1) I (X2-X1) (Y2-Yt) (Z 2-Zt) =(Y-Yt) (Z2-Zt)-(Z-Z1) (Y2-Y1)=0 Xv=1 Yv=O Zv=O

(12)

Para o plano Tit: Zt .. o, implica: Yt "' - B/2;

Z2 = H = (B/2) . tga, implica: Y2 O; Para o plano TI2: Zt "' o, implica Yt = B/2

Z2 • H -= (B/2) . tga, implica: Y2 = o

Substituindo os valores de Yt, Y2, Zt e Z2 na equação

(12), resulta para os flancos da parte priSmática da piiha:

Tit a tga . y - z + (B/2) TI2 • tga . y + z - (B/2)

nas equações (13-a) e (13-b),

z = [ 8 IYI] tga - 2- - .

tga = o (Y <

tga o (Y >

acima, ·obtélll-se:

O) O)

(13-a)

. (13-b)

(14)

613

As equações (13-a) e (13-b) sio válidas sob os vincules:

I X I s ( L ; . 8

} ; I Y I s B/2; Z s B/2 • tga

Para L/2 s I XI s ( L ; 8 ) valem as equações dos semicones

terminais, cujos vértices são:

Vl ,. ( B ; L O; ~ • tga) e Vz m ( L ; B ; O; ~ • tga).

Adotando as projeções (sobre o plano horizontal) dos vértices V1 e V2 como centros de dois referenciais auxiliares (x'~z') e (x", y", z"), respectivamente, as expressões dos (semi-) cones são:

Z' B T tga

Z" • ( B -2-

Tem-se que:

lx' y'

z'

lx" Y" z"

-[x + L- B] = _ X+ B - L . 2 --2--- y

= z

X _ L - B -2--

= y

.. z

X + B - L --2-

(15-a)

(15-b)

(16-a) (16-b)

(16-c)

(17-a)

(17-b)

(17-c)

Após a mudança de coordenadas para o referencial (XYZ),

resulta:

• Para o semicone de vértice V1 (com X< (B- L)/2 <O):

(18-a)

• Para o semicone de vértice Vz (com X> (L-· B)/2 >O):

z = ( 8 -2-

. Para ambos os semicones, tem-se:

) tga (18-b)

tga (18-c)

A equação para cada um dos cones de retomada é a própria equação (7), já que só depende das coordenadas (Xi, Yi, Zi) e do ângulo (3.

o volume total da pilha longitudinal reta é a soma dos volumes parciais, os quais . con·st~m de · um referente à parte

prismática de secção transversal triangular (Vt) e dois devidos aos semicones nas extremidades da pilha (Vz). Tem-se:

Vt

V2

1 -2-

1 -2-

8 . H (L - B) = + B2 (L - 8) tgcx

1 2 n 3 -r2 n . B • H = ~ 8 tga

(19)

(20)

(21)

C) Pilha Radial (em ferradura): Analogamente ao caso anterior, a pilha radial pode ser dividida geometricamente em três partes.: uma porção central, cuja projeção horizontal é um trapezóide circular, e dois semicones terminais. A porção central pode ser idealizada como a intersecção entre três superfícies: o plano horizontal· de base e dois cones de ãngulo de vértice igual a 2. (90°-a), representando os flancos da

• pilha, um ortogonal de vértice em O e outro ortogonal . . i ** ~nvert~do de vért ce o , como mostra o corte transversal A-A na figura 2. Usando o mesmo procedimento utilizado na

aplicação da equação (2): Z "' f (/ X2 + yZ ) 1 as equações dos cones Ct e C2 podem ser obtidas a partir das duas geratrizes: r=Z=aX+b•f(X). Desse modo, as equações procuradas são:

• cone Ct - (Rm - ~ ) J tga (22)

615

* cone C2 : Z = [ (Rm + ~ ) - / x2

+ Y2 J tga (23)

· Identicamente ao caso anterior, adotando dois referenciais

t~iortogonais (x'y'z~), de centro em 0', . e.· (x"ynz"), de centro

em 0 11 (conforme figura 2) I os semicones terminais são também

expressos analiticamente pelas equa9ões (15-a) e . (15-b). Corno

conseqüência · de urna rotação de ângulo t w/2, seguida de

translação, a mudança ·de coord~~adas dos sistemas auxiliares

para o referencial (X, Y, Z) é dada pelos sistemas de equações

abaixo:

(X- Rm.cos(~)) .cos(~) + (Y-: Rm.sen(~))senC~)

{

x" = (X - RJD.cos(~)) .cos(~) - (Y + Rm.sen(~) )sen(~) .

y" =-[ (X-Rm.cos(~)) .sen(~) + (Y + Rm.sen(~)) .cos'(~)]

z" = z

(24-a)

(24-b)

(24-c)

(25-a)

(25-b)

(25-c)

o sinal negativo do segundo membro, d~. equação (25-b) é . . ; ... . .

devido a uma inversão no sentido positivo do eixo dos y, após

as transformações citadas, corno se infere da convenção

mostrada na figura 2 (onde os eixos auxiliares foram

desenhados deslocados de seus centro~ verdadÉ!iros (O' e O")

por motivo de clareza). Levando as equações (24-a)(24-b} ... ,

e (25-c) em (15-a) e (15-b) obtém-se as expressões para os

semicones terminais da pilha.

A equação para cada cone de retomada é, do mesmo modo que

nos casos anteriores, a equação (7). o volume total da pilha radial é a soma dos volumes dos ·dois

semicones extremais (Va) com o do corpo do' eixo circular e

secção transversal ' triangular (VJ). Onde V2 é dada pela

equação (20) e

V 1 B .8 ( U • . c.>. "'-) U.B2

.c.>.Rm.tga .

3 - .,.- • • 180 • ""' - 720

o volume total, portanto 'é dado por:

n Bz.t ( ) V • 2Vz + V3 • ~ • gcx · • 308 + w.Rm

616 (26)

(27)

Geraçio ! Tratamento de Nllmeros ·Pseudo-aleatórios: Os

chamados métodos de Monte Carlo compreendem aquele ramo da

matemática experimental que trata de simulações usando números

aleatórios, ou rand6micos. O nome doa métodos deve-se à cidade

do principado de M6naco, famosa por suas casas de jogo; visto

ser a roleta um processo simpl•s de geraç!o desse tipo de

números. O sorteio n!o enviesado das coordenadas espaciais de

pontos da pilha envolve a geração de nllmeros pseudo-aleatórios

(1i), no intervalo fechado entre o,ooo e 1,000, e sua

subseqüente adequação para que todo terno (X(1t); Y(Tz);

Z(13)) caia dentro do volume delimitado pelas superficies da

pilha e pelo plano basal. Tais coordenadas devem possibilitar

uma varredura equiprovável.

Um dos problemas clássicos do desenvolvimento dos métodos

de Monte Carlo é o da geração de seqüên~ia aleatórias

suficientemente grandes para atender· aos requisitos de

convergência para cada aplicação especifica. Em vista da

desvantagem operacional do uso de grandes · tábuas de números

aleatórios, pode-se recorrer ou a "simuladores fisicos"

baseados na conversão de eventos aleatór'io's (como os do ruido

Johnson) em sinais digitalizados [ 4 ][ 5 j; ou - o que é mais

aplicável - a algoritmos matemáticos que gerem, a partir de

uma "semente", seqüência de números que simulam o

comportamento aleatório (embora sejam deterministas) e, por

isso ditos números pse~do-aleatórios.

o primeiro algoritmo proposto foi o do "centro dos

quadrados", o qual consiste em . assumir como o próximo número

da seqüênoia o formado pelos digitos centrais ~o quadrado . do

número · predecessor. A principal objeçAo a esse algoritmo é

que, .se, eventualmente, tais digites forem todos iguais a

zero, todos os valores seguintes forçosamente · serão nulos,

617 levando a estimaçlo enviesada, caso o algoritmo nlo preveja o

progresso da seqüência a partir de outra semente. Vários

outros algoritmos, mais eficazes, podem ser vistos nas

referências [4) e [6]. O presente trabalho utilizou uma rotina

baseada em estudos da teoria de números de Knuth (1969) e

desenvolvida por Foraythe, Malcolm e Molar, conhecida por

URAND (de "uniform random number generator"), listada em

FORTRAN na referência (7) (Para o IBM 360, por exemplo, tal

sequência torna-se periódica a partir do "231 -ésimo" termo).

o tratamento ou adequação dos números pseudo-aleatórios

reais: 71, 72, 73, r•, 75 (com 0,000 $ ri :s 1,000),

produzir pontos P • (Xp, Yp, Zp) interiores às pilhas,

ser obtido com as seguintes atribuições, segundo o tipo:

para

pode

A) Pilhas cõnicas:

Xp .. ± 0,5 • D • 71 .. 0,5.(-1)IFIX(10.72).0. 71 (28-a)

Yp. [<-1)IFIX(10.74).~ _ x:--] . 73 (28-b)

Zp = [ ~ - /X~ + Y~ ] • (tgcx) • rs (sempre postivo) ( 28-c)

B) Pilhas Longitudinais retas:

Xp • O,S(-l)IFIX(10.72) .L • . f 1 (29-a)

Se X~ está dentro da porção prismática <IXPI s 0,5 (L -B)),

então, tem-se que:

(-l)IFIX(l0.74) . B . 73 (29-b)

B -2- - IYpl ) • ( tgcx ) . . 1 P (29-c)

No caso de XP cair nas extremidades semicônicas

<IXpi>O,S(L.B)), tem-se:

Yp - (-1) IFIX(l0.74). [I+ - (Xp - L ; B) 2 ] .f3 (29-d)

618

(29-e)

C) Pilha radial: usando coordenadas polares e cartesianas (figura 2), tem-se:

' = artg ( 2:m ) (30)

o Angulo aleatório é dado por:

cSp = (-l)IFIX{l0.f2). ( ~ + •) • 71 (31-a)

Se o Angulo cSp cair na porç6o central anular da pilha w .

(cSp ~ --2-), tem-se:

B PP • (km - 2> + 7J.B (com: Xp • pcoscSp e Yp • psencSp) (31-b)

Se dentro desse Rm (e lcSpl w caso: p ~ ~ 2),

aleatória será dada por: t'

• então a cota

Zp = [ (Rm + ~ ) -Ir + y2 ] (tga) . 74 (31-c)

Caso PP < Rm (e lcSpl ~ W/2) 1 tem-se:

Zp = [I x2 + Y2 ' - (Rm - +>] (tga) • 1• (31-d)

Caso o ângulo tenha caido nas porções semicOnicas da pilha (ou seja: _lcSPI > w/2), valem as relações, usando também sistema auxiliar de coordenadas:

x' = x" = 0, 5 (-1)IFIX(l0.J4) .B. JJ (32-a)

Considerando-se as equações de mudanças de c;:oordenadas: (24-a) (24-b) (25-a) e (25-b) e sabendo-se que Y • XtgcS, tem-se:

(32-b)

Uma vez que sen2a + cos2a • 1 e x'•x" para um dado valor de

lcSpl, resulta:

619

X'p + Rnl Xp ,.

(cos(~) ltg&pl .sen(~)] + (32-c)

Yp = Xp . tg&p (32-d)

. se I &pi > w/2 e &p < o

y' "' - [xP - Rm. cos (~)] sen (~) + [ Yp w] w - Rm.sen(2) cos(2) ( 3 2-e)

Zp = z' = [ ~ - / x'2 + y'2 ] (tga) . rs (32-f)

• Se I &pI > W/2 e &p < O: a única equação que se modifica, mercê da convenção adotada na figura 2, é equação de y", dada a partir da equação (24-b), por:

y" •- [xP- Rm.cos(~)]sen(~)-[Yp + Rm.sen(~)]cos(~) (32-g)

Os valores de Xp, Yp e Zp são dados pelas equações

anteriores (32-c)(32-d) e (32-f), sendo que, na expressão de Zp, y' 2 deve ser substituido por y"2

•

Fluxograma de cálculo: A figura 4 apresenta o fluxograma conceitua! para o programa. Inicialmente há urna sub-rotina­

para ter os dados de modo coerente corn o tipo de pilha ern análise. Ern seguida, uma sub-:rotina de cálculo das equações dos N cones de retomada fornece as expressões de Zr (I) para cotejo com a cota aleatória ainda por ser determinada. A partir do .tipo de pilha, a sub-rotina de cálculo das

superficies limitantes da pilha Z .. f'(X: Y) fornece os valores máximos permissiveis para a cota dos pontos P e Q, aleatórios. A seguir o programa chama a subrotina de sorteio e de tratamento dos números pseudo-aleatórios, fornecendo urn ponto aleatório P • (Xp(l't, · n): Yp(l'J, l'4): Zp(rs)) (sendo rz e r• "digitas de sinal"). Sabendo-se que, se r é urna variável de

uma dada distribuição, a variável antitética (1-r) também terá a mesma distribuição, é conveniente calcular as coordenadas de

outro ponto Qs(Xp(l-rt,rz): Yp(l-rJ,l'4): Zp(l-rs)), resultando dois ciclos de cálculo para cada sorteio, corn ganho de

INÍCIO

LÊ : (ONDE APLICÁVEL) TIP0 1 D,I 1 1., oe,)J, N, Xo(l), Yo(II

A(I),W,Rm , l , f , ro,A,

CALCULA EQUAÇOl:S DOS CONES DE RETOMADA _Zr (I )• lo ( X,Y I

- CALCULA EQUAÇO-ES DE PONTOS INTERIORES

l• la ( X, Y)

CALCULA . EQUAÇÕES DOS PONTOS INTERIORES

Z•f4IX,YI

SORTEIA : Yt ,h , l'.r , Y4 • '(• (o, r.' t)

CALCULA EOUAÇÕES DOS PONTOS INTERIORES

Z•f,(X,Y)

CALCULA: P • ( Xp ( 11 1 Yt lo Yp ( y_, , l"4 ) 1 Zp ( Ys ))

Cio ( Xp I I - l"r 1

SELECIONA O PONTO ANTITÉTICO ZP-Zo

620

FIGURA 4 - Fluxograma para cálculo da fração de utilização (F) de pilhas pelo método de Monte carlo.

eficiência. 621

Após a obtenção das coordenadas de P e Q, o programa analisa a pertinência desses pontos nos cones de retomada. Se a cota, Zp, do ponto aleatório sob~:~e o par ordenado (Xp; Yp)

for maior que a cota Zr(I) do i-ésimo cone de retomada sobre

(Xp; Yp), implica que o ponto está dentro desse cone e,

portanto, como pertence ao volume · útil, há um incremento unitário do contador DENTRO. Se, por outro lado, Zp ~ Zr(I), para todo I entre 1 e N, o ponto pertence ao volume morto e

faz-se: FORA ~ FORA + 1.

Uma vez determinada a condição dos pontos aleatórios P e

Q, a fração F pode ser atualizada e o cálculo prossegue iterativamente até que haja convergência, ou seja, o valor de

F. atinja a estabilidade dentro da tolerância, c, e após vários

ciclos de passo finito, p. c e P são selecionados previamente

pelo operador. (Para maior rapidez, . cada atualização de F pode

ser feita somente após p ciclos de sorteios). Uma sub-rotina de cálculos complementares fornece os resultados para a impressão do relatório final. (Os

fluxograma têm seu significado variáveis ao final do artigo.)

..:;,

CONCLUSÕES

contadores qu~ aparecem explicitado na lista

A implementação do FORTRAN 77 forneceu

programa de forma estruturada

bons resultados no cálculo

no

de

em

de

configurações tipicas para as quais existem ábacos e gráficos

disponiveis [1][2], para permitir comparações. Em versão ainda

não otimizada atingiu a velocidade média de processamento de

.cerca de 1 . 000 iterações por segunao, demandando tempo de computação em torno de 6 minutos(computador pessoal AT 2861velocidade de processamento 12 MHz). Deve-se ressaltar

que, sendo o erro (c) do método dado por:

c "' Ke I j k2 + k3 a Ke I ~ (33)

para aumento da precisão f!!m uma casa decimal deve-se aumenta-r

o número de pontos em 100 vezes. Existem técnicas de redução

de variância como a "amostragem estratificada", na qual as

grandezas máximas de Xp, Yp e Zp são seccionadas em intervalos

nos quais se dão os sorteios de modo seqüêncial. Os interv.alos

podem ou não ser ponderados em função da variância da função

de cada um deles. O ganho de eficiência, em relação ao

processo simples de acerto-ou-erro, é de 30 a 100 vezes (6].

Outra técnica que chega a ganhos de eficiência de até 70o.ooo

vezes é a que usa o conceito de "funções ortonormais" (6]

I o processo adotado : de se lançar. mão de variáveis

antitéticas também eleva a ganho da ordem de 30 vezes, pois,

caso a estimativa obtida a partir de 11 tiver viés em dada

direção ou região, a estimativa obtida por (1 - 71) tenderá a

apresentar viés na região oposta, melhorando portanto o

resultado médio em direção ao verdadeiro valor da função

estimanda. Ressalte-se finalmente que, embora as técnicas de

Monte Carlo não sejam preconizadas para a simples integração

numérica, quando o problema é a determinação dos dominios de

integração para uma série de integrais contiguas, essas

técnicas podem ser de grande valia, como demonstra o presente

estudo.

REFERtNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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[ 7] - FORSYTHE et ali i. Computar Methods !.Q1: Mathematical Computation. Englawood Cliffis 1 1977. Prentice- Hall.

SIMBOLOGIA E UNIDADES DE MEDIDAS

at, a2 - coeficientes angulares das retas rt e r2 (-). A -área equivalente do retomadorjalimentador (m). bt 1 b2 - coeficientes de rt e r2 e dos planos ITt e nz (m) . B -largura da pilha (m). Ct 1 c2 - coeficientes dos planos ITt e nz. Ct, C2 - designação das superfícies cônicas (-). dt 1 d2 - coeficientes dos planos ITt e IT2 (-). D -diâmetro (m). f - designação genérica para função (-). F - fração de utilização da pilha (-). H -altura da pilha (m). i -índice (-). I -ponto de alimentação(-). IFIX(x)- parte inteira do nÜIIIero x {--) Ke - constante de proporcionalidade do erro (-) Kt 1 Kz, KJ - constantes de proporci'onalidade e contadores de

iteraçio (-). L -comprimento total da pilha (m). L' - comprimento da parte prismática (L'aL-B) (m). m - designaçio da curva de int•rsecção (-). m' - projeção sobre o plano horizontal de m (-). N - n~mero de alimentadores (-). p -passo do algoritmo de convergência (-). P -.ponto aleatório sorteado (-). Q -ponto antitético de P (-). rt, rz - geratrizes (-). Rm -raio médi~ de curvatura (m). V - volume (m ) • xi, x', X- abscissa segundo vários referenciais (m). yí, y', Y- ordenada segundo vários referenciais (m). z, z - cota segundo vários referenciais (m). a - ângulo de repouso ,dinAmico .(rd ou grau) . f3 - ângulo de repouso estático :(rd ou grau). 7i -número aleatório genérico entre O e 1 (-). óp -ângulo aleatório (rd ou grau). Ç -tolerância para critério de convergência (-). c -erro de estimação (-). ITt, IT2 - designação dos planos (flancos) (-). PP - raio vetor em coordenadas polares do ponto aleatório

(m). w -ângulo radial da parte central da pilha (rd ou grau). ~ - ângulo radial das extremidades da pilha (rd ou grau) .