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6. Tensores

Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Espacios Vectoriales − FCFM 1/351/35

Contenido: Tema 06

6. Tensores6.1 Transformaciones covariantes y contravariantes6.2 Operaciones de tensores6.3 Tensor métrico


Contenido: Tema 06



Transformaciones covariantes y contravariantesDefinición de tensores

Los tensores representan una generalización de escalares y vectores:Escalar cantidad que permanece invariante bajo rotaciones del

sistema coordenado, la cual puede ser especificada medi-ante el valor de un número.

Vector cantidad que tiene un número de componentes, el cuales igual a la dimensión del sistema coordenado, siendosus componentes transformadas como las coordenadasde un punto cuando el sist. coordenado es rotado.

En la notación o lenguaje de tensores:Escalar → tensor de rango 0, Vector → tensor de rango 1.

Generalizando, un tensor de rango n en un espacio d-dimensional,tendrá las sig. propiedades:• Componentes etiquetadas por n índices, donde a cada uno se leasignan valores desde 1 a d, teniendo un total de dn componentes.

• Las componentes se transforman de manera particular bajo unatransformación de coordenadas.


Transformaciones covariantes y contravariantesVectores contravariantes

Consideremos un sistema coordenado ortogonal, en dos dimensiones,en el cual deseamos hallar las componentes del vector r:Trazar una línea perpendiculardesde r hasta el eje x, obteniendola proyección de r en ese eje,siendo paralela al eje y.

Trazar una línea perpendiculardesde r hasta el eje y, obteniendola proyección de r en ese eje,siendo paralela al eje x.

i

j

r

xi

yj

y

x

observamos que los dos enfoques son equivalentes, obteniendo portanto r = xi + yj.



Consideremos ahora un sistema coordenado oblicuo, en dos dimen-siones. Al hallar sus componentes ya no se obtiene la proyección par-alela a un eje al generar la perpendicular del otro.

a1

a2

r

x1

x2

??

??

Por tanto, tenemos que decidir cual opción tomar:• paralelo a un eje?• perpendicular a un eje?



Tomando la opción de generar la comp. paralela a un eje, el eje x2,hasta llegar al eje x1, y de manera inversa la paralela a x1 hasta x2:

a1

a2

r

x1a1

x2a2

x1

x2

En este esquema las componentes serán,

x1, x2 ∴ r = x1a1 + x2a2

donde las componentes xi se les conoce como contravariantes, cumpliendocon la ley de adición del paralelogramo, y al vector con tales compo-nentes se le denomina vector contravariante.


Transformaciones covariantes y contravariantesVectores covariantes

Ahora considerando la opción de las componentes perpendiculares alos ejes x1 y x2,

a1

a2

r

x1a1

x2a2

x1

x2

a1

a2

r

x1a1

x2a2

x1

x2

x2a2

las componentes ahora serán x1 y x2, y se les conoce como comp.covariantes, sin embargo, tales componentes no cumplen con la regladel paralelogramo,

∴ r 6= x1a1 + x2a2.


Transformaciones covariantes y contravariantesVectores covariantes

Para obtener comp. adecuadas en el pro-ceso de proyecciones perpendiculares, con-sideremos un nuevo sistema coord. con lossig. vectores unitarios:

e1 ⊥ a2, & e2 ⊥ a1,

en donde nombramos a las proyecciones enel nuevo sist. coord. como L1 y L2,

∴ r = L1e1 + L2e2 = x1Senαe1 + x2

Senαe2,

= x1a1 + x2a2,

∀ a1 = e1

Senα, a2 = e2

Senα,

a1

a2

r

x1

x2

x1

x2

e1

e2

L2

L1

definiendo a r en términos de coordenadas covariantes x1 y x2.Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Espacios Vectoriales − FCFM 9/35

9/35

Transformaciones covariantes y contravariantesSistemas de vectores recíprocos

Los vectores base en los cuales se expande un vector con componentescontravariantes son,

a1, a2, a3,

mientras que los vectores base que sirven para expander un vector concomponentes covariantes son:

a1, a2, a3.

Ambos esquemas se expresan mediante relaciones recíprocas entre loselementos de las bases,

ai = aj × akai · (aj × ak)

, ai = aj × ak

ai · (aj × ak) ,

en donde los índices van en orden cíclico, y se cumple la siguienterelación de ortonormalidad:

ai · aj = δij , ai · aj = δji .


Transformaciones covariantes y contravariantesVectores base covariantes

Generalizando la descripción de un vector contravariante A,

A = A1e1 +A2e2 +A3e3,

=3∑i=1

Aiei = Aiei,

siendo que en la última expresión se utiliza la notación de Einstein:índices iguales (uno arriba, uno abajo) corresponde una sumatoria sobretodos los valores de ese índice.

Considerando al vector de posición r = xiei, podemos describir losvectores base ei como,

r = xiei ⇒∂r∂xi

= ei,

es decir, la derivada del vector de posición r con respecto a la co-ordenada xi nos arroja un vector tangente a la dirección de dichacoordenada (ei).



Para un sistema coordenado general ζi tenemos,

r(ζ1, ζ2, ζ3) = xi(ζj)ei,

en donde xi(ζi) significa que las coord. (cartesianas) se pueden ex-presar como funciones de coordenadas generales ζj , por ejemplo lascoord. polares: x(r, θ) = rCosθ, y(r, θ) = rSenθ.

Ahora, un vector t1 tangente a ζ1 vendrá dado como la diferenciaentre dos vectores de posición asociados con un cambio infinitesimalen la coord. ζ1: dζ1,

t1(ζj) = r(ζj + dζ1)− r(ζj),

pero: ∂r∂ζ1 = r(ζj + dζ1)− r(ζj)

dζ1 ,

⇒ t1(ζj) = ∂r∂ζ1dζ

1.



Con lo anterior podemos generalizar para las demás direcciones y definir:

gj = ∂r∂ζj

→ vector tangente en la dir. ζj ,

⇒ gj = ∂xi

∂ζjei ∀ r(ζj) = xi(ζj)ei.

• la relación entre gj y ei define una transformación lineal,• tal transformación es no-singular,• las tangentes gi se les denomina vectores base covariantes,• la base gi por lo general no es ortogonal ni unitaria, y usualmentees función de la posición.


Transformaciones covariantes y contravariantesVectores base contravariantes

Para determinar la estructura de los vectores base contravariantes gi,recordemos:

gi · gj = δij ={

1 i = j

0 i 6= j

donde: gi = αilel,

es decir, en términos de las componentes cartesianas el.Por tanto, aplicando la condición de reciprocidad entre las bases,

gi · gj =(αilel

)·(∂xk

∂ζjek

)= αil

∂xk

∂ζjel · ek,

= αil∂xk

∂ζjδlk = αik

∂xk

∂ζj,

pero gi · gj = δij ⇒ αik∂xk

∂ζj= δij .


Transformaciones covariantes y contravariantesVectores base contravariantes

Del resultado anterior, multipliquemos ambos lados por ∂ζj/∂xl,

αik∂xk

∂ζj= δij

⇒ αik∂xk

∂ζj∂ζj

∂xl= δij

∂ζj

∂xl,

αik∂xk

∂xl= ∂ζi

∂xl, debido a la regla de la cadena,

αikδkl = ∂ζi

∂xl, las coord. xl son linealmente independientes,

∴ αil = ∂ζi

∂xl,

con lo cual, sustituyendo en la expresión para gi,

gi = αilel ⇒ gi = ∂ζi

∂xlel,

representando a los vectores base contravarintes.Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Espacios Vectoriales − FCFM 15/35

15/35

Transformaciones covariantes y contravariantesComponentes covariantes y contravariantes

Para obtener las componentes de un vector A en la base covarainte,se aplica el producto escalar con los vectores base contravariantes,

A = Akgk,∀ A · gi = Akgk · gi,

= Akδik,

= Ai.

De manera similar, las componentes del vector A en la base contravari-ante se obtienen aplicando el producto escalar con los vectores basecovariantes,

A = Akgk,∀ A · gi = Akgk · gi,

= Akδki ,

= Ai.



Para obtener la descripción de las componentes de un vector en un sist.coordenado general en función de las coord. cartesianas, utilizamos:

A = Akek = Akek,

en donde las componentes contravariantes asociadas al sistema coor-denado ζi vienen dadas como,

A = A′kgk,

∀ A′i = A · gi = Akek · gi,

pero: gi = ∂ζi

∂xlel,

∴ A′i = Ak

∂ζi

∂xlek · el = Ak

∂ζi

∂xlδlk = Ak

∂ζi

∂xk,

lo que se conoce como transformación contravariante, siendo que lascomponentes Ai definien un vector contravariante.



Ahora, para las componentes covariantes tenemos:A = A′kgk ∀ A′i = A · gi = Akek · gi,

pero: gi = ∂xl

∂ζiel, ∴ A′i = Ak

∂xl

∂ζiek · el = Ak

∂xl

∂ζiδkl = Ak

∂xk

∂ζi,

definiendo una transformación covariante, y las componentes Ai de-terminan un vector covariante.

Utilizando las transformaciones de coord. anteriores para tensores derango 2,

A′ij = Akl

∂ζi

∂xk∂ζj

∂xl→ contravariante,

B′ij = Bk

l

∂ζi

∂xk∂xl

∂ζj→ mixto,

C ′ij = Ckl∂xk

∂ζi∂xl

∂ζj→ covariante.


Contenido: Tema 06



Operaciones de tensoresAdición y sustracción de tensores, simetría

La adición y sustracción de tensores se define en términos de suselementos individuales,

A+B = C ⇒ Aij +Bij = Cij ,

en donde para poder operarlos se requiere que sean del mismo rango,en el mismo espacio, y ambos covariantes o contravariantes.

Simetría• En general Amn 6= Anm.• Si Amn = Anm ⇒ A es simétrico.• Si Amn = −Anm ⇒ A es antisimétrico.Cualquier tensor de rango 2 se puede descomponer en partes simétricasy antisimétricas,

Amn = 12 (Amn +Anm) + 1

2 (Amn −Anm) ,

∀ 12 (Amn +Anm) → simétrico, 1

2 (Amn −Anm) → antisimétrico.


Operaciones de tensoresContracción

En vectores, el producto escalar se expresa como,

A ·B =∑i

AiBi,

es decir, tomando dos elementos del espacio vectorial con rango 1 ymult. mediante el producto escalar se obtiene un elemento de rango 0.

Para tensores tal proceso se le conoce como contracción,

Bij ⇒ Bi

i se igualan índices j → i y se suma sobre i.

Analizando el comp. de la contracción de un tensor de rango n = 2:

B′ii = Bk

l

∂ζi

∂xk∂xl

∂ζi= Bk

l

∂xl

∂xk= Bk

l δlk = Bk

k ,

por tanto, la contracción de B si resulta invariante, es decir, un es-calar.En general, la contracción reduce el rango del tensor: n→ n− 2.


Operaciones de tensoresProducto directo

Los componentes de dos tensores1 pueden ser multiplicados, compo-nente a componente, para formar un nuevo objeto con todos los índicesde ambos factores.• El objeto resultante se le conoce como producto directo.• Su rango será la suma de los rangos de los factores.• El órden de los índices se puede mezclar, pero no la naturaleza deéstos (covariante o contravariante).

Ejemplo

AikBjlm = Cijklm,

AjBilk = Dij

lk.

1de cualquier rango y carácter (covariantes o contravariantes).Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Espacios Vectoriales − FCFM 22/35

22/35

Operaciones de tensoresProducto directo: ejemplo

Consideremos el producto interno de dos vectores:

ai = vector covariante, bj = vector contravariante,⇒ aib

j = cji ← tensor de rango 2 mixto.

Verifiquemos la naturaleza del objeto obtenido cji mediante las reglasde transformación,

c′ji = a′ib

′j = ak∂xk

∂ζibl∂ζj

∂xl= clk

∂xk

∂ζi∂ζj

∂xl,

lo cual representa la transformación de un tensor de rango 2 mixto.

Formando ahora la contracción cii,

c′ii = clk

∂xk

∂ζi∂ζi

∂xl= clk

∂xk

∂xl= clkδ

kl = ckk,

es decir, es invariante ante la transformación, por lo que cii = aibi es

un escalar.Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Espacios Vectoriales − FCFM 23/35

23/35

Operaciones de tensoresTransformación inversa

Consideremos un vector contravariante Ai, con su correspondiente reglade transformación,

A′j = Ai

∂ζj

∂xi,

entonces podemos definir la transformación inversa como,

Ai = A′j ∂x

i

∂ζj.

Verificando la transformación,

Ai = A′j ∂x

i

∂ζj⇒ Ai

∂ζk

∂xi= A′

j ∂xi

∂ζj∂ζk

∂xi

∴ Ai∂ζk

∂xi= A′

j ∂ζk

∂ζj= A′

jδkj = A′

k,

lo cual representa la def. de una transformación contravariante.Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Espacios Vectoriales − FCFM 24/35

24/35

Operaciones de tensoresTransformación inversa

Del resultado obtenido para la transformación inversa,

A′j = Ai

∂ζj

∂xi⇒ Ai = A′

j ∂xi

∂ζj,

uno podria pensar que se cumple,

∂ζj

∂xi=[∂xi

∂ζj

]−1

,

sin embargo tal aseveración es incorrecta, ya que se tiene realmenteuna sumatoria definida por la notación de Einstein,

A′j = Ai

∂ζj

∂xi= A1 ∂ζ

j

∂x1 +A2 ∂ζj

∂x2 + . . .

Ai = A′j ∂x

i

∂ζj= A′

1 ∂xi

∂ζ1 +A′2 ∂x

i

∂ζ2 + . . .

∴∂ζj

∂xi6=[∂xi

∂ζj

]−1

.


Operaciones de tensoresRegla del cociente

Consideremos dos tensores Aij y Bkl, entonces:

AijBkl = Cijkl

definirá un tensor con un rango y naturaleza especificada mediante elproducto directo.

Ahora, si tenemos dos tensores A y B de rango indicado por el númerode índices en las siguientes expresiones:

KiAi = B, Kj

iAj = Bi, KjiAjk = Bik,

KijklAij = Bkl KijAk = Bijk,

entonces K también se puede considerar un tensor?Debido a que la división de tensores no está definida, es que se utilizapara estos casos la regla del cociente:Si la ecuación analizada se mantiene en todos los sistemas coordenadostransformados ⇒ K será un tensor de rango indicado por sus índicesy naturaleza covariante o contravariante.


Operaciones de tensoresRegla del cociente: demostración

Consideremos el siguiente caso y analizemos la transformación general,

KjiAj = Bi ⇒ K ′

jiA′j = B′i,

siendo que B′i se ha transformadio de manera covariante,

B′i = Bm∂xm

∂ζi,

pero: Bm = KjmAj ⇒ B′i = Kj

mAj∂xm

∂ζi,

considerando ahora la definición de la transformación covariante in-versa para An:

A′n = Aj∂xj

∂ζn⇒ Aj = A′n

∂ζn

∂xj


Operaciones de tensoresRegla del cociente: demostración

∴ B′i = KjmAj

∂xm

∂ζi∀ Aj = A′n

∂ζn

∂xj,

= KjmA′n∂ζn

∂xj∂xm

∂ζi= Kn

mA′j∂ζj

∂xn∂xm

∂ζi,

en donde para el último paso, al ser índices mudos en el lado derechode la ecuación, hicimos n↔ j.Ahora,

B′i = KnmA′j∂ζj

∂xn∂xm

∂ζi∀ B′i = K ′

jiA′j ,

∴ K ′jiA′j = Kn

mA′j∂ζj

∂xn∂xm

∂ζi⇒

[K ′

ji −Kn

m

∂ζj

∂xn∂xm

∂ζi

]A′j = 0,

debido a que A′j es arbitrario⇒ el factor en corchetes debe anularse,

∴ K ′ji = Kn

m

∂ζj

∂xn∂xm

∂ζi,

es decir, K es un tensor de rango 2.Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Espacios Vectoriales − FCFM 28/35

28/35

Operaciones de tensoresSímbolo de Levi-Civita

El símbolo de Levi-Civita se define como,

εijk =

+1 ← si i, j, k es una permutación par de 1, 2, 3,−1 ← si i, j, k es una permutación impar de 1, 2, 3,0 ← cualquiera dos índices iguales).

,

es decir, tendríamos:

ε123 = ε231 = ε312 = 1, ε321 = ε213 = ε132 = −1, ε322 = ε121 = 0,

siendo εijk = εijk antisimétrico, es decir, que cambia de signo bajo elintercambio de cualquiera de sus índices.

EjemploUna aplicación del símbolo de Levi-Civita es expresar de manera com-pacta el determinante de una matriz 3× 3,

|A|εlmn = AilAjmA

knεijk


Operaciones de tensoresSímbolo de Levi-Civita: ejemplos

El símbolo εijk también se utiliza para la descripción de expresiones decálculo vectorial,

a = b× c ⇒ ai = εijkbjck,

(∇× v)i = εijk∂vk

∂xj,

[∇× (∇× v)]i = εijk∂

∂xj

(εklm

∂vm

∂xl

),

= εijkεklm∂2vm

∂xj∂xl.

Siendo que el símbolo δ tambén se puede explotar para el mismo fin,a · b = aibjδ

ji ,

∇2Φ = ∂2Φ∂xi∂xj

δij ,

[∇ (∇ · v)]i = ∂

∂xi

(∂vj

∂xk

)δkj .


Contenido: Tema 06



Tensor métricoDefinición

Considerando ζi como las coordenadas de un sistema coord. general-izado, se había definido los vectores base covariantes gi y contravari-antes gi como,

gi = ∂xj

∂ζiej , gi = ∂ζi

∂xjej , ∀ gi · gj = δji ,

con lo cual se puede describir un vector genérico A en cualquiera delas dos bases,

A = Aigi → vector covarianteA = Aigi → vector contravariante.

Con el conocimiento de los vectores base covariantes, es posible cal-cular la longitud de arco ds:

(ds)2 = dr · dr =(gidζi

)·(gjdζj

),

= gijdζidζj ∀ gij = gi · gj ,


Tensor métricoPropiedades

El análisis también se puede realizar con una base contravariante,

(ds)2 = dr · dr =(gidζi

)·(gjdζj

),

= gijdζidζj ∀ gij = gi · gj .

De los resultados anteriores se observa lo siguiente:• (ds)2 es un escalar,• ∴ gij es un tensor covariante y gij uno contravariante, ambos derango 2.

• A estos tensores se les conoce como tensor métrico.• gij es simétrico, y no necesariamente diagonal.• Los tensores métricos covariantes y contravariantes se relacionanmediante:

gikgjk = gjkgik = δij .

es decir, uno es el inverso del otro.Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Espacios Vectoriales − FCFM 33/35

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Tensor métricoPropiedades y ejemplo

Una de las propiedades fundamentales de los tensores métricos es quese pueden utilizar para realizar conversiones entre formulaciones co-variantes y contravariantes,

gijFj = Fi, gijFj = F i.

Coordenadas esféricasEn coordenadas esféricas tenemos (ζ1, ζ2, ζ3) = (r, θ, φ), siendo larelación entre ellas:

x = rSenθCosφ, y = rSenθSenφ, z = rCosθ

en donde para los vectores base covariantes gi = el∂xl/∂ζi se tiene:

gr = SenθCosφe1 + SenθSenφe2 + Cosθe3,

gθ = rCosθCosφe1 + rCosθSenφe2 − rSenθe3,

gφ = −rSenθSenφe1 + rSenθCosφe2.


Tensor métricoEjemplo: coordenadas esféricas

Con las exp. anteriores podemos calcular el tensor métrico gij = gi·gj :g11 = 1, g12 = 0, g13 = 0,g21 = g12 = 0, g22 = r2, g23 = 0,g31 = g13 = 0, g32 = g23 = 0, g33 = r2Sen2θ,

por tanto, describiendo al tensor métrico en representación matricialcovariante:

[gij ] =

1 0 00 r2 00 0 r2Sen2θ

,obteniéndolo de manera análoga para la representación matricial con-travariante,

[gij ] =

1 0 00 r−2 00 0 (rSenθ)−2

.Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Espacios Vectoriales − FCFM 35/35

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