6 Построение эпюр внутренних силовых...
TRANSCRIPT
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
1
Рис. 1
Рис. 2
Лекция 6 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса (продолжение)
1 Правила знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
В курсе ММК приняты следующие правила знаков:
а) для поперечных сил:
Внешняя сила, действующая по любую
сторону от данного сечения, дает
положительный вклад в величину
поперечной силы, действующей в сечении,
если пытается повернуть
рассматриваемую часть балки по часовой
стрелке относительно главной
центральной оси инерции данного
сечения, перпендикулярной плоскости чертежа:
б) для изгибающих моментов (рис.2):
Внешняя сила, действующая по
любую сторону от данного сечения,
дает положительный вклад в
величину изгибающего момента,
действующего в данном сечении, если
действие этой внешней силы
приводит к сжатию верхних и растяжению нижних слоев балки.
2 Примеры построения эпюр поперечных сил и изгибающих
моментов
При построении эпюр принято:
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
2
l PxII I
z x
x
P M x( )y Q x( )z I
II M x( )
P
Qz (x), H
O
O Pl
My (x), Нм
y
Q x( )z
y
y
y
z
z
Рис. 3
1) строить эпюры изгибающих моментов на растянутых волокнах балки. С
учетом принятого правила знаков + – это означает, что положительные
значения моментов откладываются вниз, отрицательные - вверх;
2) ось z в рассматриваемом сечении направлять вниз (для согласования в
дальнейшем правила знаков для изгибающих моментов и нормальных
напряжений).
Консольные балки
При построении эпюр для
консольных балок имеется
принципиальная возможность
обойтись без определения опорных
реакций и реактивного момента в
жестком защемлении.
Пример 1 (рис. 3).
Дано: P, l.
Необходимо: построить эпюры Qz(x)
и My(x).
Решение.
Разделим мысленно балку на две
части I и II. Выделим часть I балки
и рассмотрим ее равновесие:
PxQxQPP zzz 0 , (1)
хPxMxPxMPM yyy 0 . (2)
Соотношение (2) определяет модуль изгибающего момента, но
противоречит принятому ранее правилу знаков. Учитывая это правило
знаков, запишем окончательно:
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
3
My(x) = -Px. (3)
Эпюра построена на рис. 3.
Замечания 1. Все остальные ВСФ равны нулю в рассматриваемом сечении;
2. Qz(x) и My(x) – это усилие и момент, с которыми части балки I и II взаимодействуют друг с другом.
Пример 2 (рис.4)
Дано: M, l.
Необходимо: построить
эпюры Qz(x), Мy(x).
Решение
1. Построение эпюры Qz(x).
0xQIz (4)
Соотношение (4) имеет место
потому, что момент М создается парой сил, поэтому их суммарная
проекция на любое направление всегда равна нулю.
2. Построение эпюры Му(х).
MxM Iy . (5)
Эпюры построены на рис. 4.
Пример 3 (рис. 5)
Дано: q, l.
Необходимо: построить
эпюры Qz(х) и My(х).
Решение
1. Применим метод сечений и
рассмотрим равновесие пра-
Рис. 4
Рис. 5
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
4
вой части. Заменим равномерно распределенную нагрузку, действующую
справа, ее равнодействующей и укажем положение линии ее действия
Rq(x) = qx. (6)
2. Запишем уравнение для поперечной силы, используя правило:
qlqxxRxQ lxxqz 00 . (7)
3. Запишем уравнение Му(х):
2
022
2
0
2 qlxq
xxRxM lx
xqy
. (8)
4. Строим эпюры (рис. 5). Пример 4 (рис 6)
Дано: l, линейный закон
распределения внешней нагрузки по
длине, ее максимальное значение q0.
Необходимо: построить эпюры Qz(x),
M(x).
Решение 1. Рассмотрим равновесие правой
части. Заменим распределенную
нагрузку ее равнодействующей,
укажем линию ее действия:
2
xxqxRq . (9)
Но очевидна пропорция
l
qxxq
l
x
q
xq
0. (10)
Тогда
l
xqxRq 2
20 . (11)
2. Запишем уравнение для Qz(x) и My(x):
Рис. 6
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
5
2
02
0
0
20 lq
l
xqxRxQ lx
x
qz
(12)
6
063
20
0
30 lq
l
xqxxRxM lx
x
qy
. (13)
Эпюры построены на рис. 6.
Пример 5 (рис.7) Дано: l, распределенная по
линейному закону нагрузка с
максимальным значением q0.
Необходимо: построить эпюры Qz(x),
My(x). Решение
При рассмотрении равновесия правой
части возникает определенная
трудность вычисления равнодейст-
вующей от трапецеидальной нагрузки
и ее центра тяжести.
Для упрощения вычислений
исходную нагрузку преобразовываем, заменяя ее суммой двух: равномерно
распределенной, действующей вниз и линейно распределенной,
действующей вверх. Эти нагрузки заменяются равнодействующими xRq
и xRq .
Очевидно, что
xqxRq 0 (14)
и
Рис. 7
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
6
xRq = l
xq
2
20 (15)
Запишем уравнения ВСФ, используя принцип суперпозиции:
2
02
0
0
20
0lq
l
xqxqxRxRxQ lx
x
qqz
, (16)
3
06232
20
0
30
20 lq
l
xqxqxxR
xxRxM lx
x
qqy
. (17)
Эпюры построены на рис. 7.
Двухопорные балки
Для двухопорных балок
построению эпюр Qz и My дол-
жно предшествовать определе-
ние опорных реакций.
Пример 6 (рис. 8)
Дано: P, a, b.
Необходимо: построить эпюры
Qz(x) и My(x).
Решение
Определение опорных реакций
RA и RB
0ba
aPRbaRPaPM BBA
, (18)
0ba
bPRbaRPbPM AAB
. (19)
Рис. 8
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
7
2. Разбиваем балку на участки и показываем направления их обхода.
Границами участков являются точки приложения сосредоточенных сил и
моментов, начала и окончания действия распределенной нагрузки.
3. Записываем уравнения:
ba
bPRxQ A
Iz
, (20)
ba
aPRxQ B
IIz
, (21)
ba
baPx
ba
bPxRxM axxA
Iy
00 , (22)
ba
baPx
ba
bPxRxM bxxB
IIy
00 . (23)
Заметим, что скачки на
эпюрах численно равны тем
внешним силовым факторам,
которые приложены в
соответствующих сечениях.
Пример 7 (рис. 9) Дано: М, а, b. Необходимо: построить
эпюры Qz(x), My(x).
1. Определение опорных
реакций.
0baRMPM BA ,
ba
MRB
. (24)
A
RA
x x
M RB
I II
z z a b
O
Qz (x), H
ba
M
My (x), Hм ba
bM
baaM
y
y
O
Рис. 9
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
8
0baRMPM AB , ba
MRА
. (25)
2. Разбиваем балку на участки и показываем направления их обхода
(см. рис. 9).
3. Записываем уравнение Qz(x) и Му(х)
ba
MRxQ A
Iz
, (26)
ba
MRxQ B
IIz
, (27)
ba
aM
ba
xMxRxM ax
xA
Iy
00
, (28)
ba
bM
ba
xMxRxM bx
xB
IIy
00
. (29)
Замечание. Скачок на эпюре Му(х) в сечении, где приложен сосредоточенный момент М, численно равен этому моменту. Пример 8 (рис. 10)
Дано: q, l. Необходимо: построить эпюры
Qz(x), My(x) Решение
1. Определим опорные реакции
02
2 ql
lRPM BA ,
2
qlRB . (30)
02
2 lR
qlPM AB ,
ql
RA 2 . (31)
4. Запишем уравнения для Qz(x) и
Му(х): Рис.10
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
9
222 0qlql
qxql
qxRxQlx
xAz
. (32)
8
002
2
20
2 qlqxxRxM l
xlxx
Ay
. (33)
Эпюры построены на рис. 10.
3 Дифференциальные соотношения между распределенной
нагрузкой, поперечной силой и изгибающим моментом
Представим на рисунке двухопорную балку и выделим двумя
бесконечно близкими поперечными сечениями элемент длиною dx:
Пусть в левом поперечном сечении элемента действуют
положительные My и Qz. Т.к. в общем случае они являются произвольными
функциями х, в правом сечении My и Qz будут отличаться соответственно
на dMy и dQz. Поперечная сила и изгибающий момент в правом
поперечном сечении будут тоже положительными в силу малости dx.
Рассмотрим равновесие выделенного элемента:
0 dxxqQdQQP zzzz , откуда
Рис. 11
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
10
dx
dQxq z . (34)
02
dxQMdx
dxxqdMMPM zyyyA , откуда
dx
dMQ
yz . (35)
Величиной 2
dxdxxq пренебрегаем, т.к. это величина более высокого
порядка малости. Подставляя значения Qz (35) в (34), получаем:
2
2
dx
Md
dx
dQxq
yz . (36)
Замечание Полученные соотношения справедливы с точностью до
знака.
Рассмотрим конкретный
пример, на котором проиллюс-
трируем соотношения (34) –
(36).
Пример 9 (рис. 12).
Дано: М =80 кНм, q1 = 40 кН/м,
q2 = 20 кН/м,
а = 3 м, b = 2 м, с = 2 м.
Необходимо: построить эпюры
Qz(х) и Му(х).
Решение
1. Определение опорных
реакций.
Рис. 12
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
11
023
2
2 21
c
bacqaa
qbaRMPM BA , откуда RB = 56 кН
0232 21
c
cqbaRa
ba
qMPM AB , RA = 44 кН.
2. Разбиение на участки. Располагаем в центрах тяжести произвольных
сечений I-I, II-II, III-III систему координат x, y, z.
3. Запись уравнений Qz(x) и My(x) на участках:
кН. 166044442
кН, 165640
кН, 400
0
21
2
02
ax
x
AIIIz
BIIz
cxx
Iz
a
xqRxQ
RcqxQ
xqxQ
Рассмотрим справедливость соотношения (34) на I-м участке: q = q2 =
const, следовательно, график Qz(x) на этом участке – наклонная прямая
линия.
На участке II – II q = 0, следовательно, график Qz(x) на этом участке –
прямая, параллельная оси х.
На участке III – III xQIIIz - квадратная парабола, т.к. q = q1 – линейная
функция х.
На опоре А (при х=0) q = 0, следовательно, касательная к графику Qz(x) в
этой точке должна быть || оси х.
кНм 4002
0
22
cx
x
Iy
xqxM ,
кНм 8402 02 bxxB
IIy xR)x
c(cqxM ,
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
12
кНм 7206
0
31
ax
xA
IIIy a
xqxRxM .
Проиллюстрируем применение (35) при построении эпюры Му(х):
На I участке xM Iy - квадратная парабола, при построении которой
необходимо учитывать, что в сечении х = 0 имеем Qz =0, следовательно,
касательная к графику должна быть горизонтальна.
На II участке xM IIy – линейная функция.
На III участке необходимо учесть, что в сечении х = хЭ имеем Qz = 0,
следовательно, в этом сечении функция xM y имеет экстремальное
значение.
Координата сечения с экстремальным изгибающим моментом хЭ
находится из условия:
кНм. 36,756
м. 57,2 02
31
21
a
xqxRM
xxa
qRxQ
ЭЭA
Эy
ЭЭAIIIz
Очевидно, что при х = хЭ касательная к графику Му(х) параллельна оси х.
4 Проверка правильности построения эпюр Qz(x) и My(x)
1. Величины скачков на эпюре Qz(x) численно равны значениям
внешних сил, приложенных в соответствующих сечениях.
2. В точках (сечениях), где приложены сосредоточенные моменты
внешних сил, имеют место скачки на эпюре My(x), численно равные
величинам этих моментов.
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
13
3. Проверка правильности построения эпюр осуществляется также по
дифференциальным соотношениям (34) и (35).
4 Построение эпюр внутренних силовых факторов для статически
определимых плоских рам
Вводные замечания. Стержневая система, элементы которой работают на растяжение – сжатие, называется фермой. Для фермы характерно шарнирное соединение элементов и приложение внешних усилий в узлах соединения элементов. Примеры ферм приведены на рис. 13.
Рис. 13 Если элементы стержневой системы работают, в основном, на изгиб или кручение,
такая система называется рамой. Для рамы характерно жесткое соединение элементов в узлах и приложение внешних нагрузок в произвольных точках. Примеры плоских рам представлены на рис. 14.
Рис. 14 Отличие фермы от рамы ясно из рис. 15.
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
14
Рис. 15 Система называется статически определимой, если реакции внешних связей и
внутренние силовые факторы могут быть определены с помощью уравнений статического равновесия (см рис. 16, где слева показана статически определимая рама, а справа – статически неопределимая).
Рис. 16
Будем рассматривать простейшие плоские статически определимые
рамы. Для всех элементов таких рам Qy = 0, Mz = 0, Mx = 0,
если ось у нормальна к плоскости рамы.
При построении эпюр N(x), Qz(x), My(x) будем пользоваться принятыми
ранее правилами знаков. Заметим, что положительное направление оси z
на горизонтальных участках предпочтительно выбирать совпадающим с
направлением вниз.
Пример 10 (рис. 17)
Дано: Р, a, b.
Рис. 17
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
15
Необходимо: построить эпюры N(x), Qz(x), My(x).
Решение
1. Разбиваем раму на участки и показываем направления их обхода.
2. Определяем ВСФ в произвольных поперечных сечениях участков:
NI(x) = 0, 0xQI
z , РaPxxM axxIy 00 ,
PxN II , 0xQIIz , РaxM II
y .
3. Строим эпюры (рис. 18)
Рассмотрим особенности построения эпюр ВСФ для рам, содержащих
элементы с криволинейной осью.
Пример 11 (рис. 19).
Дано: M, P, R.
Необходимо: построить
эпюры N(x), Qz(x), My(x).
Решение
Рис. 18
Рис. 19
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
16
1. Разбиваем брус на участки и показываем направления их обхода.
2. Определяем N(x), Qz(x), My(x) в поперечных сечениях участков I и II.
I – I 0<</2
NI(x) = 0; 0xQI
z ; MxM Iy .
II – II 0<</2
PsinPxN /II 20 0 , 020 /
IIz PcosPxQ ,
PRMMsinPRMxM /IIy 20 .
3. Строим эпюры (рис. 20).
Плоские рамы могут быть как
консольными, так и двухопорными.
Очевидно, построению эпюр для
последних должно предшествовать
определение опорных реакций.
Пример 12 (рис. 21).
Дано: М = 40 кНм, q = 10 кН/м,
а = 1м.
Необходимо: построить эпюры
N(x), Qz(x), My(x).
Рис. 20
Рис. 21
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
17
Решение
1. Определение опорных реакций. Для плоской системы сил можно
составить три линейно независимые уравнения статического равновесия:
кН 30 0R 0
кН 30022R 0
кН 20 02 0
B
2B
ABABz
BA
AГAГx
RRP
RqaMaPM
RRqaP
2. Разбиение на участки. Показываем направления их обхода.
Границами участков, кроме точек приложения внешних усилий, являются
точки соединения прямолинейных и криволинейных участков.
Участок I-I: ax 0
30 BIx RxN кН, Qz
I(x) = 0, My
I(x) =0.
Участок II-II: 20
030 20 cosRxN BIIx ,
300 20 sinRxQ BIIz кН,
3001 20 aRcosaRxM BBIIy кНм.
Участок III-III: 20
300 20 sinRxN BIII кН,
030 20 cosRxQ BIIIy ,
20101 20 MsinaRxM BIIIy кНм.
Участок IV-IV: a20
30 ABIV RxN кН, 020 20 xxAГ
IVy qxRxQ ,
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
18
2002 2
0
2
x
xАГ
IVy
qxxRxM кНм.
3. Построение эпюр (рис. 22)
4. Проверка правильности построения эпюр производится по наличию
скачков и по дифференциальным соотношениям, а также по условиям
равновесия в узлах.
6. Построение эпюр внутренних силовых факторов для произвольно
нагруженных пространственных ломаных брусьев
Плоско-пространственным называют брус, все элементы которого
жестко соединены в узлах и расположены в одной плоскости, а внешние
усилия действуют в произвольных направлениях.
При решении внешние силы представляют в виде проекций на
принятые координатные направления. Расчет каждого из участков
ломаного бруса представляет собой результат наложения полученных
ранее решений.
Пример 13 (рис. 23).
Дано: а = 3м, b = 2м, с =1м, Р = 10 кН, q = 10кН/м.
Рис. 22
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
19
Необходимо: построить эпюры
внутренних силовых факторов
N(x), Qz(x), Qy(x), Mx(x), My(x),
Mz(x).
Решение.
1. Разбиваем брус на участки I,
II, III и в произвольных сечениях
каждого из них на расстоянии х от
начала располагаем систему
координат так, чтобы ось х совпадала с продольной осью бруса, ось z была
направлена вниз, а горизонтальная ось у составляла бы с двумя первыми
ортогональный базис одного и того же вида (правый или левый).
2. Записываем уравнения ВСФ в произвольном сечении каждого
участка, пользуясь ранее принятыми правилами знаков (вспомните,
какими?).
I-I 0 x a
0xN Ix , 0xM I
x ,
кН10 PxQIy , кН3000 axx
Iz qxxQ ,
кНм452
02
2
0 qax
qxxM axxIy ,
кНм3000 axxIz PxxM .
II-II 0 x b
кН10 PxN IIx , кНм45
2
aqaxM II
x ,
0xQIIy , кН30 qaxQII
z ,
кНм6000 bxxIIy qaxxM , кНм30 PaxM II
z .
III-III 0 x c
Рис. 23
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
20
0xN IIIx , кНм60 qabxM III
x ,
кН10 PxQIIIy , кН30 qaxQIII
z ,
15452 cx0
x
IIIy
axqaxM кНм,
кНм20300 cxxIIIz xaPxM .
3. Строим эпюры (рис. 24)
Замечание На прямых углах происходит взаимный «переход» Мх в Му и
наоборот.
Рис. 24