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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y DISTANCIA (UNAD)

Escuela De Ciencias Bsicas, Tecnolgicas E Ingeniera

CURSO 299011Robtica

TRABAJO COLABORATIVO 2

Tutor:

FREDY VALDERRAMA

Preparado por

ALEJANDRO ENRIQUE ALTAMARVILOMAR ENRIQUE CASTRO

JHON JADER RIVASJOSE BENITO VALDERRAMA

NELSON VARGAS

Colombia2012

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CONTENIDO

Introduccin...3.

Fase 1..4.

Fase 2..........8.

Fase 3.....14 .

Conclusiones.18 .

Referencias19 .

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INTRODUCCION

En primera instancia este trabajo realiza un reconocimiento de las normas departicipacin en los trabajos, buscando con esto que el estudiante haga una reflexinfrente a un cuestionario de autoevaluacin sobre el desempeo personal frente al

grupo de trabajo colaborativo, permitiendo intercambiar las diversas opiniones y lospuntos de vista de cada compaero. Seguidamente se formulan unas preguntas decarcter investigativo que nos ayudan a comprender mejor la temtica que se tratara atravs del desarrollo del trabajo.

Durante el desarrollo del trabajo colaborativo se hace un recorrido por la unidad 3 conuna serie de cuestionarios y ejercicios, los cuales busca que los estudiantes puedaninteractuar para encontrar distintas soluciones pero con una misma idea.

Por otra parte se estudiaran las los diversos mtodos matemticos para calcular laposicin, orientacin del efector final (extremo), y su espacio de trabajo para robotsmanipuladores.

En otra instancia nos permite distinguir y manejar los parmetros DH, que nosrepresentan la configuracin mecnica del robot, y de esta manera poder definircuantas y qu tipo de articulaciones puede conformar un robot.

Por ltimo propone realizar una investigacin sobre el significado geomtrico de lasmatrices de transformacin homognea, de la cual sabemos por el modulo que es lamatriz que permite hallar la posicin del extremo del robot.

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FASE 1 TRABAJO COLABORATIVO 2

1. Que son las coordenadas homogneas y cul es su utilidad?Las coordenadas homogneas permiten representar la localizacin en un espaciodimensional a travs de coordenadas de un espacio (n+1) dimensional. Es decir un

espacio de n dimensiones se encuentra representado en coordenadas homogneaspor (n+1) dimensiones, de tal forma que un vector p(x,y,z) vendr representado porp(wx,wy,wz,w), donde w tiene un valor arbitrario y representa un factor de escala. Suutilidad es para representar la posicin y orientacin de un sistema girado y trasladadoOWVW con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ, es decir, representar unarotacin y translacin realizada sobre un sistema de referencia.

2. Que son los parmetros de Denavit-Hartenberg?

Los parmetros de Denavit-Hartenberg estn asociados a cada una de lasarticulaciones del robot y permiten describir un robot compuesto por diferentesarticulaciones. Estos parmetros permiten definir una representacin de las relacionesde translacin y rotacin entre las articulaciones, seleccionndose adecuadamente lossistemas de coordenadas asociados a cada eslabn, de esta forma es posible pasar deuno al siguiente mediante 4 transformaciones bsicas que dependen exclusivamentede las caractersticas geomtricas del eslabn.El siguiente patrn de transformaciones permite relacionar el sistema de referencia del

elemento i con respecto al sistema del elemento 1i

Rotacin a travs del eje 1iZ un ngulo i

Translacin a lo largo de 1iZ una distancia i

d

Translacin a lo largo de iX

una distancia ia

Rotacin a travs del eje iX

un ngulo i

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3. Qu es cinemtica y Por qu es importante el estudio de la misma en elcontexto de la robtica?

La cinemtica del robot estudia el movimiento del mismo con respecto a un sistema de

referencia. As, la cinemtica se interesa por la descripcin analtica del movimientoespacial del robot como una funcin del tiempo, y en particular por las relaciones entrela posicin y la orientacin del extremo final del robot con los valores que toman suscoordenadas articulares. Existen dos problemas fundamentales para resolver lacinemtica del robot, el primero de ellos se conoce como el problema cinemticodirecto, y consiste en determinar cual es la posicin y orientacin del extremo final delrobot, con respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia,conocidos los valores de las articulaciones y los parmetros geomtricos de loselementos del robot, el segundo denominado problema cinemtico inverso resuelve laconfiguracin que debe adoptar el robot para una posicin y orientacin del extremoconocidas.

En conclusin el estudio de la cinemtica es muy importante dentro del contexto de larobtica ya que nos permite evaluar todos los movimientos que puede efectuar unrobot, inclusive trata tambin de encontrar las relaciones entre las velocidades delmovimiento de las articulaciones y las del extremo.

4. Qu es una cadena cinemtica?

Es un conjunto de elementos mecnicos que soportan la herramienta o til del robot(base, armadura, mueca, etctera). Los miembros de una cadena cinemtica sedenominan eslabones

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5. Cul es la utilidad de la matriz jacobiana en el contexto de la robtica? El Jacobiano es una matriz que se puede ver como la versin vectorial de la derivadade una funcin escalar. El Jacobiano es importante en el anlisis y control del

movimientode un robot (planificacin y ejecucin de trayectorias suaves, determinacindeconfiguraciones singulares, ejecucin de movimientos coordinados, derivacin deecuaciones dinmicas). Adems el Jacobiano permite conocer el rea de trabajo delrobot,y determinar las singularidades

6. Por qu es necesario estudiar diferentes sistemas de coordenadas en elcontexto de la robtica?Es de suma importancia el estudio de los diferentes sistemas de coordenadas, yaque podemos deducir la estructura y funcionamiento mecnica de los robots, suadaptacin y su funcionamiento en la industria. Por lo tanto tener en claro la cinemticadel robot ayuda a comprender su desarrollo mecnico el cual involucra ejes (x.y),

eslabones, parmetros, giros, etc. As asumiendo la motricidad de esos en el espacio.

7. Cul es la utilidad de las matrices de traslacin?

Puesto que una traslacin es un caso particular de transformacin afn pero no unatransformacin lineal, generalmente se usan coordenadas homogneas pararepresentar la traslacin mediante una matriz y poder as expresarla como unatransformacin lineal sobre un espacio de dimensin superior.

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8. Es posible hallar la matriz de transformacin homognea correspondiente acierto robot, sin usar los parmetros de Denavit-Hartenberg? Explique.

Aunque para descubrir la relacin que existe entre dos elementos contiguos se puedehacer uso de cualquier sistema de referencia ligado a cada elemento, la forma habitualque se suele utilizar en robtica es la representacin de Denavit-Hartenberg.

9. Defina que es para usted un aporte oportuno en el foro.

Es aquel que se hace al mismo tiempo con los dems compaeros es decir que todosvallamos al mismo ritmo e interactuando y opinando de cada tema que se entregue, noque se entregue un aporte que ya se halla debatido lo que hara retroceder al grupo y

confundir una idea la cual se haba concluido.

FASE 2 TRABAJO COLABORATIVO 2

En la siguiente figura se muestra un robot con dos grados de libertad, cuya base sepuede mover libremente en el eje Xb una distancia d. Adems gira un ngulo medidodesde el mismo ejeYb. La longitud de la barra del robot es L. Un objeto rgido situadoen el rea de trabajo del robot queda localizado por su sistema de referencia Sc.

Figura 1 Movimientos realizados por el robot

El extremo del robot est localizado en el origen del sistema Se, adems, se consideracomo sistema de referencia absoluto a Sb. En el extremo del robot existe una cmaraconectada a un software de visin artificial, el cual es capaz de entregar la posicin yorientacin del objeto referidas a Se, estas coordenadas se denotaran como

1 1 1( , , , , , )X Y Z donde:

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= Rotacin en el eje X

= Rotacin en el eje Y

= Rotacin en el eje Z

Determine la matriz de transformacin homognea b cT .Luego de esto determine la

posicin y orientacin del objeto considerando: X1=2 [cm], Y1=2 [cm], Z1= - 3 [cm], =30, =25, =10, d=6 [cm], =20, y L=12 [cm].

1. Determine la matriz de transformacin be

T as:

a. Determine la matriz de traslacin T(d) para d centmetros en el eje adecuado.De acuerdo al sistema de coordenado de referencia que se muestra en a la Figura 1 eleje de traslacin es el eje x, entonces se tiene la matriz de traslacin de la siguienteforma:

1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

d

d

T

, donde d es la traslacin en el eje x en cm

b. Determine la matriz de rotacin Rde grados usando el eje adecuado.

De acuerdo al sistema de coordenado de referencia que se muestra en a la Figura 1 setraslado el sistema una distancia d sobre el eje x, el eje de rotacin es el eje x,entonces se tiene la matriz de rotacin de la siguiente forma:

1 0 0 0

0 cos sin 0

0 sin cos 0

0 0 0 1

R

c. Determine la matriz de traslacin T(L) para L centmetros en el eje adecuado.

En el sistema coordenado el eje Y es el que se encuentra en la direccin de la barra,por lo cual la traslacin se realiza sobre el eje Y, entonces se tiene la matriz de

traslacin de la siguiente forma:

1 0 0 0

0 1 0

0 0 1 0

0 0 0 1

d

LT

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d. Usando los resultados de a, b y c, calcule la matriz de transformacin as:

1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 cos sin 0 0 1 0

0 0 1 0 0 sin cos 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

b

e

d

LT

1 0 0

0 cos sin cos

0 sin cos sin

0 0 0 1

b

e

d

LT

L

2. Determine la matriz de transformacin ec

T as:

a. Determine la matriz de traslacin T para X1 centmetros en el eje X, Y1centmetros en el ejeY, y Z1 centmetros en el eje Z.

La matriz de traslacin en el eje X es:

11 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

X

X

T

La matriz de traslacin en el eje Y es:

1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1

0 0 0 1

YT

Z

La matriz de traslacin en el eje Z es:

1

1 0 0 0

0 1 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Y

YT

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La matriz de transformacin total esX Y Z

T T T

1

1

1

1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

T

X

YT

Z

1

1

1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0 1

T

X

YT

Z

b. Determine la matriz de rotacin Rusando el eje adecuado , y .

La matriz de rotacin para el eje X es:

,

1 0 0 0

0 cos sin 0

0 sin cos 0

0 0 0 1

XT

La matriz de rotacin para el eje Y es:

,

cos 0 sin 0

0 1 0 0

sin 0 cos 0

0 0 0 1

YT

La matriz de rotacin para el eje Z es:

,

cos sin 0 0

sin cos 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

ZT

, , ,R X Y ZT T T T

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1 0 0 0 cos 0 sin 0 cos sin 0 0

0 cos sin 0 0 1 0 0 sin cos 0 0

0 sin cos 0 sin 0 cos 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

RT

cos cos cos sin sin 0

cos sin cos sin sin cos cos sin sin sin cos sin 0

sin sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos cos 0

0 0 0 1

RT

c. Usando los resultados de a y b, calcule la matriz de transformacin as:

e

c T RT T T

1

1

1

1 0 0 cos cos cos sin sin 0

0 1 0 cos sin cos sin sin cos cos sin sin sin cos sin 0

0 0 1 sin sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos cos 0

0 0 0 1 0 0 0 1

e

c

X

YT

Z

1

1

1

cos cos cos sin sin

cos sin cos sin sin cos cos sin sin sin cos sin

sin sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos cos

0 0 0 1

e

c

X

YT

Z

Determine la matriz de transformacin completa usando los resultados de los pasosanteriores as:

b b e

c e cT T T

1

1

1

1 0 0 cos cos cos sin sin

0 cos sin cos cos sin cos sin sin cos cos sin sin sin cos sin

0 sin cos sin sin sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos cos

0 0 0 1 0 0 0 1

b

c

d X

L YT

L Z

Despus de realizar la multiplicacin entre las matrices se obtiene la matriz de

transformacin final

1

1 1

cos cos cos sin sin

cos (cos si n cos s in si n ) si n (si n s in cos cos s in ) cos (cos si n cos s in si n ) si n(cos s in cos si n s in ) cos (cos si n ) s in (cos cos ) cos ( ) si n

co s (s in s in co s c o

X d

Y L Z

1 1s s in ) sin (cos si n cos s in si n ) cos (cos s in cos si n s in ) s in (cos si n cos s in si n ) cos (cos cos ) si n (cos si n ) cos s in ( )

0 0 0 1

Z Y L

b

cT

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c. Determine la posicin y orientacin del objeto considerando: X1=2 [cm], Y1=2 [cm],Z1= - 3 [cm], =30, =25, =10, d=6 [cm], =20, y L=12 [cm].

Reemplazando los valores en la matriz bc

T , y se obtiene

0.8925 0.1574 0.4226 8

0.4304 0.5768 0.6943 14.1818

0.1345 0.8016 0.5826 1.9692

0 0 0 1

T

Donde el vector de posicin es:

8

14.1818

1.9692

Y la matriz de orientacin es:

0.8925 0.1574 0.4226

0.4304 0.5768 0.6943

0.1345 0.8016 0.5826

Por ltimo presente un esquema del espacio de trabajo del robot, suponiendo que la

articulacin de la base solamente puede moverse 7 centmetros en direccin positiva onegativa, y la articulacin de rotacin solo puede girar entre 0 y 90.

A continuacin se muestra el espacio de trabajo del robot,

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FASE 3 TRABAJO COLABORATIVO 2

Teniendo en cuenta la metodologa sugerida en la fase 2, para el robot de la siguientefigura encuentre la matriz de transformacin homognea desde el origen del sistema decoordenadas de la base hasta el origen del sistema de referencia del efector final.

En la Figura 2 se muestra la asignacin de los ejes coordenados para cada uno de losejes de eslabones y articulaciones del robot.

Figura 2 Ejes coordenados para el movimiento de las articulaciones

Para hallar la matriz de transformacin homognea que relacione el eje coordenado dereferencia con el eslabn 1 se realiza una rotacin en el eje z seguida de una traslacinen el eje z, a continuacin se desarrolla:

Rotacin en el eje Z

,

cos sin 0 0

sin cos 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

ZR

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Traslacin en Z

, 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 1

0 0 0 1

Z LT

L

0

1

0

1

cos sin 0 0 1 0 0 0

sin cos 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1 1

0 0 0 1 0 0 0 1

cos sin 0 0

sin cos 0 0

0 0 1 1

0 0 0 1

TL

T

L

Para hallar la matriz de transformacin homognea que relacione el eje coordenadoeslabn 1 con el eslabn 2 se realiza una rotacin en el eje x seguida de una traslacinen el eje y, a continuacin se desarrolla:

Rotacin en X

1

1 1,

1 1

1 0 0 0

0 cos sin 00 sin cos 0

0 0 0 1

XR

Traslacin en Y

, 2

1 0 0 0

0 1 0 2

0 0 1 0

0 0 0 1

Y L

LT

1 11

2

1 1

1 0 0 0 1 0 0 0

0 cos sin 0 0 1 0 2

0 sin cos 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1

LT

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15

1 11

2

1 1

1 0 0 0

0 cos sin 2

0 sin cos 0

0 0 0 1

LT

Para hallar la matriz de transformacin homognea que relacione el eje coordenadoeslabn 2 con el eslabn 3 se realiza una rotacin en el eje x seguida de una traslacinen el eje y, a continuacin se desarrolla:

Rotacin en X

3

2 2

,

2 2

1 0 0 0

0 cos sin 0

0 sin cos 0

0 0 0 1

XR

Traslacin en Y

, 3

1 0 0 0

0 1 0 3

0 0 1 0

0 0 0 1

Y L

LT

2 22

3

2 2

2 22

3

2 2

1 0 0 0 1 0 0 0

0 cos sin 0 0 1 0 3

0 sin cos 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0

0 cos sin 3

0 sin cos 0

0 0 0 1

LT

LT

Para hallar la matriz de transformacin homognea que relacione el eje coordenado dereferencia con el sistema de referencia en el efector final del robot se calcula de la

siguiente forma:

0 0 1 2

3 1 2 3T T T T

1 1 2 20

3

1 1 2 2

cos sin 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

sin cos 0 0 0 cos sin 2 0 cos sin 3

0 0 1 1 0 sin cos 0 0 sin cos 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

L LT

L

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Realizando la multiplicacin de las matrices tenemos,

1 2 1 2 1 2 2 1 10

3

1 2 2 1 1 2 1 2 1

cos sin 0 0 1 0 0 0

sin cos 0 0 0 cos cos sin sin cos sin cos sin 2 3cos

0 0 1 1 0 cos sin cos sin cos cos sin sin 3sin

0 0 0 1 0 0 0 1

L LT

L L

La matriz de transformacin homognea final es:

1 2 1 2 1 2 2 1 1

1 2 1 2 1 2 2 1 10

3

1 2 2 1 1 2 1 2

cos sin (sin sin cos cos ) sin (cos sin cos sin ) sin ( 2 3cos )

sin cos (cos cos sin sin ) cos (cos sin cos sin ) cos ( 2 3cos )

0 cos sin cos sin cos cos sin sin 1

L L

L LT

L

1

3sin

0 0 0 1

L

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CONCLUSIONES

Existen algoritmos y mtodos sistemticos para la obtencin de la matriz detransformacin homognea como el de Denavit-Hartenberg, que para robot devarios grados de libertad son de gran ayuda para obtener su cinemtica directa,porque utilizado mtodos geomtricos el anlisis es extenso, complejo y es mssusceptibles a errores de interpretacin.

En el desarrollo de los ejercicios del trabajo colaborativo, al realizar el modeladode la cinemtica directa de los robots se evidencia el nivel computacionalrequerido para el software para resolver y controlar los movimientos de lasarticulaciones del robot.

Dependiendo de la configuracin y composicin de las articulaciones del robot

se debe escoger el adecuado sistema de coordenadas que permitan representarlos movimientos que puede realizar, de la correcta eleccin depende lacomplejidad de las operaciones matemticas a resolver en la cinemtica directa.

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REFERENCIAS

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Revista Online de divulgacin y disertacin cientfico cultural. (2012).

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http://www.kercentral.com/tecnologia/inteligencia-artificial-investigacion-

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Valderrama, G. (2010). Modulo Robtica. Segunda edicin. Colombia. UNAD

Protn. (2012). Cinemtica. Recuperado el 3 de mayo de 2012, dehttp://proton.ucting.udg.mx/materias/robotica/r166/r91/r91.htm

Aula Macedonia. (2012) Transformaciones geomtricas. Recuperado el 3 demayo de 2012, de http://macedoniamagazine.frodrig.com/opengl6.htm

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