三角形的重心

授課教師：郭素華

97 學年度溪口國中資訊融入教學—數學領域

三角形的重心及其性質

三角形的重心三角形的重心三角形的重心三角形的重心

例題 7

例題 6例題 5

例題 1 例題 3

例題 4重心的應用

例題 8 例題 9

例題 2

三角形的重心

A

B C

G

三中線的交點 G 為△ ABC 的重心

面積： △ AFG ＝△ AEG ＝ △ BFG ＝△ BDG ＝ △ CEG ＝ △ CDG

D

EF

如圖，△ ABC 中，三中線 AD 、 BE 、 CF 交於 G 點， AD ＝12 ，BE ＝ 18 ， CF ＝ 15 ，試求 AG 、 BG 、 CG 。

A

B CD

EG

F

2 215 10

3 3CG CF

2 218 12

3 3BG BE

∵ G 為三中線 AD 、 BE 、 CF 的交點，

∴ G 為△ ABC 重心

故

如圖，△ ABC 中， AM 為中線，試證 △ ABM 和 △ ACM 的面積相等。

A

B CM D

∴△ABM ＝△ ACM 。

2 △ABM：△ ACM

: 1:1BM CM

1 1( ) : ( )2 2

AD BM AD CM

則 AD 亦為△ ABM 與△ ACM 的高。

1 過 A 點作△ ABC 的高 AD ，並交 BC 於 D 點，

A

B CD

EG

F

如圖，△ ABC 的三中線 AD 、 BE 、 CF 交於一點 G ，

試證 △ ABG ＝△ BCG ＝△ CAG 。

∴△ABG ＝△ BCG ＝△ CAG 。

∴△ABD ＝△ ACD 。

同理，△ GBD ＝△ GCD 。

2 △ABG＝△ ABD－△ GBD＝△ ACD－△ GCD＝△ CAG

同理，△ BCG ＝△ CAG 。

1 △ABC 中， D 為 BC 中點，

如圖，△ ABC 中，∠ ABC ＝ 90° ，兩中線 AD 、 BE 交於 G 點， AB

＝ 6 ，BC ＝ 8 ，試求： AG 、 GE 。△ ABG 的面積。四邊形 CDGE 的面積。

A

B CD

E

G

1 1 55

3 3 3GE BE

1 ∵△ABC 為直角三角形，∴ 2 26 8 10AC

且 14

2BD BC 2 26 4 2 13AD

2 2 42 13 13

3 3 3AG AD

∵ E 為斜邊 AC 中點，∴ E 為△ ABC 外心。

則 EA ＝ EB ＝ EC ＝ 10÷2 ＝ 5 ，

又兩中線 AD 、 BE 交於 G 點，∴ G 為△ ABC 的重心，

如圖，△ ABC 中，∠ ABC ＝ 90° ，兩中線 AD 、 BE 交於 G 點， AB

＝ 6 ，BC ＝ 8 ，試求： AG 、 GE 。△ ABG 的面積。四邊形 CDGE 的面積。 A

B CD

E

G 則四邊形 CDGE 面積＝△ CDG ＋△ CEG

1 1

6 61 1

( 6 8)3 28

ABC ABC

3 如圖，連接 CG ，

如圖，△ ABC 中，兩中線 BD 、 CE 交於 G 點，且 BD⊥CE ，若 BD ＝ 9 ， CE ＝ 12 ，試求： BG 、 CG 。 △ BGC 與△ ABC 的面積。

△ABC＝ 3．△ BGC＝ 3． 24＝ 72

∴G 為△ ABC 重心。

故2 2

9 63 3

BG BD

2 212 8

3 3CG CE

1 ∵G 為兩中線 BD 、 CE 的交點，

如圖，平行四邊形 ABCD 中， O 為對角線 AC 、 BD 的交點，E 為 CD 中點， H 為 BC 中點，試證 BG ＝ GF ＝ FD 。

1 ∵平行四邊形對角線互相平分，

∴G 為重心，

故

BG GF FD

,AO CO BO DO

故 2 1,

3 3BG BO GO BO

同理 2 1,

3 3FD DO FO DO

3 BO DO1 1 2

3 3 3GF GO FO BO DO BO

2 △ABC 中， O 為 AC 中點， H 為 BC 中點，

如圖，正三角形 ABC 中， AB ＝ 6 ，且 AM 為 BC 上中線， O 為重心，試求外接圓半徑與內切圓半徑。

如圖， O 為正三角形 ABC 的重心，同時也是外心及內心，

內切圓半徑

2 2 2 26 3 3 3AM AB BM

故外接圓半徑 2 23 3 2 3

3 3OA AM

OA 為外接圓半徑， OM 為內切圓半徑。

例 題 7

4 5AB

2 2 2CM AC AM

2 2 2BC CN BN

25100

4AB

280AB

2 2 216 36

4BC AC ……(1)

2 2 218 64

4BC AC ……(2)

2 25 5100

4 4BC AC (1)+(2) 得：

如圖，△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ， G 為重心，若 AM ＝ 6 ， BN ＝ 8 ，試求 AB 。

又∠ EGB ＝∠DGC

∴ G 為△ ABC 重心。

2 在△ EGB 與△ DGC 中，2 2

3 3BG BD CE CG

1 1

3 3EG CE BD GD

( )EGB DGC SAS

1 BD 與 CE 交於 G 點，

1 1

2 2AB AC

BE CD ( 對應邊相等 )

故 AB AC

如圖，△ ABC 中， BD 、 CE 為兩中線，且 BD ＝ CE ，試證 AB ＝ AC 。

範例解說結束

謝謝聆聽