Математика

Лекция 5

2

Аналитическая геометрия

3

Алгебраические поверхности и линии на плоскости первого порядка

Опр. Геометрическое место точек в пространстве (на плоскости) определяет плоскость (прямую на плоскости) тогда и только тогда, когда декартовы координаты x, y, z текущей точки М удовлетворяют алгебраическому уравнению первого порядка

4

В пространстве На плоскости

поверхность линия

плоскость прямая

Введем вектор

Вектор называется нормальным вектором (нормалью) плоскости и прямой на плоскости

Введем радиус-вектор текущей точки

0),,( zyxF ( , ) 0F x y

0 DCzByAx 0 CByAx

N

),( BAN

, ,r x y z

),,( CBAN

,r x y

( , ) 0r N D

( , ) 0r N C

N

5

Геометрический смысл нормального вектора Задача 1. На плоскости дана точка

и вектор . Составить уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.

0 0 0 0 0( ) ( , )M r M x y

),( BAN

x

0

y 0M

N

М 0r

r

Рассмотрим текущую точку прямой

тогда вектор лежит на данной прямой.

( ) ( , )M r M x y

0 0 0 0( , )M M r r x x y y ��������������

0 0( , ) 0M M N M M N ����������������������������

00 ),( Nrr

0)()( 00 yyBxxA0( , ) ( , ) 0r N r N

0 0( ) 0Ax By x A y B

С

0M

6

Нормальный вектор – вектор, перпендикулярный прямой.

7

Задача 2. В пространстве дана точка и

вектор . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.

0 0 0 0 0 0( ) ( , , )M r M x y z

( , , )N A B C

Рассмотрим текущую точку прямой

вектор лежит на плоскости.

( ) ( , , )M r M x y z

0 0 0 0 0( , , )M M r r x x y y z z ��������������

0 0( , ) 0M M N M M N ����������������������������

00 ),( Nrr

0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z

0( , ) ( , ) 0r N r N

0 0 0( ) 0Ax By Cz x A y B z C

D

0

x

z

0M

N

М 0r

r

y

8

Нормальный вектор – вектор, перпендикулярный плоскости.

9

Уравнения в отрезкахОбщее уравнение плоскости Общее уравнение прямой

на плоскости

Пусть тогда Пусть тогда

Обозначим

Получим

0 DCzByAx 0 CByAx

0D 0C1

///

CD

z

BD

y

AD

x1

//

BC

y

AC

x

C

Dc

B

Db

A

Da ,,

1c

z

b

y

a

xB

Cb

A

Ca ,

1b

y

a

x

У

Х

Z

а

с

b

У

Х О

а

b

10

Исследование уравнения прямой 1.

2.

3.

0

1

Ax By C

x y

a b

x О

y

а

b

0,

0,

Ax By

x y by x

a b a

x О

y

0By C

y b

x О

y

b

0, 0, 0A B C

0, 0, 0A B C

0, 0, 0A B C

11

4.

5.

6.

0, 0, 0A B C

x О

y

а

0, 0, 0A B C

y

x О

х=0

0, 0, 0A B C

x О

y

у=0

0Ax C

x a

0

0

Ax

x

0

0

By

y

12

Исследование общего уравнения плоскости

0 DCzByAx

1c

z

b

y

a

xУ

Х

Z

а

с

b

0 CzByAx0, 0, 0, 0A B C D

У

Х

Z

1.

2.

O(0,0,0)P

13

3а.

P||OX

3б.

P||OY

3в.

P||OZ

0 DByAx

1b

y

a

x0C

У

Х

Z

а

b

0 DCzAx

1c

z

a

x0B

У

Х

Z

а

с

0 DCzBy

1c

z

b

y0A

У

Х

Zс

b

14

4а.

P||XOY

4б.

P||XOZ

4в.

P||YOZ

0, 0A B 0 DCz

0, 0A C 0 DBy

0, 0B C 0 DAx

У

Х

Z

15

5а.

плоскость YOZ

5б. плоскость XOZ

5в.

плоскость XOY

0, 0, 0B C D 0x

0, 0, 0A C D 0y

0, 0, 0A B D 0z

0 Х

Z

У

У

Х

Z

0

У

Х

Z

0

16

Параметрическое уравнение прямой на плоскости и в пространстве

Дана точка и вектор . Записать уравнение прямой, проходящей через эту точку параллельно вектору .

Х

У

О

М(х,у)

М0(х0,у0)),( nml

0r

r

0M l

l

Опр. Вектор, параллельный данной прямой или лежащий на этой прямой, называется направляющим вектором прямой.

, где t – параметр

0 0||M M l M M t l ����������������������������

ltrr

0

ltrr

0

17

Прямая на плоскости Прямая в пространстве

),( 000 yxM

),( nml

),,( 0000 zyxM

),,( pnml

tpzz

tnyy

tmxx

0

0

0

tnyy

tmxx

0

0

18

Каноническое уравнение прямой на плоскости и в пространстве

Если исключить параметр t из параметрического уравнения, то получим каноническое уравнение прямой.

на плоскости в пространстве

p

zz

n

yy

m

xx 000

n

yy

m

xx 00

19

Уравнение прямой проходящей через две точки М1 и М2

на плоскости в пространстве

),(),,( 222111 yxMyxM ),,(),,,( 22221111 zyxMzyxM),( yxM ),,( zyxM

1 2l M M��������������

),( 121221 yyxxMM ),,( 12121221 zzyyxxMM

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

20

Параметрическое уравнение плоскости Дана точка и два неколлинеарных вектора

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам . ba

и

0 0( )M r

ba

и

0r

0

a

r

x

z

0M М

y

b

0M Векторы компланарны,

линейно зависимы один из них является линейной комбинацией остальных, т.е.

p, q – параметры

или

0 , ,M M a b��������������

0r r pa qb

bqaprr

0

.

,

,

330

220

110

bqapzz

bqapyy

bqapxx

21

Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам

Т.к. векторы компланарны, то0 , ,M M a b��������������

00 ),,( barr

0

321

321

000

bbb

aaa

zzyyxx

22

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Векторы компланарны

1M М 2M

3M

0

131313

121212

111

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

),,( 1111 zyxM ),,( 2222 zyxM ),,( 3333 zyxM

21MMMM1 31MM

1 1 2 1 3, , 0M M M M M M ������������������������������������������