1

二、作业题选讲

设方阵 A 满足 A2+A-4E = O , 其中 E 为单位矩阵，则

.1 EA

1.

(2001 年数一考研题 )

分析 OEAA 42

EEAEA 22

1

EEAEAA 22

EA 22

1答：

2

2. 设 A、 B 为 n 阶方阵，且 E+AB 可逆，则 E+BA 可逆，且

.AABEBEBAE 11

证

BAE 可逆，且 1 BAE .AABEBE 1

])()[( 1 AABEBEBAE

AABEBABBAAABEBE 11 )()(

BAAABEABEBE 1))((

（对合并同类项）

BABAE E

3

3. 设 A、 B 为 n 阶方阵，已知 ， A-E 可逆且0B

,TEBEA 1 则 A 可逆 .

证 ,0B ;0 TB ,TEBEA 1又

TT EBEBA TEBEA

.E EBEBA TT

,TT BEBA ,0 TT BEBA 即 ,0A

所以 A 可逆 .

4

4 . 设 A 为 n 阶方阵，且有自然数 m ，使 则 A 可逆。 ,OAE m

证 rm

r

rm

m ACAE

0

rm

r

rm ACE

1

O EAC rm

r

rm

1

EACA rm

r

rm

1

1

即

EACA rm

r

rm

1

1

01 n 0A

故 A 可逆 .

5

5. 设 AB=A+2B ，求 B. ,

321

011

324

A

BAAB 2 AEBAB 2 ABEA 2

AEAB 12

解

121

011

322

2EA

1

1

1

12 1

EA

6

5

4

4

3

3

AEAB 12

461

351

341

321

011

324

1A

9122

692

683

6

6 . 设 且 求, APP 1,

11

41P ,

20

01 .11A

解 , APP 1

,111 PPAPPPP .1 PPA

112 PPPPA ;12 PP

1123 PPPPA ;13 PP

.11111 PPA

;11

41

3

11

P ,20

01

7

20

01

20

012

,20

012

2

,

20

013

33

,

11

1111

20

01

11111 PPA

11

41

20

01

11

41

3

111

1120

01

.2421

2421

3

11111

1313

8

7. 设 m 次多项式 ,mm xaxaxaaxf 210 记

,mm AaAaAaEaAf 2

210

f (A) 称为方阵 A 的 m 次多项式 .

(1) 设 ,

2

1

0

0

证明 : ,

k

kK

2

1

0

0

,

2

1

0

0

f

ff

(2) 设 ，证明：1 PPA ., 11 PPfAfPPA kk

证 (1) 用数学归纳法 .

当 k = 1 时，显然等式成立 . 假设等式对于 k -1 成立，即

,

12

111

0

0k

kK

对于 k ， 1 kK

2

11

2

11

0

0

0

0

k

k

k

k

2

1

0

0

证毕

( 与习题二 24 题类似 )

9

m

m

mm

a

a

a

a

a

a

a

a

2

12

22

212

21

11

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

mm

mm

aaa

aaa

2210

1110

0

0

mmaaaEaf 2

210

.

0

0

2

1

f

f

(2) 1 PPfAf

1122

11

10

PPaPPaPPaPEPa mm

1122

11

10

PPaPPaPPaEPPa mm

12210

PaaaEaP mm

.1 PPf

mm AaAaAaEaAf 2

210

证毕

10

8. 设 n 阶方阵 A 的伴随矩阵为 证明：,A

(1) 若 则 ; (2) .0A 0A1 n

AA

证

(2)

② ,0A

于是 .1 n

AA

① 若 ,0A 则有 .1

0 n

AA

证毕

EAAAAA 由 可知 , 1)( AAA ,0

于是 ,0A 从而 .0A

此与假设矛盾 , 故假设不成立 .

即 .0A

EAAAAA 由 可知 , nAEAAA

综上 , 结论得证 .

(1) 假设 ,0A 则 可逆 .*A

11

9. 设矩阵 A 的伴随矩阵 ,

8030

0101

0010

0001

*

A

.4311 BEEBAABA 阶单位矩阵，求矩阵为，其中且

分析

AEAB 13

EABAB 31

ABEA 3

EBAABA 311

AA

AAAB

1*

3

1*

3

A

AEB

( 习题二 22 2000 年数一考研题 )

解 ,1* n

AA 8*3 AA 2 A

1030

0606

0060

0006

B

12

10 . ，的转置，若是是三维列矩阵，设

111

111

111TT

. T求

解 ,

3

2

1

a

a

a

设 则

111

111

111 321

3

2

1

aaa

a

a

aT

2

2313

322

12

31212

3

2

1

aaaaa

aaaaa

aaaaa

由矩阵相等的定义得 123

22

21 aaa

3

2

1

321

a

a

a

aaaT 3222

321 aaa

13

11. 维列向量，记矩阵为设 3,, 321 ,321 A

321321321 9342 B

.,1 BA 求如果

解 方法一 矩阵乘法 , 可将矩阵 B 写成

941

321

111

321 B

941

321

111

AB

941

321

111

A

221

14

321321321 9342 B

方法二

12 cc 3232321 823

13 cc

23 2cc 332321 23

32 2

3cc

32321 2

321 2321 2

3ccc

222 321 A

15

12. 已知两个线性变换

,3

, 2

,3

,5 4

,232

, 2

323

312

211

3213

3212

311

zzy

zzy

zzy

yyyx

yyyx

yyx

求从变量 到变量 的线性变换。321 ,, zzz 321 ,, xxx

解 将已知的两个线性变换用矩阵表示为 . , BZYAYX

则 ,BZAX 即 .ZABX

AB

514

232

102

310

10 2

01 3

16110

9412

31 6

3

2

1

x

x

x

3

2

1

16110

9412

31 6

z

z

z

321

221

321

1610

9412

36

zzz

zzz

zzz

16

13. 设 ,

00

10

01

A 求 .kA

解

00

10

01

A

000

100

010

00

00

00

BE

kA kBE

k

r

rrkrk BEC

0

kkssk AAEEA 但

k

r

rrkrk BC

0

000

100

010

000

100

0102B ,

000

000

100

,

000

000

0003

B

即 ,OB r

kA 0Bk Bk 1

2

1

kk 22Bk k

.3r

.

00

02

1

2

2

2

2

k

kkk

k

kssk ABBA 一般

17

证 T TA A B B 由已知： ，

充分性：

必要性：

AB BA T TAB B A ( )TAB

AB即： 是对称矩阵

( )TAB AB T TB A AB BA AB

14. 设 A 、 B 都是 n 阶对称矩阵，证明 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 AB=BA.

18

15. 举反例说明下列命题是错误的,OA 2 ;OA （ 1 ）若 则,AA 2 OA ;EA （ 2 ）若 则 或

,AYAX ,OA .YX （ 3 ）若 且 则

解 （ 1 ）取 ,

11

11A 显然 ,OA 2 但 .OA

（ 2 ）由 ,AA 2 得 ,OEAA OA ;EA 或

,

00

01A若 ,

00

012A则

（ 3 ）取 ,

00

01A ,

43

21X ,

65

21Y

,

00

21AYAX .YX 但

19

,

yyyx

yyyx

yyyx

3213

3212

3211

323

53

22

321 x,x,x

321 y,y,y

1 1

2 2

3 3

2 2 1

3 1 5 ,

3 2 3

x y

x y

x y

1

1 1 1

2 2 2

3 3 3

2 2 1 7 4 9

3 1 5 6 3 7 ,

3 2 3 3 2 4

y x x

y x x

y x x

3213

3212

3211

423

736

947

xxxy

xxxy

xxxy

16. 已知线性变换 求从变量 到变量

解

即

的线性变换。

20

021

102

341

010

100

001

100

001

010

X

11

010100001

021102

341

100001010

X

010100001

021102

341

100001010

201431

012

17.

解

21

18. 利用逆矩阵解线性方程组：

,132 321 xxx

,2522 321 xxx

.353 321 xxx

解 将线性方程组用矩阵的形式表示为

A ,

3

2

1

3

2

1

x

x

x

3

2

1

x

x

x

3

2

11A

其中153

522

321

A

810

120

321

015

∴ A 可逆

3

2

1

214

1813

41323

15

1

0

0

1

22

19. 设 AB=A+2B ，求 B。

0 3 3

1 1 0 ,

1 2 3

A

,2BAAB ,2 ABAB ,2 ABEA

,22 1 AEABEA 可逆，若

2 3 3

2 1 1 0

1 2 1

A E

12B A E A

解

而

011

321

330

23

解 , APP 1 .1 PPA .11111 PPA

;

11

41

3

11P

11

1111

20

01

11111 PPA

11

41

20

01

11

41

3

111

1120

01

.

1111

1313

2421

2421

3

1

20. 设

, APP 1 ,

11

41P ,

20

01 .11A求

∴

∴

2731 2732.

683 684

24

A A*11 )()( AA

1( )A 1A

A

*11 )( AA 1A E*1)( A

1A A1A

A

21. 设矩阵 可逆，证明其伴随阵 也可逆，且

* | |A A A E证 因

由于 可逆A 0A A，可知 可逆，且

另一方面，由伴随矩阵的性质，有

A用 左乘此式两边得

比较上面两个式子，即知结论成立。

25

22. 设 n 阶方阵 A 的伴随矩阵为 证明 :,A

(1) 若 则 ; (2) .0A 0A1 n

AA

证 ,EAAAAA AA

0,A

0,A （ i ）若

（ ii ）若

则 ,OA

∴ ;0A

反证 , 若 ,0A 则 可逆 , A

A O

矛盾 ,

∴ .0A

.n

A

（ 1 ）若

,0时A ;1 n

AA 证毕

（ 2）1n

A A 成立

AA O

26

A=diag(1,-2,1) *Α Β Α =2Β Α - 8Ε B

AABABAAA 82*

BA (2 2 ) 8A E B E

( ) 4A E B E

EA (1, 2,1) (1,1,1)diag diag (2, 1, 2)diag

1)( EA1 1

( , 1, )2 2

diag

14( )B A E (2, 4,2)diag

23. 设 ，求

解 A 左乘所给方程两边，得

=2AB-8E

27

2200

0200

0034

0043

A 、8A 4A 1A24. 设 , 求 及

34

431A设

22

022A

2

1

0

0

A

AA则

16888

2

8

1

88 104)25( AAAA

4

2

414

0

0

A

AA

46

4

4

4

22

020

050

05

解

28

25

3

25

425

4

25

31

1A

2

1

2

1

02

11

2A

12

111

0

0

A

AA则

2

1

2

1

02

1

0

0

25

3

25

425

4

25

3