数 学 软 件 选 讲• Mathematica

• Matlab

• SAS

第 一 篇Mathematica

基础知识 作为一门新的编程语言 图形处理（二维、三维及其参数方程的形式） 极限、微分与积分 求解方程（组）、微分方程（组） 在线形代数方面的应用 数值处理 文件及其它高级操作

第一章 基础知识一、 Mathematica3.0 界面及运行介绍二、基本数值运算

1. 整数运算：加、减、乘、除、幂、阶乘

2. 数学常量： E 、 Pi 、 I 、 Degree 、 Infinity

3. 函数及数学函数4. 浮点数及复数运算： N 函数

三、变量及表达式1. 变量的定义及清除◆ 变量的特点(1) 变量的默认作用域是全局的(2) 全局变量不需事先定义或声明(3) 尽量避免使用下划线定义变量

2. 多项式及其操作 (1) 定义、替换符操作

(2) 常用操作：Expand 、 Factor 、 Together 、 Part

Simplify 、 Collect 、 Coefficient 、Exponent

四、序列及其操作1. 序列的定义2. 序列的生成： Table 函数3. 序列的操作

(1) 添加删除： Append 、 Prepend 、 Insert 、

Delete 、 DeleteCases

(2) 取元素： Part 、 Take 、 Drop 、 Select

(3) 检测： Length 、 Count 、 Position

五、表达式“头”的概念：Head 及 Apply 函数

六、自定义函数 1. 一元函数

例： Clear[f,x]f[x_]:= x^2+4x-2

2. 多元函数例： f[x_,y_]:= x^2+y^2-3

3. 迭代函数例： f[n_]:= f[n-1]+f[n-2];

f[0]= 1; f[1]=1;

1· 条件语句◆ 逻辑判断符

== >= <= > < !==== =!=

第二章 编程语言

◆ 逻辑运算符! || &&

◆ / ；运算符x = a /;test仅当 test 为 True 时才执行赋值语句 ◆ If 语句语法： If [test, then, else]

若 test 为 True ，则执行 then ，若test为 False ，则执行 else.

◆Which 语句语法： Which [test1, value1, test2,…]

依次计算 testi ，给出对应第一个test为 True 的 value

◆ Switch[expr,form1,value1,form2,…]比较 expr与 formi ，给出与第一个

form 值匹配的 value

例 1. 定义如下的函数：

2

20

00

2 xx

xx

x

① 使用 /; 定义：f [x_]:= 0 /;x<=0f [x_]:= x /; x>0&&x<=2f [x_]:= x^2 /; x>2

② 使用 If 定义：f [x_]:= If [ x<=0, 0, If [x>2, x^2, x ] ]

③ 使用 Which 定义：f [x_]:= Which [ x<=0, 0, x>2, x^2, True, x ]

2· 输出语句 Print

3· 循环语句 ◆ Do 语句

语法： Do[expr, {i, imin, imax, di}]计算 expr， i=imin,…,imax ，步长为

di

◆ While 语句语法： While[test, body]

当 test为 True 时，计算 body

◆ For 语句语法： For[start, test, incr, body]

以 start 为起始值，重复计算 body和 incr ，直到 test为 False 时为止◆ 循环控制语句 Break和 Continue

Break[] 退出最里面的循环Continue[] 转入当前循环的下一步

1. 基本二维图形 ① Plot[ f, { x, xmin, xmax}] ，用于绘制形如 y =f (x) 的函数的图形。当将多个图形绘制在同一坐标系上时，形如： Plot[{ f1,…, fn},{x, xmin,

xmax}]

注意：有时需要使用 Evaluate 函数。

第三章 图形处理

例：在同一坐标系下绘出sinx, sin2x, sin3x, sin4x,

sin5x的图形。

常用的选项：PlotStyle－ >Hue[a]设置线条颜色PlotRange－ >{a,b} 控制显示范围DisplayFunction 控制图形显示AspectRatio 图形的宽、高比AxesOrigin 设置原点坐标

形为间隔时，绘出这组图，以变化到从当

，

157515

)2008.9(2sec)(tan 02

0

22

vgv

gxxy

程序：Clear[a,y,x]v=200;g=9.8;y[a_,x_]:=Tan[a]*x-g*x^2*Sec[a]^2/(2v^2)

Plot[Evaluate[Table[y[i,x],{i,Pi/12,5Pi/12,Pi/12}]],{x,0,4000}]

例：有如下的抛物线簇：

② ListPlot [List] ，用于绘制散点图。 注意， List 的形式应为： }},{,},,{},,{{ 1100 nn yxyxyx

例：在同一坐标系下绘制下列两组散点图p1={{0,0},{0,45},{5.3,89.6},{22.6,131.2}};p2={{0,0},{2.68,44.8},{12.57,88.28},{27,130.3}};

程序：g1=ListPlot[p1,PlotJoined->True,

DisplayFunction -> Identity];g2=ListPlot[p2,PlotJoined -> True,

DisplayFunction -> Identity];Show[g1,g2,DisplayFunction -> $DisplayFunction];

③ ParametricPlot [{ fx , fy},{t,tmin,tmax}]

用于绘制形如 {x = fx(t) , y = fy(t)} 的参数方程图形。

例：绘制以点（ 3,4 ）为圆心，半径为 2 的圆。ParametricPlot[{3+2Cos[t],4+2Sin[t]},

{t,0,2Pi}]

可增加如下选项：AspectRatio->1, AxesOrigin->{0,0}

2. 其它二维图形 ① ContourPlot[ f, {x,xmin,xmax},

{y,ymin,

ymax}] ，用于绘制形如 z =f (x, y) 的函数的等高线图。

② DensityPlot[ f, {x,xmin,xmax},

{y,ymin,

ymax}] ，用于绘制形如 z =f (x, y) 的函数的密度图。

例：绘制函数 f=sinx·siny 的等高线图和密度图

3. 三维图形① Plot3D[ f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]

绘制形如 Z = f (x, y) 的三维图形。

例：绘制以下的函数图形： Z = 10sin(x+siny)

命令： Plot3D[10 Sin[x+Sin[y]],{x,-10,10},

{y,-10,10}]

可增加选项： PlotPoints->40

② ParametricPlot3D [{ fx , fy , fz},

{t,tmin,tmax} ,{u,umin,umax}]

用于绘制形如 {x = fx(t) , y = fy(t) , z = fz(t)} 的参数图形。

)200,8.9(60

)0,0(22

0

220

20

vgy

yxxvg

gvy

所得的图形。轴旋转

绕例：画出抛物线

20

20

2

2,

2

],0[],32,0[sin

cos

vgb

gva

bar

brayrzrx

其中

，其中

参数方程为：解：旋转所得的抛物面

4. 利用函数包绘制特殊图形载入图形函数包的方法：

<<类名 `包名 `

例： <<Graphics`Graphics`

PolarPlot[r,{t,tmin,tmax}] 绘制极坐标图形 LogPlot[f,{x,xmin,xmax}] 画对数线性图 BarChart[list] 画出 list 的条形图 PieChart[list] 画出 list 的百分图

例： <<Graphics`ImplicitPlot`

ImplicitPlot[eqn,{x,xmin,xmax}] 绘制形如f (x,y)=0 的隐函数图形

例：绘制以点（ 3,4 ）为圆心，半径为 2 的圆。ImplicitPlot[(x-3)^2+(y-4)^2==2,{x,0,5}]

第二章幂级数、极限、微分与积分

1. 幂级数展开Series[expr,{x, xo ,n}] 求在点 x=xo 处至多 n次的幂级数展开例：求 ex 在点 x=0 处 x4 级幂级数展开注：使用 Normal 函数可以去掉级数中的极小项，从而转变成一般表达式。

2. 极限 Limit[expr,x-> xo] 求 x 逼近 xo 时 expr 的极限某些函数在一点处的极限随逼近方向不同而不同，可用 Direction 选择方向：

Limit[expr, x-> xo, Direction -> 1] 左极限 Limit[expr, x-> xo,Direction-> -1] 右极限

例：求 1/x 的左右极限

xx

x

sinlim0

xxxx

32lim例：

3. 微分D[ f ,{x,n}] 求 f 的 n 阶偏微分 Dt[ f ] 求 f 的全微分例： D[x^n,{x,3}]

Dt[x^2+y^2]

例： y = xarctgx ，求其 100 阶导数及其在 0 点的值

4. 积分Integrate[ f , x] 求 f 的不定积分Integrate[ f ,{x,xmin,xmax}] 求 f 的定积分Integrate[ f ,{x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax}]

求 f 的多重积分例： ax2

1 )sin(sin x

2

1 2

1ax

2

0)sin(sin x

第三章 线性代数1. 构造矩阵和向量

Table[ f ,{i,m} ,{j,n}] 构造 m×n矩阵， f 是i, j 的函数，给出 [i, j] 项值

Array[ f ,{m, n}] 构造 m×n矩阵， [i, j]项的值是 f [i, j]

DiagonalMatrix[ List]生成对角线元素为List 的对角矩阵

IdentityMatrix[n] 构造 n 阶单位阵

2.截取矩阵块 M[[i]] 取矩阵M 的第 i 行Map[#[[i]]&, M] 取矩阵M 的第 i 列 M[[i, j ]] 取矩阵M 的 i, j 位置的元素 M[[{i1,…,ir}, {j1,…,js}]] 矩阵M 的 r×s子 矩阵，元素行标为 ik ，列标为 jk

M[[Range{i0,i1}, Range{j0,j1}]] 矩阵 M 的从 i0 到 i1 行， j0 到 j1 列元素组成的子矩阵

3. 矩阵及向量的运算M.N 对 M 、 N做矩阵乘法（向量内积）M*N 将 M 、 N 的对应位置元素相乘Outer[Times,M,N] 求 M 、 N 的外积Dimensions[ M ] 给出矩阵M 的维数Transpose[ M ] 转置Inverse[ M ] 求逆Det[ M ] 方阵M 的行列式值

MatrixPower[M,n] n 阶矩阵幂MatrixExp[M] 矩阵指数Eigenvalues[ M ] M 的特征值Eigenvectors[M] M 的特征向量

第四章求解方程（组）、微分方程

（组）1. 求解多项式方程（组）Solve[ eqns ,vars] 求解多项式方程Solve[{eqn1,…eqnn}, {var1,…varn}]

求解多项式方程组注： Solve只能给出多项式方程（组）的解，因此它们只适用于幂次不高、规模不大的多项式方程（组）。

21

yxbyax

NSolve[ eqns ,vars] 求多项式方程的数值解NSolve[{eqn1,…eqnn}, {var1,…varn}]

求多项式方程组的数值解对于数值解，可以直接用 NSolve 求解例：求解以下方程（组）

x2+ax=2 x3+34x+1=0

x5-1331x+11= 0

1

33

xyyxxyyx

2. 求解微分方程（组）DSolve[ eqns ,y[x], x] 求解 y[x] 的微分方程DSolve[ eqns ,y, x] 以纯函数的形式给出 y 的解DSolve[{eqn1, eqn2,…}, {y1, y2, …}, x] 求解微分方程组例：求解以下微分方程（组）

y’ = y y’’－ k y =1

xyyx

'' 的值时函数并求 yx

yyy

8.21)0(

2'

第五章 数值处理1. 数值积分

NIntegrate[expr , {x,xmin,xmax}]

注意， NIntegrate 直接计算数值积分，不先给出符号结果，而 Integrate[…]//N会尽可能的先求精确解的形式。2. 数值根求解

FindRoot[lhs=rhs , {x, x0}] 以 x0 为初始点求方程的数值解

FindRoot[lhs=rhs , {x, {x0 ,x1}}] 给出两个 初值求数值根（方程的符号导数无法求出 时，必须使用此形式）FindRoot[{eqn1, eqn2,…}, {x, x0},{y, y0 }, …] 对联立方程 eqni 求数值解例：求解下列方程（组）

cosx =x x600+5x+3=0

1cossin

yxyx

3. 微分方程数值解NDSolve[{eqn1, eqn2,…}, y,{x,xmin,xmax}]

求函数 y 的数值解， x 的范围为 {xmin,xmax}

NDSolve[{eqn1, eqn2,…},{y1, y2, …},

{x,xmin,xmax}] 求函数 yi 的数值解注：以上两种形式用于求解常微分方程（组） NDSolve以 InterpolatingFunction目标生成函数 yi 的解。 InterpolatingFunction目标提供独立变量 x 在 xmin 到 xmax 范围内 yi 的近似值。

上在区间 ]1,0[4

0)(

02

22

xy

ydxdy

例：求解以下微分方程（组）并画出函数 y 的图形

上在区间 ]10,0[

1

2

00

2

tt yx

yxdtdy

xydtdx

NDSolve[{eqn1, eqn2,…}, y,{x,xmin,xmax}, {t,tmin,tmax}] 求由函数 y 构成的偏微分方 程的数值解

NDSolve[{eqn1, eqn2,…},{y1, y2, …},

{x,xmin,xmax} ,{t,tmin,tmax}] 求由函数yi 构 成的偏微分方程组的数值解

例：求下面微分方程的数值解并绘图。

]5,0[],5,5[,

00

55

0

2

2

2

2

2

tx

ty

yy

ey

xy

ty

t

xx

xt

4. 极大极小值ConstrainedMax[ f, {inequalities}, {x, y, …}]

ConstrainedMax[ f, {inequalities}, {x, y, …}]

求由目标函数 f 和不等式约束inequalities 构成的线形规划例： ConstrainedMax[x+y,{x<1,y<2},{x, y}]

LinearProgramming[ c, m, b] 求使 cx在 约束 mx≥b和 x≥0 下取最小值的矢量 x

FindMinimum[ f, {x, x0}] 以 x0 为初始点，求函数的局部极小值注： FindMinimum 的用法与 FindRoot完全相同。

内的极小值在例：求

]2,0[sin100300cos100 222

ttt

内的极小值在例：求 ]1,0[,53 224 yxyxyyxx

5. 曲线拟合Fit [ data, funs, vars]

用变量为 vars 的函数 funs拟合一组数据 data

第 二 篇Matlab

第一章 矩阵及其基本运算一、矩阵的表示

1．实数值矩阵生成 2．复数矩阵生成3. 符号矩阵的生成

用 sym函数或 syms函数 4. 大矩阵的生成

.m文件及函数的定义

5. 特殊矩阵的生成全零阵、全 1 阵、单位阵： zeros,eye,ones

随机矩阵：均匀分布： rand标准正态分布： randn

线性等分向量： linspaceHilbert 矩阵： hilb 魔方矩阵： magic

二、矩阵操作1．取矩阵中的元素 2．增加及删除矩阵中的元素3．矩阵的旋转与变形

三、矩阵运算1. 加减法运算2. 乘法运算

① 矩阵乘法② 数组乘法（数乘）③ 向量内积、外积、叉乘* ④ 矩阵的卷积与解卷、张量积

3. 集合运算并： union 返回 a 、 b 的并集，即 c = a

∪b

交： intersect 返回向量 a 、 b 的公共部分，即 c= a∩b

差： setdiff 返回属于 a但不属于 b 的不同元素的集合， C = a-b

交集的非： setxor

检测集合中的元素： ismember

4. 除法运算左除： \ 右除： /

x=A\b 是方程 Ax =b 的解x=b/A 是方程 xA=b 的解。

5. 矩阵乘方 6. 矩阵函数

expm logm sqrtm

7. 方阵的行列式： det

8. 方阵的逆： inv

9. 矩阵的迹： trace

10. 矩阵的秩： rank

11. 矩阵和向量的范数 norm 欧几里德范数norm(x,inf ) 无穷范数

12. 其它运算

四、矩阵分解1． LU分解： [L,U]=lu(X) U为上三角阵， L为下三角阵或其变换形式，满足 LU=

X 2．QR分解： [Q,R]=qr(A)

求得正交矩阵 Q 和上三角阵 R ， Q 和 R满足 A=QR

3．特征值分解 [V,D]=eig(A)

计算 A的特征值对角阵D和特征向量 V，使 AV=VD成立五、其它

二次型、秩与线性相关性、稀疏矩阵

第二章 Matlab 语言基础一、 M 文件

1．脚本文件：在Matlab的工作空间内对数据进行操作。2．函数文件：可接受输入参数并返回输出参数，其内的变量不占用Matlab 工作空间，第一行包含 function注： M 文件的调用以文件名为准。

%为Matlab的注释符，其后的语句不执行（只对当前行有效）。

二、 Matlab 语言1．逻辑判断符

>= <= > < == ~=isequal 函数

2．逻辑运算符& | ~

3．条件语句 ① if-else语句 ② switch-case语句

4．循环语句 ① for语句 ② while语句

三、编程技巧1. 调试程序2.输入输出参数

nargin、 nargout

第三章 Matlab 图形处理一、二维图形 1. 基本二维图形

Plot 用法如下：a. Plot (X)b. Plot (X,Y)c. Plot (X1,Y1,X2,Y2,…) d. Plot (X1,Y1,LineSpec1,X2,Y2, X3,Y3,

…)

其中参数 LineSpec 定义线条的属性。 Matlab 中可以对线条定义如下的特性：

a. 线型： -(实线 ) -- ( 划线 ) :( 点线 ) -. ( 点划线 )

b. 线条宽度： LineWidthc. 颜色d. 标记类型e. 标记大小： Markersize

fPlot 在指定的范围 limits内画出一元函数 y=f (x) 的图形用法： fplot('function',limits)

注意：函数 function必须是一个 M 文件函数或者是一个包含变量 x ，且能用函数 eval 计算的字符串。例：在同一坐标系下绘制 tgx 和的 sinx 图形fplot(‘[tan(x),sin(x)]’,[-1,1,0,2*pi])

注意坐标系调整函数 axis 的作用和用法

2. 图形标注title 为图形添加标题xlabel 为 x轴加标注ylabel 为 y轴加标注text 在指定位置上添加文本字符串gtext 用鼠标在图形上放置文本legend 为图形添加图例

3. 特殊二维图形polar 画极坐标形式函数 r = f (θ) 的极坐标图

用法如下：polar(theta,rho,LineSpec) 例： t = 0:.01:2*pi;

polar(t,sin(3*t).*cos(2*t),'--r')

4. 其它二维图形pie 用 x 中的数据画一饼形图

semilogx x轴对数图形loglog 双对数图形bar 用二维垂直条形显示向量或矩阵中的值barh 用二维水平条形显示向量或矩阵中的值hist 二维条形直方图，可以显示出数据的分 配情形

二、三维图形 1. 曲面与网格图形命令

mesh 生成由 X ， Y 和 Z指定的网线面在使用该命令前应先用 meshgrid 函数生成可用 于计算函数值的矩阵网格。

通常用法如下：[X,Y ]=meshgrid(a)

Z= f (X,Y)

mesh(X,Y,Z)

2. 三维图形的其它形式contour 曲面的等高线图pie3 三维饼图surf 在矩形区域内显示三维带阴影曲面图quiver 矢量图或速度图surfnorm 计算与显示三维曲面的法线

第四章 Matlab 应用一、多项式运算二、极限

limit (F, x, a, ‘right’ )

x趋向于 a 时 F 的极限三、导数

diff (S, v, n)

四、积分 1. 符号积分

a. 不定积分 int (S, v)

b. 定积分 int (S, v, a,b)

2. 数值积分a. 一元函数 quad ( fun,a,b) 自适应 Simpson 法 trapz ( X, Y ) 梯形法

b. 二元函数dblquad ( fun,xmin,xmax,ymin,ymax)

在矩形区域 [xmin,xmax,ymin,ymax] 上计算二元函数 z=f (x,y) 的二重积分quad2ggen ( fun,xlower,xupper,ylower,yupper)

在任意区域 [xlower,xupper,ylower,yupper] 上计算二元函数 z=f (x,y) 的二重积分

五 . 插值a. interp1( X,Y,xi,method) 一维数据插值b. interp2( X,Y,Z,xi, yi,method) 二维数据插值

例：已知 1900年到 2010年每隔十年的数据如下：75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697

179.323 203.212 226.505 249.633 256.344 267.893

用插值法求 1995年的数据。

六、方程（组）求解 1. 方程（组）的符号解

solve (eq) 求方程的符号解solve (eq1,eq2,…eqn) 求方程组的符号解例：solve('x^2+3x-6')solve('-x^2*y+3*x-6','x+y^2-1')

2. 方程（组）的数值解fzero (fun,x0) 用数值方法求方程根

fsolve(fun,x0) 用数值方法求方程根 例：求下列方程的根

2

1

x21

x21

ex2x

exx2

解：先建立方程函数文件，并保存为 myfun.mfunction F = myfun(x)F = [2*x(1) - x(2) - exp(-x(1)); -x(1) + 2*x(2) - exp(-x(2))];然后调用优化程序x0 = [-5; -5]; % 初始点[x,fval] = fsolve(@myfun,x0,options)

七、积分变换 1. Fourier 积分变换

F = fourier( f ) 对符号单值函数 f 中的缺省变量 x （由命令 findsym确定）计算 Fourier 变换形式例：syms x w u vf = sin(x)*exp(-x^2)F = fourier(f)

注：用 eval函数计算得出的表达式f = ifourier(F) 逆 Fourier 积分变换Y = fft(X) 快速 Fourier 变换

2. Laplace 变换L = laplace(F) 输出参量 L = L(s) 为有缺省符号自变量 t 的标量符号对象 F 的 Laplace 变换例：syms x s t vf1= sqrt(t); L1 = laplace(f)

F = ilaplace(L) 逆 Laplace 变换3. Z 变换

F = ztrans(f ) 对缺省自变量为 n 的单值函数f 计算 z- 变换

八、求解微分方程（组） 1. 常微分方程（组）符号解

dsolve(eq1,eq2,… ) 缺省独立变量为 t

例：dsolve(‘Dy=1+y^2’,’y(0)=1’)dsolve('D3u=u','u(0)=1','Du(0)=-1',

'D2u(0)=pi')

2. 常微分方程（组）数值解ode45 、 ode23 、 ode113 、 ode15s 、 ode23s 、

de23t 、ode23tb

3. 偏微分方程数值解 ① assempde 单的 Poission 方程（一类特殊的椭圆型方程），能求解的方程形如：

，

0u1u

G

2}1yx)y,x{(G 22

② hyperbolic 仅能求解如下形式的双曲型方程：，

0tu

0u

0zu

yu

xu

tu

0t

0t

2

2

2

2

2

2

2

2

}1z,y,x0)z,y,x{(G

③ parabolic 仅能求解如下形式的抛物型方程：

，

0u

0zu

yu

xu

tu

G

2

2

2

2

2

2

}1z,y,x0)z,y,x{(G

九、极值问题（优化工具箱） 1. 无条件极值问题

fminu ( fun, x0 ,options)

2. 条件极值问题constr ( fun, x0 ,options)

3. 有界条件问题constr ( fun, x0 ,options, VLB, VUB)