由中學幾何到相對論由歐幾里德幾何到非歐幾何的

數學發展及故事

數學組數學專題講座系列2007 – 3- 14

由一本奇書開始 歐幾里德 Euclid ( 約公元前 3

00 – 260) 《幾何原本》 (The Elements)

一本總結性的數學著作

《幾何原本》的背景《幾何原本》的背景公元前 600

年公元前 500

年公元前 400

年公元前 300

年公元前 200

年

泰勒斯（開始了命題證明） 畢達哥拉斯（證明「畢氏定理」及發現不可公度量）

柏拉圖（成立「柏拉圖學園」）

歐幾里德（撰寫《幾何原本》）

阿基米德（計算圓周率、球體體積等）

《幾何原本》的五大公設 過相異兩點，能作且只能作一直線 ( 直線公理 ) 。 線段可以任意地延長。 以任一點為圓心，任意長為半徑，可作一圓

( 圓公理 ) 。 凡是直角都相等。 若一直線與兩直線相交，且同旁的兩角之和小

於兩直角，則兩直線向該旁延長必定相交。

第五公設 : 平行公設 (The parallel axiom)

a

b

a + b < 180 。

平行公設的等價敍述 通過一直線 L 以外的一點 P ，只能畫

出一條與 L 平行的直線。

L

P

三角形的內角和為 180 。

若一四邊形有一對對邊相等，且它們與第三邊構成的角為直角，則其餘的兩角也是直角。

對第五公設的質疑 歐幾里德本人對此公設有疑問，幾何原本較少使用此公

設。 前面四條公設簡單易明。 其他公設都有「有限」的特點，只涉及線段及有限的平

面圖形。 不斷有學者嘗試用更簡單的命題去推論它，都不成功。

推證第五公設的思路

一種方法是用比較自明的敍述來替代平行公設。 另一種是嘗試由歐基里德的其餘公設來推出平行公設。

無數英雄盡折腰 普羅克洛斯 (Proclus, 410 – 485) 哲學家，數學家，歷

史學家。 納西爾 . 埃丁 . 阿爾 - 圖西 (Nasir Eddin Al –Tusi,

1201- 1274) 。 吉羅拉莫‧薩開里 (1667 – 1733) 意大利耶穌會教士。 約翰 . 沃利斯 (John Wallis, 1616 – 1703) 英國數學家。

推證失敗的原因 所有這些證明都使用了和平行公設等價的命題，也就

是犯了邏輯學上的

「循環論證」

一個令人可惜的例子 吉羅拉莫‧薩開里 (1667 – 1733) 意大利耶穌會教士。 採用「反證法」 ( 直接證明太難了，簡直是天方夜譚

！ )

反證法的思路 平設公設：「通過直線 AB 以外的一點

P ，只能作出一條與 AB 平行的直線。」

跟公設矛盾的命題有以下兩種形式：

(1) 過 P 點沒有直線與 AB 平行 (2) 過 P 點有不只一條直線與 AB 平行

他證明第一種方案和其他公理產生矛盾！ 第二種方案沒有產生任何的矛盾。 怪事卻發生了：三角形的內角和少於 18

0 。，而且還和三角形的大小有關。

a

b

c

a + b +c < 180 。

兩千多年來，這類嘗試沒有一個成功。

每一個「證明」都藏著或明或暗的漏洞。

開創時代的英雄降臨了！

非歐幾何的產生 到了十九世紀，波爾約和羅巴切夫斯基分別地證實，

即使否定了第 5 公設，我們仍然可以得到一個沒有矛盾的幾何體系。

波爾約(1802 1860 )

羅巴切夫斯基(1792 1856 )

高斯 Carl Friedrich Gauss(1777- 1855)

德國數學王子。 小時候快速算出從 1加 100 的傳奇故事。

15歲的時候，就已經意識到有一種新幾何學的存在 。

22歲時，確信第五公設是不能被推證。

為人保守，不輕易發表研究結果。

高斯的數學研究幾乎遍及所有領域，在數論、代數學、非歐幾何、複變函數分析學、統計學和微分幾何等。

他還把數學應用於天文學、大地測量學、電學、磁學和重力的研究。

名句：寧可少些，但要好些 數學是科學裏的皇后，而數論

是數學中的女王

第一個非歐幾何 (雙曲幾何 )

羅巴切夫斯基在苦思證明第五公設之法的過程中，發展出他的羅巴切夫斯基幾何，這是第一個被提出的非歐幾何系統。

羅巴切夫斯基幾何裡頭包含兩個重要的結論：(1) 第五公設無法被證明。 (2) 「過直線外一點能作兩條直線與它平行」 替代第 五公設，所建立的幾何體系與歐氏幾何體系同樣 地完善、嚴密。

此非歐幾何的特徵是：(1) 通過直線 AB 以外的一點 P ，可以有無窮多條直線與 AB 平行。(2) 三角形的內角和小於 180 。。

黎曼 Georg Friedrich Bernhard

Rlemann (1826 – 1866) 高斯的學生 1854年發表論文 《論幾何學的

基本假設》，提出另類的非歐幾何，稱為「黎曼幾何」，或「橢圓幾何」。

提出「黎曼猜想」。

此非歐幾何的特徵是：(1) 直線不是無限而是有限且封閉的。(2) 不存在平行線。

左圖為「黎曼幾何」的模型，直線為圓

心等於球心的圓(3) 三角形的內角和大於 180 。。

三種不同幾何體系的模型

非歐幾何對世界有何重大貢獻？

非歐幾何的世界 1915年愛因斯坦 (A.Einstein)在朋友格

羅斯曼的幫助下利用非歐幾何創立廣義相對論 (General Relativity)

愛因斯坦為建立相對論努力幾個月後，仍無進展，向他的老朋友格羅斯曼求助，「格羅斯曼，你必須幫助我，要不我就要瘋了！」

在格羅斯曼的協助下，愛因斯坦選擇了非歐幾何中的黎曼幾何作為廣義相對論的幾何體系。

愛因斯坦的理論預測了： 光線的彎曲 水星在近日點的偏移 星系的紅外移

我們身處在哪種幾何世界 ？ 人類生存的空間只是小範圍可視為歐幾里德空間。

大範圍以致整個宇宙必須用非歐幾何來描述。

我們身處在四維的時空內，隨著未來的發展，我們可能會發現身處在十維或更多維的幾何世界中，當然新的數學理論是必需的！

由一句說話終結

數學不管多抽象，總有一天可以用在外在的真實世界。

羅巴切夫斯基 (Lobachevesky)

參考資料： 伊萊 .馬奧爾 著，無窮之旅 – 關於無窮大的文化史 上海教育出版社 Amir D. Aczel 著，上帝的方程式 愛因斯坦 , 相對論

和膨脹的宇宙上海世紀出版集團

W.W.Sawyer 著， 數學家是怎樣思考的 純粹帶來力量天下文化出版社

吳志揚 , 陳文豪 著， 幾何學發展史簡介 David Wells 著 ， 奇妙而有趣的幾何

上海教育出版社

謝謝！