使用不同的研究方法來探究同一個研究問題 :

臺灣學生經驗幾何計算（ GCN) 和他們在幾何計算 (GCN) 與幾何證明 (GP) 上的表現

許慧玉台灣師範大學數學系

博士後研究員

台灣學生優秀的數學表現

幾何證明（ GP ）

幾何計算（ GC ）幾何計算（ GCN ）

幾何計算（ GCN ）是如何的被台灣老師所使用？如果可以，學生解這些計算題又如何能夠增進他們作幾何證明題目的能力？

幾何計算 (GCN) 的定義

• 要求學生在圖形（ mental or physical) 裡進行純數字運算的試題

?

50˚

75˚

三角形內角和

StudentLearning

TASKSas they appear in curricular/instructional materials

TASKSas set up by classroom teacher

TASKSas enacted by classroom teacher and students

Mathematical Task Framework (MTF)

第一個研究 第二個研究 第三個研究

總結

一位台灣國中數學教師─ 阿南老師

教師中心

Excellent Mathematical Knowledge for Teaching

考試導向

• 阿南老師使用的幾何計算試題（ GCN ）可以提供學生哪些學習機會（ Opportunities to learn) 呢？

• 阿南老師使用的教材（ curricular/instructional sources) 裡，幾何計算試題（ GCN ）有沒有什麼不同？如果有，會不會影響學生的學習機會呢？（ Opportunities to learn)

研究問題

1.教科書2.補充講義3.測驗卷4.阿南老師上課中發展的試題

幾何試題分析架構

參照圖形 (reference diagram) 的定義

• 教科書在定義一個幾何性質時，旁邊的附圖就稱為參照圖形

• 不同人對平行四邊形的心智圖形 (mental images)

等腰三角形和正三角形的參照圖形

案例─分析圖形複雜性

幾何計算試題的附圖內錯角的參照圖形

圖形複雜性Categories

分析子項一：參照圖形被取消的線段

分析子項二：參照圖形因取消線段而被影響的頂點

分析子項三：新的線段增加在參照圖形上

分析子項四：參照圖形因新增加的線段而影響了原來的頂點

分析子項五：參照圖形因新增加的線段而增加了新的頂點

分析子項一、二分析子項一：參照圖形被取消的線段

分析子項二：參照圖形因取消線段而被影響的頂點

分析子項三、四分析子項三：新的線段增加在參照圖形上

分析子項四：參照圖形因新增加的線段而影響了原來的頂點

分析子項五分析子項五：參照圖形因新增加的線段而增加了新的頂點

一個幾何試題圖形改變摘要表Category Number

分析子項一：參照圖形被取消的線段 4

分析子項二：參考圖形因取消線段而被影響的頂點 2

分析子項三：新的線段增加在參照圖形上 2

分析子項四：參照圖形因新增加的線段而影響了原來的頂點 2

分析子項五：參照圖形因新增加的線段而增加了新的頂點 3

圖形複雜度 13

認知複雜度

內錯角的參照圖形 參照圖形鑲嵌在幾何計算圖形內

其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

三角形內角和 內錯角 同位角 外角定理(1)

同側內角 角平分線 四邊形內角和 互補性質

解題複雜性 (problem-solving complexity)

• 輔助線• 推理步驟的個數• 使用幾何性質的次數• 需要剛性轉換 (transformation) 的次數

案例─解題複雜性• 一個四邊形 ABCD ，其 AD//BC ， AD=10,

BC=16, AB=6, CD=8, 且 DCB=48˚ 。求 BAD=_________.

B C

A D

16

86

10

輔助線

B C

A D

16

86

10

O

• 一個四邊形 ABCD ，其 AD//BC ， AD=10, BC=16, AB=6, CD=8, 且 DCB=48˚ 。求 BAD=_________.

解題步驟和對應的幾何性質步驟 計算步驟 幾何性質

步驟一 AD//OC 且AD=OC=10,AOCD 為平行四邊形

一雙對邊平行且等長的四邊形為平行四邊形

步驟二 DCO=DAO=48˚ 平行四邊形對角相等

步驟三 AO//CD 平行四邊形對邊平行

步驟四 DCO=AOB=48˚ 同位角

步驟五 BA=BO=6AOB=BAO=48˚ BAD=48˚+48˚=96˚

等腰三角形定理

剛性轉換 (transformation)

分析資料• 國二的一個幾何單元─平行線與四邊形

– 熟悉幾何性質– 奠定國三學習幾何證明的基礎

• 追蹤一個國中教師（阿南老師）在教這個單元使用的教材內容– 教科書– 補充講義– 測驗卷– 課堂上創造出的試題

• 總共有 1084 個試題，其中 529 個試題是幾何計算（ GCN ）

Diagram Complexity

3.94

5.73

7.476.86

012345678

Textbookseries

Supplementalmaterials

Tests Tasks createdby Nancy

Nu

mb

er o

f ch

ang

es

Findings- 圖形複雜性

115 Tasks 125 tasks 189 tasks 7 tasks

Auxiliary Lines

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Textbook series Supplementalmaterials

Tests Tasks created byNancy

Perc

ent

Auxiliarylines notneeded

Auxiliarylinesneeded

Findings- 輔助線

115 Tasks 151 tasks 256 tasks 7 tasks

Findings- 推理步驟數

Solution Steps

1.922.85

4.07

3.14

0

1

2

3

4

5

Textbookseries

syllabus Tests Tasks createdby Nancy

Num

ber

of r

easo

ning

ste

ps

Findings- 使用幾何性質個數

Required Geometric Properties

1.69

2.33

3.19

2.43

00.5

11.5

22.5

33.5

Textbookseries

syllabus Tests Tasks createdby Nancy

Num

ber

of p

rope

rtie

s

Findings- 轉換 (transformation) 個數

Transformation

0.631.18

2.08

1.14

00.5

11.5

22.5

3

Textbookseries

syllabus Tests Tasks createdby Nancy

Num

ber

of a

ctio

ns

結果討論─ 1

• 發展出的試題分析架構– 創新性– 系統性的分析試題– 避開學生先備知識對試題難度度分析的影響

結果討論─ 2

• 非教科書的試題比教科書難– 要求學生辨識出複雜的幾何圖形──鑲崁的參

照圖形及對應的幾何性質– 畫出輔助線– 多步驟解題過程– 使用多個幾何性質– 需要學生作圖形的剛性轉換（ transformation

s ）解題技巧、知識、和推理都是幾何證明需要的能力

結果討論─ 3

• 學生如何學習這些困難的幾何計算試題呢？– 阿南教師的教學技巧– 使用補充講義– 只要多練習總有一天你就會作題目– 弱勢的學生– 對國際性教科書分析的反思

第二個研究阿南老師的教學分析

30

70

?

30

70

80

?

30

70

80

?50

第一個試題 第二個試題 第三個試題

• 如何安排幾何計算試題– 逐漸複雜幾何圖形─為維持認知困難度

學習機會 (learning opportunities)

• 作輔助線─視覺推論及操作圖形• 瞭解澄清鑲崁在幾何圖形裡的幾何性質• 發展出不同的解題策略

30 70?

30 70?

另一個分析重點• 教師中心的教學法底下如何讓學生學習數

學– 使用手勢 (gesture)

阿南的教學• 使用手勢

給定圖形 內容長方形 ABCD ， AB沿著 EF線段往下折疊。若 EGB=45˚, GFB’=45˚, 且 AB=8 cm 。求∆ EFG的面積

第三個研究研究假設 Hypothesis

• 研究問題– 當控制兩種試題的給定圖形以及解題所需的幾何性質，

學生在幾何計算與幾何證明的表現會一樣嗎？

幾何計算 幾何證明圖形

Why Geometric Diagram?

• Place where problem solving happens (Larkin & Simon, 1987)

• Schemes by which students remember the steps in solving a problem, the given statements, and the diagram labels (Lovett & Anderson, 1994)

• Milieu where can be parsed into chucks to cue the geometric knowledge (Koedinger & Anderson, 1990)

• Artifacts in scaffolding students in learning proofs (Cheng & Lin, 2006; 2007).

• Both types of tasks also require to visualize the geometric properties embedded in the given diagram

設計幾何計算與幾何證明試題的準則

• 準則一：給定圖形一致性• Pair 1

給定圖形 幾何計算 幾何證明三角形 ABC 中，AC=BC 且BCD 共線。 ACD ＝130˚, 求 ABC.

三角形 ABC中， AC=BC 且 BCD 共線。證明 ACD=2ABC

設計幾何計算與幾何證明試題的準則

• 準則二：解題使用的幾何性質相同– Set 1:

• 三角形內角和• 互補性質• 等腰三角形性質

– Set 2:• 外角定理• 等腰三角形性質

給定圖形 幾何計算 幾何證明三角形 ABC中， AC=BC 且BCD 共線。 ACD ＝130˚, 求 ABC.

三角形 ABC 中，AC=BC 且BCD 共線。證明 ACD=2ABC

設計幾何計算與幾何證明試題的準則

• 標準三：解題中使用幾何性質的次序是相同的• 幾何計算 幾何證明

設計幾何計算與幾何證明試題的準則

• 準則四 : – 設計其他不同圖形的幾何計算和幾何證明題目

• 問卷共有四對試題

第二對

Given Diagram GCN Item GP Item

ABCD is a parallelogram. AE and BF are angle bisectors of A and B. If AED=25 , ∘find the measure of EAD.

ABCD is a parallelogram. AE and BF are angle bisectors of A and B. Prove AED=EAD.

B

D

F

E

A

C

第二對• 幾何計算 幾何證明

第三對

Given Diagram GCN Item GP ItemTriangle ABC in which AB and AC are the same lengths. Construct a line through point A so that the line is parallel to BC where the bisectors of angle B and angle C intersect the line at point D and point E. If AC=6 cm and

ACB=75 , find (1) the ∠ ∘length of AE; (2) the measure of AEC. ∠

Triangle ABC in which AB and AC are the same lengths. Construct a line through point A so that the line is parallel to BC and the bisectors of angle B and angle C intersect the line at point D and point E. Prove AC=AE

A

B

DE

C

第三對• GCN GP

第四對

Given Diagram GCN Item GP Item

三角形 BDC 中，BD=BC 且ABC 共線。 ABD ＝70˚, 求 BDC.

三角形 BDC 中， BD=BC 且 ABC 共線。證明 ABD=2BDC

C

B

DE

A

第四對• 幾何計算 GCN 幾何證明 GP

學生答題的架構

證明或計算步驟 標示此步驟在圖形上

幾何性質

∠ADB= ADC=90˚ ∠垂直性質

(AD BC) ⊥

解題經驗的考量• 解題經驗的不確定性

– 幾何證明先，幾何計算後– 幾何計算先，幾何證明後

時間的影響• 解題時間點不同

– 對應的試題幾乎同時間解– 對應的試題相差一天解題

實驗設計 Design Structure第一天 第二天

組別一：幾何證明先，幾何計算後

4題幾何證明 4 題幾何計算

組別二：幾何計算先，幾何證明後

4 題幾何計算 4 題幾何證明

組別三：幾何證明先，幾何計算後

2 題幾何證明先， 2題幾何計算後

2 題幾何證明先， 2題幾何計算後

組別四：幾何計算先，幾何證明後

2 題幾何計算先， 2題幾何證明後

2 題幾何計算先， 2題幾何證明後

施測學生樣本

• 二個年級–九年級 : 已經完成所有國中的幾何證明

課程

–八年級 :還沒正式學過幾何證明課程

• 每一班級隨機且平均的分派到四個組別

413 學生

502 學生

參與學生九年級 八年級 學生人數

組別一：幾何證明先，幾何計算後（分開一天）

100 124 224

組別二：幾何計算先，幾何證明後（分開一天）

103 122 225

組別三：幾何證明先，幾何計算後（同天）

107 128 235

組別四：幾何計算先，幾何證明後（同天）

103 128 231

學生人數 413 502 915

答題編碼 Coding Scheme

幾何計算 幾何證明

正確計算且理由正確 可接受證明

不完整的計算 不完整的證明

不恰當的計算 不恰當的證明

直覺反應 直覺反應

沒有回應 沒有回應

Points 1

Points 0

Points 0

Points 2

Points 3

幾何計算與幾何證明的表現比較（兩個年級一起）

T test and P value

Mean

Mean Differenc

e

Std. Error Mean

T df Sig.

GCN 6.33-.305 .068 -4.508 914 .000*

GP 6.03

個別年級的表現比較

6.686.49

6.05

5.65

5.05.25.45.65.86.06.26.46.66.87.0

8th grade 9th grade

Mea

n S

core

GC

GP

Significant

Not Sig.

兩種試題答題的先後

6.06

6.08

6.61

5.98

5.05.25.45.65.86.06.26.46.66.87.0

GC GP

Mea

n S

core

GC first GP later

GP first GC later

Significant Not Sig.

Timing Effects

6.34

6.106.33

5.96

5.05.25.45.65.86.06.26.46.66.87.0

GC GP

Mea

n Sc

ore A close proximity

Separated by oneday

Not Sig.Not Sig.

兩個年級間的比較

5.65

6.05

6.686.49

5.05.25.45.65.86.06.26.46.66.87.0

GC GP

Mea

n S

core

8th grade

9th grade

Significant Significant

幾何計算答題正確 VS幾何計算答題正確且有正確理由

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Pair 1 Pair 2 Pair 3 Pair 4

Per

cent

8th grade-Correctcalculation

8th grade-Correctcalculation withreasons

9th grade-Correctcalculation

9th grade-Correctcalculation withreasons

九年級學生答題正確在四個編碼類別的分佈

Intuitive responses

Improper calculations

Incomplete calculations

Correct calculations with reasons

Perc

ent

100

80

60

40

20

0

9th grade - GC1

Intuitive responses

Improper calculations

Incomplete calculations

Correct calculations with reasons

Perc

ent

100

80

60

40

20

0

9th grade - GC2

Intuitive responses

Improper calculations

Incomplete calculations

Correct calculations with reasons

Perc

ent

100

80

60

40

20

0

9th grade - GC3

Intuitive responses

Improper calculations

Incomplete calculations

Correct calculations with reasons

Perc

ent

100

80

60

40

20

0

9th grade - GC4

試題的獨立性Task-dependent

討論─觀點一• 幾何證明和幾何計算對九年級的學生來說，

難度是一樣的• 跟之前研究的結果相反 (e.g., Heinze,

Cheng, & Yang, 2004).– 沒有要求學生寫出幾何性質– 可以根據表層圖形直覺來猜出答案–猜測跟試題有相當的關係性存在

案例─幾何計算答案的猜測

Diagram GCN task description

In triangle ABC, AE BC, ⊥AB//DE, and CD=CE. Given that measure of DCE=40˚, find the measure of BAE=_____.

A

B CE

D

40

鑲崁在幾何計算圖形裡的等腰三角形

A

B CE

D

剛性變化

A

B CE

D

等腰三角形等底角

鑲崁在幾何計算圖形裡的同位角

A

B CE

D

討論─觀點二• 對八年級學生來說幾何證明比較困難

6.686.49

6.05

5.65

5.05.25.45.65.86.06.26.46.66.87.0

8th grade 9th grade

Mea

n Sc

ore

GC

GP

Significant

Not Sig.

討論─觀點二

解幾何計算的知識

將證明步驟正確串連的知識

正確使用代數及幾何符號的知識

不能使用數字來寫證明的知識

作幾何證明的知識

將證明步驟正確串連的知識

Proving ACD=2ABC when AC=BC

不能使用數字來寫證明的知識

正確使用代數及幾何符號的知識

跟圖形有關的錯誤（ 1 ）

跟圖形有關的錯誤（ 2 ）

跟圖形有關的錯誤（ 3 ）

Two parallel lines.Sum of the alternate interior angles is 180˚

Proving stepLabels on the

diagramGeometric

reasons

跟圖形有關的錯誤 (4)

ABC is collinear and BD=BC. Given that ABD=70˚, find the measure of BDC=____.The alternate interior angles property?!

總結• 幾何計算，尤其是非教科書裡的幾何計算

提供了學生學習– 不同的幾何知識– 幾何推理– 問題解決技巧

• 教師在教室裡會小心的維持住幾何計算試題的認知難度

• 學生解幾何計算的經驗對他們的幾何證明學習有相當的幫助

Implications• 課程分析的兩種方式： Vertical-dimension

(textbook) vs. horizontal-dimension investigations

• 使用 MTF 架構可有效的探究學生的學習成果• 未來研究應小心的考量亞洲國家的數學成就表現。尤其是– 考試文化 Examination culture– 非語言的教室互動模式 Non-verbal communications

(e.g., the use of gestures)