§5.3 常系数线性微分方程组
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§5.3 常系数线性微分方程组. Coefficients Linear ODEs. 本节主要内容 /Main Contents/. 1 常系数 齐线性微分方程组. (5.33). 的基解矩阵的结构,这里 A 是 常数矩阵。. 2 通过代数的方法,寻求 (5.33) 的一个基解矩阵。. 3 拉普拉斯变换在常系数线性微分方程组中的应用。. 5.3.1 矩阵指数 exp A 的定义和性质. 无穷矩阵级数. 如果每个. 收敛,则. 收敛。. 收敛的法则:. 判断无穷矩阵级数. 收敛,. 而级数. 则. 收敛。. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
§5.3 常系数线性微分方程组
Coefficients Linear ODEs
§5.3 Coefficients Linear ODEs
1 常系数齐线性微分方程组
Axx
的基解矩阵的结构,这里 A 是 常数矩阵。nn
2 通过代数的方法,寻求 (5.33) 的一个基解矩阵。
(5.33)
3 拉普拉斯变换在常系数线性微分方程组中的应用。
本节主要内容 /Main Contents/
§5.3 Coefficients Linear ODEs
5.3.1 矩阵指数 expA 的定义和性质
无穷矩阵级数
1
21k
kk AAAA
nnk
ijnnijnnij aaa )()()( )()()( 21
nnk
ijijij aaa )( )()()( 21
如果每个 njiak
kij ,,,,)( 21
1
收敛,则
1kkA 收敛。
§5.3 Coefficients Linear ODEs
判断无穷矩阵级数
1kkA 收敛的法则:
k kA
n
j
n
i
kija
1 1
)(kM 而级数
1kkM
1kkA
收敛,
则 收敛。
同理,可给出
1kk t)(A 在区间 I 上的一致收敛的定义,
和函数等类似的结果。
§5.3 Coefficients Linear ODEs
Aexp (5.34)
定义 1 矩阵指数
E 为 n 阶单位矩阵 ,mA 是矩阵 A 的 m 次幂。
1!0,0 EA exp A 是一个确定的矩阵。
对于一切正整数 k ,!!! k
A
k
A
k
Akkk
0k
k
k
A
!
1k
k
k
AE
!1 ne A
而
收敛,
则 收敛。
0k
k
k!
A
0
2
2k
mk
mE
k
!!!
AAA
A
§5.3 Coefficients Linear ODEs
对于一切正整数 k ,当 ct (c 是某一正常数 ) 时,有
!!! k
cA
k
tA
k
tAkkkkkk
而数值级数
0 !
)(
k
k
k
cA是收敛的,
0k
kk
k
tt
!exp
AA (5.35
)在 t 的任何有限区间上是一致收敛的。
定义 2 矩阵指数函数
因而 (5.35) 在 t 的任何有限区间上是一致收敛的。
§5.3 Coefficients Linear ODEs
00
k
k
k
k
kexp
kexp
!,
!
BB
ΑA
性质Aexp
性质 1 如果矩阵 A , B 是可交换的,即 AB=BA ,则
(5.36)BABA expexpexp )(
证 由于级数
绝对收敛,由绝对收敛级数的乘法定理,得
BA expexp )!
)(!
( 22
22 BBE
AAE
)(!
)( 22 22
1BABABAE
另一方面,由二项式定理及 AB=BA ,
§5.3 Coefficients Linear ODEs
由绝对收敛级数的乘法定理,得
BA expexp )!
)(!
( 22
22 BBE
AAE
)(!
)( 22 22
1BABABAE
另一方面,由二项式定理及 AB=BA ,
)( BAexp 2
2
1)(
!)( BABAE
)(!
)( 22 22
1BABABAE
BABA expexpexp )(
§5.3 Coefficients Linear ODEs
性质 2 对于任何矩阵 A , 1)( Aexp 存在,且
)()( AA expexp 1
E0AAAA exp))(exp()exp(exp
)exp()(exp AA 1
(5.39)
证 A 与 -A 是可交换的,故在 (5.36) 中,令 B = -A 得
§5.3 Coefficients Linear ODEs
TATATT )(exp)exp( 11
1
11
k
k
k!
)()exp(
ATTEATT事实上
性质 3 如果 T 是非奇异矩阵,则
1
1
k
k
k!
TATE
TATTA
TE )1
1
1 (exp)!
(
k
k
k
TATATATTTATT 211121 )(
§5.3 Coefficients Linear ODEs
定理 9 tt Aexp)(
是 (5.33)
证明
E)(0
)(exp)( tt A
)(t 是 (5.33) 的解矩阵,又因为 ,)( E0
因此 , 是 (5.33) 的标准基解矩阵。)(t 证毕
(5.41)矩阵的标准基解矩阵。Axx
!)!(!! k
t
k
ttt kkkk 11232
121
AAAAA
tAAexp )(tA
§5.3 Coefficients Linear ODEs
例 1 如果 A 是一个对角矩阵
na
a
a
2
1
A
试求出 的基解矩阵。
( 其中未写出的元素均为零 )
Axx 解 方程组可以写成 ),,,( nkxax kkk 21
分别积分
ta
ta
ta
ne
e
e
2
1
0
0
1
tae
0
02
tae
tane
0
0
§5.3 Coefficients Linear ODEs
据定理 9 ,这就是基解矩阵。
tAexp
!k
t
a
a
ak
kn
k
k
2
1
ta
ta
ta
ne
e
e
2
1
!! 21
2
2
22
21
2
1
t
a
a
a
t
a
a
a
E
nn
§5.3 Coefficients Linear ODEs
例 2 试求 xx
20
12 的基解矩阵。
解
00
10
20
02
20
12A
以验证后面的两个矩阵是可交换的,得到
ttt
00
10
20
02expexpexp A
}!
{
200
10
00
10
0
0 22
2
2 tt
e
et
t
E
§5.3 Coefficients Linear ODEs
但是
因此,基解矩阵就是
10
12 tet tAexp
00
00
00
102
}{ te
et
t
00
10
0
02
2
EtAexp
t
tt
e
tee
0
§5.3 Coefficients Linear ODEs
0cc tλet )(
其中常数 和向量 c 是待定的。
cAc tλtλ eλe 因为 0 tλe
0cAE )(λ (5.44)
5.3.2 基解矩阵的计算公式
Axx (5.33)
(5.43)若 (5.33 )有 的解,
反过来, 和向量 c 满足方程组 (5.44)
§5.3 Coefficients Linear ODEs
ctλe
和 c 满足方程
)()( cAc tλtλ ee 则
是 (5.33) 的非零解
0cAE )(λ (5.44)
0c 0 AEλp )(
是 A 的特征值,c 是 A 的属于 的特征向量。
特征方程
ctλe
是 (5.33) 的非零解
是 A 的特征值,c 是 A 的属于 的特征向量。
§5.3 Coefficients Linear ODEs
例 3 求解 xx
22
31
解 AE λ22
31
621 ))((
0432
1 4 21 ,
0cAE )( 1λ 0cAE )( 2λ
§5.3 Coefficients Linear ODEs
0cAE )( 4
0
0
22
33
2
1
u
u
1
1
2
1
u
u
1
141
tex
22
31A
§5.3 Coefficients Linear ODEs
0cAE )(1
0
0
32
32
2
1
u
u
2
3
2
1
u
u
2
32
tex
22
31A
§5.3 Coefficients Linear ODEs
tt
tt
ee
eet
2
34
4
)(
2
3
1
12
41
tt ecec
0521
310
021
t
xx ,det)(det
2
1
4
4
2
3
c
c
ee
eet
tt
tt
)(x
§5.3 Coefficients Linear ODEs
1 如果0
是简单特征根,0
2 如果 0 是特征方程的 k 重根 ( 即 )(p
具有因子 k)( 0 , 而没有因子 10 )( k
则称 是 k 重特征根。0
是特征方程的单根,则称
) ,
§5.3 Coefficients Linear ODEs
,,,, nvvv 21 它们对应的特征值分别为 n,λ,,λλ 21
( 不必各不相同 ) ,那么
teeet ntλtλtλ n ],,,[)( vvv 21
21
是常系数线性微分方程组 Axx
的一个基解矩阵。
(5.33)
定理 10 如果矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量
求解常系数线性齐次方程组实基解矩阵的方法之一
§5.3 Coefficients Linear ODEs
每一个向量函数 ),,,( nje jiλ j 21v
nvvv ,,, 21 是线性无关的 ,
所以
00 21 ]det[)(det nv,,v,v
证明
都是 (5.33) 的一个解 ,
teeet ntλtλtλ n ],,,[)( vvv 21
21
基解矩阵。
§5.3 Coefficients Linear ODEs
注1
,,,, nvvv 21它们对应的特征向量分别为n,λ,,λλ 21
那么 teeet ntλtλtλ n ],,,[)( vvv 21
21
是常系数线性微分方程组 Axx 的一个基解矩阵。
推论如果矩阵 A 具有 n 个互不相同的特征值
注 2 标准基解阵的表示
tAexp
)()(exp 01 ttA
)(t CA )(exp tt )(01C
标准基解阵一定为实矩阵。
§5.3 Coefficients Linear ODEs
注3
若实系数线性方程组
Axx (5.33)
有复值解 ,则其实部 与
虚部 都是( 5.33 )的解 .
)()()( titt vux )(tu
)(tv
§5.3 Coefficients Linear ODEs
例 5 试求解
35
53A
解
其中Axx
1 求 A 的特征值和特征向量
034635
53 2
λλ
λ
λλ )det( EA
i532,1
0uEA
2
11 55
55
u
u
i
iλ )(
0
0
21
21
iuu
uiu
§5.3 Coefficients Linear ODEs
对于任意常数 0
iu
1 是对应于
i531
类似的,可以求出对应于 i532
的特征向量为
1
iv 其中 0
的特征向量,
2 求实基解矩阵
ie ti 153
1)(x
153
2
ie ti)(x
§5.3 Coefficients Linear ODEs
titi
titi
eie
ieet
)()(
)()(
)(5353
5353
就是一个基解矩阵。
)()(exp 01 ttA
1
5353
5353
1
1
i
i
eie
ieetiti
titi
)()(
)()(
21
2
221
5353
5353
i
i
titi
titi
eie
iee)()(
)()(
tt
tte t
55
553
cossin
sincos
§5.3 Coefficients Linear ODEs
1 计算特征值,特征向量;
求实基解矩阵的步骤 ( 利用定理 10)
2 求解基解矩阵,求标准基解矩阵(实);
3* 写出方程的通解。
§5.3 Coefficients Linear ODEs
作业 P.236, 第 4(a) , (b) 题。
课堂练习
试求解
12
51A其中Axx
itit
itit
eiei
eet
33
33
3131
55
)()()(
tAexp
ttt
ttt
333
333
35
32
35
31
sincossin
sinsincos
§5.3 Coefficients Linear ODEs
求解常系数线性齐次方程组实基解矩阵的方法之二
假设 A 是一个 nn 矩阵,其不同特征值 kλλλ ,,, 21
它们的重数分别为 knnn ,,, 21 nnnn k 21
那么,对于每一个 jn 重特征值 j , 线性方程组
0uEA jnjλ )( (5.48)
的解全体构成 n 维欧几里得空间的一个 jn
子空间 ),,,,( kjU j 21
kUUUU 21
且 n 维欧几里得空间 U
维
§5.3 Coefficients Linear ODEs
对于 n 维欧几里得空间的每一个向量 u ,存在唯一的),,,( kjU jj 21 u 使得
kuuuu 21 (5.49)
nλλλ ,,, 21
nnccc vvvu 2211
nk 互不相同,,,,, nvvv 21
对应的特征向量
1k A 有一个n 重特征值 λ
0uEA )( λ (5.48)
的解全体就构成 n 维欧几里得空间,
u
u 不必分解。
向量
分别为
§5.3 Coefficients Linear ODEs
且 满足
kjnlλ jjl
j ,,,)( , 21 0vEA (5.51)
则存在唯一的(5.50)
是 (5.33) 的满足 )( 0t 的解,)(t设 是 n 维向量
kvvv 21
),,,( kjU jj 21 v 使得
),,,( kjj 21 v
(5.48)0vEA jn
jjλ )(
由此可推得
)(t ))((exp)(exp ktt vvvAA 21
§5.3 Coefficients Linear ODEs
)exp( te jtj E
jt vA )(exp jjt tet j vEA )]exp()[(exp
jjt te j vEA ])exp[(
E
t
t
t
t
j
j
j
j
e
e
e
e
§5.3 Coefficients Linear ODEs
jn
jj
n
jjt
j
j
j
n
t
tte
vEA
EAEAE
])()!(
)(!
)([
11
22
1
2
jjt te j vEA ])exp[(
jt vA )(exp j
n
i
ij
itλ
j
j λi
te vEA
])(!
[1
0
§5.3 Coefficients Linear ODEs
j
n
i
ij
ik
j
tλj
j λi
te vEA
])(!
[1
01
)(t ))((exp)(exp ktt vvvAA 21
k
jjt
1
vA )(exp
jt vA )(exp j
n
i
ij
itλ
j
j λi
te vEA
])(!
[1
0
§5.3 Coefficients Linear ODEs
j
n
i
ij
ik
j
tλj
j λi
te vEA
])(!
[1
01
)(t
(5.52)满足),,,( kjj 21 v
(5.48)0vEA jn
jjλ )(
(5.33) 的满足 )( 0t 的解:
§5.3 Coefficients Linear ODEs
EAA )(expexp tt
])(exp,,)(exp,)[(exp nttt eAeAeA 21
ii tt eA )(exp)(
0
1
0
ie )(,),(),(exp tttt n 21A
§5.3 Coefficients Linear ODEs
0)( uEA n
当 A 只有一个特征根时,无需将特征向量分解为 (5.50) 。
这时对于任何 u 都有
tet tλ )exp(exp EAA
])(!
[
1
0
n
i
ii
tλ λi
te EA (5.53)
§5.3 Coefficients Linear ODEs
41
12A
解
)(0
Axx
1 求 A 的特征值
例 4 试求解
2
1
η
η
09641
12 2
λλ
λ
λλ )det( EA
321 ,λ2 代入公式,求初值问题的解
)(t
])(!
[1
0
n
i
ii
tλ λi
te EA
§5.3 Coefficients Linear ODEs
)(t
2
1 3 3η
ηte t )]([ EAE
uEA
])(!
[1
0
n
i
ii
tλ λi
te
2
1 3
30
03
41
12
10
01
η
ηte t )]([
2
1 3
11
11
10
01
η
ηte t ][
2
1 3
1
1
η
η
tt
tte t
§5.3 Coefficients Linear ODEs
)(t
2
1 3
1
1
η
η
tt
tte t
)(t1
0
1
1
1 3
tt
tte t
)(t2
1
0
1
1 3
tt
tte t
t
te t 1 3
t
te t
1 3
tAexp
tt
tte t
1
1 3
3 求 A 的标准基解矩阵
§5.3 Coefficients Linear ODEs
3213
312
3211
2'
2'
3'
xxxx
xxx
xxxx
211
102
113
A例 5
3
2
1
0
η
η
η
)(试求满足初始条件 的解 )(t
并求 expAt 。解 1 求 A 的特征值
0)2)(1()det( 2 AE
2 1 321 ,, λλ
0uEA0uEA 22) )(( 和
§5.3 Coefficients Linear ODEs
0uuEA
111
112
112
)( 或
0
02
02
321
321
321
uuu
uuu
uuu
α
α
0
1u
其中为任意常数。子空间 1U 是由向量 1u 所生成的。
2 确定 的分解
211
102
113
A
§5.3 Coefficients Linear ODEs
0uuEA
011
011
100
2 2)(
0
0
21
21
uu
uu
χ
β
β
2u
其中 , 是任意常数。子空间 2U 是由向量
2u 所张成的。
211
102
113
A
§5.3 Coefficients Linear ODEs
2211 UU vv
χ
β
β
α
α 21
0
vv
χ
β
β
α
α
η
η
η 0
3
2
1
321 ,
解之得到
123112 ,,
21 vv
123
1
1
2
12
121
0
ηηη
η
η
ηη
ηη vv
§5.3 Coefficients Linear ODEs
根据公式 (5.52) ,
3 求满足初始条件 )(0 的解为
j
n
i
ij
ik
j
tλj
j λi
te vEA
])(!
[1
01
)(t
22
1 2 vEAEEv ))(()( teet tt
123
1
12
12
12
011
122
1110
ηηη
η
η
te
ηη
ηηe tt E
§5.3 Coefficients Linear ODEs
123
1
12
12
12
1
212
10
ηηη
η
η
tt
ttt
ttt
e
ηη
ηηe tt
123
1231
12312
12
12
0
ηηη
)ηηt(ηη
)ηηt(ηη
e
ηη
ηηe tt
)(t
123
1231
12312
12
12
0
ηηη
)ηηt(ηη
)ηηt(ηη
e
ηη
ηηe tt
§5.3 Coefficients Linear ODEs
4 求出 exp At
依次令
1
0
0
0
1
0
0
0
1
,,
得到三个线性无关的解。以这三个解作为列,得
ttttt
ttttt
ttt
eeeee
teteeete
teteet
t222
222
222
1
1
)(
)(
exp A
5 求通解 x(t)=(exp At)c
作业 P.236, 第 4(c) , 5(b) 题。
§5.3 Coefficients Linear ODEs
求解常系数线性齐次方程组实基解矩阵的方法之三
利用若当标准型计算基解矩阵 Axp(At)
根据线性代数知识 , 对每一个 n 阶矩阵 A, 存在 n 阶非奇异矩阵 P, 使得
1A PJP其中
1
2
m
J
JJ
J
§5.3 Coefficients Linear ODEs
为若当标准型 . 假设若当块
则
是
1
1
i
ii
i
J
in 阶的 1 2 mn n n n , , , ;1 2i m
iJ 有如下分解式0 1
0
1
0
i
ii
i
J
§5.3 Coefficients Linear ODEs
第一个矩阵具有 形式 , 第二个矩阵是幂铃矩阵 ,
由于矩阵 和任何矩阵可以交换 , 因此有0 1
1
0
i itJ te e E E t
iEiE
!
2
0 0 1
12
0
0
x
§5.3 Coefficients Linear ODEs
( )!
1
0 0 0 0 1
0
01
0
0
in
i
t
n
由此得到它的初等函数有限和的形式 , 即
§5.3 Coefficients Linear ODEs
! ( )!
( )!
!
12
2
2
12 1
12
2
1
i
i
i i
n
i
n
itJ t
t tt
n
tt
ne e
t
t
§5.3 Coefficients Linear ODEs
根据分块对角矩阵的运算可得到1
2
m
tJ
tJtJ
tJ
e
ee
e
因此基解矩阵为 1 1At PJtP Jte e Pe P
1
21
m
tJ
tJAt
tJ
e
ee p p
e
§5.3 Coefficients Linear ODEs
求解常系数线性齐次方程组实基解矩阵的方法之四利用递推法计算基解矩阵
结论 tAexp j
n
jj tr P
1
01 )(
其中 ,n,,jj
kkj 21 , ,
10
)( EAPEP
)(,),(),( trtrtr n21 是下列初值问题的解
0010
32
1
1
111
)(,)(
),,,(
j
jjjj
rr
njrrr
rr
§5.3 Coefficients Linear ODEs
tAexp j
n
jj tr P
1
01 )(
)(
)(
)(
),,,(
tr
tr
tr
PPP
n
n 2
1
110
)(
)(
)(
)(
)(
)(
tr
tr
tr
tr
tr
tr
nnn
2
1
2
1
2
1
100
0
01
00
§5.3 Coefficients Linear ODEs
)(
)(
)(
)(
tr
tr
tr
n
n 2
1
110 P,,P,P
)(
)(
)(
),,,(
tr
tr
tr
n
n 2
1
110 PPP
)(
)(
)(
)(
tr
tr
tr
nn
n
2
1
2
1
110
100
0
01
00
P,,P,P
§5.3 Coefficients Linear ODEs
),,,(
)(
1212101
2
1
110
100
0
01
00
nn
n
n
PPPPP
P,,P,P
),,,( nnn PPPPPP 1212101
,n,,jj
kkj 21 , ,
10
)( EAPEP
11 jjjjjj A PEEPP )( 1 jAP
),,,( 110 nAPAPAP ),,,( 110 nPPPA
§5.3 Coefficients Linear ODEs
)(
)(
)(
)(
tr
tr
tr
n
n 2
1
110 P,,P,P ),,,( 110 nPPPA
)(
)(
)(
tr
tr
tr
n
2
1
tAexp j
n
jj tr P
1
01 )(
)(
)(
)(
),,,(
tr
tr
tr
PPP
n
n 2
1
110
§5.3 Coefficients Linear ODEs
exp( 0)A
)(
)(
)(
),,,(
0
0
0
2
1
110
n
n
r
r
r
PPP
0
0
1
110 ),,,( nPPP E
tAexp j
n
jj tr P
1
01 )( 为标准基本解矩阵
§5.3 Coefficients Linear ODEs
Axx 例 6 求 的标准基本解矩阵 expAt 。
211
102
113
A
解 1 求 A 的特征值
0)2)(1()det( 2 AE
2 1 321 ,, λλ
§5.3 Coefficients Linear ODEs
2 解方程组
00 , 0010
2
2
321
323
212
11
)()(,)( rrr
rrr
rrr
rr tetr )(1tt eetr 2
2 )(tt etetr 2
3 1)()(
3 确定 210 , , PPP
tAexp 231201 PPP )()()( trtrtr
§5.3 Coefficients Linear ODEs
, 0 EP
111
112
112
1 1 EAP
000
111
111
21 2 ))(( EAEAP
ttttt
ttttt
ttt
eeeee
teteeete
teteet
222
222
222
1
1
)(
)(
tAexp 231201 PPP )()()( trtrtr
§5.3 Coefficients Linear ODEs
Axx 例 7 求 的标准基本解矩阵 expAt 。
011
101
110
A
解 1 求 A 的特征值
012 2 ))(()det( AE
1 2 321 ,, λλ
§5.3 Coefficients Linear ODEs
2 解方程组
00 , 0010
2
321
323
212
11
)()(,)( rrr
rrr
rrr
rr tetr 21 )(
)()( tt eetr 231
2
])[()( tt eettr 231
3 1
3 确定 210 , , PPP
tAexp 231201 PPP )()()( trtrtr
§5.3 Coefficients Linear ODEs
, 0 EP
211
121
112
2 1 EAP
000
000
000
12 2 ))(( EAEAP
tttttt
tttttt
tttttt
eeeeee
eeeeee
eeeeee
2
2
2
3
1
222
222
222
tAexp 231201 PPP )()()( trtrtr
§5.3 Coefficients Linear ODEs
关于常系数非齐次线性方程组
).()( 605 tfAxx
A 常矩阵, f (t) 为连续的向量函数。
常数变易法公式 设 (5.60) 有解如
)()(exp tt cA
)()(exp)()(exp tttt cAcAA
)()()(exp ttt fcAA
)()()(exp ttt fcA )()][exp()( ttt fAc
dssstt
t 0
)()][exp()( fAc
§5.3 Coefficients Linear ODEs
dssstttt
t 0
)()][exp()(exp)()(exp fAAcA
dssstt
t 0
)()]([exp fA
方程 (5.60) 的满足 )( 0t 的解:
dsssttttt
t 0
0 )()]([exp)](exp[)( fAA
§5.3 Coefficients Linear ODEs
例 8 试求方程
35
53A
解
)(tfAxx
齐次方程的基解矩阵
满足初始条件
1
00)(x 的解。
0
tet)(f
tAexp
tt
tte t
55
553
cossin
sincos
dse
stttt s
0 01
0)]([exp)exp()( AA
§5.3 Coefficients Linear ODEs
)(t
1
0
55
553
tt
tte t
cossin
sincos
dse
stst
stste
stst
055
55
0
3
)(cos)(sin
)(sin)(cos)(
)(t
t
te t
5
53
cos
sinds
ste
stee
s
stst
)(sin
)(cos)(
5
5
0
3
§5.3 Coefficients Linear ODEs
)(t
t
te t
5
53
cos
sin
dsstst
ststee
tst
5555
5555
0
43
sincoscossin
sinsincoscos
t
tt
ett
ette
4
43
554546
454654
41
1
sincos
sincos
作业 P.236 ,第 6(a) 题。