§ 4.2 常系数线性微分方程的解法
DESCRIPTION
§ 4.2 常系数线性微分方程的解法. Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE. § 4.1 General Theory of Higher-Order Linear ODE. § 4.1内容 回顾. 解的性质与结构。. ♣ n 阶齐次线性方程的所有解构成一个 n 维线性空间。. 方程 (4.2) 的一组 n 个线性无关解称为它的一个 基本 解组 。. 本节要求 / Requirements/. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
§ 4.2 常系数线性微分方程的解法
Solving Method of Constant Coefficients
Linear ODE
2
§ 4.1 内容回顾
).()()()( )()( 24 011
1 xtaxtaxtax nn
nn
解的性质与结构。
方程 (4.2) 的一组 n 个线性无关解称为它的一个基本
解组。
♣ n 阶齐次线性方程的所有解构成一个 n 维线性空间。
§ 4.1General Theory of Higher-Order Linear ODE
3
本节要求 /Requirements/
熟练掌握常系数齐次线性方程的求解方法
熟练掌握常系数非齐次线性方程的求解方法
熟练掌握欧拉方程的求解方法
4
非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的
结构
通解与自身的一个特解之和。
齐线性方程的通解可由其基本解组线性表示。
非齐线性方程 齐线性方程
非齐线性方程通解
特解 基解组表示
关键常数变
易法
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
5
4.2.1 复值函数与复值解 /Complex Function and Complex Solution/
一 定义 ],[ )()()( ,battittz
],[ )()( 上的实函数。是定义在, batt
极限 ],[ )(lim)(lim)(lim 0000
,battittztttttt
连续 ],[ )()(lim 000
,battztztt
导数 0
0
0
0
0
0
0 tt
tti
tt
tt
tt
tztztt
)()(lim
)()(lim
)()(lim
)( )()(
lim000
00
0
0 dt
di
dt
d
dt
dztz
tt
tztz
tttttttt
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
6
易验证
dt
tdz
dt
tdztztz
dt
d )()())()(( 21
21 dt
tdzctcz
dt
d )()]([ 1
1
dt
tdztztz
dt
tdztztz
dt
d )()()(
)())()(( 2
121
21
如 ],[ 21 )()()( ,bat, jtittz jjj
))()()()(())()(( 221121 tittitdt
dtztz
dt
d
)]}()([)]()({[ ttittdt
d2121
)]()([)]()([ ttdt
ditt
dt
d2121
)()( 2211
dt
di
dt
d
dt
di
dt
d
dt
tdz
dt
tdz )()( 21
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
7
二 关于kte
,共轭复数 ik
定义 titee )sin(cos tite t
tikt ee )(
tie )( )sin(cos tite t
tite ti sincos
tite ti sincos
ik 表示
为实变量。,为实数 tik ,
tikt ee )( tie )( )sin(cos tite t
)sin(cos tite t kte
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
8
kte 的性质tkke )( 21 tke 1 tke 21
)kt
kt
kedt
de2
)ktn
n
ktn
ekdt
ed3
)
结论 实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函 数的求导公式一致。实变量的复指数函数的求导公式与实变量的实指 数函数的性质一致。
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
9
三 线性方程的复值解 /Complex Solution of Linear Higher-Order ODE
如果定义在 ],[ ba 上的实变量的复值函数 )(tzx 满足方程
).()()()()( 14 11
1
1 tfxtadt
dxta
dt
xdta
dt
xdnnn
n
n
n
)(tzx 为方程的一个复值解。则称
如果方程 4.2中所有系数 ),,,)(( nitai 21
都是实值函数,而 )()()( tittzx 是方程的复数解,
)(tz 的实部 )(t ,虚部 )(t 和共轭复数函数 )(tz
也是方程 4.2的解。
定理 8
)2.4( 0)()()( 11
1
1
xtadt
dxta
dt
xdta
dt
xdnnn
n
n
n
则
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
10
定理 9 若方程 )()()()()( 11
1
1 tivtuxtadt
dxta
dt
xdta
dt
xdnnn
n
n
n
有复数解 )()( tiVtUx ,这里 ),...,,)(( nitai 21
及 )(tv 都是实函数。那么这个解的实部
)(tu
和虚部
)(tV 分别是方程
)()()()( 11
1
1 tuxtadt
dxta
dt
xdta
dt
xdnnn
n
n
n
和
)()()()( 11
1
1 tvxtadt
dxta
dt
xdta
dt
xdnnn
n
n
n
的解。
)(tU
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
11
4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程/Coefficient Linear Homogenous Higher-Order ODE And Euler Equation/
0][ 11
1
1
xadt
dxa
dt
xda
dt
xdxL nnn
n
n
n
…….(4.19)
naaa ,...,, 21 为常数。其中
为了求方程 (4.19) 的通解,只需求出它的基本解组。
n 阶常系数齐次线性方程
tex 0][ 1
11
tn
tn
tntnt eaeaeaeeL
011
1
nnnn aaa )(F …….(4.21)
te
0)( F满足te
tex
结论: tex 是方程 (4.19) 的解的充要条件 满足 0)( F
特征方程特征根
)(][ FeeL tt
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
12
下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。
1)特征根为单根的情况
n ,,, 21 是特征方程( 4.21)的 n个互不相等的根,
ttt neee ,,, 21
设
则相应的方程( 4.19 )有如下 n 个解
这 n个解在区间 t
的基本解组。事实上,
上线性无关,从而组成方程
011
1
nnnn aaa )(F
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
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tnn
tntn
tn
tt
ttt
n
n
n
eee
eee
eee
tW
112
11
21
....
....................
....
....
)(
21
21
21
112
11
21)(
....
...............
....
1....11
21
nn
nn
ntne
0
ttt neee ,,, 21 是方程的基本解组。
方程 4.19 的通解可表示为 tn
tt necececx 2121
范德蒙 (Vandermonde)行列式
ji )( ji
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
14
如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数。复根将成 i1对共轭的出现,设
i2
方程的一个特征根
也是一个特征根
则方程( 4.19 )有两个复值解tie )( )sin(cos tite t tie )( )sin(cos tite t
对应两个实值解 tete tt sin ,cos
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
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例 1 求方程 04
4
xdt
xd 的通解。
解 第一步:求特征根
01)( 4 F i 4,32,1 ,1
第二步:求出基本解组
, , tt ee tt sin ,cos
第三步:写出通解
tctceectx tt sincos c)( 4321
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
16
例 2 求方程 03
3
xdt
xd的通解。
解 第一步:求特征根
01)( 3 F2
3
2
1 ,1 3,21 i
第二步:求出基本解组
,te tete tt23
23 sin ,cos 2
121
第三步:写出通解
tectecectx ttt23
323
21 sin cos )( 21
21
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
17
2) 特征根有重根的情况
m ,,, 21 是特征方程( 4.21)的 m个互不相等的根。设
0][ 11
1
1
xadt
dxa
dt
xda
dt
xdxL nnn
n
n
n
…….(4.19)
011
1
nnnn aaa )(F …….(4.21)
mkkk ,,, 21 重数 1 ,21 im knkkk
I. 设 01 是 k1 重特征根
01
1
11
kkn
nn aa 011 1 knnn aaa
01
1
11
1
1
k
k
knn
n
n
n
dt
xda
dt
xda
dt
xd0
1 kna
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
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显然 12 1,,,,1 kttt 是方程的 k1 个线性无关的解,
方程 (4.19) 有 k1 重零特征根
方程恰有 k1 个线性无关的解 12 1,,,,1 kttt
II. 设 01 是 k1 重特征根
令 tyex 1
0][ 11
1
1
xadt
dxa
dt
xda
dt
xdxL nnn
n
n
n
01
1
11
1
1
k
k
knn
n
n
n
dt
xda
dt
xda
dt
xd
…….(4.19)
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
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0)( 1)2(
2)1(
1)(1
ybybybybye nnnnnt
…….(4.23)
特征方程 )24.4(0)( 11
1
nnnn bbbG
][ 1tyeL
0][ 1)2(
2)1(
1)(
1 ybybybybyyL nn
nnn
][ 1tyeL ][11 yLe t
tmtmtmtm
mtm
yeeymm
emyey
yex
1111
1
1)2(2
1)1(
1)(
)()(
!2
)1(
)(
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
20
)()( 1 GF
(4.19) 的 k1 重特征根 1 (4.23) 的 k1 重特征根零
11 ,,2,1 ,
)()(kj
d
dG
d
dFj
j
j
j
teF )(1
1)( ][ )( 1 teL ][ 1 tteeL
][ 1
1 tt eLe )()( 1 Ge t
][ 1tyeL ][11 yLe t
121 0 11 kjF j ,,,,)()(
011 ,)()( kF
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
21
方程 (4.23) 恰有 k1 个线性无关的解 12 1,,,,1 kttt
由 tyex 1
方程 (4.19) 恰有 k1 个线性无关的解 tkttt etettee 11111 12 ,,,,
类似地
1 1k tkttt etettee 11111 12 ,,,,
22k tkttt etettee 22222 12 ,,,,
mmk tkttt mmmmm etettee 12 ,,,,
1 ,21 im knkkk
基本解组
(4.26)
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
22
证明 假若这些函数线性相关,则存在不全为零的数 使得)(rjA
tkk etAtAA 11
1)( 1)1(
1)1(
1)1(
0
tk
k etAtAA 22
2)( 1)2(
1)2(
1)2(
0
0)( 1)(1
)(1
)(0
tkm
kmm mm
metAtAA
0)()()( 2121 t
mtt metPetPetP (4.27)
假定多项式 )(tPm 至少有一个系数不为零,则 )(tPm
不恒为零,0)()()( )()(
21112 t
mt metPetPtP
微分 k1 次
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
23
)()( 11 ])([ ktr
retP
tr
kr
krr
kr
retPtPktP )(1
)1(11
)( 111 )]()()()()([
tr
retQ )( 1)(
)(tQm
0)()( )()(2
112 tm
t metQetQ
))(())(( tPtQ mm
))(())(( tPtQ rr
不恒为零,
0)( )( 1 tm
mmetR ))(())(( tPtR mm
)(tRm 不恒为零, 0)( 1 tmme 矛盾!
中函数线性无关,其构成的解本解组。(4.26)
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
24
i1
i2
方程的一个 重特征根
也是一个 重特征根
k
k
它们对应 2 个线性无关的实解是k
,cos, ,cos ,cos 1 tetttete tktt
,sin, ,sin ,sin 1 tetttete tktt
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
25
例 3 求方程 033 2
2
3
3
xdt
dx
dt
xd
dt
xd的通解。
解 第一步:求特征根
0133)( 23 F ,13,2,1
第二步:求出基本解组
,te
第三步:写出通解ttt etctecectx 2
321 )(
,tte ,2 tet
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
26
例 4 求方程 02 2
2
4
4
xdt
xd
dt
xd的通解。
解 第一步:求特征根
012)( 24 F i2,1
第二步:求出基本解组
,sin ,sin ,cos ,cos tttttt
第三步:写出通解
二重根
ttctcttctctx sin sin cos cos)( 4321
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
27
作业: P.113 ,第 4 , 6 , 7 , 8 , 9题
P.145 ,第 2 , 3 , 4 , 5 , 6 题
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
28
可化为常系数线性方程的方程 ------- 欧拉 (Euler) 方程
).()( 294 11
11
1 xfyadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydx nnn
nn
n
nn
naaa ,...,, 21 为常数。其中
引入自变量代换 tex tx ln dtedx t
dt
dye
dx
dt
dt
dy
dx
dy tdt
dy
x
1
)(2
2
dt
dye
dx
d
dx
yd t
dx
dt
dt
yde
dt
dye tt )(
2
2
)( 2
22
dt
dy
dt
yde t )(
12
2
2 dt
dy
dt
yd
x
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
29
假设 自然数 m 有以下关系式成立,
)(1
11
1
1 dt
dy
dt
yd
dt
yd
xdx
ydmm
m
m
m
mm
m
)](1
[ 11
1
11
1
dt
dy
dt
yd
dt
yd
xdx
d
dx
ydmm
m
m
m
mm
m
dx
dt
dt
dy
dt
yd
dt
yde
dt
dmm
m
m
mmt
)]([ 11
1
1
tmm
m
m
mmt
mm
m
m
mmt
edt
dy
dt
yd
dt
yd
dt
de
dt
dy
dt
yd
dt
ydme
)](
)([
11
1
1
11
1
1
)(1
11
1
1 dt
dy
dt
yd
dt
yd
x mm
m
m
m
m
为常数121 ,,, m § 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
30
对一切自然数 m 均有以下关系是成立,
)(1
11
1
1 dt
dy
dt
yd
dt
yd
xdx
ydmm
m
m
m
mm
m
原方程
).()( 304 11
1
1t
nnn
n
n
n
efybdt
dyb
dt
ydb
dt
yd
可化为常系数线性方程
).()( 294 11
11
1 xfyadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydx nnn
nn
n
nn
tex
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
31
欧拉方程tex 常系数线性方程
tkey kxy
0)( kF
0)( kF确定
求解欧拉方程的过程
011
11
1
ya
dx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydx nnn
nn
n
nn
设 kxy 是欧拉方程的解
0111 12 k
nk
nk
nk xakxaxkkaxnkkk )()()(
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
32
02111 11 k
nn xakankkankkk ])()()()([
0)2()1()1()1( 11 nn akankkkankkk
)(kF nn akankkkankkk 11 )2()1()1()1(
解齐次欧拉方程的步骤
第一步:写出特征方程,并求特征根
第二步:求出的基本解组
先求出变换以后方程的基本解组再求出原方程的基本解组
第三步:写出原方程的通解
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
33
例 5 求方程 02
22 y
dx
dyx
dx
ydx 的通解。
解
01)1()( kkkkF ,12,1 k
,te
第三步:写出通解
tte
第一步:写出特征方程,并求特征根
第二步:求出基本解组tex xxx ln ,
xxcxcxy ln)( 21
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
34
例 6 求方程 0532
22 y
dx
dyx
dx
ydx 的通解。
解
053)1()( kkkkF
212,1 ik
tete tt 2sin ,2cos
第三步:写出通解
第一步:写出特征方程,并求特征根
第二步:求出基本解组tex
0522 kk
xx
xx
ln2sin1
,ln2cos1
)ln2sinln2cos(1
)( 21 xcxcx
xy
作业: P.146 ,第 12—26 题。
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE