1.- NÚMEROS REALES Clasificación

a) Es racional porque es un decimal periódico mixto : 5,372

b) Es irracional porque es un decimal con inf initas cifras no periódicas

c) Es irracional porque es un decimal con inf initas cifras no periódicas

�d) Es racional porque es un decimal periódico mixto : 8,6661267

1.- NÚMEROS REALES Clasificación

3Q R

5∈ ⊂ 2 I R− ∈ ⊂ 1, 25 Q R∈ ⊂

2,010010001... I R∈ ⊂ 4 Z Q R− ∈ ⊂ ⊂ 0,2 6 Q R∈ ⊂

1.- NÚMEROS REALES Clasificación

2, 47 Q R∈ ⊂ 9 3 Z Q R− = − ∈ ⊂ ⊂2

Q R7∈ ⊂

357 N Z Q R

5= ∈ ⊂ ⊂ ⊂ 12,121121112... I R∈ ⊂

4 Z Q R− ∈ ⊂ ⊂ 3,05 Q R∈ ⊂

1.- NÚMEROS REALES Clasificación

Pregunta abierta

2 Z y 2 N− ∈ − ∉

3 3Q y N, Z

5 5∈ ∉

2 R y 2 N, Z, Q∈ ∉

1.- NÚMEROS REALES Aproximaciones

10 3,16≅

A r aE x x 3,16227766... 3,16 0,00227766...= − = − =

. 100AR r a

r

E 0,00227766...E x x 0,000720259 0,1%

x 3,16227766...= = − = ≅ →

1.- NÚMEROS REALES Aproximaciones

. 100AR

r

3,140101... 3,1E 0,040101...a) E 0,012770608 1,3%

x 3,140101... 3,140101...

−= = = ≅ →

. 100AR

r

0,444... 0,44E 0,00444...b) E 0,01 1%

4x 0,444...9

−= = = ≅ →

. 100AR

r

5,91607... 5,9E 0,016079...c) E 0,00271 0,3%

x 5,91607... 5,91607...

−= = = ≅ →

2.- LA RECTA REAL. INTERVALOS Representación gráfica y ordenación

2.- LA RECTA REAL. INTERVALOS Representación gráfica y ordenación

2.- LA RECTA REAL. INTERVALOS Representación gráfica y ordenación

2.- LA RECTA REAL. INTERVALOS Representación gráfica y ordenación

2.- LA RECTA REAL. INTERVALOS Representación gráfica y ordenación

2.- LA RECTA REAL. INTERVALOS Representación gráfica y ordenación

2.- LA RECTA REAL. INTERVALOS Intervalos

≥ −a) x 1

− < ≤b) 2 x 0

<c) x 3

≤ ≤d) 4 x 8

2.- LA RECTA REAL. INTERVALOS Intervalos

− − ≤ ≤a) [ 6 , 3] 6 x 3

− − − − − < ≤ − ∈b) 5, 4, 3 y 2 , 6 x 2 , x Z

2.- LA RECTA REAL. INTERVALOS Intervalos

2.- LA RECTA REAL. INTERVALOS Intervalos

El intervalo de puntos común a ambos es (3 , 5]

3.- POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO

= = = = =3 3 5 10 4a) 8 2 125 5 243 3 1024 2 2401 7

− − − − −= = = = =4 3 8 4 51 1 1 1 1b) 5 7 2 3 2

625 343 256 81 32

3.- POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO

− + − − = =3 2 ( 1) 0a) 4 4 1

− −

−

= = = =

23 2 3 4 1

2 3 6 6 0

3 3 3 3 3 3b) 3

12 2 2 2 2

− − − −= = =3 1 2 2 3 4 1c) 5 ( 5 ) 5 5 5 5

3.- POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO

− −= → = ⇒ = −1 4 2 5 7 x 26 xa) 2 .(2 ) (2 ) 2 2 2 x 26

− −= → = ⇒ = −1 3 2 2 7 x 7 xb) 3 .(3 ) (3 ) 3 3 3 x 7

− + − −= → = ⇒ + = − → =2x 4 3 2x 4 3 7

c) 10 .10 10 10 10 2x 4 3 x2

−− − −= → = ⇒ − = → =2x 22 3 1 4x 3 2 5

d) 10 .10 10 10 10 4x 3 2 x4

3.- POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO

−− − − −

−= = = =

44 ( 3) 1

3

4 10 1 1 1 1 1a) 10 10

12 3 3 3 10 3010

−− − − −

−= = = =

10 210 ( 9) 1

9

10 1125 1 1 1 1 11b) 10 11 10 11 11

75 3 3 3 10 3011 . 10

3.- POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO

−−

− −− − −

= = =

32 24 224 4

28 ( 2) 301 4 5 2

10 1010 10

a) 10 1010 10 10 10

−−

− −− −

= = =

224 616 6 22

105 15 3 1213 3

10 1010 10 10

b) 1010 10 10

10 10

3.- POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO

− + − − = =1 2 ( 3) 4a) 9 9 6561

− − = = =

24 2 4 4 82 2 2 2 2 256

b) : :5 5 5 5 5 390 625

−− − − − = = =

223 2 3 8 11 1c) 3 3 3 3 3

177 147

3.- POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO

− − − −

−−= = = =

42 1 22 1 8 4 10 1 4 1 2

3 2 24 25 2 1522 4

2 3 10 2 5 2 3 10 2 5 2 3 10 5 3 10 5 75a)

3276802.5 2 2 5 22 . 5 2

( )

−−

− −−

− − − −

= = = =

222 4 42 4 4 43 6

4 3 3 2 3 12 4 7 23 2 3 3

2.3 3 2.3 3 2 3 8b) 2 3

7292 3 2 3 2 3 2 32.3 2 3 2 3

4.- NOTACIÓN CIENTÍFICA

9a) 5,9135. 10 km

−24b) 1,661. 10 g

4.- NOTACIÓN CIENTÍFICA

625.10 72,5.10-743.10 -64,3.10

0,029 -22,9.1043800000 74,38.100,000348 -6348.10130000 413.10

4.- NOTACIÓN CIENTÍFICA

152,5.10

4.- NOTACIÓN CIENTÍFICA

8a )2,81.1016b )1,173.10

4c )1,058.1012d )5.10

4.- NOTACIÓN CIENTÍFICA

12a )5,182.10

-10b )3,69.10

14c )8,35.10

-12d )3,51.10

4.- NOTACIÓN CIENTÍFICA

11a.b=2,8.10 0a.c=5,18.10

+ 6a b=2,14.10-2=7.10a

b

4.- NOTACIÓN CIENTÍFICA

−≅ 435,56 . 10-507 −≅ 481,94 . 10-1003 −≅ 467 . 10-1502

-100 -150 -503 < 2 < 7

5.- RADICALES. POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO. PROPIEDADES

a )1

b )3

c )-2

∃d )e )-10

f )-6

g )2

h )0,1

∃i )

5.- RADICALES. POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO. PROPIEDADES

= = =63 6 233 3 3 9a ) = = = =

10 54 10 54 22 2 2 2 32b )

33 25 5 (no se puede simplificar)=c ) = = =

3 16 3 6 22 2 2 2d )

= = = =4 210 5 54 210 53 3 3 3 9e ) = = =

6 112 6 12 25 5 5 5f )

5.- RADICALES. POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO. PROPIEDADES

= =3

2 325 5 125a )

= =5

2 527 7 16807b )

= =2

3 237 7 49c )

= =4

3 435 5 625d )

= =1

4 142 2 2e )

= =3

4 343 3 27f )

= =1

3 133 3 3g )= =

14 145 5 5h )

5.- RADICALES. POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO. PROPIEDADES

=

= = = =

10,5 2

12

1 31 13 66 6 2

2 2

2 2

8 2 2 2

Porque

5.- RADICALES. POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO. PROPIEDADES

= ⇒ 24 24 246 3 4

24 24 24

mcm(4, 8, 6) 24 4 , 8 , 6

4096 , 512 , 1296

a )

= ⇒1010 102 5 1

10 10 10

mcm(5, 2, 10) 10 5 , 2 , 20

25 , 32 , 20

b )

5.- RADICALES. POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO. PROPIEDADES

= ⇒

> > ⇒ > >

6 6 6

6 6 6 3

mcm(1, 2, 3) 6 729 , 1000 , 676

1000 729 676 10 3 26

a )

= ⇒

> > ⇒ > >

20 20 20

520 20 20 4

mcm(2, 4, 5) 20 1024 , 3125 , 20736

20736 3125 1024 12 5 2

b )

6.- OPERACIONES CON RADICALES. RACIONALIZACIÓN

⇒3 32.3. 4 24a ) = ⇒ =44 4 44 4 : 2 . 8 2 . 8 16 2b )

5 5 54 33 : 3 3⇒c )

= = = ⇒6:36 6 69 6 15 15:3 52 . 2 2 2 2 32d )

6.- OPERACIONES CON RADICALES. RACIONALIZACIÓN

= = ⇒24:224 2 2:224 124 2 2 2a ) = ⇒

12:312 3 3:3 42 2 2b )

= ⇒24:624 6 6:6 42 2 2c )

= ⇒

26 6 22 2 4d )

6.- OPERACIONES CON RADICALES. RACIONALIZACIÓN

= = ⇒3 3 2 22 . 3 . 5 2 .2. 3 . 5 .5 2 . 5 2. 3 . 5 10 30a )

= ⇒3 2 23 3 32 . 3 . 5 2 3 . 5 2 75b )

44 442 . 3 . 5 3 2 . 5 3 10= ⇒c )

6.- OPERACIONES CON RADICALES. RACIONALIZACIÓN

= ⇒2 23 5 3 5 45a )= ⇒3 3 33 3 2 3 2 5(4a) 2a 64a 2a 128ab )

= = ⇒

4 4 34 44 44

4 3

3 . 53 5 3 27

5 3 1255 . 3 5c )

6.- OPERACIONES CON RADICALES. RACIONALIZACIÓN

− + = − + =2 3 23 . 2 4 3 3 3 . 5 2 3 4 .3 3 3 . 5 3 5 3a )

2 4 2 23 2 5 2 2 5 3 5 6 5 2 .2 5 3 5 5 5− − = − − = −b )

+ − = + − = + − =5 2 7 2 33 32 5 2 . 3 2 .2 2 5 . 3 2 2 2 6 2 15 2 8 2 13 2

2 2c )

− + − = − + − = − +2 23 3 3 . 2 2 2 9 3 12 2 2 9 3 11 2d )

6.- OPERACIONES CON RADICALES. RACIONALIZACIÓN

+ − = + − =2 2 4 22 2 5 3 3 5 2 5 2.2 5 3.3 5 2 5 9 5a )

+ − = + − =3 4 3 33 3 3 3 3 34 2 5 2 . 3 2 2 . 5 4 .2 2 5.3 2 2.5 2 13 2b )

+ − = + − = −3 34 3 33 3 3 3 33 3 2 3 5 3 . 5 3.3 3 2 3 5.5 3 14 3c )

− + = − + = − +3 5 2 23 2 2 2 3 5 3 3 2.2 2 2.3 5 3 3 4 2 6 5d )

6.- OPERACIONES CON RADICALES. RACIONALIZACIÓN

= ⇒ = ⇒1212 12 123 2 3 2mcm(4, 6) 12 5 . 3 5 3 1125a )

+ − = + − ==2 3 2 33 2.5 2 2 3 4 2 3.5 2 2.2 .3 2 4 .2 2 19 2b )

266 2 3 12 12 123

9 81 3mcm(3, 2) 6 9 : 12

1728 6412= ⇒ = = ⇒c )

= ⇒ ⇒

4 1212 126 3 212mcm(2,4, 6) 12 3 . 3 : 3 3d )

6.- OPERACIONES CON RADICALES. RACIONALIZACIÓN

− = − = − + = − + =

2 2 2 223 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 3 4.3 4.3 3a )

−

− −

=

= ⇒

341 3 2

12 12 12 126 9 8 5 12

2 . 2 : 2 mcm(2,4, 3) 12

12 . 2 : 2 2

32

b )

6.- OPERACIONES CON RADICALES. RACIONALIZACIÓN

= = = ⇒ + = + = =2 2 2 2 2 2AB 20 BC 45 AC 65 AB BC 20 45 65 AC

Por tanto, es un triángulo rectángulo porque cumple el t. de Pitágoras

7 y 8.- LOGARITMOS. PROPIEDADES. EXPRESIONES LOGARÍTMICAS Y ALGEBRAICAS. CAMBIO DE BASE

Concepto

∃a ) −2

log ( 4)

=12

log (2 ) 1b )

− = −32

log (2 ) 3c )

=102

log (2 ) 10d )= =

53 5 32 2

5log ( 2 ) log (2 )

3e )

= =3 4 5 12

2 2log (2 2 2 ) log (2 ) 12f )

7 y 8.- LOGARITMOS. PROPIEDADES. EXPRESIONES LOGARÍTMICAS Y ALGEBRAICAS. CAMBIO DE BASE

Concepto

= ⇒ =6x log (10 ) x 6a )

− = − ⇒ = ⇒ = ⇒ =

1x

1 1 1 1log 1 x x 2

2 2 x 2b )

= − ⇒ ∃x log ( 100)c ) x = ⇒ =5x 2 x 32d )−= = = ⇒ = −x 2

2

1 17 7 x 2

49 7e )

−− −= = = ⇒ =11

3 133 1x 27 3 3 x

3f )

7 y 8.- LOGARITMOS. PROPIEDADES. EXPRESIONES LOGARÍTMICAS Y ALGEBRAICAS. CAMBIO DE BASE

Concepto

= =3

3 22 2

3log 2 log (2 )

2a )

− = ⇒ = ⇒ = ⇒− = → =−

x x5 5 1 512

1log 2 x 2 2 2 x 5 x 5

2b )

= =5

3 5 33 3

5log 3 log (3 )

3c ) = =

25 2 510 10

2log 10 log (10 )

5d )

=

3

13

1log 3

3e )

− − = ⇒ = ⇒ = ⇒− = → =

x 2 2x3 2 13 3110

1 2 2log 10 x 10 10 10 x x

10 3 3f )

7 y 8.- LOGARITMOS. PROPIEDADES. EXPRESIONES LOGARÍTMICAS Y ALGEBRAICAS. CAMBIO DE BASE

Concepto

2log 8 3

3log 81 4

5log 125 3

7 y 8.- LOGARITMOS. PROPIEDADES. EXPRESIONES LOGARÍTMICAS Y ALGEBRAICAS. CAMBIO DE BASE

Propiedades

[ ]1

122 log BB 1

log logB log (10A) logB log10 log A 1 log A10A 2 2

= − = − + = − −a )

− − = − − = −1

3 2 1 5logB log A 2log A 3logB log A 2logA 3logB log A

2 2b )

7 y 8.- LOGARITMOS. PROPIEDADES. EXPRESIONES LOGARÍTMICAS Y ALGEBRAICAS. CAMBIO DE BASE

Propiedades

= − + = + = = ⇒ =

2 8 8 128 128log A log 8 log3 log16 log log16 log . 16 log A

9 9 9 9

7 y 8.- LOGARITMOS. PROPIEDADES. EXPRESIONES LOGARÍTMICAS Y ALGEBRAICAS. CAMBIO DE BASE

Propiedades

= ≅2

log14a) log 14 3,8074

log 2= ≅

3

log 32b) log 32 3,1546

log3

= ≅ −12

log12c) log 12 3,585

log 0,5= ≅

5

log10d) log 10 1,4307

log5

7 y 8.- LOGARITMOS. PROPIEDADES. EXPRESIONES LOGARÍTMICAS Y ALGEBRAICAS. CAMBIO DE BASE

Propiedades

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ≅x x log 73 7 log3 log 7 x log 3 log 7 x 1,7712

log3

7 y 8.- LOGARITMOS. PROPIEDADES. EXPRESIONES LOGARÍTMICAS Y ALGEBRAICAS. CAMBIO DE BASE

Propiedades

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ≅x 6 x 6 65 10 log5 log10 x log5 6 x 8,5841

log5

7 y 8.- LOGARITMOS. PROPIEDADES. EXPRESIONES LOGARÍTMICAS Y ALGEBRAICAS. CAMBIO DE BASE

Propiedades

+ ≅ + =a) 2 log x log y 2 . 0,70 1,18 2,58

− ≅ − = −b) 3 log x 2 log y 3 . 0,70 2 . 1,18 0,26

�

= + ≅ + =

2132 1 2 1 2

c) log x y log x log y . 0,70 . 1,18 1,13 62 3 2 3

7 y 8.- LOGARITMOS. PROPIEDADES. EXPRESIONES LOGARÍTMICAS Y ALGEBRAICAS. CAMBIO DE BASE

Propiedades

−= + ⇒ = + = + ⇒ =

+x x log A logBA A

a) (1 C) log log (1 C) x log (1 C) xB B log (1 C)

= ⇒ =log B

b) xlog A log B xlog A

9.- PORCENTAJES. INTERÉS SIMPLE

Porcentajes

30blancas : 30 de 95 0,3158 31,58%

95

20Comohay en total 95bolas verdes : 20 de 95 0,2105 21,05%

95

45negras : 45 de 95 0,4737 47,37%

95

→ ≅ →

⇒ → ≅ →

→ ≅ →

9.- PORCENTAJES. INTERÉS SIMPLE

Porcentajes

18 000 r rEl índice de variación es 1,2 1 0,2 r 20

15 000 100 100

El porcentaje de aumento es del 20%

= = + ⇒ = ⇒ =

9.- PORCENTAJES. INTERÉS SIMPLE

Interés simple

C . r . t 650 . 2,25 . 3Los intereses son I 43,88 €.

100 100

Luego, el capital final es 650 43,88 693,88 €

= = =

+ =

9.- PORCENTAJES. INTERÉS SIMPLE

Porcentajes

12 12

12

Deja de invertir (0,7 0,17)% de 2. 10 € 0,53% de 2. 10 €

0,53. 2 . 10 € 10 600 millones de euros

100

− =

=

10.- INTERÉS COMPUESTO

C . r . t 750 . 12 . 4A interés simple : los intereses son I 360 €.

100 100

Luego, el capital final es 750 360 1 110 €

= = =

+ =

t 4F I F

12A interés compuesto : C C (1 r) C 750.(1 ) 1 180,14 €

100= + ⇒ = + =

10.- INTERÉS COMPUESTO

t t 15FF I

I

15

C 182 124C C (1 r) (1 r) (1 r)

C 50 000

182 124 R1 r 1,09 r 0,09 R 9%

50 000 100

= + ⇒ = + ⇒ = +

+ = ≅ ⇒ = = ⇒ =

10.- INTERÉS COMPUESTO

1,25t tF I

F I I I

I

C C (1 r) 1,25C C (1 r)

1,25 C

C C== + → = +

IC

t t t(1 r) 1,25 (1 r) log 1,25 log (1 r) t log(1 r)

log 1,25 log 1,25t 4,5 años

log(1 r) log(1 0,05)

= + ⇒ = + ⇒ = + = +

= = ≅+ +

10.- INTERÉS COMPUESTO

2t tF I

F I I I

I

C C (1 r) 2C C (1 r)

2 C

C C== + → = +

IC

t t 15

15

(1 r) 2 (1 r) 2 (1 r)

R1 r 2 1,05 r 0,05 R 5%

100

= + ⇒ = + ⇒ = +

+ = ≅ ⇒ = = ⇒ =

10.- INTERÉS COMPUESTO

C . r . t 2800 . 5 . tA interés simple : I 3920 2800

100 100

1120 . 100t 8 años

2800 . 5

= ⇒ − =

= =

t tF I

t t

A interés compuesto : C C (1 r) 3920 2800(1 0,05)

log 1,439201,05 1,4 1,05 t 7años

2800 log 1,05

= + ⇒ = +

= ⇒ = ⇒ = ≅

10.- INTERÉS COMPUESTO

t 18F I F

10C C (1 r) C 20 000.(1 ) 111 198,35 €

100= + ⇒ = + =

10.- INTERÉS COMPUESTO

t t tF I F F

4C C (1 r) C 1,10.(1 ) C 1,10 . 1,04

100= + ⇒ = + ⇒ =

t 5t 5F FC 1,10 . 1,04 C 1,10 . 1,04 1,34 €

== → = ≅