4. Ángulo de una vuelta: b. por su posiciÓn: 1. Ángulos

Elementos:

Notación:

Medida:

CLASIFICACIÓN:

A. POR SU MEDIDA:

1. Ángulos Convexos:

Ángulo Agudo

Ángulo Recto

Ángulo Obtuso

2. Ángulo Llano:

3. Ángulo Cóncavo:

4. Ángulo de una vuelta:

B. POR SU POSICIÓN:

1. Ángulos Consecutivos:

2. Ángulos Opuestos por el Vértice:

3. Ángulos Adyacentes:

C. POR SU RELACIÓN:

1. Ángulos Complementarios:

Dos ángulos son complementarios, si la

suma de sus medidas es 90º.

Complemento de

2. Ángulos Suplementarios:

Dos ángulos son suplementarios, si la

suma de sus medidas es 180º.

Suplemento de

Si: 21 L//L es intersecada por la transversal

L .

Ángulos Alternos (iguales)

a) Internos:

b) Externos:

Ángulos correspondientes (iguales)

A

B O

1 2

7

3 4

6

8

5

L1

L2

L

Ángulos conjugados (suplementarios)

1. Internos:

2. Externos:

PROPIEDADES PARTICULARES:

1. Si: 21 L//L

Se cumple:

En general: ( 21 L//L )

Se cumple:

2. Si: 21 L//L

Se cumple:

3. Si: 21 L//L

4.

Se cumple:

EJERCICIOS

1. S: Suplemento:

C: Complemento

º89

º139º50

CCC

SSSC

A) 1 B) 2 C) 3 D)4 E) 5

2. En la figura mostrada calcular , si: m∢BON =

22º; es bisectriz del ∢A0X y es bisectriz

del ∢A0X.

A) 54° B) 56° C) 55° D) 53° E) 52°

3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB,

BOC, COD y DOE.

Si mAOC + mBOD + mCOE = 270° y

además mAOE = 180°, calcula la mDOB. A) 90° B) 80° C) 40° D) 30° E) 20°

4. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y

BOC. Si mBOC = 80°, halla el ángulo que

forman las bisectrices de los ángulos AOB y

AOC.

A) 50° B) 30° C) 40° D) 45° E) 60°

5. En la figura, halla la mCOG, si OC es

bisectriz del ángulo AOF.

A) 60° B) 30° C) 90° D) 45° E) 100°

6. En la figura mostrada, calcule “x”, si:m–n=20°.

A) 45° B) 35° C) 55° D) 20° E) 40°

7. La diferencia entre el suplemento y el

complemento de un ángulo es igual al quíntuplo del suplemento del suplemento del complemento del complemento del ángulo. Hallar dicho ángulo. a) 18° b) 36° c) 9° d) 12° e) 24°

L1

L2

x

L2

L1

L1

L2

x

L1

L2

A

B

C D

E F

G

H O

45°

mº

nº

xº

8. En la figura, = 9 y L1 // L2. Hallar el ángulo

x̂ .

A) 20° B) 36° C) 24° D) 30° E) 18°

9. En la figura mostrada, L1 // L2 y el triángulo

ABC es equilátero, hallar x.

A) 140° B) 180° C) 110° D) 120° E) 300°

10. Si L1 // L2 // L3, calcular “x” si el rayo L4 es

bisectriz del ángulo en el vértice A.

A) 77° B) 26° C) 52° D) 78° E) 42°

11. Hallar el valor de x si 21 // LL

A) 85° B) 75° C) 60° D) 55° E) 50°

12. En la figura, calcule “x”

A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°

13. Si: // y + = 66º. Calcular el valor de “y”

A) 133° B) 114° C)166° D)11° E) 100°

14. En el gráfico, . Calcule .

A) 300 B) 450 C) 600 D) 250 E) 500

15. Según el grafico, . Calcule x.

A) 450 B) 600 C) 300 D) 360 E) 370

16. En el gráfico, calcule x si la bisectriz del

ángulo ABC es paralela a .

A) 300 B) 150 C) 750 D) 600 E) 900

L1

L2

x

L1

L2

A

B

C

x

100°

L1

L2

L3

L4

A

x

124°

98°

L1

L2

40º

30º x

20º

40º

50º

10º100º

xº

Notación:

ABC se lee: triángulo ABC Elementos: Vértices: Lados: Longitud de sus lados:

m∢ internos:

m∢ externos:

Perímetro :

Semiperímetro :

Clasificación I. Por la Medida de sus Lados

Equilátero Isósceles Escaleno

3 lados 2 lados 3 lado

II. Por la Medida de sus Ángulos

Acutángulo Obtusángulo Es aquel que tiene sus Es aquel que tiene un 3 ángulos internos agudos. ángulo interno obtuso.

(0 < n < 90) (90 < < 180)

PROPIEDADES BÁSICAS

1. Relación de existencia:

2.

3.

4.

Propiedades Particulares

5.

6.

Rectángulo: Es aquel que tiene un ángulo interno recto

a y b : catetos

c: hipotenusa

7.

8.

9. Si: AB = BC El triángulo ABC es equilátero

10. Trazo auxiliar

EJERCICIOS

1. Según el grafico, calcule si los ángulos ACE y BFD son suplementarios.

A) 200 B) 100 C) 150 D) 250 E) 120

2. A partir del gráfico, calcule x.

A) 250 B) 150 C) 100 D) 200 E) 350

3. Calcule x si .

A) 160 B) 180 C) 200 D) 210 E) 250

4. En el gráfico, halle .

A) 100 B) 120 C) 140 D) 150 E) 180

5. Del gráfico, calcule .

A) 500 B) 600 C) 800 D) 1000 E) 700

6. En el gráfico, calcule si .

A) 500 B) 550 C) 600 D) 650 E) 700

7. En el gráfico, . Calcule x.

A) 550 B) 600 C) 700 D) 650 E) 500

8. En el gráfico, el triángulo ABC es

equilátero. Calcule x.

A) 900 B) 1000 C) 1100 D) 1200 E) 1500

9. Calcule x si en el gráfico.

A) 1200 B) 1300 C) 1400 D) 1500 E) 1000

10. Según el grafico, el triángulo ABC es

isósceles de base AC. Calcule x.

A) 260 B) 130 C) 150 D) 140 E) 520

11. A partir del gráfico, calcule 4x si .

A) 1200 B) 1350 C) 1500 D) 900 E) 1000

12. Según el grafico, . Calcule x.

A) 1100 B) 1500 C) 1200 D) 900 E) 1000

13. Según el grafico,

Calcule .

A) 3 B) C) 1,5

D) E)

14. Según el grafico, y . Calcule sí .

A) 220 B) 440 C) 480 D) 600 E) 450

15. Calcule x si en el gráfico.

A) 1200 B) 1300 C) 1400 D) 1500 E) 1000

1. CEVIANA

Es el segmento que une un vértice con cualquier

punto del lado opuesto o de su prolongación.

En el triángulo ABC

BN : ceviana interior relativa a AC

BM : ceviana exterior relativa a AC

BL : ceviana exterior relativa a AC

2. MEDIANA

Es la ceviana que biseca al lado relativo.


BM : mediana relativa a

AC

Propiedad de la mediana relativa a la hipotenusa:

La mediana relativa a la hipotenusa en un triángulo

rectángulo mide la mitad de dicha hipotenusa.

ABC : BM : mediana relativa a la hipotenusa

Entonces: BM = 2

AC

BARICENTRO:

G : baricentro de la región triangular ABC.

Propiedad: BG = 2(GM) ; AG = 2(GF) ; CG = 2(G

3. BISECTRIZ

Es la ceviana que biseca al ángulo interior o

exterior.

3.1. Bisectriz interior.


AL : bisectriz interior relativa a BC

INCENTRO:

I : incentro del ABC

Propiedad de la Bisectriz:

Todo punto situado sobre la bisectriz de un ángulo

equidista de los lados de dicho ángulo.

En la figura. OM : bisectriz del AOB

SI: P OM

Entonces: PQ = PR OQ = OR

* Lo recíproco de este problema es cierto.

3.2. Bisectriz exterior.

En el triángulo MQN

QL : bisectriz exterior relativa a MN

Observación: n > m

A

B

C M N L

A

B

C M

A

B

C

L

M N L

Q

T

n m

A

B

C M

A

B

C

I

A

B

M

R

Q

Q

O

a

a

P

m

m

A

B

C

E G

F

a

a

b b

c

c

M

EXCENTRO:

Ea :ex–centro relativo a BC

4. ALTURA

Es la ceviana perpendicular al lado relativo.


BH : altura relativa a

AC

En el triángulo PQT

QM : altura relativa a

5. RECTA MEDIATRIZ

Es la recta que biseca perpendicularmente a un lado.


L : recta mediatriz relativa a AC

Propiedad de la Mediatriz:

Todo punto situado sobre la mediatriz de un segmento

equidista de los extremos del segmento.

CIRCUNCENTRO:

321 L,L,L :

mediatrices

O : circuncentro del

ABC

R : circunradio

OBSERVACIONES

1. En un triángulo isósceles se cumple:

- Altura

- Mediana

- Bisectriz

- Mediatriz

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS CON LAS

LÍNEAS NOTABLES

1.

2.

3.

4.

A

B

C H

M P T

Q

A

B

C M

L

A B

P

Q

Mediatriz

AP = PB

AQ = QB

A

B

C H

BH

x

A

B

C

x

A

B

C

A

B

C

Ea

A

B

C

R R

R

O L1

L2

L3

Circunferencia circunscrita

EJERCICIOS

1. Del gráfico, calcule x.

A) 120 B) 150 C) 180 D) 210 E) 160


A) 100 B) 300 C) 350 D) 250 E) 150


A) 200 B) 300 C) 350 D) 400 E) 450

4. Calcule el valor de x si y

en el gráfico.

A) 1200 B) 1500 C) 1000 D) 1400 E) 1350

5. Calcule el valor de x si

trisecan el ángulo ABE; además; es bisectriz exterior en el triángulo ABC.

A) 150 B) 200 C) 300 D) 450 E) 500


A) 300 B) 200 C) 400 D) 100 E) 150


A) 1200 B) 1250 C) 1450 D) 1100 E) 1300


A) 2000 B) 1800 C) 1200 D) 1600 E) 1500

9. Según el grafico, el triángulo ABC es equilátero. Calcule el valor de x.

A) 200 B) 150 C) 100 D) 120 E) 140


A) 100 B) 200 C) 250 D) 400 E) 350


A) 200 B) 250 C) 350 D) 300 E) 600


A) 1000 B) 800 C) 900 D) 600 E) 700

13. En un triángulo ABC, se trazan la bisectriz interior AD y la ceviana interior BE que interseca a dicha bisectriz en P, tal que

. Calcule la medida del ángulo exterior en el vértice B si . A) 100 B) 200 C) 300 D) 400 E) 800

DEFINICIÓN: Dos triángulos son congruentes si tiene igual forma e igual tamaño. Es decir sus ángulos interiores de igual medida y sus lados opuestos de igual longitud respectivamente.

CRITERIOS DE CONGRUENCIA

1. A. L. A. (Angulo – Lado – Angulo): Dos triángulos son congruentes cuando tienen un lado de igual medida y sus ángulos adyacentes a dicho lado son iguales.

3. L. A. L. (Lado – Angulo – Lado): Dos

triángulos son congruentes cuando tiene dos lados de igual medida y el ángulo formado por dichos lados son iguales.

3. L. L. L. (Lado – Lado – Lado): Dos

triángulos son congruentes cuando tienen sus lados respectivamente iguales.

APLICACIÓN DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

1. TEOREMA DE LA BISECTRIZ: Todo punto situado en la bisectriz de un ángulo equidista de sus lados.

Se cumple: OBPBPA OAy

Problema Aplicativo:

En un triángulo recto en ""B se traza la

bisectriz interior AE tal que: BEEC 53 .

Hallar: Cm .

A) 37º B) 38º C) 39º D) 40º E) 41º 2. TEOREMA DE LA MEDIATRIZ: Todo punto

situado en la mediatriz de un segmento, equidista de sus extremos.

Se cumple: BCMCAM ABy

Problema Aplicativo:

En la figura, calcular el valor de "" .

A) 20º B) 36º C) 40º D) 30º E) 18º 3.

TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS: En todo triángulo el segmento que une los puntos medios de dos lados, es paralelo al tercer lado y su medida es igual a su mitad.

Se cumple: DEACDE 2ACy //

O

A

P

B

A

B

C M

A

B

C D

E

F

A

D

B

E

C

A

B

C D

E

F

D E A

B

C

3

A

B

C D

E

F

4. TEOREMA DE LA MENOR MEDIANA DE UN TRIÁNGULO RECTANGULO: En todo triángulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la medida de dicha hipotenusa.

Se cumple: DBCmCmy 2

AC

BD

TRIÁNGULOS NOTABLES

EJERCICIOS

1. En el gráfico, y los triángulos ABN y BCM son congruentes. Calcule

A) 1000 B) 1200 C) 1800 D) 1500 E) 1350

2. Según el grafico, calcule x.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 1 E) 6

3. En la figura, AB=BD. Si , calcule x.

A) 600 B) 1000 C) 1200 D) 1400 E) 1100

4. Según el grafico, las regiones sombreadas son congruentes y BC=DE. Calcule x.

A) 600 B) 650 C) 450 D) 550 E) 500

A

B

D C

5. Según el grafico, AE=DC, BC=AD y AM=MC. Calcule x.

A) 100 B) 200 C) 250 D) 300 E) 350

6. En el gráfico, . Halle la distancia de C a .

A) 13 B) 26 C) 10,5 D) 21 E) 11 7. En el gráfico, las regiones sombreadas son congruentes. Si BP=6, calcule AP.

A) 6 B) 12 C)

D) E) 6

8. En el gráfico, . Calcule .

A) 180 B) 300 C) 360 D) 400 E) 150

9. Del gráfico, AM=MC y AN=BC. Calcule .

A) 300 B) 450 C) 600 D) 370 E) 530

10. En el gráfico, AP=PC y BM=MD. Si AC=16, calcule MN.

A) 8 B) 4 C) 12 D) 2 E) 6


A) 150 B) 160 C) 53/20 D) 37/20 E) 530

12. En el gráfico, AM=MB, BN=NC y AC=2(QN)=8. Calcule NH.

A) 2 B) C) 3

D) 2 E) 3 13. En la figura, si AB=CD, calcule la medida del ángulo CBD.

A)35° B)10° C)15° D) 20° E) 30°

14. En la gráfica AB = BC = AP. Hallar el valor de x.

a)36° b)37° c)32° d)35° e)38° 15. En la figura: Si AB = BC, AD=CE, m⊀BDE = m⊀BED, entonces la medida del ángulo BAC, es:

a)40° b) 60° c) 55° d)65° e) 70°

DEFINICIÓN: Es un polígono de 4 lados.

Clasificación General

Clasificación de los Cuadriláteros Convexos

1. Trapezoide Aquellos que no tienen lado opuestos paralelos

2. Trapecios Tienen dos lados opuestos paralelos llamados bases y los otros lados, llamados lados no paralelos

Propiedad del Trapecio - Mediana de un trapecio

- Segmento que une los puntos medios de las diagonales

3. Paralelogramos

Aquellos de lados opuestos paralelos y congruentes; ángulos opuestos de igual medida y dos ángulos consecutivos siempre suplementarios. Sus diagonales se bisecan.

EJERCICIOS


A) 850 B) 150 C) 950 D) 300 E) 160

2. En el gráfico, y MBCD es un trapezoide simétrico (MB=BC). Calcule x.

A) 700 B) 500 C) 350 D) 250 E) 600

3. En el trapecio ABCD , BC=4, AB=8, CD=10 y AD=20. Si BP=PM y CQ=QN, calcule PQ.

A) 3 B) 1 C) 2 D) 4 E) 5

4. Si ABCD es un rombo, calcule x.

A) 700 B) 800 C) 600 D) 550 E) 650 5. En el paralelogramo ABCD, BP=3. Calcule AQ.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 6. En el paralelogramo ABCD, AB=PD. Calcule x.

A) 700 B) 800 C) 600 D) 650 E) 550

7. En el gráfico, ADEF es un romboide y . Si , calcule FP.

A) 16 B) 20 C) 32 D) 25 E) 14

8. En el gráfico, . Halle EF.

A) 7 B) 8 C) 11 D) 13 E) 5

9. En la figura, ABCD es un cuadrilátero convexo, tal que AB = 6cm, BC = 17cm y CD = 21cm. La medida de en cm es:

a)5 b)6 c)7 d)8 e)9

10. En la figura mostrada,

hallar (+++++). a) 720º b) 540º c) 180º d) 270º e) 360º

11. Del gráfico ABCD es un cuadrado,

CD = DE. Calcular 2 A) 10º

B) 30º

C) 45º

D) 50º

E) 60º

12. Del gráfico, calcular x. A) 300 B) 360 C)400 D) 320 E) 660

13. En el trapecio ABCD, calcule el valor

de “x”A

B C

D

4

6

x

A) 16 B) 12 C) 14

D) 15 E) 8

A D

CB

E

3

3

4xx

14. Siendo: ABCD un rectángulo AP = 8u y CT = 5u. Hallar BQ

a) 12u b)9 c)11

d) 13 e) 14

15. Hallar xº. Si: ABCD es un cuadrado y

AMD es equilátero.

a)36º b)30º c)40º

d) 45º e)20º

DEFINICIÓN: Es el lugar geométrico de todos los puntos en un plano que equidistan de un punto fijo llamado: centro, la distancia del centro cualquier punto de la circunferencia se llama radio.

o

M

H

Q

BA

R

P

TLt

Ls

Elementos: Centro : Radio : Cuerda : Diámetro : Recta secante : Recta tangente : Arco : Flecha o sagita : Teoremas Fundamentales TEOREMA I TEOREMA DEL RADIO Y LA TANGENTE: Todo radio que llega al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.

T TEOREMA II TEOREMA DE LAS DOS TANGENTES. Si desde un punto exterior se trazan dos tangentes a una misma circunferencia, los segmentos comprendidos entre los puntos de tangencia y el punto exterior son congruentes.

L

T O

A

B

P

O

A

Bb

a

C

D

R

S

c

d

Q

P

TEOREMA IV: “TEOREMA DE PONCELET” “ En todo triángulo rectángulo: la suma de catetos es

igual a la hipotenusa más el doble del radio de la circunferencia inscrita.

a

b

r

TEOREMA V: “TEOREMA DE PITOT” “ En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia

se cumple que 2 lados opuestos suman igual que los otros 2”

ca

b

d

TEOREMA VI: “TEOREMA DE STEINER” TEOREMAS SOBRE LOS ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 1) Ángulo Central

2) Ángulo Inscrito Corolario I: Todos los ángulos inscritos en un mismo

arco tiene igual medida. Corolario II.- Todo ángulo inscrito en una

semicircunferencia es ángulo recto. 3) Ángulo Semi – Inscrito

4) Ángulo Ex-inscrito

5) Ángulo Interior

6) Ángulo Exterior

O

P

T

C

A

T

CASO PARTICULAR TEOREMA DEL ÁNGULO CIRCUNSCRITO Además cumple: Consecuencia : Son iguales

O

O

EJERCICIOS

1. En el gráfico, Calcule x si

.

A) 100 B) 200 C) 80 D) 150 E) 120 2. En el gráfico, T es punto de tangencia. Calcule x.

A) 300 B) 350 C) 250 D) 450 E) 150

3. En el gráfico, A es punto de tangencia.

Si y

calcule

A) 360 B) 380 C) 570 D) 370 E) 450

4. Del gráfico, ABCD es un rombo y es

mediatriz de . Calcule ME.

A) 6 B) 6 C) D) 12 E) 18 5. Según el grafico, A y B son puntos de tangencia, CD=DE y AC=6. Calcule DH.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 12

A

B

P

6. En el gráfico, T es punto de tangencia. Calcule x.

A) B) /5 C) /4 D) /2 E) /3 7. En el gráfico, calcule x.

A) 2 B) 3 C) 5 D) 4 E) 6 8. En el gráfico, PM=6. Halle NQ.

A) 3 B) 4 C) 12 D) 6 E) 9

9. Según el grafico,

y AB=5. Calcule

A) 370 B) 740 C) 530 D) 1060 E) 900

10. En el gráfico, A y B son puntos de tangencia. Calcule x si .

A) 360 B) 350 C) 400 D) 450 E) 500

11. Según el grafico, T es punto de tangencia. Calcule x.

A) B) C) D) E)

12. En el grafico A y B son puntos de tangencia. Calcule x/y.

A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 2/3 E) 3/2

13. Según el grafico, calcule .

A) 150 B) 100 C) 300 D) 190 E) 200

14. Según el grafico, T es punto de

tangencia y Calcule x.

A) 300 B) 400 C) 450 D) 350 E) 500

15. En el gráfico, L, M, N, P y Q son puntos

de tangencia y Calcule

A) 1500 B) 2000 C) 2400

D) 2200 E) 3000

4. Ángulo de una vuelta: b. por su posiciÓn: 1. Ángulos

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