4 funciónes variables_aleatorias

Francisco A. Sandoval

Análisis Estadístico y

Probabilístico

2013 fralbe

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AGENDA

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CAP. 4: Funciones de Variables Aleatorias

• Función de Variable Aleatoria Real – Funciones Constantes

– Funciones Biunívocas o difernciables

– Funciones Genéricas

• Funciones de Variables Aleatorias Reales – Funciones Constantes

– Funciones Biunívocas y Diferenciables

– Funciones Genéricas

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Objetivos

• Caracterización probabilística de las funciones

de variables aleatorias.

• Análisis de la FDP y fdp para las funciones de

v.a.

• Estudio de los casos: funciones constantes y

funciones biunívocas y diferenciables.

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FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA REAL

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Función de Variable Aleatoria Real

• Recordando, una v.a. real se define: 𝑥: Ω ⟼ ℝ 𝜔 ⟼ 𝑥 𝜔

• Considere una función real 𝑔, definida sobre los reales, o sea:

𝑔: ℝ ⟼ ℝ

𝑥 𝜔 ⟼ 𝑔 𝑥 𝜔

• se analiza la función compuesta 𝑦 = 𝑔 o 𝑥, real con dominio en Ω asociada al mapa:

𝑦: Ω ⟼ ℝ

𝜔 ⟼ 𝑔 𝑥 𝜔 fra

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• Significa que para todo 𝜔 ∈ Ω, se tiene un

valor real 𝑦 𝜔 = 𝑔(𝑥(𝜔)).

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• Se concluye: si la función del conjunto 𝑦

obedece las condiciones de la Definición de

v.a.r., ella también será una v.a.

• Interesa determinar la fdp 𝑝𝑦(𝑌), asociada a la

v.a. 𝑦, en términos de 𝑔 y 𝑝𝑥(𝑋).

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Determinación de fdp 𝑝𝑦(𝑌)

• Se considera inicialmente que

𝑝𝑦 𝑌 = 𝑝𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 𝑑𝑋 = 𝑝𝑦|𝑥=𝑋 𝑌 𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋∞

−∞

∞

−∞

• Observe, que dado el valor de la v.a. 𝑥, por ejemplo 𝑥 = 𝑿, la v.a. 𝑦 = 𝑔(𝑥) es una v.a. discreta que asume un único valor igual a 𝑔(𝑋). Esto permite expresar la fpd condicional del integrado como una función impulso, o sea

𝑝𝑦|𝑥=𝑋 𝑌 = 𝛿(𝑔 𝑋 − 𝑌)

es válida para todo 𝑋 ∈ ℝ y para toda 𝑌 ∈ ℝ. fralbe

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Determinación de fdp 𝑝𝑦(𝑌)

• Para valores de 𝑌 tales que 𝑌 ≠ 𝑔(𝑋) se tiene

que esta fdp condicional es nula.

Substituyendo las ec. anteriores:

𝑝𝑦 𝑌 = 𝛿 𝑔 𝑋 − 𝑌 𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋∞

−∞

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FUNCIONES CONSTANTES

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Funciones Constantes

Se considera que la función 𝑔(𝑥) asume un único

valor 𝐺 para cualquier valor de 𝑥 en su

contradominio, o sea,

𝑦 = 𝑔 𝑥 = 𝐺

Por cuanto, la fdp condicional es

𝑝𝑦|𝑥=𝑋 𝑌 = 𝛿(𝐺 − 𝑌)

Y se reduce a:

𝑝𝑦 𝑌 = 𝛿 𝐺 − 𝑌 𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋∞

−∞

= 𝛿(𝑌 − 𝐺) fralbe

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FUNCIONES BIUNÍVOCAS Y DIFERENCIABLES

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Funciones Biunívocas y diferenciables

Se considera el caso particular en que 𝑔(𝑥) es biunívoca y diferenciable. Para determinar 𝑝𝑦 𝑌 se realiza cambio de variables

𝑍 = 𝑔(𝑋) Como 𝑔 es biunívoca y diferenciable, se tiene

𝑋 = 𝑔−1 𝑍 = 𝑕(𝑍)

con 𝑔−1() representando la función inversa de 𝑔(), y

𝑑𝑋 = 𝑕′(𝑍) 𝑑𝑍

donde

𝑕′ 𝑍 =𝑑

𝑑𝑍𝑕(𝑍) fra

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entonces, con el cambio de variables, 𝑝𝑦(𝑌) se escribe

𝑝𝑦 𝑌 = 𝛿 𝑍 − 𝑌 𝑝𝑥 𝑕 𝑍 𝑕′ 𝑍 𝑑𝑍𝐶𝑔

donde 𝐶𝑔 representa el contradominio de la función 𝑔.

Si se considera la propiedad de la función impulso, según la cual

𝛿 𝑍 − 𝑌 𝑓 𝑍 𝑑𝑍 = 𝑓 𝑌 ; 𝑌 ∈ 𝑎, 𝑏

0 ; 𝑌 ∉ 𝑎, 𝑏

𝑏

𝑎

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Se obtiene:

𝑝𝑦 𝑌 = 𝑝𝑥 𝑕 𝑌 𝑕′𝑌 ; 𝑌 ∈ 𝐶𝑔

0 ; 𝑌 ∉ 𝐶𝑔

observando que

𝑕′ 𝑌 =1

𝑔′ 𝑕 𝑌

se obtiene, finalmente

𝑝𝑦 𝑌 =

𝑝𝑥 𝑋

𝑔′ 𝑋 𝑋=ℎ 𝑌 =𝑔−1(𝑌)

; 𝑌 ∈ 𝐶𝑔

0 ; 𝑌 ∉ 𝐶𝑔

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Considerando la definición 1:

𝑝𝑦 𝑌 =𝑝𝑥 𝑋

𝑔′ 𝑋 𝑋=𝑔−1 𝑌

𝕝𝐶𝑔(𝑌)

Definición 1: Función indicadora de un conjunto A Sea 𝐴 ⊂ Γ un subconjunto de elementos 𝛼, 𝛼 ∈ Γ. La función Indicadora 𝕝𝐴(𝛼) del conjunto 𝐴 es

𝕝𝐴 𝛼 = 1 ; 𝛼 ∈ 𝐴 0 ; 𝛼 ∉ 𝐴

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Ejemplo 1: Función Biunívoca y Diferenciable

Como la función es biunívoca y diferenciable, la fdp de 𝑦 puede ser directamente determinada a partir la ec. dada. El contradominio de 𝑔 es el conjunto de los números reales.

𝑝𝑦 𝑌 =

1

2𝜋exp −

𝑋2

2

2

𝑋=

𝑌

2

= 1

2 2𝜋exp −

𝑌2

8 ; 𝑌 ∈ ℝ

Considérese una v.a. gaussiana con parámetros 𝑚 = 0 y 𝜎 = 1. Sea 𝑦 una v.a. definida a través de la función

𝑦 = 𝑔 𝑥 = 2𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ

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Considere la característica idealizada de tensión-corriente de un diodo es presentada en la Figura, donde 𝑥 representa la tensión en los terminales del diodo y 𝑦 la corriente. Dado que analíticamente la característica de tensión-corriente se escribe:

𝑦 = 𝑔 𝑥 = 𝑒𝑥 − 1 ; 𝑥 < 0

𝑥 ; 𝑥 ≥ 0

determinar 𝑝𝑦(𝑌).

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FUNCIONES GENÉRICAS

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Funciones Genéricas

• Funciones genéricas, seccionalmente continuas y diferenciables.

• El dominio 𝑔 es particionado en intervalos 𝐼1, 𝐼2, … , 𝐼𝑁, tales que, en cada intervalo, 𝑔( ) sea constante o biunívoca y diferenciable.

• La función g(𝑥) es descompuesta en 𝑁 funciones 𝑔1 𝑥 , 𝑔2 𝑥 ,… , 𝑔𝑁(𝑥), definidas, respectivamente, en los intervalos 𝐼1, 𝐼2, … , 𝐼𝑁 y con contradominio representados respectivamente por 𝐶𝑔1

, 𝐶𝑔2, … , 𝐶𝑔𝑁

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• La función densidad de probabilidad de la v.a. 𝑦 = 𝑔(𝑥), considerando las particiones 𝐼1, 𝐼2 , … , 𝐼𝑁 del dominio de 𝑔(𝑥), es dada por

𝑝𝑦 𝑌 = 𝛿 𝑔 𝑋 − 𝑌 𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋𝑹

= 𝛿 𝑔𝑖 𝑋 − 𝑌 𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋𝐼𝑖

𝐴𝑖(𝑌)

𝑁

𝑖=0

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• La parte de 𝑝𝑦(𝑌) que corresponde a las funciones 𝑔𝑖(𝑥) constantes (y iguales a 𝐺𝑖) son dadas por

𝐴𝑖 𝑌 = 𝛿 𝑌 − 𝐺𝑖 𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋 = 𝛿 𝑌 − 𝐺𝑖 𝑃(𝑥 ∈ 𝐼𝑖)𝐼𝑖

• La parte de 𝑝𝑦(𝑌) que corresponde a las funciones

𝑔𝑖(𝑥) biunívocas y diferenciables, son dadas por

𝐴𝑖 𝑌 =𝑝𝑥 𝑋

𝑔𝑖′ 𝑋

𝑋=𝑔𝑖−1 𝑌

𝕝𝐶𝑔𝑖𝑌

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• Finalmente

𝑝𝑦 𝑌 = 𝛿 𝑌 − 𝐺𝑖 𝑃(𝑥

𝑖∈𝒞

∈ 𝐼𝑖) + 𝑝𝑥 𝑋

𝑔𝑖′ 𝑋

𝑋=𝑔𝑖

−1 𝑌

𝕝𝐶𝑔𝑖𝑌

𝑖∈ℬ

donde

𝒞 = *conjunto de índices 𝑖 tales que 𝑔𝑖 𝑥 es constante

en 𝐼𝑖+ ℬ = *conjunto de los índices 𝑖 tales que 𝑔𝑖 𝑥 es biunívoca

y diferenciable en 𝐼𝑖+

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Ejemplo 3: Funciones Genéricas

Considere un limitador de tensión, cuya característica es presentada en la Figura. El valor 𝑥 representa la tensión de entrada del limitador y 𝑦 el valor de tensión en su salida. Si la tensión de entrada del limitador es una v.a. con fdp 𝑝𝑥(𝑋), determinar la fdp de la v.a. resultante 𝑦 en la salida del limitador.

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Ejemplo 4: Funciones Genéricas

Se desea encontrar la fdp 𝑝𝑦(𝑌) de la v.a. 𝑦 = 𝑎𝑥2 (𝑎 > 0), donde

𝑥 es una v.a. doble exponencial de parámetro 𝑏, o sea

𝑝𝑥 𝑋 =𝑏

2exp(−𝑏|𝑋|)

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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES ALEATORIAS

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Función de Varias Variables Aleatorias

• Cuando se dispone de 𝑛 v.a. es usual representarlas por un vector aleatorio 𝑛-dimensional.

• 𝑛 v.a. 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 pueden ser representadas por un vector 𝑛-dimensional 𝒙 definido como una función del conjunto que atribuye un vector 𝑛-dimensional 𝒙(𝜔) a cada punto de muestra 𝜔 del espacio de muestras Ω.

• 𝒙 define el mapa:

𝒙: Ω ⟼ ℝ𝑛

𝜔 ⟼ 𝒙(𝜔) fra

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• Considere una función vectorial 𝑚-dimensional 𝒈, definida sobre el ℝ𝑛, o sea

𝒈: ℝ𝑛 ⟼ ℝ𝑚

𝒙 𝜔 ⟼ 𝒈 𝒙 𝜔

• Interesa analizar la función vectorial 𝑚-dimensional compuesta 𝒚 = 𝒈 ∘ 𝒙, con dominio en Ω, asociada al mapa

𝒚: Ω ⟼ ℝ𝑚

𝜔 ⟼ 𝒈 𝒙 𝜔

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• La fdp 𝑝𝒚 𝒀 asociada al vector aleatorio 𝒚, en términos de 𝒈 y 𝑝𝑥 𝑋 , es dada por

𝑝𝒚 𝒀 = ∞

−∞

… ∞

−∞

𝑛 integrales

𝑝𝒙𝒚 𝑿, 𝒀 𝑑𝑿

= ∞

−∞

… ∞

−∞

𝑛 integrales

𝑝 𝒚 𝒙=𝑿 𝒀 𝑝𝒙 𝑿 𝑑𝑿

• dado el vector aleatorio 𝒙, por ejemplo 𝒙 = 𝑿, el vector aleatorio 𝒚 = 𝒈(𝒙) es un vector aleatorio discreto que asume un único valor igual a 𝒈(𝑿).

𝑝𝒚|𝒙=𝑿 𝒀 = 𝛿(𝒈 𝑿 − 𝒀) fralbe

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• Sustituyendo

𝑝𝒚 𝒀 = ∞

−∞

… ∞

−∞

𝑛 integrales

𝛿 𝒈 𝑿 − 𝒀 𝑝𝑥 𝑿 𝑑𝑿

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FUNCIONES CONSTANTES

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Funciones constantes

• Considere que la función 𝒈(𝒙) asume un único

valor 𝑮 para cualquier valor de 𝒙 en su

contradominio, o sea

𝒚 = 𝒈 𝒙 = 𝑮

• Consecuentemente

𝑝𝒚 𝒀 = 𝛿 𝑮 − 𝒀 ∞

−∞

… ∞

−∞

𝑛 integrales

𝑝𝑥 𝑿 𝑑𝑿

= 𝛿 𝒀 − 𝑮 fralbe

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FUNCIONES BIUNÍVOCAS Y DIFERENCIABLES

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• Un caso particular que merece atención es el de la función 𝒈 biunívoca y diferenciable en cada argumento.

• Para determinar la integral, se realiza cambio de variables

𝒁 = 𝒈(𝑿) • como 𝒈 es biunívoca y diferenciable en cada

argumento, se tiene que

𝑿 = 𝒈−1 𝒁 = 𝒉 𝒁 =

𝑕1 𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍𝑛

𝑕2 𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍𝑛

⋮𝑕𝑚 𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍𝑛

𝒈−1 representa la función inversa de 𝒈( ) fralbe

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• resolviendo el sistema de ecuaciones 𝒚 = 𝒈(𝒙) para 𝒙

𝑑𝑿 = 𝐽𝒉(𝒁) 𝑑𝒁

donde 𝐽𝒉(𝒁) denota el jacobiano de la transformación 𝒉(𝒁).

• Considerando el cambio de variables,

… 𝐶𝑔

𝑛 integrales

𝛿 𝒁 − 𝒀 𝑝𝒙 𝒉 𝒁 𝐽𝒉 𝒁 𝑑𝒁

donde 𝐶𝑔 representa el cotradominio de la función 𝒈. fralbe

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• Considerando la propiedad de la función

impulso, según la cual, para 𝒁 𝑛 −dimensional

… 𝒟

𝑛 integrales

𝛿 𝒁 − 𝒀 𝑓 𝒁 𝑑𝒁

= 𝑓 𝒀 ; 𝒀 ∈ 𝒟 0 ; 𝒀 ∉ 𝒟

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• se obtiene

𝑝𝒚 𝒀 = 𝑝𝒙 𝒉 𝒀 𝐽𝒉𝒀 ; 𝒀 ∈ 𝐶𝒈

0 ; 𝒀 ∉ 𝐶𝒈

• observando también

𝐽𝒉 𝒀 =1

𝐽𝒈(𝒉(𝒀))

• se obtiene

𝑝𝑦 (𝒀) =

𝑝𝒙 𝑿

𝐽𝒈 𝑿

𝑿=𝒉 𝒀 =𝒈−1 𝒀

; 𝒀 ∈ 𝐶𝒈

0 ; 𝑌 ∉ 𝐶𝒈

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𝑝𝑦 𝒀 =𝑝𝒙 𝑿

𝐽𝒈 𝑿

𝑿=𝒈−1 𝒀

𝕝𝐶𝑔(𝒀)

donde 𝕝𝐶𝑔(𝒀) representa una función indicadora

de 𝐶𝑔. 𝐽𝑔(𝑿) denota el Jacobiano de la

transformación 𝒈(𝑿).

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FUNCIONES GENÉRICAS

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• La función 𝒈(𝑥) es descompuesta en 𝑁 funciones 𝒈1 𝑥 ,𝒈2 𝑥 ,… , 𝒈𝑁(𝑥), definidas, respectivamente, en las regiones 𝑅1, 𝑅2, … , 𝑅𝑁 y con contradominios representados respectivamente por 𝐶𝒈1

, 𝐶𝒈2, … , 𝐶𝒈𝑁

.

• La fdp de la v.a. 𝒚 = 𝒈(𝒙) es dada por

𝑝𝒚 𝒀 = … ∞

−∞

∞

−∞

𝑛 integrales

𝛿 𝒈 𝑿 − 𝒀 𝑝𝒙 𝑿 𝑑𝑿

fra

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𝑝𝒚 𝒀

= … 𝑅𝑖

𝑛 integrales

𝛿 𝒈𝑖 𝑿 − 𝒀 𝑝𝑥 𝑿 𝑑𝑿

𝐴𝑖(𝒀)

𝑁

𝑖=1

Las porciones que corresponden a las funciones

𝒈𝑖(𝒙) constantes (y iguales a 𝑮𝑖) son dadas por fralbe

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𝐴𝑖 𝒀 = 𝛿 𝒀 − 𝑮𝑖 … 𝑅𝑖

𝑛 integrales

𝑝𝒙 𝑿 𝑑𝑿

= 𝛿 𝒀 − 𝑮𝑖 𝑃(𝒙 ∈ 𝑅𝑖)

• Las porciones que corresponden las funciones

𝒈𝑖(𝒙) biunívocas y diferenciables serán dadas por

𝐴𝑖 𝒀 =𝑝𝑥 𝑿

𝐽𝒈𝑖𝑿

𝑿=𝒈𝑖

−1 𝒀

𝕝𝐶𝒈𝑖(𝒀)

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• Finalmente

𝑝𝒚 𝒀 = 𝛿 𝒀 − 𝑮𝑖 𝑃(𝒙 ∈ 𝑅𝑖)

𝑖∈𝒞

+ 𝑝𝒙 𝑿

𝐽𝒈𝑖𝑿

𝑿=𝒈𝑖−1 𝒀

𝕝𝐶𝒈𝑖(𝒀)

𝑖∈ℬ

𝒞 = *conjunto de índices 𝑖 tales que 𝒈𝑖 𝒙 es constante en 𝑅𝑖+

ℬ = *conjunto de los índices 𝑖 tales que 𝒈𝑖 𝒙 es biunívoca y diferenciable en 𝑅𝑖+ fra

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REFERENCIAS

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Referencias

• ALBUQUERQUE, J. P. A.; FORTES, J. M.; FINAMORE, W. A.

(1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica;

Rio de Janeiro: Publicação CETUC.

• Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios

em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide]

• Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad, Teoría

de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide]

• ALBERTO LEON-GARCIA, Probability, Statistics, and

Random Processes For Electrical

Engineering, Third Edition, Pearson – Prentice Hall,

University of Toronto, 2008.

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