4 analiza sk primenom teorije elastičnosti

Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0

Proraun u vremenu t

PREDNAPREGNUTE ISPREGNUTE KONSTRUKCIJE

Osnovne akademske studije, VII semestar

Prof dr Stanko Briemail: [email protected]

Departman za Tehnike nauke,GRAEVINARSTVO

Dravni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije


Proraun u vremenu t

Sadraj

1 Analiza SK primenom teorije elastinostiOpte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi

2 Proraun u vremenu t = t0Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0

3 Proraun u vremenu tOsnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t



Proraun u vremenu t

Opte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi

Sadraj






Proraun u vremenu t


Analiza SK primenom teorije elastinosti

Uvodne napomene o analizi spregnutih konstrukcijaUobiajeno je da se globalna analiza spregnute konstrukcijevri primenom teorije elastinstiLokalna analiza se zatim vri ili primenom teorije plastinosti,ili teorije elastinosti, u zavisnosti od klase poprenih presekaTeorija elastinosti se koristi u analizi graninih stanjaupotrebljivosti, zbog relativno niskog nivoa napona ueksploatacijiTeorija elastinosti primenjuje se i u analizi graninih stanjanosivosti, za preseke klase 3 i 4



Proraun u vremenu t



Uvodne napomene o analizi spregnutih konstrukcijaLinearna teorija elastinosti veoma esto se koristi uproraunima konstrukcija:

- zasnovana je na linearnoj vezi napona i deformacija- jednostavna je za primenu- daje dovoljno tane rezultate (u veini sluajeva)

Svi komercijalni programi za analizu konstrukcija zasnovani suna linearnoj teoriji i MKE, a neki programi imaju mogunost inelinearne analize



Proraun u vremenu t



Uvodne napomene o analizi spregnutih konstrukcijaSpregute konstrukcije se sastoje iz materijala razliitihmehanikih karakteristika i ponaanje SK je u sutini nelinearnoNelinearnost spregnutih konstrukcija nastaje zbog:

- vremenskih deformacija betona: skupljanja i teenja- prslina u betonu- relaksacije elika za prednaprezanja (ako je prisutnoprednaprezanje)

- nestabilnosti pritisnutih delova elinog profila- klizanja u smiuem spoju- deformabilnosti spojnih sredstava

Ove nelinearnosti mogu da se uzmu u obzir odgovarajuimproirenjima linearne teorije



Proraun u vremenu t



Uvodne napomene o analizi spregnutih konstrukcijaPopreni presek spregnute konstrukcije je neghomogenU optem sluaju, u poprenom preseku SK prisutni su sledeimaterijali:

1 beton (u oznaci (c))2 elik za konstrukcije, elini nosa, (u oznaci (a))3 elik za armaturu u betonskom delu (u oznaci (s))4 elik za prednaprezanje (u oznaci (p))



Proraun u vremenu t



Uvodne napomene o analizi spregnutih konstrukcijaPosmatranom preseku spregnutog nosaa pridruuje sekorespodentni (idealizovani) presek od homogenog elastinogmaterijala sa modulom elastinosti EuModul elastinosti Eu naziva se uporedni modul elastinostiZa uporedni modul elastinosti Eu bira se E jednog odmaterijala u preseku, a ostali moduli se redukuju sa EuZa uporedni modul elastinosti Eu bira se modul elastinostielinog nosaa: Eu = Ea



Proraun u vremenu t



Uvodne napomene o analizi spregnutih konstrukcijaProraun napona u spregnutom preseku ekvivalentan jeproraunu napona u korespodentnom homogenom presekuU proraunu korespodentnog preseka vae sve pretpostavketehnike teorije savijanja tapova od homogenog elastinogmaterijalaPretpostavlja se da spregnuti nosa ima ravan simetrije, koja jeu isto vreme i ravan savijanja, oznaena sa xzOsa spregnutog nosaa x je geometrijsko mesto taaka teitaTi idealizovanog presekaDimenzije poprenog preseka su relativno male u odnosu naduinu tapa i poluprenik krivine ose tapa



Proraun u vremenu t


Sadraj






Proraun u vremenu t



Uvodne napomene o analizi spregnutih konstrukcijaOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi spregnutog preseka:

- vai Bernulijeva hipoteza ravnih preseka (raspodela dilatacijapo visini preseka je linearna)

- deformacijske veliine su male (zanemaruju se kvadrati iproizvodi prvih izvoda pomeranja) - geometrijska linearnost

- pomeranja su mala i uslovi ravnotee se postavljaju nanedeformisanoj konfiguraciji - statika linearnost

- zanemaruje se uticaj transverzalnih sila na deformaciju- elini nosa i armatura su od linearno elastinog materijala samodulom elastinosti Ea = Es = Eu



Proraun u vremenu t



Uvodne napomene o analizi spregnutih konstrukcijaOsim navedenih, usvajaju se i sledee Osnovne pretpostavke zabetonski deo spregnutog preseka:

- u poetnom trenutku t = t0 beton je elastian materijal iponaa se u skladu sa Hukovim zakonom c = Ec0 c

- u proizvoljnom trenutku t beton je linearanvisko-elasto-plastian materijal sa osobinom starenja i za vezu usvaja se priblina algebarska veza EM metodec = Ec,eff (c cs), gde je efektivni modul elastinosti datsa

Ec,eff =Ec0

1 + rili Ec,eff =

Ec01 + r



Proraun u vremenu t



Uvodne napomene o analizi spregnutih konstrukcijaOsim navedenih, usvajaju se i sledee Osnovne pretpostavke oeliku za prethodno naprezanje spregnutog preseka:

- u poetnom trenutku t = t0 elik za prethodno naprezanje seponaa u skladu sa Hukovim zakonom p = Ep p

- u proizvoljnom trenutku t elik za prednaprezanje ima osobinurelaksacije i za vezu usvaja se priblina vezap = Ep,eff p, gde je Ep,eff efektivni modul elastinostizavistan od relaksacije R:

Ep,eff = pEp p = 1 R100



Proraun u vremenu t



Uvodne napomene o analizi spregnutih konstrukcijaZbog visko-elastinih oobina betona, naponi i deformacije uspregnutim nosaima menjaju se kroz vremeProraun spregnutih konstrukcija sprovodi se za

1 poetni trenutak t = t0 . . . trenutak u kome se nanosi prvooptereenje

2 proizvoljan trenutak t . . . posmatrani trenutak vremena -obino je to krajnje stanje: t



Proraun u vremenu t

Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0

Sadraj






Proraun u vremenu t



Dilatacije u vremenu t = t0Na osnovu Bernulijeve hipoteze o ravnim presecima, dilatacijaproizvoljnog vlakna na rastojanju z0 od teine ose, u trenutkut0, data je kao linearna funkcija rastojanja od teine ose:

0 = 0 + k0 z0 (1)

gde je:- 0 . . . dilatacija proizvoljnog vlakna na rastojanju z0 od teineose u vremenu t = t0

- 0 . . . dilatacija vlakna u osi tapa u vremenu t = t0- k0 . . . promena krivine ose tapa u vremenu t = t0- z0 . . . poloaj proizvoljnog vlakna u odnosu na teinu osu uvremenu t = t0



Proraun u vremenu t



Naponi u vremenu t = t0Veze izmeu napona i deformacija u vremenu t = t0 zamaterijale koji ine spregnut presek:

- za elini deo (konstrukcioni, armatura, prednaprezanje)

k0 = Ek 0 (k = a, s, p) (2)

- za betonski deoc0 = Ec0 0 (3)



Proraun u vremenu t



Uslovi ravnotee u vremenu t = t0Uslovi ravnotee izmeu unutranjih i spoljanjih sila uvremenu t = t0 dati su sa:

- uslov ravnotee normalnih silak

Ak

k0 dA = N0 (4)

- uslov ravnotee momenata savijanja

k

Ak

z0 k0 dA = M0 (k = a, s, p, c) (5)

gde su N0 i M0 normalna sila i momenat savijanja u presekuusled razmatranog sluaja optereenja



Proraun u vremenu t



Princip virtuelnih sila u vremenu t = t0Princip virtuelnih sila moe da se koristi za odreivanje nekoggeneralisanog pomeranjaNa osnovu Principa virtuelnih sila generalisano pomeranje 0 uvremenu t = t0, koje odgovara jedininoj generalisanoj siliP = 1, moe da se prikae u obliku:

0 =

s(M0 k0 + N0 0) ds

r

Cr0 cr0 (6)

gde su M0 i N0 momenat i normalna sila, a Cr0 odgovarajuavirtuelna reakcije veze r usled jedinine virtuelne sile, dok je 0traeno generalisano pomeranje take na osi nosaa u vremenut = t0



Proraun u vremenu t



Osnovne jednaine u vremenu t = t0Unosi se izraz za dilataciju proizvoljnog vlakna (1) u vezenapon - deformacija (2) i (3), pa zatim u uslove ravnotee (4)i (5), dobijaju se jednaine:

- ravnotea normalnih sila (k = a, s, p)(k

Ek

Ak

dA+ Ec0

Ac

dA

) 0

+

(k

Ek

Ak

z0 dA+ Ec0

Ac

z0 dA

) k0 = N0

(7)



Proraun u vremenu t



Osnovne jednaine u vremenu t = t0kao i

- ravnotea momenata savijanja (k = a, s, p)(k

Ek

Ak

z0 dA+ Ec0

Ac

z0 dA

) 0

+

(k

Ek

Ak

z20 dA+ Ec0

Ac

z20 dA

) k0 = N0

(8)



Proraun u vremenu t



Uporedni modul elastinosti EuKao uporedni modul elastinosti Eu usvojen je modulelastinosti konstrukcijskog elika Ea:

Eu = Ea (9)

Uvode se bezdimenzionalni faktori redukcije nk kao odnosiuporednog i posmatranog modula elastinosti

nk =EuEk

(k = a, s, p, c) (10)



Proraun u vremenu t



Koeficijenti redukcije u vremenu t = t0Imajui u vidu da su moduli elastinosti elika za armaturu ikonstrukcijskog elika meusobno isti, Ea = Es = Eu = 210GPa, kao i da je za t = t0 Ec = Ec0, koeficijenti redukcije sudati sa

na = ns = 1 np =EuEp

nc =EuEc0

(11)

Jednaine ravnotee (4) i (5) mnoe se sa jedinicom, koja sena levoj strani prikazuje kao:

1 =EuEu

Vodei rauna o uvedenim koeficijentima redukcije nk,jednaine ravnotee mogu da se prikau u obliku:



Proraun u vremenu t



Osnovne jednaine u vremenu t = t0

Eu

(k

1

nk

Ak

dA+1

nc

Ac

dA

) 0

+ Eu

(k

1

nk

Ak

z0 dA+1

nc

Ac

z0 dA

) k0 = N0

(12)

Eu

(k

1

nk

Ak

z0 dA+1

nc

Ac

z0 dA

) 0

+ Eu

(k

1

nk

Ak

z20 dA+1

nc

Ac

z20 dA

) k0 = M0

(13)

za (k = a, s, p)Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije


Proraun u vremenu t



ili napisano neto kompaktnije, za (k = a, s, p, c):

Eu

(k

1

nk

Ak

dA

) 0 + Eu

(k

1

nk

Ak

z0 dA

) k0 = N0

Eu

(k

1

nk

Ak

z0 dA

) 0 + Eu

(k

1

nk

Ak

z20 dA

) k0 = M0(14)

Jednaine (14) se zovu Osnovne jednaine u vremenu t = t0Reenja jedn. (14) (0 i k0) unose se u izraz (1), pa se zatim,prema izrazima (2) i (3), dobijaju naponi u preseku, kao itraeno generalisano pomeranje, prema (6)



Proraun u vremenu t


Sadraj






Proraun u vremenu t



Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Izrazi u zagradama u jednainama (12) i (13), odn. u jedn.(14), pretstavljaju geometrijske karakteristike idealizovanogpreseka u vremenu t = t0:

Ai0 povrina idealizovanog preseka: (k = a, s, p, c)

Ai0 =k

1

nk

Ak

dA (15)

Syi0 statiki momenat idealizovane povrine za teinu osu:(k = a, s, p, c)

Syi0 =k

1

nk

Ak

z0 dA = 0 (16)



Proraun u vremenu t



Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0kao i

Ji0 momenat inercije idealizovanog preseka: (k = a, s, p, c)

Ji0 =k

1

nk

Ak

z20 dA (17)

Imajui u vidu da se spregnuti nosa sastoji iz elinog nosaa(a), meke armature (s), elika za prednaprezanje (p), kao ibetonske ploe (c), mogu da se definiu povrine delova k kaoi redukovane povrine delova k sloenog spregnutg preseka:

Ak =

Ak

dA Akr =1

nkAk (k = a, s, p, c) (18)



Proraun u vremenu t



Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Prema tome, povrina idealizovanog preseka, u trenutkuvremena t = t0, data je sa zbirom redukovanih povrina:(k = a, s, p, c)

Ai0 =k

1

nk

Ak

dA =k

1

nkAk =

k

Akr (19)

Imajui u vidu koeficijente redukcije (11), povrinaidealizovanog preseka u trenutku t = t0 data je sa:

Ai0 = Aa +As +1

npAp +

1

ncAc (20)



Proraun u vremenu t



Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Osa simetrije poprenog preseka je osa z, sa smerom ka donjojivici preseka, a osa y je osa u teitu Ti idealizovanog presekau vremenu t = t0Svaki od delova preseka (a,s,p,c) ima svoje teite Tk sapoloajem zk0 u odnosu na teite idealizovanog presekaStatiki momenat ukupne povrine idealizovanog preseka uodnosu na teinu osu jednak je, po definiciji, nuli:

Syi0 =k

1

nk

Ak

z0dA =k

zk0Akr = 0 (k = a, s, p, c)

(21)



Proraun u vremenu t


Popreni presek spregnutog nosaa u vremenut = t0



Proraun u vremenu t



Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Osa y je u gornjoj ivici preseka (upravno na ravan simetrijepreseka xz) i paralelna je sa teinom osom yRastojanje izmeu osa y i y oznaeno je sa ei0, odn. to jepoloaj teita idealizovanog preseka Ti0 u odnosu na gornjuivicu presekaSa ek se oznaava poloaj teita Tk svake redukovanepovrine Akr u odnosu na gornju ivicu, tako da vae relacije:

zk0 = ek ei0 (22)



Proraun u vremenu t



Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Relacija (22) se unosi u izraz za statiki momenat povrine(21), pa se dobija

k

(ek ei0)Akr =k

ek Akr ei0k

Akr = 0

Kako jeAkr = Ai0, dobija se poloaj teita idealizovanog

preseka u odnosu na gornju ivicu preseka:

ei0 =1

Ai0

k

ek Akr (23)



Proraun u vremenu t



Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Razvijanjem izraza (23) dobija se poloaj teita idealizovanogpreseka u vremenu t = t0:

ei0 =1

Ai0

(Aa +As +

1

npAp +

1

ncAc

)(24)

Sopstveni momenti inercije delova Ak u odnosu na osu uteitu Tk paralelnu sa osom y0 ( koja je u teitu Ti0), kao iredukovani sopstveni momenti inercije, dati su sa:

Jk =

Ak

(z0 zk0)2 dA Jkr = 1nkJk (k = a, s, p, c)



Proraun u vremenu t



Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Momenti inercije delova Ak u odnosu na osu y0 (zbirsopstvenog i poloajnog momenta inercije), kao i odgovarajuiredukovani momenti inercije

Jk0 =

Ak

z20 dA = Jk + z2k0Ak

Jkr0 =1

nkJk0 = Jkr + z

2k0Akr

Karakteristike idealizovanog preseka zavise, osim odgeometrijskih kaakteristike, jo i od osobina materijala koji inespregnut presek u vremenu t = t0



Proraun u vremenu t



Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Momenat inercije idealizovanog preseka Ji0 u odnosu na osuy0 u vremenu t = t0 jednak je zbiru redukovanih momenatainercije za osu y0:

Ji0 =k

1

nk

Ak

z20 dA =k

1

nkJk0 =

k

(Jkr + z2k0Akr)

(25)Uzimajui u obizir koeficijente redukcije nk, dobija se momenatinercije idealizovanog preseka Ji0 u vremenu t = t0 u obliku

Ji0 = (Ja + z2a0Aa) + (Js + z

2s0As)

+1

np(Jp + z

2p0Ap) +

1

nc(Jc + z

2c0Ac)

(26)



Proraun u vremenu t



Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Imajui u vidu izraze (19), (21) i (25), osnovne jednaine (14)imaju oblik:

EuAi0 0 = N0 Eu Ii0 k0 = M0 (27)

odakle se dobijaju reenja za dilataciju ose tapa 0 i zapromenu krivine k0 u vremenu t = t0:

0 =N0

EuAi0k0 =

M0Eu Ji0

(28)



Proraun u vremenu t


Sadraj






Proraun u vremenu t



Naponi i pomeranja u vremenu t = t0Dobijena reenja (28) unose se u izraz (1) za dilatacijuproizvoljnog vlakna u preseku na rastojanju z0 od teine oseDilatacija proizvoljnog vlakna u vremenu t = t0 data je, prematome, sa

0 =N0

EuAi0+

M0Eu Ii0

z0 (29)

Naponi se dobijaju prema vezama (2) i (3):

k = Ek 0 (k = a, s, p) c = Ec0 0



Proraun u vremenu t



Naponi i pomeranja u vremenu t = t0Imajui u vidu redukcione koeficijente za pojedine materijale uspregnutom preseku, naponi u vremenu t = t0 dobijaju se uobliku:

k0 =1

nk

(N0Ai0

+M0Ji0

z0

)(k = a, s, p)

c0 =1

nc

(N0Ai0

+M0Ji0

z0

) (30)



Proraun u vremenu t



Naponi i pomeranja u vremenu t = t0U eksplicitnom obliku, naponi se dobijaju kao:

- naponi u elinom profilu

a0 =

(N0Ai0

+M0Ji0

z0

)- naponi u armaturi

s0 =

(N0Ai0

+M0Ji0

z0

)



Proraun u vremenu t



Naponi i pomeranja u vremenu t = t0U eksplicitnom obliku, naponi se dobijaju kao:

- naponi u eliku za prethodno naprezanje

p0 =1

np

(N0Ai0

+M0Ji0

z0

)- naponi u betonskom delu preseka

c0 =1

nc

(N0Ai0

+M0Ji0

z0

)



Proraun u vremenu t



Naponi i pomeranja u vremenu t = t0Moe da se definie uporedni napon u vremenu t = t0:

u0 = Eu 0 (31)

odnosno

u0 =

(N0Ai0

+M0Ji0

z0

)(32)

Sa tom oznakom, naponi u bilo kom delu spregnutog presekadati su sa

k0 =1

nku0 (k = a, s, p, c) (33)



Proraun u vremenu t



Naponi i pomeranja u vremenu t = t0Generalisano pomeranje take na osi tapa dato je, premaizrazu (6), sa

0 =

s0

(M0M0Eu Ji0

+N0N0EuAi0

)r

Cr0 cr0 (34)



Proraun u vremenu t



Naponi i pomeranja u vremenu t = t0Kao to se vidi, izrazi za deformacijske veliine, napone ipomeranja za posmatrani spregnut nosa analogni suodgovarajuim izrazima za korespodentni nosa od homogenogmaterijala sa modulom elastinosti Eu i sa karateristikamaidealizovanog preseka Ai0 i Ji0Napon k0 u nekom delu spregnutog preseka (k = a, s, p, c)proporcionalan je naponu u odgovarajuoj takikorespodentnog homogenog preseka, pri emu je faktorproporcionalnosti bezdimenzionalan faktor redukcije 1nk



Proraun u vremenu t



Naponi i pomeranja u vremenu t = t0Moe da se odredi deo ukupne normalne sile koju u vremenut = t0 prihvata pojedini deo spregnutog preseka povrine AkTo je:

Nk0 =

Ak

k0 dA =1

nk

Ak

(N0Ai0

+M0Ji0

z0

)dA (35)

Sreivanjem se dobija

Nk0 = N0AkrAi0

+M0Akr zk0Ji0

(36)



Proraun u vremenu t



Naponi i pomeranja u vremenu t = t0Slino moe da se odredi deo ukupnog momenta savijanja kojiu vremenu t = t0 prihvata pojedini deo spregnutog presekapovrine Ak (k = a, s, p, c)To je:

Mk0 =

Ak

(z0 zk0)k0 dA

=1

nk

[N0Ai0

Ak

(z0 zk0)dA+ M0Ji0

Ak

(z0 zk0)dA]

(37)



Proraun u vremenu t



Naponi i pomeranja u vremenu t = t0Sreivanjem se dobija

Mk0 =1

nkM0

JkJi0

= M0JkrJi0

(k = a, s, p, c) (38)

Uslovi ravnotee su zadovoljeni, tako da vaik

Nk0 = N0k

(Mk0 + zk0Nk0) = M0



Proraun u vremenu t


Primer analize preseka u vremenu t = t0

Spregnuti presek se sastoji (samo) iz- elinog nosaa (a)- betonske ploe (c)



Proraun u vremenu t



Primer analize spregnutog preseka u vremenu t = t0Posmatra se spregnuti nosa koji se sastoji samo iz

- elinog nosaa (a)- betonske ploe (c)

Prethodno naprezanje nije primenjeno, a uticaj armature ubetonskoj ploi se zanemarujeStatiki uticaji u preseku su normalna sila N0 i momenatsavijanja M0 (u odnosu na osu idealizovanog presekaOdrediti raspodelu sila u preseku na betonski i elini deo



Proraun u vremenu t



Primer analize spregnutog preseka u vremenu t = t0Kod nosaa koji se sastoji iz elinog nosaa i betonske ploekoristi se odnos modula elastinosti elika i betona

n =EaEc0

Uporedni modul elastinosti je Eu = Ea, tako da sukoeficijenti redukcije jednaki

na = 1 nc = n =EaEc0

Poloaji teita betonske ploe i elinog nosaa, mereno odgornje ivice betonskog preseka, dati su, redom, sa ec i ea



Proraun u vremenu t



Primer analize spregnutog preseka u vremenu t = t0Redukovane karakteristike poprenog preseka su:

- povrina idealizovanog preseka Ai0:

Ai0 = Aa +1

nAc

- poloaj teita idealizovanog preseka ei0:

ei0 =1

Ai0(eaAa +

1

necAc)

- momenat inercije edealizovanog preseka Ii0

Ii0 = (Ia + e2aAa) +

1

n(Ic + e

2c Ac)



Proraun u vremenu t



Primer analize spregnutog preseka u vremenu t = t0Naponi u vremenu t = t0 su dati sa:

- naponi u elinom delu preseka

a0 =

(N0Ai0

+M0Ji0

z0

)- naponi u betonskom delu preseka

c0 =1

n

(N0Ai0

+M0Ji0

z0

)



Proraun u vremenu t



Primer analize spregnutog preseka u vremenu t = t0Raspodela normalne sile N0 i momenta savijanja M0 u presekuna elini i betonski deo:

- betonski deo:

Nc0 = N0Ac/n

Ai0+M0

Ac/n

Ji0z0

Mc0 = M0Jc/n

Ji0

- elini deo:

Na0 = N0AaAi0

+M0AaJi0

z0

Ma0 = M0JaJi0



Proraun u vremenu t



Primer analize spregnutog preseka u vremenu t = t0Pri tome, uslovi ravnotee moraju da budu zadovoljeni:

N = 0 Nc0 +Na = N0M = 0 Mc0 + zc0Nc0 +Ma0 + za0Na0 = M0



Proraun u vremenu t

Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t

Sadraj






Proraun u vremenu t



Osnovne jednaine u vremenu tVae sve osnovne pretpostavke u elastinoj analizi spregnutogpreseka koje su navedene u proraunu u poetnom trenutkut = t0

Imajui u vidu viskoelastine osobine betona i relaksaciju elikaza prednaprezanje naponi i pomeranja u spregnutom nosaumenjaju se u toku vrmenaProraun napona i pomeranja u trenutku vrmena t (obino jeto krajnje vreme t) vri se slino kao i za poetnitrenutak t = t0, dakle na korespodentnom preseku odhomogenog elastinog materijala



Proraun u vremenu t



Osnovne jednaine u vremenu t1 Bernulijeva hipoteza ravnih preseka za trenutak t:

= + k z (39)

gde su- . . . dilatacija proizvoljnog vlakna preseka (na rastojanju z odteine ose)

- . . . dilatacija take na osi tapa- k . . . promena krivine ose tapa



Proraun u vremenu t



Osnovne jednaine u vremenu t2 Veze izmeu napona i dilatacija za trenutak t:

- za konstrukcioni elik i armaturu (a,s)

k = Ek (k = a, s) (40)

- za elik za prethodnno naprezanje (p)

p = Ep,eff (41)

- za beton (c)c = Ec,eff ( cs) (42)

gde je cs dilatacija skupljanja betona u vremenu t



Proraun u vremenu t



Osnovne jednaine u vremenu t

U izrazu (41) sa Ep,eff je oznaen efektivni modul elastinostielika za prednaprezanje u trenutku vremena t koji uzima uobzir (na jednostavan nain) osobinu relaksacije elika:

Ep,eff = pEp p = 1 R100

gde je R relaksacija elika u vremenu t (u konanomtrenutku), izraena u procentima



Proraun u vremenu t




U izrazu (42) sa Ec,eff je oznaen efektivni modul elastinostibetona u skladu sa EM Metodom:

Ec,eff =Ec0

1 + rili Ec,eff =

Ec01 + r

(43)

U izrazu (43) sa r je oznaen redukovani koeficijent teenjadat sa

r =Ec(t0)

Ec28(t, t0)

dok je koeficijent faktor korekcije



Proraun u vremenu t



Osnovne jednaine u vremenu t3 Uslovi ravnotee izmeu spoljanjih i unutranjih sila za

trenutak t: k

Ak

k dA = N

k

Ak

z k dA = M (k = a, s, p, c)

(44)

gde su N i M normalna sila i momenat savijanja uposmatranom preseku, u vremenu t, odreeni za teite Tiidealizovanog preseka u vremenu t



Proraun u vremenu t



Osnovne jednaine u vremenu t4 Princip virtuelnih sila se koristi za odreivanje generalisanih

pomeranja u vremenu t:

=

s(M k + N )ds

r

Cr cr (45)

gde je generalisano pomeranje take na osi tapa, dok su N iM sile u posmatranom preseku, a Cr reakcija veze r usledvirtuelne jedinine sile P = 1, koja odgovara traenompomeranju , u vremenu t



Proraun u vremenu t



Osnovne jednaine u vremenu tPostupak reavanja sistema jednaina isti je, naelno, kao i zapoetni trenutak vremena t = t0Izraz za dilataciju proizvoljnog vlakna u preseku (39) unosi seu veze (40), (41) i (42), pa se naponi unose u usloveravnotee (44)Dobijaju se dve jednaine po nepoznatim i k (dilatacija osetapa i promena krivine)



Proraun u vremenu t




Uslov ravnotee normalnih sila dobija se u obliku (k = a, s)(k

Ek

Ak

dA+ Ep,eff

Ap

dA+ Ec,eff

Ac

dA

) +(

k

Ek

Ak

z dA+ Ep,eff

Ap

z dA+ Ec,eff

Ac

z dA

) k

= N + Ec,eff cs

Ac

dA

(46)



Proraun u vremenu t



Osnovne jednaine u vremenu tUslov ravnotee momenata savijanja dobija se u obliku(k = a, s)(

k

Ek

Ak

z dA+ Ep,eff

Ap

z dA+ Ec,eff

Ac

z dA

) +(

k

Ek

Ak

z2 dA+ Ep,eff

Ap

z2 dA+ Ec,eff

Ac

z2 dA

) k

= M + Ec,eff cs

Ac

z dA

(47)



Proraun u vremenu t



Osnovne jednaine u vremenu tAnalogno kao i kod prorauna u poetnom trenutku t = t0,uvode se bezdimenzionalni koeficijenti redukcije kao odnosizabranog uporednog modula elastinosti Eu i modulaelastinosti posmatranog materijala u spregnutom preseku utrenutku vremena t:

nkt =EuEkt

(k = a, s, p, c)

Za uporedni modul elastinosti bira se modul elastinostielinog nosaa Eu = Ea



Proraun u vremenu t



Osnovne jednaine u vremenu tImajui u vidu da se modul elastinosti elinog nosaa iarmature ne menja kroz vreme, Ea = Eat = Es = Est,koeficijenti redukcije nkt se dobijaju u obliku:

nat = nst = 1 npt =Eu

Ep,effnct =

EuEc,eff

(48)



Proraun u vremenu t



Osnovne jednaine u vremenu tBezdimenzionalni koeficijent za beton usled kratkotrajnogoptereenja nc = n0, pri emu je uporedni modul elastinostiEu = Ea, dat je sa

nc =EuEc0

=EaEcm

jer je za beton Ec(t0) = Ec0 Ecm, gde je Ecm sekantnimodul koji povezuje take za c = 0 i c = 0.4 fckKoeficijent za beton usled dugotrajnog optereenja nct dat jesa (48), pri emu je Ec,eff dat sa (43)



Proraun u vremenu t



Osnovne jednaine u vremenu tMeutim, u EC4 se dozvoljava uproenje u odreivanjukoeficijenta redukcije za betonU analizi spregnutih zgrada, posebno za skladita i koje nisuprethodno napregnute, dozvoljava se sledee uproenje:

- za dugotrajne uticaje moe da se usvoji Ec,eff Ecm/3- koeficijent redukcije za beton za dugotrajna optereenja jednakje

nct = nL =Ea

Ecm/3 20

- koeficijent redukcije za beton za kratkotrajna optereenjajednak je

nc = n0 =EaEcm

6.5



Proraun u vremenu t



Osnovne jednaine u vremenu tZa ostale konstrukcije moe da se usvoji i za dugotrajne i zakratkotrajne uticaje da je

Ec,eff Ecm2

Sa ovim, koeficijent redukcije za beton je isti i za kratkotrajnai za dugotrajna optereenja:

nc = n0 = nct =Ea

Ecm/2

Prema tome, na taj nain se u globalnoj analizi omoguavaproraun samo jednog stanja (u vremenskom smislu)



Proraun u vremenu t




Kada se jednaine (46) i (47) pomnoe sa jedinicom:1 = Eu/Eu i kada se uzmu u obzir izrazi za bezdimenzionalnekoeficijente redukcije nkt, dobja se sistem od dve jednaine:

Eu

(k

1

nkt

Ak

dA

) + Eu

(k

1

nkt

Ak

z dA

)k

= N + Eu1

nctcs

Ac

dA

Eu

(k

1

nkt

Ak

z dA

) + Eu

(k

1

nkt

Ak

z2 dA

)k

= M + Eu1

nctcs

Ac

z dA (k = a, s, p, c)

(49)Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije


Proraun u vremenu t


Sadraj






Proraun u vremenu t



Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tAnalogno proraunu u vremenu t = t0 spregnuti presek se i uvrmenu t zamenjuje sa idealizovanim (korespodentnim)presekom od homogenog elastinog materijala sa modulomelastinosti EuGeometrijske karakteristike takvog preseka su povrina Ai imomenat inercije Ji idealizovanog presekaPovrine preseka pojedinih delova spregnutog preseka iodgovarajue redukovane povrine u vremenu t date su sa

Ak =

Ak

dA Akrt =1

nktAk (k = a, s, p, c)



Proraun u vremenu t



Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tPovrina idealizovanog preseka Ai u vremenu t data je sa

Ai =k

1

nkt

Ak

dA =k

1

nktAk =

k

Akrt (k = a, s, p, c)

(50)Imajui u vidu koeficijente redukcije, povrina idealizovanogpreseka moe da se prikae kao

Ai = Aa +As +1

nptAp +

1

nctAc (51)



Proraun u vremenu t



Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tPosmatra se odnos idealizovane povrine spregnutog preseka uvremenu t i u vremenu t = t0Povrine idealizovanih preseka se razlikuju samo u redukovanimpovrinama betonskog dela i elika za prednaprezanje, zbograzliitih vrednosti modula elastinosti u vremenima t0 i tZa betonski deo preseka redukovane povrine su:

- u vremenu t = t0:

Acr0 =1

ncAc =

EuEc0

Ac

- u vremenu t:Acrt =

1

nctAc =

EuEc,eff

Ac



Proraun u vremenu t



Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tKako je, prema EM Metodi,

Ec,eff =Ec0

1 + r= cEc0 gde je c =

1

1 + r

to je redukcioni koeficijent za beton u vremenu t dat sa

nct =Eu

Ec,eff=

EuEc0/(1 + r)

=1

cnc

Pri tome je oigledno c < 1.0



Proraun u vremenu t



Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tSlino, za elik za prednaprezanje redukovane povrine su:

- u vremenu t = t0:

Apr0 =1

npAp =

EuEp

Ap

- u vremenu t:Aprt =

1

nptAc =

EuEp,eff

Ap

Pri tome je

Ep,eff = pEp gde je p = 1 R100

< 1.0



Proraun u vremenu t



Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tRedukcioni koeficijent za elik za prednaprezanje moe da seprikae u obliku

npt =Eu

Ep,eff=

EupEp

=1

pnp

Prema tome, redukovane povrine betona i elika zaprednaprezanje u vremenu t mogu da se prikau kao

Acrt =Acnct

= cAcnc

= cAcr

Aprt =Apnpt

= pApnp

= pApr



Proraun u vremenu t



Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tKako su c < 1, kao i p < 1, to su redukovane povrinebetona i elika za prednaprezanje manje u vremenu t nego uvremenu t = t0

Acrt < Acr0 kao i Aprt < Apr0

Prema tome, ukupna idealizovana povrina spregnutg preseka uvremenu t manja je od idealizovane povrine u vremenu t = t0

Ai < Ai0



Proraun u vremenu t



Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tIdealizovana povrina preseka u vremenu t moe da se prikaeu obliku (k = a, s), (j = p, c)

Ai =k

Akr +j

jAjr = Aa +As + pApnp

+ cAcnc

(52)

Uvode se koeficijenti j :

j = 1 j (j = p, c) 0 j 1

tako da jej = 1 j



Proraun u vremenu t



Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu t

Unosei relaciju j = 1 j u izraz za idealizovanu povrinu(52), dobija se

Ai =k

Akr +j

Ajr j

jAjr (k = a, s) (j = p, c)

(53)Iz izraza (53) se vidi da je

Ai = Ai0 j

jAjr (j = p, c) (54)



Proraun u vremenu t



Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tDrugim reima, idealizovana povrina spregnutog preseka uvremenu t manja je od povrine idealizovanog preseka utrenutku t0 za iznos:

Ai = Ai0 Ai =j

jAjr (j = p, c)

Kod spregnutih preseka kod kojih se betonska ploa i elik zaprethodno naprezanje nalaze iznad teita idealizovanogptreseka, u vremenu t, zbog smanjenja idealizovane povrine,dolazi do sputanja poloaja teita Ti u odnosu na teite Ti0u trenutku t0



Proraun u vremenu t



Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tPoloaj teita idealizovanog preseka u vremenu t odreuje seiz uslova da je statiki momenat idealizovane povrine uodnosu na osu y u teitu Ti jednak nuliAnalogno kao i kod analize geometrijskih karakteristika utrenutku t0, sa ei se oznaava rastojanje teita Ti od gornjeivice preseka, a sa ek rastojanja teita Tk povrina Ak odgornje ivice preseka (k = a, s, p, c)



Proraun u vremenu t



Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tRastojenja izmeu teita idealizovanog preseka Ti i teita Tkdata su sa zk = ek eiIz uslova da je statiki momenat idealizovane povrine uodnosu na teinu osu jednak nuli:

k

zk Akrt =k

(ek ei)Akrt = 0

dobija se poloaj teita idealizovanog preseka u vremenu t,mereno od gornje ivice preseka:

ei =1

Ai

k

ek Akrt (55)



Proraun u vremenu t



Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tImajui u vidu da se prvo vri analiza za poetni trenutakt = t0, pogodno je da se poloaj teita idealizovanog presekau vremenu t izrazi u odnosu na ve odreeno teite uvremenu t0Neka je poloaj teita Ti u odnosu na teite Ti0 oznaen sae, pri emu je Ti ispod teita Ti0U teitu u vremenu t0 nalazi see koordinatni sistem (y0, z0), au teitu Ti u vremenu t nalazi se sistem (y, z), gde se ose z0 iz poklapaju, a ose y0 i y su paralelneRelacija translacije izmeu ta dva sistema data je sa

z = z0 eStanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije


Proraun u vremenu t


Spregnuti presek u vrmenenu t

Poloaj teita u vremenu t u odnosu na teite u vremenu t0



Proraun u vremenu t



Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tTeite se odreuje iz uslova da je statiki momenat povrineza teinu osu jednak nuli

k

zk Akr +j

j zj Ajr = 0 (k = a, s), (j = p, c)

Unosei relaciju j = 1 j u uslov da je statiki momenatjednak nuli, dobija se

k

zk Akr j

j zj Ajr = 0 (k = a, s, p, c), (j = p, c)



Proraun u vremenu t



Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tNajzad, koristei relacije translacije z = z0 e dobija se

k

(zk0 e)Akr j

j (zj0 e)Ajr = 0

(k = a, s, p, c), (j = p, c)

odnosno, posle preureivanja,k

zk0Akr j

j zj0Ajr

e

k

Akr j

j Ajr

= 0 (k = a, s, p, c), (j = p, c)Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije


Proraun u vremenu t




Kako je

k zk0Akr = 0 (kao statiki momenat za teinu osuy0), dok je izraz u zagradi uz e jednak Ai, dobija se konaanpoloaj teita e

e = 1Ai

j

j (zj0 e)Ajr (j = p, c) (56)

Momenat inercije idealizovanog preseka Ji u vremenu t dat jesa (k = a, s, p, c)

Ji =k

1

nkt

Ak

z2 dA =k

1

nktJkt =

k

(Jkrt + z2kAkrt)

(57)Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije


Proraun u vremenu t




Izraz (57) za momenat inercije idealizovanog preseka uvremenu t dobija se u obliku

Ji =(Ja + z

2a Aa

)+(Js + z

2s As

)+

1

npt

(Jp + z

2p Ap

)+

1

nct

(Jc + z

2c Ac

) (58)Takoe, momenat inercije Ji moe da se prikae i u obliku, za(k = a, s, p, c) i (j = p, c)

Ji =k

1

nkt

Ak

z2 dAj

j1

njt

Aj

z2 dA (59)



Proraun u vremenu t




Posle sreivanja, izraz (59) moe da se prikae u obliku

Ji = Ji0 j

j Jir0 e2Ai (60)

Kao to se vidi, momenat inercije idealizovang preseka uvremenu t odreen je preko momenta inercije u vremenu t0umanjenim za

j

j Jir0, kao i za e

2Ai, prema tajnerovojteoremi, zbog prelaska na novu teinu osu y



Proraun u vremenu t



Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tPosmatra se, kao ilustracija, spregnuti presek koji ine samoelini nosa (a) i betonska ploa (c), pri emu je zanemarenuticaj armature u betonu (s) na geometrijske karakteristike,dok prednaprezanje (p) ne postoji u ovom sluajuKako se za uporedni modul elastinosti bira modul elastinostielinog nosaa, to su koeficijenti redukcije dati sa

na = 1, nc = n =EaEc0

nct = nt =Ea

Ec,eff

dok je (ns = 0, np = 0)



Proraun u vremenu t



Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tPovrina idealizovanog preseka Ai u vremenu t data je, uovom sluaju, sa

Ai = Aa +Acnt

Alternativno, povrina idealizovanog preseka u vremenu t moeda se odredi prema izrazu (54)

Ai = Ai0 cAcr = Ai0 cAcn

= Ai0 Acn

+Acnt



Proraun u vremenu t



Spregnuti presek sastavljen samo od elinog nosaa (a)i betonske ploe (c)Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije


Proraun u vremenu t




Poloaj teita Ti u vremenu t dat je (u odnosu na gornju ivicupreseka) sa

ei =1

Ai(eaAa +

1

nctecAc)

Alternativno, poloaj teita Ti u odnosu na teite Ti0 utrenutku t0 dat je sa

e = 1Ai c zz0Acr =

1

Ai c zz0

Acn



Proraun u vremenu t



Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tMomenat inercije Ji u vremenu t dat je sa

Ji =(Ja + z

2a Aa

)+

1

nt

(Jc + z

2c Ac

)Alternativno, momenat inercije Ji izraen preko Ji0 u trenutkut0 dat je sa

Ji = Ji0 cJcr0 e2Ai= Ji0 1

n(Jc + z

2c0Ac) +

1

nt(Jc + z

2c0Ac) e2Ai



Proraun u vremenu t


Sadraj






Proraun u vremenu t



Fiktivne sile u presekuKoristei oznake za karakteristike idealizovanog preseka,osnovne jednaine spregnutog preseka (49) mogu da se prikaukao

EuAi = N

Eu Ji k = M(61)

gde su desne strane jednaina date sa

N = N + Eu1

nctcs

Ac

dA

M = M + Eu1

nctcs

Ac

z dA

(62)



Proraun u vremenu t



Fiktivne sile u preseku

Veliine N i M, date sa (62), nazivaju se fiktivne sile upresekuFiktivne sile u preseku u proraun spregnutih nosaa uveo jeM. uri, a u neto drugaijem obliku i koristei AAEMmetodu, prikazao je J. LaziVeliine M i N su prave sile u preseku u vremenu t,definisane u odnosu na teite Ti u vremenu tAko su sile u preseku u vremenu t0 oznaene sa N0 i M0, zbogpromene poloaja teita u vremenu t, imajui u vidu da jerastojanje izmeu teita jednako e, sile u preseku u vremenu tsu data sa

N = N0 M = M0 N0 eStanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije


Proraun u vremenu t



Promena teita i sila u preseku u vremenu t



Proraun u vremenu t



Fiktivne sile u preseku

Drugi lanovi u izrazima (62) se obeleavaju sa ns i ms:

ns = ns(s, t, t0) = Eu1

nctcs

Ac

dA = EuAcrt s

ms = ms(s, t, t0) = Eu1

nctcs

Ac

z dA = zs ns

(63)

pri emu je

ns0 = ns(s0, t0, t0) = 0 ms0 = ms(s0, t0, t0) = 0

jer je u poetnom trenutku t0 skupljanje jednako nuli: s0 = 0



Proraun u vremenu t



Fiktivne sile u presekuAko se posmatra statiki odreen nosa koji nije optereen:N = 0,M = 0, kao i N0 = 0,M0 = 0, pri emu je ins0 = 0,ms0 = 0

U tom sluju, fiktivne sile u preseku su date sa

N = ns M = ms = zc ns (64)

Znai, fiktivne sile u ovom sluaju pretstavljaju samo uticajskupljanja betona



Proraun u vremenu t



Fiktivne sile u presekuUticaj poznate deformacije spregnutog nosaa usled skupljanjabetona uvodi se kao spoljanja sila zatezanja u betonskom delupreseka nsDilatacije betona usled skupljanja nije slobodna, zbog prisustvamodanika, kao i armature u betonskom deluZbog povezanosti betona i elinog dela spregnutog nosaa,sili zatezanja u betonu ns usled skupljanja betona, odgovarareaktivno optereenje u teitu idealizovanog preseka Ti:normalna sila ns i momenat savijanja ms = ns zc



Proraun u vremenu t



Naponi i pomeranja u vremenu tOvo optereenje je promenljivo sa vremenom jer je dilatacijausled skupljanja betona promenljiva sa vremenomU izrazu za napon u betonu lan (Ec,eff sc) postoji samokada se skupljanje uzima u obzir (s 6= 0)Kako je skupljanje negativna veliina, to su naponi u betonunaponi zatezanja (Ec,eff sc > 0)Kako je s < 0, to je sila ns u teitu preseka negativna, odn.pretstavlja pritisak, videti (63)Takoe, kako je i rastojanje zc negativno, to je i momenat mspozitivan, odn. zatee donju stranu preseka, videti (64)



Proraun u vremenu t



Fiktivne sile u presekuTransformacijama se dobija

ns = EuAcnct

cs = EuAc

Eu/Ec,effcs = Ec,eff Ac cs

pa je odgovarajui napon zatezanja dat sa

=nsAc

= Ec,eff cs

Sili ns u teitu Tc betonskog dela odgovara reaktivnooptereenje u teitu idealizovanog preseka Ti: normalna silans i odgovarajui momenat ms = ns zc



Proraun u vremenu t



Reaktivno optereenje ns i ms u teitu Ti poprenog preseka usleduticaja skupljanja



Proraun u vremenu t


Sadraj






Proraun u vremenu t



Naponi i pomeranja u vremenu t

Iz jednaina ravnotee (61) dobijaju se nepoznatedeformacijske veliine:

=NEuAi

k =MEu Ji

(65)

Reenja za deformacijske veliine i k u vremenu t po oblikusu ista kao i reenja u vremenu t0, odn. analogna suodgovarajuim izrazima korespodentnog nosaa od homogenogelastinog materijala sa modulom elastinosti Eu = Ea, sakarakterisitkama idealizovang preseka Ai i Ji, optereenog safiktivnim silama u preseku N i M



Proraun u vremenu t




Prema izrazu (39) dilatacija proizvoljnog vlakna spregnutogpreseka, u vremenu t, data je sa

=NEuAi

+MEu Ji

z (66)

Koristei veze u vremenu t, izrazi za napone pojedinihdelova spregnutog preseka, u vremenu t, dati su sa:

k =1

nkt

(NAi

+MJi

z

)(k = a, s, p)

c =1

nct

(NAi

+MJi

z

) Ec,eff cs

(67)



Proraun u vremenu t



Naponi i pomeranja u vremenu tUvodi se, slino kao i u vremenu t0, uporedni napon u vremenut, dat sa

u = Eu odn. dat sa

u =NAi

+MJi

z

Naponi u pojedinim delovima spregnutog preseka u vremenu tmogu da se prikau kao

k =1

nktu (k = a, s, p)

c =1

nctu Ec,eff sc

(68)



Proraun u vremenu t




U izrazu za napon u betonu lan (Ec,eff sc) postoji samokada se skupljanje uzima u obzir (s 6= 0)Kako je skupljanje negativna veliina, to su naponi u betonunaponi zatezanja (Ec,eff sc > 0)kako je s < 0, to je sila ns u teitu preseka negativna, odn.pretstavlja pritisak, videti (63)Takoe, kako je i rastojanje zc negativno, to je i momenat mspozitivan, odn. zatee donju stranu preseka, videti (64)



Proraun u vremenu t


Dijagram napona u spregnutom preseku usledskupljanja

(a) naponi zatezanja u betonu usled ns kao spoljanje silezatezanja

(b) naponi u spregnutom preseku od N = ns i M = ms, kaoreaktivnih sila u teitu Ti

(c) konani naponi u spregnutom preseku usled uticaja skupljanjaStanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije


Proraun u vremenu t



Naponi i pomeranja u vremenu tIzraz za traeno generalisano pomeranje u vremenu t, za takuna osi tapa, odreen je, primenom principa virtuelnih sila, sa

=

s

(M MEu Ji

+N NEuAi

)r

Cr cr (69)

Zbog reolokih osobina betona i elika za prethodnonaprezanje, geometrijske karakteristike idealizovanog presekaAi i Ji, kao i fiktivne sile u presku N i M funkcije suvremena t



Proraun u vremenu t



Naponi i pomeranja u vremenu tKarakteristike idealizovanog preseka i fiktivne sile u presekuodreuju se za svako vreme t u kome se trae naponi ipomeranjaPrema tome, naponi i pomeranja u spregnutom nosau zavisnisu od vremena ak i za sluaj optereenja i uticaja koji se nemenjaju sa vremenom


Analiza SK primenom teorije elasticnostiOpte napomeneOsnovne pretpostavke u elasticnoj analizi

Proracun u vremenu t=t0Osnovne jednacine u vremenu t=t0Geometrijske karakteristike u vremenu t=t0Naponi i pomeranja u vremenu t=t0

Proracun u vremenu tOsnovne jednacine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t

4 analiza sk primenom teorije elastičnosti

Documents