3次元固有値問題...
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3次元固有値問題 UkV
戸瀬 信之AhPa1 S_PC1*h
oy8 kyky年 Ry月 Rk-Rj日 �i >* 7Q` 経済数学入門,経済数学
戸瀬 信之 3次元固有値問題 UkV
具体例 URVě固有方程式が重根をもつ場合
j次正方行列� =
0
@R k kR k �R�R R 9
1
A URV
の固有値と固有ベクトルを求めます.
戸瀬 信之 3次元固有値問題 UkV
一
具体例 UkVě固有方程式
��(�) =
������
�� R �k �k�R �� k RR �R �� 9
������=
������
�� R �k �ky �� j �� jR �R �� 9
������= (�� j)
������
�� R �k �ky R RR �R �� 9
������
= (�� j)
������
�� R y yy R RR �R �� 9
������= (�� R)(�� j)
������
R y yy R RR �R �� 9
������
= (�� R)(�� j)����
R R�R �� 9
���� = (�� R)(�� j)k
から �の固有値は � = R, j(重根)であることが分かります.
戸瀬 信之 3次元固有値問題 UkV
.
E3 では まずい
が塋で蠲、漏藇 -_-」が
O.い-62痝たの?ただ
具体例 UjVě固有ベクトルUBV � = Rのとき行列式の計算における行基本変形を用いると
�
0
@tvx
1
A =
0
@tvx
1
A ,
0
@y y yy R RR y �k
1
A
0
@tvx
1
A = ~y UORV
であることが分かりますから(#R) , t = kx, v = �x
となります.これから固有ベクトルは0
@tvx
1
A =
0
@kx�xx
1
A = x
0
@k�RR
1
A (x 6= y)
であることが分かります.戸瀬 信之 3次元固有値問題 UkV
nnn
いいした脂一
一幾°節熖・
こん へん
AA = が
~ がた)
具体例 UjVě固有ベクトルUBBV � = jのとき 上の行列式の計算の行基本変形を用いて
�
0
@tvx
1
A = j
0
@tvx
1
A ,
0
@k �k �ky y yR �R �R
1
A
0
@tvx
1
A = ~y , t � v � x = y UOkV
となります.これから固有ベクトルは0
@tvx
1
A =
0
@v + x
vx
1
A = v
0
@RRy
1
A+ x
0
@RyR
1
A (v 6= y P_ x 6= y)
であることが分かります.
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nauk GI3- A ) = 1 .
ne is ( も。 )(ニ)
ま Zやお A)したが
つく = y t Z .
p = G○
iii.側近 帳に「
尃 ::!!な.TT
部分空間とその直和 URV
o ,q ⇢ EMが部分空間とします.このときo + q := {~p + ~r 2 EM; ~p 2 o , ~r 2 q }
も部分空間となります.部分空間の和 o + q が直和であるとは~p 2 o , ~r 2 q ,~p + ~r = ~y ) ~p = ~r = ~y
が成立するときで o � q と記します.
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TEE U -) X t µで、 EV.tt o に ついて 閉じ ている。
心 ~ ~
renren.netも知ら
-
vtwedhy 、いい
V W
籩で + T = 8⇒ が、
ここでvnw = { o}で燕だ ?で品駅
で t で = が
鼹:籤囍シ晶に橤酢
部分空間とその直和 UkV
M次正方行列 � 2 JM(E)- ↵ 2 Eに対してo (↵) := {~p 2 EM; �~p = ↵~p}
と定めます.h?2Q`2K↵,� 2 Eが ↵ 6= � を満たすならば
o (↵)� o (�)
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1k = R,E
.
ness
ftp.tにい A) で =?= ha(a In- A ) 部分空間 。
○、断
B :
mxn.hu( 13) = { EE 心 ; 13 で ー?) や と か について閉と じ ている
。
でも → B で、 = 13で
、沼 (部分空間 )
13 ( x で 十mで) 末 XBT ve BE = をGti糸が恥生 、
=8
へ) a で、 teで EheCB)
13 の 解 空間、
13 の 木を、
Gene of B .
部分空間とその直和 UjV
~pR 2 o (↵)- ~pk 2 o (�) が~pR + ~pk = ~y UkV
を満たすとします.この両辺に (� � �AM)を掛けると(↵� �)~pR = ~y 従って ~pR = y
となります.これを UkVに代入して ~pk = ~y も従います.
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→ だ?
-0キロ_
⇐
(A - P In )G + I ) = CA -f IST t CA -P Inst= の で
、一が、
=が が、_
具体例 U9Vě対角化ここでさらに
~TR =
0
@k�RR
1
A , ~Tk =
0
@RRy
1
A , ~Tj =
0
@yRR
1
A , S = (~TR ~Tk ~Tj)
と定めます.一般論によってo (R)� o (j)
が成立しますから,+R~TR + +k~Tk + +j~Tj = ~y とすると+R~TR = ~y, +k~Tk + +j~Tj = ~y
となります.~TR 6= ~yから +R = yであることが分かります.+k~Tk + +j~Tj =
0
@+k + +j
+k+j
1
A = ~y
から +k = +j = yが従います.よって S は正則となります.戸瀬 信之 3次元固有値問題 UkV
u.,0
)
- Pat!!だ からの日、
- て驗簽
.
TEB Bee ) くにいた。
-
具体例 U8Vě対角化
�S = (�~TR �~Tk �~Tj) = (R · ~TR j · ~Tk j · ~Tj)
= (~TR ~Tk ~Tj)
0
@R y yy j yy y j
1
A = S
0
@R y yy j yy y j
1
A
からS�R�S =
0
@R y yy j yy y j
1
A
と �が対角化されます.戸瀬 信之 3次元固有値問題 UkV
r. 。皜
」
固有空間 URV
� 2 JM(E)- ↵R, · · · ,↵` 2 E
o (↵B) := {~p 2 EM; �~p = ↵~p}
定理 ↵B 6= ↵D (B 6= D)~pB 2 o (↵B) (B = R, · · · , `)
~pR + · · ·+ ~p` = ~yならば
~pR = · · · = ~p` = ~y証明は `の帰納法を用いる。
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IR 部宅内 の 和、 直和.IR
nervefor CA - の i In ) 部分 室内や と o につい
○nis
、鍵慥einer
l= 2は示している。
vいい . . V
Cape= 2 ⇒ e= 3 を 示す
。 身体 。王パッも o ⇒ Vai) =18 3. Koopa . 体
、
固有空間 UkV
前ページの定理を ` = jの場合に示します.h?2Q`2K� 2 JM(E)- ↵,� � 2 Eが
↵ 6= �, � 6= �, � 6= ↵
を満たすとします.このとき~pR 2 o (↵), ~pk 2 o (�), ~pj 2 o (�), ~pR + ~pk + ~pj = ~y
ならば ~pR = ~pk = ~pj = ~y が従います.
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mere( 一音
、と し te 意にま は分かる )↳
いの V ( Ver ) 国 空内分配 の 一塾
固有空間 UjV
~pR + ~pk + ~pj = ~y UjVの両辺に (� � �AM)を掛けると
(↵� �)~pR + (� � �)~pk = ~y
となります.これから(↵� �)~pR = (� � �)~pk = ~y
さらに~pR = ~pk = ~y
となります.これを UjVに代入すると ~pj = ~y も従います.
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s ら EUは)→ (A -るるいた沼、、
○、がないが
2=バーが
いる 日 ・
二 Caer)が
再巫 いの仮定○を-_-
部分空間の和と直和oB ⇢ EMが部分空間とする (B = R, · · · , `)。このとき
oR + · · ·+ o` := {~pR + · · ·+ ~p`; ~pB 2 oB (B = R, · · · , `)}
はEMの部分空間である。~pB 2 oB(B = R, · · · , `), ~pR + · · ·+ ~p` = ~y ) ~pR = · · · = ~p` = ~y
が成立するとき、oR + · · ·+ o`は直和といいoR � · · ·� o`
と記す。
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mnnn
p_ く ど.
eee訵、 e= 2
,3 の 場合 確認
.ws
固有空間分解 UyVě準備
� 2 Jj(E)- ↵ 2 E とします.��(�) = (�� ↵);(�), ;(↵) 6= y
ならばdimo (↵) = R
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スペが分解。-87
心中.
genre
( 心 で も ok.AE Mulk)でも)in
Tha(a)= 0
d -一 の は 単糸も松 、
ヨが、キ8 f EUは) -) d 、いいの) 3 1
.
di- Vは) = 1 .
den U は ) 3 2 と する 矛盾 .TT かが、 でもで
同、
1で EUが、かなか
. A が = の か がnnr AT = ので も
、Team で/-無い?だ が 線型独立 とでも 3
. 4,
闇しん
がくか が、 もう 正則 De
AQ = ( AT AT AID) = (何 のものが型鯊」=何 か な ) は新 = の (獫) 3
が AQ = で の副王が" なが" = ドるーのさ剡nr
t.ca - a 」 (小のいーち )
⑧d = の が 五月 (かの
単純杞に 矛盾
Q : 3 × S
T I, F
1 Q に o も) Q 正 目り で は 糸
L 0 1 . 最後 の 見体 は1 .
A = ( た) きがに いい いい いい
a が ない し、2 固有値
は っ
→ vいい KG)、いいに lk ( う )
、V した 1KG )" BP = (がた ぼ ) は 正則
=
ピコ V い ) @ U ( い U に )G 。E た がで.
で = PS = p.pt で 二 で~ ~
L = GT +Cafe S で E V HDV(い
たり してい たの いとい
いい = V い ) VCl ) Vに)
① Uが E v心の A による 固有値分解
( スペクトル分解で = で
、t でやる ( A が対角化では明
e U いい,I EV (い
,TEVに) と 書けるな ・ u
② 一意性.
で い
た が9Tt.fi +でおかい-) が = で
、だが、お = お く-is nome)
したが t 心-I) tぼー で ) =
入 ニ - 1,1,2
J( て) = 1
節 迪無啜 払に。
V して) JCI ) = 0
で こう け ー
ー
ち ) が一 批に※ジ、
二 方 (かい) で-1 )小射影行が
固有空間分解 URV
� 2 Jj(E)に対して、固有値 ↵,�, � 2 E が単純としよう。↵ 6= �, � 6= �, � 6= ↵
このときEj = o (↵)� o (�)� o (�)
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int
globeスペクトル分解、
いいの
Tたがじ とすると 品の k。 主で
PE = pがお = でLI
= c、かいだいら
EUは) VP) VCO)
固有空間分解 UkV
~p 2 Ejに対して~p = ~pR + ~pk + ~pj
~pR 2 o (↵), ~pk 2 o (�), ~pj 2 o (�)
とすると ~pR,~pk,~pjを ~p で表せるか。
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w
Thieme The
固有空間分解 UjV
そのアイデア URV 7 (�) 2 E[�]- ~p 2 o (↵) に対して7 (�)~p = 7 (↵)~p
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AE = の で、→ Ah たがで
A2 で = A ので
nne 二 の Aでいてい」
JCA ) = 9mがt.it aqdt ao→JCA) で 二 (au がt -_- +9
、 At 9。I3 ) v
= anがで t.it a、 ので t a 。が
二 (au が t.ia.at a。) で = fいた 。
そのアイデア UkV
(�� �)(�� �)
(↵� �)(↵� �)+
(�� ↵)(�� �)
(� � ↵)(� � �)+
(�� ↵)(�� �)
(� � ↵)(� � �)= R
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「
口側
-
t.cn こと が新淂 すば_
」 だが興5.CA) が 二 t.CA)感
,
t.CA )で tf.CA)で、
こ 稿が話で 5話が二_
| ないか =で、 JTA) ら=が