3elteoremadelvalormediocalculo1/teorias/capitulo3a4.pdf · 2007-02-23 · 3elteoremadelvalormedio...

3 El Teorema del Valor Medio

Este capítulo explora una serie de conceptos y teoremas desarrollados en los albores del sigloXIX, cuando algunos matemáticos comenzaron a insistir acerca de la necesidad de proveerdemostraciones más rigurosas de ciertos principios del Análisis que hasta entonces se aceptabancomo evidentes. Los teoremas fundamentales, requieren para su demostración una descripciónde las propiedades de los números reales que escapa a los objetivos de este curso, pero sus enun-ciados son fácilmente comprensibles e intuitivamente aceptables. Sin embargo no todo terminaahí. La segunda línea de dificultades todavía es ardua. Está compuesta de razonamientos demediana complejidad que se siguen sólo con trabajo y atención. A veces, la Matemática resultafastidiosa para el estudiante de otras disciplinas. Tal vez ese sería el caso con las demostracionesbásicas que dejaremos de lado. Pero el resto del material incluye un ir y venir entre el problemapráctico, la intuición y la formalización que es imprescindible en cualquier disciplina con baseen las Ciencias Exactas. Invitamos al lector a sumergirse en estas páginas con entusiasmo.

3.1 Asíntotas

Límites en el infinito. Asíntotas oblicuas y horizontales

La palabra "infinito" señala en nuestro idioma un más allá de lo que expresan los números.Como los números se usan para contar y para medir, una mirada más fina distingue dos tiposde infinito. Aquí estaremos involucrados con el infinito de medir. Las variables reales con-tinuas que estamos estudiando son variables de medir. Para contar se usan los enteros. LaMatemática trata de evitar las discusiones filosóficas acerca del infinito y encuentra manerasalgebraicamente operativas de describir los fenómenos relacionados con medidas infinitamentegrandes e infinitamente pequeñas. Si pensamos en la dualidad entre las variables x y y = 1

x ,en el sentido de que una es tan grande cuanto pequeña es la otra, tendremos una manera dedescribir el acercamiento de x hacia el infinito con el acercamiento de y hacia el cero. Mirandoahora el procedimiento de cambiar variables para el cálculo de límites insinuado en el ejercicio5 del capítulo 2., podemos adoptar la siguiente definición:

Definición 1:

limx→∞ f (x) := lim

y→0 fµ1

y

¶, (1)

Capítulo 3. El teorema del valor medio

con las consiguientes versiones laterales:

limx→+∞ f (x) := lim

y→0+f

µ1

y

¶, lim

x→−∞ f (x) := limy→0−

f

µ1

y

¶. (2)

Ejemplos:

1. limx→∞ 1xn = limy→0 yn = 0

2. limx→∞ 1n√x = limy→0 n

√y = 0

3. limx→∞¡1 + 1

x

¢= limy→0 (1 + y) = 1

4.

limx→∞

3x− 2x+ 4

= limy→0

31y − 21y + 4

= limy→0

y (3− 2y)y (1 + 4y)

= 3.

Habiéndose reducido la definición de límites en el infinito a límites en cero con el uso de otravariable, serán de aplicación en este nuevo punto límite (el cero) las propiedades estudiadas enel capítulo 2, con excepción, por ahora, de la segunda parte de la propiedad 1, y aclarando queen la propiedad 8, los entornos de ∞ son los complementos de los intervalos cerrados.

Ejemplos:

5. Para calcular el límite en el infinito de una función racional,

limx→∞

P (x)

Q (x),

caben tres posibilidades:

(a) n = gr (P ) < m = gr (Q): se saca factor común xm en numerador y denominador.

limx→∞

x2 − 2x+ 33x4 + 2x− 1 = lim

x→∞x4¡1x2− 2

x3+ 3

x4

¢x4¡3 + 2

x3− 1

x4

¢ = limx→∞¡1x2− 2

x3+ 3

x4

¢limx→∞

¡3 + 2

x3− 1

x4

¢ = 0

3= 0.

(b) n = gr (P ) > m = gr (Q): se saca factor común xn en numerador y denominador.

limx→∞

3x4 + 2x− 1x2 − 2x+ 3 = lim

x→∞x4¡3 + 2

x3 − 1x4

¢x4¡1x2− 2

x3+ 3

x4

¢ = limx→∞

¡3 + 2

x3 − 1x4

¢¡1x2− 2

x3+ 3

x4

¢ .El numerador tiene límite no nulo y el denominador tiene límite cero. El cociente notiene límite.

(c) n = gr (P ) = gr (Q) : se saca factor común xn en numerador y denominador.

limx→∞

3x− 2x+ 4

= limx→∞

x¡3− 2

x

¢x¡1 + 4

x

¢ = limx→∞¡3− 2

x

¢limx→∞

¡1 + 4

x

¢ = 3

1= 3.

Nótese que recalculamos el límite del ejemplo 4.

6.

limx→∞

sinx

x= lim

x→∞

µ1

x· sinx

¶= 0.

Hemos usado la propiedad 8. de límites: seno está acotada y limx→∞ 1x = 0 (ejemplo 1).

70

3.1. Asíntotas

Ejercicio 1: Hallar limx→∞ f (x) para

f (x) =

1. 2x3−xx4−1 2. cosx

x 3. x2+1πx2−1

4. sen 4xx3

5. 5x4−x3+3x+2x3−1 6. −x2+1

x+5

7. 2x4−1−4x4+x2 8. 2x4−1

−4x3+x2 9. 2x4−1−4x5+x2

Cuando existe límite en el infinito de una función, digamos limx→∞ f (x) = b, ese com-portamiento se refleja en el gráfico con un acercamiento de Gr (f) a la recta y = b, ya quelimx→∞ [f (x)− b] = 0. Este acercamiento se da hacia los "extremos" lejanos del gráfico ensentido horizontal y bien podría producirse en sólo uno de los extremos si el límite es de tipolateral. En esos casos se dice que la recta y = b es una asíntota de f . Uno podría imaginarel fenómeno como una tangencia en el infinito. Este tipo de acercamiento también se da conrectas oblicuas

Definición 2. La recta de ecuación y = l (x) = mx + b es una asíntota de lafunción f (o del gráfico de f ) si

limx→∞ [f (x)− l (x)] = 0.

Si sólo uno de los límites laterales en el infinito se anula, se dirá que l es unaasíntota en +∞ o en −∞, lo que corresponda.Ejemplos:

7. En los ejemplos 1 y 2, el eje cooredenado horizontal es una asíntota. en el ejemplo 3., larecta y = 1 es asíntota de la curva y = 1 + 1

x , y en el ejemplo 4., la recta y = 3 esasíntota de la curva y = 3x−2

x+4 . Veamos los gráficos generados por el ordenador de estosdos últimos casos:

52.50-2.5-5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

figura 3.1.a. y = 1 + 1x

1050-5-10-15

15

10

5

0

-5

-10

x

y

x

y

figura 3.1.b. y = 3x−2x+4

71


8. La función racional f (x) = x2−32x−4 =

P (x)Q(x) con gr (Q) = gr (P ) + 1. Si efectuamos la

división entera de P por Q, obtendremos un cociente C de grado 1 y un resto r degrado 0, una constante: P = QC + r. Dividiendo entre Q,

f (x) =P (x)

Q (x)= C (x) +

r

Q (x).

C, polinomio de grado 1, es una recta. Y f − C = rQ , es una función racional con

gr (Q) > gr (r) = 0. Según se vió en el ejemplo 5.a. el límite en el infinito es 0. LuegoC (x) es una asíntota oblicua.

32 −x 42 −x xx 22 +− 12

1 +x 32 −x

42 +− x 1

Entonces,

f (x) =1

2x+ 1 +

1

2x− 4 ,

y C (x) = 12x+ 1 es asíntota.

52.50-2.5

3.75

2.5

1.25

0

-1.25

x

y

x

y

figura 3.2.

Resumiendo, para funciones racionales, f (x) = P (x)Q(x) , hay asíntotas en el infinito cuando

gr (P ) < gr (Q) (el eje y = 0 es asíntota), cuando gr (P ) = gr (Q) (asíntota horizontal) ycuando gr (P ) = gr (Q) + 1 (asíntota oblicua). Si gr (P ) > gr (Q) + 1, aparecen polinomiosasintóticos que se obtienen con el método de dividión entera propuesto en el ejemplo 8. Enel ejemplo 6., sin embargo, presentamos una función no racional con límite nulo en el infinito,o sea con asíntota horizontal (el eje). ¿Cuál es el método general para encontrar asíntotasoblicuas (incluyendo entre estas las horizontales como caso particular? Supongamos que larecta y = l (x) = mx+ b es asíntota de la función f . Nos interesa encontrar los números my b.

f (x)−mx− b→ 0⇒ limx→∞ (f (x)−mx) = b (ejerc. 5, cap.2).

72

3.1. Asíntotas

Enronces,

limx→∞

µf (x)

x−m

¶= lim

x→∞

µf (x)−mx

x

¶= lim

x→∞b

x= 0.

Luego

limx→∞

f (x)

x= m. (3)

La exixtencia del límite (3) es condición necesaria para que pueda haber asíntota. Pero nosuficiente (ver ejemplo 10). m es el candidato a pendiente de la asíntota. Ahora habrá queverificar si existe

b = limx→∞ [f (x)−mx] .

Si esto ocurre, entonces limx→∞ [f (x)− (mx+ b)] = 0 y la recta y = mx+b es una asíntota.

Ejemplos:

9. Vimos (ejemplo 6) que sinxx → 0 para x→∞. Si hacemos

f (x) =sinx

x+ 0.1x− 1,

tendremos a la recta l (x) = 0.1x− 1 como asíntota.

20100-10-20

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

figura 3.3

En nuestra definición de asíntota, nada impide que se encuentre con la curva, inclusomuchas veces.

10. Buscamos asíntotas de y = f (x) =√x. El primer paso es calcular limx→∞

√xx =

limx→∞ 1√x= 0 = m. De haber asíntota, será horizontal. Pero limx→∞

√x no existe.

En consecuencia no hay asíntota.

11. (a) La función sg (x) = x√x2

tiene dos asíntotas diferentes, y = 1 en +∞ y y = −1en −∞. Pero es discontinua en 0.

(b) f (x) = x√x2+1

, también tiene asíntotas horizontales distintas en ±∞. En efecto,

limx→±∞

x√x2 + 1

= limx→±∞ sg (x)

1q1 + 1

x2

= ±1.

73


(c) f (x) = x2−1√x2+1

, tiene asíntotas oblicuas diferentes en ±∞. Mostramos gráficos gen-erados por el ordenador de los dos últimos ejemplos.

1050-5-10

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

fig. 3.4.a. y = x√x2+1

1050-5-10

10

7.5

5

2.5

0

x

y

x

y

fig. 3.4.b. y = x2−1√x2+1

Ejercicio 2: Encontrar, cuando las haya, asíntotas en el infinito de las siguientescurvas.

1. y = 2x3−xx4−1 2. y = cosx

x 3. y = x2+1πx2−1

4. y = 5x4−x3+3x+2x3−1 5. y = −x2+1

x+5 6. y = 110x+

cosxx

7. y = 2x4−1−4x4+x2 8. y = 2x√

x2+19. y = 3x2

x2+1

Límites infinitos. Asíntotas verticales

Volvemos a mirar la función y = 1x . La simetría de esta curva muestra que lo que se pueda

decir acerca del comportamiento de la variable x en el infinito debe ser válido para la variabley en el infinito. Si para decir que x→∞, pedimos que 1

x → 0, el mismo criterio servirá parala variable dependiente: y →∞ si y sólo si 1

y → 0.

Definición 3. (El punto a hacia el que tiende la variable independiente puede serun número ó ∞. También puede tratarse de una tendencia lateral).

limx→a

f (x) =∞ ⇔ limx→a

1

f (x)= 0.

74

3.1. Asíntotas

Como 11y

= y,

limx→a

f (x) = 0⇔ limx→a

1

f (x)=∞. (4)

Y también

limx→a

f (x) =∞ si y sólo si existe una función u = ϕ (x) tal que

limx→a

ϕ (x) = 0 y f (x) =1

ϕ (x). (5)

Tal vez sea más útil decirlo de esta manera:

y →∞ para x→ a si y sólo si y =1

upara cierta u tal que u→ 0 para x→ a.

Cuando en un entorno reducido de a el signo de f (x) permanece constante podremosser más específicos y considerar el límite infinito con el correspondiente signo. Es decir,

limx→a

f (x) = +∞⇐⇒ limx→a

f (x) =∞∧ f (x) > 0 en un entorno reducido de a.

Análoga definición para f (x)→ −∞.

Ejemplos:

12. Los siguientes límites se obtienen inmediatamente a partir de la definición.

1. limx→0

1x =∞ 2. lim

x→0−1x = −∞

3. limx→0

1x2= +∞ 4. lim

x→0¡− 1

x2

¢= −∞

5. limx→±∞x = ±∞ 6. lim

x→−∞x3 = −∞

7. limx→1+

1x−1 = +∞ 8. lim

x→(π2 )−tanx = +∞

13. En la sección 2.3. se mencionó como no derivable a la función 3√x, con tangente vertical

en el origen. Si calculamos el límite del cociente incremental en ese punto,

limh→0

3√h

h= lim

h→01

3√h2= +∞, pues lim

h→03√h2 = 0.

Si admitiésemos derivadas infinitas, éstas coincidirían con los puntos de tangente vertical.

Para la funciónp|x|, en cambio,

limh→0−

p|h|h

= −∞ y limh→0+

p|h|h

= +∞.

75


Habría derivadas laterales infinitas de distinto signo. No hay una recta tangente verticalsino semirectas tangentes verticales.

10.50-0.5-1

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

fig. 3.5.a. y = 3√x

10.50-0.5-1

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

fig. 3.5.b. y =p|x|

El siguiente paso es averiguar cómo aceptan los nuevos límites infinitos las propiedadesdel límite .En este punto conviene antes aclarar que los entornos reducidos de infinito sonconjuntos de la forma {x : |x| > M}, provenientes de ©

x :¯̄1x

¯̄< δ

ª=©x : |x| > 1

δ

ª, donde

ponemos M = 1δ . Para los límites laterales en el infinito, los semi-entornos considerados cuando

x → +∞ y x → −∞ son, respectivamente, semirectas del tipo (M,+∞) y (−∞,−M),ambas con M > 0. También cabe señalar que hasta definir los límites infinitos, en aquelloscasos donde éste existe decíamos que no existía límite. Por lo tanto, si quisiéramos conservarla coherencia, deberíamos decir que "existe límite" y "existe límite infinito" son dos sucesosmutuamente excluyentes,.como si la frase "límite infinito" fuera una palabra nueva que noincluye a la palabra "límite". Sin embargo, resulta bastante más cómodo llamar límite finito alviejo límite y aceptar oraciones mucho más gratas al oído como "existe límite finito o infinito".Así lo haremos cuando no quepa confusión.

Repasaremos las propiedades del límite, admitiendo ahora valores infinitos para ambas vari-ables.

Productos y cocientes.

Tratamos con dos funciones, y = f (x) y z = g (x) . Nos interesa el límite de su productoy · z o su cociente y

z , para x→ a. a puede ser finito o infinito y el límite puede ser completoo lateral.

1. Si y →∞, z →∞ entonces y ·z →∞. En efecto, y = 1u , z =

1v con u, v → 0 =⇒ yz =

1uv con uv → 0 =⇒ yz → 0. El ícono utilizado para recordar esta regla será el siguiente:

∞ ·∞ =∞ (6)

2. Si z →∞ y y está acotada en un entorno reducido de a, entonces yz → 0. Esto proviene

de la regla 3(b) de los límites finitos, pues z = 1v con v → 0. Entonces, y

z = yv → 0. Elícono es

A

∞ = 0 (7)

(A por acotado).

76

3.1. Asíntotas

3. Si el acotado es el denominador y el infinito el numerador, el límite será infinito. Bajo lossupuestos del caso 2 anterior,

z

y=1yz

cony

z→ 0 =⇒ z

y→∞.

∞A=∞ (8)

4. Un producto con un factor infinito y el otro que se mantenga alejado de cero, en cambio,tenderá a infinito, ya que el factor alejado de cero no encontrará cómo compensar lagrandeza del otro. Digamos que z se mantiene alejado de 0. Esto es, |z| ≥ ε > 0, ε fijo.Entonces,

¯̄1z

¯̄ ≤M = 1ε es acotado. Ahora

y · z = y · 11z

=y1z

→∞ según se discutió en el caso 3.

Tener inversa acotada es lo mismo que ser la inversa de una acotada. De modo que lasíntesis de este caso se representaría con 1

A ·∞ = ∞,que coincide con (8). Nótese queeste caso implica el caso 1, ya que una función con límite infinito sin duda se mantienealejada de cero.

5. Si un factor tiende hacia cero y el otro hacia infinito, nada se puede afirmar del producto.Es un límite indeterminado, como lo es el ya conocido ícono 0

0 . Esto significa que cadacaso paricular se resuelve atendiendo a sus peculiaridades pero que no hay reglas generales.Si tenemos y → 0, z →∞, z = 1

v con v → 0. Al realizar el producto yz = yv caemos

en el caso 00 .

0 ·∞ = indeterminado. (9)

Ejemplos: limx→∞£1x · x2

¤= limx→∞ x =∞ (0 ·∞ =∞). limx→∞

£1x2· x¤ = limx→∞ 1

x =0 (0 ·∞ = 0). limx→∞

£1x · x

¤= 1 (0 ·∞ = 1) .

6. Si y → ∞, z → ∞ Nada se puede afirmar acerca de yz . En efecto, y =

1u , z =

1v con

u, v → 0 =⇒ yz =

vu , indeterminación del tipo

00 .

∞∞ = indeterminado (10)

Ejemplos: limx→∞ xx2= 0

¡∞∞ = 0

¢, limx→∞ x2

x =∞¡∞∞ =∞¢ , limx→∞ x

x =1¡∞∞ = 1

¢.

Sumas y restas.

1. Un sumando infinito y otro acotado produce una suma infiinita. Si y → ∞ y z estáacotada, y + z = y

³1 + z

y

´. z

y → 0 por (7). Luego 1 + zy se mantiene lejos de 0 y,

por caso 4 de producto, y³1 + z

y

´→∞.

A+∞ =∞ (11)

2. Si y →∞, z →∞ nada se puede afirmar acerca de y+ z.. En efecto, y = 1u , z =

1v con

u, v → 0 =⇒ y + z = 1u +

1v =

u+vuv , indeterminación del tipo 0

0 . Sin embargo, si y y ztienen el mismo signo,

y + z =u+ v

uv=

u¡1 + v

u

¢uv

=1 + v

u

v→∞,

77


pues vu > 0⇒ 1+ v

u se mantiene lejos de cero, y es de aplicación el caso 4 de productos.El signo del límite, está dado por el signo de los sumandos, ya que es aquél de v. latradición recuerda estos dos resultados con una simbología que supone que una variableque tiende a infinito lo hace siempre con un signo determinado y suprime el + delantede ∞

∞+∞ = ∞, (12)

∞−∞ = indeterminado.

Ejemplos:

limx→0¡2x − 1

x

¢= limx→0 1x = ∞ (∞−∞ =∞) , limx→0

¡1x − 1

x

¢= 0 (∞−∞ = 0) ,

limx→0£¡1x + 18

¢− 1x

¤= 18 (∞−∞ = 18)

Ejercicio 3: Calcular los siguientes límites.

1.- limx→0

2x4−1−4x4+x2 2.- lim

x→ 1√π

x2+1πx2−1 3.- lim

x→12x3−xx4−1

4.- limx→−1

2x3−xx4−1 5. -lim

x→(π2 )−£¡

π2 − x

¢tanx

¤

Cuando en un punto a ∈ R hay un límite infinito, el gráfico de la función se acerca haciala recta vertical x = a. Decimos entonces que la recta es una asíntota vertical del gráfico dela función o, directamente, de la función.

Ejemplos:

14. El eje vertical es asíntota de y = 1x . Nótese que los dos límites laterales son de distinto

signo. No es este el caso en y = 1x2 , que también tiene la misma asíntota.

x

y

x

y

fig. 3.6.a. y = 1x fig. 3.6.b. y = 1

x2

78

3.1. Asíntotas

15. En el ejemplo 7, el eje ”y” es asíntota de y = 1 + 1x y la recta x = −4 lo es de

y = 3x−2x+4 . En el ejemplo 8 también hay una asíntota vertical de y = x2−3

2x−4 : la recta x = 2

52.50-2.5

3.75

2.5

1.25

0

-1.25

x

y

x

y

figura 3.7.

16. y = tanx = sinxcosx tiene infinitas asíntotas verticales: los puntos de la forma π

2 + kπ conk entero, en los cuales se anula el denominador.

52.50-2.5-5

10

5

0

-5

-10

x

y

x

y

figura 3.8. y = tanx

79


Ejercicio 4: Encontrar, cuando las haya, asíntotas verticales de las siguientes cur-vas.

1.- y = 7x+23x−2 2.- y = x2−2x+1

x+3 3.- y = 1√x−2

4.- y = 1sinx 5.- y = sin 2x

x2

3.2 Estudio de funciones

Máximos y mínimos

Quizás no haya en la naturaleza una función a la que le prestemos más atención que ala temperatura ambiente. Pensemos en la descripción de este parámetro en el transcurso deun día. Supongamos que medimos el tiempo en horas. Estará representado por una variablet que recorre el intervalo [0, 24]. Los valores correspondientes de la temperatura estaránrepresentados por otra variable, digamos y, que la mide en cierta unidad: oC, por ejemplo.

y = f (t) , 0 ≤ t ≤ 24.Uno puede imaginar cómo, mientras el tiempo recorre de izquierda a derecha el intervalo [0, 24]sin saltearse ningún punto, la temperatura se mueve, también ella sin saltearse puntos, perooscilando, subiendo y bajando, sin salirse de un intervalo. Se puede pensar a la variable y comolas posiciones que va ocupando el punto superior de la columna mercurial de un termómetro.En sus oscilaciones no puede pasar de un punto a otro sin pasar por los intermedios. Además, enalgún instante pasará por una posición que no es superada en altura por ninguna otra (aunquesi puede ser igualada): M, la temperatura máxima. Y en algún otro (o algunos otros) instante,pasará por la posición más baja, la temperatura mínima m. En definitiva, los valores f (t)correspondientes a los valores t ∈ [0, 24] , llenan un intervalo cerrado [m,M ] .¿Qué aspectosnos interesa conocer de esta función? Sin duda los extremos m y M del intervalo que soportalos valores de y y a qué horas fueron alcanzados, ya que ellos representan las temperaturasmáxima y mínima de la jornada. Y también los subintervalos de oscilación de f . Cuándo latemperatura está en aumento y cuándo disminuye. El estudio de estas cuestiones, esto es ladescripción del comportamiento de una función, constituye el objeto de esta sección.

Definición 4. Diremos que una función f alcanza su máximo valor relativo alconjunto S ⊂ Dom(f) en el punto a, si f (a) ≥ f (x) para todo x ∈ S. Elnúmero f (a) es el máximo de f en S [f (a) = max f |S ] . Si S = Dom(f), elmáximo se llama absoluto1. La definición de mínimo es idéntica, cambiando ≥ por≤ . Para decir que f alcanza un máximo o un mínimo en un punto, sin quererespecificar si se trata de uno o de otro, se se dirá que alcanza un extremo.

Los ejemplos que siguen a continuación servirán también como introducción del lenguajeque usaremos. Debemos advertir que este es un tema en el que se ha generado cierta diversidadde lenguaje: no todos llaman a las cosas con el mismo nombre y, peor aún, se llama con elmismo nombre a cosas diferentes. Nosotros haremos nuestro aporte al caos.

1Como siempre se dispone de cierta libertad para considerar arbitrariamente cuál es el dominio de una función,esta definición debe tomarse con el valor "relativo" que posee.

80

3.2. Estudio de funciones

Ejemplos:

10.50-0.5-1

1.5

1

0.5

0

x

y

x

y

Ejemplo 1

107.552.50

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

Ejemplo 2

10.50-0.5-1

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

Ejemplo 3

210-1-2

4

2

0

-2

-4

x

y

x

y

Ejemplo 4

210-1-2

4

3

2

1

0

x

y

x

y

Ejemplo 5

a

b

Ejemplo 6

1. La función y = |x|+ 1 alcanza su mínimo absoluto (que vale 1) en x = 0.

2. La función seno, alcanza su máximo absoluto en π2 . Y también en todos los puntos de la

forma π2 + 2kπ con k entero.

3. y = x tiene su máximo relativo al intervalo (−1, 1] en x = 1. No tiene mínimo relativoa ese intervalo, pues el valor −1 no lo toma; Para cualquier a ∈ (−1, 1] , f (a) no es unmínimo, porque, por ejemplo, f

¡a−12

¢= a−1

2 < a = f (a) . (Piense esto con cuidado)

4. La función aquí graficada, que tiene dominio en el intervalo£−√3,√3¤, no alcanza

máximo ni mínimo. Tiene una discontinuidad en la que toma el valor 0, y a sus ladostiende hacia valores que no alcanza.

5. f (x) =¯̄1x

¯̄no tiene máximo ni mínimo absolutos. Tiene un mínimo relativo al intervalo

(0, 1] en 1, y un máximo relativo a [1,+∞) en 1.

81


6. El gráfico que se muestra en el ejemplo 6 corresponde a una función que está definida en(−∞,+∞) y sigue, hacia los "extremos" del intervalo, la tendencia que muestra la figura.No tiene, en consecuencia, extremos absolutos. Sin embargo..."algo pasa" en los puntosa y b. También se observa un fenómeno similar en el gráfico del ejemplo 4. La próximadefinición recoge esa peculiaridad.

Definición 5. Una función f tiene en un punto a ∈ Dom(f) un máximo localsi existe un intervalo abierto I, a ∈ I ⊂ Dom(f) (esto es un entorno I de a),respecto del cual f tiene un máximo relativo en a. Análoga definición paramínimolocal .

La existencia del concepto de extremo local provoca el contrapunto de llamar globales a losextremos definidos anteriormente. Los extremos locales no requieren la mención de un conjunto,son una propiedad del punto. Un extremo global, en cambio, lo es relativo a un conjunto. Oabsoluto si lo es con respecto a todo el dominio de la función.

¿Cuál es la relación entre extremos locales y extremos globales? El ejemplo 6 muestra unafunción que tiene un máximo local en a y un mínimo local en b, que no son absolutos. Elmáximo relativo mencionado en el ejemplo 3, no es máximo local. Ni aún considerando a lafunción como restringido su dominio a (−1, 1] : la definición de extremo local requiere que elpunto sea interior al dominio. Lo que sí se puede decir es esto:

Teorema 1: Si una función alcanza un extremo global relativo a un conjunto Sen un punto interior a S, entonces la función tiene en ese punto un extremo local.

Digamos de paso que el conjunto S a que se refiere la definición 1 será siempre un intervalo.Cualquier problema de búsqueda de extremos de una función se puede llevar a una búsquedaen un intervalo.

La definición 1 no proporciona ninguna pista para encontrar extremos globales de unafunción. Si se logra adivinar un punto a en el cual se realiza un extremo de f , la definicióndice cómo probar que en ese punto hay efectivamente un extremo. Los extremos locales dela definición 2, en cambio, mirados a través de los gráficos en los ejemplos 2, 4 y 6, sugierenun posible método de búsqueda. En un extremo local, cuando hay recta tangente, ésta eshorizontal (el ejemplo 1 muestra que puede no haber tangente y el 3 que en extremos no localesla tangente puede no ser horizontal).

Teorema 2: Si f alcanza un extremo local en un punto a y es derivable en esepunto, entonces f 0 (a) = 0.

Demostración. Si f tiene un máximo local en a, f (a+ h)− f (a) ≤ 0 para |h|chico. Luego,

f (a+ h)− f (a)

h≤ 0 para h > 0 y

f (a+ h)− f (a)

h≥ 0 para h < 0.

Tomando límites laterales, se deduce que D−f (a) ≥ 0 y D+f (a) ≤ 0. Como fes derivable, debe ser f 0 (a) = 0Si f tuviera un mínimo en a, −f tendría un máximo y entonces −f 0 = 0 ¥

Nótese que la recíproca no vale y la derivada de una función puede anularse en un puntosin que en él haya un extremo local. (y = x3 en x = 0). El teorema da candidatos a extremoslocales.

Ayudados por los dos teoremas, si lo que se busca son los extremos globales de una funciónrelativos a un intervalo, se puede pensar de la siguiente manera: El máximo y el mínimo de la

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función relativos al intervalo se pueden alcanzar en los extremos o en el interior del intervalo. Siun extremo (máximo o mínimo) es alcanzado en el interior del intervalo, entonces es local (teor.1). Luego, o la función no es derivable o la derivada se anula.(teor. 2) Si llamamos puntoscríticos a aquellos donde no existe derivada o la derivada es nula, un máximo o un mínimo sólopuede ser alcanzado en los extremos del intervalo o en un punto crítico.

Uno está tentado a seguir este procedimiento para "pescar" extremos: se buscan todos lospuntos críticos. Si son un número finito se calcula el valor de la función en ellos y en losextremos del intervalo (si es cerrado). El valor más grande es el máximo y el más chico es elmínimo. Eso está bien si existen máximo y mínimo relativos a ese intervalo!. En los ejemplos1 a 6 vimos muchos casos en que no.

Ejemplo 4. (revisitado). La función graficada en el ejemplo 4 responde a estadefinición analítica:

f (x) =

½ ¡x4 − 4x2 + 3¢sg(x) si x ∈ £−√3, 0¢ ∪ ¡0,√3¤0 si x = 0

(Recordamos de la sección 2.2. que sg (x) = x|x|). f es una función definida en

el intervalo cerrado£−√3,√3¤, derivable en el abierto salvo en el origen, donde ni

siquiera es continua.

f 0 (x) =¡4x3 − 8x¢ sg (x) = 4x ¡x2 − 2¢ sg (x) ,

se anula en −√2 y en√2. Según la definición, el conjunto de los puntos críticos

es©−√2, 0,√2ª (el 0 es P.C. porque f no es derivable). Si calculamos el valor de

f en los P.C. y en los extremos del intervalo:

f³−√3´= 0, f

³−√2´= 1, f (0) = 0, f

³√2´= −1, f

³√3´= 0.

Pero en −√2 y√2 sólo hay máximo y mínimo locales. Porque, claramente,

limx→0−

f (x) = −3 y limx→0+

f (x) = 3,

valores que no son alcanzados; pero, cuando x está cerca del 0, f (x) sobrepasapor arriba el valor 1 alcanzado en −√2 y por abajo el valor −1 alcanzado en√2. En este intervalo la función no tiene extremos absolutos, por lo tanto el método

no pudo pescar peces que no estaban en el estanque.

Resulta entonces clara la importancia de saber a-priori si en un intervalo una función alcanzasu máximo y su mínimo. Y aquí conviene recordar el ejemplo de la columna mercurial. Lacondición para que la variable dependiente recorra su imagen sin saltear puntos es la continuidadde la función. El resultado que describe esta situación es un teorema debido a Bolzano2 yWeierstrass3.Su demostración se basa en propiedades de la recta real que nosotros no vamos aestudiar.en este libro, pero mirando los ejemplos, el resultado es convincente:

Teorema 3. (de Bolzano y Weierstrass) Si f es una función continua e I ⊂Dom(f) es un intervalo, entonces f (I) es un intervalo. Si además I es cerrado,entonces f (I) es un intervalo cerrado.

2Bernard Bolzano (1781-1848), matemático, lógico, filósofo y teólogo checo.

3Karl Weierstrass (1815-1897), matemático alemán.

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Del teorema de B-W surge claramente que una función continua en un intervalo cerradoalcanza su máximo y su mínimo. Vamos a explicitarlo:

Corolario 1. Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanzasu máximo y su mínimo en [a, b] .

Demostración. Por el teorema, f ([a, b]) = [c, d] para ciertos c y d. Como todoslos valores f (x) con x ∈ [a, b] están en [c, d] , resulta, para todo x, c ≤ f (x) ≤ d.Pero además [c, d] = f ([a, b]) implica la existencia de dos puntos x1, x2 ∈ [a, b]tales que f (x1) = c y f (x2) = d. Entonces

c = f (x1) = min³f |[a,b]

´y d = f (x2) = max

³f |[a,b]

´¥

La función continua del ejemplo 3 no alcanza su mínimo porque el intervalo se abre en −1.La del ejemplo 4 no alcanza ningún extremo a causa de su discontinuidad. La del ejemplo5, en (−∞,+∞) suma los dos males. Estamos hablando de los fracasos del teorema, perodisfrutaremos de sus éxitos. Saber que una función alcanza sus valores máximo y mínimo esimportante. Para funciones continuas en intervalos cerrados funciona el método para pescarextremos.

Ejemplos:

7. Le quitamos la discontinuidad al ejemplo 4, simplemente borrando la función sg. Ahoraf (x) = x4−4x2+3, e investigamos por sus extremos en el intervalo cerrado £−√3,√3¤ .Como ahora f es continua, sabemos, por el teorema de Bolzano - Weiertrass, que alcanzasu máximo y su mínimo en ese intervalo. Sólo puede alcanzarlos en los extremos o enpuntos críticos. f 0 (x) = 4x

¡x2 − 2¢, de modo que el conjunto de los puntos críticos es

PC =©−√2, 0,√2ª. La evaluación de f en los candidatos da:

f³−√3´= 0, f

³−√2´= −1, f (0) = 3, f

³√2´= −1, f

³√3´= 0.

210-1-2

3

2

1

0

-1

x

y

x

y

figura 3.10

No habiendo otros puntos críticos, se concluye que la función alcanza su máximo valor,3, solamente en el punto x = 0 y su mínimo, −1, en los puntos x = −√2 y x =

√2, y

en ningún otro.

84


8. Supongamos ahora que queremos investigar extremos absolutos de la misma funciónf (x) = x4 − 4x2 +3 en su dominio natural R. Como el dominio es un intervalo abierto,todo extremo absoluto debe ser extremo local. Sólo que ahora, como el intervalo esabierto, no funciona B - W asegurando la existencia de máximos y mínimos. Observamosque limx→∞ f (x) = +∞. Esto asegura que no puede haber máximos absolutos, ya quecualquier valor será superado. La única posibilidad que queda de obtener un extremo esel mínimo. Y debería entonces, por ser necesariamente local, ser el mínimo local halladoen los puntos ±√2. Sabemos que f (x) ≥ f

¡√2¢= −1 en

£−√3,√3¤. ¿Podrá serf (x) < −1 fuera de este intervalo? No. Porque f (x) > 0 allí. Conclusión: f no tienemáximo absoluto y alcanza su mínimo absoluto, que vale −1, en ±√2.

Ejercicios:

5. Determinar máximos y mínimos, locales y globales relativos a los intervalos señalados, delas siguientes funciones.

1. x2 − 2x+ 5 en [−1, 2] 2. 2x2 − 3x− 1 en (−∞,∞)3. 3x2 − x+ 1 en

£16 , 1¢

4. − x2 + 2x+ 2 en (−∞, 0]5. − 2x2 + 3x− 1 en [0, 2] 6. x3 + 2 en [−1, 1]7. x3 − 3x en

£−√3,√3¤ 8. cosx en¡0, 3π2

¢9. sinx+ cosx en (−∞,∞)

6. Probar, usando el teorema 3, y el ejercicio 53 del capítulo 1 que, si f es continua en elintervalo I, entonces

y1, y2 ∈ f (I)⇒ [y1, y2]∗ ⊂ f (I) .

(En la sección 3.4. podrá encontrar este ejercicio resuelto, al igual que el ejercicio 8.)

7. Probar que Rg (sin) = Rg (cos) = [−1, 1] .8. Probar que si f es una función continua en un intervalo y hay dos puntos x1, x2 talesque f (x1) < 0 y f (x2) > 0, entonces existe por lo menos un punto ξ ∈ (x1, x2)∗ talque f (ξ) = 0. (este resultado se conoce habitualmente como Teorema de Bolzano).

9. Si f es continua en un intervalo (a, b) y no se anula en ese intervalo, entonces sg (f)es constante.

Funciones crecientes y decrecientes

Retomando el ejemplo de la temperatura ambiente a lo largo de una jornada, con el quecomenzamos este capítulo, se señaló allí á importancia de identificar los intervalos de tiempodurante los cuales la temperatura aumenta y aquellos en que la misma disminuye. Es clara larelación entre ese problema y la siguiente definición.

Definición 6. f es creciente en el intervalo I si a, b ∈ I y a < b, implicanf (a) ≤ f (b) . si bajo las mismas suposiciones la conclusión es f (a) < f (b) , diremosque f es estrictamente creciente.

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En un lenguaje más llano: la función f es creciente si cada vez que aumenta la variableindependiente la variable dependiente no disminuye. Si el aumento de la v.i. significa tambiénun aumento de la v.d. entonces f es estrictamente creciente. Hacemos notar que sólo definimos(porque sólo nos interesa) función creciente en un intervalo. Análogamente, cuando a < b ⇒f (a) ≥ f (b) , la función es decreciente. Aunque obvio, no es tan fácil escribir la demostraciónde lo siguiente (ver ejercicio 28):

Cuando una función es creciente o decreciente en un intervalo abierto y continuaen el cerrado, conserva las mismas características en el cerrado. Inclusive si lamonotonía4 es estricta.

Cuando digamos "recorrer el gráfico de una función" supondremos que lo estamos haciendoen el sentido natural de la variable independiente: de menor a mayor, o sea de izquierda aderecha. Cuando se recorre el gráfico de una función creciente, no se desciende. Si la funciónes estrictamente creciente, se asciende. Con una estrictamente decreciente, por el contrario, sedesciende.

En una función creciente, los incrementos considerados para el cálculo de la derivada sondel mismo signo: ∆x > 0 ⇒ ∆y ≥ 0 y también ∆x < 0 ⇒ ∆y ≤ 0. Por consiguiente, elcociente incremental es siempre no negativo y así se conservará su límite, si es que existe.

Teorema 4. Si f es una función creciente en un intervalo, en cada punto x deese intervalo en el que sea derivable será f 0 (x) ≥ 0. Si en cambio f es decreciente,será f 0 (x) ≤ 0.

La idea de relacionar el carácter creciente o decreciente de la función con el signo de laderivada es muy interesante. Es generalmente más fácil mirar el signo de la derivada que verificarla definición de creciente. Pero para que el concepto sea realmente útil, lo que se necesita es unteorema recíproco que, cuando veamos que la derivada es positiva en un intervalo, nos permitaasegurar que la función es creciente. Tal teorema vale pero la demostración es más difícil. Ladejaremos para otra sección

Teorema 5. Sea f una función derivable en un intervalo (a, b). Entonces:

f 0 (x) ≥ 0 en (a, b) ⇒ f creciente en (a, b) .

f 0 (x) > 0 en (a, b) ⇒ f eatrictamente creciente en (a, b) .

f 0 (x) ≤ 0 en (a, b) ⇒ f decreciente en (a, b) .

f 0 (x) < 0 en (a, b) ⇒ f estrictamente decreciente en (a, b) .

Corolario. Si f 0 (x) = 0 en (a, b) entonces f es constante en ese intervalo.

Pensando que la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente al gráfico enese punto, las relaciones expresadas en los teoremas 4 y 5 se compadecen perfectamente conla interpretación geométrica de crecimiento y decrecimiento. Todas estas herramientas sonaplicables a mejorar nuestros análisis de máximos y mínimos.

Volviendo sobre la condición f 0 (x0) = 0, que es necesaria para la existencia de un extremolocal en un punto de derivabilidad x0, no tenemos métodos para saber si en ese punto hayefectivamente un extremo y, en caso de haberlo, si se trata de un máximo o de un mínimo. Si setiene un gráfico de la función, estaremos convencidos de que en el punto de tangente horizontalx0 hay un mínimo si observamos que el gráfico desciende hasta llegar a ese punto y luego

4Se dice que una función es monótona en un intervalo cuando se quiere decir que es creciente o decreciente,sin especificar cuál de las dos.

86


comienza a ascender. Simétricamente, un máximo está precedido por un ascenso y seguido deun descenso

gráfico ascendente

gráfico ascendente

gráfico descendente

Punto de máximo

Punto de mínimo

figura 3.11

Hay cuatro maneras en que la derivada f 0 puede anularse en el punto x0.

a. Pasando de f 0 (x) < 0 para x < x0 a f 0 (x) > 0 para x > x0.

b. Pasando de f 0 (x) > 0 para x < x0 a f 0 (x) < 0 para x > x0.

c. Tocando el 0 en x0 pero permaneciendo positiva a su alrededor.

d. Tocando el 0 en x0 pero permaneciendo negativa a su alrededor.

Cada una de estas maneras conduce, según se acaba de explicar, a cuatro comportamientosdistintos para la función f en x0:

a. Mínimo local en x0.

b. Máximo local en x0.

c. Gr (f) ascendente en un intervalo con tangente horizontal en x0.

d. Gr (f) descendente en un intervalo con tangente horizontal en x0.

a. b. c. d.

( )0' >xf

( ) 0' <xf

f

figura 3.12

87


Ejemplos:

9. f (x) = x3 − 3x. Buscamos extremos locales y absolutos e intervalos de crecimiento -decrecimiento.

f 0 (x) = 3x2 − 3 = 3 (x+ 1) (x− 1). El análisis del signo de f 0 es sencillo: f 0 < 0 en(−1, 1) y f 0 > 0 en (−∞,−1) y en (1,+∞) . Por lo tanto, el cero de f 0 en −1 esdel tipo b. mientras que el cero en 1 es del tipo a. La función f decrece en el intervalo(−1, 1) y crece en los intervalos (−∞,−1) y (1,+∞) . En consecuencia, hay un máximolocal en 1 y un mínimo local en −1. No existen extremos absolutos ya que

limx→−∞ f (x) = −∞ y lim

x→+∞ f (x) = +∞.

El análisis del signo de f 0 en los intervalos que separa sus ceros (esto es (−∞,−1) , (−1, 1)y (1,+∞), podría hacerse usando el ejercicio 9. En cada uno de los tres intervalos elsigno es constante, por lo tanto, chequeando el valor de f 0 en un punto cualquiera, sesabe su signo en todo el intervalo. Por ejemplo, f 0 (0) = −3⇒ f 0 < 0 en (−1, 1) .

10. y = x3 es el ejemplo clásico de punto crítico del tipo c. La derivada 3x2 se anula enel origen conservándose positiva a ambos lados. La función es estrictamente creciente en(−∞,+∞) . ¿Por qué? Por supuesto, y = −x3 es el ejemplo de tipo d.

11. Hemos visto que limx→0 sinxx = 1. entonces la función

f (x) =

½sinxx si x 6= 01 si x = 0

es continua en R. Además es derivable en R−{0} con f 0 (x) = x cosx−sinxx2

. Si quisiéramosaveriguar la derivabilidad en el origen, deberíamos calcular el límite del cociente incre-mental,

limh→0

f (0 + h)− f (0)

h= lim

h→0

sinhh − 1h

= limh→0

sinh− h

h2.

Hasta que aprendamos a calcular este límite, miremos las gráficas de f y f 0 generadaspor el ordenador.

x

y

x

y

π

π6 2z

1z

figura 3.13

Las gráficas parecen indicar que existe f 0 (0) = 0. Pero,

88


i. no sabemos resolver la ecuación de los ceros de f 0: x cosx− sinx = 0, equivalente atanx = x.

ii. Sí sabemos encontrar los ceros de f : sinx = 0 ⇔ x = kπ con k ∈ Z− {0}, ysabemos que entre dos ceros el signo de f se mantiene constante (ejercicio 9)

iii. Si llamamos ... − z2,−z1, z0 = 0, z1, z2, ... a los ceros de f 0, en esos puntos ftiene extremos locales. Entre dos de ellos consecutivos tendremos un intervalo decrecimiento o de decrcimiento de f (nuevamente por el ejercicio 9)

iv. ¿Sabemos probar que f es creciente en (−π, 0) y decreciente en (0, π), para concluirque en 0 hay un máximo local?

v. ¿Sabemos probar que sinxx < 1 para x 6= 0, y por lo tanto f tiene un máximo

absoluto en 0?

Muchas veces es mejor tener preguntas que respuestas.

Ejercicios:

10. Para cada una de las siguientes funciones determinar los intervalos donde es creciente yaquellos donde es decreciente.

1. f (x) = x3 + 1 2. f (x) = x2 − x+ 53. f (x) = x3 + x− 2 4. f (x) = −x3 + 2x+ 15. f (x) = 2x3 + 5 6. f(x) = 5x2 + 17. f (x) = −4x3 − 2x 8. f (x) = 5x3 + 6x

11. Usar el comportamiento de la función en intervalos contiguos para determinar si los puntoscríticos corresponden a máximos o mínimos locales o ninguno de los dos.

1. y = x3 − 2x2 + 3x+ π 2. y = 2x4 − 4x2 + 53. y = sinx 4. y = x3 − 3x

12. Para cada una de las funciones siguientes

a) Hallar el máximo y el mínimo en el intervalo dado.

b) Hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento.

1. (x− 1)1/3 + 12 (x+ 1)

2/3 [−2, 7] 2. x2/5 + 1 [−1, 1]13. Se va a fabricar una caja sin tapa con una base cuadrada y una superficie constante C.

Determinar los lados de la caja si el volumen ha de ser máximo.

14. Un recipiente en forma de cilindro sin tapa superior ha de tener un área de superficie fijaC. Hallar el radio de su base y su altura si ha de tener un volumen máximo.

15. Resolver los dos problemas anteriores cuando la caja y el recipiente están cerrados porarriba. (El área de un círculo de radio x es πx2 y su longitud es de 2πx. El volumen deun cilindro de altura y y cuya base tiene radio x es πx2y.)

16. Demostrar que entre todos los triángulos de área dada, el triángulo equilátero es el demenor perímetro.

89


Comparación de funciones

Si f (x) < g (x) para todo x en un intervalo I, diremos que f < g en I. Análogamentese definen el resto de las desigualdades: >,≤,≥ . Si f (a) ≤ g (a) en el extremo izquierdo deun intervalo y f no crece más que g, es de esperar que la desigualdad se mantendrá en todoel intervalo.

Teorema 6. Si f, g son funciones continuas en [a, b) y derivables en (a, b), siademás f (a) ≤ g (a) y f 0 ≤ g0 en (a, b) entonces f ≤ g en [a, b) . Si f 0 < g0

en (a, b) entonces f < g en (a, b) .Análogamente,si f (b) ≤ g (b) en el extremoderecho y g0 ≤ f 0 en (a, b), entonces f ≤ g en (a, b], con la desiguldad estricta en elcaso correspondiente.

Demostración. Se considera la función g−f.De las hipótesis sigue que (g − f) (0) ≥0 y que (g − f)0 = g0 − f 0 ≥ 0 en (a, b) , luego (g − f) es creciente en ese inter-valo.y por lo tanto también en [a, b) . En consecuencia, para todo x, (g − f) (x) ≥(g − f) (a) ≥ 0. Esto es, f (x) ≤ g (x) para x ∈ [a, b) . La demostración de ladesigualdad estricta queda a cargo del lector. Para la comparación en el extremoderecho, aplicar el resultado ya probado a f (−x) y g (−x) ¥

a ab b f f

g g

figura 3.14

Ejemplos.

12. Tomar f (x) = sinx y g (x) = x en [0,+∞) . Como sin 0 = 0 y sin0 x = cosx ≤ 1 =g0 (x), se deduce que sinx ≤ x para x ≥ 0.Como una consecuencia, resulta sinx

x ≤ 1 para x > 0. Para x < 0 la desigualdadpermanece por tratarse de una función par (luego simétrica). Queda con esto zanjada lapregunta v. del ejemplo 11.: sinxx tiene un máximo absoluto en x = 1.

13. Consideremos la función ddxsinxx = x cosx−sinx

x2 , por cuyo signo en el intervalo (0, π)nos interrogábamos en el ejemplo 11 (iv). Ya que el denominador es positivo, bastaconsiderar f (x) = x cosx− sinx, y compararla contra g (x) = 0. f (0) = 0 y f 0 (x) =cosx − x sinx − cosx = −x sinx < 0 en (0, π) . Sigue del teorema 6 que f < 0 en(0, π) , y de allí que sinx

x es decreciente en ese intervalo.

90


Ejercicios.

17. Probar que tanx > x si 0 < x < π/2.

18. Probar que

t+1

t≥ 2 para t > 0

(Ver qué pasa a ambos lados de 1).

Convexidad - concavidad

Un ingrediente más será útil para hacer el gráfico aproximado de una función. Suponga queusted viene transitando a lo largo del gráfico de una función, en el sentido natural: según crecela x. Salvo que se encuentre en un tramo recto, usted estará en una curva que gira hacia laizquierda o hacia la derecha. Hacia el lado que gira, la carretera va envolviendo una concavidady hacia el otro va dejando una convexidad (si estas palabras no son de su lenguaje corriente,hay un truco para recordarlas: concavidad = con cavidad).

Giro hacia la izquierda.

Concavidad hacia arriba

Giro hacia la derecha.

Concavidad hacia abajo. Punto de

inflexión

Sentido de avance

figura 3.15

Cuando la curva gira hacia la izquierda, las rectas tangentes en los sucesivos puntos tambiénvan girando hacia la izquierda y por lo tanto sus pendientes van creciendo. De igual modo, al

91


girar hacia la derecha las pendientes de las sucesivas tangentes disminuyen.

1x 2x

Concavidad hacia arriba. ⇒< 21 xx pendiente de la tangente en 1x

menor que la pendiente de la tangente en 2x

1x 2x

Concavidad hacia abajo. ⇒< 21 xx pendiente de la tangente en 1x

mayor que la pendiente de la tangente en 2x

figura 3.16

Por lo tanto, si la función f de quien la curva es el gráfico es derivable en todo el intervalo,tendremos la siguiente asociación:

• Concavidad hacia arriba = f 0 creciente.

• Concavidad hacia abajo = f 0 decreciente.

Cuando existe derivada segunda, el signo de ésta es un dato para determinar el caráctercreciente o decreciente de la derivada primera. En este caso,

• f 00 ≥ 0 en (a, b)⇐⇒ f cóncava hacia arriba en (a, b) .

• f 00 ≤ 0 en (a, b)⇐⇒ f cóncava hacia abajo en (a, b) .

Si f es cóncava hacia arriba y hacia abajo en dos intervalos contiguos y la derivada segundaexiste y es continua en la unión de ambos, ella pasa de positiva a negativa y debe anularse enel punto fronterizo. En este punto se dice que la función tiene un punto de inflexión. Cuandoexiste derivada segunda, ésta se anula en los puntos de inflexión. No es cierto, sin embargo, quesiempre que se anula la derivada segunda hay un punto de inflexión (ver ejemplo )

Ejemplos:

14. Veamos nuevamente la función del ejemplo 8. f (x) = x4 − 4x2 + 3. Ya sabemos quef 0 (x) = 4x3 − 8x. Ahora f 00 (x) = 12x2 − 8 = 12

³x−

q23

´³x+

q23

´. Usando el

teorema de Bolzano y testeando los valores de f 00 en un punto de cada intervalo,f 00 (−1) = f 00 (1) = 4 > 0 ∧ f 00 (0) = −8 < 0 =⇒ f cóncava hacia arriba en³−∞,−

q23

´y en

³q23 ,+∞

´, y f cóncava hacia abajo en

³−q

23 ,q

23

´. En los dos

puntos de anulación de la derivada segunda la función cambia el sentido de su concavidady por lo tanto se trata de puntos de inflexión

92

3.3. El teorema de unicidad

15. Volvamos al ejemplo 16. de la sección 3.1. y = tanx, dydx =1

cos2 x, d

2ydx2

= 2 sinxcos3 x

= 0 parax = kπ con k entero. Es fácil ver que

d2y

dx2> 0 en

³kπ, kπ +

π

2

´y

d2y

dx2< 0 en

³kπ − π

2, kπ

´.

De modo que, para cada k ∈ Z, se distinguen dos intervalos contiguos ¡kπ − π

2 , kπ¢

y¡kπ, kπ + π

2

¢donde f pasa de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. En los

puntos de frontera kπ hay un ounto de inflexión. En cambio, en la separación entredos de estas duplas de intervalo, que son los puntos de la forma kπ + π

2 la tangente esdiacontinua con asíntota vertical y no se considera que haya punto de inflexión.

Ejercicios

19. Para las siguientes funciones, estudiar intervalos de concavidad - convexidad, puntos deinflexión y máximos y mínimos locales. Trazar gráficos aproximados.

1.- 3x2 − 3x− 6 2.- −x2 + 2x− 4

3.- −2x3 − 3x+ 5 4.- 2x3 − 9x2 + 12x

5.- x4 − x2 + 1 6.- x5 + x

20. Determinar todos los puntos de inflexión de sinx y de cosx.

21. Para la funciónf (x) = x4 − 8x2 + 16

(a) Demostrar que f tiene exactamente dos puntos de inflexión.(b) Trazar la gráfica de f . Deteminar explícitamente los puntos críticos. Determinar las

regiones de convexidad-concavidad.

22. Considerando los siguientes aspectos:

(i) Puntos críticos. Máximos y mínimos locales.(ii) Intervalos de crecimiento - decrecimiento.(iii) Puntos de inflexión.(iv) Intervalos de convexidad - concavidad.(v) Asíntotas.(vi) Intersecciones con ejes y asíntotas.

Trazar gráficas de las curvas que se indican a continuación.

1.− y = x2+2x−3 2.− y = x+1

x2+13.− y = 2x−3

3x+1

4.− y = x+ 3x 5.− y = x2√

x+16.− y = x+1

x2+5

7.− y = x2−1x2−4

93


3.3 El teorema de unicidad

Volvemos sobre el corolario del teorema 5. Es claro que si f 0 = g en un intervalo, no es fla única función con esa propiedad. Basta tomar h (x) = f (x) + c con cualquier constante cpara que h0 (x) = f 0 (x) = g (x) . Pero del corolario del teorema 5 se infiere que esa es la únicamanera de tener dos funciones con la misma derivada: una y otra difieren en una constante.Dada una función g definida en un intervalo, no sabemos si existe alguna f tal que f 0 = gpero si existe alguna existen infinitas, difiriendo dos cualesquiera de ellas en una constante.Esto es:

Si y = F (x) y y = G (x) son dos soluciones de la ecuación diferencial

dy

dx= f (x) , a < x < b,

entonces existe una constante C tal que

G (x) = F (x) + C, a < x < b.

En efecto, (G− F )0 (x) = G0 (x)− F 0 (x) = f (x)− f (x) = 0 para todo x ∈ (a, b).Luego, por el corolario del teorema 5, G − F es constante en el intervalo. Por lotanto existe una constante C tal que G− F = C. Esto es, G = F + C.

Ejemplos.

1. Una función constante queda determinada sabiendo su valor en un punto. Por eso en elPVI1 de la sección 2.6., del cual sabemos encontrar la solución, podemos aseverar queésta es única.

PVI1

½s0 (t) = v0 + at, 0 < t <∞s (0) = x0

s (t) continua en [0,+∞) .Si s1 y s2 son dos soluciones, s1 − s2 es constante, digamos s1 − s2 = c. Pero por la

continuidad en 0, limt→0+ [s1 (t)− s2 (t)] = s1 (0)− s2 (0) = x0 − x0 = 0. Por otra parte,limt→0+ [s1 (t)− s2 (t)] = limt→0+ c = c. Luego c = 0 y s1 = s2.

2. Consideramos ahora el PVI2 de la sección 2.6 le asociamos el problema homogéneo PH:

PVI2

u00 + ω2u = 0u0 (0) = Au (0) = B

PH

u00 + ω2u = 0u0 (0) = 0u (0) = 0

1.- Si u, v son dos soluciones de PVI2 su diferencia es solución de PH. (verifíquelo)2.- Pero PH sólo admite la solución trivial u = 0. En efecto, si multiplicamos la ED por2u0, obtenemos

2u0u00 + 2ω2u0u =h¡u0¢2+ ω2u2

i0= 0.

Luego, (u0)2 + ω2u2 es constante. Para obtener su valor basta calcularla en t = 0, yusando las CI resulta (u0)2 + ω2u2 = 0 para todo valor de t. Como ambos términosson no negativos, se deduce que deben ser nulos los dos. En particular, u2 = 0 y, porconsiguiente, u = 0.3.-Se concluye que PVI2 tiene solución única. (aquella que se encontró en el ejercicio 39del práctico 4)

94

3.4. Las demostraciones

Ejercicios.

23. Mostrar que la condición f 0 = 0 en un conjunto S no basta para afirmar que f esconstante si S no es un intervalo.

24. Suponer que f es una función diferenciable de t.

(a) Si f 0 (t) = −3 para todo t ∈ R, ¿Qué pueden decir acerca de f (t) ?(b) Y si f 0 (t) = −3 y f (0) = 1?

25. Supongamos que existen dos soluciones, f y g de la ecuación diferencial

dy

dx= y, x ∈ R,

y que f (x) 6= 0 para todo x. Demostrar que existe una constante C tal que g = Cf.Hint. Diferenciar el cociente g/f .

26. Una partícula se mueve sobre el eje x hacia la derecha a velocidad constante de 7m/seg.Si al instante t = 9 la partícula está a una distancia de 2m a la dereche del origen, hallarsu posición en función de t.

3.4 Las demostraciones

Teorema de Bolzano

La primera parte del teorema 3 implica que una función continua toma todos los valoresintermedios. Lo explicitaremos como corolario, para facilitar su referencia. Comúnmente esteresultado se menciona como teorema de Bolzano.

Corolario 2 (del teorema 3). Si f es continua en el intervalo [a, b], y c ∈(f (a) , f (b))∗, existe ξ ∈ (a, b) tal que f (ξ) = c.

Demostración. Por el teorema, f ([a, b]) es un intervalo. Además, f (a) , f (b) ∈f ([a, b]). Sigue del ejercicio 53 en el capítulo 1 que [f (a) , f (b)]∗ ⊂ f ([a, b]). Luegoc ∈ f ([a, b]) y, por lo tanto, existe ξ ∈ [a, b] tal que f (ξ) = c. Además, a 6= ξ 6= b

95


porque f (ξ) = c y f (a) 6= c 6= f (b) . Entonces ξ ∈ (a, b) ¥

a 1ξ 2ξ 3ξ b

( )af

c

( )bf

figura 3.17

Ejemplos.

1. Una lectura posible de este corolario es la siguiente: si a, b ∈ Dom(f) con f continua,entonces [f (a) , f (b)]∗ ⊂ Rg (f) .

2. Si f es continua en [a, c) y limx→c− f (x) = +∞ entonces [f (a) ,+∞) ⊂ Rg (f) .Para probar esta afirmación, bastará ver que, para todo M > f (a) , [f (a) ,M ] ⊂ Rg (f).Pero si f (x) → +∞ es posible encontrar b ∈ (a, c) tal que f (b) > M (ver ejercicio27). Ahora, usando el ejemplo 1,

[f (a) ,M ] ⊂ [f (a) , f (b)] ⊂ Rg (f) .

3. Existencia de raíces n−ésimas. f (x) = xn es continua en [0,+∞) y además, f (0) =0, limx→+∞ f (x) = +∞. Sigue del ejemplo 2. que [0,+∞) ⊂ Rg (f) . Esto es, que paracada número no negativo y, existe x ≥ 0 tal que xn = y. Si n es impar es fácil verque también existen raíces n-ésimas de números negativos.

4. Si f es continua en [a, b] y, digamos, f (a) < 0 mientras que f (b) > 0, el teoremade Bolzano puede ser usado para aproximar una raíz de la ecuación f (x) = 0. Se evalúaf¡a+b2

¢y:

• f¡a+b2

¢< 0 =⇒ f tiene un cero en

¡a+b2 , b

¢• f

¡a+b2

¢> 0 =⇒ f tiene un cero en

¡a, a+b2

¢En ambos casos hemos encerrado una raíz en un intervalo de longitud mitad que el inicial.Iterando n veces el procedimiento encerraremos una raíz en un intervalo de longitud b−a

2n .

El teorema del valor medio

Si se considera una curva descripta paramétricamente (ver vector tangente en sección 2.5):½x = f (t)y = g (t)

, a ≤ t ≤ b,

96


los extremos de la misma tienen coordenadas (f (a) , g (a)) , (f (b) , g (b)) . Luego, la pendientede la cuerda que los une es

m1 =g (b)− g (a)

f (b)− f (a).

Por su parte, el vectoe tangente en un punto interior de la curva, (f (t) , g (t)) , es (f 0 (t) , g0 (t)).En consecuencia, la pendiente de la recta tangente en ese punto será

m2 =g0 (t)f 0 (t)

.

( ) ( )agbg −

( )τ'f

( )τ'g

( ) ( )afbf −

figura 3.18

Decir ahora que la cuerda es paralela a la tangente en un punto intermedio de la curva espostular la existencia de un número τ ∈ (a, b) para el cual se verifica la igualdad

g (b)− g (a)

f (b)− f (a)=

g0 (τ)f 0 (τ)

. (13)

La prueba de este resultado es el objeto de esta sección.Ya que de paralelas entre cuerdas y tangentes se trata, comenzaremos con el resultado básico

en esa dirección. En realidad, toda la dificultad técnica está en demostrar que hay una tangenteparalela a la cuerda en alguna situación simple. Luego los trucos son sencillos.

Teorema 7 (Rolle5)

Sea f una función continua en [a, b] y derivable en (a, b) . Supongamos además quela cuerda entre los extremos del gráfico de f es horizontal, esto es, que f (a) = f (b) .Entonces existe un punto interior ξ ∈ (a, b) tal que f 0 (ξ) = 0 (O sea que la tangente

5Michel Rolle (1652-1716), matemático francés

97


al gráfico es horizontal)

a bξ

Gr(f)tangente

cuerda ( ) ( )bfaf =

figura 3.19

Demostración. Según el corolario 1 del teorema 3 (Bolzano - Weierstrass),.lafunción f alcanza su máximo y su mínimo en el intervalo cerrado [a, b] . Si algunode los dos es alcanzado en un punto interior entonces la derivada en ese punto debeanularse (teoremas 1 y 2). Caso contrario, el máximo y el mínimo son alcanzados enlos extremos del intervalo, pero como f toma el mismo valor en ambos extremos,se deduce que el máximo y el mínimo son iguales. Esto sólo es posible si f esconstante. Pero en tal caso f 0 (x) = 0 para todo x ∈ (a, b) ¥

La fórmula 13 es el centro del teorema del valor medio. Pero, para tener sentido, requiereque f (a) 6= f (b) . Con un pasaje de términos se evita el problema.

Teorema 8. (del valor medio de Cauchy6)

Sean f y g funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b) . Entonces existeun punto ξ ∈ (a, b) tal que

[g (b)− g (a)] f 0 (ξ) = [f (b)− f (a)] g0 (ξ) (14)

Demostración. Bastará considerar la función

Φ (x) = [g (b)− g (a)] f (x)− [f (b)− f (a)] g (x) .

y verificar que cumple con las hipótesis del teorema de Rolle:

Φ (a) = g (b) f (a)− g (a) f (a)− f (b) g (a) + f (a) g (a) = f (a) g (b)− f (b) g (a) .

Φ (b) = g (b) f (b)− g (a) f (b)− f (b) g (b) + f (a) g (b) = f (a) g (b)− f (b) g (a) .

Luego, Φ (a) = Φ (b) . Obviamente Φ es continua en [a, b] y derivable en (a, b).Por lo tanto, para algún punto ξ ∈ (a, b) , debe ser Φ0 (ξ) = 0. Pero Φ0 (ξ) =[g (b)− g (a)] f 0 (ξ)− [f (b)− f (a)] g0 (ξ) = 0⇒(14) ¥

Para obtener (13) a partir de (14) es necesario que no se anulen los denominadores. Paraello se debe agregar una hipótesis:

Corolario 1. Con las hipótesis del teorema, si además f 0 no se anula en (a, b),entonces existe un punto τ ∈ (a, b) para el cual se verifica (13).Demostración. Sólo se debe verificar que tampoco se anula f (b)− f (a) . Pero siesto ocurriera, por el teorema de Rolle habría un punto donde se anula la derivada,cosa que estamos suponiendo que no ocurre.

6Augustin Louis Cauchy (1789-1857), matemático francés.

98


Tomando f (x) = x, la curva se convierte en (x, g (x)) , que es el gráfico de la función g.En ese caso, el teorema toma una forma más sencilla y también la interpretación geométrca.

a bξ

( )af

( )bf

figura 3.20

Corolario 2. (Lagrange7) Si g es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entoncesexiste un punto ξ ∈ (a, b) tal que

g (b)− g (a)

b− a= g0 (ξ) .

El teorema del valor medio de Lagrange es la herramienta que necesitamos para completarla demostración del teorema 4.

Demostración del teorema 4. Bajo la hipótesis de que f 0 ≥ 0 en (a, b) debemosdemostrar que f es creciente en ese intervalo. Sean a < x1 < x2 < b. Debemosprobar que f (x1) ≤ f (x2) . Como f es derivable en (a, b) , verifica las hipótesisdel teorema de Lagrange en [x1, x2] . Luego,

f (x2)− f (x1)

x2 − x1= f 0 (ξ) ≥ 0

para algún ξ ∈ (x1, x2) . Como x2 − x1 > 0, debe ser f (x2) − f (x1) ≥ 0. Si f 0

fuera estrictamente positiva en el intervalo, sería f 0 (ξ) > 0. Entonces la conclusiónsería f (x2)− f (x1) > 0, de donde sigue que f es estrictamente creciente.La prueba de los casos f 0 ≤ 0, f 0 < 0 es totalmente análoga ¥

Funciones convexas

Retomamos el tema concavidad - convexidad de la sección 3.2. Por razones que no viene alcaso profundizar, en el lenguaje matemático se llama convexas a las funciones cóncavas haciaarriba. Este concepto no requiere derivabilidad, por ejemplo la función |x| es convexa. Pero anosotros sólo nos interesa estudiar la convexidad en relación con las propiedades de la derivada.Por eso adoptaremos una definición en este contexto.

Recordamos de la sección 2.3. (fórmula (3)) que la recta tangente al gráfico de la funciónf en el punto x0 es el gráfico del polinomio de grado 1

x0 (x) = f (x0) + f 0 (x0) (x− x0) . (15)

Naturalmente, x0 (x0) = f (x0) .

7Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), matemático francés.

99


Definición 7. La función f , derivable en (a, b) , es convexa (estrictamente con-vexa) en ese intervalo si dado x0 ∈ (a, b), x0 (x) ≤ f (x) para todo x ∈ (a, b)(respectivamente, x0 (x) < f (x) para todo x ∈ (a, b) , x 6= x0).

0x0

Gr xl

fGr

figura 3.21

Teorema 9. Si la función derivable f es convexa en un intervalo, entonces f 0 escreciente en ese intervalo. Si la convexidad es estricta, f 0 es estrictamente creciente.Demostración. Dados dos puntos x1, x2 en el intervalo, f (x2) ≥ x1 (x2) yf (x1) ≥ x2 (x1) . Usando (15),

f (x2) ≥ f (x1) + f 0 (x1) (x2 − x1) , (16)

y f (x1) ≥ f (x2) + f 0 (x2) (x1 − x2) ,

de donde − f (x2) ≥ −f (x1)− f 0 (x2) (x2 − x1) . (17)

Sumando (16) con (17) viene

0 ≥ £f 0 (x1)− f 0 (x2)¤(x2 − x1) ,

o, lo que es lo mismo, £f 0 (x2)− f 0 (x1)

¤(x2 − x1) ≥ 0.

Esta es la condición para que f 0 sea creciente. Para la convexidad estricta, lacuenta es la misma cambiando adecuadamente las desigualdades ¥

Si la derivada segunda de la función convexa existe, será no negativa (No se puede asegurarpositividad estricta en todos los puntos aún en el caso en que la función sea estrictamenteconvexa, por ejemplo y = x4). Recíprocamente, derivada segunda positiva en todo el intervaloimplica convexidad.

Teorema 10. Si existe la derivada segunda en el intervalo (a, b) ,

f 00 ≥ 0 en (a, b) =⇒ f convexa en (a, b)

f 00 > 0 en (a, b) =⇒ f estrictamente convexa en (a, b) .

Demostración. Fijado un punto x0 ∈ (a, b), debemos comparar f con x0

para establecer la desigualdad x0 ≤ f . Esto se hace en dos pasos, en los intervalos(x0, b) y (a, x0), usando las técnicas de comparación del teorema 6.ya que x0 (x0) =f (x0) . Para establecer que x0 ≤ f en (x0, b), se requiere que 0

x0 ≤ f 0 en eseintervalo. Pero, de acuerdo con la definición (15), 0

x0 (x) = f 0 (x0) . Ahora, f 00 ≥ 0en (a, b) implica que f 0 es creciente y, para x > x0, será f 0 (x) ≥ f 0 (x0) =0x0 (x) . Para probar que x0 ≤ f en (a, x0) se usa la otra mitad del teorema6. Las desigualdades estrictas necesarias para la convexidad estricta también estánprevistas en el citado teorema ¥

100

3.5. Complementos

3.5 Complementos

Notas

En la sección 2.2. se presentó el concepto de límite y se lo caracterizó con seis propiedadesbásicas. En el ejemplo 5 se presentaron un par de funciones que no tenían límite (en realidadahora diríamos que se trata de límites infinitos) y el ejemplo 6 mostró a la función sin 1x , queno tiene en el origen límites ni infinitos ni laterales. Nada parecido puede pasar con una funciónmonótona en un intervalo. En este caso siempre existen límites laterales y las discontinuidadessólo pueden ser de "salto finito". Una prueba de esta afirmación requiere una definición formalde límite y alguna descripción de propiedades de los números reales que en este nivel no estamosmanejando. Pero se trata de un hecho intuitivamente evidente y lo aceptaremos como la séptimapropiedad del límite:

7. Si f es una función monótona en un intervalo (a, b), entonces existen los límites laterales

limx→a+

f (x) y limx→b−

f (x) .

Ejercicios

*27. Demostrar:

(a) Si la función f es creciente en (a, b) entonces, para todo c ∈ (a, b), limx→a+ f (x) ≤f (c) ≤ limx→b− f (x). Si f es decreciente las desigualdades se invierten y si f esestrictamente monótona las desigualdades son estrictas.

(b) Si f es creciente en (a, b) y c ∈ (a, b), entonces limx→c− f (x) ≤ f (c) ≤limx→c+ f (x) . Para f decreciente valen desigualdades inversas.

(c) Si f es creciente en (a, b) y c ∈ (a, b), entonces, para a < x1 < c < x2 < b,

f (x1) ≤ limx→c−

f (x) ≤ f (c) ≤ limx→c+

f (x) ≤ f (x2) .

Y si f es estrictamente creciente,

f (x1) < limx→c−

f (x) ≤ f (c) ≤ limx→c+

f (x) < f (x2) .

Obvias modificaciones para el caso decreciete.

*28. Si f es creciente en (a, b) y continua en [a, b] , entonces f es creciente en [a, b]. Estoes, ∀x ∈ (a, b) , f (a) ≤ f (x) ≤ f (b). Si el crecimiento de f en (a, b) es estricto, elcrecimiento en [a, b] también resulta estricto: ∀x ∈ (a, b) , f (a) < f (x) < f (b) .

*29. Si limx→c f (x) = ∞, dado M > 0, en cualquier entorno reducido de c es posibleencontrar un x tal que |f (x)| > M .Hint. Usar ejercicio 30 del capítulo 2.

30. Si f es una función convexa y en algún intervalo es creciente o en algún punto esf 0 (x) > 0, entonces limx→+∞ f (x) = +∞. Estudiar propiedades similares en −∞ ypara funciones cóncavas.

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