BULOVA PREKIDAČKA ALGEBRA

Osnovna pravila i aksiomi Bulove algebreZakoni Bulove algebre

Kodovanje logičkih stanjaMetode minimizacije i sinteze prekidačkih

funkcija

Osnovna pravila i aksiomi Bulove algebre

Zakoni formalno-logičkog mišljenja i zaključivanja zasnivaju se na tvrđenju koje može biti istinito ili neistinito ali nikada delimično istinito ili neistinito.

1854. godine engleski matematičar Džordž Bul je prvi predložio da se ovi zakoni opišu algebarskim relacijama.Tako se rađa nova matematička disciplina popolarno nazvana Bulova algebra.

AKSIOMI I OSNOVNA PRAVILA Ako sa S označimo skup promenjljivih X, Y, Z,...

i na njemu definišemo dve binarne operacije koje se označavaju znakom + i znakom · onda možemo definisati aksiome Hantingtona.

Osnovna pravila i aksiomi Bulove algebre

Ovi aksiomi predstavljaju osnov Bulove algebre. One daju svojstva komutativnosti , neutralnog elementa i inverznog elementa na ove dve interne operacije.

A-1 Komutativnost X + Y = Y + X X· Y = Y· X

X · (Y+Z) = (X · Y) +(X · Z)

X + (Y · Z) = ( X + Y) · (X +Z)

A-2 Neutralni element X + 0 =X X · 1 = X

A-3 Inverzni element X + X = 1 X · X = 0

Zakoni Bulove algebre

Iz navedenih aksioma Bulove algebre izvode se teoreme koje

se dokazuju pomoću istih aksioma. Navešćemo tri teoreme koje se koriste:

T-1 Teorema o idempotentnosti X + X = X X · X = X

T-2 Teorema o nultim elementima X + 1 = 1 X · 0 = 0

T-3 Teorema o apsorpciji X + (X · Y) =X X · (X + Y ) = X

T-4 Teorema o asocijativnosti X + (Y +Z) = (X + Y ) + Z

X · (Y + Z) = (X · Y ) · Z

T-5 De Morganovi zakoni (X+Y) = X · Y (X · Y) = X + Y

T-6 Teorema o involuciji X = X ¯

Kodovanje logičkih stanja

U algebri logike sve promenjljive imaju samo dve vrednosti a to su 0 i 1. Zato elektronska kola imaju dva logička stanja za koja koriste kontakte sa dva položaja a to je otvoren i zatvoren.

Otvoren kontakt se označava kao X=1 a zatvoren kontakt kao X=0.

Ako je redna veza kontakata onda se ostvaruje funkcija konjukcije tj. I funkcije a za paralelnu vezu kontakata imamo funkciju disjunkcije tj. ILI funkcije.

X X Y Y Z= X · Y

Z = X + Y

X Y Z

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

X Y Z

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Kodovanje logičkih stanja

Kodovanje logičkih stanja u

poluprovodničkim kolima može se vršiti pomoću naponskih nivoa.

Ako se usvoji da je logička jedinica na višem a logička nula na nižem naponskom nivou onda se to naziva pozitivna logika.

Ako se usvoji da je logička jedinica na nižem a logička nula na višem naponskom nivou onda je to negativna logika.

Ukoliko nije naglašeno koristi se pozitivna logika, gde se naponski nivo od +5V koduje kao logička jedinica (“1”) a nulti naponski nivo 0V kao logička nula (“0“).

Metode minimizacije Ako treba praktično realizovati neku

funkciju onda je treba dovesti na oblik da broj elemenata za realizaciju bude minimalan.Taj postupak se zove minimizacija prekidačkih funkcija.Teoreme Bulove algebre se najčešće koriste u minimizaciji.

Najčešće korišćene teoreme Bulove algebra su:

Metode minimizacije

Metode minimizacijeNapr.

Metode minimizacije Veič-Karnoova metoda minimizacije Ova metoda se izvodi grafičkim putem i zasniva se

na upisivanju funkcije u specijalnu tabelu – Veič-Karnoov dijagram.

Naprimer, za tri promenljive funkcija ima vrednosti obeležene sa P0 , P1, … P7, koje mogu biti 1 ili 0. Unesemo ih u Veič-Karnoov dijagram. Na stranicama dijagrama označene su promenljive i njihove negacije.

Grafički se minimizacija izvodi tako što se u tabeli zaokruže dve susedne jedinice a zatim se posmatra koja od promenljivih u zaokruženim jedinicama NE prelazi iz nenegirane u negiranu vrednost.

PRIMER

Napr: Za zadatu tabelu funkcije napravićemo Veič-Karnoovu tabelu i izvršiti minimizaciju.

Za zaokruženi par vidi se da se X1 menja iz X1 u X1 pa se on ne uzima u obzir a ostale promenljive to ne rade pa je rešenje :

Metode minimizacije Ako su susedne četiri jedinice onda se primenjuje isto

pravilo što se može videti iz sledećeg primera sa funkcijom :

Sada se formira dijagram za minimizaciju :

Na osnovu njega dobija se da je samo X promenljiva ta koja se ne menja u svoju negaciju pa je rešenje : Z = X

Za funkciju sa četiri promenljive ista su pravila samo što se ovde mogu formirati parovi , kvarteti ali i okteti koji sadrže po osam jedinica.

Metode minimizacije Sinteza prekidačkih funkcija Pri sintezi logičko-prekidačkih mreža prvo se definiše

tehnički problem tekstualno. Zatim se tehničke veličine označe promenljivima a onda

se kodiraju njihova logička stanja preko tabelarnog prikaza. Nakon toga se ispiše analitički oblik funkcije i izvrši

minimizacija nekom od poznatih metoda. Napr.: Sinteza automata za paljenje svetla na stepeništu. Kuća ima tri sprata i treba postići nezavisno paljenje i

gašenje sijalica prekidačem sa bili kojeg sprata. Prekidače označimo kao promenljive X, Y ,Z i uradimo

prekidače za osam mogućih kombinacija. Za slučaj da je X=Y=Z=0 svetlo je ugašeno pa je F=0. Za upaljeno svetlo je F=1 a to se postiže pritiskanjem bilo

kojeg prekidača. Ako su dva prekidača vrednosti 1 onda ga jedan pali a

drugi gasi pa je i tada F=0 .

Metode minimizacije

Na osnovu tabele se formira dijagram za minimizaciju, ali je on bez formiranih parova jedinica pa se primenjuju pravila De Morgana.

Izdvajamo zajedničke promenljive i dobijamo

Metode minimizacije Sada je moguće nacrtati šemu paljenja

svetla u relejno-kontaktnoj tehnici.