37 kolokvijuma zbirka

7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka

1/134

Svjetlan Fereti

Matematika analiza 1

Zbirka rijeenih zadataka

sa kolokvija i ispita

Rijeka, 2011.


2/134

2

Predgovor

esto se dogaa da studenti pitaju: to ete nas pitati na kolokviju/ispitu? i Po emu emo

mi uiti?. Na oba ta pitanja u prilinoj se mjeri moe odgovoriti objavljivanjem zbirkerijeenih ispitnih zadataka. To je najbitniji razlog zbog kojega je ova elektronska zbirkanastala. Zbirka je u prvom redu namijenjena studentima koji pohaaju prvu godinu

preddiplomskog studija na Graevinskom fakultetu Sveuilita u Rijeci, te se pripremaju zakolokvije i ispit iz predmeta Matematika analiza 1. Tijekom posljednje etiri akademskegodine (2006/2007, 2007/2008, 2008/2009 i 2009/2010), na kolokvijima i ispitima izMatematike analize 1 bilo je zadano ukupno 120 zadataka. Svih tih 120 zadataka u ovoj suzbirci detaljno rijeeni.

Zbirka se sastoji od deset poglavlja. Prvo poglavlje ine zadaci u kojima se odreuje domenufunkcije, drugo poglavlje ine zadaci u kojima se rauna limes, a ne upotrebljava se

LHpitalovo pravilo,, deseto poglavlje ine zadaci o Taylorovim redovima. Svakopoglavlje poinje kratkim uvodom, u kojem je poblie definirano to se i kako se u tompoglavlju radi. Nakon desetog poglavlja slijedi spisak svih provjera znanja (kolokvija/ispita)koje ova zbirka obuhvaa. Tih provjera znanja ima ukupno 37, i za svaku od njih je u reenomspisku navedeno od kojih se zadataka sastojala. Zbirka zavrava popisom literature.

Ova bi zbirka s vremenom trebala rasti. Naime, moj plan je da u (ako na Mat. analizi 1 idalje budem drao i predavanja i vjebe) tijekom akademskih godina 2010/2011,2011/2012, zbirci dodavati zadatke sa kolokvija i ispita koji e se tada odravati.

Kod pisanja zbirke, posebno sam pazio na to da piem jasno i da ne pravim greke. Pozavretku pisanja, zbirka je ila na recenziranje. Recenzenti su bili dr. sc. Tomislav Doli,izvanredni profesor matematike na Graevinskom fakultetu u Zagrebu, i dr. sc. Cvetan Jardas,(od poetka ove akademske godine umirovljeni) redoviti profesor matematike naEkonomskom fakultetu u Rijeci. Od recenzenata sam dobio korisne primjedbe, na kojima imse zahvaljujem.

Ipak, mogue je da u zbirci ima greaka koje su promakle i meni i recenzentima. Svakome tkomi ukae na neku greku ili propust biti u zahvalan.

Svjetlan Fereti

u Rijeci, 6. sijenja 2011.


3/134

3

Sadraj

1. Odreivanje domene funkcije 4

2. Raunanje limesa bez upotrebe LHpitalovog pravila 153. Raunanje limesa uz upotrebu LHpitalovog pravila 234. Deriviranje implicitno zadanih funkcija 305. Deriviranje parametarski zadanih funkcija 386. Primjena derivacija 507. Integriranje algebarskih funkcija 768. Integriranje transcendentnih funkcija 939. Raunanje povrina i volumena 10610. Taylorovi redovi 115

Na tom i tom kolokviju/ispitu, trebalo je rijeiti te i te zadatke 132Literatura 134


4/134

4

1. Odreivanje domene funkcije

Funkcija je pravilo koje svakom elementu skupa A pridruuje jedan i samo jedan element

skupa B . (Skup A se zove domena funkcije, a skup B se zove kodomena funkcije.) Dakle,kod zadavanja funkcije trebalo bi rei to je skup A , to je skup B i kako glasi pravilopridruivanja.

Ipak, funkcije se esto zadaju tako da se ne napie nita drugo osim pravila pridruivanja. Utakvim sluajevima, podrazumijeva se da je B skup svih realnih brojeva, te da je A skuponih realnih brojeva kod kojih je primjena pravila pridruivanja mogua i kao rezultat dajerealan broj.Kod ovog naina zadavanja funkcije, odreivanje skupa A je (katkad laki, akatkad tei) matematiki zadatak.

U zadacima koji slijede, tema je upravo odreivanje skupa A . Teina zadataka je umjerena.

Zadatak 1.Odredite domenu funkcije22

9

12

36

22

32)(

xx

x

x

xxf .

Rjeenje: Kao prvo, razlomak12

36

xse moe skratiti: 3

12

)12(3

12

36

xx.

(Istini za volju, kada je2

1x , razlomak

12

36

x

xnije definiran, pa prema tome nije jednak

broju 3 . Meutim, ta zakoljica u nastavku zadatka nee biti bitna.)

I tako, ispod drugog korijena imamo

)22)(22(

)22(9)22)(22(3)22)(32(

22

93

22

32

xx

xxxxx

xx

x

44

121212204

44

1818)44(366442

22

2

22

x

xxxxxxxx

)1)(1(4

54

1

54

44

20162

2

2

2

xx

xx

x

xx

x

xx.

Nultoke brojnika su 0 i4

5 , a nultoke nazivnika su 1 i 1. Kada ih se napie od manjih

prema veima, nultoke su 0,1,4

5 i 1. Sada piemo tablicu sa predznacima.


5/134

5

4

5, 1,

4

5

0,1 1,0 ,1

4

5x

1x 1x

)1)(1(4

54

xx

xx

Iz formule

)1)(1(

4

54

)(

xx

xx

xf vidimo da brojevi

4

5 i 0 lee u domeni. Naime,

04

5

f i 0)0( f . Meutim, brojevi 1 i 1 ne lee u domeni. I tako, domena funkcije

)(xf je

,10,14

5, .

Zadatak 2. Odredite domenu funkcije xexx

xxf

2ln

32

5

13

1)( .

Rjeenje: Za poetak, sreujemo izraz ispod korijena:

232

5

13

12

32

5

13

1)ln(

32

5

13

1 2x

xx

xexx

x x

2

3116

8172

3296

515322

)32)(13(

)13(5)32(122

xx

x

xxx

xx

xx

xx

3116

2512

3116

62212817

3116

)3116(28172

2

2

2

2

2

xx

xxxxx

x

xxx.

Da bi broj x leao u domeni, mora vrijediti 03116

25122

2

xx

xx.

02512 2 xx za3

2&

4

1

24

16&

24

6

24

115

24

1215

24

96255

x .

03116 2 xx za2

3&

3

1

12

18&

12

4

12

711

12

4911

12

7212111

x .

Sada moemo napisati tablicu.


6/134

6

4

1,

3

1,

4

1

3

2,

3

1

2

3,

3

2 ,

2

3

2512 2 xx + + +

31162

xx + + +

3116

25122

2

x

xx + + +

Zakljuak: Domena funkcije )(xf je

,

2

3

3

2,

3

1

4

1, .

Zadatak 3. Odredite domenu funkcije )263ln(166

1214

2349)( 2

222

x

xx

xx

xxxf .

Rjeenje: Ispod drugog korijena imamo

1

)1(6

12

14

23

)23)(23(

1

66

12

14

23

492

22

2

222xxxxx

x

xx

12

14)12)(83(

12

14836

12

1423

222xxxx

xx

xx

12

91910

12

1481636 222

x

xxxxxx.

Traimo nultoke brojnika: 091910 2 xx ,

1&10

9

20

20&

20

18

20

119

20

36036119

x .

Traimo nultoke nazivnika: 012 x , 12 x , 21x .

2

1,

10

9,

2

11,

10

9 ,1

91910 2 xx 12 x

12

91910 2

x

xx


7/134

7

Domena funkcije12

91910 2

x

xxje

,1

10

9,

2

1.

Sada emo se pozabaviti funkcijom )263ln( x .

063 x , 63 x , 2x .

Za 2x vrijedi 063 x , pa je )43ln()263ln()263ln( xxx .

043 x , 043 x , 43 x ,3

4x .

Jedan dio domene funkcije )263ln( x je interval3

4, .

Za 2x vrijedi 063 x , pa je )83ln()263ln()263ln( xxx .

083 x , 83 x ,38x .

Drugi dio domene funkcije )263ln( x je interval ,3

8.

itava domena funkcije )263ln( x je ,3

8

3

4, .

Domena funkcije )263ln(

12

91910)(

2

x

x

xxxf je

,

3

8

3

4,1

10

9,

2

1,

3

8

3

4,,1

10

9,

2

1.

Zadatak 4. Odredite domenu funkcije xxxf 561)( 2 .

Rjeenje: 056

2

xx za 6

5

&012

55

12

0255

x .

a) Koji brojevi iz skupa

,6

50, lee u domeni funkcije )(xf ?

Za takve brojeve vrijedi 156)56(1)( 22 xxxxxf .

0156 2 xx vrijedi za 1&6

1

12

12&

12

2

12

75

12

24255

x .


8/134

8

0156 2 xx vrijedi za

1,

6

1x . Odgovor na pitanje a) glasi: brojevi iz skupa

1,

6

50,

6

1.

b) Koji brojevi iz intervala6

5,0 lee u domeni funkcije )(xf ?

Za takve brojeve vrijedi 156561)56(1)( 222 xxxxxxxf .

0156 2 xx vrijedi za2

1&

3

1

12

6&

12

4

12

15

12

24255

x .


,21

31,x . Odgovor na pitanje b) glasi: brojevi iz

skupa

6

5,

2

1

3

1,0 .

Domena funkcije )(xf je skup

1,

2

1

3

1,

6

11,

6

5

6

5,

2

1

3

1,00,

6

1.

Zadatak 5.Odredite domenu funkcije

x

xxxxf 213123)( .

Rjeenje: Za poetak, primijetimo da bismo za 0x morali podijeliti 13 s nulom, a s nulomse ne moe dijeliti. Dakle, nula nije u domeni funkcije )(xf .

a) Koji brojevi iz intervala 0, lee u domeni funkcije )(xf ?

Za takve brojeve vrijedi

10122213123213

123)( 22

xxxxx

xxxxf .

010122 2 xx , to jest 0562 xx , vrijedi za

1&52

46

2

20366

x .

010122 2 xx vrijedi za 1,5 x .

Odgovor na pitanje a) glasi: brojevi iz intervala 1,5 .


9/134

9

b) Koji brojevi iz intervala ,0 lee u domeni funkcije )(xf ?


16122213123213

123)( 22

xxxxx

xxxxf .

016122 2 xx , to jest 0862 xx , vrijedi za

4&22

26

2

32366

x .

016122 2 xx vrijedi za ,42,x .

Odgovor na pitanje b) glasi: brojevi iz skupa ,42,0 .

Domena funkcije )(xf je skup ,42,01,5 .

Zadatak 6. Odredite domenu funkcije

x

xxxxf 4

11164)( .

Rjeenje: Postupak je isti kao u zadatku 5, a rezultat je

,

25

23

,021

,27

.


xxxxxf

165)( .

Rjeenje: a) Koji brojevi iz intervala 0, lee u domeni funkcije )(xf ?


1561651

651

6)(5)( 22

xxxx

xxxx

xxxxxf .

0156 2 xx za3

1&

2

1

12

4&

12

6

12

15

12

24255

x .


10/134

10


,

3

1

2

1,x . Odgovor na pitanje a) glasi: brojevi iz

skupa 0,3

1

2

1,

.

b) Koji brojevi iz intervala ,0 lee u domeni funkcije )(xf ?


1561651

65)( 22

xxxx

xxxxxf .

0156 2 xx za2

1&

3

1

12

6&

12

4

12

15

12

24255

x .


2

1,

3

1x . Odgovor na pitanje b) glasi: brojevi iz skupa

2

1,

3

1.

Domena funkcije )(xf je skup

2

1,

3

10,

3

1

2

1, .

Zadatak 8. Odredite domenu funkcije xxxxxf 132111)( .


4,

2

30,2

2

7, .

Zadatak 9. Odredite domenu funkcije )1810()( 2 xxxxxf .

Rjeenje: Kao prvo, nai emo one ikseve koji lee u domeni i manji su od nule. Za takveikseve vrijedi

)189()1810()( 22 xxxxxxxxf .

Nadalje, za takve (negativne) ikseve, broj )189( 2 xxx je vei od nule onda kada je broj

1892 xx manji od nule.

01892 xx za 3&62

39

2

72819

x .


11/134

11

Dakle, traeni iksevi tvore interval 3,6 .

Kao drugo, nai emo one ikseve koji lee u domeni i vei su od nule. Za takve ikseve vrijedi

)1811()1810()( 22 xxxxxxxxf .

Nadalje, za pozitivne ikseve, broj )1811( 2 xxx je vei od nule onda kada je broj

18112 xx vei od nule.

018112 xx za 9&22

711

2

7212111

x .

Traeni iksevi tvore skup ,92,0 .

Primjeujemo da je funkcija )(xf definirana i za 0x . Sve skupa, domena funkcije )(xf je

,92,03,6,92,003,6 .

Zadatak 10. Odredite domenu funkcije )12103()( 2 xxxxxf .

Rjeenje: Postupak je isti kao u zadatku 9, a rezultat je ,43,01,12 .

Zadatak 11.Odredite domenu funkcije23

)352ln()(

2

x

xxxf .

Rjeenje: 0352 2 xx za 1&2

3

4

4&

4

6

4

15

4

24255

x .

Dakle, funkcija )352ln( 2 xx je definirana za ,12

3,x .

0)352ln(

2 xx vrijedi onda kada je 1352

2 xx , 0252

2 xx ,

2

1&2

4

2&

4

8

4

35

4

16255

x .

023 x vrijedi onda kada je 23 x ,3

2x .


12/134

12

2,

2

3,2

1,2

3

3

2,1

2

1,

3

2

,2

1

)352ln( 2 xx Nije

definirano.

23 x

23

)352ln( 2

x

xx

Nije

definirano.

U tokama 2 i2

1 vrijedi 0)352ln( 2 xx . Funkcija

23

)352ln()(

2

x

xxxf je u

tim tokama definirana. Meutim, u tokama

2

3 , 1 i

3

2 funkcija )(xf nije definirana.

I tako, domena funkcije )(xf je

,

2

1

3

2,1

2

3,2 .

Zadatak 12.Odredite domenu funkcije )ln()157107()( 22 xxxxxf .

Rjeenje: Iksevi iz intervala 0, ne lee u domeni zato to za njih nije definiran )ln(x .

a) Koji iksevi iz intervala 1,0 lee u domeni funkcije )(xf ? Za te ikseve vrijedi 0)ln( x ,tako da iks lei u domeni onda kada vrijedi

0157107 22 xxx ,

0)1(57107 22 xxx ,

0557107 22 xxx ,021012 2 xx ,

0156 2 xx .

0156 2 xx za21&

31

1215

1224255

x .

Skup traenih ikseva je interval

2

1,

3

1.

b) Koji iksevi iz intervala ,1 lee u domeni funkcije )(xf ? Za te ikseve vrijedi

0)ln( x , tako da iks lei u domeni onda kada vrijedi

0157107 22 xxx ,


13/134

13

0)1(57107 22 xxx ,

0557107 22 xxx ,012102 2 xx ,

0652 xx .

0652 xx za 3&22

15

2

24255

x .

Skup traenih ikseva je ,32,1 .

Domena funkcije )(xf je

,32,1

2

1,

3

1,32,11

2

1,

3

1.

Zadatak 13.Odredite domenu funkcije )ln()19111311()( 22 xxxxxf .


,4

2

5,1

5

2,

4

1.


12

14109arcsin9

2966)(

22

22

x

xxxx

xxxxxf .

Rjeenje:9

565

9

266

9

2966

9

2966 222

22

xxxxx

xxx

xxxx .

09

5652 xx za

3

8&

3

7

23

16

&23

14

23

15

29

15

29

224255

x .

Dakle, funkcijax

xxxx

92966

22 je definirana za sve ikseve, osim za 0x i za

3

8,

3

7x .

Arkus sinus djeluje na izraz12

14109

22

xxx , koji se moe napisati i na jednostavniji

nain:

1171210912

)12)(12(1091214109 222

2

2

xxxxx

xxxxxxxx .


14/134

14

Arkus sinus od 1172 xx je definiran onda kada vrijedi 11171 2 xx .

11172 xx , 01272 xx , 4&32

17

2

48497

x .

11172 xx , 01072 xx , 5&22

37

2

40497

x .

Slika 1. Toke u kojima funkcija 1172 xxx poprima vrijednosti 1 i 1.

Uz pomo Slike 1 vidimo da je funkcija

12

14109arcsin

22

x

xxx definirana za

5,43,2 x . Meutim, na intervalu3

8,

3

7nije definirana funkcija

x

xxxx9

296622 . I tako, naa funkcija

12

14109arcsin

9

2966)(

22

22

x

xxx

x

xxxxxf

ima domenu 5,43,3

8

3

7,2

.


15/134

15

2. Raunanje limesa bez upotrebeLHpitalovog pravila

Neka je )(xff funkcija iz u , te neka su a i L realni brojevi. Pretpostavimo da za

svaki 0 postoji 0 takav da iz aaaax ,, slijedi da je Lxf )( .

Tada se kae da funkcija f u toki a ima limes. Limes funkcije f u toki a je broj L . To

se zapisuje ovako: Lxfax

)(lim .

Neformalno govorei, ako funkcija f u toki a ima limes, onda je taj limes onaj broj kojemu

se vrijednosti funkcije f sve vie pribliavaju onda kada se x sve vie pribliava broju a (ali ipak ostaje razliit od broja a ).

U ovom poglavlju, kod raunanja limesa koristimo svojstva

)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax

,


,


,

)(lim

)(lim

)(

)(

lim xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

,

)(lim)(lim xfxfaxax

i

)(lim)( )(lim)(lim xgax

xg

ax

axxfxf

.

Takoer koristimo i formule

01

lim xx

, x

1lim

0,

ex

x

x

11lim , ex xx

1

0)1(lim ,

1)(sin

lim0

x

x

xi 1

)sin(lim

0

x

x

x,

koje smo upoznali na predavanjima.

Zadatak 15. Izraunajte limes

243

)4sin()3sin(lim

20

x

xx

x.


16/134

16

Rjeenje:

)243)(243(

)243()4sin()3sin(lim

0

0

22

00

243

)4sin()3sin(lim

22

2

020 xx

xxx

x

xx

xx

)22(3

)4sin()3sin(lim243lim

443

)4sin()3sin(lim

20

2

020 x

xxx

x

xx

xxx

164411444

)4sin(

3

)3sin(lim

0

x

x

x

x

x.

Zadatak 16. Izraunajte limes42169

)5(cos1lim

22

4

0

xx

x

x.

Rjeenje:

00

22411

42169)5(cos1lim 22

4

0 xxx

x

42169

42169

42169

)5(cos1lim

22

22

22

4

0 xx

xx

xx

x

x

42169

)4(4169

)5(cos1lim 22

22

4

0xx

xx

x

x

2

4

022

4

0 5)5(cos1lim8)224(

164169)5(cos1lim

xx

xxx

xx

2

2

02

22

0 5

)5(sinlim)11(8

5

)5(cos1)5(cos1lim8

xxx

xx

8011805

)5sin(

5

)5sin(lim80

25

)5(sinlim528

02

2

0

x

x

x

x

x

x

xx.

Zadatak 17.Izraunajte limes)3(cos1

916925lim

4

22

0 x

xx

x

.

Rjeenje:

0

0

11

33

)3(cos1

916925lim

4

22

0 x

xx

x

916925

916925

)3(cos1

916925lim

22

22

4

22

0

xx

xx

x

xx

x


17/134

17

916925

1

)3(cos1

)916()925(lim

224

22

0

xxx

xx

x

)3(cos1

9lim

33

1

99

1

)3(cos1

9lim

4

2

04

2

0 x

x

x

x

xx

11

1

)3(cos1

9lim

6

1

)3(cos1

1

)3(cos1

9lim

6

12

2

022

2

0 x

x

xx

x

xx

12

111

12

1

)3sin(

3

)3sin(

3lim

12

1

)3(sin

9lim

2

1

6

102

2

0

x

x

x

x

x

x

xx.

Zadatak 18. Izraunajte limes

xx e

x

x

x

x

xx3

2

0

)2sin()4cos(

)cos()6sin(

93lim .

Rjeenje:

xx e

x

x

x

x

xx3

2

0

)2sin(

)4cos(

)cos(

)6sin(

93lim

02

22

0

)0sin(

)0cos(

)0cos(

93

93

)6sin(

93lim

exx

xx

x

xx

x

1

0

1

1

93

1

)6sin(

)9()3(lim

2

22

0 xxx

xx

x

01

93

1

)6sin(

996lim

22

0 x

xxx

x

6

711

6

11

)6sin(

6lim

33

10

x

x

x.

Zadatak 19. Izraunajte limesx

x x

x

3

32

8lim .

Rjeenje:

x

x

x

x xx

x

x

x3

32

12

32

128lim3

32

8lim

x

x

x

x

x

x xxxxx

32 121lim332 124lim332 1232 )32(4lim


18/134

18

602

12

32

12lim

32

12lim

32

12

12

32

32

121lim eeee

xxx

x

xxx

x

x

x

.

Zadatak 20.Izraunajte limes

43

cos32

cos2212

56lim

xxx

xx

x.

Rjeenje:

43

cos32

cos2212

56lim

xxx

xx

x

43cos32cos2lim21256lim

xxxx

x

x

x

40cos30cos23

12

561lim

x

x x

x

x

x

x

x xx

xx

12

81lim9432

12

36561lim

402

812

8lim

12

8lim

12

8

8

12

333312

81lim3 eeee

xxx

x

xxx

x

x

x

.

Zadatak 21.Izraunajte limes 2

1

2

0)(sin)cos(2lim

x

xxx

.

Rjeenje: Za poetak emo upotrijebiti formulu

2sin2)cos(1 2 tt . (Uzgred budi reeno,

do te se formule dolazi ovako:

2sin

2cos

2cos

2sin)cos(1 2222

ttttt

2sin2

2sin

2cos

2cos

2sin 22222

ttttt.) Imamo

222

1

22

0

1

2

0

1

2

0

)(sin

2

sin21lim)(sin)cos(11lim)(sin)cos(2limx

x

x

x

x

x

xx

xxxx


19/134

19

2

22

22

)(sin2

sin2

)(sin2

sin2

1

22

0)(sin

2sin21lim

x

xx

xx

xx

x

.

Izraz u vitiastim zagradama tei prema broju e . Nadalje,

2

2

2

2

02

22

0

)(sin2sin4

2

1lim

)(sin2

sin2lim

x

x

x

x

x

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

)sin()sin(

2

2sin

2

2sin

2

1lim

)(sin

4

2sin

2

1lim

02

2

2

2

0

2

11

2

11111

2

1 .

Dakle, rezultat zadatka je 606530659.021

e .

Zadatak 22.Izraunajte limes 2

1

0)2cos()cos(3limx

xxx

.

Rjeenje: Za poetak emo upotrijebiti formulu

2sin2)cos(1 2

tt . Tako dobivamo

22

1

0

1

0 )2cos(1)cos(11lim)2cos()cos(3lim

x

x

x

x xxxx

2

1

22

0)(sin2

2sin21lim

x

xx

x

2

22

22

)(sin22

sin2

)(sin22

sin2

1

22

0)(sin2

2sin21lim

x

xx

xx

xx

x

.


20/134

20


2

2

2

2

02

22

0

)(sin

22

sin4

2

1

lim

)(sin22

sin2

lim x

x

x

x

x

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

)sin()sin(2

2

2sin

2

2sin

2

1lim

)(sin2

4

2sin

2

1lim

02

2

2

2

0

2

5

22

1

112112

1

.

Rezultat zadatka je 18249396.1225

e .

Zadatak 23.Izraunajte limes)2sin(

1

0 )3(tg1

9lim

xx

x x

.

Rjeenje:

)2sin(

1

2

1

0

)2sin(

2

2

1

0

)2sin(

1

)2sin(

0

)2sin(1

0)3(tg1lim

9lim

)3(tg1

9lim

)3(tg1

9lim

xx

x

x

x

x

xx

x

xx

xxx

x

)2sin(2

)3(tglim

)2sin(2

1)3(tg

)3(tg

1

0

12

1

0

3

)3(tg1lim

9

x

x

xx

xx

x

ex

.

Vrijedi

)2sin(

)3sin(lim

)3cos(2

1lim

)2sin()3cos(2

)3sin(lim

)2sin(2)3cos(

)3sin(

lim)2sin(2

)3(tglim

00000 x

x

xxx

x

x

x

x

x

x

xxxxx

4

3

2

311

2

1

2

3

)2sin(

2

3

)3sin(lim

12

10

x

x

x

x

x

x

x.

Dakle, rezultat zadatka je 417099658.133 43

4

3

e

e.


21/134

21

Zadatak 24.Izraunajte limes6

2 )3(sin

0)2cos(

3

1)cos(

3

4lim

x

x

xxx

.

Rjeenje: Vrijedi

)2cos(3

1)cos(

3

4)2cos(

3

1)cos(

3

4xxxx

)(sin2

3

1

2sin2

3

41

3

1)2cos(1

3

1

3

4)cos(1

3

4 22x

xxx

)(sin3

2

2sin3

8

1

22

x

x

.

I tako,

6

2

6

2 )3(sin

22

0

)3(sin

0)(sin

3

2

2sin

3

81lim)2cos(

3

1)cos(

3

4lim

x

x

x

x

x

xx

xxx

6

222

)(2sin3

2

22sin

3

81

)3(sin)(sin

3

2

2sin

3

8

22

0)(sin

32

2sin

381lim

x

xx

x

x

xx

xx

6

222

0

)3(sin)(sin

3

2

2sin

3

8lim

x

xx

x

xe

.

Nadalje,

2

2

422

06

222

0 9

)3(sin9)(sin

3

2

2sin

3

8lim

)3(sin)(sin

3

2

2sin

3

8lim

x

x

xx

x

x

xx

x

xx

x

x

x

x

xx

x

xxx 3

)3sin(lim

3

)3sin(lim

3)(sin2

2sin8lim

00422

0

4

22

0422

0

)(sin2

sin4lim611

6)(sin

2sin4lim

x

xx

xx

x

xx


22/134

22

4

222

04

2

2

0

2cos

2sin4

24sin

lim62

cos2

sin22

4sin

lim6

xxxxxx

xx

4

22

04

222

0

2cos1

2sin

lim242cos

2sin

2sin

lim24x

xxxxx

xx

16

2sin

lim16

242sin

lim242sin

2sin

lim24 4

4

04

4

04

22

0 x

x

x

x

x

xx

xxx

2

31111

2

3

2

2sin

2

2sin

2

2sin

2

2sinlim

2

30

x

x

x

x

x

x

x

x

x.


e .


23/134

23

3. Raunanje limesa uz upotrebuLHpitalovog pravila

Osim rezultata koje smo koristili u prethodnom poglavlju, u ovom poglavlju kod raunanja

limesa koristimo jo iLHpitalovo pravilo. To pravilo kae da, ako limes)(

)(lim

xg

xf

axima

oblik0

0ili

, a

)(

)(lim

xg

xf

ax

postoji i ima vrijednost L , onda limes)(

)(lim

xg

xf

axtakoer postoji i

ima vrijednost L . Drugim rijeima,

Lxg

xf

xg

xf

axax

)(

)(limili

0

0

)(

)(lim .

Zadatak 25.Izraunajte limes)2arccos()2cos(

))2ln(cos(lim

20 xxx

x

x .

Rjeenje:

0

0

0

)1ln())2ln(cos(lim

)0arccos()0cos(

1

)2arccos()2cos(

))2ln(cos(lim 2020 x

x

xxx

x

xx

)2cos(2 )2sin(2lim22 )2cos(

)2sin(2

lim

21

1' 00 xxx

xx

x

pravilo

HopitalovoL

emoprimjenjuj

xx

273239545.14

14

2

)2sin(lim

)0cos(

40

x

x

x.


5

3arcsin)23(

1)ln(lim

3

)ln(

1

xx

xe x

x.

Rjeenje:

23

1)ln(lim

5

3arcsin

1

5

3arcsin)23(

1)ln(lim 313

)ln(

1 xx

xx

xx

xe

x

x

x

0

0

33

11

33

1lim

5

3arcsin

1'

0

0

231

1012

1

1 x

x

pravilo

HopitalovoL

emoprimjenjuj

x


24/134

24

258999812.0

5

3arcsin6

1

6

1

5

3arcsin

1

6lim

5

3arcsin

1'

2

1

x

x

pravilo

HopitalovoL

emoprimjenjuj

x.

Zadatak 27.Izraunajte limes)5ln()5ln(

)3cos()2cos(lim

)ln(3)ln(21

xxx eex

xx .

Rjeenje:

)5ln()5ln(

)3cos()2cos(lim

)5ln()5ln(

)3cos()2cos(lim

)ln()ln(1)ln(3)ln(2132 xxxxxx eex

xx

eex

xx

.'

0

0

)5ln()115ln(

11

)5ln(1

5ln

)3cos()2cos(lim

321

HL

x

xx

xx

x

4

1

412

1 325

)3sin(3)2sin(2lim

115

11

03

255

1)3sin(3)2sin(2

lim

3x

x

xx

xx

xx

xx

x

x

x

5

22

1 122

)3cos(9)2cos(4lim5.'

0

0

325

00

x

xxHL

x

674011.242

5

25

10

55

122

)1(9145 2

2222

.


)3sin()sin(

)12ln(214lnlim

)ln(2)ln(

2

1 xx

eex xx

x

.

Rjeenje:

)3sin()sin(

)12ln(1

214ln

lim)3sin()sin(

)12ln(214ln

lim

2

2

1

)ln()ln(

2

1

2

xx

xxx

xx

eex

x

xx

x

.'0

0

11

)12ln()48ln(

)3sin()sin(

)12ln(1

16lnlim

2

2

1HL

xx

xx

x

)3cos(3)cos(

216

lim48

1

)3cos(3)cos(

02

161

16

1

lim

3

2

1

3

2

2

1 xx

x

xx

x

xx

xx


25/134

25

)3sin(9)sin(

6

lim12

1.'

0

0

00

821622

4

2

1 xxxHL

x

101321183.01

96

96

8

96

12

1

9

166

12

122222

.

Zadatak 29.Izraunajte limes)395(

)2(tg2lim

20

xx

xx

x.

Rjeenje:

)395()395(

)395()2(tg2lim

)395(

)2(tg2lim

2020 xxx

xxx

xx

xx

xx

30200 5

)2(tg2lim)33(

)995(

)2(tg2lim)395(lim

x

xx

xx

xxx

xxx

2

2

030 3)2(cos

22

lim5

6.'

0

0

0

00)2(tg2lim

5

6

x

xHL

x

xx

xx

2

2

02

2

02

2

0

1)2(cos

1

lim5

4)2(cos

11lim

5

4)2(cos

11lim

15

12 xx

xx

xxx

2

2

02

2

0222

2

0 4

)2(sinlim

5

16)2(sinlim

)0(cos5

4

)2(cos

)2(cos1lim

5

4

x

x

x

x

xx

x

xxx

2.35

1611

5

16

2

)2sin(

2

)2sin(lim

5

160

x

x

x

x

x.

Zadatak 30.Izraunajte limes )2ln()ln(

)3ln(ln(2)lim

22

3

1 xxxx

xx

x

.

Rjeenje:

)2ln(

)3ln(ln(2)lim

)1ln(1

1

)2ln()ln(

)3ln(ln(2)lim

2

3

1222

3

1 xx

xx

xxxx

xx

xx

)22)(3(

)33)(2(lim1

222

3

330

lim

)01(

1.'

0

0

)1ln(

)2ln()2ln(3

22

12

3

2

12

xxx

xxx

xxx

xx

x

HLxx


26/134

26

)1(lim

4

3

1

)1)(1(lim

4

3

1

1lim

2

3

2

1

22

33lim

13

1211

2

1

2

1x

xx

x

xx

xxxx

2

324

3

.


x

x

x

xx

x

2

1

2ln

2

1

2ln3

lim2

2

1.

Rjeenje:

22ln

22lnlim2

2

1

2ln

2

1

2lnlim31

2

1

2ln

2

1

2ln3lim1

22

1

2

2

1

2

2

1 xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

xxxx

22

1

22

1

)(

22

1

lim2.'0

0

)1ln(

)1ln(

2

1

2

1ln

2

1

2

1ln

2

1

322

1 x

xx

xxxx

HLx

2

3

1

1

121

3

1221 1lim

11

lim

2

1

2

11

2)1(

1lim

22

1lim2

x

xx

xxx

xx

xx

xx xxxx

8241

114

1lim4

)1(

)1)(1(lim212

1lim

11

11

122

12

22

13

4

1

x

x

xx

xx

xx

x

xxx.


)2ln(

2 8ln)8ln(

2cos1

limx

x

ex

x

.

Rjeenje:

xx

x

ex

x

xxx 28ln)8ln(

2cos1

lim8ln)8ln(

2cos1

lim12)2ln(2


27/134

27

)28(

28

122

sinlim.'

0

0

)8ln()8ln(

11

4

2

18ln)8ln(

)cos(1

21

2x

xx

x

HLx

282

sinlim4

282

sinlim

8

12

282

sinlim

42

18

12

222222 x

x

x

x

x

x

xxx

8116

2)cos(

416

22cos

lim4.'0

0

2418

)sin(

32

x

x

HLx

2

44

224

.


231)3ln(

)12ln(

ln(9)lim

xxxx.

Rjeenje:

231231)3ln(

)12ln(

ln(3)2lim

)3ln(

)12ln(

ln(9)lim

xxxxxx xx

)12ln()(

)12ln(22lim)3ln(

1

)12ln(

2lim)3ln(

23

23

1231 xxx

xxx

xxx xx

122)()12ln()23(

12

246

lim)3ln(.'0

0

0)11(

022

232

2

1

xxxxxx

xxx

HL x

.'0

0

1

220)23(

1

246

12

22)12ln()23(

12

246

lim)3ln( 232

2

1HL

xxxxx

xxx

x


28/134

28

2

2322

2

1

)12(

2)22()12()46(

12

2)23()12ln()26(

)12(

22412

lim)3ln(

x

xxxxx

xxxxx

xx

x

1

0220

4412)3ln(

1

2)22(1)46(

1

2)23(0)26(

1

4412

)3ln(

295836866.3)27ln()3ln()3ln(34

12)3ln(

220

12)3ln( 3

.


)14ln(

212 1lim2

1 xxx.

Rjeenje:

)14ln()12(

24)14ln(lim

)14ln(

2

12

1lim

2

1

2

1 xx

xx

xx xx

14

4)12()14ln(2

414

4

lim.'0

0

)12ln()11(

22)12ln(

2

1

x

xx

xHLx

2

2

2

1

)14(

44)12(

14

42

14

42

0)14(

44

lim.'0

0

12

4)11()12ln(2

412

4

xx

xx

xHL

x

116

16

088

16

)12(

16

)11(12

8

12

8)12(

16

2

2

.

Zadatak 35.Izraunajte limes )(ctg0

2

)cos(lim xx

x

.

Rjeenje: Iz formule

2sin2)cos(1 2

tt , koju smo izveli u zadatku 21, slijedi da je

2sin21)cos( 2

tt . Koristei taj identitet, dobivamo


29/134

29

)(ctg2

sin2

2sin2

1

2

0

)(ctg

2

0

)(ctg

0

22

2

2

2

2sin21lim

2sin21lim)cos(lim

xx

x

x

x

x

x

x

xxx

.


)sin(2

sinlim)0cos(2

)sin(

)cos(

2sinlim2)(ctg

2sin2lim

2

2

02

22

0

22

0 x

x

x

xxx

x

xxx

x

x

xx

xx

HLxx

2sin

lim)0cos(2

)0cos(2

2)cos(2

1

2cos

2sin2

lim12.'0

0020

2

11

2

1

2

2sin

lim2

12sin

lim00

x

x

x

x

xx.


e .


30/134

30

4. Deriviranje implicitno zadanih funkcija

Kada se kae da je funkcija )(xyy implicitno zadana jednadbom 0),( yxF , pod time se

misli da za svaki x iz domene funkcije )(xy vrijedi 0))(,( xyxF . Drugim rijeima, graffunkcije )(xy jepodskup skupa svih toaka ),( yx u kojima vrijedi 0),( yxF .

Iz jednadbe kojom je funkcija )(xyy zadana implicitno, ponekad je mogue za dotinufunkciju dobiti i eksplicitnu formulu. (Pod eksplicitnom formulom podrazumijevamo formulukoja poinje sa y , a nastavlja se izrazom koji je ili konstanta, ili ovisi samo o varijabli x ,a ne i o varijabli y .) U zadacima koji slijede (osim moda u zadatku 37), eksplicitnu formulunije mogue dobiti, ali je ipak u nekim tokama mogue odrediti vrijednost implicitno zadanefunkcije, te vrijednosti njezine prve i druge derivacije.

Zadatak 36.Funkcija )(xyy zadovoljava jednadbu

xeyyx 38)cos( . (1)

Izraunajte )0(y , )0(y i )0(y .

Rjeenje: Za poetak, u jednadbi (1) stavljamo 0x . Tako dobivamo

1)0(803

ey , 8

1

)0(

3

y , 2

1

)0( y .

Derivacija jednadbe (1) je

xeyyyyxy 224)sin()cos( . (2)

U jednadbi (2) stavljamo 0x i tako dobivamo

,)0(4

124)0(

2sin0

2cos 0eyy

1)0(600 y , 1)0(6 y ,6

1)0( y .


yyxyyyxyyyy )sin()cos()sin()sin(xeyyyyy 22448 . (3)

U jednadbi (3) stavljamo 0x i na taj nain dobivamo


31/134

31

1)0(4

124

36

1

2

14800

62sin

62sin

y

,

1)0(6

72

48

66

y

, 1)0(6

3

2

3

y

,

3

1

3

1

3)0(6

y ,

18

1)0(

y .

Zadatak 37. Funkcija )(xyy zadovoljava jednadbu

8)2cos(

33

xe

xyy

x . (1)

Izraunajte )0(y , )0(y i )0(y .


8)0cos()0(

)0(

0 03 ey

y ,

8

1)0(3 y ,

2

1)0( y .


xexyxyyy

yxy 3322 38

1)2sin(2)2cos(31 ,

xexyxyyy

yxy 3322 8

3)2sin(2)2cos(3

. (2)

U jednadbi (2) stavljamo 0x i tako dobivamo

18

301)0()0(3

)0(

)0( 22

yyy

y,

8

3)0()0(3

)0(

1 2 yyy

,

8

3)0(

4

32 y , 3)0(616 y , 13)0(6 y , ...166.2

6

13)0( y .


)2cos(3)2cos()(62)()( 22

4

2

xyyxyyy

yyyxyyyxyy

xexyxyyxyy 33228

92)2cos(2)2sin(6)2sin(23 . (3)



32/134

32

8

9)0(400)0()0(31)0()0(6

)0(

)0()0(2)0( 3224

yyyyyy

yyy,

89

)0(4)0()0(3)0()0(6)0(

)0(2 3222

yyyyyy

y

,

8

9

8

14)0(

4

3

36

1693

4

13

13

y ,8

13)0(

4

3

12

169

3

52 y .

Mnoei sa 24 , odavde dobivamo

39)0(18338416 y , 715)0(18 y , ...7222.3918

715

)0( y .


)cos(1

3)3(tg3 3

yxyx

. (1)

Izraunajte )0(y i )0(y .


01

3)0(03 3

y , 3

1

3)0( y .


2

22

3

23

)cos(1

)sin()cos(33

)3(cos

3)3(tg

3

1

yx

yyxyyy

xyx

. (2)

U jednadbi (2) stavljamo 0

x i tako dobivamo

2

22

3

23

)01(

0)3cos(3)0(33

1

3)30(

3

1

y ,

)3cos(3)0(27333

1 2 y , )1(3)0(27327

1 y ,

3)0(9

1 y ,

9

26

9

13)0( y .


33/134

33


)2sin(

)2arcsin(2)2cos(

92

2

x

yxy

. (1)

Izraunajte

4

y i

4

y .

Rjeenje: Za poetak, u jednadbi (1) stavljamo4

x . Tako dobivamo

2sin

42arcsin2

2cos

49

22

y

y ,

42arcsin2

9

2 y ,

342arcsin2

y ,

642arcsin

y ,

2

1

6sin

42

y ,

4

1

4

y .


)2cos(9

2

)2sin()2()2cos(20

22

2

xy

xyxyy

)2(sin

)2cos(2)2arcsin(2)2sin(41

22

2

2

x

xyxy

y

. (2)

Stavljajui 4

x , iz jednadbe (2) dobivamo

22 1

022

1arcsin21

16

141

42

2

016

1

92

1)2(16

10

44

12

y

y

,


34/134

34

4

3

44

32

8

1

y

,

3

161

2

3

44

y

,

16

3

3

48

y

,

01292177.0128

33

4

y .


2

)23()ln(

123 3

xxyxexyy . (1)



12

2)0()ln()0(

1

yey , 1)0(2 y ,2

1)0( y .

Na desnoj strani jednadbe (1) primjeujemo izraz 12)23( xx . Taj izraz deriviramo nalogaritamski nain:

)23ln()12(23ln 12 xxxx ,

23

3)12()23ln(2

)23(

)23(

12

12

xxx

x

xx

x

,

23

36)23ln(2)23()23( 1212

x

xxxx

xx .

Derivacija cijele jednadbe (1) je

)31()(3

1)ln( 23

23

yyyxexy

yxyyexyy

23

36)23ln(2)23(

2

1 12x

xxx

x . (2)



35/134

35

2

3)2ln(22

2

1)0(

4

31

2

1

3

12

1

2

11)0(

2

ye

y ,

2

3)2ln(2)0(4

313

4

4

1)0(

yey ,

2

3)2ln(2)0(

3

4

4

1)0( y

ey ,

ey

4

1

6

89)2ln(2)0(2

,

730495583.08

1

12

1)2ln()0(

ey .


6

)62(84)ln(

233 3

xxyxeexyy . (1)



6

6

6)0(2)ln()0(

2

yey , 6)0(3 y , 2)0( y .

Na desnoj strani jednadbe (1) primjeujemo izraz 23)62( xx . Taj izraz deriviramo nalogaritamski nain:

)62ln()23(62ln 23 xxx x ,

62

2)23()62ln(3

)62(

)62(

23

23

xxx

x

xx

x

,

3

23)62ln(3)62()62( 2323

x

xxxx

xx .


)244()84(3

1)ln( 23

23

yyyxeexy

yexeyyeexyy

3

23

)62ln(3)62(6

1 23x

x

xx

x

. (2)


36/134

36

Stavljajui 0x , iz jednadbe (2) dobivamo

3

2)6ln(336

6

1)0(964

44

1

3

1221)0( y

e

ey ,

3

2)6ln(36)0(964

48

14)0( yy ,

4)6ln(18)0(212

14)0( yy ,

12

1)6ln(18)0(3 y ,

72277904.1036

1)6ln(6)0( y .

Zadatak 42. Funkcija )(xyy zadovoljava jednadbu

66

4arcsin28)2( 3 33

yyxyx

x . (1)



66)0(

4arcsin)0(8)0(2 3 33

yyy ,

66)0(

4arcsin)0(8)0(8

yyy ,

66)0(

4arcsin

y,

2

1

6sin

6)0(

4

y, 3)0(

2

14 y , 1)0(

2

1 y , 2)0( y .

Na lijevoj strani jednadbe (1) primjeujemo izraz3

)2(

x

x . Taj izraz deriviramo nalogaritamski nain:

)2ln()3(2ln 3 xxx x ,

2

1)3()2ln(1

)2(

)2(

3

3

xxx

x

xx

x

,

2

3)2ln()2()2( 33

x

xxxx

xx .


37/134

37


)32()2(

3

18)2(

2

3)2ln()2( 23

2333

yyyxyxyx

xxx

xx

0)6(

4

6

41

122

y

y

y

. (2)

Stavljajui 0x , iz jednadbe (2) dobivamo

)0(432)2(3

8)0(22

2

3)2ln(2 3

2333

yy

0)0()62(

4

62

41

122

y ,

0)0(64

4

4

11

1)0(122

4

1

3

8)0(8

2

3)2ln(16

yyy ,

0)0(161

4

3

1)0(1223

2)0(824)2ln(16

yyy ,

0)0(16

1

2

3

1)0(8

3

4)0(824)2ln(16 yyy ,

0)0(316

2

3

68)2ln(16 y ,

)16ln(

3

174)2ln(4

3

174)2ln(16

3

68)0(

38

1y ,

7510116.467)16ln(3

17332)0(

y .


38/134

38

5. Deriviranje parametarski zadanih funkcija

Neka je I interval u skupu i neka su )(txx i )(tyy neprekidne funkcije sa I u .

Tada je skup IttytxK :))(),(( krivulja u ravnini. Mogue je da za neki 1x nakrivulji Kpostoji vie toaka sa apscisom 1x . Drugim rijeima, mogue je da krivulja K nijegraf nikakve funkcije )(xff . No takoer je mogue i to da krivulja K jest graf nekefunkcije )(xff . U ovom drugom sluaju, kae se da je funkcija f jednadbama )(txx i

)(tyy ( It )zadana na parametarski nain. Ako je funkcija f zadana na parametarskinain, onda za svaki It vrijedi

)())(( tytxf . (1)

Uz pretpostavku da funkcije )(tx i )(ty imaju derivaciju, moe se pokazati da funkcija)(xff ima derivaciju u svim tokama za iji parametar t vrijedi 0)( tx . Deriviranjem

jednadbe (1) nalazimo da u reenim tokama vrijedi )()())(( tytxtxf , pa stoga i

)(

)())((

tx

tytxf

. (2)

U zadacima koji slijede, funkcija je zadana na parametarski nain, a mi koristimo formule (1)i (2) kako bismo toj funkciji i njezinoj derivaciji odredili vrijednost u zadanoj toki.

Zadatak 43.Graf funkcije )(xff ima parametarske jednadbe

113

6arcsin

13

2arcsin)(

t

t

t

ttx ,

32

23

)1(

)1()(

t

tty .

Izraunajte )0(f i )0(f .

Rjeenje: Za koji t vrijedi 0)( tx ?

01136arcsin

132arcsin

tt

tt ,

1136arcsin

132arcsin

tt

tt ,

113

6

13

2

t

t

t

t, )13()6()113()2( tttt ,

6183226113 22 tttttt , 619225 tt , 2814 t , 2t .

327

81

)14(

)18()2())2(()0(

3

2

yxff .


39/134

39

2222 )113(

3)6()113(1

113

61

1

)13(

3)2()13(1

13

21

1)(

t

tt

t

tt

tt

t

ttx ,

2222 53451

5

41

1)5(

3)4()5(1

5

41

1)2(x

15

14

15

7

15

7

25

7

5

31

25

7

5

31

25

7

25

9

1

25

7

25

9

1

.

62

22233223

)1(

2)1(3)1()1(3)1(2)(

t

ttttttty ,

41281

3418

3

3438

3

)4(9381343)9(2)2(

6

76

6

3

y .

7

30

7

152

14

154

15

144

)2(

)2())2(()0(

x

yxff .


2

63arccos

8

123arccos)(

t

t

t

ttx ,

22

32

)5(

)7()(

t

tty .



0263arccos8123arccos

tt

tt ,

263arccos8123arccos tttt ,

2

63

8

123

t

t

t

t, )8()63()2()123( tttt ,

486243241263 22 tttttt , 4830246 tt , 7224 t , 3t .

2

1

16

8

)59(

)79()3())3(()0(

2

3

yxff .


40/134

40

2222 )2(

1)63()2(3

2

631

1

)8(

1)123()8(3

8

1231

1)(

t

tt

t

tt

tt

t

ttx ,

25

353

5

31

125

)3()5(3

5

31

1)3(22

x

5

6

20

24

20

12

20

12

25

12

5

41

25

12

5

41

25

12

25

16

1

25

12

25

16

1

.

42

2322222

)5(

2)5(2)7()5(2)7(3)(

t

ttttttty ,

316

48

16

2472

1616

24161672

4

642816643)3(

4

y .

2

5

6

53

5

63

)3(

)3())3(()0(

x

yxff .


33

3

358

1)(

tt

ttx ,

2arccos

3cos)(

ttty

.

Izraunajte

2

1f i

2

1f .

Rjeenje: Za koji t vrijedi

2

1)( tx ?

2

1

358

13

3

3

tt

t,

8

1

358

13

3

tt

t, 358)1(8 33 ttt ,

88358 33 ttt , 55 t , 1t .

632

1

2

1arccos

3cos)1())1((

2

1

yxff .


41/134

41

23

23323

2

3

3

)358(

)524()1()358(3

358

1

3

1)(

tt

ttttt

tt

ttx ,

2561021312565848813116 29216316231)1(

23

2

2

3

2

x

96

5

32

5

3

1

128

54

3

1 .

2

1

21

1

3cos

2arccos

33sin)(

2

tt

ttty

,

2

1

4

3

1

2

1

332

3

2

1

4

11

1

3cos

2

1arccos

33sin)1(

y

18

333

32

3

18

3

32

1

18

3

22

32

1

18

3 2222

18 332

.

3

33

5

16

18

33

5

96

96

518

33

)1(

)1(

2

1 222

x

yf

77686261.2315

)3(316 2

.

Zadatak 46.Graf funkcije )(xfy ima parametarske jednadbe

23

12arcsin

)(

t

ttx

,

3 4

12)(

t

tty .




42/134

42

6

23

12arcsin

t

t

,

6

123

12arcsin

t

t

,623

12arcsin

t

t,

2

1

6sin

23

12

t

t, 2

12

23

t

t, 2423 tt , 4 t , 4t .

2

3

8

9)4())4(()6(

3 yxff .

2

22

23

12arcsin

)23(

3)12()23(2

23

121

1

)(

t

t

t

tt

t

t

tx

,

36

28

1

2

3

1

6

1414

7

4

11

1

14

7arcsin

14

37142

14

71

1

)4( 222

22

x

37

1837

18

314

36

36

143

1

22.

23

3

232

1

4

)4(3

1124)12(

2

2

)(

t

ttttty ,

485

412

5

412

38

44

1

3

2

44

1

3

132

3

1

8

83

1989

)4( 23

3

232

1

y .

220427006.0864

335

18

37

48

5

37

1848

5

)4(

)4())4(()6(

x

yxff .



43/134

43

)13ln(

)749ln()(

2

t

tttx , 32)13()( ttty .



2

13ln

)749ln( 2

t

tt, )13ln(2)749ln( 2 ttt , 22 )13(ln)749ln( ttt ,

22 )13(749 ttt , 169749 22 tttt , 62 t , 3t .

100010)19()3())3((2 336 yxff .

2

22

)13ln(13

3)749ln()13ln(

749

418

)(

t

tttt

tt

t

tx ,

22 )10ln(

)100ln(10

3)10ln(

100

58

)10ln(10

3)71281ln()10ln(

71281

454

)3(x

)10ln(501

)10ln(50

1

)10ln(50

3029

)10ln(10

6

50

29

)10ln()10ln(210

3)10ln(50

29

2

.

)13ln()32())(ln( ttty ,

13

3)32()13ln(2

)(

)(

ttt

ty

ty,

13

3)32()13ln(2)13(

13

3)32()13ln(2)()( 32

t

ttt

t

tttytyt .

9)10ln(2010010

9)10ln(21000

10

33)10ln(210)3( 3

y .

9)10ln(20100)10ln(50

)10ln(50

19)10ln(20100

)3(

)3())3((2

x

yxff

1403.6338069)10ln(20)10ln(5000 .


44/134

44


)234ln(

)12ln()(

2

tt

ttx , 432 )9()( ttty .

Izraunajte

2

1f i

2

1f .

Rjeenje: Za koji t vrijedi2

1)( tx ?

2

1

)234ln(

)12ln(2

tt

t, )234ln()12ln(2 2 ttt , )234ln()12(ln 22 ttt ,

234)12(22

ttt , 23414422

tttt , 1t .

10

110)91()1())1((

2

1 143

yxff .

222

2

)234ln(234

38)12ln()234ln(

12

2

)(

tt

tt

tttt

ttx ,

)3ln(361

)3ln(49

1

)3ln(49

1112

)3ln(49

11

3

4

)3ln(2)3ln(2)3ln(9

11)3ln(23

2

)9ln(9

11)3ln()9ln(3

2

)1( 2

x .

)9ln()43())(ln( 2 ttty ,

9

2)43()9ln(3

)(

)(2

2

t

ttt

ty

ty,

9

2)43()9ln(3)9(

9

2)43()9ln(3)()(

2

2432

2

2

t

tttt

t

ttttyty

t .

50

1)10ln(15

100

2)10ln(302)10ln(3010

10

2)10ln(310)1( 21

y .

50

1)10ln(15)3ln(36

)3ln(36

150

1)10ln(15

)1(

)1())1((

2

1

x

yxff


45/134

45

52920057.261)10ln(15)3ln(25

18 .


25

62)(

3

t

ttx ,

5

4arccos)82()( 72

t

ttty

t .

Izraunajte )0(f .


0

25

623

t

t, 062 t , 62 t , 3t .

23

23

)25(

3)62()25(2)(

t

ttttx ,

14

4

)2(

930)2(2)3(

2

x .

U formuli za )(ty primjeujemo izraz 72)82( tt . Taj izraz deriviramo na logaritamskinain:

)82ln()72()82(ln 72 ttt t ,

82

)72(2)82ln(2

82

2)72()82ln(2

)82(

)82(72

72

t

tt

ttt

t

tt

t

,

82

)72(2)82ln(2)82()82( 7272

t

tttt

tt .

5

4arccos)82()(

72

t

ttty t

22

72

)5(

1)4()5(1

5

41

1

82

)72(2)82ln(2)82(

t

tt

t

tt

ttt t

22

72

)5(

1

541

1

82

)72(2)82ln(2)82(

tttt

ttt t .


46/134

46

4

1

4

3

11)2ln(22

2

1

2

11

1

2

12)2ln(22)3(

22

1y

6

32)2ln(4

32

32)2ln(4

32

12)2ln(4

4

1

2

3

12)2ln(4

.

6

32)2ln(4

16

32)2ln(4

)3(

)3())3(()0(

x

yxff

483913588.4)2ln(4263 .

Zadatak 50. Graf funkcije )(xfy ima parametarske jednadbe

86

3arcsin)(

3tt

ttx , ttty t 8)1()( 1 .

Izraunajte

6

f i

6

f .

Rjeenje: Za koji t vrijedi6

)(

tx ?

686

3arcsin 3

tt

t,

2

1

6sin

86

33

tt

t, 1

86

63

tt

t,

866 3 ttt , 80 3 t , 83 t , 2t .

1243163)2())2((6

1

yxff

.

86

3

86

31

1)(

32

3

tt

t

tt

ttx


47/134

47

23

23

2

3

)86(

)63(3)86(3

86

31

1

tt

tttt

tt

t,

2222 12

186123

2

11

1)8128(

)612(6)8128(3

8128

61

1)2(x

3

1

2

1

3

2

144

72

2

3

1

144

10836

4

3

1

.

Funkciju )(ty deriviramo na logaritamski nain:

)8ln(2

1)1ln()1(8ln)1(ln))(ln( 1 tttttty t ,

tt

tt

tt

tt

ty

ty

2

1

1

1)1ln(8

8

1

2

1

1

1)1ln(1

)(

)(

,

tt

tttt

tt

tttyty

t

2

1

1

1)1ln(8)1(

2

1

1

1)1ln()()( 1 .

7)3ln(1234)3ln(1212

3

12

4)3ln(12

4

1

3

1)3ln(163)2( 1

y .

95858328.3437)3ln(12

3

17)3ln(12

)2(

)2())2((

6

x

yxff

.


1

1024)(

2

3 32

t

tttx , )1ln()43()1()( 22 tttty t .



41

10242

3 32

t

tt, 441024 23 32 ttt , 41023 3 t ,

64102 3 t , 542 3 t , 273 t , 3t .


48/134

48

30258509.12)10ln(10)10ln(52)3())3(()4( 1 yxff .

22

3 32223

23

)1(

2)1024()1(6)102(

3

18

)(

t

ttttttt

tx ,

100

6)436(10)41824(

10

6)6436(1054643

124

)3(2

2

33

2

x

80

9

10

8

9

100

108

9

100

240108

9240

100

6401016

1824

.

Na desnoj strani formule za )(ty primjeujemo izraz )43()1( 2 tt t . Taj izraz deriviramona logaritamski nain:

)43ln()1ln()2()43()1(ln 2 ttttt t ,

43

3

1

2)1ln(

43

3

1

1)2()1ln(1

)43()1(

)43()1(

2

2

tt

tt

tttt

tt

ttt

t

,

43

3

1

2)1ln()43()1()43()1( 22

tt

tttttt

tt .

)1ln()43()1()( 22 tttty t

1

2

43

3

1

2)1ln()43()1(

22

t

t

tt

tttt

t ,

5

3

5

3

2

1)2ln(1010

6

5

3

2

1)2ln(52)3(

1

y

5

58)2ln(10

5

365)2ln(10 .

9

11658)2ln(800

9

80

5

58)2ln(10

80

95

58)2ln(10

)3(

)3()4(

x

yf


49/134

49

7241938.1649

928)2ln(800

.


50/134

50

6. Primjena derivacija

Neka je )(xff funkcija iz u . Neka je 0x jedna od toaka domene funkcije f . Ako

postoji otvoreni interval I takav da je Ix 0 i da za svaki Ix vrijedi )()( 0 xfxf , ondakaemo da funkcija f u toki 0x ima lokalni maksimum. Slino tome, ako postoji otvoreni

interval I takav da je Ix 0 i da za svaki Ix vrijedi )()( 0 xfxf , onda kaemo da

funkcija f u toki 0x ima lokalni minimum. Ako funkcija f u toki 0x ima lokalni

maksimum ili lokalni minimum, onda kaemo da funkcija f u toki 0x ima lokalni ekstrem.

Ako funkcija f u toki 0x ima lokalni ekstrem, a 0x je toka u kojoj derivacija funkcije f

postoji, onda vrijedi 0)( 0 xf .

Toke u kojima je derivacija funkcije f jednaka nuli zovu sestacionarne toke funkcije f .

Kada naemo stacionarnu toku funkcije f , onda tu toku ispitujemo tako da pobliepromatramo funkciju f , ili tako da poblie promatramo funkciju f .

Naime, ako su zadovoljena sljedea tri uvjeta:

1) vrijedi 0)( 0 xf ,

2) postoji broj 1x (koji je manji od 0x ) takav da za svaki 01 , xxx vrijedi 0)( xf i

3) postoji broj 2x (koji je vei od 0x ) takav da za svaki 20 , xxx vrijedi 0)( xf ,

onda funkcija f u toki 0x ima lokalni maksimum.

Slino tome, ako su zadovoljena sljedea tri uvjeta:

1) vrijedi 0)( 0 xf ,

2) postoji broj 1x (koji je manji od 0x ) takav da za svaki 01 , xxx vrijedi 0)( xf i

3) postoji broj 2x (koji je vei od 0x ) takav da za svaki 20 , xxx vrijedi 0)( xf ,

onda funkcija f u toki 0x ima lokalni minimum.

Ako vrijedi 0)( 0 xf i 0)( 0 xf , onda funkcija f u toki 0x ima lokalni maksimum. Ako

pak vrijedi 0)( 0 xf i 0)( 0 xf , onda funkcija f u toki 0x ima lokalni minimum.

U zadacima koji slijede, trai se toku ekstrema funkcije, ali funkcija nije zadana naeksplicitan nain. Dakle, najprije treba paljivo proitati tekst zadatka i/ili pogledati sliku, paonda napisati formulu za funkciju. Tek nakon toga se funkciju derivira, te se odreuju iispituju stacionarne toke.


51/134

51

Zadatak 52. Ana ima 5 metara ice. Ona e tu icu prerezati na dva dijela. Jedan dio e bitidugaakx metara, a drugi dio e biti dugaak x5 metara. Od dijela dugakog metaraAna e savijanjem napraviti krug. Od dijela dugakog x5 metara Ana e savijanjemnapraviti kvadrat. (Dakle, opseg kruga e biti metara, a opseg kvadrata e biti x5 metara.)

Neka je )(xf oznaka za sumu povrine kruga i povrine kvadrata. Naite x za kojegafunkcija )(xf poprima minimalnu vrijednost.

Rjeenje: Opseg kruga je . Dakle, xr 2 ,2

xr . Povrina kruga je

44

2

2

22 xx

r .

Opseg kvadrata je x5 . Dakle, duljina stranice kvadrata je4

5 x. Povrina kvadrata je

.16

)5(

16

)5( 22

xx

I tako,

222222

)5(416

1

16

)5(4

16

)5(

4)(

xx

xxxxxf

.

)54(81

)5(48

1

)5(2816

1

)( xxxxxxxf

5)4(8

1 x .

05)4(0)( xxf , 5)4( x , 199504232.24

5

x .

Za

4

5,0x vrijedi 0)( xf , a za 5,

4

5

x vrijedi 0)( xf . Funkcija )(xf

poprima lokalno (a i globalno) najmanju vrijednost onda kada je

4

5x .

Zadatak 53. Opseg pravokutnika 1P je metara. irina pravokutnika 1P je dva puta vea

nego visina pravokutnika 1P. Opseg pravokutnika 2P je x27 metara. irina pravokutnika

2P je tri puta vea nego visina pravokutnika 2P . Vidi Sliku 2.


52/134

52

Slika 2. Pravokutnici 1P i 2P.

Neka je )()()( 21 PkapravokutnipovrinaPkapravokutnipovrinaxf .

Naite x za kojega funkcija )(xf poprima minimalnu vrijednost.

Rjeenje:Neka je a oznaka za duljinu krae stranice pravokutnika 1P. Opseg pravokutnika

1P je aaaaa 622 . Dakle, xa 6 , 6

xa . Povrina pravokutnika 1P je

18362

2xxxaa .

Neka je b oznaka za duljinu krae stranice pravokutnika 2P. Opseg pravokutnika 2P je

bbbbb 833 . Dakle, xb 278 ,8

27 xb

. Povrina pravokutnika 2P je

64

)27(3

8

)27(3

8

273

2xxx

bb

.

I tako,64

)27(318

)(22

xxxf .

144

)27(2716

16

)27(3

9)2()27(2

64

32

18

1)(

xxxxxxxf

144

72770

144

5472716

xxx.

Vidimo da je 0)( xf onda kada je


53/134

53

072770 x , 02710 x , 2710 x ,10

27x .

Za10

27,0x vrijedi 0)( xf , a za

2

7,

10

27x vrijedi 0)( xf . Funkcija )(xf poprima

minimalnu vrijednost onda kada je 7.210

27x .

Zadatak 54.Broj a lei u intervalu 20,0 .

Opseg kruga K je a20 . Najdonja toka kruga K ima ordinatu a . Neka je G najljevijatoka kruga K i neka je H najdesnija toka kruga K. Neka je L lik kojega:

slijeva omeuje pravac koji prolazi kroz toku G i paralelan je sa ipsilon osi, zdesna omeuje pravac koji prolazi kroz toku H i paralelan je sa ipsilon osi,

odozdo omeuje iks os, te odozgo omeuje donji rub kruga K.

Vidi Sliku 3.

Slika 3. Krug K i likL .


54/134

54

Neka je )(af oznaka za povrinu lika L . Naite broj a za kojega funkcija )(af poprimamaksimalnu vrijednost.

Napomena: Toke IHG ,, i J su vrhovi pravokutnika. Ne samo da se sa Slike 3 stjee takavdojam, nego je i stvarno tako.

Rjeenje: Opseg kruga K je a20 . Dakle, ar 202 , )20(2

1ar

. Radijus kruga

K je )20(2

1a

.

Duljina vodoravne stranice pravokutnika GHIJ je )20(1

2 ar

. Duljina okomite stranice

pravokutnika GHIJ je )20(2

1)krugatockenajdonjeordinata( aararK

.

Povrina pravokutnika GHIJ je

)20(

2

1)20(

1aaa

.

Povrina kruga K je 222

2 )20(4

1)20(

4

1aar

.

)krugapovrina(2

1)kapravokutnipovrina()( KGHIJaf

2)20(81)20(

21)20(1 aaaa

.

)1()20(2

8

1)1(

2

11)20(

1)20(

2

1)1(

1)( aaaaaf

)1()20(2

8

1)1(

2

11)20()20(

2

1)1(

1aaaa

)20(4

1)20(2

1)20()20(2

11aaaaa

)20(

1

4

925

1

4

1520)20(

11aaaaaa

.

0)20(1

4

9250)( aaaf

, 0)20(49100 aa ,

04809100 aa , aa 4980100 , 80100)49( a ,


55/134

55

64637244.949

80100

a .

Za49

80100,0

a vrijedi 0)( af , a za 20,

49

80100

a vrijedi 0)( af . Funkcija

)(af poprima najveu vrijednost onda kada je49

80100

a .

Zadatak 55.Jedan metar zlatne sajle kota 8 kuna. Jedan metar srebrne sajle kota 6 kuna.

Kreimir ima 75 kuna i potroiti e ih ovako: na zlatnu sajlu e potroiti kuna, a na srebrnusajlu e potroiti x75 kuna. Zatim e Kreimir savijati sajle i tako e napraviti dva kruga:od zlatne sajle e napraviti krug 1K , a od srebrne sajle e napraviti krug 2K . (Tonije reeno,

Kreimir e od npr. zlatne sajle napraviti krunicu, i ta krunica je rub kruga 1K .)

Neka je )(xf oznaka za sumu povrine kruga 1K i povrine kruga 2K . Naite za kojegafunkcija )(xf poprima minimalnu vrijednost.

Rjeenje: Kreimir e kupiti8

xmetara zlatne sajle i

6

75 xmetara srebrne sajle. Dakle,

opseg kruga 1K e biti 8

xmetara, a opseg kruga 2K e biti 6

75 xmetara.

Kod svakog kruga vrijedi da je

r2opseg ,2

opsegr , 22

22 )opseg(

4

1

4

opseg)(povrina

r .

I tako, povrina kruga 1K iznositi e2

84

1

x

kvadratnih metara, a povrina kruga 2K

iznositi e2

6

75

4

1

x

kvadratnih metara. To znai da je

36

)75(644

16

7541

841

)(2222 xxxx

xf

.

18

75

324

1

36

)75(2

64

2

4

1)(

xxxxxf

.

018

75

320)(

xxxf , 0)75(3218 xx , 024003218 xx ,

240050 x , 4800100 x , 48x .


56/134

56

Za 48,0x vrijedi 0)( xf , a za 75,48x vrijedi 0)( xf . Funkcija )(xf poprima

minimalnu vrijednost za 48x . Drugim rijeima, zbroj povrina krugova je najmanji ondakada Kreimir potroi 48 kuna na zlatnu sajlu i 274875 kuna na srebrnu sajlu.

Zadatak 56. Jedan metar zlatne sajle kota 4 kune. Jedan metar srebrne sajle kota 2 kune.

Matea ima 88 kuna. Matea e u intervalu 22,0 izabrati broj . Zatim e Matea kupiti

metara zlatne sajle, a novce koji joj nakon toga ostanu potroiti e na srebrnu sajlu.

Od zlatne sajle, Matea e napraviti pravokutnik kojemu je irina dva puta vea nego visina.(Pravokutnik e izgledati otprilike ovako: .) Oznaimo taj pravokutnik slovom P.

Od srebrne sajle, Matea e napraviti kvadrat. Oznaimo taj kvadrat slovom K.

Neka je )()()( KkvadratapovrinaPkapravokutnipovrinaxf .

Naite x za kojega funkcija )(xf poprima minimalnu vrijednost.

Rjeenje: Oznaimo duljinu krae stranice pravokutnika P slovom a . Opseg pravokutnikaP je aaaaa 622 . No u zadatku pie da pravokutnikP ima opseg . Dakle,

xa 6 , te je6

xa . Povrina pravokutnika P je

18362

2xxx

aa .

Matea e na zlatnu sajlu potroiti x4 kuna, pa e joj za srebrnu sajlu ostati x488 kuna.

Dakle, Matea e kupiti xx

2442

488

metara srebrne sajle. Opseg kvadrata K biti e

x244 . Duljina stranice kvadrata K biti e2

114

244 xx

. Povrina kvadrata K biti e

22

1122

11

xx.

I tako,

1211136

9

36

2

1211141811218)(

22222

xxx

xxxx

xf

1211136

11 2 xx .

1

18

11111

18

1111

36

22)( xxxxf .


57/134

57

Jednakost 0)( xf vrijedi onda kada je 0118

1x , 1

18

1 x , 18x . Pri tome za

18,0x vrijedi 0)( xf , a za 22,18x vrijedi 0)( xf . Dakle, za 18x funkcija

)(xf poprima lokalno (pa i globalno) najmanju vrijednost. Traeni je 18 .

Zadatak 57. Dean kod sebe ima 150 kuna. Dean ide u duan, u kojem jedan metar zlatne sajlekota 9 kuna, jedan metar srebrne sajle kota 6 kuna, a jedan metar plave sajle kota 3 kune.

Kada doe u duan, Dean e u intervalu 9,2

9izabrati broj . Zatim e Dean kupiti

metara zlatne sajle i4

3

x metara srebrne sajle. Sve novce koji mu nakon toga ostanu,

Dean e potroiti na plavu sajlu.

Neka je )(xf oznaka za sumu

(duljina Deanove zlatne sajle) + (duljina Deanove srebrne sajle) + (duljina Deanove plavesajle).

Naite x za kojega funkcija )(xf poprima maksimalnu vrijednost.

Rjeenje: Dean e na zlatnu sajlu potroiti x9 kuna, a na srebrnu sajlu e potroiti

4

186

4

36

xx

xx kuna. Za plavu sajlu, Deanu e ostati

4

1869150 xx

41815150

x kuna. To znai da e Dean kupiti4

655031

41815150

xx

xx

metara plave sajle. I tako,

4

3350

4

6550

4

3)(

xxxxxf .

Nadalje,

22

)4(

33

)4(

33)(

xx

xf .

Jednakost 0)( xf vrijedi onda kada je

0)4(

33

2

x, 3

)4(

32

x

, 1)4(

12

x

, 1)4( 2 x , 14 x ,

5ili314 x .


58/134

58

U tekstu zadatka pie da je funkcija )(xf definirana na intervalu 9,2

9. U tom intervalu,

jedina stacionarna toka funkcije )(xf je toka 5x .

33 )4( 6)4()2(3)(

xxxf , 0616)5( 3

f .

Funkcija )(xf u toki 5x ima lokalni maksimum. Zbroj duljina Deanovih sajli je najveionda kada Dean izabere broj 5x .

Zadatak 58. Jedan metar srebrne sajle kota 7 kuna. Jedan metar zlatne sajle kota 8 kuna.

Mio je kupio )ln( xe metara srebrne sajle i xe 23 metara zlatne sajle. (Brojxje vei od nule.)

Koristei svu kupljenu sajlu, Mio je na podu napravio pravokutnik. Jedan par paralelnihstranica Miinog pravokutnika je od srebrne sajle, a drugi par paralelnih stranica je od zlatnesajle.

Neka je )(xf oznaka za povrinu Miinog pravokutnika. Naite za kojega funkcija )(xf poprima maksimalnu vrijednost.

Rjeenje: Kod Miinog pravokutnika, svaka srebrna stranica ima duljinu xex 2

1)ln(

2

1, a

svaka zlatna stranica ima duljinu xe 23

2

1 . Dakle, xx exexxf 2323

4

1

2

1

2

1)( .

xxx exexexf 232323 )21(4

1)2(

4

11

4

1)( .

Jednakost 0)( xf vrijedi onda kada je 021 x , 12 x ,2

1x .

Za2

1,0x vrijedi 0)( xf , a za ,

2

1x vrijedi 0)( xf . Dakle, u toki

2

1x ,

funkcija )(xf ima lokalni (pa i globalni) maksimum.

Primijetimo da su podaci o cijenama sajli u ovom zadatku zapravo suvini. Kod rjeavanjazadatka, mi te podatke nismo koristili. (Dakle, cijene sajli su zamka kojom se provjeravamatematiku zrelost studenata.)

Zadatak 59. Jedan metar zlatne sajle kota 8 kuna. Jedan metar srebrne sajle kota 7 kuna.

Goran e u intervalu 1,3

1izabrati broj x . Zatim e Goran u duanu kupiti x

19 metara

zlatne sajle i xx 35 metara srebrne sajle. Nakon toga e Goran napraviti pravokutnik kojemu


59/134

59

jejedna stranica od zlatne sajle, a ostale tri stranice su od srebrne sajle. Oznaimo povrinutoga pravokutnika sa )(xf . Naite za kojega funkcija )(xf poprima maksimalnuvrijednost.

Napomena. Za 1,3

1x vrijedi 0

19

35

xx

xx . Dakle, sigurno je da e Goran kupiti

vie metara srebrne sajle nego metara zlatne sajle. Takoer je sigurno da e Goran kupiti vieod nula metara zlatne sajle.

Rjeenje: Pravokutnik e imati jednu zlatnu stranicu duljinex

x1

9 metara i jednu srebrnu

stranicu duljine x1

9 metara. Zbroj duljina ostalih dviju srebrnih stranica biti e x3

5

xxx

xx

x 444

41

9

metara. Svaka od tih dviju stranica biti e duga x2

2

metara. Povrina pravokutnika biti e

22

22 220182

218182

219

xx

xxx

xxx

kvadratnih metara.

Drugim rijeima,2

2 22018)( xxf . Odatle slijedi da je3

436)( xxf . Jednakost

0)( xf vrijedi onda kada je

0436 3 x , 3436 xx , 4364 x , 91

4 x , 312 x ,

577350269.03

3

3

1x .

4

1236)(xf , 014410836

9

112

363

1

f .

Povrina pravokutnika poprima maksimalnu vrijednost onda kada je3

1x .

Primjeujemo da su podaci o cijenama sajli i u ovom zadatku bili suvini.

Zadatak 60. Jedan metar zlatne ice kota 4 kune. Jedan metar srebrne ice kota 2 kune.

Ana ima 44 kune. Ana e u intervalu8

9,0 izabrati broj . Zatim e Ana kupiti x8 metara

zlatne ice, a novce koji joj nakon toga ostanu potroiti e na srebrnu icu.


60/134

60

Od zlatne ice, Ana e napraviti pravokutnik kojemu okomita stranica ima duljinu . Odsrebrne ice, Ana e napraviti pravokutnik kojemu okomita stranica ima duljinu 2x .(Rijeima: duljina okomite stranice srebrnog pravokutnika biti e iks na drugu.) Vidi Sliku 4.

Slika 4. Anini pravokutnici.

Neka je )()()( kapravokutnisrebrnogpovrinakapravokutnizlatnogpovrinaxf .

Naite x za kojega funkcija )(xf poprima ekstremnu vrijednost. Koristei drugu derivaciju,ustanovite o kakvoj se ekstremnoj vrijednosti radi: je li to minimalna vrijednost ilimaksimalna vrijednost?

Rjeenje: Opseg zlatnog pravokutnika je x8 , a zbroj duljina okomitih stranica je x2 . Dakle,zbroj duljina vodoravnih stranica je x6 , a duljina jedne vodoravne stranice je x3 . Povrinazlatnog pravokutnika je 233 xxx .

Ana e na zlatnu icu potroiti xx 3248 kuna, pa e joj za srebrnu icu ostati x3244 kuna. To znai da e Ana kupiti x1622 metara srebrne ice. Opseg srebrnog pravokutnika

biti e x1622 , a zbroj duljina okomitih stranica biti e 22x . Dakle, zbroj duljina vodoravnihstranica biti e 221622 xx , a duljina jedne vodoravne stranice biti e 2811 xx .Povrina srebrnog pravokutnika biti e 23443222 118811)811( xxxxxxxxx .

I tako, 2342342 148)118(3)( xxxxxxxxf .

)76(428244)( 223 xxxxxxxf .

Jednakost 0)76(4 2 xxx vrijedi onda kada je 0x , kao i onda kada je


61/134

61

0762 xx , 1&72

86

2

646

2

28366

x .

U tekstu zadatka pie da je domena funkcije )(xf interval 8

9,0 . Brojevi 0 i 7 ne lee u

domeni, pa nas jedino zanima to se s funkcijom )(xf dogaa za 1x .

284812)( 2 xxxf , 032284812)1( f .

Funkcija )(xf poprima ekstremnu vrijednost za 1x . Radi se o maksimalnoj vrijednosti.

Niti za jedan iz intervala8

9,0 , funkcija )(xf ne poprima tako veliku vrijednost kao za

1x .

Zadatak 61. Jedan metar zlatne sajle kota 6 kuna. Jedan metar srebrne sajle kota 3 kune.

Petra je imala 120 kuna. Petra je u intervalu 7,0 izabrala broj i zatim je kupila metara

zlatne sajle. Osim toga, Petra je 2x kuna dala prosjaku. (Rijeima: Petra je prosjaku dala iksna drugu kuna.) Novce koje nije potroila niti na zlatnu sajlu niti na prosjaka, Petra je

potroila na srebrnu sajlu.

Kada se vratila kui, Petra je napravila pravokutnik kojemu je jedna stranica od zlatne sajle, a

ostale tri stranice su od srebrne sajle. Neka je )(xf oznaka za povrinu toga pravokutnika.

Naite x za kojega funkcija )(xf poprima maksimalnu vrijednost.

Rjeenje: Petra je za zlatnu sajlu dala x6 kuna, a prosjaku je dala 2x kuna. Dakle, za srebrnusajlu joj je ostalo 26120 xx kuna. Za te novce, Petra je dobila

3240)6120(

3

1 22 xxxx metara srebrne sajle.

Petrin pravokutnik ima jednu zlatnu stranicu dugu x metara i jednu srebrnu stranicu dugu

metara. Zbroj duljina ostalih dviju srebrnih stranica je3

3403

24022 x

xxx

x

metara. Svaka od tih dviju stranica je duga62

320

3340

2

1 22 xx

xx

metara. I tako,

povrina pravokutnika je62

320

62

320

32

2 xxx

xxx

kvadratnih metara. Drugim

rijeima,

xxxxxxxf 2023

662320)( 2332 .


62/134

62

Odatle slijedi da je 2032

120

2

6

6

3)( 22 xxxxxf .

Jednakost 02032

1 2

xx vrijedi onda kada je

04062 xx , 4&102

8&

2

20

2

146

2

1966

2

160366

x .

U tekstu zadatka pie da je domena funkcije )(xf interval 7,0 . Broj 10 ne lei u domeni,

pa nas jedino zanima to se s funkcijom )(xf deava za 4x .

33

2

2)( xxxf , 0734)4( f .

U toki 4x , funkcija )(xf ima lokalni maksimum. Niti za jedan iz intervala 7,0 ,

funkcija )(xf (to e rei, povrina Petrinog pravokutnika) ne poprima tako veliku vrijednostkao za 4x .

Zadatak 62. Jedan metar srebrne ice kota 50 lipa. Jedan metar zlatne ice kota 2 kune.

Marijana ima 27 kuna. Marijana e u intervalu 4

11,

4

1

izabrati broj . Zatim e Marijanadati kuna prosjaku. Nadalje, Marijana e na srebrnu icu potroiti 2x kuna (rijeima: iks nadrugu kuna). Sve novce koje ne potroi niti na prosjaka niti na srebrnu icu, Marijana e

potroiti na zlatnu icu.

Kada doe kui, Marijana e od srebrne ice napraviti kvadrat. Taj emo kvadrat oznaitislovomK. Marijana e od zlatne ice napraviti takav pravokutnikPkojemu jedna od stranicaima jednaku duljinu kao i stranica kvadrataK. Vidi Sliku 5.

Slika 5. Kvadrat K i pravokutnikP.


63/134

63

Neka je )(xf oznaka za povrinu pravokutnika P. Naite za kojega funkcija )(xf poprima ekstremnu vrijednost. Koristei drugu derivaciju, ustanovite o kakvoj se ekstremnojvrijednosti radi: je li to minimalna vrijednost ili maksimalna vrijednost?

Rjeenje: Marijana e na srebrnu icu potroiti 2x kuna, a na zlatnu e icu potroiti

227 xx kuna. Dakle, Marijana e dobiti 22x metara srebrne ice i )27(21 2xx metara

zlatne ice. Stranica kvadrata K biti e duga24

2 22 xx metara. Zbroj duljina okomitih

stranica pravokutnika P biti e 222

22x

xx metara. Zbroj duljina vodoravnih stranica

pravokutnika P biti e )327(2

1)27(

2

1 222 xxxxx metara. Duljina jedne

vodoravne stranice pravokutnika P biti e )327(4

1 2xx metara. I tako, povrina

pravokutnika P biti e

)273(8

1)327(

8

1

2)327(

4

1)( 234432

22

xxxxxxx

xxxf .

)184(8

3)184(

8

3)54312(

8

1)( 22323 xxxxxxxxxxf .

Jednakost 0)184(8

3 2 xxx vrijedi onda kada je 0x , kao i onda kada je

0184 2 xx . Potonja kvadratna jednadba zadovoljena je za

2&4

9

8

16&

8

18

8

171

8

28811

x .

Rjeenja jednadbe 0)184(8

3 2 xxx su4

9 , 0 i 2 . Od ta tri broja, u intervalu

4

11,

4

1lei samo broj 2 .

)96(4

3)18212(

8

3)( 22 xxxxxf ,

04

5117

4

3)9224(

4

3)2( f .

Funkcija )(xf poprima ekstremnu vrijednost za 2x . Ta ekstremna vrijednost je

maksimalna vrijednost. Niti za jedan iz intervala

4

11,

4

1, funkcija )(xf ne poprima tako

veliku vrijednost kao za 2x .


64/134

64

Zadatak 63.U duanuA, jedan metar srebrne sajle kota 5 kuna.

U duanuB, jedan metar zlatne sajle kota 9 kuna. Meutim, ako u duanuB kupite n metara zlatne sajle, onda na poklon dobivate )1ln(4 n metara srebrne sajle.

Robert e u duanuA kupiti x metara srebrne sajle, gdje je 120 x . U duanuB, Robert ekupiti toliko metara zlatne sajle koliko je potrebno da bi se na poklon dobilo x12 metarasrebrne sajle. Neka je )(xf oznaka za sumu

(novci koje e Robert potroiti u duanu A) + (novci koje e Robert potroiti u duanu B).

Kako glasi formula za funkciju )(xf ? Nadalje, funkcija )(xf ima samo jednu stacionarnutoku. (To jest, jednadba 0)( xf ima samo jedno rjeenje.) Naite stacionarnu tokufunkcije )(xf , pa zatim ispitajte tu toku pomou druge derivacije.

Rjeenje: U duanuA, Robert e potroiti x5 kuna. U duanuB, Robert e kupiti n metarazlatne sajle, pri emu n zadovoljava jednakost xn 12)1ln(4 .

xn 12)1ln(

37 kolokvijuma zbirka

Documents