Identifique claramente os grupos e os itens a que responde e apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta (exceto nas respostas que impliquem a elaboração de construções, desenhos ou outras representações). É interdito o uso de corretor.

Dentro do enunciado encontrará uma Folha de resposta, para responder às questões 3.b e 5.b e a outras que necessitem de papel quadriculado.

As cotações da prova encontram-se na página 6.

A prova inclui um formulário e um fluxograma para classificação de frisos na página 7.

A página 8 foi propositadamente deixada em branco.

935 MATEMÁTICA Prova escrita

PROVA DE EQUIVALÊNCIA À FREQUÊNCIA Duração: 120 minutos

Ano: 2014 1ª fase - Junho 11º e 12º anos

Prova 935 | 1 de 8

Grupo I

1. A figura ao lado foi publicada num suplemento do jornal Diário de Notícias, por ocasião das comemorações dos 40 anos do 25 de Abril de 1974.

a. A partir dos dados da figura, calcule os números de habitantes adultos que serviram de base para determinar as percentagens apresentadas. A população adulta portuguesa cresceu ou decres-ceu entre 1970 e 2011?

b. Baseie os seus argumentos nos números da figura para fazer um comentário sobre uma conquista do 25 de Abril, importante para os portugueses.

2. Num campeonato de skate, foram registadas as alturas dos saltos (em metros) de todos os participantes na mesma rampa. Os registos estão indicados na tabela seguinte:

2,3 2,6 2 2,7 3,8 1,92,8 1,9 2,3 2 2,1 2,1

a. Calcule a frequência relativa dos dados pertencentes à classe [2; 2,3[.

b. Indique a média e a mediana dos valores apresentados (apresente os valores arre-dondados às décimas). Indique qual das duas medidas representa melhor o conjunto de todos os valores, justificando a sua escolha.

c. Calcule o desvio-padrão desta distribuição e explique o que aconteceria àquele valor se o dado 3,8 fosse substituído por 2,4.

Prova 935 | 2 de 8

Grupo II

3. Considere o cubo ABCDEFGH, com 24 cm de aresta, representado na figura, em que T é um ponto da aresta CB tal que CT é um terço de CB.

a. Para cada um dos pares de retas seguintes, indique a posição relativa dessas retas – paralelas, concorrentes perpendiculares, concorrentes não perpendiculares ou não complanares:

TA e CD TA e GH CD e EF

b. Na Folha de resposta, no cubo aí representado para o efeito, desenhe a secção que se obtém quando se inter-seta o cubo com o plano definido pelos pontos T, E e F. Classifique a figura obtida e determine as suas medidas.

4. Considere o paralelogramo PQRS representado na figura ao lado.

a. Calcule o perímetro do paralelogramo (apresente o resultado aproximado às décimas de unidade de me-dida).

b. Determine a equação reduzida da recta PQ.

5. A imagem abaixo representa um friso de azulejos que faz parte do revestimento da capela-mor do Hospital de Santa Marta, em Lisboa.

a. Identifique todas as simetrias do friso, e represente, no friso da Folha de resposta, os elementos necessários à sua definição.

b. Classifique este friso usando o fluxograma que se encontra na página 7.

x

P

S

5

5

-3

-3R

Q

y

A

F

E

G

D

C BT

H

Prova 935 | 3 de 8

Grupo III

6. Um estudo para um cartaz retangular de dimensões 30 cm por 36 cm está representado na figura pelo retângulo ABCD. O cartaz é constituído por duas zonas, uma branca e ou-tra colorida, definidas por um ponto P situado no segmento AB e um ponto Q no segmen-to AD, ambos à mesma distância de A.

A área colorida é formada pelos triângulos APQ e CPB.

Seja x a distância entre o ponto P e o ponto A.

Considere a função S que a cada valor de x faz corres ponder a área da zona colorida.

a. Qual é o domínio da função S?

b. Calcule S(12) e interprete o valor obtido no contexto do problema.

c. Mostre que, para cada valor de x, a área colorida pode ser calculada, em cm2, atra-vés da expressão

d. Represente graficamente a função S e estude-a quanto à monotonia e extremos.

Indique qual a área colorida mínima e qual a posição do ponto P que lhe corresponde.

A B

CD

Q

Px

30 cm

36 c

m

S(x) = � – 18 x + 540x2

2

Prova 935 | 4 de 8

Grupo IV

7. A figura representa um triângulo ABC, em que são conhe-cidos as medidas de dois lados, a e b, e o ângulo por eles formado, Ĉ.

a. Calcule a área do triângulo ABC quando a = 5 cm, b = 6 cm e Ĉ = 43°.

b. Deduza uma fórmula para calcular a área de um tri-ângulo qualquer em que são conhecidos as medidas de dois lados, a e b, e o ângulo por ele formado, Ĉ.

8. As ilhas do Pico e do Faial ficam no grupo central do arquipélago dos Açores, muito próximas entre si. Sobre a cidade da Horta, capital da ilha do Faial, há quem diga que a coisa mais bonita que tem é a vista do Pico em frente, a montanha mais alta de Portugal.

O Sr. Joaquim saiu de barco e, ainda no porto da cidade da Horta mediu o ângulo de elevação do Pico relativamente ao nível do mar, tendo obtido 6,3°. Depois deslocou-se 5,9 km, sempre na direção do Pico, chegan-do ao ponto P onde mediu novamente o ân-gulo de elevação, 8,7°. Determina o valor da altitude do Pico, aproximado às dezenas de metro.

Fim da prova

Ab

a

B

C

Prova 935 | 5 de 8

Cotações

Grupo I .................................................................................................... 30 1. ...................................................................................... 12 1.a. .................................................................... 6 1.b. .................................................................... 6 2. ...................................................................................... 18 2.a. .................................................................... 6 2.b. .................................................................... 6 2.c. .................................................................... 6 Grupo II .................................................................................................... 70 3. ....................................................................................... 25 3.a. .................................................................... 6 3.b. ................................................................... 19 4. ...................................................................................... 20 4.a. .................................................................. 10 4.b. .................................................................. 10 5. ...................................................................................... 25 5.a. .................................................................. 15 5.b. .................................................................. 10

Grupo III ..................................................................................................... 60 6.a. .................................................................. 10 6.b. .................................................................. 15 6.c. ................................................................... 15 6.d. ................................................................... 20 Grupo IV ..................................................................................................... 40 7. ...................................................................................... 20 7.a. .................................................................. 12 7.b. ..................................................................... 8 8. ...................................................................................... 20

Total .............................................................................................................. 200

Prova 935 | 6 de 8

Prova 935 | 7 de 8

FLUXOGRAMA DE WASHBURN E CROWE PARA A CLASSIFICAÇÃO DE FRISOS MONOCROMÁTICOS

No conjunto das simetrias do friso ...

Existe uma reflexão de eixo vertical?

Existe uma reflexão de eixo horizontal ou reflexão deslizante?

Existe uma reflexão de eixo horizontal?

Existe uma meia volta?

Existe uma meia volta?

Existe uma reflexão de eixo horizontal?

sim não

sim não

sim não sim não sim não

sim não

pmm2 pma2 pm11 p1m1 p1a1 p112 p111

FORMULÁRIO

Áreas de figuras planas

Losango:

Trapézio:

Polígono regular: Semiperímetro × Apótema

Círculo: π × raio2

Áreas de superfícies

Área lateral do cone: π × raio da base × geratriz

Área da superfície esférica: 4 π × raio2

VolumesPrisma ou Cilindro: Área da base × Altura

Pirâmide ou Cone: × Área da base × Altura

Esfera: π × raio3

Trigonometria

Lei dos senos: Teorema de Carnot: a2 = b2 + c2 ‒ 2bc cos Â

Diagonal maior × Diagonal menor 2

1 3

4 3

Base maior + Base menor 2

× Altura

asen A

bsen B

csen C

= =

Prova 935 | 8 de 8

PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA - COD. 935FOLHA DE RESPOSTA

1.ª FASE - junho de 2014

PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA - COD. 935FOLHA DE RESPOSTA

1.ª FASE - junho de 2014

NOME DO ALUNO ________________________________________________Número convencional

Número convencional

A preencher pela Escola

A

F

E

G

D

C BT

H

Utilize esta página para desenhar gráficos ou outras figuras que o ajudem a responder às questões.