34. fie numerele: m = 31 + 34 + 37 + 40 + + 97 +...
TRANSCRIPT
21
34. Fie numerele: m = 31 + 34 + 37 + 40 + ... + 97 + 100 şi n = 38 + 41 + 44 + 47 + + ... + 95 + 98. a) CalculaŃi 2 ⋅ m – 2 ⋅ n + 20. b) AflaŃi restul împărŃirii numărului p = 30 ⋅ m – 2 ⋅ n + 21 la 7.
Etapa locală, DâmboviŃa 2011 35. Fie A un număr natural. Ştiind că A împărŃit la 7 dă restul 4 şi împărŃit la 9 dă restul 2, să se afle ce rest obŃinem împărŃindu-l pe A la 63.
Etapa locală, Giurgiu 2011, prof. Rodica Mărăcineanu
36. Prin împărŃirea numerelor ca,bc,ab la acelaşi număr natural n, se obŃin câturile b,
c, a şi resturile c, a, respectiv b. ArătaŃi că a = b = c. Etapa locală, Iaşi 2011
37. Numărul natural a se împarte la numărul natural b şi se obŃine câtul c şi restul 9. Numărul c se împarte la 9 şi se obŃine câtul 110 şi restul 2. AflaŃi valorile mai mici decât 2011 pe care le poate avea numărul a.
Etapa locală, Ilfov 2011 38. a) AflaŃi cel mai mic şi cel mai mare număr natural de trei cifre care împărŃit la 9 dă restul 8. b) AflaŃi suma tuturor numerelor naturale formate din trei cifre, care împărŃite la un număr dintr-o singură cifră, dă restul 8.
Etapa locală, NeamŃ 2011 39. Fie x un număr natural nenul. Pentru orice număr natural n ≥ 2, numerele an şi an–1 verifică relaŃia: 2 ⋅ an = an–1 + x, iar Sn = a1 + a2 + ... + an. Să se afle câtul împărŃirii numărului A = S2012 + a2012 – 2a1 la 2011.
Etapa locală, Prahova 2011, prof. Gh. Bumbăcea
40. AflaŃi câtul şi restul împărŃirii numărului 7 ⋅ 32011 la numărul 4 ⋅ 32010. Etapa locală, Prahova 2011, prof. Gheorghe Achim
41. Un număr este cu 17 mai mare decât altul. ÎmpărŃind suma numerelor la diferenŃa lor, obŃinem câtul 235 şi restul 0. AflaŃi numerele.
Etapa locală, Sălaj 2011 42. Fie numerele naturale n, care împărŃite la 2007, dau câtul mai mare decât restul cu 1. a) Să se arate că suma numerelor date este divizibilă cu 2007. b) Să se determine ultima cifră a sumei acestor numere.
Etapa locală, Vaslui 2011 43. AflaŃi numărul natural n astfel încât împărŃind numărul 151 la n + 1 să se obŃină câtul 3 şi restul maxim.
Etapa locală, Alba, 2012 44. a) Fie numerele: a = 5 ⋅ 32012 şi b = 14 ⋅ 32010. Să se calculeze restul împărŃirii numă-rului a la numărul b.
b) Să se determine restul împărŃirii numărului 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2012 + 3 la 7. c) Să se determine restul împărŃirii numărului 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2012 – 3 la 7.
Etapa locală, GalaŃi, 2012
22
45. Un număr de trei cifre are primele două cifre identice, iar a treia cifră este 5. Acest număr se împarte la un număr de o cifră şi se obŃine restul 8. GăsiŃi deîmpărŃitul, îm-părŃitorul şi câtul.
Etapa locală, Mureş, 2012, Sorin Nicolae Suciu 46. Fie n > 0 un număr natural. Ştiind că restul împărŃirii numărului n la 2012 este 2009, iar restul împărŃirii numărului n la 2011 este 2010, determinaŃi restul împărŃirii numărului n la 2011 ⋅ 2012.
Etapa locală, Braşov, 2012, prof. Emanuel Munteanu 47. Se consideră n numere naturale consecutive. Suma resturilor împărŃirii celor n nu-mere la 7 este 156. AflaŃi toate valorile posibile ale lui n.
Etapa locală, Tulcea, Braşov, 2012, prof. Vasile Tarciniu, G.M. nr. 11/2011 48. a) Câte numere naturale impare dau, la împărŃirea prin 2012, câtul egal cu restul? b) AflaŃi restul împărŃirii sumei tuturor acestor numere la 2012.
Etapa locală, Maramureş, 2012, prof. Iulian Vele 49. Suma a trei numere naturale a, b, c este 101. ÎmpărŃind numărul a la numărul b obŃinem câtul 3 şi restul 5, iar împărŃind numărul b la numărul c obŃinem câtul 5 şi restul 3. CalculaŃi (a + b – 24c)a+b+c.
Etapa locală, Caraş-Severin, 2012, prof. Vasile Chiş 50. Considerăm numărul natural a = 2012 ⋅ (1 + 2 + 22 + 23 + … + 22011).
a) DeterminaŃi restul împărŃirii numărului a la 10. b) DemonstraŃi că numărul a nu este divizibil cu 100.
Etapa locală, Caraş-Severin, 2012, prof. Antoanela Buzescu 51. Câtul împărŃirii a două numere este 5, iar restul este 20. Adunând deîmpărŃitul, împărŃitorul, câtul şi restul, se obŃine 195. Care sunt numerele?
Etapa locală, IalomiŃa, 2012 52. Câtul împărŃirii a două numere naturale este cu 3 mai mare decât restul. AflaŃi cele două numere, ştiind că diferenŃa dintre deîmpărŃit şi triplul împărŃitorului este 15.
Etapa locală, Bacău, 2012 53. Câte numere naturale care împărŃite la 10 dau câtul 2012 există? CalculaŃi suma acestor numere.
Etapa locală, Covasna, 2012 54. Restul împărŃirii unui număr natural a la 15 este 6, iar restul împărŃirii unui număr natural b la 12 este 5.
a) AflaŃi restul împărŃirii numărului 4a + 5b la 20. b) Ştiind că 4a > 5b, aflaŃi restul împărŃirii numărului 4a – 5b la 20.
Etapa locală, Vâlcea, 2012 55. Numerele naturale nenule a şi b verifică relaŃia: 5 ⋅ a + 9 ⋅ b = 495. AflaŃi:
a) cea mai mică valoare a lui b; b) cea mai mare valoare a sumei a + b; c) restul împărŃirii prin 41 a numărului 128a + 50b.
Etapa locală, Argeş, 2012, prof. Vasile Ulmeanu 56. AflaŃi câtul şi restul împărŃirii numărului 3 ⋅ 22009 la 5 ⋅ 22007.
Etapa locală, Dolj, 2012
23
57. Să se determine numerele naturale nenule care împărŃite la 6 dau câtul x şi restul y, iar împărŃite la 11 dau câtul y şi restul x.
Etapa locală, Olt, 2012, prof. Valentin Rădulescu
58. ÎmpărŃind numărul ab cu numărul ba , obŃinem câtul 3 şi restul 5. AflaŃi acest număr.
Etapa locală, Harghita, 2012, Diana Szasz
59. ArătaŃi că suma resturilor împărŃirii unui număr natural de forma abc la a, b, res-pectiv c nu poate fi 23.
„CongruenŃe”, Brăila, 2012, prof. Nicolae Stănică 60. Se consideră toate resturile posibile în care deîmpărŃitul este cu 2013 mai mare decât restul.
a) DeterminaŃi numărul valorilor pe care le poate lua deîmpărŃitul. b) ArătaŃi că suma tuturor valorilor pe care le poate lua deîmpărŃitul este divizibilă
cu 2013. Etapa locală, Bucureşti, 2013, prof. Victor Nicolae, prof. Petre Simion
61. Fie numărul natural p, 2 ≤ p ≤ 1000, care la împărŃirea cu 9, respectiv 10 dă câtul 1. a) Pentru fiecare număr natural p care îndeplineşte condiŃiile problemei, determi-
naŃi suma cifrelor. b) AflaŃi toate numerele p care sunt pătrate perfecte.
Etapa locală, Prahova, 2013, prof. Petre Năchilă 62. a) AflaŃi numerele naturale de trei cifre care se măresc de 9 ori dacă li se adaugă o cifră în faŃă.
b) Suma a 63 de numere naturale distincte este egală cu 2012. AflaŃi produsul celor mai mici 10 numere distincte dintre cele 63 de numere .
„Unirea”, Focşani, 2013 63. Notăm cu A mulŃimea tuturor resturilor care se pot obŃine prin împărŃirea numere-lor naturale pare la 2012.
a) Să se arate că suma elementelor mulŃimii A nu este pătrat perfect. b) Fie trei numere naturale a, b şi c cu suma egală cu suma elementelor mulŃimii A.
Se poate termina produsul a ⋅ b ⋅ c în 2013 (adică ultimele patru cifre ale produsului a ⋅ b ⋅ c formează numărul 2013)? JustificaŃi răspunsul.
Etapa locală, BistriŃa-Năsăud, 2013
64. Ştiind că 26n+3 + 82n+1 = 22(2n+5)+468, n ∈ ℕ, să se afle restul împărŃirii la 5 a număru-
lui S = 2n + 3n + 4n + 5n. Etapa locală, Vrancea, 2013, prof. GicuŃa Dochioiu
65. AflaŃi toate numerele naturale de forma abc care împărŃite la bc dau câtul 4 şi
restul egal cu bc – 8. Etapa locală, Vrancea, 2013, G.M. nr. 10/2012
24
5. Ultima cifră a unui număr natural An, A, n ∈∈∈∈ N*
1. Se dă numărul A = nnnn 22
765 +++ , unde n ∈ ℕ* .
a) ArătaŃi că n2 + n este număr par. b) AflaŃi ultima cifră a numărului A. Etapa locală, Argeş 2008, ConstanŃa 2008
2. Fie numărul A = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ 2007 ⋅ 2008 + 2008. DeterminaŃi ultimele patru cifre ale lui A.
Etapa locală, Cluj 2008, prof. Ioan Groza 3. Să se determine restul împărŃirii numărului 21006 ⋅ 31002 ⋅ 42008 la 5.
Etapa locală, GalaŃi 2008, prof. Rodica şi Dumitru Bălan
4. AflaŃi ultima cifră a numărului A = 2n + 5n + 6n + 10n, n ∈ ℕ*.
Etapa locală, Maramureş 2008 5. a) Fie 100 ⋅ {x – [(22008 + 22007 + 22006 + 22005) : (22005 + 22004 + 22003 + 22002)]} =
= 35000. DeterminaŃi numărul x ∈ ℕ.
b) DeterminaŃi ultima cifră a numărului: y = x2008 + 2008x + (x + 2008)x+2008, unde x este determinat la punctul a).
Etapa locală, Satu-Mare 2008, prof. Anca Mois 6. AflaŃi ultima cifră a numărului:
1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + ... + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ 2003. Etapa locală, Argeş 2009
7. AflaŃi ultima cifră a numărului: a = 22009 + 32009 + 42009 + ... + 112009. Etapa locală, Botoşani 2009
8. CalculaŃi ultima cifră a numărului C = 2n + 4n + 6n + 8n, unde n este număr natural nenul oarecare.
Etapa locală, Timiş 2009 9. Să se determine ultimele două cifre ale numărului:
a = 102 + 1012 + 10022 + 100032 + 1000042. Etapa locală, Vaslui 2009
10. Ştiind că 9b...2b1b0ba ++++= , aflaŃi ultima cifră a lui ab. Etapa judeŃeană, Vaslui 2008
11. DemonstraŃi că oricare ar fi n ∈ ℕ*, cifra zecilor numărului 9 + 92 + 93 + ... + 94n
este pară. Etapa locală, BistriŃa Năsăud 2010, prof. Nastasia Chiciudean
12. Să se determine numerele naturale mai mici decât 5000, care au ultima cifră 7 şi sunt de forma 7m + 6n, unde m, n sunt numere naturale.
Etapa locală, GalaŃi 2010, prof. Visilina GuiŃă 13. Se consideră numărul S = 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 399. Să se determine ultimele două cifre ale lui S.
Etapa judeŃeană, Botoşani 2010 14. a) CalculaŃi suma 1 + 7 + 72 + 73. b) AflaŃi ultimele două cifre ale numărului N = 7 + 72 + 73 + ... + 72010.
Etapa judeŃeană, Hunedoara 2010, G.M.12/2009
25
15. AflaŃi ultimele 4 cifre ale numărului n = 2 ⋅ 8672 – 2 ⋅ 41005 – 22010. Etapa locală, Botoşani 2011, Gazeta Matematică 7-8-9/2010
16. Se dă produsul P = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 2010 ⋅ 2011. a) DeterminaŃi în câte cifre de 0 se termină produsul P. b) Eliminând din produs toŃi multiplii de 2 şi de 5, aflaŃi ultima cifră a numărului rămas.
Etapa locală, DâmboviŃa 2011 17. DeterminaŃi ultimele cinci cifre ale numărului 3 ⋅ 52n+5 + 52n+4.
Etapa locală, Ilfov 2011 18. Fie A = (250 ⋅ 1551 ⋅ 102 – 650 ⋅ 552 ⋅ 33 + 351 ⋅ 1050 ⋅ 52) ⋅ 27000. a) În câte zerouri se termină numărul A? b) DeterminaŃi ultima cifră diferită de 0 a numărului A.
Etapa locală, NeamŃ 2011
6. Pătrate şi cuburi perfecte
1. ArătaŃi că: a) numărul 13 + 23 + 33 + 43 este pătrat perfect. b) numărul a = 23n+7 – 23n+5 + 23n+2 se poate scrie ca suma a patru cuburi perfecte.
Etapa locală, BistriŃa-Năsăud 2008, prof. Lia Săplăcan
2. a) AflaŃi abc , astfel încât numărul 00abc2abcabcn ⋅−= să fie pătrat perfect.
b) AflaŃi abcd , astfel încât numărul abcd55000abcdn ⋅−= să fie cub perfect. Etapa locală, DâmboviŃa 2008, Damian Marinescu
3. i) GăsiŃi toate numerele naturale de forma ab pentru care numărul ++= a(37aaan
+ b) este pătrat perfect.
ii) DeterminaŃi numerele x, y ∈ ℕ astfel încât 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ x + 57 = y4.
Etapa locală, Dolj 2008 4. Să se scrie:
a) numărul 29n ca o sumă de trei pătrate perfecte, unde n ∈ ℕ*;
b) numărul 302n+1 ca o sumă de trei pătrate perfecte, dar şi ca o sumă de patru pătra-
te perfecte, unde n ∈ ℕ.
Etapa locală, Giurgiu 2008, prof. Rodica Mărăcineanu, Radu Stănică 5. ArătaŃi că numărul n = 162008 : 28002 este atât cub perfect, cât şi un pătrat perfect.
Etapa locală, Ilfov 2008
6. Fie m! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ m. AflaŃi m, n ∈ ℕ* astfel încât numărul m! + 22n+1 să fie
pătrat perfect. Etapa locală, Maramureş 2008
7. DeterminaŃi numerele de forma abcd pentru care acdb3 = şi cd este pătrat perfect. Etapa locală, Olt 2008, prof. Victoria Negrilă
26
8. a) Câte pătrate perfecte se pot forma folosind 1000 cifre de 7, 2000 de 8 şi 2008 zerouri? JustificaŃi răspunsul. b) Să se determine cel mai mare pătrat perfect cu 2008 cifre.
Etapa judeŃeană, GalaŃi 2008, prof. Daniel Coanda 9. a) ScrieŃi numărul 725 ca o sumă de două pătrate perfecte, respectiv trei pătrate perfecte. b) ArătaŃi că numărul 725725 poate fi scris ca o sumă de două, respectiv trei pătrate perfecte.
Etapa judeŃeană, Maramureş 2008, prof. Rita Pal
10. DeterminaŃi n ∈ ℕ* astfel încât numărul 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ (2n) + 73 să fie pătrat per-
fect. Etapa locală, Argeş 2009, Olt 2009
11. Fie A = 1 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + ... + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n. DeterminaŃi nume-
rele n ∈ ℕ*, pentru care numărul A este pătrat perfect. JustificaŃi răspunsul.
Etapa locală, Harghita 2009
12. Fie 13an2 += , n ∈ ℕ. Să se determine valorile lui n pentru care numărul a este
pătrat perfect. Etapa locală, Iaşi 2009
13. ArătaŃi că există o infinitate de numere naturale pentru care jumătatea şi dublul lor sunt numere naturale pătrate perfecte, iar sfertul lor este un număr natural cub perfect. Care este cel mai mic număr natural cu această proprietate?
Etapa locală, Prahova 2009, prof. Ion Tomescu, Ion Lupea 14. AflaŃi toate numerele naturale pătrate perfecte mai mici decât 2010, care împărŃite la 192 dau restul 64.
Etapa locală, Bacău 2010
15. DeterminaŃi cifrele nenule distincte a şi b, ştiind că babaab +++ este pătrat per-fect.
Etapa locală, Bucureşti 2010, G.M. 16. Dacă n este un număr natural, atunci numărul A = 6 ⋅ n4 + 2007 poate fi un pătrat perfect.
Etapa locală, Caraş-Severin 2010
17. AflaŃi numărul natural ab , ştiind că: 13 + 13 ⋅ 3 + 13 ⋅ 5 + ... + 13 ⋅ 25 = 3)1ab( + .
Etapa locală, Cluj 2010, prof. Gherasim Feurdean
18. DeterminaŃi cifra a, astfel încât numărul A = 5a7a2 + – 3 ⋅ a + 26 să fie pătrat perfect. Etapa locală, ConstanŃa 2010, prof. Stela Turcu
19. ArătaŃi că: a) x = 32n+3 ⋅ 42n+3 – 22n+1 ⋅ 62n+3 este pătrat perfect, ∀ n ∈ ℕ;
b) y = 2n + 3n+1 + 5n+2 + 7n+3 nu este pătrat perfect, ∀ n ∈ ℕ.
Etapa locală, Gorj 2010
20. Să se determine pătratele perfecte de forma 2a ⋅ 3b + 3, unde a, b ∈ ℕ.
Etapa locală, Hunedoara 2010
27
21. a) AflaŃi valoarea maximă a lui n, astfel încât: 230n | 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 2010. b) Să se scrie numărul 230 ca o sumă de trei pătrate perfecte.
c) Să se scrie numărul 2302n+1, n ∈ ℕ, ca o sumă de trei pătrate perfecte şi ca sumă
de patru pătrate perfecte. Etapa locală, Prahova 2010, prof. Viorica Preda, Adelina Popa
22. Se consideră numerele: a = 22008 : 22006 + 22004 : 22002 + ... + 24 : 22 şi b = 250 ⋅ 23. a) Să se scrie numărul a ca o sumă de cuburi ale aceluiaşi număr natural. b) ArătaŃi că a – b este cub perfect.
Etapa locală, Sălaj 2010 23. Suma numerelor naturale prime distincte a, b, c ordonate crescător este 10. AflaŃi numerele x, y, z, ştiind că: ab⋅c–x, ba⋅c–y, ca⋅b–z sunt pătrate perfecte.
Etapa locală, Sibiu 2010, prof. Cornel łichindelean 24. AflaŃi cifrele nenule a şi b, a ≠ b, ştiind că numărul:
n = b2a2)baab(2abbaaa +−−+− este pătrat perfect.
Etapa locală, Vâlcea 2010, prof. Alexandru Banu 25. Se dau numerele: x = 2 + 23 + 25 + ... + 22009 şi y = 1 + 22 + 24 + ... + 22008. a) AflaŃi ultima cifră a numărului 3 ⋅ (x – y). b) ScrieŃi numărul (x + y + 1) ca un pătrat perfect. c) ScrieŃi numărul (x + y + 1) ca un cub perfect.
Etapa judeŃeană, Alba 2010, Cluj 2010 26. a) AflaŃi numerele naturale a şi b, ştiind că a2 + b2 = 100. b) ArătaŃi că 102008 se poate scrie ca o sumă de două pătrate perfecte. c) ArătaŃi că 102009 se poate scrie ca o sumă de patru cuburi perfecte.
d) AflaŃi a, b, c, d, e ∈ ℕ astfel încât a4 + b4 + c4 + d4 + e4 = 102010.
Etapa judeŃeană, Braşov 2010, prof. Dorina Zaharia
27. Un număr de forma 5xxy împărŃit la un număr pătrat perfect de două cifre, dă câ-
tul tot un număr pătrat perfect, iar restul 64. Care este acest număr de patru cifre? Etapa judeŃeană, Covasna 2010
28. Să se determine toate numerele naturale care împărŃite la 1000, dau câtul un număr cub perfect, iar restul este egal cu pătratul câtului.
Etapa locală, Argeş 2010, GalaŃi 2010, G.M. 1/2009, E: 13759 29. Să se arate că 11112222 – 3333 este pătratul unui număr pozitiv.
Etapa judeŃeană, Harghita 2010
30. a) ScrieŃi numărul 20092009 sub forma x2 + y2, cu x, y ∈ ℕ*.
b) ScrieŃi numărul 2010 şi 20102011 sub forma x2 + y2 + z2, cu x, y, z ∈ ℕ*.
Etapa locală, Vâlcea 2010, Etapa judeŃeană, Mureş 2010 31. a) CalculaŃi 442 + 72 + 52. b) ArătaŃi că 2010n se poate scrie ca o sumă de trei pătrate perfecte nenule distincte, pentru orice număr natural nenul n.
Etapa judeŃană, Satu-Mare 2010, prof. Alexandru Blaga
28
32. Să se afle cel mai mic pătrat perfect care poate fi scris ca o sumă a 2002 numere naturale consecutive.
Etapa judeŃeană, Sălaj 2010, prof. Dorian Popa 33. a) AflaŃi toate perechile de cifre (x, y), în baza de numeraŃie 10, pentru care numă-
rul )zyx(xyz ++− este pătrat perfect.
b) Pentru ce perechi de cifre numărul menŃionat devine cub perfect. Etapa judeŃeană, Sibiu 2010, prof. Cornel łichindelean
34. Fie numărul natural A = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n + m, m, n ∈ ℕ*. AflaŃi primele două valori
ale numărului A şi numerele m şi n, ştiind că numărul A este pătrat perfect cât şi cub perfect.
Nicolae Grigore 35. a) ScrieŃi numărul 20002005 ca o sumă de două numere, unul pătrat perfect, iar celă-lalt cub perfect. b) ScrieŃi numărul 20052005 ca o sumă de două numere pătrate perfecte.
Etapa locală, Brăila 2011, prof. Ioan Puşcaru şi Monica Matei, Craiova
36. a) DemonstraŃi că numărul 17n, n ∈ ℕ* se poate scrie ca suma a trei pătrate perfecte
nenule. b) DeterminaŃi numerele naturale x, y, z, ştiind că: 23x+3 + 22y+2 + 2z+1 = 832.
Etapa locală, Bihor 2011, RMT 37. a) ArătaŃi că numărul 2011 ⋅ 2010 + 2011 este pătrat perfect. b) AflaŃi restul împărŃirii numărului 20112 la 2010. c) ArătaŃi că suma primelor 2011 numere naturale impare este egală cu 20112. d) ScrieŃi numărul 20112 ca o sumă de 2011 numere naturale consecutive.
Etapa locală, Braşov 2011, prof. Dorina Zaharia 38. Se împarte numărul natural a la numărul natural b şi se obŃine câtul 7 şi restul 13. a) Să se arate că 3a – 21 b – 23 este un pătrat perfect. b) Să se determine a şi b dacă 3a – 2b ≤ 305.
Etapa locală, Braşov 2011 39. a) DemonstraŃi că numărul A = 32n+3 ⋅ 42n+3 – 22n+1 ⋅ 62n+3 este pătrat perfect, oricare ar fi n, număr natural. b) ArătaŃi că numărul B = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22011 nu este pătrat perfect.
Etapa locală, Botoşani 2011 40. Suma a două numere este 744, iar unul dintre ele este cu 39 mai mare decât jumă-tatea celuilalt. ArătaŃi că diferenŃa celor două numere este un pătrat perfect.
Etapa locală, Caraş-Severin 2011, prof. Vasile Chis 41. Fie numărul x = 50 ⋅ 52010 ⋅ 22011 – 2012. a) Numărul x este pătrat perfect? b) CalculaŃi suma cifrelor numărului x.
Etapa locală, Cluj 2011, prof. Ioan Pop 42. Să se scrie numărul A = 92011 ca o sumă de două cuburi perfecte, iar numărul B = = 102011 ca o sumă de două pătrate perfecte.
Etapa locală, Cluj 2011, prof. Gherasim Feurdean
29
43. Se consideră numărul: a = 26n+2 + 43n+2 + 82n+1, n ∈ ℕ.
a) AflaŃi cea mai mică valoare a lui p ∈ ℕ*, astfel încât p ⋅ a este pătrat perfect,
pentru orice n ∈ ℕ.
b) AflaŃi cea mai mică valoare a lui p ∈ ℕ*, astfel încât p ⋅ a este cub perfect, pen-
tru orice n ∈ ℕ.
Etapa locală, DâmboviŃa 2011, prof. Damian Marinescu, prof. Sorin Ion 44. Se consideră primele zece numere naturale care sunt, simultan, pătrate perfecte şi cuburi perfecte. a) Suma celor zece numere de mai sus este divizibilă cu 2? Dar cu 5?
b) Să se scrie divizorii şi multiplii numărului natural k = 1 + p + ab , unde p este
produsul numerelor din enunŃ, iar ab este un număr prim având suma cifrelor maximă. Etapa locală, GalaŃi 2011, prof. Vasile Duma
45. DeterminaŃi pătratele perfecte de forma aabb , unde a şi b sunt cifre în baza 10. Etapa locală, Iaşi 2011
46. Să se determine numărul natural de două cifre, scris în baza zece, ştiind că atât suma, cât şi diferenŃa dintre acesta şi răsturnatul său sunt simultan pătrate perfecte.
Etapa locală, Prahova 2011, prof. Anda Marcu
47. Numărul x = ab este format din primele două numere prime. a) ArătaŃi că x nu este pătrat perfect.
b) Dacă n = a ⋅ k + b, a < b, k ∈ ℕ, atunci an + a2k este pătrat perfect.
Etapa locală, Sibiu 2011, prof. Cornel łichindelean
48. Să se determine pătratele abcd , ştiind că a este pătrat perfect şi că bcd este pătra-
tul lui ad . Etapa locală, Teleorman 2011
49. ÎmpărŃind numărul natural a la numărul natural b, obŃinem câtul 3 şi restul 16. a) GăsiŃi cea mai mică valoare a numărului a + b. b) ArătaŃi că 3a – 9b + 1 este pătrat perfect. c) AflaŃi a şi b, ştiind că a – b < 56, iar b nu este prim.
Etapa locală, Vâlcea 2011,
prof. Leon Genoiu, prof. Dragoş Constantinescu 50. Să se determine cel mai mare număr natural de cinci cifre, cub perfect, care poate
fi scris ca produs dintre un cub perfect de forma abba şi un alt număr natural. Etapa locală, Vâlcea 2011, prof. Cristina PîrvuŃă
51. a) CalculaŃi 12 + 52 + 102 + 272 + 342. b) DemonstraŃi că numărul 20112011 poate fi scris ca o sumă de cinci pătrate perfecte.
Etapa locală, Hunedoara, 2012, G.M. nr. 10/2011 52. CalculaŃi suma primelor 200 de numere naturale care nu sunt cuburi perfecte.
Etapa locală, Vâlcea, 2012
30
53. Fie numerele m = 1 + 3 + 32 + 33 + … + 32011 şi n = 1 + 7 + 72 + … + 72011. ArătaŃi că m ⋅ n se divide cu un număr natural care este cub perfect.
Etapa locală, DâmboviŃa, 2012, prof. Cristian Grecu
54. Ştiind că abc145 3abc2 1abc+ = + 153254, arătaŃi că:
a) numărul abc nu este pătrat perfect; b) numărul a3 + b3 + c3 este pătrat perfect.
Etapa locală, Caraş-Severin, 2012, prof. Mariana Drăghici 55. Dacă a + b = 50 şi b + c = 62, arătaŃi că 4a + 6b + 2c este pătrat perfect.
Etapa locală, Vrancea, 2012, prof. Vasile Tarciniu
56. StabiliŃi dacă numărul n = 1 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + … + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 89 este pătrat perfect.
Etapa locală, Ilfov, 2012, prof. Elena Georgescu 57. a) DaŃi un exemplu de triplet (a, b, c), unde a, b, c şi (a + b + c) : 3 sunt patru pătra-
te perfecte diferite, a, b, c ∈ ℕ*.
b) ArătaŃi că există o infinitate de triplete (a, b, c), unde a, b, c şi (a + b + c) : 3 sunt patru numere naturale pătrate perfecte diferite.
Etapa locală, DâmboviŃa, 2013
58. DeterminaŃi câte numere naturale de forma xyz au proprietate că numărul
xyz xy− – z este cub perfect.
Etapa locală, Bucureşti, 2013, G.M.
59. Fie mulŃimile A = {xn | xn = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ n + 57}, n ∈ ℕ*} şi B = {y4 | y ∈ ℕ}.
a) DemonstraŃi că x9 ∉ B. b) DeterminaŃi mulŃimea A ∩ B.
Etapa locală, Iaşi, 2013, prof. Alice AniŃa 60. ArătaŃi că nu există numere naturale x, y astfel încât 5x2 + 3y2 = 20132012.
Etapa locală, Mureş, 2013
61. ArătaŃi că numărul a = 2 2n n 2012 m m 2014 2013m n4 9 6− + − + ⋅+ + nu este pătrat perfect, oricare
ar fi m şi n numere naturale, cu m > 1, n > 1. Etapa locală, Prahova, 2013
62. Se dau numerele x = 1 + 31 + 32 + 33 + … + 319 şi y = 1 + 61 + 62 + 63 + … + 611. a) Să se determine ultima cifră a sumei x + y. b) să se compare 2x şi 5y.
Etapa locală, Teleorman, 2013 63. a) VerificaŃi egalitatea 72 ⋅ (12 + 22 + 62) = 2009.
b) ArătaŃi că există a, b, c, d distincte, astfel încât a2 + b2 + c2 + 2d2 = 2011. Etapa locală, Harghita, 2013
64. ScrieŃi numărul 62012 ca o sumă dintre un pătrat perfect nenul şi un cub perfect ne-nul.
„Cezar Ivănescu”, Târgovişte, 2013, prof. Petre Liviu, G.M. nr. 5/2012 65. ScrieŃi numărul 92011 ca o sumă de două cuburi perfecte.
Etapa locală, Vrancea, 2013, G.M. nr. 5/2012
81
pară ⇒ c = 2 şi b = 5, a = 9. Deci 952abc = . 10. x = a ⋅ c1 + (2b – 5); 2b – 5 < a; x = b ⋅ c2 + + (4a – 8); 4a – 8 < b. Din 4a – 8 < b | ⋅ 2 ⇒ 8a – 16 < 2b ⇒ 8a – 21 < 2b – 5 ⇒ a < 3. Dar a > 1 ⇒ a = 2 şi 2b – 5 < 2 ⇒ 2b < 7 ⇒ b < 4 ⇒ b = 3. Avem x = 2c1 + 1 şi c = 3c2, x număr impar ⇒ 3c2 număr impar, atunci c2 număr impar ⇒ c2 = 2k + 1 şi x = 6 ⋅ k + 3. Deci restul împărŃirii lui x la 6 este 3. 11. Fie an numărul care satisface cerinŃele problemei; an = 2010 ⋅ cn + rn
cu rn < 2010 şi rn = 2cn, n ∈ ℕ*. Restul este număr par, atunci numerele sunt de forma an =
= 2012 ⋅ cn, cn ≤ 1004. Pentru cn ∈ {1, 2, 3, ..., 1004}, S = 2012(1 + 2 + 3 + ... + 1004) = 1004 ⋅ ⋅ 1005 ⋅ 1006. SoluŃia a II-a: a1 = 2010 ⋅ 1 + 2; a2 = 2010 ⋅ 2 + 4; a3 = 2010 ⋅ 3 + 6; ... ; a1004 = = 2010 ⋅ 1004 + 2008 ⇒ S = 2010(1 + 2 + 3 + ... + 1004) + 2(1 + 2 + 3 + ... + 1004) = = 2012(1 + 2 + 3 + ... + + 1004) ⇒ S = 1004 ⋅ 1005 ⋅ 1006 (produs de trei numere naturale con-
secutive). 12. Fie abcd număr olimpic. Folosind teorema împărŃirii cu rest avem ⋅= xyzabcd c +
+ r, r = 997, r < xyzxyz ⇒ ∈ {998, 999}. Dacă 997c998abcd998xyz +⋅=⇒= cel mai mic
abcd este pentru c = 1 ⇒ 1995abcd = . Dacă 997c999abcd999xyz +⋅=⇒= cel mai mare
număr „olimpic” abcd este pentru c = 9, =abcd 999 ⋅ 9 + 997 = 9988. Suma celor două nume-re „olimpice” este 1995 + 9988 = 11983. 13. Numărul A conŃine ca factor pe 29; A = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ⋅ 28 ⋅ 29 ⋅ 30 ⋅ ... ⋅ 2010 – 29 + 14 = 29(1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 28 ⋅ 30 ⋅ ... ⋅ 2010 – 1) + 14. Cum 14 < 29 ⇒ r = 14 (conform teoremei împărŃirii cu rest). 14. a) Aplicăm teorema împărŃirii cu rest pentru numărul natural n: x = 6c1 + 5 şi c = 8c2 + 5 ⇒ (x – 5) = 6c1 = 8c2 ⇒ ⇒ x – 5 = 24 ⋅ k,
k ∈ ℕ* ⇒ x = 24k + 5 este de forma generală ⇒ A = {x ∈ ℕ | x = 24k + 5, cel mai mic număr
natural de trei cifre}. Pentru k ∈ {1, 2, 3} nu avem soluŃie. Numărul cerut este x = 24 ⋅ 4 + 5 = = 101. ObservaŃie: Cel mai mare număr de trei cifre este 24 ⋅ 41 + 5 = 989, iar card A = 41 – – 4 + 1 = 38 (numere); b) Cum x ∈ A ⇒ a = (24k + 5 – 5)(24k + 5 + 4)(24k + 5 + 3) = = 24k(24k + 9)(24k + 8) = 24k ⋅ 3 ⋅ 8(8k + 3)(3k + 1) = 576k(8k + 3)(3k + 1). Pentru k = 2p ⇒ ⇒ a = 1152p(16p + 3)(6p + 1) restul este 0. Pentru k = 2p + 1 ⇒ a = (1152p + 576)(16p + + 11)(6p + 4) = 576(2p + 1)(16p + 11) ⋅ 2(3p + 2) = 1152(2p + 1)(16p + 11)(3p + 2) ⇒ restul este 0. Deci restul împărŃirii numărului a la 1152 este 0, pentru orice x ∈ A. 15. Folosim teo-rema împărŃirii cu rest: a = 2010 ⋅ c1 + 100; b = 2010 ⋅ c2 + 300 ⇒ 2b = 2 ⋅ 2010 ⋅ c2 + 600; c = = 2010 ⋅ c3 + 600 ⇒ 3c = 3 ⋅ 2010 ⋅ c3 + 1800 şi a + 2 ⋅ b + 3 ⋅ c = 2010(c1 + + 2c2 + 3c3) + + 1 ⋅ 2010 + 490 ⇒ a + 2 ⋅ b + 3 ⋅ c = 2010(c1 + 2 ⋅ c2 + 3 ⋅ c3 + 1) + 490 ⇒ r = 490. 16. Fie
n ∈ ℕ* numărul cerut şi aplicând teorema împărŃirii cu rest, avem: n = 67 ⋅ c + 0 şi n = 65 ⋅ c +
+ 60 ⇒ 67 ⋅ c = 65 ⋅ c + 60 ⇒ 2 ⋅ c = 60 ⇒ c = 30 şi n = 67 ⋅ 30 = 2010. 17. 8 ⋅ n + 1 = a2, 8n + 1
număr impar, oricare ar fi n ∈ ℕ*; U(a2) ∈ {1, 5, 9} ⇒ U(8n) ∈ {0, 4, 8} ⇒ U(n) ∈ {0, 3, 5, 8}.
Dacă U(n) = 0 ⇒ U(6n + 4) = 4. Dacă U(n) = 3 ⇒ U(6n + 4) = 2 nu este pătrat perfect. Dacă U(n) = 5 ⇒ U(6n + 4) = 4. Dacă U(n) = 8 ⇒ U(6n + 4) = 2 nu este pătrat perfect. Cum 6n + 4 este pătrat perfect şi U(6n + 4) = 4 ⇒ U(n) ∈ {0, 5} şi 5 | n, atunci restul împărŃirii lui n la 5 este zero. 18. a) Fie an numerele impare, atunci conform teoremei împărŃirii cu rest avem: an =
= 2010 ⋅ cn + rn, n ∈ ℕ, an numere impare ⇒ rn numere impare, rn < < 2010; rn ∈ {1, 3, 5, ...,
2009}. Deci card A = 10052
12009=
+elemente; b) an = 2010 ⋅ cn + cn = 2011 ⋅ cn, cn ∈ {1, 3, 5,
..., 2009}; a1 = 2011 ⋅ 1; a2 = 2011 ⋅ 3, a3 = 2011 ⋅ 5; ... ; a1005 = 2011 ⋅ 2009 ⇒ S = 2011 ⋅ (1 + + 3 + 5 + ... + 2009). Vom scrie fiecare număr impar al sumei din paranteză, ca o sumă dintre un număr par mărit cu 1: S = 2011 ⋅ [(0 + 1) + (2 + 1) + (2 ⋅ 2 + + 1) + (2 ⋅ 3 + 1) + ... +
82
+ (2 ⋅ 1004 + 1)] = 2011 ⋅ [(2 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + ... + 2 ⋅ 1004) + 1 ⋅ 1005] = 2011 ⋅ 2 ⋅ +⋅
2
10051004
+ 2011 ⋅ 1005 = 2011 ⋅ 502 ⋅ 2 ⋅ 1005 + (2010 + 1) ⋅ 1005 = 2011 ⋅ 502 ⋅ 2010 + 2010 ⋅ 1005 + + 1005 = 2010 ⋅ (2011 ⋅ 502 + 1005) + 1005 ⇒ r = 1005. 19. SoluŃia I: Cu teorema împărŃirii cu rest avem: n = 17 ⋅ c1 + r1 < 17; r1 = c1 ⇒ n = 18 ⋅ c1; n = 23 ⋅ c2 + r2, r2 < 23, r2 = c2 ⇒ n = = 24 ⋅ c2. Din cele două relaŃii obŃinem: 18 ⋅ c1 = 24 ⋅ c2 ⇒ 3 ⋅ c1 = 4 ⋅ c2 ⇒ 3 | c2 şi 4 | c1 ⇒ ⇒ 4 | c1 şi c1 < 17 ⇒ c1 ∈ {4, 8, 12, 16} ⇒ n ∈ {72, 144, 216, 288}. SoluŃia a II-a: n = 18 ⋅ c1 şi n = 24 ⋅ c2 ⇒ n este multiplu comun al numerelor 18 şi 24, cel mai mic fiind 72 şi 3 ⋅ c1 =
= 4 ⋅ c2 ⇒ c1 = 4k < 17, c2 = 3k < 23, k ∈ ℕ* ⇒ k ≤ 4 şi k ≤ 7 ⇒ k ∈ {1, 2, 3, 4}. Numerele
care îndeplinesc cerinŃele problemei sunt n = 72 ⋅ k, k ∈ {1, 2, 3, 4} ⇒ n ∈ {72, 144, 216, 288}. 20. Fie an cele zece numere impare. Conform teoremei împărŃirii cu rest avem an = 20 ⋅ cn + rn, rn < 20 şi rn = cn ⇒ an = 21 ⋅ cn numere impare ⇒ cn ∈ {1, 3, 5, ..., 19} şi avem (19 + 1) : 2 = = 10 numere; a1 = 21 ⋅ 1; a2 = 21 ⋅ 3; a3 = 21 ⋅ 5; ... ; a10 = 21 ⋅ 19 ⇒ S = 21 ⋅ (1 + 3 + 5 + ... + + 19) = 21 ⋅ 102 = 2100. 21. Cele zece numere naturale consecutive sunt: x, x + + 1, x + 2, ...,
x + 9, x ∈ ℕ*; S = 10x + 45 = 10x + 4 ⋅ 10 + 5 = 10(x + 4) + 5, 5 < 10 ⇒ r = 5; b) P = x ⋅ (x +
+ 1)(x + 2) ⋅ ... ⋅ (x + 9). Dacă x = 2k atunci 2 | x şi 2 | x + 2 sau 2 | x + 4 sau ... ⇒ 4 | P. Dacă x
= 2k + 1 ⇒ 2 | x + 1 sau 2 | x + 3 sau ... ⇒ 4 | P. Deci 4 | P oricare ar fi x ∈ ℕ* (1). Printre cele
zece numere naturale există cel puŃin două numere divizibile cu 5. Deci 25 | P. Numărul natural x ∈ {5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4}. Vom arăta că pentru x = 5k + 4, există două numere dintre cele zece divizibile cu 5: x = 5k + 4, x + 1 = 5k + 4 + 1 = 5(k + 1) şi x + 6 = 5k + 4 + 6 = = 5(k + 2) ⇒ x + 1§5 şi x + 6§5 ⇒ 25 | P (2). Din (1) şi (2) ⇒ (4, 25) = 1 ⇒ 4 ⋅ 25 | P ⇒ ⇒ 100 | P; restul împărŃirii lui P la 100 este 0. 22. Folosind teorema împărŃirii cu rest obŃinem: n = 10 ⋅ c + r, r < 10 şi n = 4 ⋅ r + c, c < 4 ⇒ 10c + r = 4r + c ⇒ 9c = 3r ⇒ 3c = r, dar c < 4 ⇒ ⇒ c ∈ {0, 1, 2, 3} ⇒ r ∈ {0, 3, 6, 9} şi n ∈ {0, 13, 26, 39}. 23. a) Pentru n ≠ 0 U(5n) = 5 şi avem 2010 termeni cu ultima cifră 5; U(2010 ⋅ 5) = 0 ⇒ U(n) = U(0 + 1) = 1; b) n are 2011 termeni, pe care îi grupăm convenabil doi câte doi pentru a avea factor comun pe 6: n = 1 + + (5 + 52) + (53 + 54) + ... + (52009 + 52010); n = 1 + 6 ⋅ 5 + 6 ⋅ 53 + ... + 6 ⋅ 52009 = 6(5 + 53 + ... + + 52009) + 1 ⇒ r = 1; c) n = 1 + 5 + 52 + 53 + ... + 52010 | ⋅ 5; 5n = 5 + 52 + 53 + ... + 52011; adu-nând, rezultă: 4n = 52011 – 1 ⇒ 52011 = 4 ⋅ n + 1. Restul împărŃirii numărului 52011 la numărul natural n este 1. 24. a) a = b ⋅ c2 + r2, r2 < b şi c2 = r2 ⇒ a = b ⋅ r2 + r2, dar a + b ≤ 1010, obŃinem b2 + r2 + r2 + b2 = 1010 ⇔ b2r2 + r2 + b2 + 1 = 1011; r2(b2 + 1) + (b2 + 1) = 1011 ⇒ (b2 + 1)(r2 + 1) = = 1011 dar r2 < b ⇒ r2 + 1 < b + 1 ⇒ (r2 + 1)2 < (r2 + 1)(b + 1) ≤ 1011 ⇒ (r2 + 1)2 ≤ 961 = = 312 ⇒ r2 + 1 ≤ 31 ⇒ r2 < 30 ⇒ r ∈ {1, 2, 3, 4, 5}. Dacă r = 1, b + 1 ≤ 505; b ≤ 504, b > 1 ⇒ ⇒ b ∈ {2, 3, ..., 504}; b ia 504 – 1 = 503 valori. Dacă r = 2, b ≤ 201, b > 4; b ia 201 – 4 = 197 valori. Dacă r = 3 ⇒ b ≤ 100 şi b > 9, b ia 91 valori. Dacă r = 4 ⇒ b ≤ 58, b > 16, b ia 42 va-lori. Dacă r = 5 ⇒ b ≤ 37, b > 25, b iar 12 valori şi avem 503 + 197 + 91 + 42 + 12 = 845 pe-rechi de numere naturale (a, b); b) Din a + b + 1 = (b + 1)(r2 + 1) ≤ 1011 ⇒ max(a + b + 1) = + 1011 ⇒ max b = 504, r = 1 şi a = 504 ⋅ 1 + 1 = 505. Deci max(a + b) = 505 + 504 = 1009.
25. Folosim formula (x + 1)k = Mx + 1. Numărul a = m
2M 1(2 1) 2 n n7 (5 ) 7 25++ + = + = 49p ⋅ 7 +
+ (24 + 1)n = 7(48 + 1)p + (24 + 1)n = 7 ⋅ M24 + 7 + M24 + 1 = M24 + 8, deci r = 8. 26. Conform teoremei împărŃirii cu rest avem: 5577 = a ⋅ b + 11, a > 11 (1); b = a ⋅ 11 + 11 (2); a) Din (2) ⇒ ⇒ b = 11(a + 1) ⇒ 11 | b, b se împarte exact la 11; b) Din (1) ⇒ a ⋅ b = 5566 ⇔ a ⋅ 11(a + 1) = = 2 ⋅ 112 ⋅ 23 | : 11 ⇒ a(a + 1) = 22 ⋅ 23, produs de două numere naturale consecutive ⇒ a =
83
= 22, b = 11 ⋅ 23 = 253. 27. a = b ⋅ c + r, 0 ≤ r < b, c = 2
b⇒ b = 2c,
4
cr = ⇒ c = 4r, b = 8r. Din
enunŃ cunoaştem b + c + r = 117 ⇒ 8r + 4r + r = 117 ⇒ 13r = 117 ⇒ r = 9. Deci c = 4 ⋅ 9 = 36, b = 8 ⋅ 9 = 72 şi a = 72 ⋅ 36 + 9 = 2601. 28. Fie an numerele care împărŃite la 5, dau câtul şi
restul numere naturale consecutive, n ∈ ℕ. Avem două cazuri: 1) câtul mai mic decât restul:
an = 5 ⋅ cn + cn + + 1, cu 0 < r < 5 ⇒ cn < 4; c = 0 ⇒ a0 = 5 ⋅ 0 + 0 + 1 ⇒ a0 = 1; c = 1 ⇒ a1 = = 6 ⋅ 1 + 1 = 7; c = 2 ⇒ a2 = 6 ⋅ 2 + 1 = 13; c = 3 ⇒ a3 = 6 ⋅ 3 + 1 = 19 ⇒ numerele sunt 1, 7, 13, 19. Suma lor este 1 + 7 + 13 + 19 = 40; 2) câtul mai mare decât restul: an = 5 ⋅ cn + cn – 1, r < 5 ⇒ cn < 6, n ≠ ≠ 0; c = 1 ⇒ a1 = 6 ⋅ 1 – 1 = 5, c = 2 ⇒ a2 = 6 ⋅ 2 – 1 = 11; c = 3 ⇒ a3 = = 6 ⋅ 3 – 1 = 17, c = 4 ⇒ a4 = 6 ⋅ 4 – 1 = 23; c = 5 ⇒ a5 = 6 ⋅ 5 – 1 = 29. Numerele sunt 5, 11, 17, 23, 29. Suma lor este 5 + 11 + 17 + 23 + 29 = 85. Deci suma tuturor numerelor cu proprie-tatea din enunŃ este 40 + 85 = 125. 29. Din m + n = 2011 şi m = n ⋅ c + 3, n > 3 ⇒ n ⋅ c + n + 3 = = 2011 ⇔ n(c + 1) = 2008, D2008 > 3 = {4, 8, 251, 502, 1004}. Pentru n ∈ ∈ {4, 8, 251, 502, 1004} ⇒ m ∈ {2007, 2003, 1760, 1509, 1007}. SoluŃia este (m, n) ∈ {(1007, 1004); (1509, 502); (1760, 251); (2003, 8); (2007, 3)}. 30. Cu teorema împărŃirii cu rest avem: n = 4 ⋅ a + b, b < 4 şi n = 10 ⋅ b + a, 0 < a < 10 ⇒ 4a + b = 10b + a ⇒ 3a = 9b ⇒ a = 3b, dar b ∈ {1, 2, 3} ⇒
⇒ a ∈ {3, 6, 9} şi n ∈ {13, 26, 39}. 31. Fie xyzt numerele de patru cifre scrise în baza 10.
Atunci avem =xyzt 11 ⋅ a + b, cu 0 < b < 11 şi =xyzt 2011b + a, cu 0 < a < 2011 ⇒ 11a + b =
= 2011b + a ⇔ 10a = 2010b | : 10 ⇒ a = 201b. Cum b ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ⇒ a ∈
∈ {201, 402, 603, 804, 1005, 1206, 1407, 1608, 18009, 2010}; b = 1, a = 201 ⇒ =xyzt 11 ⋅
⋅ 201 + 1 = 2212; b = 2, a = 402 ⇒ =xyzt 11 ⋅ 402 + 2 = 4424; b = 3, a = 603 ⇒ =xyzt 11 ⋅
⋅ 603 + 3 = 6636; b = 4, a = 804 ⇒ =xyzt 11 ⋅ 804 + 4 = 8848; b = 5, a = 1005 ⇒ =xyzt 11 ⋅
⋅ 1005 + 5 = 11060 (imposibil). Deci xyzt∈ {2212, 4424, 6636, 8848}. 32. Fie a şi b cele două
numere; a ≥ b, b < 2010. Cu teorema împărŃirii cu rest avem: a = b ⋅ c + r, r < b ⇒ a = b ⋅ 24 + 2008. Cum b < 2010 şi b > 2008 ⇒ b = 2009 şi a = 2009 ⋅ 24 + 2008; a = 48216 + 2008 = 50224.
Numerele cerute sunt a = 50224 şi b = 2009. 33. yzt2x),2x()1x(yztxyzt <++++⋅= ⇔
⇔ 1000x + =yzt yzt ⋅ x + yzt + x + 2 ⇔ 999x – yzt ⋅ x = 2 ⇔ x(999 – yzt ) = 2 = 1 ⋅ 2. Dacă
x = 1 ⇒ 999 – yzt = 2 ⇒ yzt = 997 ⇒ =xyzt 1997. Dacă x = 2 ⇒ 999 – yzt = 1 ⇒ yzt =
= 998 ⇒ xyzt = 2998. Deci xyzt∈ {1997, 2998}. 34. m = 31 + 34 + 37 + 40 + ... + 97 + 100,
avem: 2413
31100=+
−termeni. Numărul m se poate scrie: m = (3 ⋅ 10 + 1) + (3 ⋅ 11 + 1) +
+ (3 ⋅ 12 + + 1) + ... + (3 ⋅ 32 + 1) + (3 ⋅ 33 + 1); m = 3 ⋅ (10 + 11 + 12 + ... + 33) + 1 ⋅ 24; m =
= 3 1572242
109
2
3433=+
⋅
−
⋅⋅ ; n = 38 + 41 + 44 + ... + 95 + 98. Avem 211
3
3898=+
−
termeni; n = (3 ⋅ 12 + 2) + (3 ⋅ 13 + 2) + (3 ⋅ 14 + 2) + ... + (3 ⋅ 31 + 2) + (3 ⋅ 32 + 2); n =
= 3 ⋅ (12 + 13 + + 14 + ... + 31 + 32) + 2 ⋅ 21; n = 3 ⋅ 1428422
1211
2
3332=+
⋅−
⋅; a) 2 ⋅ m –
– 2n + 20 = 2(m – n + 10) = 2 ⋅ (1572 – 1428 + 10) = 308; b) p = 30 ⋅ 1572 – 2 ⋅ 1428 + 21 =
84
= 44325 ⇒ r = 1. 35. Folosim teorema împărŃirii cu rest: 7|2c9A
9|4c7A
2
1
⋅+=
⋅+=
14c63A7
36c63A9
2
1
+⋅=
+⋅=⇒ .
Se scad aceste ultime două relaŃii şi avem 2A = 63(c1 – c2) + 22 | : 2 ⇒ 2A şi 22 numere pare, de unde rezultă 63(c1 – c2) număr par ⇒ c1 – c2 = număr par ⇒ c1 şi c2 au aceeaşi paritate ⇒
⇒ A = 63 ⋅ c + 11 ⇒ restul împărŃirii numărului A la 63 este 11. 36. =ab n ⋅ b + c; =bc n ⋅ c + a;
=ca n ⋅ a + b; se adună aceste relaŃii şi obŃinem: ab bc+ =+ ca n ⋅ (a + b + c) + (a + b + c) ⇔ ⇔ 11(a + b + c) = (a + b + c)(n + 1) | : (a + b + c) ⇒ 11 = n + 1 ⇒ n = 10 şi obŃinem:
cabcab
ba10ac10
ac10cb10
cb10ba10
==⇒
+=+
+=+
+=+
⇒ a = b = c. 37. a = b ⋅ c + r, r < b, r = 9 ⇒ b > 9 ⇒ b ∈
∈ {10, 11, 12, ...}; c = 9 ⋅ 110 + 2 ⇒ c = 992; a = b ⋅ 992 + 9, a < 2011; b = 10 ⇒ a = 9920 + + 9 = 9929 > 2011. Deci nu există numărul natural a, care să îndeplinească condiŃiile date. ObservaŃie: Problema are soluŃii dacă: numărul c (câtul) se împarte la 9, se obŃine un cât mai mic decât 110 (de exemplu, 11) şi restul 2; c = 9 ⋅ 11 + 2 = 101. Atunci a = b ⋅ 101 + 9 cu b > 9, b ∈ {10, 11, 12, 13, ...}; b = 10 ⇒ a = 10 ⋅ 101 + 9 = 1019; b = 11 ⇒ a = 11 ⋅ 101 + 9 =1120; b = 12 ⇒ a = 12 ⋅ 101 + 9 = 1221; b = 13 ⇒ a = 13 ⋅ 101 + 9 = 1322; ...; b = 19 ⇒ a = 19 ⋅ 101 + + 9 = 1928 < 2011; b = 20 ⇒ a = 20 ⋅ 101 + 9 = 2029 > 2011. Deci numărul a ia 19 – 10 + 1 = = 10 valori. 38. a) Cel mai mic număr de trei cifre este 100; 100 = 9 ⋅ 11 + 1, iar cel cerut este 9 ⋅ 11 + 8 = 107. Cel mai mare număr de trei cifre este 999; 999 = 9 ⋅ 111 + 0, iar cel cerut este
9 ⋅ 110 + 8 = 998; b) Fie numerele de trei cifre cerute, abc . Cu teorema împărŃirii cu rest
avem: abc = n ⋅ q + r, r = 8, r < q; q număr de o singură cifră ⇒ q = 9 şi n > 10; n = 11 ⇒
⇒ abc = 9 ⋅ 11 + 8 = 107; n = 12 ⇒ abc = 9 ⋅ 12 + 8 = 116; ... ; n = 110 ⇒ abc = 9 ⋅ 110 + 8 = = 998 cel mai mare număr; suma lor este egală cu 9(11 + 12 + ... + 110) + 8 ⋅ 100 = 9 ⋅
⋅ 8002
1110
2
111110+
⋅−
⋅; S = 9 ⋅
2
110⋅ (111 – 1) + 80 = 9 ⋅ 55 ⋅ 110 + 80 = 54530. 39. 2an =
= an–1 + x, x ∈ ℕ* şi n ≥ 2 ⇒ =na2
xa 1n +− ; 20101 22 3 2011 2012
a xa x a xa ;a ;...;a ; a
2 2 2
++ += = = =
2011a x
2
+= ; a1 = a1; 20122012 aa = ;
2
a2ax2011a...aaaS 12012201221
20122012++++++
=+ ⇔
⇔ S2012 + a2012 = 2
a2ax2012S 120122012 +++= ⇔ 2S2012 + 2 ⋅ a2012 = S2012 + 2011x + a2012 +
+ 2a1 ⇔ S2012 = 2011 ⋅ x + 2a1 – a2012. Atunci numărul A = 2011 ⋅ x + 2a1 – a2012 + a2012 –
– 2a1 ⇒ A = 2011x; 2011 | A ⇒ r = 0 şi câtul este x ∈ ℕ*. 40. Numărul A = 7 ⋅ 32011 se poate
scrie A = 4 ⋅ 32011 + 8 ⋅ 32010 + 32010 ⇒ A = 4 ⋅ 32010 ⋅ 5 + 32010. Cum 32010 < 4 ⋅ 32010 ⇒ câtul = 5; restul este 32010. 41. Fie a, b cele două numere cu a > b. Atunci a – b = 17 şi a + b = 17 ⋅ 235 + 0. Din a – b = 17, a + b = 17 ⋅ 235 ⇒ 2a = 17 ⋅ 236 ⇒ a = 17 ⋅ 118 = 2006 şi b = 2006 – 17 = = 1989. 42. a) Conform teoremei împărŃirii cu rest avem: n = 2007 ⋅ c + r, r < 2007, c = r + 1, r ∈ {0, 1, 2, 3, ..., 2006}; c = 1 ⇒ n1 = 2007 ⋅ 1 + 0; c = 2 ⇒ n2 = 2007 ⋅ 2 + 1; c = 3 ⇒ n3 = = 2007 ⋅ 3 + 2; ....; c = 2007 ⇒ n2007 = 2007 ⋅ 2007 + 2006; se adună toate aceste relaŃii si
avem: S = 2007 ⋅ (1 + 2 + 3 + ... + 2007) + (1 + 2 + 3 + ... + 2006) ⇒ S = 2007 ⋅ +⋅
2
20082007
85
=⋅
+2
200720062007 ⋅ 2007 ⋅ 1004 + 1003 ⋅ 2007 ⇒ S = 2007 ⋅ (2007 ⋅ 1004 + 1003) ⇒
⇒ 2007 | S; b) U(S) = U[U(2007) ⋅ U(2007 ⋅ 1004 + 1003)] = U[7 ⋅ [U(2007 ⋅ 1004) + + U(2003)]] = U(7 ⋅ U(8 + 3)] = U(7 ⋅ 1) = 7. 43. 151 = (n + 1) ⋅ 3 + r, r < n + 1, r maxim ⇒ r = n. Avem 151 = 3n + 3 + n ⇔ 4n = 148 ⇒ n = 37. 44. a) Numărul a se poate scrie a = 5 ⋅ 32012 = = 5 ⋅ 32 ⋅ 32010 = 45 ⋅ 32010 = 14 ⋅ 3 + 3 ⋅ 32010 = 14 ⋅ 32010 ⋅ 3 + 32010 ⋅ 3 = b ⋅ 3 + 32011 ⇒ r = 32011; cum 32011 < 5 ⋅ 32010; b) Produsul 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2011 = M7. Deci 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2012 + 3 =
= M7 + 3 ⇒ r = 3; c) 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2012 – 3 = M7 – 3 ⇒ r = 4. 45. Fie deîmpărŃitul xx5 şi
împărŃitorul y ≠ 0. Cum restul este 8, rezultă y = 9 (cifră). Atunci xx5 = 9 ⋅ c + 8 ⇒ 110x + 5 =
= 9 ⋅ c + 8 ⇒ 110x = 9c + 3 ⇒ 110x = 3(3c + 1) ⇒ x = M3 cifră ⇒ x ∈ {3, 6, 9}. Dacă x =
= 3 ⇒ xx5 = 335, dar 3c + 1 = 109 ⇒ c = 36 şi r = 1 ≠ 8. Dacă x = 6 ⇒ xx5 = 665; 3c + 1 =
= 220 ⇒ c = 73 şi r = 8. Dacă x = 9 ⇒ xx5 = 995; 3c + 1 = 330 ⇒ 3c = 329 ⇒ c ∉ ℕ. Deci
xx5 = 665, împărŃitorul y = 9 şi c = 73. 46. Conform teoremei împărŃirii cu rest avem: n = = 2012 ⋅ c1 + 2009 | ⋅ 2011 şi n = 2011 ⋅ c2 + 2010 | ⋅ 2012 ⇒ 2011 ⋅ n = 2011 ⋅ 2012 ⋅ c1 + + 2009 ⋅ 2011 şi 2012 ⋅ n = 2011 ⋅ 2012 ⋅ c2 + 2010 ⋅ 2012. Prin scădere se obŃine n = 2011 ⋅ ⋅ 2012(c2 – c1) + 2010 ⋅ 2012 – 2009 ⋅ 2011 ⇒ r = 2010 ⋅ 2012 – 2009 ⋅ 2001 = 2010 ⋅ 2012 – – 2011(2010 – 1) = 2010 ⋅ 2012 – 2011 ⋅ 2010 + 2011 = 2010(2012 – 2011) + 2011 = 4021. 47. Suma resturilor a 7 numere naturale consecutive este 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21; 156 = = 7 ⋅ 21 + 9. Avem 7 grupe de câte 7 numere consecutive urmate de altele care au suma restu-rilor egală cu 9. Cum 9 = 0 + 1 + 2 + 6 = 0 + 2 + 3 + 4, avem 4 numere. Cum 9 = 2 + 3 + 4 = = 1 + 2 + 6 = 0 + 3 + 6 = 0 + 4 + 5, avem 3 numere. Cum 9 = 3 + 6 = 4 + 5, avem 2 numere. Dci pot fi 7 ⋅ 7 + 2; 7 ⋅ 7 + 3; 7 ⋅ 7 + 4 numere, n ∈ {51, 52, 53}. 48. a) a = 2012 ⋅ c + r, r < < 2012, dar c = r ⇒ a = 2013 ⋅ c; a număr impar ⇒ c număr impar mai mic decât 2012 ⇒ c ∈
∈ {1, 3, 5, …, 2011} sunt 2011 1
2
+ = 1006 numere; b) S = 2013 ⋅ (1 + 3 + 5 + … + 2011) =
= 2013 ⋅ 10062 = 2013(1006 ⋅ 2) ⋅ 503 ⇒ S = 2012 ⋅ 2013 ⋅ 503 ⇒ r = 0. 49. a + b + c = 101 (1), a > b > c; a = 3b + 5 şi b = 5c + 3 ⇒ a = 3(5c + 3) + 5 ⇒ a = 15c + 14. Înlocuim în (1) ⇒ ⇒ 15c + 14 + 5c + 3 + c = 101 ⇔ 21c = 84 ⇒ c = 4, a = 74 şi b = 23. Avem (a + b – 24c)a+b+c = = (74 + 23 – 24 ⋅ 4)74+23+4 = 1101 = 1. 50. a) Fie S = 1 + 2 + 22 + … + 22011 | ⋅ 2; 2S = 2 + 22 + + 23 + … + 22012 ⇒ S = 22012 – 1 ⇒ a = 2012 ⋅ (22012 – 1); U(a) = U[U(2012) ⋅ U(24k – 1)] = = U(2 ⋅ 5) = 0 ⇒ restul împărŃirii numărului a la 10 este zero; b) Vom arăta că S nu este pătrat perfect. Suma S are 2012 termeni, pe care îi asociem patru câte patru; S = (1 + 2 + 22 + 23) + + (24 + 25 + 26 + 27) + … + (22008 + 22009 + 22010 + 22011) = 15 + 15 ⋅ 24 + 15 ⋅ 28 + … + 15 ⋅ 22008 = = 15 ⋅ (1 + 24 + 28 + … + 22008). Cum U(24k) = 6 şi suma 24 + 28 + … + 22008 are 502 termeni ⇒ ⇒ UZU(S) = 15 ⋅ U(1 + 502 ⋅ 6) = 15 ⋅ 3 = 45 ⇒ 5 | S, dar 25 P S ⇒ a nu se divide cu 100.
(UZU(A) = 40 ⇒ 100 P A). 51. Fie a şi b, a > b, a, b ∈ ℕ* cele două numere. Cu teorema împăr-
Ńirii cu rest avem a = 5b + 20 şi apoi a + b + 5 + 20 = 195 ⇒ 6b + 45 = 195 ⇒ 6b = 150 ⇒ b = = 25 şi a = 145. DeîmpărŃitul este a = 145, iar împărŃitorul este b = 25. 52. Fie a şi b cele două
numere naturale, a > b, a, b ∈ ℕ*; a = b ⋅ c + r, r < b şi r = c – 3; a = bc + c – 3 şi a – 3b = 15 ⇒
⇒ bc + c – 3 – 3b = 15, b(c – 3) = 18 – c ⇒ b = 18 c
c 3
−−
∈ ℕ şi c – 3 > 0 ⇔ c < 18 ⇔ c – 3 | 18 – c,
dar c – 3 | c – 3 ⇒ c – 3 | 15 ⇒ c – 3 ∈ D15; r = c – 3 ∈ {1, 3, 5, 15} ⇒ c ∈ {4, 6, 8, 18}. Pen-tru c = 4 ⇒ b = 14 ⇒ a = 14 ⋅ 4 + 1 = 57. Pentru c = 6 ⇒ b = 4 ⇒ a = 4 ⋅ 6 + 3 = 27. Pentru c =
101
= de 25 ori
(41 90) (42 89) ... (65 66)+ + + + + +���������������
= 131 ⋅ 25 = 3275; a = 33275; b = 1 + 3 + 32 + … + 33273 | ⋅ 3;
3b = 3 + 32 + 33 + … + 33274 ⇒ 2b = 33274 – 1 ⇒ b = 32743 1
2
−. Calculăm a – 6b = 33275 – 3 ⋅ 2b =
= 33275 – 33275 + 3 = 3 (1); 2b + 1 = 32374 – 1 + 1 = 33274 (2). Din (1) şi (2)rezultă că 3 | 33274 ⇒ ⇒ (a – 6b) | (2b + 1). 40. a) Numărul N are 2008 termeni, pe care îi asociem 4 câte 4; N = (21 + + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + … + (22005 + 22006 + 22007 + 22008); N = 2(1 + 2 + 22 + 23) + + 25(1 + 2 + 22 + 23) + … + 22005(1 + 2 + 22 + 23); N = 2 ⋅ 15 + 25 ⋅ 15 + … + 22005 ⋅ 15 = 15(2 +
+ 25 + … + 22005) ⇒ 15 | N, 15 fiind factor al numărului N; b) N
2 = 1 + 2 + 22 + … + 22007 | ⋅ 2;
2 ⋅ N
2 = 2 + 22 + … + 22008 ⇒
N
2 = 22008 – 1. Avem
N
2 + 1 = 22008 – 1 + 1 = 22008 = (21004)2
este pătrat perfect. 41. a) Numărul A se poate scrie: A = 100a + 10b + c + 100b + 10c + a + + 100c + 10a + b; A = 111 ⋅ (a + b + c) = 37 ⋅ 3(a + b + c) ⇒ 37 | A oricare ar fi cifrele nenule a, b, c; b) Aplicăm a) şi obŃinem
2012 cifre 2012 cifre 2012 cifre
78900...00 89700...00 97800...00+ +����� ����� ����� este divizibil cu 37;
102009 ⋅ 111(7 + 8 + 9) = 102009 ⋅ 3 ⋅ 37 ⋅ 24. Deci restul împărŃirii lui B la 37 este egal cu restul împărŃirii numărului 2012 la 37; 2012 = 37 ⋅ 54 + 14 ⇒ r = 14. 42. a = 220 ⋅ {1 + 3[(350 ⋅ 230) : : (349 ⋅ 230) – 1]} – 7 ⇒ a = 202 ⋅ [1 + 3 ⋅ (3 – 1)] – 7 = 220 ⋅ (1 + 3 ⋅ 2) – 7 = 7(220 – 1) ⇒ 7 | a, iar 220 – 1 = (24)5 – 1 = 165 – 1 = (15 + 1)5 – 1 = M5 + 1 – 1 = M5 ⇒ 5 | (220 – 1) ⇒ 5 | a. Sau
folosim ultima cifră a unui număr: U(220 – 1) = U(U(220) – 1) = U(U(24k) – 1) = U(6 – 1) = 5 ⇒ ⇒ 5 | (220 – 1) ⇒ 5 | a. 43. SoluŃia autorului: Se consideră numerele naturale scrise în baza 10;
N1 = c; N2 = cc ; N3 = ccc ; �n 1n 1 cifre
N ccc...c++
= . Conform teoremei împărŃirii cu rest, Nk = n ⋅ qk +
+ rk, rk ∈ {0, 1, 2, …, n – 1}. Cu principiul lui Dirichlet, printre cele n + 1 numere N1, N2, N3, …, Nn+1 există cel puŃin două care au acelaşi rest la împărŃirea cu n. Fie acestea rm = rp, m < p. Atunci numărul N = Np – Nm = (n ⋅ qp + rp) – (n ⋅ qm + rm) = n ⋅ (qp – qm), de unde rezultă că
n | N; N = Np – Nm = � � � �m m m
p mp cifre m cifre p m cifre p m cifre
ccc...c ccc...c ccc...c 10 ccc...c 2 5 n(q q )− −
− = ⋅ = ⋅ ⋅ = − . Cum n este
impar, c ∈ {1, 3, 7, 9} şi 2 P n; U(n) ∈ {1, 3, 7, 9}; restul împărŃirii lui n la 5 poate fi 1, 2, 3, sau 4. Deci 5 P n şi numărul �
p m cifre
ccc...c−
se împarte exact la n. 44. Prin împărŃirea unui număr par la
100 se poate obŃine unul dintre următoarele 50 de resturi: 0, 2, 4, …, 98. Cum sunt 51 de nume-re pare, există două care dau acelaşi rest la împărŃirea prin 100. Fie acestea ak şi ap, cu ak =
= 100k + 2r, ap = 100p + 2r, unde k, p ∈ ℕ, k > p şi r ∈ {0, 1, 2, …, 49}. Atunci ak – ap =
= 100(k – p) ⇒ 100 | (ak – ap) şi ak + ap = 100k + 100p + 4r = 4(25k + 25p + r) ⇒ 4 | (ak + ap). Deci (ak + ap)(ak – ap) = 4 ⋅ 100 ⋅ (k – p)(25k + 25p + r) ⇒ 400 | (ak + ap)(ak – ap). 45. 5 | A ⇒ ⇒ U(A) = {0, 5} şi U(x2012) = U[(x1006)2] ∈ {0, 1, 4, 5, 6, 9} şi U(y2012) ∈ {0, 1, 4, 5, 6, 9}. Dar U(348) = U(34k) = U(34) = 1 şi U(225) = U(24k+1) = 2 ⇒ U(x2012 ⋅ 348) ∈ {0, 1, 4, 5, 6, 9} şi U(y2012 ⋅ 225) ∈ {0, 2, 8} şi A§5 ⇒ x2012 ⋅ 348§5 ⇒ 5 | x şi 5 | y2012 ⋅ 225 ⇒ 5 | y. 46. a) A = = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2511; 2A = 2 + 22 + 23 + … + 2511 + 2512 ⇒ A = 2512 – 1 ⇒ A + 1 = = 2512 – 1 + 1 ⇒ A + 1 = 2512 = 29 ⋅ 2503 = 512 ⋅ 2503 ⇒ 512 | (A + 1); b) A – 1 = 2512 – 2 = (2 + + 22 + 23 + … + 28) + 29(1 + 2 + 22 + 23 + … + 2502) = 29 ⋅ B + 510, 510 < 512 ⇒ r = 510. 47. a) Numărul a are 2010 termeni impari. Suma unui număr par de numere impare este număr par. SAU: Grupăm termenii numărului a doi câte doi: a = (1 + 3) + (32 + 33) + … + (32008 +
102
+ 32009) = 4 + 4 ⋅ 32 + 4 ⋅ 34 + … + 4 ⋅ 32008; a = 4(1 + 32 + 34 + … + 32008) ⇒ a = 2 ⋅ k, k ∈ ℕ*;
b) Grupăm termenii numărului a trei câte trei: a = (1 + 3 + 32) + (33 + 34 + 35) + … + (32007 + + 32008 + 32009); a = 13 + 13 ⋅ 33 + … + 13 ⋅ 32007 = 13(1 + 33 + … + 32007) ⇒ 13 | a; c) b = 1 + + 3 + 32 + 33 + … + 32009 + 32010 + 32011; numărul b are 2012 termeni. Grupăm termenii numă-rului b trei câte trei începând cu al treilea termen: b = 1 + 3 + (32 + 33 + 34) + (35 + 36 + 37) + + … + (32009 + 32010 + 32011); b = 4 + 13 ⋅ 32 + 13 ⋅ 35 + … + 13 ⋅ 32009; b = 13(32 + 35 + … + + 32009) + 4 ⇒ r = 4, iar câtul este c = 32 + 35 + 38 + …+ 32009. 48. a) Numerele naturale de do-uă cifre divizibile cu 17 sunt: 17, 34, 51, 68, 85, iar cele divizibile cu 23 sunt: 23, 46, 69, 92; b) i) Numerele N cu proprietăŃile de mai sus sunt: N1 = 3468517, care are exact şapte cifre; N2 = 3469234, care are 7 cifre; ii) Numărul N2 = 34692346923469… are un grup de cinci cifre care se repetă din 5 în 5. Cum 2013 = 5 ⋅ 402 + 3, rezultă că a 2013-a cifră a numărului N2 este a treia cifră din grupa celor 5 care se repetă. Această cifră este 6. 49. În şirul de numere dat avem (4023 – 3) : 2 + 1 = 2011 numere. La împărŃirea numerelor cu 2010 se obŃin 2010 resturi diferite. Cum sunt 2011 numere diferite, rezultă că cel puŃin două numere au acelaşi rest la îm-
părțirea cu 2010. Avem a = 2010 ⋅ c1 + r, 0 ≤ r < 2010, c1 > 0; r, c1 ∈ ℕ; b = 2010 ⋅ c2 + r, r,
c2 ∈ ℕ, 0 ≤ r ≤ 2009. DiferenŃa a – b = 2010(c1 – c2), cu c1 > c2. Deci a – b = M2010. 50. Calculăm
sumele S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 22011 | ⋅ 2; 2S1 = 2 + 22 + 23 + … + 22012 ⇒ S1 = 22012 – 1;
S2 = 1 + 2 + 3 + … + 2009 = 2010 2009
2
⋅ = 2009 ⋅ 1005. Vom afla ultima cifră a fiecărei
sume: U(S1) = U[(22012) – 1] = U[(24k) – 1] = U[(24) – 1] = 5. Evident U(S2) = 5. Prin urmare U(S1 – S2) = U(5 – 5) = 0 ⇒ 10 | (S1 – S2).
8. MulŃimi de numere naturale
1. B ∩ C = {2006} ⇒ 2006 ∈ B şi 2006 ∈ C; C – B = {2008} ⇒ 2008 ∈ C şi 2008 ∉ B; A – C = {2007} ⇒ 2007 ∈ A şi 2007 ∉ C; A ∪ B ∪ C = {2006, 2007, 2008, 2009}. Din toate aceste relaŃii ⇒ mulŃimile sunt: A = {2007, 2008}; B = {2006, 2009}; C = {2006, 2008}. 2. x = 2125 – 2124 = 2124(2 – 1) = 2124; y = (35)125 : 3532 = 3625 : 3532 = 393; card(A ∪ B) = = 393 : 390 = 33 = 27; card(A ∩ B) = 2124 : 2120 = 24 = 16, atunci card A = card(A ∪ B) – [card B – – card(A ∩ B)] = 27 – (20 – 16) = 23. 3. Din condiŃia b) ⇒ {1, 2} ⊂ A şi {1, 2} ⊂ B, iar din condiŃia d) suma elementelor mulŃimii B este un număr par. Avem situaŃiile: 1) B = {1, 2, 3}; 2) B = {1, 2, 5}; 3) B = {1, 2, 3, 5}; 4) B = {1, 2, 4, 5}. SituaŃiile 1) şi 2) nu convin pentru că A – B are mai mult de un singur element. Deci avem două soluŃii: A = {1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4} şi A = {1, 2, 3}; B = {1, 2, 4, 5}. 4. a) MulŃimea A1 conŃine un element, A2 conŃine două elemente, A3 conŃine trei elemente, ..., An conŃine n elemente; A4 = {7, 8, 9, 10}. MulŃimile A1, A2, A3,..., An sunt disjuncte; A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ A6 este o mulŃime care conŃine primele 21 de numere naturale nenule consecutive: 1 + 2 + 3 + ... + 6 = 21 (numere). Cel mai mic element al mulŃimii A7 este 22, iar cel mai mare este 22 + 7 – 1 = 28; b) A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An con-
Ńine 1 + 2 + 3 + ... + n = 2
)1n(n +elemente; A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An+1 conŃine 1 + 2 + 3 + ... +
+ n + (n + 1) = (n 1)(n 2)
2
+ + elemente. Atunci
2
)1n(n +< 1000 ≤
2
)2n)(1n( ++; n(n + 1) <
< 2000 ⇒ n ⋅ (n + 1) ≤ 44 ⋅ 45 ⇒ n ≤ 44 (1); (n + 1)(n + 2) ≥ 2000 ⇒ (n + 1)(n + 2) ≥ 45 ⋅ 46 ⇒ ⇒ n ≥ 44 (2). Din relaŃiile (1) şi (2) ⇒ n = 44. Deci numărul 1000 se află în mulŃimea A45;
103
1000 ∈ A45. Primul element al mulŃimii A45 este 9902
4544=
⋅, iar cel mai mare este 990 +
+ 45 – 1 = 1034. 5. A = {1, 3, 7, 15, ..., 2n – 1} iar B =
−
2
13...,,40,13,4,1
n
⇒ A ∩ B = {1}.
6. Pentru n ∈ {1, 2, 3, 4} ⇒ A = {14, 15, 19, 37}. Pentru U(k2) ∈ {0, 1, 4, 5, 6, 9} ⇒ U(k2 + 1) ∈ ∈ {1, 2, 5, 6, 7, 0} ⇒ U(A) = 7 ⇒ ⇒ U(n! + 13) = U(37) = 7 ⇒ n! + 13 = 37 ⇒ n! = 24 ⇒ n = = 4 şi k = 6 şi A ∩ B = {37}. 7. MulŃimile A1, B1 au câte un element; A2, B2 câte două elemen-te; A3, B3 au câte trei elemente; ...; An, Bn au câte n elemente. MulŃimile A1, B1, A2, B2, A3, B3, ..., An, Bn sunt disjuncte; card(A1 ∪ B1) = 2; card(A1 ∪ B1 ∪ A2 ∪ B2) = 6; card(A1 ∪ B1 ∪ ∪ A2 ∪ B2 ∪ A3 ∪ B3) = 12; 2(1 + 2 + 3) = 12 numere. Suma elementelor mulŃimii A1 ∪ B1 ∪ ∪ A2 ∪ B2 ∪ A3 ∪ B3 este 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 78, iar suma elementelor mulŃimii A1 ∪ B1 ∪ A2 ∪ B2 ∪ A3 ∪ B3 ∪ ... ∪ A207 ∪ B207 este: 2 ⋅ (1 + 2 + 3 +
+ 4 + ... + 207) = 2 ⋅ =⋅
2
208207207 ⋅ 208 = 43056. Primul număr al mulŃimii A208 este 43057,
iar ultimul este 43264. Suma este S = 43057 + 43058 – 43264 = 8977384. 8. a) x2 + 1 ∈ A ⇒ ⇒ x ∈ A ⇒ x2 + 1 = 2 ⇒ x = 1 ∈ A ⇒ x2 ∈ A ⇒ 22 ∈ A ⇒ 4 ∈ A şi 22 + 1 ∈ A ⇒ 5 ∈ A sau: x ∈ A şi x ∈ A ⇒ 3 ⋅ 1 + 2 = 5 ∈ A şi 52 + 1 ∈ A ⇒ 26 ∈ A ⇒ {1, 4, 5, 26} ∈ A; b) 41 ⋅ 7x ≤ 343 ⋅ 2009 | : 41 ⇒ 7x ≤ 73 ⋅ 72 ⇒ 7x ≤ 75 ⇒ x ≤ 5 ⇒ M = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; card M = = 6. 9. a) MulŃimea A1 are un singur element, A2 are două elemente, A3 conŃine trei elemente, ş.a.m.d. MulŃimile fiind disjuncte, aflăm card(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ A6) = 1 + 2 + 3 + ... + 6 = = 21 ⇒ ultimul element al mulŃimii A6 este 220 şi primul element al mulŃimii A7 este 221, iar ultimul 227 ⇒ A7 = {221, 222, 223, ..., 227}; card(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ A9) = 1 + 2 + 3 + ... + 9 = = 45. Primul element al mulŃimii A10 este 245 iar ultimul 254 ⇒ A10 = {245, 246, 247, ..., 254}; b) S = 20 + 21 + 22 + ... + 254 = 255 – 1. 10. Din condiŃia a) 4 ∈ A şi 4 ∈ B, x2 ∈ B ⇒ 2 ∈ A;
4 ∈ A ⇒ 42 ∈ B ⇒ 16 ∈ B; x = 1 ∈ A ⇒ 1 ∈ B. Avem
=++
=++
211641
7421⇒ 21 = 7 ⋅ 3 ⇒ A =
= {1, 2} şi B = {1, 4, 16}. 11. card A = (2009 – 1) : 4 + 1 = 503 = 250 ⋅ 2 + 3. Vom scrie mul-Ńimea A ca o reuniune de trei mulŃimi cu câte un element şi 250 mulŃimi de câte două elemente; A = {1} ∪ {5} ∪ {1009} ∪ {2, 2009} ∪ {11, 2007} ∪ {13, 2005} ∪ ... ∪ {1005, 1013} mul-Ńimi disjuncte. Avem 253 mulŃimi. Oricum am alege 254 elemente ale mulŃimii A, vor exista cel puŃin două care determină o submulŃime cu suma elementelor 2018. 12. Numărul 2003 este cel mai mare număr prim al mulŃimii A. Cum în mulŃimea A nu există un număr multiplu al numărului 2003, produsul elementelor mulŃimii B, oricum ar fi alese, nu este egal cu produsul elementelor mulŃimii A – B. Deci B = ∅. 13. a) Fie Y ⊂ B o submulŃime a mulŃimii B, suma elementelor mulŃimii B este 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 şi cum 2 + 3 + 5 = 4 + 6 = 10 ⇒ y ∈ {2, 3, 5} şi B – Y = {4, 6} sau Y = {4, 6} şi B – Y = {2, 3, 5} ⇒ mulŃimea B este „interesantă”; b) Suma elementelor mulŃimii A este S = 1 + 2 + 3 + ... + 2010 = 2011 ⋅ 1005 = 2021055 nu-măr impar ce nu poate fi scris ca o sumă de două numere cu aceeaşi paritate. Deci mulŃimea A nu este „interesantă”; c) Suma elementelor mulŃimii A – {1} este 2021054. Folosind punctul a), A – {1} = B ∪ {7, 8, 9, ..., 2010}. Cum B este mulŃime „interesantă”, vom arăta că mulŃi-mea C = {7, 8, 9, ..., 2010} este „interesantă”. Suma elementelor este 2021054 – 20 = 2021034. Fie Y ⊂ C. Suma elementelor mulŃimii Y este 1010517 şi suma elementelor mulŃimii C – Y este tot 1010517. Deci mulŃimea C este „interesantă”. Cum B şi C sunt mulŃimi interesante ⇒
⇒ A – {1} = B ∪ C este „interesantă”. 14. a) 5x – 2 < 3x + 3, x ∈ ℕ ⇒ 2x < 5, x ∈ ∈ ℕ ⇒
104
⇒ A = {0, 1, 2}. Din 2x + 3 | 18 ⇒ 2x + 3 ∈ {1, 2, 3, 6, 9, 18} ⇒ 2x ∈ {0, 3, 6, 15} ⇒ x ∈ ∈ {0, 3} ⇒ B = {0, 3}; b) A ∪ B = {0, 1, 2, 3}; A ∩ B = {0}; (A – B) ∪ (B – A) = {1, 2} ∪ ∪ {3} = {1, 2, 3}. 15. a) Elementele mulŃimii A se pot scrie: A = {4 ⋅ 0 + 3, 4 ⋅ 1 + 3, 4 ⋅ 2 +
+ 3, ..., 4 ⋅ k + 3}, k ∈ ℕ; 231 = 4 ⋅ 57 + 3 ⇒ 231 ∈ A; b) Cum card A = 100 ⇒ k = 99 şi cel
mai mare element al mulŃimii A este 4 ⋅ 99 + 3 = 399. 16. a) Din d = 5 şi 13 | 5c ⇒ c = 6,
13 | 6b ⇒ b = 2 şi 13 | 2a ⇒ a = 5. Cum a = 5 ⇒ A = {5 ⋅ 1, 5 ⋅ 3, 5 ⋅ 5, ..., 5 ⋅ 1005} ⇒ ⇒ card A = (1005 + 1) : 2 = 503; b) S = 5(1 + 3 + 5 + ... + 1005). Scriem numerele impare ca o sumă dintre un număr par, mărit cu 1: S = 5[(2 ⋅ 0 + 1) + (2 ⋅ 1 + 1) + (2 ⋅ 2 + 1) + ... + (2 ⋅
⋅ 502 + 1)]; S = 5 ⋅ [2(1 + 2 + 3 + ... + 502) + 1 ⋅ 503] = 5 ⋅ 502 503
2 5032
⋅ ⋅ + = 5 ⋅ [503 ⋅
⋅ (502 + 1)] = 5 ⋅ 5032 = 1265045; c) Cum card A = 503, numărul din mijlocul mulŃimii A este
al 503 1
2
+= 252-lea, adică 5 ⋅ (2 ⋅ 252 + 1) = 5 ⋅ 503 = 2515. 17. U(5x + 3) ∈ {3, 8} ≠ {0, 1, 4,
5, 6, 9} ⇒ 5x + 3 nu poate fi pătrat perfect; 5x + 3 ≠ x2, deci x2 = 36 ⇒ x = 6 şi 5x + 3 = 33. Cum A = B ⇒ 7y + 5 = 33 ⇒ y = 4 ⇒ A = B = {33, 36}. 18. Vom nota: A2, A3, A5, A6, A10, A15, A30 submulŃimi ale mulŃimii A, cu elemente divizibile cu 2, 3, 5, 6, 10, 15 respectiv 30. Atunci: card A2 = 2010 : 2 = 1005; card A3 = 2010 : 3 = 670; card A5 = 2010 : 5 = 402; card A6 = 2010 : 6 = 335; card A10 = 2010 : 10 = 201; card A15 = 2010 : 15 = 134; card A30 = = 2010 : 30 = 67. Deci card B = (cardA2 + cardA3 + cardA5) – (cardA6 + cardA10 + cardA15) + + cardA30 = (1005 + 670 + 402) – (335 + 201 + 134) + 67 = 2077 – 670 + 67 = 1474. 19. a) cardA1 = 1; cardA2 = 3; cardA3 = 5; cardA4 = 7; card(A1 ∪ A2 ∪ A3) = 9; A4 = {10, 11,
12, 13, 14, 15, 16}; b) Cum cardAk+1 = 2k + 1, k ∈ ℕ, suma elementelor mulŃimii A1 ∪ A2 ∪
∪ A3 ∪ ... ∪ An este: 1 + 3 + 5 + ... + (2k + 1) = (2 ⋅ 0 + 1) + (2 ⋅ 1 + 1) + (2 ⋅ 2 + 1) + ... +
+ (2 ⋅ k + 1) = 2(1 + 2 + 3 + ... + k) + (k + 1) = 2 ⋅ =+++
)1k(2
)1k(k(k + 1)2, k ∈ ℕ ⇒ 452 <
< (k + 1)2 ≤ 462 ⇒ 44 < k ≤ 45 ⇒ 2010 ∈ A45; c) cardA2010 = 2 ⋅ 2009 + 1 = 4019. Cel mai mic element al mulŃimii A2010 este 20092 + 1, iar cel mai mare este 20092 + 2 ⋅ 2009 + 1 = 20092 + + 2009 + 2009 + 1 = 2009(2009 + 1) + (2009 + 1) = 2010(2009 + 1) = 20102. 20. A = {22010 + 1; 22010 + 2; 22010 + 3; ... ; 22011}; card A = 22011 – (22010 + 1) + 1 = 22011 – 22010 = 22010. 21. Elemen-tele mulŃimii M se pot scrie: M = {7 ⋅ 0 + 1; 7 ⋅ 1 + 1; 7 ⋅ 2 + 1; ... ; 7 ⋅ 19 + 1} ⇒ card M = 20, atunci M = {1} ∪ {71} ∪ {8, 134} ∪ {9, 133} ∪ {10, 132} ∪ ... ∪ {64, 78} o reuniune de 11 mulŃimi disjuncte două câte două, cu suma elementelor 142, cu excepŃia primelor două mul-Ńimi. Conform principiului cutiei, orice submulŃime cu 12 elemente ale mulŃimii M, conŃine sigur o submulŃime cu două elemente cu suma lor 142. 22. a) cardA1 = 2; cardA2 = 4; cardA3 = = 6; cardA4 = 8; ... ; card Ak = 2 ⋅ k ⇒ cardA10 = 2 ⋅ 10 = 20; A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ ... ∪ Ak = = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}; card(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ A9) = 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + ... + 2 ⋅ 9 = = 2(1 + 2 + 3 + ... + 9) = 90 de numere. Deci s-au folosit până la mulŃimea A10 primele 90 de numere naturale consecutive. Primul element al mulŃimii A10 este 91 şi ultimul este 110; A10 =
= {9 ⋅ 10 + 1, 9 ⋅ 10 + 2, ... , 9 ⋅ 10 + 20}; b) p ∈ ℕ* cel mai mic. Avem Ap = {p(p – 1) + 1,
p(p – 1) + 2, p(p – 1), 2p}; S = p(p – 1) + 1 + p(p – 1) + 2 + ... + p(p – 1) + 2p = p(p – 1) ⋅ p +
+ (1 + 2 + 3 + ... + 2p) = p2(p – 1) + =+
2
)1p2(p2p2(p – 1) + p(2p + 1) = p[p(p – 1) + 2p + 1] =
= p(p2 – p + 2p + 1) = p(p2 + p + 1); S§5 ⇒ 5 | p(p2 + p + 1). Cum p ∈ ℕ* cel mai mic ⇒ p = 5.
105
23. Din A ∪ B este cel mai mare element şi din iv) ⇒ 6 ∈ B, b > a. Din i) ⇒ 2 ∈ A şi 2 ∈ B, 2 < 6 şi 2 ∈ A ⇒ 2 + 2 = 4 = 22, 2 – 2 = 0 pătrat perfect. Deci elementul 2 îndeplineşte toate condiŃiile. dacă 3 ∈ A, 3 < 6, din iii) ⇒ 3 + 1 = 22 dar 1 – 3 imposibil (iv), deci 3 + 6 = 32. Da-că 4 ∈ A, din iii) ⇒ 4 + 0 = 22 sau 4 + 5 = 32, dar 0 – 4 imposibil; 5 – 4 = 12 (iv) ⇒ 5 ∈ B. Dacă 5 ∈ A, din iii) ⇒ 5 + 4 = 32, dar 4 – 5 ≠ x2, cum a < b, mulŃimile sunt A = {2, 3, 4} şi B = = {2, 5, 6}. 24. a) Dacă n = 1 ⇒ A1 = {2}, n = 2 ⇒ A2 = {2, 4}, ..., n = 7 ⇒ A7 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. Observăm că primul element al fiecărei mulŃimi este 2 şi celelalte numere pare
consecutive; b) Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n = 2 ⋅ =+
2
)1n(nn(n + 1) = n2 + n, care nu este pătrat
perfect (între două pătrate perfecte de numere naturale consecutive nu există alt pătrat perfect); n2 < n(n + 1) < (n + 1)2; c) Sn = n(n + 1) = 2550 ⇒ n(n + 1) = 50 ⋅ 51 ⇒ n = 50. 25. a) Din 19 | 7n – 11 ⇒ 7n – 11 = M19 ⇒ 7n – 11 = 19k, k > 1; k = 2 ⇒ 7n – 11 = 38 ⇒ n = 7. Cel mai mic element al mulŃimii X este 38. Din 19 | 11n – 13 ⇒ 11n – 13 = M19 ⇒ 11n – 13 = 19p, p > > 1 ⇒ 11n – 13 ∈ {38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 165, ..., 19p}; 11n ∈ {51, 70, 89, 104, 127, 146, 165, ..., 19p} ⇒ n = 15. Cel mai mic element al mulŃimii Y este 152. Din 19 | 9n – 15 ⇒ ⇒ 9n – 15 = 19 ⋅ t, t ≥ 1; 9n – 15 ∈ {19 ⋅ 1, 19 ⋅ 2, ..., 19t} convine numai 9n – 15 = 57 ⇒ 9n = = 72 ⇒ n = 8. Cel mai mic element al mulŃimii Z este 57. Deci cele mai mici elemente ale mul-Ńimilor X, Y, Z sunt: 38, 152 respectiv 57; b) Fie a ∈ X ∩ Y ∩ Z, atunci a = 7n1 – 11 = 11n2 – – 13 = 9n3 – 15, atunci 7n1 = 11n2 – 2 ⇒ 7 | 11n2 – 2, dar 7 | 7n2 ⇒ 7 | 4n2 – 2 ⇒ 4n2 – 2 = = M7 ∈ {7, 14, ...} ⇒ n2 = 4 cea mai mică valoare şi n1 = 6 ⇒ a = 31 ⇒ 31 ∉ X ∩ Y; 7n1 – 11 = = 9n3 – 15 ⇒ 7n1 = 9n3 – 4 ⇒ 7 | 9n3 – 4, dar 7 | 7n3 ⇒ 7 | 2n3 – 4 ⇒ 2n3 – 4 ∈ M7 = {7 ⋅ 1, 7 ⋅ 2, 7 ⋅ 3, 7 ⋅ 4, ...} ⇒ 2n3 = 16 ⇒ n3 = 8 ⇒ a = 57, n1 = 10 şi 57 ∉ X ∩ Z. Din 11n2 – 13 = = 9n3 – 15 ⇒ 11n2 = 9n3 – 2 ⇒ 11 | 9n3 – 2, dar 11 | 11n3 ⇒ 11 | 2n3 + 2; 11 | 2(n3 + 1) şi (2, 11) = 1 ⇒ 11 | n3 + 1 ⇒ n3 + 1 ∈ {11, 22, 33, ...}, n3 = 10 cel mai mic ⇒ 11n2 – 13 = 90 – – 15 ⇒ n2 = 8 cel mai mic ⇒ a = 75 19⋮/ . Cum cel mai mic element al lui Y este 3804 ⇒ a > > 152 ⇒ Y = {38 ⋅ 4; 38 ⋅ 5; 38 ⋅ 6; ... ; 38 ⋅ k}. Prin verificări repetate pentru k = 15, a = 570, n2 = 53, n1 = 83 şi n3 = 65, 570 ∈ X şi 570 ∈ Z. Deci X ∩ Y ∩ ∩ Z = {570}; c) Din a) şi b) T
∩ Y ∩ Z = {570} şi T ∩ X = {38, 570, ...}, atunci an1 = 570, an2 = 38, n1, n2 ∈ ℕ* ⇒ (an1 – b) –
– (an2 – b) = 532 ⇒ a ⋅ n1 – a ⋅ n2 = 22 ⋅ 7 ⋅ 19 ⇒ a ⋅ (n1 – n2) = 22 ⋅ 7 ⋅ 19, dar a ≠ 7 şi 19a ⋮/ ⇒
⇒ a = 28 ⇒ 28 ⋅ n2 – b = 38 ⇒ 28
10b1
28
38bn2
++=
+= ∈ ℕ ⇔ b + 10 = M28 ∈ {28, 56, ...} ⇒
⇒ b = 18. MulŃimea T este: T = {28 ⋅ n2 – 18 | n2 ∈ ℕ*}. 26. a) Observăm că: card A1 = 1,
card A2 = 2, card A3 = 3, ..., card A20 = 20. Numărul elementelor mulŃimii A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪
∪ ... ∪ A21 este: 1 + 2 + 3 + ... + 20 = 2102
2120=
⋅. Primul element al mulŃimii A21 este
2 ⋅ 211 = 422, iar ultimul este 2 ⋅ 231 = 462 ⇒ A21 = {422, 424, 426, ..., 462}; b) S21 = 422 + + 424 + 426 + ... + 462 = (462 + 422) ⋅ 21 : 2 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 14. Numărul divizorilor lui S21 este: (1 + 1) ⋅ (1 + 1) ⋅ (1 + 1) ⋅ (1 + 1) ⋅ (1 + 1) = 25 = 32. 27. Din card(A ∪ B) = 2, card A = 2 şi card B ≠ 2 ⇒ A = B ⇒ {2a + 2, 5} = {b + 1, 2a + 1}. Cum 5 şi 2a + 1 sunt numere impare, 2a + 2 ≠ 2a + 1; 2a + 2 ≠ 5 ⇒ 2a + 1 = 5 ⇒ 2a = 4 ⇒ a = 2 şi 2a + 2 = b + 1 ⇒ 6 = b + 1 ⇒ ⇒ b = 5 ⇒ A = {5, 6} şi B = {5}. 28. a) Putem alege mulŃimile A = {1, 3, 4, 5} şi B = {2, 6, 7, 8} sau A = {1, 2, 5, 6} şi B = {3, 4, 7, 8} ⇒ A ∪ B = M şi A ∩ B = ∅; b) Presupunem prin redu-cere la absurd că există mulŃimile A şi B „netriunghiulare”, astfel încât A ∪ B = P, A ∩ B = ∅. 1) Dacă 5 ∈ A şi 7 ∈ A ⇒ 9 ∈ B, 3 ∈ B şi 6 ∈ B, dar 3 + 9 = 2 ⋅ 6 ⇒ mulŃimea B este triun-
136
CUPRINS
I. MulŃimea numerelor naturale. OperaŃii în ℕ. Factorul comun .................................. 5
1. Puteri naturale .................................................................................................... 5 2. Baze de numeraŃie ........................................................................................... 11 3. Şiruri şi sume de numere naturale ................................................................... 12 4. Teorema împărŃirii cu rest ............................................................................... 16 5. Ultima cifră a unui număr natural An, A, n ∈ ℕ .............................................. 21
6. Pătrate şi cuburi perfecte ................................................................................. 25 7. Divizibilitatea numerelor naturale ................................................................... 29 8. MulŃimi de numere naturale ............................................................................. 34 9. EcuaŃii. Probleme rezolvate cu ajutorul ecuaŃiilor. InecuaŃii. IdentităŃi. InegalităŃi .............................................................................................................. 40 10. Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică. Probleme de numărare, paritate. InvarianŃi. Probleme de logică şi perspicacitate. Careu magic şi supermagic ........................................................................................................ 45 11. Probleme de numărare. Paritate ...................................................................... 52
II. MulŃimea numerelor raŃionale pozitive ℚ+ .............................................................. 57
1. FracŃii ordinare ................................................................................................ 57 2. FracŃii zecimale ................................................................................................ 60
III. Careul cu numere. Careul magic şi supermagic ..................................................... 63 SOLUłII ...................................................................................................................... 66