numerele normale si misterul graalului
DESCRIPTION
The Arthurian myth and other legends tell of mankind's fascination with the Holy Grail. But the Grail is more than a literary motive. Within it's story one can find themes quintessential to understanding human nature: the quest, the trial of knightly virtues and the ever-present mystery of the Grail itself. Akin to the Grail, ''perfect numbers" have exerted a fascination on Man since ancient of times.In 1909 Émile Bore introduced the concept of ''normal numbers". Since then there have been numerous attempts to produce such a number. Through various efforts, numbers close to this description were found, but an absolutely normal number has not yet been discovered, remaining a mystery even in this age of supercomputers.This paper will attempt to be a chronicle of several quests for the absolute normal number, and also present some possibilities of utilizing such numbers in fields like cryptography and storage of information.TRANSCRIPT
NUMERELE NORMALE ŞI MISTERUL GRAALULUI
Neagoe Mihai Cătălin – profesor
Şcoala Numărul 182, Bucureşti
Abstract: The Arthurian myth and other legends tell of mankind's fascination with the Holy Grail. But
the Grail is more than a literary motive. Within it's story one can find themes quintessential to
understanding human nature: the quest, the trial of knightly virtues and the ever-present mystery of the
Grail itself. Akin to the Grail, ''perfect numbers" have exerted a fascination on Man since ancient of
times.
In 1909 Émile Bore introduced the concept of ''normal numbers". Since then there have been numerous
attempts to produce such a number. Through various efforts, numbers close to this description were
found, but an absolutely normal number has not yet been discovered, remaining a mystery even in this
age of supercomputers.
This paper will attempt to be a chronicle of several quests for the absolute normal number, and also
present some possibilities of utilizing such numbers in fields like cryptography and storage of
information.
Introducere
Fascinaţia Graalului a generat multe legende cavalereşti şi scrieri epice. În texte,
Graalul este prezentat, în esenţă, în trei moduri: imaterial, înzestrat cu mişcare proprie, de
natură indefinită şi enigmatică – ,,nu era de lemn, nici din vreun metal oarecare, nici din
piatră, din corn sau din os”; din piatră – ,,piatră cerească” şi ,,piatră a luminii”; în formă de
cupă, vas sau tavă, de cele mai multe ori din aur şi uneori împodobită cu nestemate. [1]
Cavalerul căruia i se înfăţişează Graalul capăta anumite virtuţi supranaturale: virtutea
luminii, adică virtutea iluminatoare prin care personajul ce-l vede capătă capacităţi mentale
inaccesibile omului obişnuit; putere de victorie şi de stăpânire. Dar Graalul are şi putere
distrugătoare: Graalul orbeşte, Graalul fulgeră sau poate acţiona ca un abis. Natura
primejdioasă a Graalului este legată şi de tema ,,locului primejdios” şi cu încercarea pe care
acest loc o constituie pentru cei ce vor să-şi asume rolul ,,eroului aşteptat”. Dualitatea virtuţii
Graalului se manifestă în funcţie de natura diferită a celor ce intră în contact cu el. Forţa
Graalului îi distruge pe toţi cei care încearcă să-l atingă fără a avea pregătirea adecvată. [2]
Fascinaţia Graalului este dincolo de compoziţia fantastică şi poetică a diferitelor texte.
Este dată de temele străvechi preluate şi purtate peste veacuri de aceste compoziţii individuale
sau colective: tema unei căutări, a unei încercări, tema unui centru misterios sau a unei cuceriri
spirituale.
The Damsel of the Sanct Grael
by Dante Gabriel Rossetti [3]
În Antichitate, pitagoricienii erau încredinţaţi că găsesc în numere ,,mai multe
asemănări cu lucrurile permanente şi cu cele ce sunt în devenire decât ar fi găsit în elementele
Foc, Pământ şi Apă, (...) că celelalte lucruri sunt făcute în natura lor după asemănarea
numerelor, iar numerele sunt lucrul cel mai de seamă din lume, (...) elementele numerelor sunt
elementele tuturor lucrurilor şi întregul Univers se reduce la număr şi armonie.” [4] Partea
nevăzută a Universului este desluşită prin număr: cele 9 planete vizibile pe firmament sunt
completate cu a zecea – Antihton – pentru ca numărul lor să corespundă cu numărul Zece -
Decada – număr considerat perfect, cuprinzând natura întreagă a numerelor (pentru
pitagoricieni cuprinde suma celor dintâi numere 1 + 2 + 3 + 4). [5]
Universul pitagoreic, guvernat de numere şi rapoarte simple a fost ameninţat de
,,iraţionalul” diagonalei pătratului. Pentru ca doctrina pitagoreică să nu fie distrusă, numerele
iraţionale au fost păstrate secrete. Până când, spune legenda, Hippass din Metapont, membru
al confreriei pitagoreice, a dezvăluit lumii secretul acestor numere. Pentru această trădare,
pitagoreicii l-au aruncat pe Hippass în mare de pe puntea unui vas. [6]
Dincolo de legendă, nu grecii au fost cei care au descoperit numerele iraţionale.
Mesopotamienii aveau tabele cu rădăcini pătrate ale numerelor de la 1 la 60, cu 3000 de ani
i.Hr. După vechii greci, în secolul 1d.Hr., hinduşii încep să utilizeze numerele iraţionale. [7]
În Evul Mediu, dezvoltarea algebrei de către matematicienii arabi a permis încadrarea
numerelor iraţionale într-un concept mai general – al numerelor reale. După secolul al XVII
– lea, locul numerelor iraţionale este bine precizat în cadrul mulţimii numerelor reale.
În 1909, Émile Borel introduce conceptul de numere normale. Numerele normale
sunt numere iraţionale care posedă anumite proprietăţi. Au fost ,,găsite” sau ,,construite”
numere normale dar, numărul absolut normal care să păstreze aceste proprietăţi în orice bază
de numeraţie rămâne încă un centru misterios, înterzărit şi neatins (chiar şi de
supercomputere).
Fascinaţia şi căutarea numerelor perfecte continuă.
Numere normale
Conceptul de numere normale apare în 1909 în lucrarea ,,Les probabilités
dénomerables et leurs applications arithmetiques” [8] de Émile Borel.
Considerând numărul scris în baza 10:
= ∑ + ∑
unde aj, bi {0,1, ..., 9}, j N şi i {0,1, ..., 9}, an 9 şi n
(1) Numărul se numeşte număr simplu normal în baza 10 dacă fiecare cifră 0, 1, ..., 9
apare cu frecvenţa de 1/10. În acest caz:
=
, r {0,1, ..., 9},
unde reprezintă numărul de apariţii ale cifrei ai = r şi 1 i n
(2) Numărul se numeşte număr normal în baza 10 dacă fiecare secvenţă Bk = c1... ck de
k cifre, k N, apare cu frecvenţa
:
=
pentru fiecare secvenţă Bk = c1... ck de k cifre, k N.
reprezintă numărul de apariţii ale secvenţei Bk = c1... ck, unde cj = ai+j- 1 şi
1 i n, j, 1 i k
Aceste definiţii pot fi extinse pentru orice bază de numeraţie.
Primele numere neperiodice, normale în unele baze b, au fost construite de
Champernowne în 1933. Zecimalele acestora erau obţinute prin concatenarea numerelor într-o
anumitǎ bazǎ în ordinea lor naturalǎ [9]:
C10 = 0.12345678910111213141516171819...
C2 = 0.(1) (10) (11) (100) (101) (110) (111) ...
Champernowne a presupus cǎ numǎrul 0.13571113171923…, obţinut prin concatenarea
numerelor prime este un numǎr simplu normal în baza 10. Presupunerea lui a fost verificatǎ în
1946 de Copeland şi Erdős. [10]
Un alt exemplu de numǎr normal ,,artificial” este numǎrul Copeland – Erdős:
0.235711131719232931374143....
Champernowne demonstreazǎ [11] urmǎtoarele teoreme:
T1: Dacǎ sr este o secvenţǎ
00....0,00...1,00...2, ..., 99...9,
constând din 10r aranjamente posibile de r cifre scrise în ordine crescǎtoare (de exemplu, s1
are forma 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 şi s2 = 00,01,02, ..., 98, 99), atunci numǎrul
S = s1 s2 s3... sr...
este normal în baza 10.
T2: Dacǎ sr este definit ca în T1 precedentǎ şi dacǎ prin ms r se noteazǎ secvenţa notatǎ prin
repetarea s r de m ori, unde m este un numǎr întreg fixat, atunci
mS = ms1 ms2 ms3... msr...
este normal în baza 10.
T3: Numǎrul 123456789101112... este normal în baza 10.
T4: dacǎ m s r este definit ca în T2, atunci
mS = 1s1 2s2 ms3... rsr...
este normal în baza 10.
Către numărul absolut normal
Este relativ uşor sǎ se construiascǎ numere normale într-o bazǎ, dar proprietatea de
numǎr normal nu se pǎstreazǎ şi pentru altǎ bazǎ
De exemplu, numǎrul a2 = 0.101010, simplu normal în baza 2, nu este normal în baza 10
întrucât a10 = 2/3 = 0.6666... .[12]
Teorema lui Cassels este un alt exemplu în acest sens [13]
T5 (Cassels): Fie funcţia f : [0, 1] R, definitǎ prin:
f(x) = ∑
unde x1 x2 .... reprezintǎ cifrele binare ale lui x. Atunci, pentru aproape toate x [0, 1], f(x)
este simplu normalǎ pentru orice bazǎ b care nu este putere a lui 3.
O remarcǎ la aceastǎ teoremǎ: deoarece 2f este o bijecţie între [0, 1] şi mulţimea
triadicǎ C a lui Cantor, Teorema Cassels construieşte o mulţime nenumǎrabilǎ în
C, de
numere simplu normale pentru orice bazǎ b care nu este putere a lui 3. Nu existǎ, însǎ,
exemple concrete de astfel de numere. [14]
Borel a demonstrat (1909) că aproape toate numerele reale sunt numere normale (în
sensul în care mulţimea numerelor non-normale are măsura Lebesgue egală cu zero) enunţând
următoarea teoremă:
T6 (Teorema numerelor normale): Aproape toate numerele din intervalul [0,1] sunt
normale. [15]
O consecinţă imediată este că aproape toate numerele reale sunt numere absolut
normale, adică sunt numere normale în orice bază b, pentru b 2. [16]
În 1917, Waclaw Sierpinski a arătat în lucrarea ,,Démonstration élémentaire du
Théoréme de M. Borel sur les nombres absolument normaux et détermination effective d’une
tel nombre” [17] că este posibil să se specifice un astfel de număr iar, în 2002, Becher şi
Figueira reformulează recursiv construcţia lui Sierpinski demonstrând că în acest mod se poate
obţine un număr absolut normal, calculabil [18].
În conformitate cu teorema lui Borel, aproape toate numerele sunt absolut normale. Cu
toate acestea obţinerea unor astfel de numere, dincolo de construcţiile teoretice, rămâne un
lucru dificil.
A determina dacǎ un numǎr este normal este o problemă nerezolvatǎ. Nu se poate
spune cu certitudine cǎ numere ca pi (Wagon 1985, Bailey şi Crandall 2003), ln2 (Bailey and
Crandall 2003), constanta Apéry ζ(3) unde ζ(s) este Riemann zeta function (Bailey and
Crandall 2003), √ (Bailey and Crandall 2003), şi e sunt normale deşi, de exemplu, primele
30 de milioane de zecimale ale lui Pi sunt uniform distribuite (Bailey 1988). De asemenea,
testarea statisticǎ apentru √ , n = 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15 indicǎ faptul cǎ aceste
numere sunt normale, dar fǎrǎ a fi demonstrate acest fapt . [19]
De exemplu, teste fǎcute pentru secvenţe de lungime 15; 925; 868; 541; 400 dintr-un
un numǎr de 1012
zecimale binare ale lui Pi au gǎsit un numǎr de apariţii apropiate. Acest
rezultat a fost utilizat printr-un proces Poisson pentru modelul de normalitate al numǎrului Pi.
[20], [21]
Teoreme şi câteva precizări
În cele ce urmează sunt prezentate unele rezultate referitoare la distribuţia numerelor
din secvenţa de zecimale a unui număr iraţional. Următoarele teoreme au fost demonstrate:
T7: Aproape toate numerele conţin în partea lor zecimală (baza 10) orice cifră posibilă, şi
conţin de asemenea, orice secvenţă finită de cifre dată. [22]
T8: Aproape toate numerele, atunci când sunt scrise în orice bază b, conţin în secvenţa de b –
zecimale orice b – cifră posibilă şi orice secvenţă finită de b – cifre. [23]
T9: Aproape toate numerele, atunci când sunt scrise în orice bază b, au proprietatea că fiecare
b – cifră are frecvenţa limitǎ
în dezvoltarea lor b -zecimală şi orice secvenţă finită de b -cifre
b1b2..bm (indiferent de mărimea lui m) are frecvenţa limitǎ
în dezvoltarea lor b –zecimală.
[24]
Frecvenţa limitǎ a lui x în şirul X=x1 x2 x3 ... este dată de
, unde reprezintǎ
numǎrul de apariţii ale lui x în primii n termeni ai şirului X. Frecvenţa limitǎ este
probabilitatea "întâlnirii" lui x când se parcurge şirul X, sau probailitatea apariţiei lui x în X
raportatǎ la numǎrul de termeni: dacǎ aceastǎ probabilitate este p (0,1) atunci pentru n
suficient de mare, x apare între primii n termeni de aproximativ pn ori, fluctuaţiile de la
valoarea pn fiind din ce în ce mai mici când n creşte indefinit (Borel). [25]
Aşa cum s-a menţionat, numerele care respectă (T9), se numesc numere normale. [26],
[27]. Toate numerele normale sunt iraţionale; un număr raţional periodic nu posedă
proprietatea (T9). În particular, aproape toate numerele iraţionale, fiind normale, au, în
dezvoltarea zecimală (în baza 10), fiecare cifră cu o frecvenţă limitǎ de apariţie de 1/10 şi, de
asemenea, au în dezvoltarea zecimală (în baza 10) fiecare grup de două cifre, ̅̅ ̅̅ ̅̅ cu o
frecvenţă de apariţie de 1/100, şi fiecare grup de trei cifre ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ apare cu o frecvenţă de
1/1000; în plus, aceste rezultate sunt adevărate pentru orice altă bază b.
O metodă de obţinere a unei secvenţe uniform distrbuite
Prin aceastǎ metodǎ (Neagoe, M.) [28] se obţine o secvenţă uniform distribuită T în
urmǎtorii paşi:
Pasul (1): Se alege un număr iraţional β în scriere zecimalǎ.
Pasul (2): Se alege valoarea parametrului n0 care indică numărul de ordine i, al
zecimalei numărului iraţional, de la care se consideră şirul ce urmează a fi prelucrat, de ex.
i=1, n0=1, atunci şirul de zecimale utilizat la obţinerea secvenţei uniform distribuite va începe
cu prima zecimală a numărului iraţional (zecimala de pe poziţia i ).
Pasul (3): Se aleg valorile urmǎtorilor parametrii care dau structura secvenţei uniform
distribuite (schimbarea unui parametru duce la schimbarea structurii secvenţei obţinute):
- Se alege valoarea m a parametrului n1. Parametrul n1 = m modificǎ şirul iniţial de
zecimale (al numărului iraţional ales) într-un nou şir de numere prin gruparea a câte m
zecimale consecutive. Se obţine astfel un şir de numere b: b1 b2 b3 b4 b5 ... de valori strict
inferioare lui 10m .
- Se alege valoarea LS a parametrului n2. Parametrul n2 = LS reprezintǎ lungimea unei
secvenţe de numere S consideratǎ din şirul obţinut b dupǎ alegera parametrului n1. Se reţine
secvenţa S formatǎ din primele LS numere din b, deci S: b1 b2 ... bi ... . Se va observa cǎ
schimbarea valorii lui n2 schimbǎ de asemenea structura scvenţei rezultate.
Pasul (4): Se determinǎ cea mai micǎ frecvenţǎ FS de apariţie a numerelor în cadrul
secvenţei S considerate. Frecvenţa fS(bi), a lui bi în S, este numărul de apariţii ale lui bi în şirul
finit S :
Fs = fS(bi)
Pasul (5): Se construieşte secvenţa uniform distribuită T, reţinând, din secvenţa S
consideratǎ, numerele bi în ordinea de apariţie, păstrând neschimbate primele FS apariţii ale
lui bi şi suprimând apariţiile următoare ale numerelor bi. În secvenţa uniform distribuită T
obţinută, numărul de apariţii al fiecărui bi este acum FS , astfel că frecvenţa de apariţie a
oricǎrui numǎr bi este egalǎ cu FS . Secvenţa uniform distribuită T conţine toate numerele
strict inferioare lui 10m fiecare de FS ori (procedura pentru obţinerea lui T din S continuǎ pânǎ
când apar toate numerele strict inferioare lui 10m).
Se considerǎ în cele ce urmeazǎ:
n0 = 1: şirul utilizat la obţinerea secvenţei aleatoare va începe cu prima zecimală a
numărului iraţional (zecimala de pe poziţia 1);
n1 = 1: şirul utilizat la obţinerea secvenţei aleatoare va fi format din grupe de câte o
zecimalǎ
Considerând o secvenţǎ S de numere din şirul obţinut dupǎ alegera parametrului n2=LS
(i.e. lungimea secvenţei S) adicǎ S: b1 b2 ... bi ... ; se noteazǎ cu frecvenţa de apariţie a
cifrei zecimale b, unde b = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} şi notǎm prin F cel mai mic dintre
numerele Fb. Extragem, pornind de la S, secvenţa T formatǎ din 10F cifre în ordinea datǎ de
numǎrul iraţional ales reţinând doar primele F apariţii ale fiecǎrei cifre pânǎ când apar toate
cifrele din baza 10.
Lungime L, a unei secvenţe aleatoare, respectă condiţia L 10F, respectiv, în cazul
general:
L F
deci F
şi, respectiv, în cazul general: F
Prin urmare, fiind dată lungimea unei secvenţe aleatoare L’ necesară unei aplicaţii şi
valoarea parametrului n1, se poate determina plaja în care F se poate afla pentru ca lungimea
finalǎ L a secvenţei aleatoare T obţinute din S să depǎşeascǎ lungimea L’. Cea mai micǎ
lungime L va proveni din n1 şi cel mai mic F admisibil pentru L’ dat. În cazul n1=1, notând
prin [x] partea întreagǎ a unui numǎr real x, obţinem:
F = [
] + 1 şi L = 10([
] )
În cazul general obţinem:
F = [
] + 1 şi L = ([
] )
Evident
L L’
În continuare este prezentat un exemplu [29] de aplicare a metodei descrise anterior
pentru obţinere a unei secvenţe uniform distrbuite:
Pasul (1): Se alege numărul iraţional √ .
√ = 2,64575131106459059050161575363926042571025918308245018036833445920106...
Pasul (2): Se alege valoarea n0=1;
Pasul (3): Se aleg n1 = 1, n2 = 53
Se utilizeazǎ secvenţa S de lungime LS = 53
S = 64575131106459059050161575363926042571025918308245018 = b1 b2 b3 ... b53
Pasul (4): Se determinǎ cea mai micǎ frecvenţǎ F de apariţie a unei zecimale:
Zecimala b 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
recvenţa de apariţie 8 8 4 4 4 10 5 3 3 4
Se observă ca F = 3. Secvenţa uniform distribuită T are lungimea:
L = 10 3 = 30
Pasul (5): Se construieşte secvenţa uniform distribuită T reţinând din secvenţa
consideratǎ S, numerele bi în ordinea de apariţie, astfel încât frecvenţa de apariţie a oricǎrui
numǎr b sǎ fie egalǎ cu F = 3:
T = 645751311064590906733924272888
Secvenţa uniform distribuită T, obţinutǎ prin această metodă, aplicatǎ unui numǎr
iraţional scris într-o bazǎ datǎ b, are un numǎr de apariţii egale cu F pentru fiecare bi şi o
lungime L = F ∙ b. Având în vedere cǎ secvenţa a fost construitǎ pe baza unui singur criteriu
,,artificial” – distribuţia uniformǎ a zecimalelor – apariţia zecimalelor rǎmâne ,,naturalǎ”.
Pentru o lungime finitǎ a secvenţei obţinute, numǎrul de apariţii al fiecǎrei zecimale se
modificǎ la trecerea în altǎ bazǎ.
O statisticǎ asupra secvenţelor T
O statisticǎ descriptivǎ [30] privind zecimalele secvenţei T obţinute prin metoda
prezentată în paragrafele anterioare din numǎrul iraţional √ este prezentată în cele ce
urmează:
În Tabelul 1 şi Tabelul 2 sunt prezentate numǎrul de apariţii al cifrelor secvenţei T
pentru lungimi crescǎtoare cu 77 caractere ale şirului de zecimale S considerat din numǎrul
iraţional, frecvenţa minimǎ f rezultatǎ, frecvenţele relative ale numǎrului minim de zecimale
f/LS, respectiv lungimea secvenţei obţinute raportatǎ la lungimea şirului de zecimale considerat
L/LS.
Tabel 1 Frecvenţa de apariţie a cifrelor secvenţei T pentru lungimi crescǎtoare cu 77 caractere
Zecimala/nr. zecimale
considerate LS
77
154
231
308
385
462
0 12 19 29 39 50 58
1 9 13 21 30 37 46
2 8 14 26 29 34 38
3 9 17 24 33 40 49
4 6 16 20 30 35 40
5 11 19 24 35 44 51
6 7 15 19 23 31 38
7 3 14 23 32 43 55
8 7 17 25 28 32 40
9 5 10 20 29 39 47
Nr. minim de apariţii f 3 10 19 23 31 38
Frecvenţǎ relativǎ f/LS 0.0389 0.0649 0.0822 0.0746 0.0805 0.0822
Lungimea secvenţei T 30 100 190 230 310 380
L / LS 0.389 0.649 0.822 0.746 0.805 0.822
Tabel 2
Frecvenţa de apariţie a cifrelor secvenţei T pentru lungimi crescǎtoare cu 77 caractere
Zecimala/nr. zecimale
considerate LS 539 616 693 770 847 924 1001
0 66 72 78 90 96 104 119
1 51 57 67 74 85 90 96
2 44 53 59 67 74 85 94
3 60 65 71 81 90 97 107
4 52 58 71 77 84 90 98
5 57 64 71 76 84 91 100
6 46 50 52 57 67 79 84
7 60 71 80 87 91 97 103
8 45 55 65 72 79 86 91
9 58 71 79 89 97 105 109
Nr. minim de apariţii f 44 50 52 57 67 79 84
Frecvenţǎ relativǎ f/LS 0.0816 0.0811 0.0750 0.0740 0.0791 0.0854 0.0839
Lungimea secvenţei T 440 500 520 570 670 790 840
L/LS 0.816 0.811 0.750 0.740 0.791 0.854 0.839
În Tabelul 3 şi Tabelul 4 sunt prezentate numǎrul de apariţii al cifrelor secvenţei T pentru
lungimi crescǎtoare cu 50 caractere ale şirului de zecimale S considerat din numǎrul iraţional,
frecvenţa minimǎ f rezultatǎ, frecvenţele relative ale numǎrului minim de zecimale f/LS,
respectiv lungimea secvenţei obţinute raportatǎ la lungimea şirului de zecimale considerat
L/LS.
Tabel 3: Frecvenţa de apariţie a cifrelor
secvenţei T pentru lungimi crescǎtoare cu 50 caractere
Zecimala/ nr. zecimale LS 50 100 150 200 250
0 7 14 18 25 32
1 7 10 12 15 22
2 4 10 14 22 27
3 4 12 17 19 25
4 4 9 16 17 21
5 10 12 19 23 30
6 5 12 15 18 20
7 3 6 12 21 25
8 2 9 17 23 26
9 4 6 10 17 22
Nr. minim de apariţii f 2 6 10 15 20
Frecvenţǎ relativǎ f/LS 0.04 0.06 0.0(6) 0.075 0.08
Lungimea secvenţei T 20 60 100 150 200
L/ LS 0.4 0.6 0.(6) 0.75 0.8
Tabel 4: Frecvenţa de apariţie a cifrelor
secvenţei T pentru lungimi crescǎtoare cu 50 caractere
Zecimala/ nr. zecimale LS 300 350 400 450 500
0 39 45 51 56 61
1 29 35 39 43 49
2 29 32 35 38 39
3 31 37 42 49 53
4 29 31 35 40 49
5 34 41 45 49 56
6 22 26 31 37 41
7 31 38 46 52 57
8 28 29 35 40 42
9 28 36 41 46 53
Nr. minim de apariţii f 22 26 31 37 39
Frecvenţǎ relativǎ f/LS 0.07(3) 0.0742 0.0775 0.08(2) 0.078
Lungimea secvenţei T 220 260 310 370 390
L/ LS 0.7(3) 0.742 0.775 0.8(2) 0.78
Se observǎ cǎ, pentru toate cazurile prezentate, valorile frecvenţelor relative f/LS
sugereazǎ o convergenţǎ a seriei ∑
.
Considerându-se intervalele de 50 de caractere consecutive din şirul zecimalelor lui √ :
64575131106459059050161575363926042571025918308245
01803683344592010688232302836277603928864745436106
15064578338497463095743529888627214784427390555880
10772271715072972832389229968959486508726070097805
42037238280237159411003419391160015785255963059457
41035152396802716407373799074041581519904403474319
45367139973059700505139969223754561609711902737815
49916332882877040006575706746519634977520837938181
14613090876473786595624330579947981281632307054836
50107715617946361191553454536477494820593090494849
se obţin datele din Tabelul 5.
Tabel 5: Frecvenţa de apariţie a cifrelor secvenţei T pentru 10 intervale
de lungime de 50 de caractere consecutive din şirului de zecimale S din numǎrul iraţional
Zecimala/ nr. zecimale LS 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50
0 7 7 4 7 7 7 6 6 5 5
1 7 3 2 3 7 7 6 4 4 6
2 4 6 4 8 5 2 3 3 3 1
3 4 8 5 2 6 6 6 5 7 4
4 4 5 7 1 4 8 2 4 5 9
5 10 2 7 4 7 4 7 4 4 7
6 5 7 3 3 2 2 4 5 6 4
7 3 3 6 9 4 6 7 8 6 5
8 2 7 8 6 3 2 1 6 5 2
9 4 2 4 7 5 6 8 5 5 7
Nr. minim de apariţii f 2 2 2 1 2 2 1 3 3 1
Frecvenţǎ relativǎ f/LS 0.04 0.04 0.04 0.02 0.04 0.04 0.02 0.06 0.06 0.02
Exemplul prezentat a utilizat pentru obţinerea secvenţei T numărul iraţional √ . Nu
ştim dacă √ este un număr normal în baza 10. În ANEXE sunt prezentate diagrame legate de
distribuţia zecimalelor numărului iraţional √ şi , cât şi comparaţii ale distribuţiei
zecimalelor pe diferite intervale.
Liste complete privind zecimalele unor numere iraţionale pot fi găsite în referinţele
[31], [32].
Câteva ,,virtuţi” ale numerelor normale
1. Infinitul exprimat printr-un simbol
a. Codificarea mesajelor.
Mulţimea numerelor iraţionale este infinită. În general, un număr iraţional poate fi
codificat printr-un singur simbol sau printr-un şir finit de caractere prin care se denumeşte.
Spre exemplu (pi) sau √ (radical din şapte). Însă, un număr iraţional conţine un număr
infinit de zecimale în orice bază de numeraţie. Această caracteristică, utilă în domeniul
codificării şi transmiterii de informatii codificate, oferă posibilitatea ca printr-un şir finit de
caractere şi intr-un interval finit de timp să se transmită o cantitate infinită de informaţii sau,
mai simplu, spus, oferă posibilitatea de a codifica printr-un număr finit de caractere o cantitate
infinită de informaţii. (Ioniţă, C.) [33]
b. Criptarea mesajelor
Sistemele de criptare care au la bazǎ chei fluide din numere iraţionale, în anumite
condiţii, posedă proprietatea secretului perfect (Shannon). [34], [35], [36]
c. Compresia datelor
Un mesaj este definit ca un şir finit de caractere dintr-o listă finită (alfabet). [37]
Codarea sau transmiterea mesajelor se face utilizând caractere alfanumerice, cele mai utilizate
fiind caracterele sistemului de numeraţie binar {0; 1}. Deoarece un număr normal conţine în
dezvoltarea lui b – zecimală orice b – cifră sau secvenţă finită de b – cifre dată (conform T8),
orice mesaj codificat sub forma unui număr într-o bază b va fi conţinut în dezvoltarea b –
zecimală a numărului normal considerat. Printr-un procedeu care să asocieze secvenţa de b –
cifre care codifică mesajul cu un număr redus de caractere se poate obţine o ,,compresie” a
datelor ce codifică mesajul.
2. Frumuseţea unui concept ,,imaterial, înzestrat cu mişcare proprie, de natură
indefinită şi enigmatic”, înzestrat cu ,,virtutea luminii, adică virtutea iluminatoare” pe care o
oferă celui ce încearcă să-l găsească.
Anexa 1
Distributia zecimalelor numarului irational √ pentru 1 000 024 zecimale
Zecimala
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Total
zecimale
Frecvenţa
absolută
99767 99640 100506 100216 99801 100190 99826 100196 99943 99939 1000024
99767
99640
100506
100216
99801
100190
99826
100196
99943
99939
99200 99400 99600 99800 100000 100200 100400 100600
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Numar zecimale
Zeci
mal
a
Frecventa absoluta de aparitie a fiecarei zecimale pentru √7
Decimal of √7 Linear (Decimal of √7)
Anexa 2
Analiza Scatter a distribuţiei zecimalelor numarului irational√ luate câte două;
s-au considerat 500012 grupe de câte două zecimale
4750
4800
4850
4900
4950
5000
5050
5100
5150
5200
0 20 40 60 80 100 120
Fre
cve
nta
Grupe zecimale
Anexa 3
Distributia zecimalelor numarului irational Pi pentru 1 000 000 zecimale
Zecimala
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Total
zecimale
Frecvenţa
absolută
99959 99757 100026 100230 100230 100359 99548 99800 99985 100106 1000000
99959
99757
100026
100230
100230
100359
99548
99800
99985
100106
99000 99200 99400 99600 99800 100000 100200 100400 100600
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Numar zecimale
Zeci
mal
a
Frecventa de aparitie a fiecarei zecimala a numarului Pi pentru 10^6 zecimale
Pi Linear (Pi)
Anexa 4
Comparaţie între frecvenţele de apariţie ale
zecimalelor numǎrului √ şi Pi, pentru 106 zecimale
Zecimala 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Total
Frecvenţa
absolută
√
99767 99640 100506 100216 99801 100190 99826 100196 99943 99939 1000024
Frecvenţa
absolută
Pi
99959 99757 100025 100230 100230 100359 99548 99800 99985 100106 1000000
99959
99757
100026
100230
100230
100359
99548
99800
99985
100106
99767
99640
100506
100216
99801
100190
99826
100196
99943
99939
99000 99200 99400 99600 99800 100000 100200 100400 100600
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Frecventa absoluta
Zeci
mal
a
Comparatie intre frecventele absolute de aparitie ale zecimalelor
Digits of √7 Digits of Pi Linear (Digits of Pi) Linear (Digits of √7)
Note bibliografice
[1] Evola, J., Misterul Graalului, Editura Humanitas, Bucureşti, 2008, p.104
[2] Evola, J., Misterul Graalului, Editura Humanitas, Bucureşti, 2008, p.105, 108 - 110
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Holy_Grail#Modern_interpretations
[4] Aristotel, Metafizica, Editura IRI, Bucureşti, 1996, p. 32, 33
[5] Aristotel, Metafizica, Editura IRI, Bucureşti, 1996, p. 33
[6] Seife, C., Zero:Biografia unei idei periculoase, Editura Humanitas, Bucureşti, 2010, , p. 44
[7] Dăncilă, I., Matematica Gimnaziului între profesor şi elev, Editura Aramis Print, 2001, p.55
[8] Pellegrino, D., On Normal Numbers, p.20
http://www.scielo.cl/pdf/proy/v25n1/art02.pdf
[9] Champernowne, D., G., The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London
Mathematical Society, vol. 8 (1933), p. 254-260
[10] Khoshnevisan, D., Normal Numbers are Normal, 2006, p. 27
http://www.claymath.org/library/annual_report/ar2006/06report_normalnumbers.pdf
[11] Champernowne, D., G., The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London
Mathematical Society, vol. 8 (1933), p. 254-260
[12] Khoshnevisan, D., Normal Numbers are Normal, 2006, p. 27
http://www.claymath.org/library/annual_report/ar2006/06report_normalnumbers.pdf
[13] Khoshnevisan, D., Normal Numbers are Normal, 2006, p. 30
http://www.claymath.org/library/annual_report/ar2006/06report_normalnumbers.pdf
[14] Khoshnevisan, D., Normal Numbers are Normal, 2006, p. 30
http://www.claymath.org/library/annual_report/ar2006/06report_normalnumbers.pdf
[15] Borel, E., Les probabilités dénomerables et leurs applications arithmetiques, Supplemento di rend. circ.
Mat. Palermo, p. 247–271
[16] Pellegrino, D., On Normal Numbers, p. 20
http://www.scielo.cl/pdf/proy/v25n1/art02.pdf
[17] Sierpinski, W., Démonstration élémentaire du Théoréme de M. Borel sur les nombres absolument
normaux et détermination effective d’une tel nombre,
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1917__45_/BSMF_1917__45__125_1/BSMF_1917__
45__125_1.pdf
[18] Becher, V., Figueira, S., An example of a computable absolutely normal number, Theoretical Computer
Science 270 (2002) 947–958, 2001
[19] Wolfram MathWorld, http://mathworld.wolfram.com/NormalNumber.html
[20] Bailey D., H., An Empirical Approach to the Normality of Pi,
http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/normality.pdf
[21] Bailey D., H., Normality and the Digits of Pi,
http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/normality-digits-pi.pdf].
[22] Hardy, G.H. and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 6th ed., Oxford Univ. Press,
2008, p.143
[22] Hardy, G.H. and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 6th ed., Oxford Univ. Press,
2008, p.154
[22] Hardy, G.H. and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 6th ed., Oxford Univ. Press,
2008,
p. 154
[25] Borel, E., Leçons sur la théorie des fonctions, Imprimerie Gauthier – Villars et Fils, Paris, 1914
[26] Neagoe, M., C., Stream Keys by Irrational Numbers, Proceedings of the 4th
International Conference of
Security for Information Technology and Communications, ASE Publishing House, Bucharest, 2011, p.40
[27] Hardy, G.H. and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 6th ed., Oxford Univ. Press, 2008
[28] Neagoe, M., Sisteme de criptare prin chei fluide. chei fluide utilizând numere iraţionale şi evaluarea
gradului de secretizare din punctul de vedere al criptanalizei - Lucrare dizertaţie, Facultatea de Ştiinţe
Aplicate – Universitatea Politehnica din Bucureşti, 2012, p. 36
[29] Neagoe, M., Sisteme de criptare prin chei fluide. chei fluide utilizând numere iraţionale şi evaluarea
gradului de secretizare din punctul de vedere al criptanalizei - Lucrare dizertaţie, Facultatea de Ştiinţe
Aplicate – Universitatea Politehnica din Bucureşti, 2012, p. 38
[30] Neagoe, M., Sisteme de criptare prin chei fluide. chei fluide utilizând numere iraţionale şi evaluarea
gradului de secretizare din punctul de vedere al criptanalizei - Lucrare dizertaţie, Facultatea de Ştiinţe
Aplicate – Universitatea Politehnica din Bucureşti, 2012, p. 50
[31] RJN's More Digits of Irrational Numbers Page, http://apod.nasa.gov/htmltest/rjn_dig.html
[32] Digits of Pi, http://www.eveandersson.com/pi/digits/
[33] Ioniţă, C., Lecture notes on the mathematics used in cryptography [in Romanian, manuscript], TCSI,
2010
[34] Shannon, C. E. (1946), Communication Theory of Secrecy Systems (A Mathematical Theory of
Cryptography), http://202.38.64.11/~whli/lecture-crypto-pb/materials/, p 681
[35] Neagoe, M., C., Stream Keys by Irrational Numbers, Proceedings of the 4th
International Conference of
Security for Information Technology and Communications, ASE Publishing House, Bucharest, 2011, p. 39
[36 ]Neagoe, M., Numerele iraţionale şi secretul perfect, ISSN – 1844 – 7821, 2012, p.6
[37] Ioniţă, C., Lecture notes on the mathematics used in cryptography [in Romanian, manuscript], TCSI,
2010