3.5 ตวประกอบสามเหลยมในสวนท 3.3 ไดแสดงวธทงายและไดอธบายถงระบบสามเหลยมบน

แตในหวขอนเราจะกลาวถง แนวคดของการแยกตวประกอบในเมตรกซ A ในผลลพธของระบบสามเหลยมลาง เมตรกซ L นนม เลข 1 เปนแนวเสนทแยงมม และสามเหลยมลาง เมตรกซ U ซงไมมเลข 0 เปนสวนประกอบของแนวเสนทแยงมม เพอใหงายตอการจดจำา ไดเขยนใหอยในรปของ เมตรกซ มต แตเราประยกตใชระบบเมตรกซมต นยามท 3.4

เมตรกซไมเอกฐาน A มตวประกอบสามเหลยม ถามนสามารถแสดงใหเหนวา อยในรปของเมตรกซสามเหลยมบน L และเมตรกซสามเหลยมลาง U

(1) A = LU

ในรปแบบของเมตรกซ เราจะเขยน

เงอนไข A นนไมอยในรปเอกพจน ซงกหมายความวา ทกๆ k การใชสญลกษณแทน L คอ และเหตผลทเราเลอกตวเลอกกของ แทนท

จะเปนจดทไมซำาวธการของระบบเชงเสนคาดวาตวเลขสมปรสทธของเมตรกซ A ในระบบเชงเสน AX = B จะมตวประกอบสามเหลยม (1) ดงนนจะแสดงไดดงน(2) LUX = B

สามารถหาไดโดยการกำาหนด Y = UX ดงนนจงแสดงเปน 2 สมการ

(3) สมการแรก LY = B ทก Y แลว UX = Y ทก Xในรปของสมการ เราตองการหาสมการแรกจากระบบสามเหลยมลาง

(4) = + = = = แทน และ ลงในวธของระบบสามเหลยมบน

ตวอยางท 3.20

ใชวธการแยกตวประกอบแบบสามเหลยม

ใชวธการแทนทไปขางหนา จากสมการ LY = B = (6) + = 52 = 79 = 82การคำานวณหาคา , และ

หรอ ตอไปจะเขยนในระบบ UX=Y

(7) ตอนนเราจะแทนทกลบและคำานวณหาวธทำา

และ หรอ x = [1 2 3 4]การแยกตวประกอบแบบสามเหลยมเราจะอธบายการแทนท การแยกตวประกอบสามเหลยม ถาแถวมการเปลยนแปลง เราไมจำาเปนเมอเราใช Gaussian elimination ในการคณ คอ แถวทแยงมมยอยแทนเขาใน Lตวอยางท 3.21 ใช Gaussian elimination ในการสรางตวประกอบสามเหลยมของเมตรกซ

เมตรกซ L จะสรางจาเมตรกซเอกลกษณทางซาย แตละแถวของตวแปลทใชสรางเมตรกซสามเหลยม ตวคณ จะถกนำาเขามาในททเหมาะสมทางซาย เรมดวย

แถวท 1 เปนการใชการขจดตวประกอบในหลกท 1 ทตำากวา ผลคณ และ = 0.25 ของแถวท 1 เปนการลบออกจากแถว 2 และ 3 ตามลำาดบ ตวคณพวกนอยในเมตรดซทอยทางขวา และผลลพธคอ

แถวท 2 เปนการใชการขจดตวประกอบในหลกท 2 ทตำากวาตทแยงมมมากของตวประกอบของ A ซงจะอยในผลลพธ การคณ = -0.5 ของแถวท 2 เอาออกโดยการลบจากแถวท 3 และการคณคอการถกสงเขาไปในเมตรกซทางซายและในเมตรกซ A ตองมตวประกอบสามเหลยมอย

(8)

ทฤษฏท 3.10 ตวจดการตวประกอบ A=LU ในแถวไมมการเปลยนแปลง สมมตให Gaussian elimination ไมมการเปลยนแปลงภายในแถวสามารถทจะแสดงไดโดยใชระบบบสมการเชงเสน AX = B ดงนนเมตรกซ A สามารถเปนตวประกอบเหมอนผลลพธของสามเหลยมลาง เมตรกซ L และสามเหลยมบน เมตรกซ U

A = LUยงกวานน L ยงสามารถทจะสรางใหมเลข 1 บนแถวเสนทแยงมม และ U จะมเลข 0 เปนสวนของแถวเสนทแยงมม หลงจากทหาคา L และ U เราจะแสดงคา X ในสองขนตอน

1. วธLY = B เพอใช Y ในการแทนคาขางหนา2. วธ UX = Y เพอเพอใชแทนคาขางหลง

การพสจน เราจะแสดงเมอเราใชกระบวนการ Gaussian elimination ในการดำาเนน B ถกเกบในหลกท N+1 ของเมตรกซเสรม ผลลพธของเมตรกซหลงจากขนตนของสามเหลยมบน เปนสมการทสมมลของระบบสามเหลยมบน UX = Y เมตรกซ L , U , B และ Y จะมรปแบบดงน

ขอสงเกต หา L และ U (N+1) หลกแรกเปนหลกทไมตองการ ขนท 1 เกบสมประสทธจำานวนมากในเมตรกซสมมล , ยกกำาลงบน เฉลยนเปนครงแรกทถกเกบในตำาแหนง (r,c)

ขนท 2 กำาจด ในแถวท 2 ตลอด N และตวคณทถกเกบ ใชกำาจด ในแถว r ในเมตรกซทตำาแหนง (r,1) For r = 2:N = / ; for c = 2 : N+1

endendสมาชกใหมถกเขยนใหอยในรป ถกแสดงเปนจำานวน 2 ครงถกเกบในตำาแหนงของเมตรกซท(r,c)หลงจาผลลพธขนท 2 คอ

ขนท 3 การกำาจด ในแถวท 3 ตลอด N และตวคณจะถกเกบ ใชในการกำาจด ในแถวท r ในตำาแหนง(r,2)

for r = 3:N = / ; for c = 3 : N+1 endendสมาชกใหมถกเขยนใหอยในรป ถกแสดงเปนจำานวน 3 ครงถกเกบในตำาแหนงของเมตรกซ (r,c)

ขนท p+1 นเปนขนพนฐาน การกำาจด ในแถว p+1 ตลอดจน N และเกบตวคณทตำาแหนง (r,p)for r = p+1 : N for endend

ผลลพธสดทาย หลงจาก ถกกำาจดจากแถว N คอ

กระบวนการสามเหลยมบนเปน กระบวนการทสมบรณในขณะน ขอสงเกตลำาดบแถวท 1 ใชในการเกบสมาชกของ L และ U เลข 1 ของ L ไมถกเกบไมเหมอนกบเลข 0 ของ L และ U วางสงกวาและตำากวาแถวทแยงมมโดยลำาดบ เวนแต สมประสทธทสำาคญ ตองการสราง L และ U เกบอย

เราตองการพสจนเดยวนนวา ผลการคณ LU = A โดยสมมตให D = LU และพจารณากรณเมอ ดงนน คอ

ใชแทนสมการในขนท 1 ตลอด เราหามาทหลงเอามาแทน (10)

. . .

เมอเราแทนใน(10) ใน (9) ผลคอ

กรณอนๆ r > c เปนทำานองเดยวกนทพสจนการคำานวณจำานวนเชงซอนกระบวนการการหา ระบบสามเหลยม เปนเหมอนแบบ Gaussian elimination และตวประกอบสามเหลยมเราสามารถนบผลถาเรามองท N ตวแรกในหลกของเมตรกซแตงเตมในทฤษฏท 3.10 ลปนอกของขนท

กำาหนดให แบงการคำานวณตวคณ ขางในลป แตเพอ N ตวแรกในหลกเทานน ผลรวมของ คณและเหมอนกบจำานวนของผลลบเปนการกำาหนดการคำานวณ สมาชกใหมถายในแถว

กระบวนการนเปนการเอาออกท สวนตวประกอบสามเหลยมของ A = LU นตองการ(11)

ผลคณและผลหาร

และ ผลตาง

สรางสมการท 11 เราจะใชหลกการรวม และ

ใชการเปลยนแปลงของ จากสมาการท 11 เขยยนใหมไดวา

ในขณะเดยวกนตวประกอบสามเหลยม A = LU ไดใชวธระบบสามเหลยมลาง LY = B จะกำาหนด การคณและการลบ เราจะไมหารเพราะเปนขอกำาหนดในแถวทแยง สวนของ L เปนเลข 1 ดงนนวธของสามเหลยมบน UX = Y กำาหนดให ผลคณและผลหาร และ เปนผลลบ เนองจากการหาวธ LUX = B

กำาหนด เปนการคณและการหาร และ เปนการลบ เราจะพบวาวธการบางสวนของสามเหลยม ถาระบบสมการเชงเสนแกปญหาไดตลอดเวลาซงเหมอนกบสมประสทธของเมตรกซ A แตเหมอนกบความแตกตางในหลกของเมตรกซ B มนไมจำาเปนตองเปนเมตรกซสามเหลยมตลอดไป ถาตวประกอบถกเกบ เหตผลน ทวธแยกตวประกอบสามเหลยมถกเลอกใชเปนปกตมากกวาวธการขจดตวแปล อยางไรกตามถาวธทเปนระบบเชงเสนเพยงอยางเดยววธท 2 กเปนเหมอนกน เวนแตวธการแยกตวประกอบสามเหลยมทเกบในรปผลคน

การสลบลำาดบในเมตรกซA= LU เปนการแยกตวประกอบในทฤษฏท 3.10 ทสมมตเชนนนไม

เปนแถวทเปลยนแปลง มนเปนไปไมไดทเมตรกซ A เปนเมตรกซทไมเอกพจน ไมสามารถเปนได ถาตวปรพกอบโดยตรงขณะน A = L Uตวอยางท 3.22 ดงแสดงตอไปนเมตรกซนไมสามารถเปนตวประกอบ

โดยตรงขณะทA=LU

สมมตให A เปนการแยกตวประกอบโดยตรง LU ดงนน(13)

เมตรกซ L และ U บนขวามอของ (13) สามารถเปนผลคณและแตละสวนของผลลพธทเปรยบเทยบ ซงตรงกนในแตละสวนของเมตรกซ

A ในหลกแรก ดงนน และสดทาย ในหลกท 2 ดงนน แสดงวา และสดทาย

ซงเปนสงทตรงกนขาม ดงนน A ไมม LU ในการแยกตวประกอบ

การสลบทของจำานวนเตมบวกตวแรก N เปนการจด ของจำานวนเหลาน ในขอบเขตทชดเจน จากตวอยาง 1,4,2,3,5

เปนการสลบทของจำานวนเตม 5 ตว 1,2,3,4,5 ในเวกเตอรมาตรฐาน เพอ คอการนำาไปใชในนยามตอไปน

นยาม 3.5 การสลบทของเมตรกซ P เปนเมตรกซทนำาเขามาอยางงถกตองของผลลพธ คอ 1 ในแตละหลกและแถวและทกๆการนำาเขามาเปนสมาชกอนๆ เปน 0 และแถวของ P เปนการสลบทของแถวของเมตรกซเอกลกษณและสามารถเขยนไดดงน(14)สวนของ มรปแบบดงน

ดงตวอยาง ตามเมตรกซ เปนการสลบท

(15)

ทฤษฏ 3.11 ให คอการสลบทของเมตรกซ ผลทได PA จะเปนเมตรกซใหมซงแถวทมาประกอบกนจะเปนแถวทจดขนใหมในคำาสงแถว A แถวท ,. . . .,แถวทตวอยางท 3.23 ให A เปนเมตรกซ และ P เปนการสลบทของเมตรกซใน(15); แลว PA เปนเมตรกซซงแถวประกอบกนเปนแถวของ A แถวใหมในแถว 2A,แถว 1A,แถว 4A,แถว 3A ดงน

ทฤษฏ 3.12 ถาเปนการสลบทเมตรกซ แลวไมเอกพจน และ ทฤษฏ 3.13 ถา A เปนเมตรกซไมเอกพจน แลว A แลว A เปนการสลบทเมตรกซ P ดงนน PA เปนการแยกตวประกอบในการคณแบบสามเหลยมการสลบทเมตรกซซงเปลยนแถว 2 และ 3 เปน จงหาผลลพธของ PA

ขจดโดยปราศจากแถวทสลบกน ทำาไดดงน

หลงจากนน จะตองกำาจดหลก 2 แถว 3

การดำาเนนการ Gaussian elimination สงทตามมาจากทฤษฏ คอ การตอยอดทฤษฏท 3.10 ซงประดวย

กรณทแถวสลบทกนดงเชน การแยกตวประกอบการคณแบบสามเหลยมสามารถอธบายเปนระบบสมาการเชงเสน AX = B ท A ไมเอกพจนทฤษฏ 3.14 ให A เปนเมตรกซ สมมตให Gaussian elimination สามารถกระทำาเรยบรอยแลวจะอธบายระบบเชงเสน AX = B แตแถวทตองการใหสลบ เมอทางออกของการสลบทของเมตรกซ P ดง

นน ผลคณ PA สามารถแยกตวประกอบของผลลพธรปสามเหลยม ทมคานอยในเมตรกซ L และสวนทมากกวาสามเหลยมของเมตรกซ U

PA = LUนอกจากนน L สามารถสรางใหเลข 1 อยบนแนวเสนทแยงมมและ U ไมเปน 0 คำาอธบาย X มสามเหลยมขนตอนดงน

1. สรางแบบขแง L, U และ P 2. คำานวณแถวเวกเตอร PB3. แกสมการ LY = PB โดยให Y เปนตวสลบเปลยนตวหนา4. แกสมการ UX = Y โดยให X เปนตวสลบเปลยนตวทาย

ขอสงเกต AX = B เปนการแกเมตรกซ A และ B โดยท A เปนเมตรกซทไมซำากน แลวขนท 1 จะกระทำาเหมอนททำามา และขนท 2 ถง 4 จะเปนการหาคำาตอบ X และตองการให เปนขนตอนเพอแทน ขนตอนนเปนของ Gaussian elimination MATLAB

MATLAB ให ทำาใหเกดเมตรกซสามเหลยมทมคามาก U (จากการแยกตวประกอบสามเหลยม A) และเกดการสลบของเมตรกซ P จากทฤษฏ 3.14ตวอยาง 3.25 ให MATLAB เปน บนเมตรกซ A ในตวอยาง 3.22 จง (มคาเทากบ PA = LU)

>>A = [1 2 6 ;4 8 -1 ;-2 3 -5];>>[L,U,P]=lu(A)L = 1.0000 0 0 -0.5000 1.0000 0 0.2500 0 1.0000U = 4.0000 8.0000 -1.0000 0 7.0000 4.5000 0 0 6.2500P = 0 1 0

0 0 1 1 0 0>>in(p)*L*U 1 2 6 4 8 -1 -2 3 5ตวอยางดานบน วธการแยกตวประกอบแบบสามเหลยม ถกนำามาใชอยบอยๆกวาวธการกำาจดตวแปร ในการบวกจะใช inv(A) และ det(A) คำาสงใน MATLAB สำาหรบตวอยาง จากการเรยนดานลายเสนพชคณตทำาใหร วาลกษณะไมเปนรปเอกพจนของเมตรกซ A เทากบ ท U เปนเมตรกซสามเหลยมบนจากการแยกตวประกอบพนทสามเหลยมของ A และ q เปนตวแรกของแถวทสลบทกน และคา P ไดจากเมตรกซ I ตงแต U เปนเมตรกซสามเหลยมบน เรารมาวาตวกำาหนดของสามเหลยม U เปนผลมาจากสวนเสนทแยงมมหลก(ทฤษฏ 3.6) ผอานตรวจสอบในตวอยางท 3.25

สดทายนการรนฏปรแกรมจจะพสจนจากทฤษฏท 3.10 เปนการขยายออกของโปรแกรม 3.2 และใชจดสำาคญทไมสมบรณ การสลบทของแถวระหวางจดสำาคญทไมสมบรณจะแสดงในเมตรกซ R เมตรกซ R จะใชการสลบตอไปเรอยๆเพอหาเมตรกซ Y

โปรแกรม 3.3 (PA = LU: การแยกตวประกอบ ซง เปนจดสำาคญ) การสรางวธการแกปญหา ของระบบเชงเสน AX = B เมอ A เปน เมตรกซไมเอกพจน

function X = lufact(A,B)%input - A is an NxN matrix% - B is an Nx1 matrix%output - X is an Nx1 matrix containing the solution to AX = B.%Initialize X,Y, the temporary storage matrix C, and the row

%permutaion information matrix R[N,N]=size(A);X=zeros(N,1);Y=zeros(N,1);C=zeros(1,N);R=1:N;for p=1:N-1 %Find the pivot row for column p [max1,j]=max(abs(A(p:N,p))); %Interchange row p and j C=A(p,:); A(p,:)=A(j+p-1,:); A(j+p-1,:)=C; d=R(p); R(p)=R(j+p-1); R(j+p-1)=d; if A(p,p)==0 'A is singular. No unique solution' break end %Calculate multiplier and place in subdiagonal portionb of A for k=p+1:N mult=A(k,p)/A(p,p); A(k,p)=mult; A(k,p+1:N)=A(k,p+1:N)-mult*A(p,p+1:N); endend%Solve for Yy(1)=B(R(1));for k=2:N Y(k)=B(R(k))-A(k,1:k-1)*Y(1:k-1);end%Solve for XX(N)=Y(N)/A(N,N);for k=N-1:-1:1 X(k)=(Y(k)-A(k,k+1:N)*X(k+1:N))/A(k,k);

end

แบบฝกหด1. หา LY = B,UX =Y และพสจนวา B = AX เมอ a) และ b) เมอ A = LU คอ

2. หา LY = B,UX =Y และพสจนวา B = AX เมอ a) และ b) เมอ A = LU คอ

3. หาตวประกอบสามเหลยม A = LU ของเมตรกซ

a) b)

4. หาตวประกอบสามเหลยม A = LU ของเมตรกซ

a) b)

5. หา LY = B,UX =Y และพสจนวา B = AX เมอ a) และ b) เมอ A = LU คอ

6. หาตวประกอบสามเหลยม A = LU ของเมตรกซ

7. จงสรางสตร ในสมการท 128. จงแสดงการแยกตวประกอบแบบสามเหลยมทเปนลกษณะเฉพาะตว ตามเหตผลตอไปน ถา A ไมเปนเอกพจน และ ดงนน และ 9. จงพสจนกรณท ทตอนจบของทฤษฏท 3.10

10. a)จงพสจนทฤษฏ 3.12 โดยแสดงวา โดยการสลบเมตรกซ

b)จงพสจนทฤษฏ 3.12 การแนะนำา ใชนยามของการคณเมตรกซ และ ขอเทจจรงของแถวแตละแถวและหลกของ และ แทน อยางและเอยด 1 อยาง11. จงพสจนอนเวอรสของเมตรกซไมเอกพจน เมตรกซสามเหลยมบนเปนเมตรกซสามเหลยมบน

Algorithms and Programs1. ใชโปรแกรม 3.3 ในการหาระบบ AX = B เมอ

และ

ใช โดยภาษาในแมทแลปเพอตรวจคำาตอบของคณ

2. ใชโปรแกรมท 3.3 เพอหาวาระบบเชงเสน AX = B เมอ และ และ เมอ และ ทก ใช และ

การแสดงวธทละเอยดคอ อธบายความผดปกต จาก วธทำาโดยละเอยด3. ดดแปลง โปรแกรม 3.3 ดงนน มนจะ คำานวณ โดยวธท ำาอยางละเอยด N ระบบเชงเสน

ทก จากนน

และ

คณแนใจวา การคำานวณ LU เปนการแยกตวประกอบเทานน4.

กฎของ Kirchhoff’s voltage ไดกลาววาผลรวมของแรงดนกระแสไฟฟาทลดลงรอบบางทของทางทปดในแผนตดตอ ในคำาสงทใหมาเปน 0 เมออนภาคนเปนการประยกต ของวงจรไฟฟาทแสดงดงภาพ 3.5 เราแทนดวยระบบสมการเชงเสน

ใชโปรแกรม 3.3 ในการหา กระแส และ ถา(a) และ (b) และ (c) และ 5. ในแคลคลส ตามทอ นทเกรตควรจะเปนการสรางโดย เทคนคของเศษสวนยอย

นควรจะกำาหนดการหาสมประสทธ ทก ในการการแสดง

ใชโปรแกรม 3.3 เพอหาสมประสทธเศษสวนยอย 6. ใชโปรแกรม 3.3 แกระบบเชงเสน AX = B เมอ A คอการใชสรางภาษาแมทแลป และ อยาลมพสจนวา A ไมเปนเอกพจน กอนใชโปรแกรม 3.3 ตรวจความถกตองของคำาตอบของคณรปแบบเมตรกซทแตกตาง AX – B และตวอยางอยางปดสวนทเปน 0 (คำาตอบทถกตองควรจะไดผลลพธ AX – B = 0) ผานกระบวนการน ใชสมประสทธเมตรกซ A สรางโดย และ

อธบายทกๆอยางทเหนความแตกตางอยางชดเจนในความถกตองของโปรแกรม 3.3 บน 2 ระบบน7. ใน(8)ของสวนท 3.1 เราจะนยามแนวคดของการรวมกนของเสน ใน N มตทวาง จากตวอยาง เวกเตอร ซงเปนเมตรกซเชงปรมาณสามารถเขยนเปน การรวมกนของเสน ของ และ

ใชโปรแกรม 3.3 ในการแสดง เมตรกซ ขณะทสามารถเขยนเสนทรวมกนของ

และ

อธบายดวยวาทำาไมทกๆเมตรกซ สามารถเขยนในขณะทการรวมของเสนของเมตรกซ