3 smith-2009

3 SMITOV DIJAGRAM

Smitov dijagram se primenjuje još od četrdesetih godina prošlog veka u cilju jednostavnijeg rešavanja problema u oblasti prostiranja elektromagnetnih talasa po vodovima. Upravo zbog toga ga je autor, Phillip Smith, nazvao "kalkulator transmisionih linija", [11]. Smitov dijagram predstavlja specijalnu vrstu impedansnog / admitansnog koordinatnog sistema u ravni kompleksnog koeficijenta refleksije kojim je uspostavljena veza između ulazne impedanse / admitanse homogenog voda i odgovarajućeg koeficijenta refleksije u proizvoljnim presecima voda.

Smitov dijagram takođe omogućava rešavanje složenijih problema prostiranja po vodovima koji uključuju diskontinuitete, ogranke vodova (stabove) i elemente sa koncentrisanim parametrima.

Obzirom da Smitov dijagram omogućava jednostavno grafičko rešavanje različitih problema vezanih za transmisione linije, to on i danas ima veliku primenu, posebno u mikrotalasnoj mernoj tehnici za očitavanje rezultata merenja na displeju mernih instrumenata, kao i pri projektovanju mikrotalasnih kola pomoću računara.

3.1 KONSTRUKCIJA SMITOVOG DIJAGRAMA

3.1.1 Impedansni Smitov dijagram

Pri radu sa Smitovim dijagramom koriste se normalizovane impedanse / admitanse. Normalizaciona veličina je karakteristična impedansa / admitansa voda. Normalizovane veličine obeležavaćemo malim slovima:

- normalizovana impedansa,

- normalizovana admitansa.Impedansni Smitov dijagram obrazuju dve familije međusobno

ortogonalnih kružnica parametara r (normalizovana otpornost) i x (normalizovana reaktansa) u ravni kompleksnog koeficijenta refleksije . Dakle, Smitov dijagram daje vezu između normalizovane impedanse i odgovarajućeg koeficijenta refleksije.

29 3 SMITOV DIJAGRAM

Pri izvođenju izraza koji omogućavaju konstrukciju impedansnog Smitovog dijagrama polazi se od normalizovane ulazne impedanse u proizvoljnom preseku voda, z,

, (3.1)

gde je r - normalizovana otpornost ( ), a x - normalizovana reaktansa ().

Ako se kompleksni koeficijent refleksije, predstavljen u obliku , (3.2)

zameni u izraz (3.1) dobija se:

. (3.3)

Izjednačavanjem realnih delova u poslednjem izrazu ima se

.

Nakon niza jednostavnih transformacija poslednjeg izraza

dobija se:

. (3.4)

Obzirom da je jednačina kružnice u (u,v) ravni oblika

, to je jednačinom (3.4) definisana familija kružnica

konstantne otpornosti u Γ ravni. Centri ove familije kružnica dati su

koordinatama , , a poluprečnici imaju vrednost . Kako

je , zaključuje se da centri kružnica leže na u osi, pomereni za u

odnosu na koordinatni početak. Preseci kružnica sa horizontalnom osom definisani su na sledeći način:

3.1 KONSTRUKCIJA SMITOVOG DIJAGRAMA 30

i

.

Vrednosti koordinata centra i poluprečnika za nekoliko karakterističnih vrednosti parametra r date su u Tabeli 3.1. Ovi rezultati prikazani su i grafički na Slici 3.1.

Tabela 3.1 Koordinate centra i poluprečnici kružnica konstantne otpornosti za različite vrednosti parametra r

0 0 0 1

1/2 1/3 0 2/3

1 1/2 0 1/2

2 2/3 0 1/3

1 0 0

Slika 3.1 Familija kružnica konstantne otpornosti

Familija kružnica konstantne otpornosti, pored ranije navedenih, ima i sledeće karakteristike: Sve kružnice se nalaze unutar kružnice jediničnog poluprečnika, koja

odgovara vrednosti parametra .


Sve kružnice imaju zajedničku vertikalnu tangentu u tački (1,0) - to je prava .

Tačka (1,0) je zajednička presečna tačka svih kružnica sa horizontalnom osom.

Sličan postupak se može sprovesti i za normalizovanu reaktansu. Izjednačavanjem imaginarnih delova izraza (3.3) ima se :

.

Transformacijom poslednjeg izraza dobija se:

. (3.5)

Ova jednačina definiše familiju kružnica konstantne reaktanse u (u, v)

ravni. Centri kružnica dati su koordinatama , , a poluprečnici

imaju vrednost . Za nekoliko karakterističnih vrednosti parametra x,

tabelarno su date koordinate centra i poluprečnika (Tabela 3.2) i odgovarajući rezultati su prikazani grafički (Slika 3.2).

Tabela 3.2 Koordinate centra i poluprečnici kružnica konstantne reaktanse za različite vrednosti parametra x

x

0 1 1/2 1 2 21 1 1 12 1 1/2 1/2 1 0 0

-1/2 1 -2 2-1 1 -1 1-2 1 -1/2 1/2- 1 0 0

Ova familija kružnica ima sledeće karakteristike: Centri svih kružnica leže na pravoj . Zajednička tangenta svih kružnica je u osa, tj. prava v=0 u tački (1,0). Za kružnica se redukuje u pravu v=0 koja se poklapa sa

horizontalnom osom. Za kružnica se redukuje u tačku (1,0).


Impedansama induktivnog karaktera ( ) odgovara gornja polovina Smitovog dijagrama, dok impedansama kapacitivnog karaktera ( ) odgovara donja polovina Smitovog dijagrama.

Slika 3.2 Familija kružnica konstantne reaktanse

U daljoj analizi razmatraćemo samo delove kružnica parametara x koji se nalaze unutar kružnice , zato što taj slučaj odgovara vrednostima .

Superpozicijom obe familije kružnica dobija se impedansni Smitov dijagram, kao što je prikazano na Slici 3.3.

Na dijagramu se može uočiti nekoliko karakterističnih tačaka. Tačka A (-1,0) nalazi se u preseku kružnica i , pa se naziva tačka nulte impedanse, odnosno tačka kratkog spoja. Tačka B (1,0) nalazi se u preseku kružnica i i naziva se tačka praznog hoda ili tačka otvorenog kraja voda. Tačka O (0,0) nalazi se u preseku kružnica i pa odgovara vrednosti impedanse , odnosno, slučaju kada je ostvareno prilagođenje na vodu.

Kako Smitov dijagram leži u ravni kompleksnog koeficijenta refleksije, jednostavno se može uneti tačka koja odgovara vrednosti koeficijenta refleksije. Koeficijent refleksije se grafički predstavlja u polarnom obliku na sledeći način:

Moduo koeficijenta refleksije jednak je normalizovanom rastojanju od centra Smitovog dijagrama (tačka O) do tačke koja odgovara koeficijentu refleksije (tačka C), tj. .

Ugao koji duž zaklapa sa pozitivnim delom u ose jednak je argumentu koeficijenta refleksije. Pozitivna orijentacija argumenta suprotna je


od smera kretanja kazaljke na satu. Argument koeficijenta refleksije u stepenima može se očitati sa pomoćne skale postavljene po obodu Smitovog dijagrama.

Slika 3.3 Impedansni Smitov dijagram

3.1.2 Admitansni Smitov dijagram

Na sličan način kao u slučaju impedansnog dijagrama, pri konstrukciji admitansnog Smitovog dijagrama polazi se od jednačine

,

gde je - normalizovana ulazna admitansa u proizvoljnom preseku voda.Smenom izraza (3.2) u prethodni, moguće je izvesti jednačine za dve

familije ortogonalnih kružnica koji čine admitansni Smitov dijagram. Dobija se:

i

. (3.6)

Superpozicijom obe familije kružnica dobija se admitansni Smitov dijagram, što je prikazano na Slici 3.4.


Slika 3.4 Admitansni Smitov dijagram

Očigledno je da se impedansni dijagram rotacijom za 180 transformiše u admitansni i obrnuto. Danas se najčešće koristi kombinovani Smitov dijagram koji predstavlja superpoziciju impedansnog i admitansog dijagrama, pri čemu su oni, radi lakšeg korišćenja, obično prikazani različitim bojama.

Ispod standardnog Smitovog dijagrama nalaze se skale za očitavanje karakterističnih parametara voda, prikazane na Slici 3.5. Parametri koji se mogu očitati sa skala su: moduo koeficijenta refleksije; slabljenje snage reflektovanog talasa (return loss), RL; koeficijent gubitaka pri transmisiji (transmission loss coefficient), TLC; koeficijent stojećeg talasa (standing wave ratio), KST i gubici pri refleksiji (reflected loss), RF.

Slika 3.5 Skale parametara voda

Moduo koeficijenta refleksije u proizvoljnom preseku na vodu može se očitati sa desne polovine gornje skale, pri čemu se sa skale označene sa reflection coeff. vol. očitava moduo koeficijenta refleksije, a sa skale reflection coeff. pwr. očitava kvadrat modula koeficijenta refleksije. Vrednosti ova dva


parametra kreću se od 0 - u centru Smitovog dijagrama do 1 - na obodu Smitovog dijagrama.

Slabljenje snage reflektovanog talasa, RL, definiše se kao logaritamski količnik aktivnih snaga direktnog i reflektovanog talasa (izrazi 2.42 i 2.43). Polazeći od ovih izraza i uopštavajući rezultate za proizvoljni presek na vodu, dobija se:

.

RL se očitava sa desne polovine donje skale, označene sa reflection loss in dB-retn. Vrednosti ovog parametra kreću se od 0 dB na obodu Smitovog dijagrama (slučaj totalne refleksije) do u centru Smitovog dijagrama (slučaj prilagođenja).

Koeficijent gubitaka pri transmisiji, TLC, definiše se kao:

.

TLC se može očitati sa leve polovine gornje skale, označene sa transm. loss coeff. TLC uzima vrednosti od 1 - u centru, do na obodu Smitovog dijagrama.

Koeficijent stojećeg talasa, KST, kao i KST[dB] mogu se očitati sa leve polovine donje skale, označene sa standing wave vol. ratio i standing wave in dB, respektivno. Vrednosti koeficijenta stojećeg talasa kreću se od 1 (0 dB) u centru Smitovog dijagrama (slučaj prilagođenja) do na obodu Smitovog dijagama (slučaj totalne refleksije).

Gubici zbog refleksije, RF, se definišu kao logaritamski odnos snage direktnog talasa i razlike snaga direktnog i reflektovanog talasa (apsorbovane snage):

.

Gubici zbog refleksije se mogu očitati sa desne polovine donje skale, označene sa reflection loss in dB-refl. Skala gubitaka zbog refleksije kreće se od 0 u centru Smitovog dijagrama do na obodu Smitovog dijagrama.

Za svaku tačku C u Smitovom dijagramu (Slika 3.3) se, korišćenjem odgovarajuće skale, mogu odrediti napred pomenute veličine i to tako što se rastojanje prenese na odgovarajuću skalu. Takođe, ove skale omogućavaju da se, znajući jednu veličinu, očitaju i sve ostale. Na primer, ako je poznat moduo koeficijenta refleksije , sa skale prikazane na Slici 3.5 može se


očitati: =0.25, RL[dB]=6 dB, TLC=1.67, KST=3, KST[dB]=9.5dB i RF[dB]=1.25 dB.

3.2 PRIMENE SMITOVOG DIJAGRAMA

3.2.1 Određivanje impedanse na osnovu koeficijenta refleksije i obrnuto

Kada je poznat koeficijent refleksije u bilo kom preseku voda, onda se na osnovu njegovog modula i argumenta unosi odgovarajuća tačka u Smitov dijagram, kao što je objašnjeno u odeljku 3.1.1. U cilju određivanja normalizovane impedanse u istom preseku voda, potrebno je uočiti par kružnica koji se seku u toj tački. U većini slučajeva ucrtane kružnice ne prolaze kroz pomenutu tačku, pa se koristi metod interpolacije.

Obrnuto, ako je poznata impedansa u nekom preseku voda i vrednost karakteristične impedanse, najpre se izvrši normalizacija da bismo odredili komponente r i x, a potom se potraže odgovarajuće kružnice u Smitovom dijagramu i njihova presečna tačka. Pomoću te tačke očitaju se moduo i argument koeficijenta refleksije.

Primer 1: Na kraju voda karakteristične impedanse

priključeno je završno opterećenje impedanse . Odrediti koeficijent refleksije na kraju voda.

Rešenje:Normalizovana impedansa na mestu završnog opterećenja je:

.

U preseku kružnica parametara r = 0.67 i x = 0.4 nalazi se tačka A koja

odgovara koeficijentu refleksije , kao što je prikazano na Slici

3.6. Očitava se i .


Slika 3.6 Rešenje Primera 1 i Primera 2 pomoću Smitovog dijagrama

Primer 2: Na kraju voda karakteristične impedanse priključeno je nepoznato završno opterećenje. Odrediti ovo opterećenje ako se

zna da je koeficijent refleksije na kraju voda .

Rešenje:U Smitov dijagram se ucrtava tačka B kojoj odgovara i

(kao što je prikazano na Slici 3.6). Ona je presečna tačka kružnica i , pa je tražena impedansa

.

3.2.2 Određivanje ulazne impedanse voda

Kod vodova bez gubitaka moduo koeficijenta refleksije se ne menja duž voda, a argument koeficijenta refleksije se linearno smanjuje sa porastom z koordinate, kao što je pokazano u Glavi 2 (izraz 2.18). Važi

.

Neka tačka A (Slika 3.7) odgovara završnoj impedansi, tj. koeficijentu refleksije na kraju voda. Pomeranjem od završnog opterećenja prema generatoru za neko rastojanje z, argument koeficijenta refleksije se smanjuje po zakonu , pa tačka A u Smitovom dijagramu rotira oko koordinatnog početka za ugao u smeru kretanja kazaljke na satu. S obzirom da moduo koeficijenta refleksije ostaje kontantan, rotacija se vrši po kružnici poluprečnika . Ova kružnica se naziva kružnica konstantnog koeficijenta


refleklsije ili kružnica konstantnog KST-a. Dobijena tačka B odgovara normalizovanoj ulaznoj impedansi na rastojanju z od kraja voda.

Obrnuto, ako se vrši pomeranje prema potrošaču za neko rastojanje z, tačka koja u Smitovom dijagramu odgovara normalizovanoj ulaznoj impedansi rotira oko koordinatnog početka za ugao u smeru suprotnom kretanju kazaljke na satu.

Na vodu sa gubicima koeficijent refleksije u proizvoljnom preseku se može predstaviti kao (izraz 2.16):

,

odakle sledi da se moduo koeficijenta refleksije smanjuje po eksponencijalnom zakonu sa porastom z koordinate, a argument se menja na isti način kao kod voda bez gubitaka.

Pomeranjem prema generatoru za neko rastojanje z, tačka koja odgovara završnom opterećenju u Smitovom dijagramu (tačka A na Slici 3.7) rotira oko koordinatnog početka za ugao 2z u smeru kretanja kazaljke na satu. Pritom se ova tačka ne kreće po kružnici već po spirali (do tačke B’), zato što se moduo koeficijenta refleksije smanjuje sa porastom z koordinate.

Slika 3.7 Određivanje ulazne impedanse

Da bi se olakšao rad sa Smitovim dijagramom na njegovom obodu se nalaze tri pomoćne kružne skale. Prva skala, najmanjeg poluprečnika, kalibrisana je u stepenima počev od tačke praznog hoda. Ova skala odgovara argumentu koeficijenta refleksije u stepenima. Kao što je ranije rečeno,


pozitivan smer argumenta koeficijenta refleksije je suprotan smeru kretanja kazaljke na satu.

Ostale dve skale kalibrisane su u normalizovanim dužinama . Pod normalizovanom dužinom podrazumeva se rastojanje mereno duž z ose podeljeno talasnom dužinom. Ova podela počinje od tačke kratkog spoja. Skale pokrivaju opseg od 0 do (tačka opiše pun krug pri pomeranju za jednu polovinu talasne dužine na vodu). Unutrašnja skala odnosi se na smer rotacije ka potrošaču (rotacija u smeru suprotnom smeru kretanja kazaljke na satu), a spoljašnja - na smer rotacije ka generatoru (smer kretanja kazaljke na satu).

Primer 3: Vod bez gubitaka karakteristične impedanse završen

je opterećenjem . Odrediti normalizovanu ulaznu impedansu na rastojanjima:

a) z/=0.0625,b) z/=0.25,c) z/=0.3125,d) z/=0.4125,e) z/=0.6025.

Rešenje: a) U Smitov dijagram unosi se tačka A koja odgovara normalizovanoj impedansi na mestu završnog opterećenja:

, kao što je prikazano na Slici 3.8.

Tačku A treba rotirati po kružnici konstantnog KST-a u smeru ka generatoru za

normalizovano rastojanje z/=0.0625, odnosno za ugao .

Dobija se tačka B1, koja se nalazi u preseku kružnica parametara r =5.8 i x =0, pa je .

Obzirom da je, na osnovu izraza (2.25), normalizovana ulazna impedansa na mestu maksimuma stojećega talasa napona realna veličina i jednaka koeficijentu stojećeg talasa ( ), odgovarajuće geometrijsko mesto tačaka u Smitovom dijagramu se nalazi na pozitivnom delu realne ose. Zahvaljujući tome neposredno se očitava vrednost koeficijenta stojećeg talasa:

.

b) Rotacijom tačke A po kružnici konstantnog KST-a za ugao u smeru ka generatoru dobija se tačka B2, za koju je .


Slika 3.8 Rešenje Primera 3 pomoću Smitovog dijagrama

c) Tačku A treba rotirati za u smeru ka generatoru. Dobija se tačka B3, za koju je .

Normalizovana ulazna impedansa na mestu minimuma stojećeg talasa napona je, na osnovu izraza (2.26), realna veličina jednaka recipročnoj vrednosti koeficijenta stojećeg talasa, pa se odgovarajuće geometrijsko mesto tačaka u Smitovom dijagramu nalazi na negativnom delu realne ose. Zahvaljujući tome neposredno se očitava vrednost koeficijenta stojećeg talasa:

.

d) Rotacijom tačke A za ugao u smeru ka generatoru dobija se (tačka B4).e) Tačku A treba rotirati po kružnici konstantnog KST-a u smeru ka generatoru za normalizovano rastojanje z/=0.6025. Tačka A pri tome opiše pun krug pri pomeranju za jednu polovinu talasne dužine na vodu (z/=0.5) i treba je rotirati još za normalizovano rastojanje 0.6025-0.5=0.1025. Dobija se

(tačka B5).


3.2.3 Određivanje admitanse na osnovu impedanse i obrnuto

Analizira se vod bez gubitaka karakteristične impedanse , dužine

, završen proizvoljnom impedansom . Pokazano je ranije (odeljak 2.6.2) da ovakav vod predstavlja transformator impedanse i da je njegova ulazna impedansa oblika (izraz 2.30)

,

tako da je normalizovana ulazna impedansa

.

Dakle, normalizovana ulazna impedansa voda na rastojanju /4 od opterećenja jednaka je normalizovanoj admitansi opterećenja. Zahvaljujući ovome, umesto određivanja admitanse analitičkim putem, ona se može odrediti grafički, na Smitovom dijagramu, kao ulazna impedansa voda u preseku pomerenom za /4 prema generatoru. Kako pomeranje na vodu za /4 odgovara

rotaciji za na Smitovom dijagramu, to znači da tačka koja

odgovara normalizovanoj admitansi i tačka koja odgovara normalizovanoj impedansi leže na istoj pravoj, na istom odstojanju od centra Smitovog dijagrama, ali sa različitih strana.

Primer 4: Poznata je normalizovana impedansa opterećenja voda . Korišćenjem Smitovog dijagrama odrediti normalizovanu

admitansu opterećenja.

Rešenje:U Smitov dijagram se unosi tačka A koja odgovara normalizovanoj

impedansi opterećenja (Slika 3.9). Tačka B, koja odgovara normalizovanoj admitansi, nalazi se dijametralno suprotno u odnosu na tačku A, na istom rastojanju od centra dijagrama. Tačka B nalazi u preseku kružnica parametara r =1 i x =1, odnosno, .



3.2.4 Određivanje završne impedanse

Ako je poznata normalizovana ulazna impedansa u proizvoljnom preseku voda bez gubitaka, na rastojanju z od kraja, moguće je jednostavno pomoću Smitovog dijagrama odrediti završnu impedansu. Tačku koja u Smitovom dijagramu odgovara normalizovanoj ulaznoj impedansi treba rotirati po kružnici konstantnog KST-a za ugao (odnosno, za normalizovano rastojanje z/) u smeru ka potrošaču.

Najrasprostranjeniji metod za određivanje nepoznate impedanse opterećenja zasniva se na poznavanju ulazne impedanse na mestu minimuma stojećeg talasa napona i rastojanja tog minimuma od kraja voda. U svrhe eksperimentalnog određivanja ovih podataka koristi se prorezana merna linija. Obično se koriste prorezani talasovod ili koaksijalni vod. Podesni mehanizam omogućava kontinualno pomeranje sonde i detektora duž merne linije. Pomeranjem sonde duž merne linije pri konstantnoj dubini poniranja sonde može se snimiti kriva relativne raspodele električnog polja, tj. kriva stojećeg talasa. Snimljena kriva stojećeg talasa omogućava izračunavanje većeg broja veličina koje karakterišu prostiranje na mernoj liniji. Sa snimljene krive stojećeg talasa može se odrediti vrednost koeficijenta stojećeg talasa, KST (kao odnos modula maksimalne i minimalne amplitude napona na vodu), talasna dužina, , (kao dvostruko rastojanje između dva minimuma), kao i rastojanje prvog minimuma stojećeg talasa napona od kraja voda, . Kao što je ranije pokazano, normalizovana ulazna impedansa na mestima minimuma stojećeg

talasa napona jednaka je , tako da se tačka koja odgovara ovoj


impedansi nalazi na negativnom delu relne ose. Rotiranjem ove tačke u smeru ka potrošaču za ugao (odnosno za normalizovano rastojanje ) određuje se normalizovano završno opterećenje.

Primer 5: Pomoću prorezane merne linije izmeren je koeficijent stojećeg talasa KST=2.5. Odstojanje minimuma stojećeg talasa napona od kraja voda je zm=0.1. Odrediti normalizovanu impedansu završnog opterećenja koristeći Smitov dijagram.

Rešenje:Normalizovana ulazna impedansa na mestu minimuma stojećeg talasa

napona je jednaka i u Smitovom dijagramu je

predstavljena tačkom A (Slika 3.10). Ovu tačku treba rotirati ka generatoru za zm/=0.1. Dobija se (tačka B).


3.3 PROŠIRENI SMITOV DIJAGRAM


Izvan standardnog Smitovog dijagrama moduo koeficijenta refleksije je veći od jedinice, što znači da je snaga reflektovanog talasa veća od snage incidentnog talasa. U tom slučaju odgovarajuće otpornosti i konduktanse su negativne veličine. Kružnice konstantne otpornosti (jednačina 3.4) mogu se nacrtati za negativne vrednosti r, a kružnice konstantne reaktanse (jednačina 3.5) mogu se nacrtati izvan kružnice . Na taj način se dobija tzv. prošireni Smitov dijagram koji je za prikazan na Slici 3.11. Prošireni Smitov dijagram se koristi pri analizi kola sa aktivnim komponentama.

Slika 3.11 Prošireni Smitov dijagram

3 smith-2009

Documents