3 paskaitajurdabu/index_files/...2011.09.22 1 2011/2012 matematinė logika 1/44 3 paskaita doc. dr....
TRANSCRIPT
-
2011.09.22
1
2011/2012 1/44 Matematinė logika
3 paskaita
doc. dr. Jurgita Dabulytė-Bagdonavičienė
Taikomosios matematikos katedra, KTU
2011/2012
Teiginių logika Predikatų logika
2/44 Matematinė logika
Loginės operacijos
“ne” ↔ “netiesa, kad” ↔“nėra” ↔ “klaidinga, kad”
↔ “be” ↔ “išskyrus”
2011/2012
Neigimas
Konjunkcija “ir” ↔“o” ↔ “bet” ↔ “tačiau” ↔ “nors” ↔ “kuris”
↔“nei..., nei” ↔ “kaip..., taip” ↔ “tai...,tai”
Disjunkcija “arba”
Implikacija “jeigu ..., tai” ↔ ”taigi” ↔ ”vadinasi“
Ekvivalencija ”tada ir tik tada, kai...”↔ ”jei ir tik jei..., tai“
-
2011.09.22
2
Teiginių logika Predikatų logika
3/44 Matematinė logika
Uţdaviniai
2011/2012
Tegul P, Q ir R yra teiginiai:
P: “Kelionė į Marsą labai brangi”;
Q: “Keliausiu į Marsą”;
R: “Turiu pinigų”.
Uţrašykite teiginius:
1. Pinigų neturiu ir į Marsą nekeliausiu;
2. Pinigų neturiu ir kelionė į Marsą labai brangi arba keliausiu į Marsą;
3. Netiesa, kad turiu pinigų ir keliausiu į Marsą;
4. Kelionė į Marsą nėra brangi ir ten keliausiu arba kelionė į Marsą yra
brangi ir ten nekeliausiu.
Teiginių logika Predikatų logika
4/44 Matematinė logika
Uţdaviniai
2011/2012
Tegul P, Q ir R yra teiginiai:
P: “Šis ţaidimas sudėtingas”;
Q: “Ţaidţiu šachmatais”;
R: “Šachmatų ţaidimas reikalauja laiko”.
Interpretuokite:
1. Q Λ R;
2. ¬P v ¬Q;
3. (P v R) Λ Q;
4. P Λ Q Λ R
Ţaidţiu šachmatais, nors šis ţaidimas reikalauja laiko.
Ţaidimas ne sudėtingas arba neţaidţiu šachmatais.
Ţaidimas yra sudėtingas arba reikalauja daug
laiko, tačiau aš ţaidţiu šachmatais. Aš ţaidţiu šachmatais, nors ţaidimas yra sudėtingas ir
reikalauja daug laiko.
-
2011.09.22
3
Teiginių logika Predikatų logika
5/44 Matematinė logika
Uţdaviniai
2011/2012
Tegul P, Q ir R yra teiginiai:
P: “Jis nusipirks kompiuterį”;
Q: “Jis švęs visą naktį”;
R: “Jis laimės aukso puodą”.
Uţrašykite teiginius:
• Jeigu jis laimės aukso puodą, tai nusipirks kompiuterį ir švęs visą
naktį;
• Jeigu jis nenusipirks kompiuterio, tai ir nešvęs visą naktį;
• Jeigu jis laimės aukso puodą, tai švęs visą naktį; ir jei jis nelaimės
aukso puodo, tai nenusipirks kompiuterio;
• Jeigu jis nelaimės aukso puodo arba nenusipirks kompiuterio, tai
nešvęs visą naktį.
Teiginių logika Predikatų logika
6/44 Matematinė logika
Uţdaviniai
2011/2012
Tegul P, Q ir R yra teiginiai:
P: “Jam patinka violetiniai kaklaraiščiai”;
Q: “Jis populiarus”;
R: “Jo draugai keistoki”.
Interpretuokite:
•(P Λ Q) R;
•Q ¬ R;
•P (Q v R);
•(P ¬ R) Λ (Q R)
Jei jis populiarus ir jam patinka violetiniai kaklaraiščiai,
tai jo draugai keistoki.
Jei jis populiarus, tai jo draugai ne keistoki (normalūs).
Jei jam patinka violetiniai kaklaraiščiai, tai jis
populiarus arba jo draugai keistoki.
Jei jam patinka violetiniai kaklaraiščiai, tai jo
draugai ne keistoki; ir jei jis populiarus, tai jo
draugai keistoki.
-
2011.09.22
4
Teiginių logika Predikatų logika
7/44 Matematinė logika
Uţdaviniai
2011/2012
Tegul P, Q ir R yra teiginiai:
P: “Dogai – dideli šunys”;
Q: “Mano būtas maţas”;
R: “Turiu dogą”.
Interpretuokite:
•P Λ Q Λ ¬ R;
•P Λ (¬ Q v ¬ R);
•(P v ¬ Q) Λ R;
•(P Λ R) v (Q Λ ¬ R).
Teiginių logika Predikatų logika
8/44 Matematinė logika
Uţdaviniai
2011/2012
Kam lygu:
a b c d
1. XkX k X X t
2. Yk ~ k t Y Y
3. tZZ k Z Z t
-
2011.09.22
5
Teiginių logika Predikatų logika
9/44 Matematinė logika
Teiginių algebros formulių teisingumo lentelės
Sakykime, kad formulė A susideda iš P1, P2, ..., Pn atomų. Kadangi kiekvienas
atomas gali įgyti vieną iš dviejų galimų teisingumo reikšmių t ir k, tai galimų
skirtingų n atomų rinkinių P1, P2, ..., Pn reikšmių gali būti n2 .
1.3 Apibrėţimas
Teiginių algebros formulės A interpretacija vadiname bet kokį, į
formulę A įeinančių, atomų teisingumo reikšmių rinkinį.
2011/2012
Teiginių logika Predikatų logika
10/44 Matematinė logika
Teiginių algebros formulių teisingumo lentelės
Sakykime, reikia apskaičiuoti formulės QS)RQ~P( teisingumo reikšmę,
kai rinkinys (P, Q, R, S) = (t, t, k, t).
( P ~ Q R) S Q
t t k t t
k t
k t
t
2011/2012
-
2011.09.22
6
Teiginių logika Predikatų logika
11/44 Matematinė logika
Teiginių algebros formulių teisingumo lentelės
Apskaičiuokite formulių teisingumo reikšmes, kai žinomi rinkiniai:
QRRPQ ;
t,t,kR,Q,P ;
k,k,kR,Q,P ;
PR~QRP ;
t,t,tR,Q,P ;
k,k,tR,Q,P ;
2011/2012
Teiginių logika Predikatų logika
12/44 Matematinė logika
Teiginių algebros formulių teisingumo lentelės
Nurodykite, ar pakanka duomenų kiekvienos iš šių formulių
teisingumo reikšmei nustatyti. Jei pakanka, nurodykite tą reikšmę.
Jei nepakanka, tai parodykite, kad formulė gali įgyti ir reikšmę t, ir
reikšmę k.
1.
t
RQP ;
2.
t
RQP ;
3. t
RQ~P ;
4.
k
QPRQP .
2011/2012
-
2011.09.22
7
Teiginių logika Predikatų logika
13/44 Matematinė logika
Teiginių algebros formulių teisingumo lentelės Kartais reikia rasti visų galimų formulės interpretacijų teisingumo reikšmes.
P f(P)
t
k
2011/2012
Teiginių logika Predikatų logika
14/44 Matematinė logika
Teiginių algebros formulių teisingumo lentelės Kartais reikia rasti visų galimų formulės interpretacijų teisingumo reikšmes.
P f(P)
t
k
P Q f(P,Q)
t
k
t
k
t
t
k
k
2011/2012
-
2011.09.22
8
Teiginių logika Predikatų logika
15/44 Matematinė logika
Teiginių algebros formulių teisingumo lentelės
Kartais reikia rasti visų galimų formulės interpretacijų teisingumo reikšmes.
P f(P)
t
k
P Q f(P,Q)
t t
t k
k t
k k
2011/2012
Teiginių logika Predikatų logika
16/44 Matematinė logika
Teiginių algebros formulių teisingumo lentelės
Kartais reikia rasti visų galimų formulės interpretacijų teisingumo reikšmes.
P f(P)
t
k
P Q f(P,Q)
t t
t k
k t
k k
P Q R f(P,Q,R)
t t
t k
k t
k k
t t
t k
k t
k k
k
k
k
k
t
t
t
t
2011/2012
-
2011.09.22
9
Teiginių logika Predikatų logika
17/44 Matematinė logika
Teiginių algebros formulių teisingumo lentelės
Sudaryti formulės (P v Q) (P Λ Q) teisingumo lentelę.
A B A Λ B A B A v B
t t t t t
t k k k t
k t k t t
k k k t k
P Q P v Q P Λ Q (P v Q) (P Λ Q)
t t
t k
k t
k k
2011/2012
Teiginių logika Predikatų logika
18/44 Matematinė logika
Teiginių algebros formulių teisingumo lentelės
Sudaryti formulės (P v Q) (P Λ Q) teisingumo lentelę.
A B A Λ B A B A v B
t t t t t
t k k k t
k t k t t
k k k t k
P Q P v Q P Λ Q (P v Q) (P Λ Q)
t t t
t k t
k t t
k k k
2011/2012
-
2011.09.22
10
Teiginių logika Predikatų logika
19/44 Matematinė logika
Teiginių algebros formulių teisingumo lentelės
Sudaryti formulės (P v Q) (P Λ Q) teisingumo lentelę.
A B A Λ B A B A v B
t t t t t
t k k k t
k t k t t
k k k t k
P Q P v Q P Λ Q (P v Q) (P Λ Q)
t t t t
t k t k
k t t k
k k k k
2011/2012
Teiginių logika Predikatų logika
20/44 Matematinė logika
Teiginių algebros formulių teisingumo lentelės
Sudaryti formulės (P v Q) (P Λ Q) teisingumo lentelę.
A B A Λ B A B A v B
t t t t t
t k k k t
k t k t t
k k k t k
P Q P v Q P Λ Q (P v Q) (P Λ Q)
t t t t t
t k t k k
k t t k k
k k k k t
2011/2012
-
2011.09.22
11
Teiginių logika Predikatų logika
21/44 Matematinė logika
Teiginių algebros formulių teisingumo lentelės
Sudarykite formulės teisingumo lentelę.
)R~P(RQP
P Q R P QP
RQP
R~P )R~P(RQP
1 t t t k k t t t
2 t t k k k k k t
3 t k t k k t t t
4 t k k k k k k t
5 k t t t t t k k
6 k t k t t t t t
7 k k t t k t k k
8 k k k t k k t t
1 2 3 4 5 6 7 8
2011/2012
Teiginių logika Predikatų logika
22/44 Matematinė logika
Teiginių algebros formulių teisingumo lentelės
1.4 Apibrėţimas
Lentelė, kurioje parašytos visos galimos formulės interpretacijos ir šias
interpretacijas atitinkančios formulių reikšmės, vadinama formulės
teisingumo lentele.
Bet kuri formulė apibūdinama teisingumo lentele.
Teisingumo lentelė gali atitikti ir ne vieną formulę.
2011/2012
-
2011.09.22
12
Teiginių logika Predikatų logika
23/44 Matematinė logika
Teiginių algebros formulių teisingumo lentelės
Sudarykite formulėms teisingumo lenteles:
1. QRP ;
2. TQP~QPTS .
2011/2012
Teiginių logika Predikatų logika
24/44 Matematinė logika
Formulių lygiavertiškumas
1.5 Apibrėţimas
Formulės A ir B vadinamos lygiavertėmis, jeigu visose formulių A ir B,
turinčių visus atomus iš formulių A ir B, interpretacijose šių formulių
teisingumo reikšmės sutampa.
Formulių A ir B lygiavertiškumas žymimas BA .
Aišku, kad lygiavertės formulės turi vienodas teisingumo lenteles, ir
atvirkščiai, jeigu formulių teisingumo lentelės sutampa, tai jos lygiavertės.
Patikrinkite: QPQP .
2011/2012
-
2011.09.22
13
Teiginių logika Predikatų logika
25/44 Matematinė logika
Formulių lygiavertiškumas
Lygiavertės formulės turi tokias savybes:
bet kuriai formulei A yra tenkinama sąlyga AA ,
bet kurioms formulėms A ir B, jeigu BA , tai AB ,
bet kurioms formulėms A, B ir C, jeigu BA , CB , tai CA .
Visos formulės, kurių teisingumo lentelės vienodos, sudaro lygiaverčių
formulių aibę.
2011/2012
Teiginių logika Predikatų logika
26/44 Matematinė logika
Uţdaviniai
1. Įrodyti, kad QPQPQP ~ .
2. Ar RPQPRQP ?
3. Duota: kP , kQ ir kR . Apskaičiuokite
o RQP ;
o RPQP ;
o RQP ;
o RPQP ;
o RQP ;
o RQP ;
o RQP .
2011/2012
-
2011.09.22
14
Teiginių logika Predikatų logika
27/44 Matematinė logika
Uţdaviniai
4. tQP , o kQP ~ . Kam lygu PQ ?
5. tQP ~ . Kam lygu QP ~ ir QP ~ ?
6. tP . Kokias teisingumo reikšmes įgyja teiginiai RQP ir RQP ?
7. tQP . Kokias teisingumo reikšmes įgyja teiginiai QPR ir
RQP ?
8. tQP . Ar galima nustatyti teiginio RQP teisingumo reikšmę?
2011/2012
Teiginių logika Predikatų logika
28/44 Matematinė logika
Teiginių algebros funkcijos
Formulė apibrėžia k,tk,t n pavidalo funkciją.
1.6 Apibrėţimas
Funkcija k,tk,t n vadinama n-viete teisingumo funkcija arba teiginių algebros funkcija.
Iš n atomų rinkinio galima sudaryti suskaičiuojamą formulių aibę. Bet visos šios
formulės apibrėžia baigtinę teisingumo funkcijų aibę.
Dviviečių teisingumo funkcijų yra 16:
P Q f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15
t t t t t t t t t t k k k k k k k k
t k t t t t k k k k t t t t k k k k
k t t t k k t t k k t t k k t t k k
k k t k t k t k t k t k t k t k t k
n-viečių teisingumo funkcijų skaičius yra lygus n22 .
2011/2012
-
2011.09.22
15
Teiginių logika Predikatų logika
29/44 Matematinė logika
Teiginių algebros funkcijos
P f0 f1 f2 f3
t t t k k
k t k t k
n-viečių teisingumo funkcijų skaičius yra lygus n22 .
Tai viso bus 4 vienvietės teisingumo funkcijos.
Užrašykite vienvietę teisingumo funkcijų lentelę.
2011/2012
Teiginių logika Predikatų logika
30/44 Matematinė logika
Teiginių algebros funkcijų normalinės formos
Kiekvieną teiginių logikos formulę galima išreikšti trimis veiksmais:
neigimu,
konjunkcija,
disjunkcija.
Normaliąją formą išraiška turės tada, kai joje pasitaikys tik neigimas,
konjunkcija ir disjunkcija.
Loginėms išraiškoms galima suteikti dvi normaliąsias formas:
normaliąją disjunkcinę formą,
normaliąją konjunkcinę formą.
2011/2012
-
2011.09.22
16
Teiginių logika Predikatų logika
31/ 44 Matematinė logika
Teiginių algebros funkcijų normalinės formos
Teisingumo funkcijos gali būti apibrėžtos dviem būdais:
formulėmis,
teisingumo lentelėmis.
Iš formulių lengvai sudaromos teisingumo lentelės.
Kaip nuo teisingumo lentelės pereiti prie formulės?
2011/2012
Teiginių logika Predikatų logika
32/44 Matematinė logika
Teiginių algebros funkcijų normalinės formos
Uždaviniui spręsti išnagrinėsime du algoritmus.
P1 P2 P3 f(P1 , P2 , P3)
t t t t
t t k t
t k t t
t k k k
k t t t
k t k k
k k t k
k k k t
Funkcija )PP,P(f3
,21
yra apibrėžta teisingumo lentele.
2011/2012
-
2011.09.22
17
Teiginių logika Predikatų logika
33/ 44 Matematinė logika
Teiginių algebros funkcijų normalinės formos
1 Algoritmas.
P1 P2 P3 f(P1 , P2 , P3)
t t t t
t t k t
t k t t
t k k k
k t t t
k t k k
k k t k
k k k t
Nagrinėsime tuos atomų n21
P,...,P,P rinkinius )(n
,...,2
,1
,
kuriems .n,...,2,1i,k,t,t)(fin
,...,2
,1
Kiekvienam rinkiniui iš atomų n21
P,...,P,P arba jų
neiginių sudarome konjunkciją, kuri esant šiam
rinkiniui, įgyja reikšmę t.
.
,
,
,
,
321
321
321
321
321
PPP
PPP
PPP
PPP
PPP
2011/2012
Teiginių logika Predikatų logika
34/44 Matematinė logika
Teiginių algebros funkcijų normalinės formos
P1 P2 P3 f(P1 , P2 , P3)
t t t t
t t k t
t k t t
t k k k
k t t t
k t k k
k k t k
k k k t
Konjunkcijos, sudarytos iš visų n atomų n21
P,...,P,P
(su neiginiais arba be jų), vadinamos
elementariosiomis konjunkcijomis. Jų ilgis lygus n.
Sudarome gautų elementariųjų konjunkcijų
disjunkciją.
.321321321321321 PPPPPPPPPPPPPPP
2011/2012
-
2011.09.22
18
Teiginių logika Predikatų logika
35/44 Matematinė logika
Teiginių algebros funkcijų normalinės formos
1.7 Apibrėţimas
Disjunkcija, sudaryta iš elementariųjų konjunkcijų, vadinama
tobula normaliąja disjunkcine forma (TNDF).
Sudaryta TNDF išreiškia tą pačią teisingumo funkciją kaip ir teisingumo
lentelė.
2011/2012
Teiginių logika Predikatų logika
36/ 44 Matematinė logika
Teiginių algebros funkcijų normalinės formos
2 Algoritmas.
P1 P2 P3 f(P1 , P2 , P3)
t t t t
t t k t
t k t t
t k k k
k t t t
k t k k
k k t k
k k k t
Išrenkame tokius rinkinius ),...,,(n21
, kuriems esant
teisingumo funkcija įgyja k reikšmes: k=),...,,(fn21
.
Kiekvienam rinkiniui sudarome atomų n21
P,...,P,P arba
jų neiginių disjunkciją, kuri esant šiam rinkiniui įgyja
reikšmę k.
Disjunkcijos, sudarytos iš visų n atomų n21
P,...,P,P (su
neiginiais arba be jų), vadinamos elementariosiomis
disjunkcijomis. Jų ilgis lygus n.
Sudarome gautų elementariųjų disjunkcijų
konjunkciją.
.PPP,PPP,PPP321321321
).PPP()PPP()PPP(321321321
2011/2012
-
2011.09.22
19
Teiginių logika Predikatų logika
37/ 44 Matematinė logika
Teiginių algebros funkcijų normalinės formos
1.8 Apibrėţimas
Konjunkcija, sudaryta iš elementariųjų disjunkcijų, vadinama
tobula normaliąja konjunkcine forma (TNKF).
Sudaryta TNKF išreiškia tą pačią teisingumo funkciją kaip ir teisingumo
lentelė.
Kiekviena teisingumo funkcija, tapačiai nelygi k, gali būti išreikšta TNDF, o
kiekviena teisingumo funkcija, tapačiai nelygi t, gali būti išreikšta TNKF.
2011/2012
Teiginių logika Predikatų logika
38/ 44 Matematinė logika
Teiginių algebros funkcijų normalinės formos
Sudarykite visų dviviečių teisingumo funkcijų TNDF ir TNKF.
P Q f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15
t t t t t t t t t t k k k k k k k k
t k t t t t k k k k t t t t k k k k
k t t t k k t t k k t t k k t t k k
k k t k t k t k t k t k t k t k t k
QP
QP
QP
QP
QPQPQPQP
TNDF
2011/2012
-
2011.09.22
20
Teiginių logika Predikatų logika
39/44 Matematinė logika
Teiginių algebros funkcijų normalinės formos
P Q R RQ RQP QP RQP RQPRQP t t t t t t t t
t t k t t t t t
t k t t t k t t
t k k k k k k t
k t t t k k t t
k t k t k k k t
k k t t k k t t
k k k k k k k t
Sudarykite funkcijos RQPRQP TNDF ir TNKF.
2011/2012
Teiginių logika Predikatų logika
40/44 Matematinė logika
Teiginių algebros funkcijų normalinės formos
Sudarykite teisingumo funkcijų TNDF ir TNKF, jei šios funkcijos yra
sudarytos iš trijų atomų ir lygios k tada ir tik tada, kai reikšmę t
įgyjančių atomų skaičius yra mažesnis už 2 arba ne mažesnis už 3.
k bus tada ir tik tada, kai t įgyjančių atomų skaičius bus
-
2011.09.22
21
Teiginių logika Predikatų logika
41/44 Matematinė logika
Teiginių algebros funkcijų pilnos sistemos
1.9 Apibrėţimas
Teisingumo funkcijų sistema vadinama pilnąja, jeigu ja
naudojantis galima išreikšti bet kurią teisingumo funkciją.
Sistema },,{ yra pilnoji.
Teisingumo funkcijų sistemos },{},,{},,{ yra pilnosios.
Sistemos },{ pilnumui įrodyti pakanka disjunkciją iš pilnosios sistemos
},,{ išreikšti neigimu ir konjunkcija. Disjunkciją BA išreiškiame
neigimu ir konjunkcija pritaikę de Morgano dėsnį, t.y.
)BA(BA (1.1)
BABA
BABA
2011/2012
Teiginių logika Predikatų logika
42/44 Matematinė logika
Teiginių algebros funkcijų pilnos sistemos
Sistemos },{ pilnumas įrodomas analogiškai, t.y. konjunkcija
išreiškiama neigimu ir disjunkcija. Čia taip pat pritaikome kitą de
Morgano dėsnį:
)BA(BA (1.2)
Sistemos },{ pilnumui įrodyti disjunkciją reikia išreikšti neigimu ir
implikacija, t.y.
BABA (1.3)
(1.1), (1.2), (1.3) formules taip pat galima įrodyti sudarius teisingumo
lenteles.
2011/2012
-
2011.09.22
22
Teiginių logika Predikatų logika
43/44 Matematinė logika
Teiginių algebros funkcijų pilnos sistemos
1.10 Apibrėţimas
Funkcija, pavaizduota 1 teisingumo lentelėje, vadinama Šeferio
brūkšneliu, o pavaizduota 2 lentelėje, - Pirso strėle (rodykle).
1 lentelė 2 lentelė
A B BA A B BA
t t k t t k
t k t t k k
k t t k t k
k k t k k t
2011/2012
Teiginių logika Predikatų logika
44/ 44 Matematinė logika
Teiginių algebros funkcijų pilnos sistemos
Sistemos ir yra pilnosios.
Sistemos pilnumą įrodo šios lygiavertės formulės:
).BB()AA(BA,AAA
Sistemos pilnumą įrodo tokios lygiavertės formulės:
,AAA ).BB()AA(BA
2011/2012