3. limit

http://berbagimedia.wordpress.com

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2

APERSEPSI

Diketahui fungsi : 1

2)(

2

x

xxxf

Nilai fungsi tersebut untuk x = 1, adalah :

iterdefinistak

0

0

11

211)1(

2

f

Perhatikan nilai fungsi f ( x ) untuk x mendekati 1, sebagai berikut :

Jika nilai x mendekati 1 dari sebelah “kiri”, ternyata nilai fungsi f ( x ) akan mendekati nilai 3. Dalam hal ini dikatakan bahwa : limit fungsi f ( x ) untuk x mendekati 1 dari kiri samadengan 3, dan dituliskan :’

31

3lim

2

1

x

xx

x

Jika nilai x mendekati 1 dari sebelah “kanan”, ternyata nilai fungsi f ( x ) akan mendekati nilai 3. Dalam hal ini dikatakan bahwa : limit fungsi f ( x ) untuk x mendekati 1 dari kanan samadengan 3, dan dituliskan :’

31

3lim

2

1

x

xx

x

Kesimpulan :

Jika x mendekati 1 , maka nilai fungsi 1

2)(

2

x

xxxf akan mendekati 3, dituliskan :

31

3lim

2

1

x

xx

x

x f ( x )

0,5 2,5

0,7 2,7

0,9 2,9

0,99 2,99

0,999 2,999

0,9999 2,9999

0,99999 2,99999

0,999999 2,999999

0,9999999 2,999999899

0,99999999 2,999999989

…

…

1 tak terdefinisi

x f ( x )

3 5

2 4

1,1 3,1

1,01 3,01

1,001 3,001

1,0001 3,0001

1,00001 3,00001

1,000001 3,000001

1,0000001 3,0000001

…

…

1 tak terdefinisi

6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.

6.1. Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di takhingga.

6.2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri



D E F I N I S I

kxfax

lim , jika dan hanya jika , untuk x mendekati a , nilai xf mendekati k

A . LIMIT FUNGSI ALJABAR UNTUK x → a Jika xf fungsi aljabar maka xf

axlim dinamakan limit fungsi aljabar .

Langkah-langkah menghitung xfax

lim , jika xf fungsi aljabar, adalah sebagai berikut :

1. Hitunglah nilai af , jika 0

0af , maka afxf

ax

lim

2. Jika 0

0af , maka xf harus disederhanakan terlebih dahulu .

Penyederhanaannya perlu memperhatikan bentuk xf , yaitu :

Jika xf merupakan persamaan aljabar biasa , maka xf difaktorkan terlebih dahulu

Jika xf merupakan bentuk akar , maka xf dikalikan dengan bentuk sekawannya

Hitunglah limit fungsi berikut ini :

1. 2

11

3lim

xx

2. 2

86

2

2

lim

x

xx

x

3. 54

1572

5 2

2

lim

xx

xx

x

4. 1120

lim x

x

x

1. 2

11

3lim

xx

. Untuk x = 3 :

00

02

3

2

9

8

9

11

3

11

11

22

C

x

Jadi 23

211

3 2lim xx

2. 2

86

2

2

lim

x

xx

x . Untuk x = 2 :

0

0

22

82.62

2

86 22

x

xx

Jadi

242422

24

22

86

2limlimlim

2

x

xx

xx

xx

xx

x

3. 54

1572

5 2

2

lim

xx

xx

x. Untuk x = 2 :

0

0

55.45

155.752

54

1572

2

2

2

2

xx

xx

Jadi

6

13

15

352

1

32

551

532

554

1572

5limlimlim

2

2

x

x

xxx

xx

xxx

xx

x

4. 1120

lim x

x

x . Untuk x = 0 :

0

0

110.2

0

Jadi

112

112

0112

112

11201120limlimlim

x

xx

xx

x

x

x

xx

x

x

12

110.2

2

112

02

112

0limlim

x

xx

xx

x



Hitunglah limit fungsi berikut :

1. 1

6

8l

2

im

x

xx

x

2. 1

112

4l

2

im

x

xx

x

3. 2

2

285

32

1lim

xx

xx

x

4. 2

149

2l

2

im

x

xx

x

5. 5

103

5l

2

im

x

xx

x

6. 8

245

8l

2

im

x

xx

x

7. 98

54

1l

2

2

im

xx

xx

x

8. 2712

3

3l

2im

xx

x

x

9. 2

1092

2l

2

im

x

xx

x

10. 82

1252

4l

2

2

im

xx

xx

x

11. 752

642

1l

2

2

im

xx

xx

x

12. 344

32

2

3l

2im

xx

x

x

13. 6136

483

3

2l

2

2

im

xx

xx

x

14. 7

49

7l

2

im

x

x

x

15. 8

64

8l

2

im

x

x

x

16. 5

25

25lim

x

x

x

17. 37

4

4l

2im

x

x

x

18. 65

9

9l

2im

xx

x

x

19. 46

324

8l

2

2

im

xx

xx

x

20. 830

1048

2l

2

2

im

xx

xx

x

B . LIMIT FUNGSI ALJABAR UNTUK x → ∞ Teorema utama limit fungsi aljabar untuk x → ∞, adalah :

01

lim xx

Ada dua bentuk limit fungsi aljabar untuk x , yaitu :

Bentuk hasil bagi , yaitu xg

xf

x lim , hasilnya dapat ditentukan dengan cara membagi suku-

suku xf dan xg dengan x yang pangkatnya paling tinggi .

Misal pangkat tertinggi dari xf adalah m dan pangkat tertinggi dari xg adalah n ,

maka :

Jika nm , maka xg

xf

x lim =

xg

xf

tertinggipangkatkoefisien

tertinggipangkatkoefisien

Jika nm , maka xg

xf

x lim =

Jika nm , maka xg

xf

x lim = 0

Bentuk pengurangan , yaitu xgxfx

lim , hasilnya dapat ditentukan dengan cara

mengalikan xgxf dengan xgxf

xgxf

, sehingga diperoleh bentuk hasil bagi,

kemudian tiap suku dari hasil dibagi dengan x yang pangkatnya paling tinggi.



Hitunglah limit fungsi berikut ini :

1. 242

3865

25

lim

xx

xxx

x

2. 42

110

2lim

x

x

x

3.

xxxxx

6232 22lim

4.

2103 2lim xxxx

1.

54

543

555

5

555

2

5

5

5

25

242

3186

242

386

242

386limlimlim

xx

xxx

x

xx

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

xxx

xxx

x

32

6

002

0006

242

3186

54

543

2.

xx

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

x 421

110

42

110

42

110

42

110

22

222limlimlimlim

10001

010

421

110

2

3.

xxxx

xxxxxxxx

xxxxx

x6232

623262326232

22

222222 limlim

xxxx

xxxx

xxxxx

xxxx

x6232

6232

6232

6232

22

22

22

22

limlim

22

2

22

222 6232

9

6232

9limlim

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxxxx

x

x

24

9

2

2

22

9

0202

9

62

32

9

62

32

9limlim

x

xx

x

Jika soal di atas dihitung dengan rumus praktis , maka hasilnya adalah :

xxxxx

6232 22lim = 24

9

22

9

22

)6(3

Rumus Praktis :

=

Info :



4.

2103 2lim xxxx

Jika akan dihitung dengan rumus praktis , maka bentuknya diubah menjadi :

21032103 222 limlim xxxx

xxxx

21096 22lim xxxxx

Jadi :

82

16

12

10621096 22lim

xxxxx

Hitunglah limit fungsi berikut :

1. 432

24

624

163lim

xxx

xxx

x

2.

49

82356l

3

2

im

x

xxx

x

3. 1149

7328l

25

34

im

xxx

xxx

x

4. 31227

16103l

23

356

im

xxx

xxxx

x

5. 164

312l

2im

x

x

x

6. xx

x

x63

147l

2im

7. 116

98l

2

im

x

xx

x

8. 429

238l

2

im

x

x

x

9.

1643124l 22im xxxxx

10.

131624l 2im xxxx

11.

1329l 2im xxxx

12. 125183lim

xxx

C . TEOREMA-TEOREMA LIMIT FUNGSI

1. CCax

lim , dengan C = konstanta

2. xfkxfkaxax

limlim , dengan k = konstanta

3. xgxfxgxfaxaxax

limlimlim

4. xgxfxgxfaxaxax

limlimlim

5.

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

lim

lim

lim , jika 0lim

xgax

6. n

xfxfax

n

ax

limlim

7. nax

n

axxfxf

limlim



Hitunglah limit fungsi berikut dengan menerapkan teorema limit :

1.

67

64

2l

3

5

imx

xx

x 2.

5

212

4lim

x

x

x

3. 23 4121

lim xxx

1. 6

2l7

2l

62

l

2l4

6372

l

62

l

42

l67

64

2l

imim

im

imim

im

imim3

55

3

5

x

xx

xx

xx

xx

xx

xxx

xx

x

62.7

2.62.4

62

l2

lim7

2lim6

2l4

62

l2

l7

2l6

2l4

3

5

3

5

3

5

im

imimim

im

im

xx

x

xx

xx

xx

x

xx

xx

50

132

50

1928

68.7

32.68

62.7

2.62.4

3

5

Jadi : 50

132

67

64

2l

3

5

im

x

xx

x

2. 3

2

9

4

54

4.212

54

l4

l

4l212

4l

54

l4

l

24

l124

l

5

212

4l

imim

imim

imim

imim

im

x

xx

xxx

xx

x

xxx

x

x

x

Jadi : 3

2

5

212

4lim

x

x

x

3. 2323 41

l121

l4121

l imimim xx

xx

xxx

23

1l4

1l1

1l2

1l imimimim x

xxxx

x

331141121

l41

l11

l1

l223

2

3 imimimim

x

xxxx

x

Jadi : 34121

l 23im

xxx

Hitunglah limit-limit fungsi berikut dengan menerapkan teorema limit :

1. 526102

l 34im

xxxx

2. 23131

l 62im

xxxx

3. 4

6

2l

4im

xx

4.

2

15

3l

3

2

imx

x

x

5. 102 241

lim

xx

6.

3

3

2

643lim

x

x

x

7. 34

2

28lim

xx

x

x

8.

3

2

1

16

6lim

xx

x

x



D . LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Perhatikan lingkaran L dengan jari-jari 1 satuan. Perhatikan sektor OBC :

xOBxOCOBLOBC2)(

2

1...

2

1

xx .)(cos2

1 2

Perhatikan segitiga OBP :

xxBPOBLOBP sin.cos2

1..

2

1

Perhatikan sektor OAP :

xxxOPOALOAP2

1.1.1.

2

1...

2

1

OAPOBPOBC LLL

xxxxx2

1sin.cos

2

1.)(cos

2

1 2

xx

x

xx

xx

xx

xx

cos.cos.

sin.cos

cos.

.)(cos 2

xx

xx

cos

1sincos

xx

xx

xxx cos

1lim

sinlimcoslim

000

1sin

lim10

x

x

x

Kesimpulan : 1sin

lim0

x

x

x

E . TEOREMA LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

1sin

lim0

x

x

x , 1

sinlim

0

x

x

x , 1

tanlim

0

x

x

x , 1

tanlim

0

x

x

x

Hitunglah limit fungsi trigonometri berikut :

1. 1cos

32cosl

2

1

im

x

x

x

2. x

x

x 2tan

6

0lim

3. x

x

x 3sin

4tan

0lim

4. 2

2cos1

0lim

x

x

x

5.

86

2tan4

2l

2im

xx

xx

x

1. 1cos

32cosl

2

1

im

x

x

x

, untuk 2

1x diperoleh : 2

10

31

12

1cos

32

1.2cos

1cos

32cos

x

x

Jadi : 21cos

32cosl

2

1

im

x

x

x

2. 31.32tan

2

0l3

2tan

2.3

0l

2tan

6

0l imimim

x

x

xx

x

xx

x

x

O A ( 1 , 0 )

P ( cos x , sin x )

B

C

x x

y



3. x

x

x

x

x

x

xxx

x

x

xx

xx

x

x 3sin

3

4

4tan

3

4

0l

3sin3

3

4

4tan4

0l

3sin

4tan

0l imimim

3

411

3

4

3sin

3

0l

4

4tan

0l

3

4imim

x

x

xx

x

x

4.

2

2

2

2

2

2

2

sin2

0l

sin211

0l

sin211

0l

2cos1

0l imimimim

x

x

xx

x

xx

x

xx

x

x

21.1.2sin

0l

sin

0l2

sinsin

0l2

sin2

0l imimimim

2

2

x

x

xx

x

xx

x

x

x

xx

x

x

Hitunglah limit-limit fungsi berikut :

1.

xx

x

cos3

2sinl

2

1

im

2.

6

5cos

sinl

4

1

imx

x

3. x

x

x 2

6sin

0lim

4.

x

x

x

3

1tan

8

0lim

5. x

x

x 3sin

4tan

0lim

6. x

x

x

cos1

0lim

7. 2

cos1

0lim

x

x

x

8. x

x

x 2tan

6

0lim

9. 2

coscos

0lim

x

bxax

x

10. 2

2coscos21

0lim

x

xx

x

3. limit

Documents