3° em 2° bimestre

51

Matemática – 3a série – Volume 1

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5

A EQUAÇÃO DE 3o GRAU E O APARECIMENTO NATURAL

DOS NÚMEROS COMPLEXOS

VOCÊ APRENDEU?

1. Já sabemos resolver todos os tipos de equações de 2o grau, obtendo as soluções por meio da fórmula de Bhaskara. Resolveremos, agora, a equação de 2o grau ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) se-guindo um processo diferente. Esse processo poderá também nos ajudar a resolver equações de 3o grau.

a) Divida os dois membros da equação ax2 + bx + c = 0 por a, obtendo:

a __ a x2 + b __ a x + c __ a = 0

b) Substitua b __ a por B, c __ a por C e escreva x2 + Bx + C = 0.

c) Substitua x por y – B __ 2 , faça os cálculos (o denominador 2 corresponde ao grau da equação)

e verifique que a equação se transforma em y2 – B2

___ 4 + C = 0.

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d) Mostre que, em consequência, y = ± ®

_______ B2 – 4C _________

2 .

e) Substitua, agora, os valores de y, de B e de C em x = y – B __ 2 , obtendo os valores de x.

(Você identifica, nos cálculos, a fórmula de Bhaskara?)

f ) Resolva a equação 3x2 + 15x + 18 = 0, seguindo os passos descritos nos itens anteriores.

2. Já sabemos que, se uma equação de 2o grau ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) tiver duas raízes distintas, x

1 e x

2, então ela pode ser escrita na forma x2 – Sx + P = 0, onde:

S = x1 + x

2 = –b ___ a e P = x

1 . x

2 = c __ a

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a) Verifique que, nesse caso, as raízes x1 e x

2 podem ser obtidas por x = S ± ®

______ S2 – 4P ___________

2 .

Em seguida, mostre que não existem dois números reais cuja soma seja 10 e cujo produto seja 40. Ou seja, mostre que a equação x2 – 10x + 40 = 0 não tem raízes reais.

Para isso, você pode utilizar a fórmula x = S ± ® ______

S2 – 4P ___________ 2 .

b) Mostre que não existem dois números reais cujo quadrado de sua soma seja menor do que o quádruplo do produto dos dois números.

54


3. Responda às questões a seguir:

a) Considere a equação x3 + 15x2 + 11x + 7 = 0. Substitua x por y – 5, ou seja, x = y – 5, e

mostre que a nova equação em y não apresenta o termo em y2 (o denominador 3 corresponde ao

grau da equação).

b) Mostre que, na equação x3 + Bx2 + Cx + D = 0, substituindo x por y – ,B

3 a nova equação

em y não apresenta o termo em y 2.

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Leitura e análise de texto

A fórmula de Tartaglia e Cardano para resolver uma equação de 3o grau

Dois matemáticos do século XVI, Tartaglia e Cardano, elaboraram uma sequência de passos para resolver a equação incompleta de grau 3 resultante da eliminação do termo de 2o grau, isto é, uma equação do tipo y3 + My + N = 0. Vamos seguir essa sequência de passos para resolver a equação y3 + 3y + 6 = 0. Acompanhe:

Se você nunca desenvolveu o binômio (p + q)3, poderá fazê-lo agora e obter:

(p + q)3 = p3 + 3p2q + 3pq2 + q3

Podemos rearranjar a igualdade anterior escrevendo:

(p + q)3 – p3 – 3p2q – 3pq2 – q3 = 0

Colocando em evidência –3pq, temos:

(p + q)3 – 3pq(p + q) – (p3 + q3) = 0

Faremos, agora, uma comparação entre a equação anterior e a equação que nos propo-mos resolver: y3 + 3y + 6 = 0.

(p + q)3 – 3pq(p + q) – (p3 + q3) = 0

y3 + 3y + 6 = 0

Dessa comparação, concluímos:

–3pq = 3 ou pq = –1, ou, ainda, p3 . q3 = –1

–(p3 + q3) = 6 ou p3 + q3 = – 6

Vamos considerar, agora, que determinada equação de 2o grau tenha uma raiz igual a p 3 e outra raiz igual a q 3. Se assim for, teremos a seguinte soma S e o seguinte produto P das raízes dessa equação:

S = p3 + q3

P = p3. q3

Concluímos, há pouco, que p3 + q3 = – 6 e que p3. q3 = –1. Assim, para a equação de 2o grau imaginada, com raízes p3 e q3, temos S = – 6 e P = –1. Lembrando que uma equação de 2o grau pode ser escrita na forma x2 – Sx + P = 0, temos:

x2 + 6x – 1 = 0

56


VOCÊ APRENDEU?

4. Responda às seguintes questões:

a) Aplique a fórmula de Bhaskara para resolver a equação x2 + 6x – 1 = 0, determinando as raízes x

1 e x

2.

b) Lembrando que as raízes da equação anterior são p3 e q3, determine os valores de p e de q.

c) Se você acompanhou todos os passos da explicação, repetindo os mesmos procedimentos, obtém-se a fórmula de Cardano-Tartaglia, que possibilita encontrar as raízes da equação de 3o grau do tipo y3 + My + N = 0. É essa a fórmula:

y = 3

® ________________

– N ___ 2 + ®

________

N2

___ 4 + M

3

___ 27

+ 3

® ________________

– N ___ 2 – ®

________

N2

___ 4 + M

3

___ 27

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5. Encontre uma raiz da equação y3 – 3y – 2 = 0.

58


6. Um marceneiro quer construir duas caixas, uma com a forma de um cubo de aresta x, outra com a forma de um paralelepípedo com a base retangular, de lados 3 m e 5 m, e de altura igual à altura do cubo. O valor de x deve ser escolhido de tal forma que o volume do cubo seja 4 m3 maior que o do paralelepípedo.

a) Escreva a equação que traduz a exigência a ser satisfeita pelo valor de x.

b) Use a fórmula de Cardano-Tartaglia para determinar as raízes da equação do item a. A que conclusão você chega?

c) Verifique diretamente na equação apresentada que x = 4 é uma raiz, ou seja, fazendo x = 4 m, temos o cubo com volume de 64 m3 e o paralelepípedo com volume de 60 m3.

Como podemos interpretar o resultado do item b? Será que a fórmula de Cardano-Tartaglia não funciona sempre? Você verá, na situação seguinte, um modo de prosseguir nos cálculos e en-contrar o resultado x = 4.

Observação!

59


7. Sabemos que o quadrado de qualquer número real não nulo, positivo ou negativo, é sempre positivo. Até aqui, em nosso percurso escolar, sempre que nos deparamos com a extração da raiz quadrada de um número negativo, dizemos que ela não existe. Na atividade 5 desta seção, tal decisão nos impediu de chegar a uma das raízes da equação, uma vez que teríamos de extrair a raiz quadrada de –121. Faremos, agora, uma atividade de imaginação: suponha que existam números estranhos (certamente, não seriam números da reta real) cujo quadrado seja negativo.

a) Podemos verificar que, na verdade, bastaria existir um número estranho desses, como a raiz quadrada de –1, para que dele decorressem todas as outras raízes de negativos. De fato, como –121 = 121.(–1), bastaria sabermos quanto vale a raiz quadrada de –1. Como –1 não tem raiz real, vamos considerar que sua raiz é um número imaginário e o representaremos por i. Assim, i é um número tal que i2 = –1.

b) Retorne ao item b da atividade 6 desta seção. Considere – – –121 121 1 11 1= =. .

Denominando –1 i, escreva 11i no lugar de –121 e indique a solução da equação

x3 – 15x – 4 = 0.

c) Usando o fato de que a raiz cúbica de um número é outro número que, elevado ao cubo, reproduz o primeiro, mostre que 2 + i é uma raiz cúbica de 2 + 11i. Ou seja, mostre que (2 + i)3 = 2 + 11i . Para isso, lembre-se de que i² = –1.

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d) Retorne à atividade 6 desta seção. Mostre que a solução x = 4 pode ser obtida a partir da fórmula para as raízes cúbicas da equação x3 – 15x – 4 = 0.

LIÇÃO DE CASA

8. Resolva a equação 2x2 – 10x + 12 = 0.

9. Determine uma raiz das seguintes equações de 3o grau:

a) x3 – x – 6 = 0

61


b) x3 – 2x2 – x + 2 = 0

VOCÊ APRENDEU?

10. Supondo que são válidas as propriedades das operações com números reais para os números formados por uma parte real x e uma parte imaginária yi, sendo i –1, efetue as operações indicadas, apresentando o resultado mais simples possível:

a) (3 – 4i) + (–5 + 3i) b) (–11i + 7) – (–5 – 8i)

c) (2i – 13) . (7 – 5i) d) (13 – i) . (13 + i)

e) i3 + i5 + i7 f ) i13

62



Uma equação de 1o grau com uma raiz igual a p pode ser assim escrita:

x – p = 0

Uma equação de 2o grau com uma raiz igual a p e outra raiz igual a m pode ser assim escrita:

(x – p).(x – m) = 0

Escrita dessa maneira, dizemos que a equação está em sua forma fatorada. Aplicando a propriedade distributiva nessa expressão, obtemos algo que já conhecemos na Situação de Aprendizagem anterior, ou seja:

x2 – (p + m)x + pm = 0

Soma das raízes

Produto das raízes

VOCÊ APRENDEU?

1. Nesta Situação de Aprendizagem, você obterá expressões semelhantes às do quadro anterior, de soma e produto das raízes, para equações de graus maiores do que 2. Começaremos com equações de 3o grau.

a) Escreva na forma fatorada uma equação de 3o grau com raízes m, p e k.


DAS FÓRMULAS À ANÁLISE QUALITATIVA:

RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES

63


b) Escreva a forma fatorada de uma equação de 3o grau com raízes 2, 3 e 4.

c) Desenvolva a equação do item anterior, aplicando a propriedade distributiva, e identifique a soma e o produto das raízes na equação final.

d) Uma equação de 3o grau pode ser assim escrita: ax3 + bx2 + cx + d = 0.

Ou também dividindo toda a equação por a: x3 + b __ a x2 + c __ a x + d __ a = 0.

Retome a equação do item c e responda quanto é, nessa equação:

b __ a ?

c __ a ?

d __ a ?

64


2. Já vimos que uma equação de 3o grau ax3 + bx2 + cx + d = 0 pode ser escrita na forma:

x3 + b __ a x2 + c __ a x + d __ a = 0

e também que, se essa equação tiver como raízes r1, r

2 e r

3, ela pode ser fatorada e escrita na forma:

(x – r1).(x – r

2).(x – r

3) = 0

Efetuando as multiplicações indicadas e ordenando, obtemos a forma equivalente:

S1

S2

P

x3 – (r1 + r

2 + r

3)x2 + (r

1r

2 + r

1r

3 + r

2r

3)x – r

1r

2r

3 = 0

onde S1 = r

1 + r

2 + r

3 é a soma das raízes, S

2 = r

1 . r

2 + r

1 . r

3 + r

2 . r

3 é a soma dos produtos das

raízes tomadas duas a duas e P = r1 . r

2 . r

3 é a soma dos produtos das raízes tomadas três a três,

ou seja, é o produto das raízes.

a) Se uma equação de 3o grau tem raízes –2, 3 e 4, calcule S1, S

2 e P.

b) Escreva a equação na forma fatorada.

c) Se você aplicar a propriedade distributiva e eliminar os parênteses na equação do item anterior, qual será a forma final da equação obtida?

65


3. Uma equação de 3o grau tem raízes 2, 3 e 5. Escreva essa equação na forma ax3 + bx2 + cx + d = 0.

LIÇÃO DE CASA

4. Escreva na forma x3 – S1x2 + S

2x – P = 0 uma equação algébrica de grau 3 cujas raízes são:

a) 3, 5 e 1

b) 2, 7 e –3

66


c) –2, –3 e 4

5. Escreva na forma fatorada uma equação algébrica de grau 4 cujas raízes são:

a) 2, 3, 4 e 5

b) –2, 3, 4, –5

c) 1, 0, 3, 7

67


VOCÊ APRENDEU?

6. Escreva todas as equações da atividade 5 da seção Lição de casa, na forma ax4 + bx3 + cx2 + dx + + e = 0. Para isso, faça as multiplicações que foram indicadas.

7. Dada a equação x3 – 8x2 + kx – 24 = 0, responda:

a) Quais são as possíveis raízes inteiras da equação?

b) Se a equação tiver duas raízes simétricas, qual será a terceira raiz?

68


c) Se uma das raízes for o inverso da outra, qual será a terceira raiz?

d) É possível que a equação tenha uma raiz nula?

8. Considere a equação 3x4 – 12x3 + kx2 – 6x + 3 = 0.

a) Quais as possíveis raízes inteiras da equação?

b) Quais os valores de k que fazem com que a equação proposta anteriormente tenha raízes inteiras?

69


9. Sabendo que 1 é raiz da equação x3 + 7x2 + kx – 15 = 0, determine o valor de k e encontre as outras duas raízes.

70


VOCÊ APRENDEU?

1. Considere os polinômios A(x) = x2 – 3x + 2 e B(x) = x3 – 2x2 – 3x + 2.

a) Calcule A(1) e B(1).

b) Calcule x para que A(x) = 0.

c) Se a, b e c forem as raízes de B(x), quanto é o produto de a . b . c?


EQUAÇÕES E POLINÔMIOS: DIVISÃO POR

x – k E REDUÇÃO DO GRAU DA EQUAÇÃO

71


d) É possível termos A(x) = B(x)?

e) É possível termos A(x) B(x)?

2. Considere os polinômios A(x) = x3 – 3x + 2 e B(x) = x3 – 2x2 – 3x + 10.

a) É possível termos A(x) = B(x)?

72


b) É possível termos A(x) B(x)?

LIÇÃO DE CASA

3. Considere os polinômios:

P1(x) = ax5 – 11x4 – 2x3 + 7x2 + bx + d e P

2(x) = bx5 + cx4 – 2x3 + 7x2 – ®

__ 3 x + d

a) Determine os valores de a, b e c, de modo que os polinômios sejam idênticos.

b) Calcule o valor de d sabendo que –1 é raiz da equação P1(x) = 0.

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4. Considere o polinômio P(x) = 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12.

a) Mostre que x = 1 é raiz da equação P(x) = 0.

b) Calcule o quociente da divisão de P(x) pelo binômio x – 1.

74


VOCÊ APRENDEU?

5. Considere o polinômio P(x) = 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46.

a) Mostre que x = 2 é raiz da equação P(x) = 0.

b) Calcule o quociente da divisão de P(x) pelo binômio x – 2.

75



Algoritmo de Briot-Ruffini

Retome o enunciado da atividade 5 da seção Você aprendeu?. Existe uma maneira prática para obter o quociente de P(x) = 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46 pelo binômio x – 2.

Observando os cálculos efetuados, notamos que, sendo Q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e:

a é igual ao coeficiente de x5 em P(x): a = 3;

b é obtido somando-se ao coeficiente de x4 em P(x) o produto de 2 por a: b = –2 + 2a;

c é obtido somando-se ao coeficiente de x3 em P(x) o produto de 2 por b: c = 5 + 2b;

d é obtido somando-se ao coeficiente de x2 em P(x) o produto de 2 por c: d = –11 + 2c;

e é obtido somando-se ao coeficiente de x em P(x) o produto de 2 por d: e = –7 + 2d.

Esses cálculos podem ser organizados no algoritmo seguinte, conhecido como algo-ritmo de Briot-Ruffini, para a divisão de um polinômio por um binômio da forma x – k:

coeficientes de P(x)

coeficientes de Q(x)

Q(x) = 3x4 + 4x3 + 13x2 + 15x + 23

resto da divisão

raiz 2

3 – 2 5 – 11 – 46

3 . 2

3

4 . 2

4 13 15 23 0

13 . 2 15 . 2 23 . 2

– 7

76


VOCÊ APRENDEU?

6. Responda às questões a seguir:

a) Para verificar o entendimento do apresentado no texto, construa o algoritmo Briot-Ruffini para determinar o quociente de P(x) = x5 – 2x4 – 7x3 + 3x2 + 8x + 57 por x – 3.

b) Dado o polinômio P(x) = a0xn + a

1xn–1 + a

2xn–2 + a

3xn–3 +...+ a

n–1x + a

n, mostre que o resto da

divisão de P(x) por x – k é P(k).

c) Calcule o resto da divisão de P(x) = 3x5 + x4 + 3x3 – 7x + π pelo binômio x + 3.

77


7. Responda às seguintes questões:

a) Mostre que a equação 2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 = 0 apresenta raízes inteiras.

b) Resolva a equação do item anterior.

78



Complexos, para quê?

É muito frequente ouvir falar “mal” dos números complexos – aqueles números “estra-nhos”, formados por uma parte real x e uma parte “imaginária” yi, em que i é um número tal que seu quadrado é igual a –1, ou seja, i2 = –1. Os números complexos são, efetivamente, “estranhos” ao primeiro olhar. Mas eles podem ser interpretados de modo significativo, bem como as operações que realizamos sobre eles, e, ao sermos apresentados a tais temas, ampliamos nossa capacidade de expressão, de compreensão de fenômenos que a realidade nos apresenta. Querer limitar o estudo da Matemática ao de conteúdos de aplicação ime-diata, sem levar em consideração seu valor expressivo, é como querer limitar o ensino da língua ao da redação de cartas, de memorandos, de relatórios, desprezando, por exemplo, a apreciação de um poema; afinal, “Para que serve um poema?”. A aprendizagem da língua, no entanto, não pode prescindir de recursos expressivos que deem força ao texto, da construção de imagens metafóricas etc. Não se trata apenas de ensinar regras de reda-ção, mas de desenvolver instrumentos e formas pessoais de expressão, e a literatura, de modo geral, é fundamental para isso.

Também no estudo de Matemática existem assuntos para os quais não vislumbramos “aplicações práticas” diretas, mas que se compõem com os outros, contribuindo para a construção de uma forma consistente de expressão, de compreensão dos fenômenos que observamos. Às vezes, um tema de Matemática serve apenas de apoio a outro tema, este, sim, com uma ligação direta com a prática; ambos, tanto o apoiador quanto o apoiado, precisam ser estudados. Como será visto a seguir, os números complexos e as operações sobre eles podem ser associados à realização de movimentos de translação, de rotação, de ampliação etc. Para que isso seja possível, será preciso conhecer um novo sistema de repre-sentação de números: o plano complexo, ou plano de Argand-Gauss.

Plano complexo – significado dos complexos e das operações sobre eles

Representa-se um número real em uma reta numérica, como você já deve ter feito inúmeras vezes em sua vida escolar.

– 3 – 2

– 2,333...

– 1 0 1 2 3

π


NÚMEROS COMPLEXOS: REPRESENTAÇÃO NO PLANO

E SIGNIFICADO DAS OPERAÇÕES (TRANSLAÇÕES,

ROTAÇÕES, AMPLIAÇÕES)

– 2

1

4

3

2

79


Um número imaginário como i não pode ter as mesmas propriedades de um número real porque não é um número real, ou seja, não se encontra na reta real ou entre os reais representados na reta. A reta real IR encontra-se inteiramente preenchida com os números racionais e os irracionais. Como representar, então, tal número i e seus “derivados”, como toda a família de imaginários yi, onde y é um número real, bem como os números “mistos” ou “complexos”, resultantes da soma dos reais x com os imaginários yi? Como representar os números complexos de modo a dar significado às operações realizadas com eles?

A ideia de representar os números na forma z = x + yi como pontos de um plano pode parecer natural, mas permaneceu latente desde os trabalhos de John Wallis (1616-1703), durante muitas décadas. Wessel e Argand trabalharam com tal ideia em situações concretas, mas somente quando foi apresentada por Gauss, em 1799, como parte de sua tese de doutorado, tal representação ganhou força e foi divulgada de modo amplo. Em resumo, a inspiração fundamental é a seguinte:

NN.(–1)

0

N

N.i

0

Ni

NNi.i = N.(–1) = –N

0

um arco de 180o, passando da semirreta positiva para a negativa, e vice-versa: N.(–1) = –N (resultado: rotação de 180o);

i2, ou seja, por –1, é como se tivéssemos multiplicado o número real por i e multiplicássemos o resultado novamente por i: N.(–1) = N.i.i = –N;

o, seria natural considerar o resultado de cada uma das multiplicações parciais por i como resultado de uma rota-ção de 90o: N.i = Ni (rotação de 90o);

80


i corresponderia a representar tal número em um eixo perpendicular ao eixo real.

Essa pode ter sido a inspiração para a representação do número imaginário i no eixo perpendicular ao eixo real, o que conduziu à representação de todo complexo z = x + yi como um ponto do plano gerado pelas unidades real 1 e imaginária i. O plano em que os complexos são representados constitui uma extensão da reta real e é conhecido como plano complexo, ou plano de Argand-Gauss.

y

z = x + yi

x eixo Real

eixo Imaginário

–N

0 1

Ni

N

i

VOCÊ APRENDEU?

1. Dados os números complexos z1 = 3 + 4i; z

2 = 7; z

3 = 7i e z

4 = 3 – 4i, calcule o número

complexo a + bi resultado de:

a) z1 + z

2 b) z

1 + z

3 c) z

1 + z

4

81


d) z1 – z

4 e) z

1 . z

2 f ) z

1. z

3

g) z3. z

4 h) (z

1.z

4)2 i) (z

1 + z

4)3

j) (z1 – z

4)3 k) (z

3 – z

1 + z

4)3 l) (– z

2 + z

1 + z

4)15

82


2. Dados os complexos a seguir, represente-os no plano complexo, determinando o módulo e o argumento de cada um deles:

a) z1 = 3 + 3i b) z

2 = –3 + 3i c) z

3 = 3 – 3i d) z

4 = –3 – 3i

a) b)

c) d)

Re

Im

Im

Re

Im

Re

Im

Re

83


3. Observe os números complexos a + bi representados no plano de Argand-Gauss e determine, para cada um, a medida do ângulo e do segmento que une o ponto (a; b) à origem do sistema.

a)

Im

Re10

1

b)

Im

Re–3 0

3

84


c)

3

Im

Re–11 2

–2

3

2

1

–1

d)

Im

Re–3 0

– 3

85



| z | = x y2 2

Forma trigonométrica de um número complexo

Um número complexo z = x + yi também pode ser escrito de outra forma, destacando-se seu

módulo | z | e seu argumento . Sendo | z | = x + y2 2 , basta observarmos na representação plana

dos complexos que x = | z |cos

y = | z |sen. Substituindo-se na forma algébrica tais expressões,

obtemos z = | z |(cos + isen ), que é chamada forma trigonométrica dos números complexos.

forma trigonométrica

x = | z |cos

y = | z |sen

z = | z |(cos + isen )

eixo Imaginário

eixo Real

forma algébrica

x

y

z = x + yi

z = x + yi

i

1

| z |

VOCÊ APRENDEU?

4. Retorne ao enunciado da atividade 2. Escreva cada um dos complexos de z1 a z

4 na forma trigo-

nométrica: z = | z | (cos + isen ).

86


5. Retome o enunciado da atividade 3 da seção anterior e escreva na forma trigonométrica cada um dos complexos lá representados.

6. Represente no plano complexo os números a seguir e, em seguida, escreva-os na forma tri gonométrica.

a) z1 = 0 + 3i

Im

Re

87


b) z2 = 3 + 0i

Im

Re

c) z3 = –2 + 0i

Im

Re

88


d) z4 = –2i

Im

Re

LIÇÃO DE CASA

7. Represente no plano complexo os números a seguir e, em seguida, escreva-os na forma trigonométrica.

a) z i1 1 3= + b) z i2 1 3= +–

Im

Re

Im

Re

89


c) z i3 3= +–

Im

Re

d) z i4 3 –

Im

Re

90


8. Observe o módulo | z | e o argumento das imagens dos números complexos representados no plano de Argand-Gauss. Determine, em cada caso, a parte real (a) e a parte imaginária (b) de cada número complexo z = a + bi, apresentando também a sua forma trigonométrica.

a)

Im

Re

| z |

= 45o

| z | = 8

b)

Im

Re

= 120o

| z | = 4

| z |

91


c)

= 150o

| z | = 6

| z |

Im

Re

d)

= 240o

| z | = 2

| z |

Im

Re

92


VOCÊ APRENDEU?

9. Considere o complexo z = 5 + 12i no plano de Argand-Gauss. Represente no plano complexo as imagens dos seguintes números:

a) z + 9

| z |

0–2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Im

Re–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18–4–6

b) z + 6i

| z |

0–2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Im

Re–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18–4–6

93


c) z – 9

| z |

0–2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Im

Re–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18–4–6

d) z – 6i

0–2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Im

Re–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18–4–6

| z |

94


e) z + 9 – 6i

| z |

0–2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Im

Re–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18–4–6

10. Escolha uma escala adequada para representar no plano de Argand-Gauss a imagem do número complexo z = 5 + 12i e, no mesmo plano, a imagem do complexo:

a) 2z

95


b) z

2

11. Considere a região do plano complexo indicada na figura a seguir. Cada ponto da região é a imagem

de um complexo e será objeto de uma transformação, indicada nos itens de a a e. Represente no

plano complexo a região resultante após a transformação descrita em cada um desses itens.

6

6

2

2 eixo Real

eixo Imaginário

96


a) A cada ponto da região será somado o número real 5.

6

6

2

2 eixo Real

eixo Imaginário

b) A cada ponto da região será somado o número imaginário 3i.

6

6

2

2 eixo Real

eixo Imaginário

97


c) A cada ponto da região será somado o número complexo 3 + 4i.

6

6

2

2 eixo Real

eixo Imaginário

d) Cada ponto da região será multiplicado pelo número real 2.

6

6

2

2 eixo Real

eixo Imaginário

98


e) Cada ponto da região será multiplicado pelo número real 1

2.

6

6

2

2 eixo Real

eixo Imaginário

12. Considere a região do plano complexo indicada na figura. Cada ponto da região é a ima-gem de um complexo e será objeto de uma transformação. Represente no plano complexo a região resultante após a multiplicação de cada ponto da região pelo imaginário i.

6

6

2

2 eixo Real

eixo Imaginário

99


13. Considere a região do plano complexo indicada a seguir. Cada ponto da região é a imagem de um complexo e será objeto de uma transformação, indicada nas alternativas. Represente no plano complexo a região resultante, nas seguintes situações:

8

8

2

2 eixo Real

eixo Imaginário

5

100


a) for somado ao número real 9;

8

8

2

2 eixo Real

eixo Imaginário

5

b) for somado ao número imaginário 9i;

8

8

2

2 eixo Real

eixo Imaginário

5

101


c) for somado ao número complexo 9 + 9i;

8

8

2

2 eixo Real

eixo Imaginário

5

d) for multiplicado pelo número real 2;

8

8

2

2 eixo Real

eixo Imaginário

5

102


e) for multiplicado pelo número imaginário 2i.

eixo Real

8

8

2

2

eixo Imaginário

5

3° em 2° bimestre

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