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3. Elementos de Sistemas Elétricos de
Potência
3.1.4 Capacitância e Susceptância Capacitiva de
Sistemas Elétricos de Potência
3.1.4 Capacitância e Susceptância Capacitiva de Linhas de Transmissão
Professor: Dr. Raphael Augusto de Souza Benedito
E-mail:[email protected]
disponível em: http://paginapessoal.utfpr.edu.br/raphaelbenedito
- Introdução;
- Capacitância causada por um Condutor até um Condutor deraio ínfimo a uma distância D;
- Capacitância de uma Linha a dois fios (bifilar);
- Capacitância de uma Linha Trifásica;
Conteúdo
- Capacitância de uma Linha Trifásica;
- Capacitância de uma Linha Trifásica com arranjo equiláterode Condutores;
- Transposição de Condutores;
- Cabos múltiplos por fase;
- Reatância Capacitiva e Susceptância Capacitiva
• A capacitância, ou efeito capacitivo, de linhas de transmissão é oresultado da diferença de potencial elétrico entre os condutores.
• De modo geral, a capacitância entre condutores (C) é a relação entrecarga (q) e diferença de potencial (V):
Introdução
)(m
FV
qC =
e depende das dimensões e da distância entre os condutores.e depende das dimensões e da distância entre os condutores.
• O efeito da capacitância para linhas curtas é pequeno e, por isso, égeralmente desprezado em cálculos com linhas de transmissão.
• Por outro lado, em linhas longas de tensões elevadas, o efeitocapacitivo afeta consideravelmente o transporte de energiaelétrica, tornando importantíssimo o cálculo desse parâmetro.
• Assim como o Campo Magnético é importante na determinação daindutância, o estudo e análise do Campo Elétrico é essencial nocálculo da Capacitância de linhas de transmissão aéreas.
• Considere um condutor cilíndrico de raio “r”, reto e longo, tendo uma cargaelétrica “q” uniforme em toda a sua extensão e que está a uma distância “D”de um condutor de raio ínfimo “P” (com q = 0).
Capacitância causada por um Condutor até um Condutor de
raio ínfimo a uma distância D
• Observe que todo o fluxo de campo elétrico está fora do condutor, já que as cargaselétricas tendem a se agrupar na superfície externa do condutor. Assim, paracalcularmos a capacitância causada por este condutor até “P”, devemos:
i) aplicar a Lei de Gauss do Campo Elétrico;
ii) calcular a diferença de potencial entre “P” e a superfície do condutor;
iii) calcular a capacitância através de C =q/V.
• Através da Lei de Gauss, a densidade do campo elétrico (oudensidade do fluxo elétrico) pode ser obtida por:
Capacitância causada por um Condutor até um Condutor de
raio ínfimo a uma distância D
2
q
qLxD
qAdD
E
s E
=⋅⋅⋅
=⋅∫π
rr
onde: q é a carga no condutor por metro de comprimento; x é a distância docentro do condutor até o ponto onde deve ser calculada a densidade de fluxoelétrico.
A partir da densidade de campo, podemos calcular a intensidade de campoelétrico:
sendo ε a permissividade elétrica do meio
2/2
mCx
qDE
⋅=
π
mVx
qDE E /
2 επε ⋅⋅==
mFr /1085,8)(12
00−
⋅=⋅= εεεε
• A diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície docondutor de raio “r” e o condutor P (distante “D” metros do centrodo condutor) pode ser calculada pela integral de linha do campoelétrico, da seguinte forma:
Capacitância causada por um Condutor até um Condutor de
raio ínfimo a uma distância D
[ ]lnln
1
2
rDq
V
xdx
qxdEV
D
r
D
r
−=
⋅⋅
=⋅= ∫∫επ
rrr
[ ]
)(ln2
lnln2
Vr
DqV
rDq
V
⋅=
−⋅
=
επ
επ
• A partir da diferença de potencial entre o condutor de raio “r” e ocondutor P sem carga, a capacitância é calculada por:
)/(
ln
2
ln
2mF
r
D
r
Dq
q
V
qC
⋅=
⋅
⋅⋅==
επεπ
• Considere um condutor cilíndrico de raio “r1” e outro condutor deraio “r2” (retorno), que estão distantes entre si em “D” metros, e que
q2 = - q1.
Capacitância de uma linha a dois fios (bifilar)
• No cálculo da capacitância C12, deve-se calcular primeiramente ovalor da tensão V12 entre os dois condutores da linha.
• Por sua vez, a tensão V12 pode ser obtida através da superposição deefeitos, isto é, calculando primeiro a diferença de potencial devido àcarga q1 do condutor 1; e depois, a diferença de potencial devido àcarga q2 do condutor 2.
Fig.: Linha monofásica bifilar
''12
'1212 VVV +=
Capacitância de uma linha a dois fios (bifilar)
rqVV
r
Dqdx
x
qV
VV
r
Dqdx
x
qV
D
r
D
r
22''
22
2221
21''
12
11
11'12
ln
ln2
1
2
ln2
1
2
επεπ
επεπ
=−=
⋅=⋅
⋅=
−=
⋅=⋅
⋅=
∫
∫
• Para o cálculo de cada efeito, teremos:
Somando os efeitos, temos:
D
rqVV 22
21''
12 ln2 επ ⋅
=−=
D
rq
r
DqVVV 22
1
1''12
'1212 ln
2ln
2 επεπ ⋅+
⋅=+=
como q2 = - q1, a equação acima fica:
21
21
2
1112
21
1
112
ln2
ln2
ln2
ln2
rr
Dq
D
r
r
D
qV
D
rq
r
DqV
⋅⋅=
⋅=
⋅−
⋅=
επεπ
επεπ
Capacitância de uma linha a dois fios (bifilar)
A expressão anterior ainda pode ser escrita como:
21
1
21
21
12 lnlnrr
Dq
rr
DqV
⋅⋅=
⋅⋅=
επεπ
• Por fim, a capacitância C12 entre os condutores é:
)/(
ln
2
ln
2
21
2
21
2
1
1
12
112 mF
rr
D
rr
Dq
q
V
qC
⋅
⋅=
⋅⋅
⋅⋅==
επεπ
Caso r1 = r2 = r, podemos simplificar a equação anterior:
)/(
lnln
2
2
212 mF
r
D
r
DC
⋅=
⋅=
επεπ
Observe que “r” é o raio externo do condutor ou do cabo encordoado.
Capacitância de uma linha trifásica com
espaçamento assimétrico
• Considere 3 condutores retilíneos, paralelos e de raios distintos, queconstituem uma linha trifásica onde .
Também considere um ponto P (ou condutor de raio ínfimo comq=0) afastado desses condutores conforme a figura abaixo:
0321 =++ qqq &&&
Figura: Condutores de uma Linha Trifásica distantes de um ponto P
Capacitância de uma linha trifásica com
espaçamento assimétrico
• Nosso objetivo é calcular a matriz de capacitância trifásica:
⋅
=
P
P
P
V
V
V
CCC
CCC
CCC
q
q
q
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
&
&
&
&
&
&
• Inicialmente, calcularemos a diferença de potencial elétrico entre ocondutor 1 e P. Por sua vez, essa diferença de potencial é compostade três parcelas:
- A diferença de potencial entre o condutor C1 e P devido à carga q1;
- A diferença de potencial entre o condutor C1 e P devido à carga q2;
- A diferença de potencial entre o condutor C1 e P devido à carga q3.
3121111 PqCPqCPqCP VVVV ++=
Capacitância de uma linha trifásica com
espaçamento assimétrico
• A diferença de potencial entre o condutor C1 e P devido à carga q1, podeser calculada como:
• Já a diferença de potencial entre o condutor C1 e P devido à carga q2 é:
)(ln2 1
1111 V
r
DqV P
PqC
⋅=
επ
&
Dq &
• Por fim, a diferença de potencial entre C1 e P devido à carga q3 é:
)(ln2 12
2221 V
D
DqV P
PqC
⋅=
επ
&
)(ln2 13
3331 V
D
DqV
PPqC
⋅=
επ
&
Capacitância de uma linha trifásica com
espaçamento assimétrico
• A partir da soma das três parcelas, obtemos:
)(lnlnln2
1
13
33
12
22
1
111
3121111
VD
Dq
D
Dq
r
DqV
VVVV
PPPP
PqCPqCPqCP
⋅+
⋅+
⋅
⋅=
++=
&&&επ
Utilizando o mesmo raciocínio realizado em termos de fluxo concatenado(para indutância), e considerando e , podemos∞→P 0321 =++ qqq &&&(para indutância), e considerando e , podemossimplificar a equação acima por:
∞→P 0321 =++ qqq &&&
)(1
ln1
ln1
ln2
1
133
122
111 V
Dq
Dq
rqV
⋅+
⋅+
⋅
⋅= &&&
επ
De modo análogo, podemos calcular os potenciais dos condutores 2 e 3 emfunção das cargas:
)(1
ln1
ln1
ln2
1
)(1
ln1
ln1
ln2
1
33
232
1313
233
22
1212
Vr
qD
qD
qV
VD
qr
qD
qV
⋅+
⋅+
⋅
⋅=
⋅+
⋅+
⋅
⋅=
&&&
&&&
επ
επ
Capacitância de uma linha trifásica com
espaçamento assimétrico
• De posse das três tensões, obtemos a seguinte equação matricial:
⋅
⋅=
3
2
1
23212
13121
3
2
1
1ln
1ln
1ln
1ln
1ln
1ln
1ln
1ln
1ln
2
1
q
q
q
rDD
DrD
DDr
V
V
V
&
&
&
&
&
&
επ
32313
lnlnlnrDD
Observe que a equação acima é a forma matricial da equação
assim para obtermos a matriz de capacitâncias “C”, basta invertermos amatriz C-1 da equação acima.
1−C
qCV && ⋅=−1
Capacitância de uma linha trifásica com
espaçamento assimétrico
• Outra forma de representar a equação matricial anterior pode serobtida utilizando-se a hipótese inicial de que . Assim,
eliminando q3 da primeira e da segunda equação, e eliminando q1da terceira equação, temos:
1313 0lnlnD
D
r
D
0321 =++ qqq &&&
1−C
⋅
⋅=
3
2
1
3
13
23
13
2
23
12
23
121
3
2
1
lnln0
0lnln
0lnln
2
1
q
q
q
r
D
D
D
r
D
D
D
Dr
V
V
V
&
&
&
&
&
&
επ
Capacitância de uma linha trifásica com
arranjo equilátero de condutores
• No caso em que os condutores de fases distintas estão num arranjoequilátero (D12 = D13 = D23 = D) e os raios são iguais, temos:
⋅
⋅=
2
1
2
1
0ln0
00ln
2
1
q
q
q
r
D
r
D
V
V
V
&
&
&
&
&
&
επ
logo, a capacitância total de uma fase pode ser calculada como:
⋅
33
ln00
2q
r
D
rV &&
επ
1−C
)/(
ln
2321 mF
r
DCCC
⋅===
επ
Transposição de Condutores
• A transposição dos condutores pode ser aplicada a qualquer tipo dearranjo e serve como uma transformação da linha original emuma linha equilátera equivalente (minimizando ou eliminando ascapacitâncias mútuas).
• A transposição é realizada conforme mostrado na figura a seguir:
Transposição de Condutores
Considerando os raios iguais para os três condutores (r), obtemos aseguinte expressão matricial com transposição da linha:
⋅
⋅=
3
2
1
3
2
1
ln00
0ln0
00ln
2
1
q
q
q
r
D
r
D
r
D
V
V
V
eq
eq
eq
&
&
&
&
&
&
επ
lembrando que Deq é a Distância Média Geométrica entre oscondutores (de fases distintas), e calculada neste caso (3 condutores)como:
3132312 DDDDeq ⋅⋅=
Observe que Deq é o espaçamento equilátero equivalente das trêsdistâncias, causado pela transposição dos três condutores.
r
e portanto:)/(
ln
2321 mF
r
DCCC
eq
⋅===
επ
Múltiplos condutores por fase e Raio Equivalente Externo
(RMG para efeito capacitivo)
Raio Equivalente Externo de Cabos Múltiplos
Fig.: Casos mais comuns de cabos múltiplos por fase
Considerando rext como o raio equivalente externo de um cabo (ou raioequivalente de um cabo), e Dsc
CM como o raio equivalente externo decabos múltiplos (ou raio equivalente de cabos múltiplos), temos:
- p/ dois cabos por fase: =>
- p/ três cabos por fase: =>
- p/ quatro cabos por fase: =>
( ) 22 22
drdrD extextCMSC ⋅=⋅=
( ) 3 23 32
drddrD extextCMSC ⋅=⋅⋅=
( ) 4 34 409,12
2
drdddrD extextCMSC ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=
Múltiplos condutores por fase e Raio Equivalente Externo
(RMG para efeito capacitivo)
Raio Equivalente Externo de Cabos Múltiplos
Observação importante:
• A partir do valor de DscCM , devemos substituir este valor no lugar
de r (raio externo) nas equações anteriores para capacitância, ondeconsiderávamos a existência de apenas um condutor por fase.
• Já para o cálculo das distâncias entre fases, devemos adotar as• Já para o cálculo das distâncias entre fases, devemos adotar asdistâncias entre os centros dos cabos múltiplos.
Expressão Geral da Capacitância por Fase (resumo)
• A expressão geral para cálculo da capacitância por fase emcircuitos trifásicos com transposição de condutores é:
)/(
ln
2321 mF
r
DCCC
ext
eq
⋅===
επ
sendo: a distância média geométrica entre as três fases;
r o raio externo de um cabo ou raio externo equivalente de umcondutor (geralmente é fornecido pelo fabricante do condutor);
3cabcabeq DDDD ⋅⋅=
• Para cabos múltiplos por fase, temos:
sendo DscCM o raio equivalente externo de cabos múltiplos e calculado
como mostrado anteriormente.
)/(
ln
2321 mF
D
DCCC
CMSC
eq
⋅===
επ
Reatância Capacitiva e Susceptância Capacitiva
• A reatância capacitiva (Xc) por fase da linha de transmissãocorresponde à parte imaginária da impedância complexa emderivação ou shunt (Zsh) da linha, e depende do valor da freqüência(f) e da capacitância (C), sendo calculada por:
• O resultado da reatância acima pode ser utilizado em sua forma
)(2
11m
CfCX C Ω⋅
⋅⋅=
⋅=
πω
• O resultado da reatância acima pode ser utilizado em sua formamatricial, desde que C seja a matriz de capacitância trifásica.
• Geralmente escrevemos o efeito capacitivo das linhas em termos desusceptância em derivação ou shunt:
)/(1
mSiemensCXc
Bsh ⋅== ω
[1] MONTICELLI, A. J.; GARCIA, A. Introdução a Sistemas deEnergia Elétrica. Editora UNICAMP, 1ª. Edição, Campinas, 2003.
[2] STEVENSON, W. D. Elementos de Análise de Sistemas dePotência. 2ª ed. Editora MacGraw-Hill do Brasil. São Paulo.1986.
[3] FUCHS, RUBENS DARIO. Transmissão de Energia Elétrica:
Referências Bibliográficas
[3] FUCHS, RUBENS DARIO. Transmissão de Energia Elétrica:linhas aéreas; teoria das linhas em regime permanente. 2ª. Edição;Editora Livros Técnicos e Científicos, Rio de janeiro, 1979.
[4] ZANETTA Jr., LUIZ CERA. Fundamentos de Sistemas Elétricosde Potência. 1ª. Edição; Editora Livraria da Física, São Paulo, 2005.