3. 3. metoda przemieszczeŃ - zasady ogÓlne · dalsze obliczenia zilustrujemy na przykładzie....

Część 2 3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 1

3.

3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE

Istotę metody przemieszczeń, najwygodniej jest przedstawić przez porównanie jej do metody sił, którąwcześniej już poznaliśmy i przy użyciu której jesteśmy w stanie policzyć przemieszczenia i rozkład siłwewnętrznych układów statycznie niewyznaczalnych. Tok obliczeń matematycznych jest podobny, jednak sensfizyczny wielkości występujących w równaniach jest odmienny. Podstawowe różnice pomiędzy tymi metodamizestawiliśmy w poniższej tabeli oraz zobrazowaliśmy w krótkich przykładach.

Tabela 3.1. Porównanie metody sił z metodą przemieszczeń

Metoda sił Metoda przemieszczeń

Niewiadomymi są: nadliczbowe siły przemieszczenia węzłów

Równania kanoniczne wyrażają: przemieszczenia w miejscu odrzuconychwięzów reakcje w miejscu dołożonych więzów

O liczbie niewiadomych decyduje:

stopień statycznej niewyznaczalności(SSN). Jest to liczba więzów

przesztywniających układ, które trzebaodrzucić.

stopień kinematycznejniewyznaczalności (SKN). Jest to

liczba więzów, które trzebawprowadzić aby układ usztywnić.

3.1. Algorytm obliczeń w metodzie przemieszczeńOkreślenie stopnia kinematycznej (geometrycznej) niewyznaczalności polega na wyznaczeniu liczby

więzów, które należy wprowadzić, aby układ stał się geometrycznie wyznaczalny. Będzie to liczba węzłówukładu prętowego, w którym zbiegają się sprężyście utwierdzone pręty (węzły wewnętrzne) powiększona oliczbę więzów (niezależnych podpór), które należy wprowadzić do układu, aby stał się nieprzesuwny.

W przypadku wieloprętowego układu, relację między kątami obrotów cięciw prętów wyznacza się złańcucha kinematycznego uzyskanego poprzez zamianę wszystkich węzłów wewnętrznych i podpór naprzeguby i określenie stopnia geometrycznej niewyznaczalności.

Układ podstawowy będzie układem, w którym wprowadza się wewnętrzne utwierdzenia do węzłów orazdodaje się podpory liniowe, uniemożliwiające przesuwy. Dalsze obliczenia zilustrujemy na przykładzie.

Przykład 1

Rozpatrujemy belkę ciągłą (rys. 3.1) statycznie niewyznaczalną, która jest obciążona dowolnymobciążeniem ciągłym q. Pod wpływem tego obciążenia belka odkształci się, w wyniku czego powstanie stannaprężeń wyrażony w postaci sił wewnętrznych. Rozwiążmy tą belkę najpierw metodą sił a następnie metodąprzemieszczeń.

q

Rys. 3.1 Belka ciągła statycznie niewyznaczalna

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater


W metodzie sił, belka jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalna (SSN = 1). Możemy zatem przyjąć układpodstawowy w którym jedną z podpór zastąpimy niewiadomą siłą X1 (rys. 3.2).

X1

Rys. 3.2. Układ podstawowy w metodzie sił

Linia ugięcia takiej belki będzie sumą linii ugięć powstałych od obciążenia ciągłego q i od niewiadomej siłyX1 (korzystamy tutaj z zasady superpozycji skutków). Linie ugięć będą wyglądały mniej więcej tak jak narysunku 3.3.

Sw(q)

Sw(x

1)

X1

ws(x

1)

ws(q)

S

w(q) = w(x1)

Rys. 3.3. Linie ugięcia od obciążenia ciągłego q i od niewiadomej siły X1

Warunek geometrycznej zgodności:

ws qws X 1=0

zapisujemy w postaci równania kanonicznego:

11 X 11 P=0

Ta sama belka w metodzie przemieszczeń, będzie posiadać jeden niezależny kąt obrotu przekroju w węźle S(SKN = 1). W celu przyjęcia najlepszego układu podstawowego wprowadzamy dodatkowy więz w postaciutwierdzenia wewnętrznego (sztucznego), który zatrzymuje obrót ale nie blokuje przesuwu (rys. 3.4). Wprzeciwieństwie do metody sił, nie będzie to więc układ statycznie wyznaczalny lecz układ przesztywniony.

φ1

s

Rys. 3.4. Układ podstawowy w metodzie przemieszczeń



Układ taki jest zgodny jedynie geometrycznie, kinematyczną zgodność zapewnia przemieszczenie w postacikąta obrotu φ1. Równowagę statyczną uzyskamy jeśli spełnimy równanie równowagi, opisujące reakcję wewprowadzonym więzie:

M s=0 ⇔ M s=M qM L M P=0

które jest równaniem kanonicznym:

r111r1 P=0

Wykonując wykresy sił wewnętrznych powstałych zarówno od obciążenia q jak i od kąta obrotu φ1

korzystamy ze wzorów transformacyjnych (rys. 3.5).

M(q)M(q) =

M(φ1)

ML(φ)

MP(φ)

φ1

ql2

8

Rys. 3.5. Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia ciągłego q oraz od kąta obrotu φ

Wykonując linię ugięcia (rys. 3.6) widzimy że ma ona taką samą postać jak ta, która powstała w wynikurozwiązania belki metodą sił, co świadczy o poprawności tej metody.

w(q,φ1)φ

1

Rys. 3.6. Linia ugięcia od obciążenia ciągłego q i i kąta obrotu więzu o φ1

Przykład 2

Analizie poddamy ramę płaską (rys. 3.7) statycznie niewyznaczalną, która jest obciążona dowolną siłąskupioną P i obciążeniem ciągłym q.

q

P

EJs

EJs

EJr

l

h

A B

Rys. 3.7. Rama płaska statycznie niewyznaczalna



Pod wpływem tego obciążenia rama odkształci się, w wyniku czego powstanie stan naprężeń wyrażonyw postaci sił wewnętrznych. Rama ta składa się z prętów połączonych ze sobą w węzłach, pręty te będziemytraktować jako tarcze doskonale sztywne podłużnie (nie uwzględniamy skracania i wydłużania się prętów podwpływem działania obciążenia). Pod wpływem przemieszczenia pręty ulegają deformacji, a węzły doznająprzemieszczeń. Stan przemieszczenia węzłów charakteryzują wielkości: kąty obrotów φ oraz niezależneprzesuwy Δ (które mogą być wyrażone przez niezależne kąty obrotów cięciw prętów ψik). Przyjmijmy więc tewielkości za niewiadome w metodzie przemieszczeń. Aby uzyskać układ podstawowy w metodzieprzemieszczeń wprowadzamy wewnętrzne utwierdzenia (blokady obrotów po kierunku φ1, φ2) oraz dodatkowąpodporę (blokada przesuwu po kierunku Δ3). W ten sposób naruszymy statykę układu (rys. 3.8).

q

P

EJs

EJs

EJr

l

h

A B

MA,φ

1M

B,φ

2

RBH,Δ3

Rys. 3.8. Układ podstawowy z dodatkowymi wewnętrznymi utwierdzeniami oraz z dodatkową podporą

Układ taki jest geometrycznie i kinematycznie zgodny. Zgodność statyczną, którą naruszyliśmy wprowadzającdodatkowe więzy, zapewnimy spełniając równości:

{∑M A=0∑M B=0∑ RB

H=0(3.1)

Warunki (3.1) oznaczają, że reakcje w dodatkowych podporach muszą być równe zero, bo w rzeczywistościtych podpór nie ma. Podobnie było w metodzie sił: przemieszczenia po kierunku odrzuconych więzów musiałybyć równe zero, bo w rzeczywistości te węzły były zablokowane. Rozpisując każde z równań otrzymujemy:

{M APM A1M A2M A3=0M BPM B 1M B2M B3=0RB

H P RBH 1RB

H 2RBH 3=0

(3.2)

Przyjmując oznaczenia charakterystyczne dla metody przemieszczeń i wprowadzając symbol reakcji powstałejod jednostkowego przemieszczenia rik (reakcja po kierunku niewiadomej i wywołana przemieszczeniem pokierunku k):

{r111r122r133R1 P=0r211r222r233R2 P=0R311r322R333R3 P=0

(3.3)

Zastępując symbole niewiadomych φ1 , φ2 , Δ3 zmienną uogólnioną Zj otrzymujemy ostateczny układ równań:



{r11 Z 1r12 Z 2r13 Z 3R1 P=0r21 Z 1r22 Z 2r23 Z 3R2 P=0R31 Z 1r32 Z 2R33 Z 3R3 P=0

(3.4)

który możemy zapisać również w postaci wskaźnikowej:

∑j=1

n

rij Z jRiP=0 (3.5)

Układy statycznie niewyznaczalne można rozwiązać metoda przemieszczeń lub metodą sił. Ta samakonstrukcja w każdej z tych metod może mieć inną liczbę niewiadomych. W niektórych przypadkach ram,układ jest wielokrotnie statycznie niewyznaczalny, natomiast w metodzie przemieszczeń ma jedną niewiadomą,w innych przypadkach jest na odwrót (rys. 3.9).

z1

X1

X2

X3 X

4

X5

X6

X7

X1

z2

z3

z6

z4

z5

z1

Rys. 3.9. Układy podstawowe w metodzie sił i metodzie przemieszczeń

Proces obliczeń układów niewyznaczalnych metodą przemieszczeń przedstawimy w kilku przykładachliczbowych.

Zadanie 1

Wyznaczyć wykres sił wewnętrznych w zadanej belce (rys. 3.10), korzystając z metody przemieszczeń.

P = 16 kN q = 4 kN/m

2

A B C

2 6 [m]

Rys. 3.10. Belka statycznie niewyznaczalna



Przyjmujemy układ podstawowy. Zgodnie z założeniami metody przemieszczeń należy zablokować możliweprzemieszczenia węzłowe. W tym przypadku będzie to tylko kąt obrotu na pośredniej podporze (rys. 3.11).Wobec tego SKN = 1, natomiast w metodzie sił należałoby odrzucić dwa więzy (SSN = 2):

4 6

φB,M

B

[m]

Rys. 3.11. Układ podstawowy z wprowadzonym dodatkowym wewnętrznym więzem

Ta krótka analiza dowodzi, że korzystniej (łatwiej) jest rozwiązać zadanie metodą przemieszczeń. Aby układpodstawowy był zgodny z rzeczywistym, reakcja we wprowadzonym więzie musi być równa zero MB = 0(warunek statecznej zgodności). Warunek ten będzie spełniony, jeżeli moment powstały od obciążeniazewnętrznego będzie zrównoważony momentem powstałym od obrotu przekroju w podporze B:

M B qM B =0 (3.6)

Najpierw wykonujemy wykres momentów od jednostkowego przemieszczenia. Korzystając ze wzorówtransformacyjnych wyznaczamy momenty na poszczególnych prętach belki. Część belki AB to prętobustronnie utwierdzony, natomiast część BC to pręt utwierdzony w punkcie B i podparty podporąprzegubowo nieprzesuwną w punkcie C. Wartości momentów od kąta obrotu wyznaczone ze wzorówtransformacyjnych mają wartości:

– dla pręta AB (φA = 0, φB = 1, brak przesuwu ψAB = 0)

M AB=2 EJ

l⋅2AB−3AB=

EJ2 (3.7)

M BA=2 EJ

l⋅2BA−3AB=EJ (3.8)

– dla pręta BC (φB = 1, brak przesuwu ψBC = 0)

M BC=3 EJ

l⋅B−BC =

EJ2 (3.9)

Ponieważ w podporze C jest przegub

M CB=0 (3.10)

Korzystając z gotowych wzorów (tabela 1.2) obliczymy wartości momentów przywęzłowych od obciążeniaprzęsłowego:

– dla pręta AB

M AB=−Pl8=−8 kNm (3.11)

M BA=Pl8=8 kNm (3.12)



– dla pręta BC

M BC=−ql 2

8=−18 kNm (3.13)

M CB=0 (3.14)

Po obliczeniu momentów możemy narysować ich wykresy (rys. 3.12):

MP

(0)

18

8

Mφ

MP

(0)8

2

Mφ

MP

(0) [kNm]8

1

EJ M

φ

MB(q)

MB(φ)

EJ

8 18

EJ

21 EJ

21 EJ

Rys. 3.12. Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego oraz od przemieszczenia φ=1

Z równowagi momentów w węźle B możemy wyznaczyć wartości reakcji w poszczególnych stanach

M Bq=8−18

M B=1=EJ EJ2

(3.15)

Ponieważ reakcje te muszą się równoważyć:

M BqM BB=1B=0

czyli:

8−18EJ EJ2 B=0 (3.16)

Kąt obrotu przekroju B musi być równy:

32B=

10EJ

B=20

3 EJ

(3.17)

Końcowe, rzeczywiste wartości momentów możemy obliczyć korzystając ze wzoru superpozycyjnego (3.18)lub podstawiając do wzorów transformacyjnych obliczoną wartość kąta obrotu φB. Ich wykres w układzieniewyznaczalnym przedstawiono na rys. 3.13.



M Pn =M P

oM 11 (3.18)

M ABn =−8 EJ

2⋅ 20

3 EJ=−24

310

3=−14

3kNm (3.19)

M BAn =8EJ⋅ 20

3 EJ= 24

3 20

3=44

3kNm (3.20)

M BCn =−18 EJ

2⋅ 20

3 EJ=−54

310

3=−44

3kNm (3.21)

M CBn=0 (3.22)

MP

(n) [kNm]

314 3

44

327

Rys. 3.13. Wykres momentów w układzie statycznie niewyznaczalnym

Zadanie 2

Rozwiązać zadaną ramę (rys. 3.14) korzystając z metody przemieszczeń.

4

A

B C

4

A

B C

4

3A

B C

q = 6 kN/m

[m]


Najpierw przyjmujemy układ podstawowy. Zgodnie z założeniami metody przemieszczeń należy zablokowaćmożliwe przemieszczenia. W tym przypadku będzie to kąt obrotu oraz przesuw poziomy (rys. 3.15) SKN = 2:

4

3A

B C

4

3A

B C

4

3A

B C

q = 6 kN/m

Δ2

φ1,M

BR

CH

[m]

Rys. 3.15. Układ podstawowy z dodatkowym wewnętrznym utwierdzeniem oraz podporą poziomą



We wprowadzonych dodatkowo podporach powstaną reakcje, które w rzeczywistości powinny być równezero. Najpierw utworzymy wykresy momentów od jednostkowych przemieszczeń (φ1 i Δ2) oraz od obciążeniazewnętrznego w przyjętym układzie podstawowym. Korzystając ze wzorów transformacyjnych wyznaczamymomenty na poszczególnych prętach. Część AB to pręt obustronnie utwierdzony, natomiast część BC to prętutwierdzony w punkcie B i podparty podporą przegubowo nieprzesuwną w punkcie C.

Wartości momentów wywołane jednostkowym przemieszczeniem podpory B wyznaczamy ze wzorówtransformacyjnych przyjmując φ1 = φB = 1:

– dla pręta AB ( φA = 0, φB = 1, ψAB = 0)

M AB=2 EJ

l⋅2AB−3AB=

EJ2 (3.23)

M BA=2 EJ

l⋅2BA−3AB=EJ (3.24)

– dla pręta BC ( φB = 1, ψBC = 0)

M BC=3 EJ

l⋅B−BC =EJ (3.25)

M CB=0 (3.26)

M1

MB(φ

1)

EJ

EJ MB(φ

1) = 2EJ

EJ

EJ

12 EJ

Rys. 3.16. Wykres momentów w układzie podstawowym od kąta obrotu φ1=1

Wartości momentów od przesuwu poziomego Δ2 = 1 wyznaczamy z tych samych wzorów po określeniu kątówobrotu cięciw prętów ψ. Na skutek jednostkowego przesuwu po kierunku Δ2 cięciwy prętów obrócą się.Wartości kątów obrotu wyznaczymy ze związków geometrycznych.

ΨAB

Δ2

Δ2

ΨBC

A

B C

4

ΨBC

= 0

Δ2Ψ

AB =

4

Δ2tg Ψ

AB =

4

Rys. 3.17. Kąty obrotu cięciw prętów na wskutek jednostkowego przesuwu po kierunku D2

W stanie Δ2 = 1 wyznaczamy wartości momentów:



– dla pręta AB ( φA = 0, φB = 0, Δ2 = 1, AB=14 )

M AB=2 EJ

l⋅2AB−3AB=−3 EJ

8 (3.27)

M BA=2 EJ

l⋅2BA−3AB=−

3 EJ8 (3.28)

– dla pręta BC ( φB = 0, ψBC = 0)

M BC=3 EJ

l⋅B−BC =0 (3.29)

M CB=0 (3.30)

M2

MB(Δ

2)

MB(Δ

1) = -

38 EJ

38 EJ

38 EJ

38 EJ

Rys. 3.18. Wykres momentów w układzie podstawowym od poziomego przesuwu Δ2 = 1

Wartości momentów od obciążenia wyznaczamy na podstawie gotowych wzorów (tabela 1.2):

– dla pręta AB (obustronnie utwierdzonego)

M AB=−ql 2

12=−8 kNm (3.31)

M BA=ql 2

12=8 kNm (3.32)

– dla pręta BC

M BC=0 (3.33)M CB=0 (3.34)

8

8 M

P(0)

MB(P)

8 M

B(P) = 8

Rys. 3.19. Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego



Warunek statycznej zgodności (reakcje we wprowadzonych węzłach są równe zero):

{∑M B=0∑ RC

H=0(3.35)

można rozpisać jako sumę reakcji od poszczególnych wpływów:

{M BPM B1M B=0R2PR2 1R2=0 (3.36)

Wprowadzając oznaczenia charakterystyczne dla metody przemieszczeń, otrzymujemy układ równańkanonicznych:

{r11 Z 1r12 Z 2R1 P=0r21 Z 1r22 Z 2R2 P=0 (3.37)

gdzie rik to reakcja po kierunku zmiennej i wywołana przemieszczeniem po kierunku k, RiP to reakcja pokierunku i wywołana obciążeniem zewnętrznym, Zi to nieznane przemieszczenie.Z równowagi momentów w węźle B otrzymujemy pierwsze równanie:

82 EJ 1−38

EJ 2=0

po uporządkowaniu:

2 EJ 1−38

EJ 28=0 (3.38)

Natomiast drugie równanie otrzymamy korzystając z równania pracy wirtualnej (praca sił zewnętrznych jestrówna pracy wirtualnych sił wewnętrznych L z=Lw ) (rys. 3.19). Praca sił rzeczywistych na wirtualnychprzemieszczeniach równa jest pracy sił wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach. Ponieważwirtualnym przemieszczeniem jest jednostkowy przesuw 2=1 a układ rzeczywisty nie przemieszcza się to:

RC⋅1∑ M ikM ki ⋅ ik∑ Pi⋅i=0 (3.39)

12 EJ

RC(φ

1=1)

Ψ

Q

Ψ

1

Ψ =

EJ

EJ R

C(Δ

2=1)

ΨΨ

1

Ψ =

RC(P)

ΨΨ

-8

Ψ =

8

δQ

Q = q·4 = 4·4 =16 kN

Stan φ1=1 Stan Δ

2=1 Stan P

1

14

14

14

-

38 EJ

-

38 EJ

δQ= ·1=

12

12

Rys. 3.20. Reakcja w poziomej podporze w poszczególnych stanach



Reakcje po kierunku Δ2 wyznaczymy w poszczególnych stanach. Dla stanu φ1 = 1:

EJ EJ2 RC⋅1=0

32

EJ⋅14RC=0

RC 1=−38

EJ (3.40)

Następnie dla stanu Δ2 = 1:

−38

EJ − 38

EJ ⋅14RC⋅1=0

RC 2=34⋅1

4⋅EJ= 3

16EJ (3.41)

Na koniec reakcja w stanie P:

−88 ⋅14Q⋅

12RC⋅1=0

RC P=−12(3.42)

Podstawiając powyższe wartości do drugiego równania (3.36) otrzymujemy jego ostateczną postać:

−38

EJ 13

16EJ 2−12=0 (3.43)

Wykorzystując zależności (3.38) i (3.43) zapisujemy układ równań kanonicznych:

{2 EJ 1−38

EJ 28=0

−38

EJ 1316

EJ 2−12=0(3.44)

którego rozwiązaniem są rzeczywiste przemieszczenia:

{Z 1=1=64

5 EJ

Z 2=2=4485 EJ

(3.45)

Ostateczne wartości momentów zginających można wyznaczyć ze wzorów transformacyjnych lub korzystającze wzoru superpozycyjnego (3.46). Końcowe wartości momentów przedstawiono na wykresie w układzieniewyznaczalnym (rys. 3.21):

M Pn=M P

oM 11M 22 (3.46)

M ABn =−8 EJ

2⋅ 64

5 EJ−3 EJ

8 ⋅ 4485 EJ

=−1765

kNm (3.47)



M Pn=M P

oM 11M 22 (3.46)

M BAn=8EJ⋅ 64

5 EJ−3 EJ

8 ⋅ 4485 EJ

=−645

kNm (3.48)

M BCn =0EJ⋅ 64

5 EJ0⋅ 448

5 EJ=64

5kNm (3.49)

M CBn=0 (3.50)

4

3

64

M(n)

5

645

1765

Rys. 3.21. Wykres momentów w układzie statycznie niewyznaczalnym

Zadanie 3

Wyznaczyć wartości reakcji w zadanej ramie korzystając z metody przemieszczeń.

l1

l2

l3

q

P


Układ podstawowy otrzymujemy wprowadzając dodatkowe więzy:

φ1 φ

2

l1

l2

l3

q

P

0

1 2

3

Δ3

l22

Rys. 3.23. Układ podstawowy z dodatkowymi wewnętrznymi utwierdzeniami oraz z dodatkową podporą



Stateczną zgodność naruszonego układu zapewniamy równaniami:

{∑M A=0∑M B=0∑ RB

H=0(3.51)

Możemy je także zapisać w postaci wskaźnikowej

∑k=1

n

r ik⋅Z kRiP=0 (3.51)

Obliczając wartości kątów obrotu przyjmujemy poniższe zależności:

1=a⋅2=b⋅

3==l 3=

Z 3

l 3

(3.52)

0

1 2

3

Δ=1

Ψ01

=Ψ1

Ψ12

=Ψ2

Ψ32

=Ψ3

r3

l3

Rys. 3.24. Kąty obrotu cięciw prętów na wskutek jednostkowego przesuwu po kierunku r3

Wartości wszystkich reakcji obliczymy po wyznaczeniu wartości momentów dla poszczególnych stanów orazkorzystając z równania pracy wirtualnej:

Stan φ1 = 1

φ1=1

0

1 2

3

r11

r21

r31

M1

l1

2EJ1

l1

4EJ1

l2

4EJ2

l2

2EJ2

Rys. 3.25. Wykres momentów w układzie podstawowym od kąta obrotu φ1 = 1



r11=4 EJ 1

l1

4 EJ 2

l 2

r21=2 EJ 2

l 2

(3.53)

Wartość reakcji r31 wyznaczamy z równania pracy wirtualnej (3.39):

M 011M 10

1⋅1M 112M 1

21⋅ 2M 123⋅ 3r31⋅1=0 (3.54)

r31=−6 EJ 1

l1⋅a−

6 EJ 2

l 2⋅b (3.55)

Stan φ2 = 1

l3

3EJ3

l2

4EJ2

l2

2EJ2

φ2=1

0

1 2

3

r12

r22

r32

M2

Rys. 3.26. Wykres momentów w układzie podstawowym od kąta obrotu φ2 = 1

r22=4 EJ 2

l 2

3 EJ 3

l 3

r21=2 EJ 2

l 2

(3.56)

Wartość reakcji r32 wyznaczamy analogicznie jak dla reakcji r31, czyli z równania pracy wirtualnej:

M 012M 10

2⋅1M 122M 21

2⋅2M 232⋅3r32⋅1=0 (3.57)

r32=−6 EJ 2

l 2b−

3 EJ 3

l 3(3.58)

Stan Δ3 = 1

0

1 2

3

r13

r23

r33

M3

Δ3=1

6a EJ1

l1l3

6a EJ1

l1l3

6b EJ2

l2l3

6b EJ2 l2l3

3 EJ3

l3

2

Rys.3.27. Wykres momentów w układzie podstawowym od poziomego przesuwu Δ3 = 1



r13=−6 aEJ 1

l 1 l 3−

6 bEJ 2

l 2 l 3

r23=−6 bEJ 2

l 2 l 3−

3 EJ 3

l 32

(3.59)

Wartość reakcji r33 wyznaczamy z równania pracy wirtualnej:

M 012M 10

2⋅1M 122M 21

2⋅ 2M 232⋅ 3r33⋅1=0 (3.60)

r33=12 EJ 1

l1 l 32 a2

12 EJ 2

l 2 l 23

b23 EJ 3

l 33 (3.61)

Stan P:

q l32

12

0

1 2

3

R3P

MP

R1P R

2P

q

P

Pl2

8

q l32

12

Pl2

8

Pl2

8

Rys. 3.28. Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego

R1 P=ql 3

2

12−

Pl 2

8

R2 P=Pl 2

8

(3.62)

Wartość reakcji r3P wyznaczamy, jak poprzednio z równania pracy wirtualnej, które w tym przypadkurozszerzone jest o pracę sił Q i P:

M 01PM 10

P⋅1M 12PM 21

P⋅ 2M 23P⋅3R3 P⋅1Q⋅

l 3

2⋅1P⋅

l 2

2⋅ 2=0 (3.63)

r3 P=−Q⋅l 3

2⋅a⋅

1l 3−P⋅

l 2

2⋅b⋅

1l 3 (3.64)

Obliczone wartości reakcji podstawiamy do układu równań kanonicznych z którego już bardzo prosto możnawyznaczyć szukane przemieszczenia. Ostateczne wartości momentów zginających można wyznaczyć zewzorów transformacyjnych lub też korzystając ze wzoru superpozycyjnego przedstawionego poniżej:

M Pn=M P

0M 1⋅Z 1M 2⋅Z 2M 3⋅Z 3 (3.65)



3.2. Sprawdzenie wyników

Podczas rozwiązywania zadań metodą przemieszczeń trudno jest ocenić poprawność uzyskanychwyników. Istnieje jednak możliwość przeprowadzenia pewnych kontroli w trakcie obliczeń.

3.2.1. Symetria macierzy sztywności

Porównanie współczynników rik i rki jest pośrednim sposobem kontroli wyników. Macierz sztywnościpowinna być symetryczna, dlatego obowiązuje zależność :

r ik=rki

Dowód tego założenia opiera się na twierdzeniu Rayleigha:

Reakcja uogólniona rik odpowiadająca i-temu kierunkowi przemieszczenia uogólnionego a wywołanajednostkowym przemieszczeniem k-tego więzu równa jest uogólnionej reakcji rki odpowiadającej k-temukierunkowi przemieszczenia uogólnionego wywołana jednostkowym przemieszczeniem i-tego więzu.

Współczynniki rik można sprawdzić również opierając się na twierdzeniu Bettiego o wzajemności prac, któremówi:

Dla ciał liniowo sprężystych praca przygotowana (wirtualna, możliwa) zewnętrznych lub wewnętrznychsił stanu obciążenia I na przemieszczeniach stanu obciążenia II równa jest pracy przygotowanej zewnętrznychlub wewnętrznych sił stanu II na przemieszczeniach stanu I.

Lz=Lw

Sens tego twierdzenia można zilustrować na poniższym przykładzie. Na rys. 3.29 przedstawiono układ oSKN = 3. Po przyjęciu układu podstawowego wykonujemy wykresy momentów. Najpierw rozwiązano układ,któremu nadano kąt obrotu 1 =1 (Stan I). Na rys. 3.30 widzimy ten sam układ, lecz kąt obrotu o wartości1 działa w drugim węźle (Stan II).

l1

l2

l3

φ1 = 1 3EJ1

l1

4EJ2l2

2EJ2l2r11

r21 r31

M I

Rys. 3.29. Wykres momentów MI dla φ1 = 1



r11=3 EJ

l1

4 EI 2

l 2

r12=2 EJ 2

l 2

l2

l3

2EJ2l2

4EJ2l2

4EJ3l3

2EJ3l3

φ2 = 1

M II

r12 r22r32

Rys. 3.30. Wykres momentów M II dla φ1 =1

Pracę sił zewnętrznych (reakcji ze stanu I na przemieszczeniach ze stanu II) można zapisać w następującysposób:

Lz=r11⋅0 r21⋅1 r31⋅0 ∑ R j⋅0 =r21

Natomiast pracę sił wewnętrznych wyznaczamy korzystając z metody Wereszczagina - Mohra:

Lw=∑∫ M I M II

EJds = 1

EJ 2 [ 12⋅

4 EJ 2

l 2⋅l 2 ⋅ 2

3⋅

2 EJ 2

l 2−1

3⋅

4 EJ 2

l 2 1

2⋅

2 EJ 2

l 2⋅l 2 ⋅ 2

3⋅

4 EI 2

l 2−1

3⋅

2 EJ 2

l 2 ] = 2 EJ 2

l 2

stąd otrzymujemy wartość reakcji

r21=2 EJ 2

l 2

Jeżeli wyznaczamy pracę sił ze stanu II na przemieszczeniach ze stanu I, to:

Lz=r12⋅1 r22⋅0 r32⋅0 ∑ R j⋅0 =r12

a praca sił wewnętrznych:

Lw=∑∫ M II M I

EJds=

2 EJ 2

l 2

Ponieważ tym razem

r12=2 EJ 2

l 2



ostatecznie można zapisać

r12=r21

Opierając się na twierdzeniu Bettiego o wzajemności prac, możemy sprawdzić współczynniki rik,

jednak sprawdzenie wielkości riP (wpływu sił zewnętrznych) jest kłopotliwe, ponieważ obliczając pracę siłzewnętrznych (P) powinniśmy znać linie przemieszczeń prętów wywołanych obrotami bądź przesuwamiwęzłów. Linie te są krzywymi wyższego stopnia, których w zadaniu nie wyznaczamy. Widać to na przykładzieramy, której wykres momentów w stanie odkształconym z1 = 1 przedstawiony jest na rys. 3.31, a odobciążenia zewnętrznego na rys. 3.32.

Z1 = 1 Z1 r11r21 r31

δ

Rys. 3.31. Wykres momentów i postać odkształcona w stanie Z1 = 1

Praca sił ze stanu P na przemieszczeniach ze stanu Z1 = 1 wymaga skomplikowanego całkowania.

Lz=r1 P⋅1 r2 P⋅0 r3 P⋅0 ∫s

qds

r1Pr2P r3P

q

Rys. 3.32. Schemat obciążenia i wykres momentów od obciążenia ciągłego

3.2.2. Sprawdzenie kinematyczne

W metodzie przemieszczeń sprawdzenie kinematyczne nie daje pewności poprawnego rozwiązaniazadania, jak było w metodzie sił. Pozwala ono jedynie ocenić czy wykres momentów zginających jestpoprawny. Kontrolę kinematyczną przeprowadza się podobnie jak w metodzie sił tzn. opierając się nazależności:

∑i

Pi i∑i

Rkk=∑j {∫s M M P

EIt t

h ds∫s

N N P

EAt tds∫

s

TT PGA

ds}∑

n

Rn RnP f ∑

m

Bm bm



gdzie:

MP, NP, TP - wewnętrzne siły rzeczywiste,

Δi - niewiadome przemieszczenie,Pi - jednostkowa siła wirtualna,Rk - reakcja wywołana siłą jednostkową wirtualną w podporze k (doznającej przemieszczenia),

Δk - znane przemieszczenie podpory (narzucone osiadanie podpór),Rn - reakcja wirtualna w n-tej podporze podatnej,

RnP - reakcja rzeczywista w n-tej podporze podatnej,

bm - wartość błędu montażu (liniowa lub kątowa) w punkcie m,Bm - siła w pręcie po kierunku wielkości obarczonej błędem.

3.2.3. Sprawdzenie statyczne

Zadanie jest rozwiązane poprawnie jeśli w sprawdzeniu statycznym dla całego układu, obciążonegosiłami zewnętrznymi oraz wyznaczonymi przez nas siłami w podporach (zawieszonego na reakcjachpodporowych), okaże się, że prawdziwe są równości:

∑ X =0 ∑ Y=0 ∑M =0

Suma momentów może być zapisana względem dowolnego punktu układu.


3. 3. metoda przemieszczeŃ - zasady ogÓlne · dalsze obliczenia zilustrujemy na przykładzie....

Documents