27 marzo 2014 patino u javeriana

Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.

Procesos estocasticos. Conceptos del calculo

estocastico.

Diego A. Patino, M.Sc., Ph.D.

Pontificia Universidad Javeriana

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1 Motivacion

2 Continuidad

3 Derivadas

4 Integrales

5 Ecuaciones diferenciales

6 Densidad espectral de potencia

7 Ruido Blanco

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Motivacion

Motivacion

Ya vimos como hallar la media y la correlacion cuando pasapor un sistema LTI Entrada-Salida Generalizacion paraderivadas e integrales.

Calculo estocastico: Continuidad, Derivadas, Integrales,Densidad espectral de potencia... de procesos estocasticos.

Formalizar para ecuaciones diferenciales. Mirar desde el puntode vista de continuidad.

Solucion al espacio de estados si la entrada es estocastica?

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Continuidad

Continuidad

Recordemos la continuidad para una funcion en calculo clasico:

Una funcion f es continua en un punto a sii:

lm0

f (x + ) = f (x)

De igual forma se puede definir para un proceso estocasticoX (t, ). Existen 4 tipos de continuidad:

Continuidad de una funcion muestra:

lm0

X (t + , ) = X (t, )

Continuidad almost-sure:

P

[lmst

X (s, ) 6= X (t, )]= 0

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Continuidad

Continuidad

Continuidad en probabilidad:

lmst

P [|X (s) X (t)| > ] = 0

Continuidad en sentido medio cuadratico:

lm0

E [|X (t + ) X (t)|2] = 0

Si esto se cumple t, el proceso es continuo en sentido mediocuadratico (mc).

Si X (t) es mc, entonces RX (t1, t2) es continua en el puntot1 = t2 = t. Si X (t) es WSS y mc entonces RX () es continuo en

= 0. PROBAR!

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Derivadas

Derivadas

Para que una funcion sea derivable debe ser continua!!

Entonces es una condicion necesaria tambien para un procesoestocastico.

Las derivadas de una funcion deterministica f (x) en a se definencomo:

df (x)

dx

x=a

= lmx0

f (a +x) f (a)

x

De igual manera se define la derivada para el proceso estocasticoX (t):

X(t) = lm

0

X (t + ) X (t)

Y existe en sentido medio cuadratico en t si:

lm0

E

[(X (t + ) X (t)

X (t)

)2]= 0

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Derivadas

Derivadas

Se puede probar por la desigualdad de Cauchy que un procesoaleatorio con funcion de autocorrelacion RX (t1, t2) tiene una

derivada mc en t sii 2RX (t1,t2)t1t2

existe en t1 = t2 = t.

Ejemplo: Considere un proceso estocastico X (t) con funcion demedia X = 5 y funcion de correlacion:

R(t1, t2) = 2e(t1t2)2 + 25

Determine si es derivable en sentido m.c.

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Derivadas

Derivadas

Si un proceso estocastico X (t) con funcion de media mX (t) yfuncion de correlacion RX (t1, t2), ademas tiene una derivada ensentido m.c., entonces la media y la correlacion de X (t) estandadas por:

mX (t) =dmX (t)

dt

y

RX (t1, t2) =2RX (t1, t2)

t1t2

Ejemplo: Calcule la funcion de media y la correlacion de X delejemplo anterior.

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Derivadas

Derivadas

Ejemplo: Calcule la derivada de un proceso estocastico WSS.Apliquelo al proceso X (t) con media cero y RX () =

2e22 .

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Integrales

Integrales

Las integrales en sentido m.c. de X (t) sobre un intervalo(T1,T2) existen si:

lmn

E

T2

T1

X (t)dt n

i=1

X (ti)ti

2 = 0

Se puede probar utilizando el criterio de convergencia deCauchy que la media de la integral en sentido m.c. es:

E

[ T2T1

X (t)dt

]=

T2T1

E [X (t)]dt

Ejemplo: Hallar la correlacion y la covarianza de la integral.

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Integrales

Integrales

Sea I = T2T1

X (t)dt, entonces:

RI =

T2T1

T2T1

RX (t1, t2)dt1dt2

y

CI =

T2T1

T2T1

CX (t1, t2)dt1dt2

Ejemplo: Sea un proceso estocastico X (t) con media cero ymatriz de covarianza CX () =

2(). Encuentre la media y lacovarianza en sentido m.c. de la integral de X (t).

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Ecuaciones diferenciales


Ya vimos como trabajar las derivadas e integrales estocasticas.

Considerese la ecuacion diferencial a coeficientes constantes:

anY(n)(t) + an1Y

(n1)(t) + . . .+ a0Y (t) = X (t)

con condiciones iniciales en Y (0), Y (1)(0), . . ., Y (n1)(0)

Como se soluciona esta ecuacion diferencial?

R Sistema lneal Resolver el sentido mc

Se define una solucion de la ecuacion en sentido mc si se

soluciona para la funcion de media y la correlacion.

Se debe encontrar solucion para la media y la correlacion

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Ya vimos que:

E [Y (i)(t)] =d iE [Y (t)]

dt i

entonces mY (t) debe verificar:

anm(n)Y (t) + an1m

(n1)Y (t) + . . .+ a0mY (t) = mX (t)

con m(i)Y (0) = E [Y

(i)(0)]. RXY debe satisfacer:

an(n)RXY (t1, t2)

tn2+ . . . + a0

(0)RXY (t1, t2)

t02= RX (t1, t2)

con condiciones iniciales (i)RXY (t1, 0)/ti2. Finalmente RY debe

resolver:

an(n)RY (t1, t2)

tn1+ . . . + a0

(0)RY (t1, t2)

t01= RXY (t1, t2)

con condiciones iniciales (i)RY (0, t2)/ti1 13




Se puede probar tambien que la covarianza debe cumplir lasmismas ecuaciones:

an(n)CXY (t1, t2)

tn2+ . . .+ a0

(0)CXY (t1, t2)

t02= CX (t1, t2)

con condiciones iniciales (i)CXY (t1, 0)/ti2. Finalmente CY debe

resolver:

an(n)CY (t1, t2)

tn1+ . . .+ a0

(0)CY (t1, t2)

t01= CXY (t1, t2)

con condiciones iniciales (i)CY (0, t2)/ti1.

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Ejemplo: Sea X (t) un proceso estocastico estacionario con mediamX y funcion de covarianza CX () =

2(). Calcule la solucionen sentido mc de:

dY (t)

dt+ Y (t) = X (t), t 0

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Densidad espectral de potencia


Para una senal deterministica x(t), la potencia promedio es:

lmT

1

2T

TT|x(t)|2dt




Para un proceso WSS:

PX = E [X2(t)] = RX (0) =

SX (f )df

Hay tres maneras de expresar la potencia en un proceso WSS.

Ejemplo: Para un proceso WSS X (t), encuentre la potenciaen la banda de frecuencia W1 |f | W2. Muestre ademasque SX (f ) 0, f .

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Ruido Blanco

Ruido Blanco

Es uno de los procesos WSS mas importantes es el ruidoblanco gaussiano.

Se caracterza por afectar todas las frecuencias. Entonces:

RX () =N0

2() SX (f ) =

N0

2

Ejemplo: Considere un filtro RC . Suponga que la fuente de voltajees un generador de ruido blanco X (t). Si la salida del filtro es elvoltaje del condensador, encuentre la densidad espectral depotencia SY (f ) y su correspondiente funcion de correlacion RY ().

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Ruido Blanco

Ruido Blanco

Ejemplo: Un receptor de comunicaciones emplea un filtropasa-bandas para reducir el ruido blanco generado en elamplificador. Encuentre la potencia de salida esperada a la salida.

Ejemplo: Un ruido blanco se aplica a un filtro pasa-bajos confuncion de transferencia H(f ) = e2|f |. Encuentre la potenciadel ruido a la salida del filtro.

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Ruido Blanco

Ruido Blanco Gaussiano

Un proceso estocastico X (t) es Gaussiano si las muestrasX (t1),X (t2),X (t3), . . . . son variables aleatorias Gaussianas paratodo t. Entonces

fX (x) N(m,C )

donde m = [m(t1),m(t2), . . .]T y

C =

CX (t1, t1) CX (t1, t2) . . .CX (t1, tk)...

......

CX (tk , t1) CX (tk , t2) . . .CX (tk , tk)

Un proceso X (t) es un ruido balnco Gaussiano si t, lasvariables aleatorias son Gaussianas, independientes.

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Ruido Blanco

Ruido Blanco Gaussiano

Esto quiere decir que CX (ti , tj ) = 0, ti 6= tj y CX (tj , tj ) = 2,

entonces CX (ti , tj ) = 2(ti tj)

Proximos temas: Solucion al espacio de estados con entradas

estocasticas, Filtro Adaptado, Filtro Wiener, Cadenas de

Markov.

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MotivacinContinuidadDerivadasIntegralesEcuaciones diferencialesDensidad espectral de potenciaRuido Blanco

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