高中数学必修 4

儋州市第一中学 符阳2008. 01. 09

１、平面向量的基本定理

21e

22e2211 ee

如果 ， 是同一平面内的两个不共线的向量 , 那么对于这一平面内的任一向量 ,

有且只有一对实数 １、２使 ＝

2e

a1e

a 2211 ee

不共线的两个向量 ,

叫做任意向量 的一组基底 .

21 ee

a

2 、平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与 x 轴、 y 轴方

向相同的两个单位向量 作基底，以坐标原点 O 为起点任作一个向量，

由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数 x 、 y, 使得

aOA

jyixa

ji、

把 (x,y) 叫做向量 的坐标，记作 : )y,x(a

a

o

x

y

i

ja A(x,y)x

y

a

ayxOA ),(

在平面直角坐标系，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．

M

N

MNOAayxMN ),(

1、试一试),,(),,( 2211 yxbyxa

若

ba则

)jix()jix( 2211 yyba

二、新课

),( 2121 yyxx 1x2x

1y

2y

x

y

21 xx

21 yy

ab

O

jyyixx )()( 2121

),( 2121 yyxx

i

j

运算性质 1),,(),,( 2211 yxbyxa

若

),( 2121 yyxx ba则

运算性质2 ),,(),,( Ryxyxa 其中若

).,( yx a则

两个向量和 (差 )的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 (差 )

数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来向量的相应坐标

的坐标

，求已知

ba

bababa

43

,,)4,3(),1,2(

例 4

)5,1(ba

)3,5( ba

)19,6(43 ba

若 A(x1,y1) 、 B(x2,y2),求

0x

y

=(x2,y2)-(x1,y1)

),( 1212 yyxx

),( 1212 yyxx AB所以 P12 xx 12 yy

A )( 1,1 yx

B )( 2,2 yx

例 3 AB

OAOBAB 解 :

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标

2 、说一说：

则若

则若

）设（

ba

ba

yxbyxa

2

),(,),(2 2211

x1=x2 且 y1=y2

x1=2x2 且 y1=2y2

的坐标为则点，若

的坐标为则点，若）已知向量（

AB

BA

AB

),24(

),00(

),1,2(1

（ -2 ，1 ）（ 6 ，1 ）

例 5 已知 ABCD 的顶点 A(-2,1),

B(-1,3),C(3,4), 求顶点 D 的坐标 .

解法 1:设 D点的坐标为 (x,y),由图所示 ,

D点的坐标为 (2,2).

)2,1()13),2(1( AB

)4,3( yxDC

DCAB 由 得)4,3()2,1( yx

y

x

42

31

2

2

y

x x

y

D

O

),( yx

)1,2(A

)3,1(B

)4,3(C

x

y

A

D

C

B

O

解法 2: 由向量的平行四边形法则可知BCBABD

)34),1(3()31),1(2( )1,3(

而 BDOBOD

)2,2(

)1,3()3,1(

），的坐标为（顶点 22D

已知　 ABCD 的顶点 A(-2,1), B(-1,3), 两对角线的交点Ｅ坐标为　　　　　

求顶点 C 和 D 的坐标 .

变式训练

x

y

D

C

)3,1(B

O

),( yx

)2

5,

2

1(

Ｅ

)1,2(A

３、练一练

教材第１００－１０１页相关习题

.

)2244

).2,1(),4,2(),3,1(

d

d、cacb、a

cba

构成四边形，求向量的有向线段首尾相接能

（、若表示向量的

设向量

)6,2(d

４、跳一跳

小结：

通过本节课的学习谈一谈你的收获 .