David Hilbert (1862-1943) fue un matemático que propuso una lista de problemas sin resolver en el Primer Congreso Internacional de Matemáticos de París en 1900. (Originalmente en la conferencia solo nombro 10, pero en su publicación el total fueron 23)

1. Problema de Cantor sobre el cardinal del continuo. ¿Cuál es el cardinal del continuo? Cantor definió un número curioso que es el cardinal del conjunto de números naturales. Denotemos por c el cardinal del conjunto de número reales. La hipótesis del continuo asegura que, para cada subconjunto infinito A de , su cardinal es o es c. En 1938 Kurt Gödel probó, en el marco de los axiomas de Zermelo-Franenkel de la teoría de conjuntos, que la hipótesis del continuo no puede ser rebatida. En 1963, P.J. Cohen demostró que los axiomas de Zermelo-Franenkel no son suficientes para probar la hipótesis del continuo. Se considera no resuelto ya que no hay consenso si esta es la respuesta al problema

2. La compatibilidad de los axiomas de la aritmética. ¿Son compatibles los axiomas de la aritmética? Es decir, partiendo de ellos, un número finito de pasos lógicos, nunca puede conducir a resultados contradictorios. El teorema de Gödel, establece que en cualquier sistema simbólico formal es posible construir una proposición que no se puede probar ni refutar en el mismo sistema. El segundo teorema de incompletitud de Gödel, mostro que no hay prueba de su consistencia puede ser llevado a cabo dentro de la aritmética en sí. Gentzen probó en 1936 que la consistencia de la aritmética se deriva del bien fundado del ordinal ε0. No hay consensó sobre la respuesta.

3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de igual base e igual altura. Este plantea la posibilidad que cualquier poliedro pueda ser diseccionado en piezas y vuelto a reunir formando un cubo del mismo volumen. Hilbert formuló el problema en términos del volumen de una pirámide donde se debe usar un proceso al límite complicado conocido como “la escalera del demonio”. Este proceso puede ser evitado en dos dimensiones. Hilbert se planteaba si de hecho la “escalera del demonio” era necesaria. Creyó que el proceso es necesario y que no todos los poliedros pueden ser diseccionados para formar un cubo. Max Dehn mostró ese mismo año que un tetraedro regular no puede ser descompuesto en un cubo de igual volumen. Se considera resuelto

4. El problema de la distancia más corta entre dos puntos. ¿Es la línea recta la distancia más corta entre dos puntos, sobre cualquier superficie, en cualquier geometría? Específicamente se preguntaba en qué geometrías son las curvas ordinarias son las líneas cortas. A pesar de la aparente simplicidad del problema, es aún una cuestión abierta que involucra los fundamentos de la geometría, el cálculo y la geometría diferencial.

5. ¿Son los grupos continuos de forma automática grupos diferenciales? Se considera que es establecer el concepto de grupo de Lie (nombrado así por Sophus Lie, es una

variedad diferenciable real o compleja que es también un grupo tal que las operaciones de grupo: multiplicación e inversión son funciones analíticas), sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo. Se refiere a la caracterización de los grupos de Lie, que la teoría de los grupos describe la simetría continua en matemáticas; tiene importancia allí y en la física teórica (por ejemplo teoría del Quark. La teoría de grupo de Lie es el terreno común de la teoría de grupo y la teoría de los múltiples topológicos.

La respuesta prevista estaba en la negativa (los grupos clásicos los ejemplos más centrales de la teoría de grupo de Lie, son múltiples lisos). El primer resultado fue de John Von Neumann en 1929, para los grupos compactos. El caso del grupo local abeliano fue solucionados en 1934 por el Lev Pontryagin . La resolución final, por lo menos en esta interpretación, vino con el trabajo Andrew Gleason, Deane Montgomery y Leo Zippin en los años 50.

En 1953, el Hidehiko Yamabe obtuvo la respuesta final al quinto problema de Hilbert: Localmente conectado un grupo compacto G es un límite descriptivo de una secuencia de grupos de Lie, y si G no tiene "subgrupos pequeños ", entonces G es un grupo de Lie.

6. Axiomatización de la física. ¿Es posible crear un cuerpo axiomático para la física? Solo algunas partes de la física se a logrado axiomatizar por ejemplo John von Neumann y otros axiomatizaron la mecánica cuántica, también se axiomatizo a mecánica clásica por Hamel (1903), la termodinámica por Caratheodory (1909), la relatividad especial por Robb (1914) y Caratheodory (1924) independientemente, la teoría de probabilidades: Kolgomorov (1930) y la teoría cuántica de campos por Wightman a finales de los años cincuenta del siglo XX. Aunque Hermann Weyl estableció que “el laberinto de los hechos experimentales que los físico deber tener en cuenta es demasiado variado, su desarrollo demasiado rápido y su aspecto y peso relativo demasiado cambiante para poder encontrar un método axiomático suficientemente firme”. Se considera sin resolver

7. La irracionalidad y trascendencia de ciertos números como e, 2√2, e π etc. ¿Es a b trascendental, siendo a ≠ 0,1 algebraico y b irracional algebraico?¿ En un triángulo isósceles, si la relación entre el ángulo de la base al ángulo en el vértice es algebraico, pero racional, no es entonces la relación entre la base y laterales siempre trascendental?

La primer pregunta fue respondida afirmativamente por Aleksandr Gelfond en 1934, y perfeccionado por Theodor Schneider en 1935. Este resultado se conoce como el teorema de Gelfond o el teorema de Gelfond-Schneider. (La restricción a b irracional es importante, ya que es fácil ver que ab algebraico para a algebraica y racional b.)

Desde el punto de vista de las generalizaciones, este es el caso

blnα + lnβ = 0

De la forma lineal general en logaritmos que fue analizado por Gelfond y resuelto por Alan Baker. Se llamada conjetura Gelfond o teorema de Baker. Baker fue premiado como ganador Medalla Fields en 1970 debido a esto.

La segunda pregunta es una consecuencia de la primera.

8. El problema de la distribución de los números primos (conjetura de Goldbach) y la Hipótesis de Riemann. La segunda establece que los ceros no triviales de la función zeta tienen su parte real igual a ½. Se ha probado que el primer 1.5 billón de ceros de dicha función tiene su parte real igual a ½. A pesar de muchos anuncios de demostración, la hipótesis de Riemann permanece aún sin demostrar.

La Conjetura de Goldbach dice que cada entero par mayor que 2 es un número un número que se puede expresar como la suma de dos números primos. Por ejemplo

4= 2 + 2,

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 7 + 3 o 5 + 5

Esta tampoco a sido resuelta.

9. Demostración de la ley más general de reciprocidad en un cuerpo de números cualesquiera. El problema fue resuelto parcialmente por Emil Artin mediante el establecimiento de la ley de la reciprocidad de Artin que se refiere a las extensiones abelianas de los campos de números algebraicos. Junto con el trabajo de Teiji Takagi y Helmut Hasse (que estableció la ley de reciprocidad más general), esto condujo al desarrollo de la teoría del campo de clase, la realización del programa de Hilbert de una manera abstracta. Ciertas fórmulas explícitas para los residuos de la norma fueron encontradas más tarde por Igor Shafarevich. El caso no abeliano sigue sin resolver

10. Establecer métodos efectivos de resolución de ecuaciones diofánticas. Se pregunta de la existencia de un algoritmo general para decidir sobre la solubilidad de ecuaciones diofánticas, o ecuaciones cuyas soluciones son números enteros. Una ecuación diofántica es de la forma p(x1,x2,….xn)=0

Usando los trabajos de Martin Davis, Hilary Putnam y Julia Robinson, Yuri Matijasevich en 1970 respondió negativamente a esta pregunta. Dando el teorema “Todo conjunto

recursivamente enumerable es diofántico”. El teorema implica que no hay dicho algoritmo.

James Jones encontró un ejemplo que no podía ser solucionado por ningún algoritmo, un sistemas de 18 ecuaciones de grado máximo 560 en 33 variables. En 1972 Carl L. Siegel encontró un algoritmo para ecuaciones de grado 2 y se ha probado que no existe algoritmo para ecuaciones de grado 4.

11. Formas cuadráticas con coeficientes algebraicos cualesquiera. El problema fue planteado diciendo que la actual teoría de los campos de número cuadrática pone en condiciones de atacar con éxito la teoría de formas cuadráticas con cualquier número de variables y con cualquier coeficiente numérico algebraico. Esto conduce, en particular, al problema interesante para resolver una ecuación cuadrática con coeficientes numéricos algebraicos en cualquier número de variables por números enteros o fracciones que pertenecen a la esfera de la racionalidad algebraica determinada por los coeficientes.Se considera Parcialmente resuelto, sobre los números racionales por Helmunt Hasse y sobre los números enteros por Siegel en los años 1930.

12. La extensión del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica. En la teoría algebraica de números, el Teorema de Kronecker-Weber establece que cada extensión abeliana finita del cuerpo de los números racionales , o en otras palabras cada cuerpo de números algebraicos cuyo grupo de Galois sobre sea abeliano, es un subcuerpo de un cuerpo ciclotómico, es decir un cuerpo obtenido al añadir una raíz de la unidad a los números racionales.

El problema de la teoría de números algebraicos es describir los campos de números algebraicos. El trabajo de Galois dejó en claro que las extensiones de campo son controlados por ciertos grupos, los grupos de Galois. La situación más simple, que ya está en el límite de lo que podemos hacer, es cuando el grupo en cuestión es abeliano. Todas las extensiones cuadráticas, obtenida por las raíces cuadradas de una ecuación de segundo grado, son abelianos, y su estudio se inició por Gauss.

Otro tipo de extensión abeliana del campo Q de números racionales está dada por las raíces n-ésimas de la unidad, dando lugar a los campos ciclotómico. Gauss ya había demostrado que, de hecho, todos los campos cuadráticos se encuentra en un campo más amplio ciclotómico. Kronecker y Weber mostraron que, de hecho, cualquier extensión finita abeliana de Q está contenido en un campo ciclotómico convenientemente elegido. La pregunta de Kronecker (y de Hilbert) se refiere a la situación de una más general de campo numérico algebraico K: ¿cuáles son los números algebraicos necesarios para construir todas las extensiones abelianas de K? La respuesta completa a esta cuestión ha sido completamente resuelto sólo cuando K es un campo imaginario cuadrático o su generalización, un campo CM.

Este problema esta sin resolver.

13. Imposibilidad de resolver la ecuación general de séptimo grado por medio de funciones de sólo dos argumentos.Una variante de este problema, buscando una solución dentro del universo de funciones continuas solucionada (negativamente) cerca Andrei Kolmogorov y Vladimir Arnold. No es difícil demostrar que el problema tiene una solución positiva dentro del espacio de las funciones analíticas solo-valoradas (Raudenbush). Algunos autores discuten que Hilbert pensara para una solución dentro del espacio de funciones algebraicas (multi-valued), así continuando su propio trabajo en funciones algebraicas y siendo una pregunta sobre una extensión posible de la teoría de Galois. Aparece a partir del uno de los papeles del Hilbert que ésta era la su intención original para el problema. Como tal, el problema sigue sin resolver.

14. Prueba de la condición finita de ciertos sistemas completos de funciones.

Sean k un cuerpo y X1, . . . ,Xn indeterminadas. El Problema 14 de Hilbert pregunta si, dado un cuerpo F tal que k ⊆ F ⊆ k(X1, . . . ,Xn), la k-´algebra F ∩ k[X1, . . . ,Xn] es necesariamente finitamente generada. Esta problema esta resuelto con resultado negativo, generalmente, debido al contraejemplo hecho cerca Masayoshi Nagata.

15. Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert o geometría algebraica. La división de la pregunta, tal como ahora se entiende, en el cálculo de Schubert y la geometría enumerativa, la primera está fundada sobre la base de la topología de Grassmannianas, y la teoría de intersección. Este último tiene la condición de que no está tan claro, si se aclara con respecto a la posición en 1900.Resuelto parcialmente.

16. Problema de la topología de curvas algebraicas y de superficies. Se trata de describir las posiciones relativas de los óvalos procedentes de una curva algebraica real y los ciclos límite de un campo de vectores polinomial en el plano.Sin resolver

17. La expresión de formas definidas por sumas de cuadrados. Fue resuelto por Emil Artin en 1927 con resultado de que un límite superior fue establecido para el número de los términos cuadrados necesarios

18. Construcción del espacio de los poliedros congruentes.Resuelto por Karl Reinhardt y también por la prueba asistida por ordenador con resultado empaquetamiento compacto cúbico y el empaquetamiento compacto hexagonal, los cuales tienen una densidad de aproximadamente del 74%

19. Las soluciones de los problemas regulares del cálculo de variaciones, ¿son siempre analíticas?Resultado: sí, probado cerca Ennio de Giorgi y, independientemente y con diversos métodos

20. El problema general de condiciones de contorno de Dirichlet.

Un campo de investigación significativo a través del vigésimo siglo, culminando en las soluciones para el caso no lineal.

21. Demostración de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales de clase fachina, conocidos sus puntos singulares y grupo monorrítmico.

Resuelto dependiendo de formulaciones más exactas del problema.

22. Uniformidad de las relaciones analíticas por medio de funciones auto mórficas: siempre es posible uniformizar cualquier relación algebraica entre dos variables por medio de funciones auto morfas de una variable.

Resuelto

23. Extensión de los métodos del cálculo de variaciones.

Resuelto