espacos hilbert

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIADEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXATAS

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMATICA

ESPACOS DE HILBERT

Gislan Silveira Santos

Vitoria da Conquista, BaJulho de 2008

Gislan Silveira Santos

ESPACOS DE HILBERT

Monografia apresentada ao colegiado do curso

de Licenciatura em Matematica da Universidade

Estadual do Sudoeste da Bahia, como parte dos

requisitos para obtencao do Grau de Licenciado

em Matematica.

Orientador: Prof. Antonio Augusto O. Lima.

Vitoria da Conquista, BaJulho de 2008

Em memoria do meu querido pai,

Gileno Messias Santos,

e da minha maravilhosa avo,

Maria Jose dos Santos.

Eternos amigos.

Agradecimentos

Neste momento importante de minha vida, varias pessoas merecem os meus verdadeiros

agradecimentos. Antes de cita-las, peco desculpas por alguns esquecimentos.

• Agradeco a Deus por ter me dado forcas para alcancar os meus objetivos.

• A minha mae, Luzia da Silveira Lopes, que tem contribuıdo com tudo durante toda

minha vida.

• A minha noiva, Arlana Thaıse, a qual tem me apoiado, com muito amor e carinho, em

minhas escolhas.

• Aos meus irmaos, Darlan e Leticia, pelo apoio incondicional durante esta caminhada.

• Aos meus tios e tias, primos e primas, a todos os meus familiares, obrigado pelo apoio.

• A todos os professores do curso de Matematica da UESB responsaveis pela minha

formacao, em especial, aos professores: Benedito Melo Acioly e Wallace Juan Teixeira

Cunha por estarem sempre disponıveis a me ajudar.

• A todos os colegas do curso, especialmente a Luiz, Adson e Bruno Rafael, ou melhor,

“Seu Lunga”, “Um Milhao” e “Carlitos Tevez”, pela amizade e companheirismo.

• A minha amiga, Dani Lora, por me ajudar no ingles durante a realizacao deste trabalho.

• Aos meus amigos Gleyton, Darlan, Moises, Joaquim e Robson, a galera do “sinuca”,

que sempre estiveram comigo em todos os momentos.

• A todos os funcionarios da UESB, em especial aos funcionarios da Biblioteca, do DCE,

do Laboratorio de Matematica e do Colegiado do curso de Matematica, pela paciencia,

gentileza e disposicao.

• Ao meu orientador, Prof. Antonio Augusto Oliveira Lima, o maior responsavel pelos

frutos positivos deste trabalho, agradeco pela disposicao, paciencia e amizade. Uma

pessoa excepcional.

Resumo

Iniciamos com uma introducao basica sobre Algebra Linear e Espacos Metricos, para

dar suporte no entendimento da definicao de Espacos de Hilbert.

Definimos que um Espaco de Hilbert e um espaco vetorial normado completo, em que a

norma provem de um produto interno, ou seja, e um Espaco de Banach proveniente de um

produto interno. Provamos que se F e um subespaco fechado de um espaco de Hilbert H,

entao H = F ⊕ F⊥, ou seja, o espaco de Hilbert H pode ser escrito como soma direta de

um subespaco F com o conjunto de todos os vetores de H ortogonais a F , onde este

conjunto e denominado por F⊥ = {x ∈ H : 〈x, y〉 = 0,∀y ∈ F}. Alem disso, mostramos o

teorema espectral para operadores auto-adjuntos compactos, em que e enunciado da seguinte

maneira: seja A um operador auto-adjunto compacto no espaco de HilbertH. Entao a famılia

de auto-espaco {Hc}, onde c varia sobre todos os autovalores (incluindo 0), e uma decom-

posicao ortogonal de H.

Palavras-chave: Espacos de Hilbert, Bases Ortonormais, Operadores Auto-adjuntos e

Teorema Espectral.

Abstract

We start with a basic introduction about Linear Algebra and Metric Spaces, to give

support for the understanding of the definition of Hilbert Spaces.

We define that a Hilbert Space is a complete normed vector space, in which the norm

comes from an inner product, that is, it is a Banach Space proceeding from an inner product.

We prove that if F is a closed subspace from an Hilbert space H, then H = F ⊕ F⊥,

that is, the Hilbert space H may be written as the direct sum of a subspace F as

a set of all the vectors from H orthogonal to F , where this set is denominated by

F⊥ = {x ∈ H : 〈x, y〉 = 0,∀y ∈ F}. Besides, we show the spectral theorem for compact

self adjoint operators, in which it is enunciated in the following way: let A be a compact

self adjoint operator on the Hilbert space H. Then the family of eigenspaces {Hc}, where c

ranges over all eigenvalues (including 0), is an orthogonal decomposition of H.

Key Words: Hilbert Space, Orthonormal Basis, Self Adjoint Operators and Spectral

Theorem.

Sumario

Introducao 9

1 Breve Historico de David Hilbert 10

2 Topicos de Algebra Linear 13

2.1 Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Subespacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Bases e Dimensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Transformacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Espacos Metricos 19

3.1 Espacos Metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Espacos Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Espacos Vetoriais com Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Sequencias de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.5 Espacos Metricos Completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Espacos de Hilbert 25

4.1 Definicao e exemplos de Espacos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Ortogonalidade e Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 Propriedades dos Espacos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.4 Bases Ortonormais em Espacos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.5 Funcionais e Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.6 Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Consideracoes Finais 41

7

8

Referencias Bibliograficas 42

Introducao

O objetivo principal deste trabalho e apresentar, de uma “maneira simples”, a definicao

de Espacos de Hilbert e algumas de suas propriedades. Com intuito de servir como um

“auxılio”para um estudo de iniciacao em analise funcional.

No Capıtulo 1, sera apresentado um breve historico da vida e obra do matematico

David Hilbert, mostrando seus principais trabalhos e suas contribuicoes para o avanco da

matematica.

No Capıtulo 2, mostraremos conceitos basicos da Algebra Linear, com uma abordagem

proxima de [2] e [4]. Tais assuntos mencionados neste capıtulo, servirao como pre-requisitos

para o entendimento do restante do texto.

O Capıtulo 3 e dedicado ao estudo geral de Espacos Metricos. Veremos as definicoes

de espacos vetoriais normados, espacos com produto interno, sequencia de Cauchy, espacos

metricos completos e uma nocao de espaco de Banach. Este capıtulo esta baseado em [10] e

alguns livros de analise citados nas referencias.

O tema central deste trabalho se encontra no Capıtulo 4, em que consiste em definir

Espacos de Hilbert e mostrar algumas propriedades e aplicacoes destes espacos. Alem disso,

sera demonstrado alguns teoremas importantes, como o Teorema da representacao de Riesz

e o Teorema espectral para operadores auto-adjuntos compactos. A fundamentacao deste

capıtulo pode ser encontrada em [3], [8], [9], [11] e [12].

9

Capıtulo 1

Breve Historico de David Hilbert

David Hilbert nasceu no dia 23 de Janeiro de 1862, em Konigsberg, na Prussia Oriental,

(atual Kaliningrado, na Russia) cidade em que surgiu o problema das sete pontes, resolvido

por Leonhard Euler, em 1736. Hilbert recebeu seu Ph.D. na Universidade de Konigsberg em

1885 e lecionou, na mesma, no perıodo de 1886 ate 1894. Em 1895 tornou-se professor da

Universidade de Gottigen, na Alemanha, onde permaneceu ate sua aposentadoria em 1930.

No dia 14 de Fevereiro de 1943, faleceu na cidade de Gottigen.

Hilbert e considerado como um dos maiores matematicos do seculo XX. Realmente, foi

um matematico talentoso, contribuindo nas diversas areas da matematica.

Segue abaixo algumas de suas contribuicoes:

• Teoria dos Invariantes (1885-1892);

• Teoria dos numeros algebricos (1893-1899);

• Fundamentos da Geometria (1898-1899);

• Problema de Dirichlet e o calculo de variacoes (1900-1905);

• Equacoes Integrais, incluindo a teoria espectral e o conceito de espaco de Hilbert (ate

1912).

Talvez nenhuma contribuicao a um Congresso Internacional seja tao famoso quanto a

que Hilbert propos, no Congresso Internacional de Matematica em Paris no mes de agosto do

ano de 1900. Consistia numa lista de 23 problemas, dos quais alguns nao foram resolvidos

ate hoje, o que resultou um grande enriquecimento para a matematica com o trabalho

subsequente de resolve-los.

Os 23 problemas de Hilbert sao:

1. Provar a hipotese do continuum (HC) de Cantor;

10

11

2. Demonstrar a consistencia dos axiomas da aritmetica;

3. Pode-se provar que dois tetraedros tem o mesmo volume (sob certas condicoes)?

4. Construir todos os espacos metricos em que as linhas sao geodesicas;

5. Todo grupo contınuo e automaticamente um grupo diferencial?

6. Transformar toda a Fısica em axiomas;

7. O numero αβ, onde α e algebrico (6= 0 e 6= 1) e β e irracional e algebrico, e transcen-

dente?

8. A Hipotese de Riemann e a Conjectura de Goldbach;

9. Achar a lei de reciprocidade mais geral em todo campo de numero algebrico;

10. Encontrar um algoritmo que determine se uma equacao diofantina tem solucao;

11. Classificar as formas quadraticas a coeficientes nos aneis algebricos inteiros;

12. Estender o teorema de Kroneker para os corpos nao abelianos;

13. Demonstrar a impossibilidade de resolver equacoes de setimo grau atraves de funcoes

de somente duas variaveis;

14. Provar o caracter finito de certos sistemas completos de funcoes;

15. Desenvolver bases solidas para o calculo enumerativo de Schubert;

16. Desenvolver uma topologia de curvas e superfıcies algebricas;

17. Demonstrar que uma funcao racional positiva pode ser escrita sob a forma de soma de

quadrados de funcoes racionais;

18. Construir um espaco Euclidiano com poliedros congruentes. Qual a maneira mais densa

de se empacotarem esferas?

19. Provar que o calculo de variacoes e sempre necessariamente analıtico;

20. Todos os problemas variacionais com certas condicoes de contorno tem solucao?

21. Prova da existencia de equacoes diferenciais lineares tendo um determinado grupo

monodromico;

22. Uniformizar as curvas analıticas atraves de funcoes automorfas;

23. Desenvolver um metodo geral de resolucao no calculo de variacoes.

12

O nome de Hilbert e mais conhecido dos estudantes sobretudo nos seus famosos espacos

de Hilbert, que entre 1909 e 1912 comecou a introduzir durante seus trabalhos em analise

sobre as equacoes integrais. Mas foi J. Von Neumann quem, por volta de 1930, introduziu a

definicao abstrata de espacos de Hilbert, a qual foi necessaria na formulacao matematica da

Mecanica Quantica que acabara de surgir.

Capıtulo 2

Topicos de Algebra Linear

O objetivo deste capıtulo e revisar algumas nocoes basicas da Algebra Linear (espacos vetoriais,subespacos, bases, dimensao, tranformacoes lineares, etc), que vamos precisar no decorrer destetrabalho.

2.1 Espacos Vetoriais

O corpo R ou o corpo C serao denotados por K.

2.1.1 Definicao. Um conjunto nao-vazio V e um espaco vetorial sobre o corpo K (deno-

tamos tambem como K-espaco vetorial) se seus elementos (chamados vetores) podem ser

somados e multiplicados por escalares (elementos do corpo). Ou seja, dizemos que V e um

espaco vetorial sobre o corpo K se estiverem definidas as seguintes duas operacoes:

( + ) : V × V −→ V

(u, v) 7−→ u+ v

( . ) : K× V −→ V

(k, v) 7−→ k.v

tal que ∀u, v, w ∈ V e ∀α, β ∈ K temos as seguintes propriedades:

(A1) u+ v = v + u (comutativa)

(A2) (u+ v) + w = u+ (v + w) (associativa)

(A3) ∃0 ∈ V tal que 0 + u = u (vetor nulo)

(A4) ∀u ∈ V, ∃ − u ∈ V tal que u+ (−u) = 0 (vetor oposto)

(P5) (α.β).v = α.(β.v) (associativa)

(P6) 1.v = v (1 e o elemento identidade de K)

(P7) α.(u+ v) = α.u+ α.v (distributiva)

13

14

(P8) (α+ β).v = α.v + β.v (distributiva)

Denotaremos u+ (−v) simplesmente por u− v.

Vejamos abaixo alguns exemplos de espacos vetoriais.

Exemplo 2.1. O conjunto Kn = {(x1, x2, . . . , xn)| xi ∈ K (i = 1, 2, . . . , n)} com as definicoes

usuais de adicao e multiplicacao por escalar e um espaco vetorial.

Exemplo 2.2. O Rn com as operacoes:

(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

k.(x1, x2, . . . , xn) = (k.x1, k.x2, . . . , k.xn)

e um espaco vetorial pelo exemplo acima.

Exemplo 2.3. O conjunto das matrizes reais de ordem m× n, com as operacoes usuais e um

espaco vetorial, tal que o elemento neutro da adicao e a matriz nula.

Exemplo 2.4. O conjunto dos polinomios, com coeficientes reais, de grau menor ou igual a

n, com as operacoes abaixo:

p(x) + q(x) = (ax + bn)xn + . . .+ (a1 + b1)x+ (a0 + b0)

k.p(x) = kanxn + . . .+ ka1x+ ka0

e um espaco vetorial, onde p(x) = anxn + . . . + a1x + a0 e um elemento deste espaco e o

polinomio 0xn + . . .+ 0x+ 0 e o elemento neutro da adicao.

Exemplo 2.5. Sejam um conjunto qualquer X 6= ∅ e F(X, K) o conjunto de todas as funcoes

f : X −→ K. Defina as seguintes operacoes em F(X, K):

• para f, g ∈ F(X, K), defina a funcao f+g : X −→ K dada por (f+g)(x) = f(x)+g(x)

para cada x ∈ X.

• para f ∈ F(X, K) e α ∈ K, defina a funcao α.f : X −→ K dada por (α.f)(x) = α.f(x)

para cada x ∈ X.

Com estas operacoes, o conjunto F(X, K) e um espaco vetorial sobre K, onde a funcao nula

e o vetor nulo desse espaco. Este conjunto e denominado espaco de funcoes.

15

2.2 Subespacos

2.2.1 Definicao. Seja V um espaco vetorial sobre K. Seja um subconjunto W 6= ∅ de V .

Dizemos que W e subespaco vetorial de V se e somente se sao validas as seguintes condicoes:

(i) 0 ∈ W ;

(ii) se u, v ∈ W entao u+ v ∈ W ;

(iii) se λ ∈ K e v ∈ W entao λ.v ∈ W .

A restricao das operacoes de V a W torna esse subconjunto um K-espaco vetorial.

Todo espaco vetorial V admite pelo menos dois subespacos: o poprio espaco V e o

conjunto {0V }, chamado subespaco nulo. Estes dois subespacos sao denominados subespacos

triviais ou improprios de V . Os demais subespacos de V sao chamados de subespacos proprios

de V .

2.2.2 Definicao. Sejam W1 e W2 dois subespacos vetoriais de um espaco vetorial V . Dize-

mos que a soma W1 +W2 e direta se W1 ∩W2 = {0} e, neste caso, escrevemos W1 ⊕W2.

2.2.3 Definicao. Seja V um K-espaco vetorial e sejam W1, W2 subespacos de V . Dizemos

que V e a soma direta de W1 e W2 se V = W1 ⊕W2.

2.2.4 Proposicao. Seja V = W1 ⊕W2 um K-espaco vetorial. Entao todo elemento v ∈ V

se escreve de maneira unica como uma soma v = w1 + w2 com w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2.

Demonstracao: Veja a demonstracao em [4]. �

2.3 Bases e Dimensao

Nesta secao vamos discutir um dos conceitos mais importantes envolvendo a estrutura

de espaco vetorial. Antes de definir o conceito de base, iremos definir os seguintes conceitos:

combinacao linear, conjunto gerador, independencia linear e dependencia linear. A partir do

conceito de base definiremos dimensao.

2.3.1 Definicao. Seja V um espaco vetorial sobre K.

(i) Um vetor v ∈ V e uma combinacao linear dos vetores v1, . . . , vn ∈ V se existirem escalares

α1, . . . , αn ∈ K tais que:

16

v = α1.v1 + . . .+ αn.vn =n∑

i=1

αi.vi.

(ii) Seja B um subconjunto de V . Dizemos que B e um conjunto gerador de V (ou que B

gera V) se, para todo v ∈ V , existirem (finitos) elementos v1, . . . , vn ∈ B e escalares

α1, . . . , αn ∈ K tais que v = α1.v1 + . . .+ αn.vn. Denotamos por [B] = V .

2.3.2 Definicao. Sejam V um K-espaco vetorial e B um subconjunto de V .

(i) Dizemos que B e linearmente independente (L.I.) se α1.v1 + . . .+αn.vn = 0, para vi ∈ B

e αi ∈ K, i = 1, . . . , n, implica que α1 = . . . = αn = 0 e a unica solucao.

(ii) O conjunto B e linearmente dependente (L.D.) se nao for L.I., ou seja, existe αi ∈ K∗,

i = 1, . . . , n, tal que α1.v1 + . . .+ αn.vn = 0.

2.3.3 Definicao. Seja V um K-espaco vetorial. Dizemos que um conjunto B ⊂ V e uma

base de V se sao validas as condicoes seguintes:

(i) B gera V ([B] = V );

(ii) B for L.I.

2.3.4 Definicao. Um espaco vetorial V e de dimensao finita se e somente se V possui uma

base finita. Ou seja, o numero n de elementos de uma base finita de V chama-se dimensao

de V, onde denotaremos por dim(V ). Caso contrario, dizemos que V tem dimensao infinita.

Exemplo 2.6. Em R2, B = {(1, 0) , (0, 1)} e uma base de R2, tambem chamada de base

canonica do espaco R2. Como esta base possui dois elementos, entao dim(R2) = 2.

Em geral, dim(Rn) = n. Uma base para o Rn pode ser a base canonica B = {e1, e2, . . . , en},

onde e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0),. . . , en = (0, 0, 0, . . . , 1).

Exemplo 2.7. Exemplos de dimensao:

(a) dim(Kn) = n (Kn e um K-espaco vetorial).

(b) dim(Cn) = n, quando Cn e um C-espaco e dim(Cn) = 2n, quando for um R-espaco.

(c) dim(Mm×n(C)) = m.n, quando Mm×n(C) e um C-espaco e dim(Mm×n(C)) = 2.m.n,

quando for um R-espaco.

17

(d) dim(Pm(K)) = m+ 1 (Pm(K) e um K-espaco vetorial).

2.3.5 Proposicao. Sejam V um espaco vetorial e U e W dois subespacos vetoriais de V,

ambos de dimensao finita. Entao

dim(U +W ) = dimU + dimW − dim(U ∩W ).

Demonstracao: A demonstracao pode ser encontrada em [4]. �

2.4 Transformacoes Lineares

2.4.1 Definicao. Sejam U e V K-espacos vetoriais. Uma aplicacao T : U −→ V e uma

transformacao linear se sao validas as condicoes:

(i) T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2), ∀u1, u2 ∈ U ;

(ii) T (λ.u) = λ.T (u), ∀λ ∈ K e ∀u ∈ U .

2.4.2 Proposicao. Sejam U e V K-espacos vetoriais. Entao uma aplicacao T : U −→ V

e uma transformacao linear se e somente se

T (λ.u1 + u2) = λ.T (u1) + T (u2),∀u1, u2 ∈ U, ∀λ ∈ K.

Demonstracao: Deixada a cargo do leitor. �

Observacao 2.1. Sejam U e V K-espacos vetoriais. Seja T : U −→ V uma transformacao

linear.

1. Se W e um subespaco vetorial de U , entao a imagem de W por T e um subespaco de

V ;

2. Se U = V entao T e chamado de operador linear;

3. Se V = K entao T e chamado de funcional linear;

4. Se T for uma bijecao, dizemos que T e um isomorfismo e que os espacos U e V sao

isomorfos;

5. Se T e bijetiva e U = V entao T e chamado de automorfismo.

18

2.4.3 Definicao. Seja T : U −→ V uma transformacao linear. Definimos a imagem de T

(denotada por Im(T )) por

Im(T ) = {v ∈ V ;T (u) = v, u ∈ U}.

Definimos o nucleo de T (denotado por ker(T )) por

ker(T ) = {u ∈ U ;T (u) = 0}.

2.4.4 Proposicao. Sejam U e V espacos vetoriais sobre o corpo K e T : U −→ V uma

transformacao linear. Entao

(i) ker(T ) e um subespaco de U e a Im(T) e um subespaco de V;

(ii) T e injetiva se e somente se ker(T ) = {0}.


2.4.5 Teorema (do Nucleo e da Imagem). Sejam U e V espacos vetoriais sobre o corpo

K e T : U −→ V uma transformacao linear. Entao

dim U = dim ker(T ) + dim Im(T ).

Demonstracao: Veja a demonstracao em [2] ou [4]. �

2.4.6 Corolario. Sejam U e V espacos vetoriais de mesma dimensao. Seja T : U −→ V

uma transformacao linear. Entao as seguintes afirmacoes sao equivalentes:

1. T e sobrejetiva;

2. T e injetiva;

3. T e bijetiva;

4. T leva base em base, ou seja, se B e uma base de U entao T(B) e base de V.


Capıtulo 3

Espacos Metricos

O objetivo deste capıtulo e apresentar as definicoes de espacos metricos, espacos vetoriaisnormados, espacos vetoriais com produto interno e espacos metricos completos, para ser utilizadosno proximo capıtulo, com o intuito de definir e mostrar alguns exemplos de Espacos de Hilbert.

3.1 Espacos Metricos

3.1.1 Definicao. Uma metrica num conjunto M e uma funcao d : M ×M −→ R, que

associa a cada par de elementos x, y ∈M um numero real d(x, y), chamado a distancia de x

a y, tal que ∀x, y, z ∈M , as seguintes condicoes sao satisfeitas:

(D1) d(x, y) = 0 ⇐⇒ y = x

(D2) d(x, y) > 0 se x 6= y

(D3) d(x, y) = d(y, x)

(D4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdade triangular)

3.1.2 Definicao. Um par (M,d) diz-se um espaco metrico, se d for uma metrica (tambem

conhecida como funcao distancia) em M , onde M e um conjunto.

Vejamos abaixo alguns exemplos de espacos metricos.

Exemplo 3.1. O conjunto R dos numeros reais, com a metrica definida por d(x, y) = | x−y |

para x, y ∈ R, e um espaco metrico. Esta metrica tambem e chamada de metrica usual da

reta.

Exemplo 3.2. Em Rn, dados x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn), ha tres maneiras naturais

de se definir a distancia de x a y neste espaco. Para x, y ∈ Rn, escreveremos:

19

20

d1(x, y) =√

(x1 − y1)2 + . . .+ (xn − yn)2 =

[n∑

i=1

(xi − yi)2

]1/2

d2(x, y) = | x1 − y1 |+ . . .+ | xn − yn | =n∑

i=1

| xi − yi |

d3(x, y) = max {| x1 − y1 | , . . . , | xn − yn |} = max1≤i≤n

| xi − yi |

As funcoes d1, d2, d3 : Rn × Rn −→ R sao metricas. Com isto o Rn e um espaco metrico.

Exemplo 3.3. A metrica “zero-um”, definida por d : M ×M −→ R pondo

d(x, y) =

0, se x = y

1, se x 6= y

O espaco metrico (M,d) que se obtem desta maneira e util para contra-exemplos. Este

espaco e tambem chamado de espaco metrico discreto.

3.2 Espacos Vetoriais Normados

3.2.1 Definicao. Seja E um K-espaco vetorial. Uma norma em E e uma aplicacao

‖ ‖ : E −→ K

x 7−→ ‖ x ‖

chamado a norma de x, tal que ∀x, y ∈ E e ∀λ ∈ K, satisfaz as seguintes condicoes:

(N1) ‖ x ‖ ≥ 0 e ‖ x ‖ = 0 ⇐⇒ x = 0

(N2) ‖ λ.x ‖ = | λ | . ‖ x ‖

(N3) ‖ x+ y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ (desigualdade triangular)

3.2.2 Definicao. Um espaco vetorial normado e um par (E, ‖ ‖), onde E e um K-espaco

vetorial e ‖ ‖ e uma norma em E.

Em vez de usarmos (E, ‖ ‖) para designar espaco vetorial normado, usaremos apenas

E, deixando a norma subtendida.

3.2.3 Proposicao. Todo espaco vetorial normado e metrico.

Demonstracao: De fato, todo espaco vetorial normado E possui uma metrica natural,

definida a partir da norma, dada por d(x, y) = ‖ x− y ‖. Com isso, verifica-se facilmente as

condicoes (D1), (D2), (D3) e (D4) de espacos metricos. �

21

A metrica d(x, y) = ‖ x− y ‖ diz-se proveniente da norma ‖ ‖.

Exemplo 3.4. Em Rn as metricas d1, d2 e d3 sao provenientes das normas ‖ ‖1 , ‖ ‖2 e

‖ ‖3, respectivamente, onde estas normas, para x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, sao definidas da

seguinte maneira:

‖ x ‖1 =√

(x1)2 + . . .+ (xn)2 =

√n∑

i=1

(xi)2

‖ x ‖2 = | x1 | + . . . + | xn | =n∑

i=1

| xi |

‖ x ‖3 = max {| x1 | , . . . , | xn |} = max1≤i≤n

| xi |

3.3 Espacos Vetoriais com Produto Interno

Nesta secao iremos definir produto interno. Pois no Capıtulo 4, precisaremos desta

definicao para comercarmos a trabalhar com os Espacos de Hilbert.

3.3.1 Definicao. Seja E um K-espaco vetorial, onde K = R ou K = C. Um produto

interno em E e uma aplicacao 〈 , 〉 : E × E −→ K satisfazendo as seguintes propriedades:

(P1) 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉 ,∀x, y, z ∈ E

(P2) 〈λ.x, y〉 = λ.〈x, y〉 ,∀λ ∈ K,∀x, y ∈ E

(P3) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 ,∀x, y ∈ E

(P4) 〈x, x〉 > 0, se x 6= 0

Se E for um espaco vetorial sobre os complexos, entao E e o seu produto interno tambem

sao chamados, respectivamente, de espaco hermitiano e produto hermitiano.

A partir do produto interno, podemos definir a norma de um vetor x ∈ E como sendo

‖ x ‖=√〈x, x〉, isto e, ‖ x ‖2= 〈x, x〉. As condicoes (N1) e (N2) sao obviamentes satisfeitas.

Enquanto que a condicao (N3) decorre da chamada

Desigualdade de Cauchy-Schwarz: | 〈x, y〉 | ≤ ‖ x ‖ . ‖ y ‖

Exemplo 3.5. O Rn e o exemplo mais natural de espaco vetorial com produto interno. Onde

e definido por

〈x, y〉 = x1y1 + . . .+ xnyn =n∑

i=1

xiyi, onde x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn).

22

As propriedades do produto interno sao claramente satisfeitas. Este produto tambem e

conhecido como produto canonico ou produto escalar. A norma ‖ x ‖=√

n∑i=1

(xi)2 provem

deste produto interno.

No capıtulo 4, mostraremos maiores detalhes sobre espacos com produto interno, que

tambem sao conhecidos como espacos pre-Hilbertianos.

3.4 Sequencias de Cauchy

Antes de definirmos o que e uma sequencia de Cauchy, vamos definir como sao as

sequencias num espaco metrico.

3.4.1 Definicao. Seja M um espaco metrico. Uma sequencia em M e uma aplicacao

x : N −→M , definida no conjunto N = {1, 2, . . . , n, . . .}.

Denotamos por xn, em vez de x(n), o valor que a sequencia x assume no numero n ∈ N, e

chamamos este numero de o n-esimo termo da sequencia. A notacao (xn) sera a representacao

de uma sequencia.

3.4.2 Definicao. Seja (xn) uma sequencia num espaco metrico M . Diz-se que o ponto

a ∈M e limite da sequencia (xn) quando, ∀ε > 0,∃n0 ∈ N tal que n > n0 =⇒ d(xn, a) < ε.

Neste caso, dizemos que (xn) e convergente emM e indicamos como limxn = a ou xn −→ a.

Se nao existe limxn em M , entao dizemos que a sequencia e divergente em M .

3.4.3 Definicao. Uma sequencia (xn) no espaco metrico M chama-se limitada quando

∃k > 0 tal que d(xm, xn) ≤ k para quaisquer m,n ∈ N.

3.4.4 Proposicao. Toda sequencia convergente e limitada.


3.4.5 Proposicao (Unicidade do limite). Uma sequencia nao pode convergir para dois

limites diferentes.


3.4.6 Definicao. Seja M um espaco metrico. Uma sequencia (xn) em M chama-se uma

sequencia de Cauchy quando,

∀ε > 0 dado, ∃n0 ∈ N tal que m,n > n0 =⇒ d(xm, xn) < ε.

23

3.4.7 Proposicao. Toda sequencia convergente e de Cauchy.

Demonstracao: Se limxn = a no espaco metrico M entao, dado ε > 0,∃n0 ∈ N tal que

n > n0 =⇒ d(xn, a) < ε/2. Se tomarmos m,n > n0 teremos

d(xm, xn) ≤ d(xm, a) + d(xn, a) <ε

2+ε

2= ε.

Logo, (xn) e de Cauchy. �

3.4.8 Proposicao. Toda sequencia de Cauchy e limitada.

Demonstracao: Seja (xn) uma sequencia de Cauchy no espaco metrico M . Dado

ε = 1,∃n0 ∈ N tal que m,n > n0 =⇒ d(xm, xn) < 1. Logo o conjunto {xn0+1, xn0+2, . . .} e

limitado e tem diametro ≤ 1. Segue-se que

{x1, x2, . . . , xn, . . .} = {x1, . . . , xn0} ∪ {xn0+1, xn0+2, . . .}

e limitado. �

Observacao 3.1. 1. Nem toda sequencia de Cauchy e convergente. Pois, tomemos uma

sequencia de numeros racionais xn convergindo para um numero irracional a. (Por

exemplo, x1 = 1, x2 = 1, 4, x3 = 1, 41, x4 = 1, 414 . . . , com limxn =√

2). Sendo

convergente em R, segue-se da Proposicao 3.4.7 que (xn) e uma sequencia de Cauchy

no espaco metrico Q dos numeros racionais. Mas (xn) nao e convergente em Q.

2. Nem toda sequencia limitada e de Cauchy. Por exemplo: (1, 0, 1, 0, . . .) na reta, embora

limitada, nao e de Cauchy pois d(xn, xn+1) = 1,∀n.

3.5 Espacos Metricos Completos

3.5.1 Definicao. Um espaco metrico, M , diz-se completo se toda sequencia de Cauchy em

M for convergente.

Exemplo 3.6. A reta e um espaco metrico completo.

Exemplo 3.7. O Rn e um espaco metrico completo.

3.5.2 Definicao. Um espaco de Banach e um espaco vetorial normado completo.

Exemplo 3.8. O Rn e um espaco de Banach.

24

Exemplo 3.9. Sao tambem espacos de Banach: B(X;F ), C0(M ;F ) e L(E;F ), em que

B(X;F ) e o conjunto das funcoes limitadas f : X −→ F ,

C0(M ;F ) e o conjunto das funcoes contınuas e limitadas f : M −→ F e

L(E;F ) e o conjunto das transformacoes lineares contınuas T : E −→ F .

Onde X e um conjunto qualquer, M um espaco metrico, E um espaco vetorial e F um espaco

de Banach.

Capıtulo 4

Espacos de Hilbert

Neste capıtulo iremos apresentar a definicao de espaco de Hilbert e suas propriedades basicas.Mostraremos conceitos importantes de espaco com produto interno e alguns exemplos de espacosde Hilbert. No final, vamos demonstrar o Teorema Espectral para operadores auto-adjuntoscompactos.

4.1 Definicao e exemplos de Espacos de Hilbert

4.1.1 Definicao. Um espaco de Hilbert e um espaco vetorial normado completo tal que a

norma e definida a partir de um produto interno neste espaco, ou seja, um espaco de Hilbert

e um espaco de Banach munido de um produto interno. No decorrer do capıtulo as notacoes

H,H1,H2, . . . , sempre denotarao espacos de Hilbert.

Exemplo 4.1. O Rn com o produto interno 〈x, y〉 =n∑

i=1

xi.yi e um espaco de Hilbert.

Exemplo 4.2. Um dos exemplos importante de espaco de Hilbert e o espaco das sequencias

de quadrados somaveis, ou espaco l2. Este espaco e constituıdo por todas as sequencias

x = (x1, . . . , xi, . . .) de numeros reais ou complexos tais que∞∑i=1

x2i < +∞.

Dado x ∈ l2, escreveremos ‖ x ‖ =

√ ∞∑i=1

x2i . Assim e facil ver que l2 e um espaco de

Hilbert.

Antes de prosseguirmos com o tema deste capıtulo, a partir deste momento, vamos

retomar aos espacos com produto interno (ou pre-Hilbertianos) para apresentar os seguintes

conceitos: ortogonalidade, teorema de Pitagoras, lei do paralelogramo e bases ortonormais.

Depois de mostrarmos tais conceitos, podemos continuar a apresentacao dos exemplos

de espacos de Hilbert e suas propriedades.

25

26

4.2 Ortogonalidade e Bases Ortonormais

4.2.1 Definicao. Sejam v, w ∈ E, onde E e um espaco com produto interno. Dizemos que

v e w sao ortogonais (ou perpendiculares) se 〈v, w〉 = 0. O sımbolo v ⊥ w indicara que

esses vetores sao ortogonais. Se F, S sao subconjuntos de E, entao F ⊥ S indica que v ⊥ w

sempre que v ∈ F e w ∈ S. Alem disso, se F e S forem subespacos, diz-se que eles sao

ortogonais. Denota-se por S⊥ o conjunto de todos os vetores de E ortogonais a S, ou seja,

S⊥ = {v ∈ E : 〈v, w〉 = 0,∀w ∈ S}.

4.2.2 Proposicao. Num espaco com produto interno, v ⊥ w se, e somente se,

‖ v + tw ‖ ≥ ‖ v ‖, ∀ t ∈ K.


4.2.3 Definicao. Seja E um espaco com produto interno. Dizemos que um subconjunto

X ⊂ E e ortonormal se for um conjunto ortogonal e ∀u ∈ X, u e unitario1.

Observacao 4.1. Se X = {u1, . . . , un} ⊂ E e um conjunto ortogonal com uj 6= 0, para

j = 1, . . . , n, entao

{u1

‖ u1 ‖, . . . ,

un

‖ un ‖

}e um conjunto ortonormal.

4.2.4 Definicao. Seja E um espaco com produto interno de dimensao n. Se {u1, . . . , un}

formam um conjunto ortonormal, entao diremos que {u1, . . . , un} formam uma base ortonor-

mal de E.

Num espaco com produto interno, temos duas identidades uteis, chamadas: o Teorema

de Pitagoras e a Lei do Paralelogramo. Veja abaixo tais identidades:

4.2.5 Teorema (de Pitagoras). Sejam u,w ∈ E, onde E e um espaco com produto

interno e ‖ u ‖ =√〈u, u〉. Se u ⊥ w, entao ‖ u+ w ‖2 = ‖ u ‖2 + ‖ w ‖2.

Demonstracao: Basta desenvolver ‖ u+ w ‖2:

‖ u+ w ‖2 = 〈u+ w, u+ w〉 = 〈u, u〉+ 〈u,w〉+ 〈w, u〉+ 〈w,w〉 = ‖ u ‖2 + ‖ w ‖2,

pois u e w sao ortogonais. �

4.2.6 Proposicao (Lei do Paralelogramo). Em todo espaco com produto interno vale

a lei do paralelogramo: ‖ u+ w ‖2 + ‖ u− w ‖2 = 2 (‖ u ‖2 + ‖ w ‖2).

1Um vetor u diz-se unitario, se ‖ u ‖ = 1.

27

Demonstracao: Basta desenvolver ‖ u+ w ‖2 + ‖ u− w ‖2:

‖ u+ w ‖2 + ‖ u− w ‖2 = 〈u+ w, u+ w〉+ 〈u− w, u− w〉

= 〈u, u〉+ 〈w,w〉+ 2〈u,w〉+ 〈u, u〉+ 〈w,w〉 − 2〈u,w〉

= 2〈u, u〉+ 2〈w,w〉

= 2 (‖ u ‖2 + ‖ w ‖2). �

4.2.7 Definicao. Seja E um espaco com produto interno. Seja {vi}i∈I uma famılia dos

elementos de E tais que ‖ vi ‖ 6= 0, ∀ i. Para cada subfamılia finita de {vi}i∈I , podemos

tomar o espaco gerado por esta subfamılia, isto e, combinacoes lineares

c1vi1 + c2vi2 + c3vi3 + . . .+ cnvin , com coeficientes complexos ci.

A uniao de todos tais espacos e chamado o espaco gerado pela famılia {vi}i∈I .

4.2.8 Definicao. Sejam E um espaco com produto interno e F o espaco gerado pela famılia

{vi}i∈I . Dizemos que a famılia {vi} e total em E se o fecho2 de F e igual a todo E, ou seja,

F = E.

4.2.9 Definicao. Dizemos que a famılia {vi} e uma famılia ortogonal, se seus elementos

sao mutuamente perpendiculares, em que 〈vi, vj〉 = 0 se i 6= j, e se alem disso ‖ vi ‖ 6= 0 ∀ i.

E chamamos de famılia ortonormal quando for ortogonal e ‖ vi ‖ = 1, ∀ i.

4.2.10 Proposicao. Seja {vi} uma famılia ortogonal em E. Seja x ∈ E e seja ci o

coeficiente de Fourier3 de x com respeito a vi. Seja {ai} uma famılia de numeros (reais ou

complexos). Entao wwwwwx−n∑

k=1

ck.vk

wwwww ≤

wwwwwx−n∑

k=1

ak.vk

wwwww.

Demonstracao: Sabemos que x −n∑

k=1

ck.vk e ortogonal a cada um vi, i = 1, . . . , n.

2O fecho de um conjunto X num espaco metrico M , e o conjunto X dos pontos de M que sao aderentes a

X. Dizemos que um ponto a e aderente a um subconjunto X de um espaco metrico M quando d(a,X) = 0.3Seja w ∈ E tal que ‖ w ‖ 6= 0, e seja v ∈ E. Existe um unico numero c tal que v − cw ⊥ w. Ou seja,

〈v − cw,w〉 = 0 ⇒ c〈w,w〉 = 〈v, w〉 ⇒ c =〈v, w〉〈w,w〉

. Este valor c e chamado de coeficiente de Fourier de v

com respeito a w.

28

Portanto por 4.2.5 (Teorema de Pitagoras), temos:wwwwwx−n∑

k=1

ak.vk

wwwww2

=

wwwwwx−n∑

k=1

ck.vk +n∑

k=1

(ck − ak)vk

wwwww2

=

wwwwwx−n∑

k=1

ck.vk

wwwww2

+

wwwwwn∑

k=1

(ck − ak)vk

wwwww2

.

Isto prova a desigualdade desejada. �

4.3 Propriedades dos Espacos de Hilbert

A finalidade desta secao e apresentar proposicoes e teoremas nos espacos de Hilbert, em

que vamos peceber algumas aplicacoes de conceitos que foram (ou serao) introduzidos.

Antes de apresentarmos a primeira proposicao deste topico, iremos mostrar o seguinte

lema:

4.3.1 Lema. Seja H um espaco de Hilbert e F um subespaco fechado de H. Seja x ∈ H e

a = infy∈F

‖ x− y ‖. Entao existe um elemento y0 ∈ F tal que a = ‖ x− y0 ‖.

Demonstracao: Seja (yn) uma sequencia em F tal que ‖ yn−x ‖ tende para a. Devemos

mostrar que (yn) e uma sequencia de Cauchy. Por 4.2.6 (Lei do Paralelogramo), temos:

‖ yn − ym ‖2 = 2 ‖ yn − x ‖2 + 2 ‖ ym − x ‖2 − 4

wwww1

2(yn + ym)− x

wwww2

≤ 2 ‖ yn − x ‖2 + 2 ‖ ym − x ‖2 − 4a2.

Isto e valido pois, por hipotese, a = infy∈F

‖ x − y ‖. Portanto, isto mostra que (yn) e de

Cauchy, e assim converge para algum vetor y0. O lema segue pela continuidade. �

4.3.2 Proposicao. Seja F um subespaco fechado do espaco de Hilbert H e suponha F 6= H.

Entao existe um elemento z ∈ H, z 6= 0, tal que z e perpendicular a F .

Demonstracao: Seja x ∈ H e x 6∈ F . Seja y0 ∈ F na mınima distancia de x (Pelo

Lema 4.3.1) e seja a esta distancia. Se z = x − y0, entao z 6= 0 desde que F e fechado.

Para todo y ∈ F , y 6= 0 e um α complexo, temos:

‖ x− y0 ‖2 ≤ ‖ x− y0 + αy ‖2,

em que, expandindo,

0 ≤ α〈y, z〉+ α〈z, y〉+ αα〈y, y〉.

29

Pondo α = t〈z, y〉, onde R 3 t 6= 0. Podemos entao dividir por t e chegarmos a uma

contradicao para t pequeno se y, z 6= 0. Isto prova a proposicao. �

4.3.3 Teorema. Se F e um subespaco fechado de um espaco de Hilbert H, entao

H = F ⊕ F⊥.

Demonstracao: Sejam x ∈ H, a = infy∈F

‖ x − y ‖ e (xn) ⊂ F de modo que

‖ x− xn ‖ → a. Pelo Lema 4.3.1, temos que (xn) e de Cauchy em F , e assim converge para

algum y0 ∈ F , portanto a = ‖ x− y0 ‖.

Como (ty − y0) ∈ F para todos y ∈ F e t ∈ K, obtem-se

‖ (x− y0) + ty ‖ = ‖ x+ (ty − y0) ‖ ≥ a = ‖ x− y0 ‖,

e portanto, por 4.2.2, (x− y0) ∈ F⊥. Logo, chegamos na decomposicao

x = y0 + (x− y0), onde y0 ∈ F , (x− y0) ∈ F⊥.

Para ver que esta decomposicao e unica, suponhamos que x = y′0+y′, com y′0 ∈ F e y′ ∈ F⊥.

Entao

y′0 + y′ = (x− y0) + y0 =⇒ y′ − (x− y0) = (y0 − y′0) ∈ F ∩ F⊥,

de modo que ambos sao nulos. Logo, y′ = (x− y0) e y′0 = y0. �

4.3.4 Corolario. Seja H um espaco de Hilbert. Se F e um subespaco fechado de H, entao

(F⊥)⊥ = F .

Demonstracao: Obviamente que, F ⊂ F⊥⊥ = (F⊥)⊥, e como F⊕F⊥ = H = F⊥⊥⊕F⊥,

segue da unicidade da soma direta, que F = F⊥⊥ (lembrando que F⊥ e fechado). �

A decomposicao H = F ⊕ F⊥, para cada subespaco fechado F ⊂ H, define o operador

P de projecao ortogonal sobre F

P : H −→ F

x 7−→ Px = y ,

sendo x = y + z, onde y ∈ F , z ∈ F⊥. Dizemos que (y + z) e a decomposicao ortogonal de

x em relacao a F , e Px = y e a componente ortogonal, ou projecao ortogonal, de x em F .

30

4.3.5 Proposicao. Seja H um espaco de Hilbert. Seja (Fi), (i = 1, 2, . . .), uma sequencia

de subespacos fechados que sao mutuamente perpendiculares, isto e, Fi ⊥ Fj se i 6= j. Seja

F o fecho do espaco F gerado por todo Fi. (Ou seja, F e o fecho dos espacos F que consiste

em todas as somas x1 + . . .+ xn, xi ∈ Fi). Entao cada elemento x ∈ F tem uma expressao

unica como uma serie convergente

x =∞∑i=1

xi, xi ∈ Fi.

Seja Pi uma projecao ortogonal em Fi. Entao xi = Pix, e para alguma escolha dos elementos

yi ∈ Fi temos wwwwwx−n∑

i=1

Pix

wwwww ≤

wwwwwx−n∑

i=1

yi

wwwww.

Demonstracao: Desde que x−n∑

i=1

Pix e ortogonal a F1, . . . , Fn podemos usar o mesmo

argumento que a Proposicao 4.2.10, e o Teorema 4.2.5 para mostrar a desigualdadewwwwwx−n∑

i=1

yi

wwwww2

=

wwwwwx−n∑

i=1

Pix

wwwww2

+

wwwwwn∑

i=1

(Pix− yi)

wwwww2

.

Existe uma sequencia de F que tende para x. Consequentemente segue que as somas parciaisn∑

i=1

Pix tendem para x igualmente. Se x =∞∑i=1

xi, com xi ∈ Fi, entao aplicamos a projecao

Pn (qual e contınua!) para concluir que Pnx = xn, assim provando a unicidade. �

4.4 Bases Ortonormais em Espacos de Hilbert

Nesta secao vamos mostrar que, nos espacos de Hilbert, existem conjuntos ortonormais

que podem ser usados para decompor vetores, ou seja, podemos falar em “coordenadas

ortogonais”. O fato e que qualquer elemento no espaco de Hilbert pode ser “aproximado”

por elementos destes conjuntos, em que iremos denominar como bases ortonomais em espacos

de Hilbert.

4.4.1 Definicao. SejaH um espaco de Hilbert. Uma base ortonormal emH e um conjunto

ortonormal total.

Exemplo 4.3. A base canonica {ej}nj=1 de Kn e uma base ortonormal. Lembrando que, Kn

e um espaco de Hilbert, onde K e um corpo.

31

Usando bases ortonormais, simplificamos muitas demonstracoes em espacos de Hilbert.

Dada uma sequencia (xn) L.I. em H, existem sequencias ortonormais que geram o mesmo

subespaco vetorial, que sao construıdas pelo processo de ortonormalizacao de Gram-Schmidt4,

o qual demonstra a existencia de bases ortonormais em H no caso de espacos separaveis. Em

geral, para a demonstracao da existencia de tais bases, usamos o chamado Lema de Zorn5.

4.4.2 Teorema. Todo espaco de Hilbert possui uma base ortonormal.

Demonstracao: Seja H 6= {0} um espaco de Hilbert. Basta aplicar o Lema de Zorn

para mostrar que a colecao de todos os conjuntos ortonormais, ordenado pela inclusao, tem

um elemento maximal. Este elemento sera uma base ortonormal de H. �

4.4.3 Teorema (Desigualdade de Bessel). Se {vα}α∈J e um conjunto ortonormal em

H, entao para cada v ∈ H,

∑α∈J

| 〈vα, v〉 |2 ≤ ‖ v ‖2.

Em particular {α ∈ J : 〈vα, v〉 6= 0} e enumeravel6.

Demonstracao: Consideremos um conjunto contavel ortonormal {vj}. Dado v ∈ H,

seja xn = v −n∑

j=1

〈vj, v〉vj, o qual e ortogonal a todo vj com 1 ≤ j ≤ n. Vejamos que

‖ v ‖2 = ‖ xn ‖2 +n∑

j=1

| 〈vj, v〉 |2 ≥n∑

j=1

| 〈vj, v〉 |2.

Logo, se J for finito, o teorema esta provado. Se J nao for finito, entao desta desigualdade

segue que

‖ v ‖2 ≥∑

j

| 〈vj, v〉 |2,

para todo conjunto contavel ortonormal {vj}. Para cada k ≥ 1, denotamos por

Jk = {α ∈ J :| 〈vα, v〉 | ≥ 1/k}.4Nao demonstraremos aqui tal processo. Para entender como “funciona”o processo de ortonormalizacao

de Gram-Schmidt, recomendamos que verifique em [2], [4], [11], ou em qualquer livro de Algebra Linear.5Um conjunto nao-vazio parcialmente ordenado, no qual todo subconjunto totalmente ordenado possui

um limite superior, possui um elemento maximal.6Um conjunto e enumeravel se possui a cardinalidade ℵ0 de N = {1, 2, 3, . . .}, e e contavel se for finito

(incluindo zero) ou enumeravel.

32

Da relacao acima vem que Jk e finito para todo k. Como {α ∈ J : 〈vα, v〉 6= 0} =∞⋃

k=1

Jk,

concluımos que para cada v ∈ H o conjunto de ındices em que 〈vα, v〉 6= 0 e contavel. �

4.4.4 Corolario. Todas as bases ortonormais num espaco de Hilbert possuem a mesma

cardinalidade.


4.4.5 Definicao. A dimensao de Hilbert (dimensao Hilbertiana), ou simplesmente dimensao

de um espaco de Hilbert, e a cardinalidade de uma base ortonormal desse espaco.

4.4.6 Definicao. Dado um conjunto ortonormal {vα}α∈J em H, a famılia {〈vα, v〉}α∈J e

chamada de coeficientes de Fourier de v ∈ H, e a soma∑α∈J

〈vα, v〉vα e chamada de serie de

Fourier de v em relacao a {vα}α∈J .

4.4.7 Teorema. Seja {vα}α∈J um conjunto ortonormal emH. Entao as seguintes afirmacoes

sao equivalentes:

(i) {vα}α∈J e uma base ortonormal de H.

(ii) Se v ∈ H, entao a serie de Fourier de v, em relacao a {vα}α∈J , converge em H para v,

ou seja, v =∑α∈J

〈vα, v〉vα, ∀v ∈ H.

(iii) (Identidade de Parseval) Para todo v ∈ H temos

‖ v ‖2 =∑α∈J

| 〈vα, v〉 |2.

Demonstracao: Veja a demonstracao em [3] ou [11]. �

4.4.8 Definicao. Dado um espaco de Hilbert H, existe um conjunto J de forma que H e

isomorfo ao espaco de Hilbert l2(J).

4.4.9 Proposicao. Dois espacos de Hilbert sao isomorfos se, e somente se, eles possuem

a mesma dimensao de Hilbert.

Demonstracao: Sejam H1 e H2 espacos de Hilbert. Se existe existe um operador

unitario7 U : H1 −→ H2, entao a imagem de uma base ortonormal de H1 por U e uma base

ortonormal de H2. Como U e bijetor, temos que esses espacos possuem a mesma dimensao.

7Um operador linear U : (X, 〈 , 〉) −→ (Y, [ , ]), entre dois espacos com produto interno, e unitario se for

sobrejetor em Y e 〈x, y〉 = [Ux, Uy] para todos x, y ∈ X.

33

Suponhamos que H1 e H2 possuam a mesma dimensao de Hilbert. Seja J um conjunto

cuja cardinalidade coincide com tal dimensao. Pela Definicao 4.4.8 ambos os espacos de

Hilbert sao isomorfos a l2(J) e, portanto, H1 e isomorfo a H2. �

4.4.10 Teorema. Dois espacos de Hilbert, H1 e H2, sao isomorfos, se existe uma aplicacao

T : H1 −→ H2 bijetiva, na qual preserva o produto interno, isto e,

〈Tx, Ty〉H1= 〈x, y〉H2

.

Demonstracao: Seja (en)∞n=1 uma sequencia ortonormada em H1. Entao pelo Teorema

4.4.7, qualquer x ∈ H1, podemos escrever x =∞∑

n=1

〈x, en〉en sendo a serie convergente e

‖ x ‖2 =∞∑

n=1

| 〈x, en〉 |2. Definimos a seguinte aplicacao

T : H1 −→ l∞(C)

x 7−→ Tx = (〈x, en〉)∞n=1 .

Entao temos que verificar que

(i) T esta bem definida,

(ii) T e bijetiva,

(iii) T preserva o produto interno.

Para mostrar que T esta bem definida, temos que verificar para cada x ∈ H1, Tx ∈ l2(C) e

que Tx e unico, isto e, T e uma aplicacao. E de facil verificacao que se x ∈ H1, entao

‖ Tx ‖2l2(C) =

∞∑n=1

| 〈x, en〉 |2 = ‖ x ‖2 < ∞,

logo Tx ∈ l2(C). Por outro lado se x = y, entao 〈x, en〉 = 〈y, en〉 para qualquer n ∈ N.

Temos Tx = (〈x, en〉)∞n=1 = (〈y, en〉)∞n=1 = Ty, logo Tx = Ty, pelo que T esta bem definida.

Podemos concluir que T e injetiva, pois se Tx = 0, entao

‖ Tx ‖l2(C) = ‖ x ‖ = 0 ⇒ x = 0.

Se y = (y1, y2, . . .) ∈ l2(C), entao definindo x por x =∞∑

n=1

ynen. A serie converge em H1,

pois∞∑

n=1

‖ yn ‖2 < ∞. E evidente que Tx = y, o que prova que T e sobrejetiva.

Resta mostrar que T preserva produto interno.

34

〈Tx, Ty〉l2(C) = 〈〈x, en〉, 〈y, en〉〉l2(C) =∞∑

n=1

〈x, en〉〈y, en〉.

Por outro lado

〈x, y〉 =

⟨∞∑

n=1

〈x, en〉en,

∞∑k=1

〈y, ek〉ek

⟩=

∞∑n,k=1

〈x, en〉〈y, ek〉〈en, ek〉 =∞∑

n=1

〈x, en〉〈y, en〉.

Portanto, 〈Tx, Ty〉 = 〈x, y〉, e T preserva o produto interno. �

4.5 Funcionais e Operadores

Iniciaremos esta secao com o famoso teorema de Riesz, que mostra que todo espaco de

Hilbert pode ser identificado com seu dual.

4.5.1 Teorema (Representacao de Riesz). Sejam H um espaco de Hilbert real ou

complexo, munido do produto interno 〈 , 〉 e H∗ seu dual. A aplicacao γ : H −→ H∗,

γ(y) = λy, para cada y ∈ H, dada por

γ(y)(x) = λy(x) = 〈y, x〉, ∀x ∈ H,

e uma isometria antilinear e sobrejetora em H∗.

Demonstracao: Se y = 0, claramente λy = 0. Se y ∈ H, entao λy e um funcional

linear e | λy(x) | = | 〈y, x〉 | ≤ ‖ y ‖‖ x ‖ (Desigualdade de Cauchy-Schwarz), de forma que

λy ∈ H∗ com ‖ λy ‖ ≤ ‖ y ‖. Como ‖ y ‖2 = λy(x) ≤ ‖ λy ‖‖ y ‖, segue que ‖ λy ‖ ≥ ‖ y ‖.

Portanto ‖ λy ‖ = ‖ y ‖, e a aplicacao γ e uma isometria, claramente antilinear (linear no

caso real). Resta mostrar que todo elemento λ ∈ H∗ e da forma λy para algum y ∈ H.

Se λ = 0, entao λ = λy para y = 0. Se λ 6= 0, como o nucleo N(λ) e um espaco vetorial

fechado (pois λ e contınuo) proprio de H, pelo Teorema 4.3.3 temos

H = N(λ)⊕N(λ)⊥,

e existe z ∈ N(λ)⊥ com ‖ z ‖ = 1. Observando que o vetor (λ(x)z − λ(z)x) ∈ N(λ), para

todo x ∈ H, concluımos que

〈z, λ(x)z − λ(z)x〉 = 0, ∀x ∈ H,

ou seja, λ(x) = 〈λ(z)z, x〉. Portanto, λ = γ(λ(z)z). �

35

Por um operador damos significado a uma funcao contınua de H nele proprio. Como

sabemos, o espaco dos operadores L(H;H), que apenas denotaremos como L(H), e um

espaco de Banach.

Iremos denotar por Herm(H) o conjunto de todas as formas hermitianas contınuas em

H e Sesqu(H) o conjunto de todas as formas sesquilineares8 contınuas em H. Verifica-se

facilmente que estes dois conjuntos sao espacos de Banach, e que Herm(H) e um subespaco

fechado de Sesqu(H).

Neste momento, relacionaremos formas sesquilineares contınuas em H com operadores.

Seja A : H −→ H um operador. Definimos ϕA por

ϕA(x, y) = 〈Ax, y〉.

Entao ϕA e obviamente uma forma sesquilinear contınua em H. Reciprocamente, seja ϕ tal

forma. Para cada y ∈ H a funcao

x 7−→ ϕ(x, y)

e um funcional, e consequentemente existe um unico y∗ ∈ H tal que, ∀x ∈ H temos

ϕ(x, y) = 〈x, y∗〉.

A funcao y 7−→ y∗ e verificada imediatamente para ser linear, usando a unicidade do elemento

y∗ que representa ϕ. Alem disso, da Desigualdade de Cauchy-Schwarz, encontramos que

| y∗ | ≤ ‖ ϕ ‖‖ y ‖.

Se definirmos A∗ : H −→ H a funcao tal que A∗y = y∗, entao concluımos que A∗ e uma

funcao linear contınua de H nele proprio, isto e, A∗ e um operador.

Por outro lado, se definimos ψ(y, x) = ϕ(x, y), entao ψ e sesquilinear contınua, pois

vimos que existe um unico operador A tal que ψ(y, x) = 〈y, Ax〉, ou seja,

ϕ(x, y) = 〈Ax, y〉.

Deste modo, ϕ = ϕA para algum A.

4.5.2 Proposicao. A associacao A 7−→ ϕA e um isomorfismo que preserva a norma entre

L(H) e Sesqu(H).

Demonstracao: Devemos mostrar que ‖ A ‖ = ‖ ϕA ‖. Mas

| ϕA(x, y) | ≤ ‖ A ‖‖ x ‖‖ y ‖8Uma forma sesquilinear sobre dois espacos normados N1, N2 e uma aplicacao s : N1×N2 −→ K, linear

na segunda variavel e antilinear na primeira variavel.

36

de modo que ‖ A ‖ ≥ ‖ ϕA ‖. Sabemos que ‖ Ax ‖ = ‖ λAx ‖ e

| λAx(y) | ≤ ‖ ϕA ‖‖ x ‖‖ y ‖.

Logo, ‖ A ‖ ≤ ‖ ϕA ‖. Portanto, ‖ A ‖ = ‖ ϕA ‖. �

Mostramos que a cada operador A podemos associar um unico operador A∗ satisfazendo

a relacao

〈Ax, y〉 = 〈x,A∗y〉, ∀x, y ∈ H.

Chamamos A∗ de adjunto de A (ou transposto de A, se o espaco de Hilbert estiver sobre os

reais).

4.5.3 Proposicao. A funcao A 7−→ A∗ satisfaz as seguintes propriedades:

(i) (A+B)∗ = A∗ +B∗ ,

(ii) (αA)∗ = αA∗ ,

(iii) A∗∗ = A ,

(iv) (AB)∗ = B∗A∗ ,

e para a norma,

‖ A∗ ‖ = ‖ A ‖, ‖ A∗A ‖ = ‖ A ‖2.

Demonstracao: As primeiras quatro propriedades sao imediatas. Por exemplo, veja a

propriedade (ii). Temos que,

〈αAx, y〉 = 〈Ax, αy〉 = 〈x,A∗αy〉 = 〈x, αA∗y〉.

Da unicidade, concluımos que (αA)∗ = αA∗. As outras equacoes sao de facil verificacao.

Quanto para as propriedades da norma, temos

| 〈A∗x, y〉 | = | 〈x,Ay〉 | ≤ ‖ A ‖‖ x ‖‖ y ‖

de modo que ‖ ϕA∗ ‖ = ‖ A∗ ‖ ≤ ‖ A ‖. Uma vez que A∗∗ = A, segue que ‖ A ‖ ≤ ‖ A∗ ‖

assim ‖ A ‖ = ‖ A∗ ‖. Finalmente, ‖ A∗A ‖ ≤ ‖ A∗ ‖‖ A ‖ = ‖ A ‖2, e reciprocamente,

‖ Ax ‖2 = 〈Ax,Ax〉 = 〈A∗Ax, x〉 ≤ ‖ A∗A ‖‖ x ‖2

de modo que ‖ A ‖ ≤ ‖ A∗A ‖1/2. �

37

4.5.4 Definicao. Se ϕ e uma forma sesquilinear contınua em H, definimos a funcao

q(x) = ϕ(x, x) para ser sua forma quadratica associada. No caso complexo, podemos

recuperar a forma sesquilinear para a forma quadratica. Expressamos isto, em termos dos

operadores.

4.5.5 Proposicao. Para um espaco de Hilbert complexo, se A e um operador e 〈Ax, x〉 = 0,

∀x, entao A = 0.

Demonstracao: Isto segue do que e chamado de identidade de polarizacao,

〈A(x+ y), x+ y〉 − 〈A(x− y), x− y〉 = 2 [〈Ax, y〉+ 〈Ay, x〉].

Sob a suposicao da Proposicao 4.5.5, o lado esquerdo da identidade e igual 0. Substituindo

x por ix, obtemos

〈Ax, y〉+ 〈Ay, x〉 = 0

i〈Ax, y〉 − i〈Ay, x〉 = 0 .

Daı segue que 〈Ax, y〉 = 0 e portanto A = 0. �

4.5.6 Definicao. Dizemos que um operador A e auto-adjunto (ou apenas hermitiano) se

A = A∗. Se H e um espaco de Hilbert real, entao dizemos que o operador A e simetrico.

Observacao 4.2. Se A for invertıvel, entao vemos imediatamente que (A−1)∗ = (A∗)−1.

4.5.7 Definicao. Um operador A e chamado de unitario se A∗ = A−1.

4.5.8 Proposicao. Para um espaco de Hilbert complexo, as seguintes propriedades sao

equivalentes, a respeito de um operador A:

(i) A = A∗.

(ii) ϕA : (x, y) 7−→ 〈Ax, y〉 e uma forma hermitiana.

(iii) 〈Ax, y〉 sao numeros reais, ∀x ∈ H.

Demonstracao: A demonstracao pode ser encontrada em [8]. �

4.5.9 Lema. Seja A um operador e c um numero tal que

| 〈Ax, x〉 | ≤ c ‖ x ‖2, ∀x ∈ H.

38

Entao para todo x, y temos | 〈Ax, y〉 | + | 〈x,Ay〉 | ≤ 2c ‖ x ‖‖ y ‖.

Demonstracao: Pela identidade de polarizacao (Veja Proposicao 4.5.5), temos:

2 | 〈Ax, y〉+ 〈Ay, x〉 | ≤ c ‖ x+ y ‖2 + c ‖ x− y ‖2 = 2c(‖ x ‖2 + ‖ y ‖2)

| 〈Ax, y〉+ 〈Ay, x〉 | ≤ c(‖ x ‖2 + ‖ y ‖2).

Multiplicamos y por eiθ assim no lado esquerdo | e−iθ〈Ax, y〉 + eiθ〈Ay, x〉 |. O lado direito

permanece inalterado e para algum θ adequado, o lado esquerdo torna-se

| 〈Ax, y〉 | + | 〈Ay, x〉 |.

(Ou seja, estamos “alinhando”dois numeros complexos pela rotacao por θ e por outra −θ.)

Em seguida substituımos x por tx e y por y/t para R 3 t > 0. Entao o lado esquerdo

permanece inalterado, quando o lado direito torna-se

g(t) = t2 ‖ x ‖2 +1

t2‖ y ‖2.

O ponto em que g′(t) = 0 e o unico mınimo e neste ponto t0 encontramos que

g(t0) =‖ x ‖‖ y ‖.

Isto prova o Lema. �

4.5.10 Proposicao. Seja A um operador auto-adjunto. Entao ‖ A ‖ e o maior dos menores

limites de todos os valores c tais que

| 〈Ax, x〉 | ≤ c ‖ x ‖2, ∀x ∈ H,

ou equivalentemente, o supremo de todos os valores | 〈Ax, x〉 | tomado para x na esfera

unitaria em H.

Demonstracao: Como A e auto-adjunto, obtemos

| 〈Ax, y〉 | ≤ c ‖ x ‖‖ y ‖, ∀x, y ∈ H,

de modo que pelo Lema 4.5.9 conseguimos ‖ A ‖ ≤ c. Por outro lado, c =‖ A ‖ e certamente

um valor possıvel para c pela Desigualdade de Cauchy-Schwarz. �

39

4.5.11 Corolario. Seja c um limite para um operador A. Entao | 〈Ax, x〉 | ≤ c ‖ x ‖2

e consequentemente, −cI ≤ A ≤ cI.

Demonstracao: Para maior simplicidade, se α e real, escrevemos α ≤ A em vez de

αI ≤ A e similarmente escrevemos A ≤ β em vez de A ≤ βI. Se tomarmos

α = inf‖x‖=1

〈Ax, x〉 e β = sup‖x‖=1

〈Ax, x〉,

entao temos α ≤ A ≤ β, e pela Proposicao 4.5.10, ‖ A ‖ = max(| α |, | β |). �

4.6 Teorema Espectral

Nesta secao iremos mostrar o teorema espectral para operadores auto-adjuntos com-

pactos. Alem disso, vamos definir o que e um operador compacto, relembrar as definicoes de

autovetores, autovalores e subespacos A-invariantes. Mas nao trataremos os assuntos deste

topico com detalhes. Portanto para obter maiores informcoes a respeito desta secao, veja o

conteudo completo em [8] ou [11].

4.6.1 Definicao. Dizemos que um operador A : H −→ H e compacto se dado uma

sequencia limitada (xn) em H, a sequencia (Axn) possui uma subsequencia convergente.

E precisamente esta condicao que permitira conseguir uma base ortogonal para um

operador auto-adjunto.

4.6.2 Definicao. Um autovetor para um operador A e um vetor w 6= 0 tal que existe um

numero c (real ou complexo) em que Aw = cw. Chamamos este numero c de autovalor e

dizemos que w e um autovetor associado ao autovalor c.

Seja Hc o espaco gerado por todos autovetores tendo c como autovalor, entao

chamamos Hc de auto-espaco associado ao autovalor c, em que e definido por

Hc = ker(A− cI) = {x ∈ H; (A− cI)x = 0}.

4.6.3 Definicao. Um subespaco V de H e chamado A-invariante se AV ⊂ V , isto e, se

x ∈ V , entao Ax ∈ V . Se V e A-invariante, entao seu fecho V tambem e A-invariante. Alem

disso V ⊥ e A-invariante, pois se x ∈ V ⊥, entao para todo y ∈ V temos 〈y, Ax〉 = 〈Ay, x〉 = 0.

4.6.4 Definicao. Um espectro de A e o conjunto de numeros c tal que (A − cI) nao e

invertıvel. Denotamos este conjunto por σ(A).

40

4.6.5 Teorema (Espectral). Seja A um operador auto-adjunto compacto no espaco de

Hilbert H. Entao a famılia de auto-espaco {Hc}, onde c varia sobre todos os autovalores

(incluindo 0), e uma decomposicao ortogonal de H.

Demonstracao: Seja F o fecho do subespaco gerado por todo Hc (como na Proposicao

4.3.5) e seja H′ o complemento ortogonal de F . Entao H′ e A-invariante, e A induz um

operador auto-adjunto compacto em H′, no qual nao tem nenhum autovalor. Devemos

mostrar que H′ 6= {0}. Isto resulta no seguinte lema.

4.6.6 Lema. Seja A um operador auto-adjunto compacto no espaco de Hilbert H′ 6= {0}.

Seja c =‖ A ‖. Entao c ou −c e um autovalor para A.

Demonstracao: Existe uma sequencia (xn) em H′ tal que ‖ xn ‖ = 1 e

| 〈Axn, xn〉 | → ‖ A ‖.

Selecionando uma subsequencia, caso necessario, podemos supor que 〈Axn, xn〉 → α para

algum numero α e α = ± ‖ A ‖. Entao

0 ≤ ‖ Axn − αxn ‖2 = 〈Axn − αxn, Axn − αxn〉

= ‖ Axn ‖2 − 2α〈Axn, xn〉+ α2 ‖ xn ‖2

≤ α2 − 2α〈Axn, xn〉+ α2.

O lado direito tende para 0 quando n tende ao infinito. Como A e compacto, apos ter

selecionado uma subsequencia, podemos supor que (Axn) converge para algum vetor y e

entao (αxn) deve convergir para y igualmente. Se α = 0, entao ‖ A ‖ = 0 e A = 0. Se

α 6= 0, entao (xn) deve convergir para algum vetor x e entao Ax = αx de modo que α

seja o autovalor desejado para A, assim provando o lema e o teorema. �

Observamos que cada Hc possui uma base ortonormal consistindo de autovetores, a

saber toda base ortonormal em Hc, pois todos os elementos nao-nulos de H sao autove-

tores. Portanto, o proprio H tem uma base ortonormal consistindo de autovetores. Assim

recuperamos precisamente a analogia do teorema no caso de dimensao finita. Alem disso,

temos algumas informacoes que seguem claramente:

Cada Hc e de dimensao finita, se nao um subconjunto enumeravel de uma base ortonor-

mal forneceria uma sequencia que contradiz a compacidade de A. Uma maneira semelhante,

dado r > 0, ha somente um numero finito de autovalores c tal que | c | ≥ r. Portanto 0

e um limite da sequencia dos autovalores se H e de dimensao infinita.

Consideracoes Finais

O que realizamos neste trabalho, foi uma introducao ao estudo dos Espacos de Hilbert

usando os conceitos de norma, produto interno, bases ortonormais e operadores auto-adjuntos.

Durante o desenvolvimento deste texto, tivemos o cuidado de nao tornar uma leitura

muito complicada, ou seja, todo o texto foi produzido para leitores que tenham uma fa-

miliaridade com Algebra Linear e Analise no Rn. Com isso, dividimos em dois capıtulos

parte dos conteudos que consideramos como pre-requisitos para estudar o tema deste docu-

mento. Tais capıtulos foram divididos da seguinte maneira: a primeira, um curso de topicos

de Algebra Linear, para que o leitor pudesse ter as ferramentas necessarias para o entendi-

mento do restante do texto, e a segunda, foi uma exposicao de conceitos relacionados aos

Espacos Metricos como principal requisito para a definicao de Espacos de Hilbert.

Assim, com a apresentacao de alguns resultados basicos e substanciais do tema deste

documento, tivemos a finalidade de tornar o texto uma especie de ferramenta basica para

um curso de iniciacao a analise funcional e mecanica quantica.

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Referencias Bibliograficas

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Paulo: Edgard Blucher, 1996.

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Brasileira de Matematica, 2006.

[3] CARVALHO, Alexandre Nolasco de. Analise I. Disponıvel em:

<http://www.alunospgmat.ufba.br/>. Acesso em: 10 de Maio de 2008.

[4] COELHO, Flavio U.; LOURENCO, Mary L. Um Curso de Algebra Linear. Sao Paulo:

Editora da Universidade de Sao Paulo, 2001.

[5] EVES, Howard. Introducao a Historia da Matematica. Traducao de Hygino H.

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[6] FIGUEIREDO, Djairo G. de. Analise I. Rio de Janeiro: LTC; Brasılia: Editora Uni-

versidade de Brasılia, 1975.

[7] LANG, Serge. Analysis I. New York: Addison Wesley Publishing Company, 1968.

[8] LANG, Serge. Analysis II. New York: Addison Wesley Publishing Company, 1968.

[9] LIMA, Elon L. Elementos de Topologia Geral. 2a ed. Rio de Janeiro: LTC, 1976.

[10] LIMA, Elon L. Espacos Metricos. 3a ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1977.

[11] OLIVEIRA, Cesar R. de. Introducao a Analise Funcional. 3a impressao da 2a ed. Rio

de Janeiro: IMPA, 2008.

[12] PEIXOTO, Rafael; SOUZA, Jairo M. e; BONFIM, Valdair. Introducao a Topologia e

Aplicacoes. Disponıvel em:

<http://www.famat.ufu.br/revista/revistaset2004/artigos/ArtigoRafaelJairoValdair.pdf>.

Acesso em: 07 de Junho de 2008.

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espacos hilbert

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